Методы и алгоритмы исследования математических моделей регулярно и сингулярно возмущенных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Коняев, Юрий Александрович

• Коняев, Юрий Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Коняев, Юрий Александрович

Введение.

1. Общий метод исследования моделей регулярных и сингулярно возмущенных начальных и многоточечных задач.

1.1. Единое интегральное представление решения регулярных начальных и многоточечных задач

1.2. Построение квазирегулярной асимптотики решения сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач для линейных систем ОДУ.

1.3. О существовании «контрастных» решений линейных сингулярно возмущенных задач

1.4. Асимптотический анализ некоторых сингулярно возмущенных задач на полуоси.

2. Анализ регулярных и сингулярно возмущенных моделей, представленных многоточечными краевыми задачами со слабой и сильной нелинейностью.

2.1. Об однозначной разрешимости некоторых классов нелинейных многоточечных краевых задач

2.2. Условия существования единственного и равномерно ограниченного на отрезке [ОД] при £ —> +0 решении сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач со слабой и сильной нелинейностью.

2.3. Итерационный метод построения асимптотического разложения решения сингулярно возмущенной краевой задачи со слабой нелинейностью

3. Модели, представленные начальными и краевыми задачами с подвижной особой точкой

3.1. Системы линейных ОДУ с аналитическими коэффициентами при наличии простых и кратных особенностей

3.2. Изучение сингулярно возмущенных начальных и краевых задач для систем дифференциальных уравнений с одной и двумя подвижными точками

3.3. Сингулярно возмущенные начальные и краевые задачи с особенностями разных типов.

4. Критерий устойчивости решения некоторых классов моделей неавтономных квазилинейных систем

4.1. Регулярно возмущенные системы с периодическими коэффициентами.

4.2. Исследование сингулярно возмущенных систем с периодическими коэффициентами.

4.3. Анализ модельных дифференциальных уравнений с полиномиально периодическими коэффициентами.

4.4. Система ОДУ с нормальной матрицей.

5. Алгоритмы исследования математических моделей в форме неавтономных дифференциальных систем при наличии регулярных и сингулярны возмущений.

5.1. Модельные задачи при наличии регулярных возмущений.

5.2. Исследование устойчивости модельных систем с полиномиально периодическими коэффициентами

5.3. Различные варианты решения физических задач при наличии сингулярных возмущений

6. Дополнение. Некоторые вопросы теории регулярных возмущений.

6.1. Решение спектральных задач в конечномерном случае

6.2. Альтернатива методу диаграмм Ньютона в задачах теории ветвления

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и алгоритмы исследования математических моделей регулярно и сингулярно возмущенных динамических систем»

Настоящая работа посвящена развитию известных и разработке новых качественных и приближенных аналитических (в том числе и асимптотических) методов и конструктивных алгоритмов, необходимых для проведения вычислительных экспериментов при исследовании различных математических моделей (при наличии регулярных и сингулярных возмущений) на предварительном и завершающем этапах математического моделирования, а также созданию новых математических моделей для некоторых классов прикладных задач.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Приближенные аналитические и асимптотические методы исследования математических моделей (в частности, в виде соответствующих дифференциальных уравнений) в настоящее время, когда точные методы анализа почти исчерпаны, стали неотъемлемой частью теории математического моделирования, позволяя выписывать приближенные решения достаточно сложных возмущенных задач, если известно решение соответствующей (обычно более простой) невозмущенной задачи. При исследовании устойчивости неавтономных динамических систем (несмотря на достаточно большое количество работ) ощущается определенный дефицит достаточно конструктивных критериев устойчивости. Здесь наиболее известны работы Ляпунова A.M., Четаева Н.Г., Малкина И.Г., Красовского H.H., Меркина Д.Р. и ряда других авторов.

Вместе с тем исследование большого класса физических и технических задач сводится к анализу квазилинейных (или линейных) неавтономных модельных систем вида x = A(t)x + f(x,t) (x,feR").

Здесь можно отметить систему уравнений движения бесконтактного гироскопа в переменном магнитном поле, которая после упрощения и линеаризации имеет вид: х = (А0+ sAx(t))x;(0 < s < 1) ; систему уравнений движения гироскопа на стадии его разгона + (h + t)ß + kua + kl2ß = 0 ß - {h + t)à + k2]a + k22ß = О, где Ct и ß- углы отклонения оси гироскопа); систему уравнений колебаний двух связанных осцилляторов: х + а2х = 2sys'mt ,2 (a,beR; a*b; ah*0; \a±b\ = \). y + b2y = l£XQOSt, 'II'

Известное модельное уравнение Матье x+(ö+e0 cos t)x = 0, описывающее при некоторых допущениях движение Луны, также может быть сведено к указанной линейной системе.

Более подробный анализ указанных систем приведен в тексте работы. Отметим далее, что даже для анализа линейной однородной системы с постоянной возмущенной матрицей

00 x = A(s)x\ (А(е) = ^Алек;0<е <£0 <1) о в случае, если известны характеристики невозмущенного s - 0 решения, определяемого спектром |яоу}" матрицы А0 ), нет достаточно эффективного алгоритма анализа ее возмущенного решения. Это связано с тем, что методы теории регулярных возмущений (смотри, например, монографии Реллиха, Като [27], Рида и Саймона [76]) еще весьма громоздки и неудобны для анализа и численной реализации. Например, в известной работе Рида и Саймона [76, с.44] указывается на большую сложность вычисления собственных значений Я(е) возмущенного оператора Л(е) из-за контурных интегралов и деления двух степеных рядов», а в монографии Като [27, с. 120] отмечается, что «вполне определенных формул, выражающих собственные векторы S (s) оператора А(е), как функции £ нет.».

При анализе устойчивости неавтономных линейных систем появляются трудности иного характера. Известно, что структура спектра {¿j(t)}" матрицы A(t) не определяет поведение решения однородной системы х = A(t)x и это весьма затрудняет исследование подобных систем.

Отметим также, что известная теорема Флоке-Ляпунова [78, 108], гарантирующая возможность преобразования линейной однородной системы с периодической матрицей х = A(t)x с помощью невырожденной периодической замены x = P{t)y к эквивалентной системе с постоянной матрицей у = Су не способствует анализу исходной системы, так как алгоритм построения такой замены до сих пор неизвестен.

Другие вопросы приходится решать при исследовании регулярных (р=0) и особенно возмущенных (р> 1) для многоточечных краевых задач неавтономных систем вида:

Gpx = A(i,£)x + f(t); x,f g R" (n> 3) m

FjX(tj,s) = a; (1 < m < n); (0 < s < s0 < 1) j=i oo

A(t,£) = YM0ek; 0 = /, <t2 <---<tm =1), 0

Fj - постоянная квадратная матрица. Следует отметить, что традиционное интегральное представление решения многоточечной краевой задачи для регулярной (р = 0) системы: m

Fjxit^œ, (xtfeR") j=i с помощью известного аппарата функций Грина весьма громоздко и мало пригодно для численной реализации, так как при построении функции Грина в многоточечном случае («> 3) возникают принципиальные трудности.

Термин сингулярность здесь означает, что решение предельной (£ = 0) задачи в общем случае не удовлетворяет краевым условиям, что приводит к появлению (при наличии малых сингулярных возмущений (/?>1)) особенностей решения, отражающих существование так называемых «пограничных слоев» в окрестностях точек, где заданы краевые условия.

Отметим некоторые основные результаты теории сингулярных возмущений, которая берет начало с работ Лиувилля (1837), построившего асимптотику фундаментальных решений для уравнения: е2/+(r(t) + e2q(t))y = 0, (r(t)>0) ввиде: I

Pi {U е) = (Фо! (0 + еф,, (0+.)sin(e о t

Ф2 (t, е) = (ф02 (/)+8ф12 (0+.) cos(e о

Шлезингер (1907) и Биркгоф (1908) решили аналогичную задачу для дифференциального уравнения n-го порядка. Дальнейшее развитие теория сингулярных возмущений нашла в работах Стеклова В.А., его ученика Тамаркина Я.Д. (1917), Вазова В. (1944), Коддингтона с Левинсоном (1952).

Заметный вклад в развитие теории сингулярных возмущений внесли работы современных математиков Ломова С.А. (1963), Фещенко С.Ф., Шкиля Н.И., Николенко Л.Д. (1966), Федорюка М.Ф. (1969), Сафонова В.Ф. (1975), Жуковой Г.С. (1978) и ряда других авторов.

В теории сингулярных возмущений получил также широкую известность метод пограничных функций, весьма эффективный при анализе нелинейных задач, в основе которого лежат работы Тихонова А.Н. (1948), Васильевой А.Б. (1951-1960), Бутузова В.Ф. (1966), Нефедова H.H.

Решению перечисленных проблем и разработке качественных и приближенных аналитических методов исследования неавтономных математических моделей динамических систем, в том числе и при наличии регулярных и сингулярных возмущений, посвящена диссертация.

Цель работы. Целью работы является развитие известных и разработка новых конструктивных качественных приближенных аналитических и асимптотических методов и эффективных алгоритмов исследования различных математических моделей при наличии регулярных и сингулярных возмущений на предварительном этапе математического моделирования, в частности, для построения квазирегулярной асимптотики решения большого класса малоизученных сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач (когда особенности решения, отражающие структуру внутренних и краевых пограничных слоев, выписываются в замкнутой аналитической форме) для линейных и квазилинейных систем ОДУ, а также созданию достаточных конструктивных критериев устойчивости решения некоторых классов неавтономных линейных и квазилинейных модельных систем ОДУ, в частности, для построенных диссертантом модельных систем с полиномиально периодической, нормальной или «почти нормальной» матрицей.

Основные результаты работы.

1. Разработан эффективный метод и конструктивный алгоритм для нахождения собственных значений и собственных векторов линейного возмущенного оператора при наличии предельного оператора произвольной жордановой структуры [55]. Следует отметить, что существующие методы и алгоритмы решения указанных спектральных задач (как отмечалось в ранее опубликованных монографиях Реллиха

1946), Като (1972) [27], Рида и Саймона (1982) [76]) еще достаточно громоздки и молопригодны для численной реализации. Продвинуться вперед в данном направлении помог предложенный диссертантом метод и построенный на его основе алгоритм, позволившие, в частности, достаточно просто и конструктивно решать большой класс задач в теории регулярных возмущений (и теории ветвления), возникающих при изучении ряда конкретных задач в теории гироскопов.

2. В теории устойчивости известен ряд классических теорем (например, в работах Ляпунова A.M., Четаева Н.Г., Малкина И.Г., Красовского H.H. и ряда других авторов) о приводимости, позволяющей с помощью невырожденной замены переходить к исследованию более простых эквивалентных систем ОДУ. Отметим, в частности, теорему Флоке-Ляпунова о возможности перехода от линейной системы с периодической матрицей к системе с постоянной матрицей с помощью невырожденной периодической замены, однако алгоритм ее построения до сих пор неизвестен. В диссертации сформулированы и доказаны асимптотические и конструктивные аналоги (или обобщения) теорем указанного класса, в том числе и для построенной соискателем новой модельной системы ОДУ с полиномиально периодической матрицей (то есть с матрицей в виде степенных рядов с периодическими матричными коэффициентами) [113,124,128].

3. Сформулированы и доказаны достаточные условия асимптотической устойчивости для определенного выше класса неавтономных квазилинейных систем, являющихся обобщением известной теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению для квазилинейных систем с постоянной матрицей [128].

4. Диссертантом выделен специальный класс неавтономных линейных и квазилинейных систем ОДУ с нормальной или «почти нормальной» матрицей, для которых с помощью метода унитарных преобразований получены достаточные критерии устойчивости решения, полностью определяемые структурой спектра нормальной матрицы [113,132].

5. Построено специальное интегральное представление решения для большого класса многоточечных краевых (и как частного случая, начальных) задач для линейных и квазилинейных (здесь мы имеем соответствующие интегральные уравнения) систем ОДУ без использования аппарата функций Грина, построение которых является достаточно сложной задачей, особенно для многоточечных задач [39, 53, 31]. Это позволяет рассматривать и изучать начальные и краевые задачи с единой точки зрения с помощью одного общего интегрального представления. Диссертантом приведен новый вариант доказательства далеко не тривиальной теоремы об однозначной разрешимости многоточечных краевых задач для линейных и квазилинейных систем ОДУ [118].

6. Диссертаном разработан эффективный метод и достаточно простой алгоритм построения квазирегулярной асимптотики некоторых классов сингулярно возмущенных начальных и многоточечных задач для модельных линейных систем ОДУ, при котором все особенности решения, отражающие структуру различных пограничных слоев выписываются в замкнутой аналитической форме, а остальные компоненты решения зависят от малого параметра регулярным образом [39, 118]. Известные методы решения указанного класса задач неприменимы или малоэффективны.

7. С помощью изложенного в п. 6 алгоритма исследован класс сингулярно возмущенных модельных задач на полуоси [114]. Доказано, что структура погранслоя в этом случае определяется не только спектром предельного оператора, но и неограниченностью некоторых интегралов при / -> да, что обобщает ранее известные результаты Федорюка М.В

8. Для построения асимптотик собственных значений и собственных функций спектральных задач для линейных дифференциальных операторов (в отличие, например, от известных работ Левитана Б.М. и других авторов, в которых эта проблема решалась с помощью анализа соответствующих интегральных уравнений) диссертантом разработан эффективный метод и соответствующий конструктивный (по существу алгебраический) алгоритм решения данной задачи с помощью дискретного аналога доказанной в диссертации теоремы 1.2 для сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач (включая и случай п>Ъ). Это позволило создать новый алгоритм для решения ряда спектральных задач квантовой механики, например для оператора Штурма-Лиувилля и Дирака [128].

9. С помощью разработанного диссертантом эффективного метода [115, 139] изучены сингулярно возмущенные начальные и краевые задачи для линейных модельных систем ОДУ с одной и двумя подвижными особыми точками различной кратности. Это позволило создать новый алгоритм для описания структуры степенных и более сложных пограничных слоев. Доказанные теоремы обобщают некоторые результаты Ломова С.А. Впервые построено точное решение сингулярно возмущенной задачи Коши для линейной системы с одной некратной подвижной особой точкой [139].

Практическая значимость работы состоит в том что разработанные диссертантом эффективные методы и конструктивные алгоритмы позволили решить ряд актуальных фундаментальных теоретических проблем (в теории устойчивости, в теории многоточечных краевых задач, в теории регулярных и сингулярных возмущений) и стали основой для создания программ расчета некоторых нетривиальных (в том числе и новых) неавтономных динамических математических моделей, а также для расчета конкретных технических изделий, что нашло отражение в тексте диссертации и в ряде публикаций в центральных журналах [31 - 62, 111 -121,128- 139].

1. Доказаны нетривиальные теоремы об асимптотической приводимости (исходной системы к более простой) большого класса неавтономных динамических (в том числе и разработанных сисоискателем) линейных и квазилинейных модельных систем ОДУ, что является обобщением [113, 130, 128] известной теоремы Флоке-Ляпунова. Получены достаточные критерии устойчивости решения указанных теорем (что является обобщением некоторых результатов Ляпунова A.M., Четаева Н.Г., Малкина И.Г., Красовского H.H. и ряда других математиков) и нашло практическое применение при расчете ряда гироскопических приборов [42,124].

2. При решении большого класса спектральных алгебраических задач для определения собственных значений и собственных векторов регулярно возмущенного линейного оператора (в том числе и при наличии предельного оператора произвольной жордановой структуры) разработаны эффективные алгоритмы для построения соответствующих рядов по малому параметру [55], что является обобщением известных классических результатов Реллиха, Като, Рида и Саймана, а также существенно упростило решение ряда конкретных физических задач, рассмотренных в диссертации.

3. С новых позиций рассмотрен класс регулярных и сингулярно возмущенных многоточечных краевых (в том числе и начальных) задач для неавтономных линейных модельных систем ОДУ. Для их решения построено специальное интегральное представление без использования аппарата функций Грина (построение которых весьма громоздко, особенно в многоточечном случае), что позволило рассматривать и изучать начальные и краевые задачи с помощью одного нового интегрального представления [39, 53, 31,118].

4. Последний результат позволил создать новый алгоритм для построения квазирегулярной асимптотики решения сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач, когда особенности решения, отражающие структуру каждого пограничного слоя, выписываются в замкнутой аналитической форме [31, 39-41, 57, 58, 111, 112, 114, 115, 117, 118, 120], что является обобщением некоторых работ Лиувилля, Биркгоффа, Тамаркина и Ломова. Это дало возможность создать эффективный дискретный алгоритм нахождения собственных значений и собственных функций спектральных задач для линейных дифференциальных операторов (например, для задач Штурма-Лиувилля и Дирака), включая и многоточечный случай. Известные асимптотические методы решения сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач неприменимы или мало эффективны.

Достоверность полученных результатов основана на корректности постановок задач, на использовании современных аналитических и асимптотических методов, на сравнении с результатами, полученными с помощью других методов. Для теорем даны строгие доказательства. Полученные результаты неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах и конференциях. В диссертацию включены только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту.

Апробация работы. Результаты исследований, представленных в диссертации, многократно докладывались на семинаре Ломова СЛ. (МЭИ), Дубинского Ю.А.(МЭИ), Мартыненко Ю.Г. (МЭИ), на семинаре Васильевой А.Б. и Бутузова В.Ф. (МГУ), на семинаре Миллионщикова В.М. (МГУ), Моисеева Е.И. (МГУ), на семинаре Академии нелинейных наук (руководитель академик РАН Матросов В.М.), а также на Всероссийских и Международных семинарах и конференциях (Вторая Всероссийская конференция «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 1990; Международное совещание «Сингулярные решения и возмущения в системах управления», Переславль-Залесский, 1993, 1995, 1997; Всероссийское Совещание «Теория и приложения методов малого параметра», Обнинск, 1996; Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Самара, 1996; Международная конференция «Современные направления в компьютерной физике», Дубна, 1998, 2000, 2002; Международная конференция «Математическая физика. Математическое моделирование и приближенные методы» Обнинск, 2000; Международная конференция, посвященная 80-летию Кудрявцева Л.Д., Москва, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 115 научных работах, среди которых монография, статьи в научных журналах, труды конференций. Тридцать работ из этого списка опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК России.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на ¿страницах машинописного текста и состоит из введения, пяти глав, дополнения, заключения и списка литературы из 139 названий.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Коняев, Юрий Александрович

Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

1. Разработан эффективный метод и конструктивные алгоритмы исследования ряда математических моделей, связанных с нахождением асимптотики спектра и собственных векторов линейного возмущенного оператора (для случая предельного оператора произвольной жордановой структуры), что дополняет отмеченные выше известные результаты Реллиха, Като, Рида и Саймона и нашло практическое применение.

2. Сформулированы и доказаны (теоремы 4.1 - 4.4) асимптотические аналоги теорем о приводимости (исходной модели к более простой) и аналог теоремы Флоке-Ляпунова о приводимости системы с периодической матрицей для неавтономных слабо возмущенных линейных и квазилинейных неоднородных систем ОДУ, что позволило сформулировать критерии устойчивости.

3. Доказанные теоремы 4.1- 4.4 позволили изучить нетривиальную динамическую неавтономную модель, описывающую стационарное движение бесконтактного гироскопа в переменном магнитном поле и найти ранее неизвестную область устойчивости вблизи резонанса. Построенная модель и ее численный анализ были использованы при создании конкретного технического устройства.

4. На основе анализа движения гироскопа на стадии его разгона диссертантом была исследована новая математическая модель гироскопа в виде неавтономной линейной системы ОДУ с полиномиально периодической матрицей (представимой в виде степенных рядов с периодическими матричными коэффициентами), для которых доказаны соответствующие варианты теорем о приводимости к системе с почти диагональной матрицей (теоремы 4.5 - 4.7). Качественный и приближенный асимптотический анализ данной модели позволил установить область устойчивости указанного режима движения гироскопа. Предложенная модель нашла практическое применение.

5. Изучен класс математических моделей, представленных в виде квазилинейных и линейных неавтономных систем ОДУ с нормальной или «почти нормальной» матрицей, для которых с помощью разработанного диссертантом конструктивного метода унитарных преобразований доказаны аналоги (теоремы 4.8 - 4.11) известных теорем об устойчивости решения для систем с постоянной матрицей. Это позволило записать простые критерии устойчивости для указанного класса неавтономных квазилинейных систем.

6. Построено специальное интегральное представление решения для большого класса математических моделей, приводящих к изучению многоточечных краевых (и как частного случая, начальных) задач для линейных и квазилинейных (здесь мы имеем соответствующее интегральное уравнение) систем ОДУ без использования аппарата функций Грина, построение которых достаточно сложно, особенно для многоточечных задач. Это дало возможность рассматривать и изучать начальные и краевые задачи с единой точки зрения (теорема 1.1). Полученное представление позволило разработать новый вариант доказательства нетривиальных теорем 2.1 - 2.2 об однозначной разрешимости регулярных и сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач для квазилинейных и нелинейных систем ОДУ.

7. Предложен эффективный метод построения квазирегулярной асимптотики для исследования математических моделей, представимых в виде сингулярно возмущенных начальных и краевых задач (теоремы 1.2 -1.4). При этом особенности решения, отражающие структуру каждого пограничного слоя, выписываются в замкнутой аналитической форме, а остальные компоненты решения зависят от малого параметра регулярным образом. Для анализа сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач указанного класса другие методы неприменимы или мало эффективны. Созданный диссертантом метод является обобщением идей Лиувилля, Биркгофа, Тамаркина, Ломова, внесших заметный вклад в теорию сингулярных возмущений. Разработан вычислительный конструктивный алгоритм для построения указанной асимптотики.

8. С помощью дискретного аналога одного из алгоритмов, изложенного в первой главе диссертации (теорема 1.2), разработан эффективный метод и простой алгоритм построения асимптотики собственных значений и собственных функций для некоторых классов спектральных задач для линейных дифференциальных операторов (например, для известных в квантовой механике задач Штурма-Лиувилля и Дирака), включая и многоточечный случай, что обобщает известные ранее результаты Левитана Б.М. и ряда других авторов.

9. Для анализа математических моделей, возникающих при исследовании сингулярно возмущенных задач на полуоси диссертантом разработан метод и вычислительный алгоритм построения асимптотики решения. При этом доказано (теорема 1.5), что особенности решения в этом случае определяются не только спектром предельного оператора, но и неограниченностью некоторых интегралов при {-> од, что дополняет или уточняет известные ранее результаты Федорюка М.В.

10. Исследованы математические модели, приводящие к изучению сингулярно возмущенных начальных и краевых задач для линейных систем ОДУ с одной и двумя подвижными особыми точками различной кратности и разработан (отличный от метода Ломова С.А.) конструктивный алгоритм для описания степенных пограничных слоев и пограничных слоев более сложной структуры. Составленные программы для численных расчетов позволили построить точное решение сингулярно возмущенной задачи Коши для линейной системы с одной некратной подвижной особой точкой (теоремы 3.2-3.6).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Коняев, Юрий Александрович, 2007 год

1. Арнольд В.И. О матрицах, зависящих от параметра. УМН, 1971, вып.2, с.101-114.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1984.

3. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера.М., Издательство Московского Университета, 1983, 392с.

4. Барашков A.C. Регулярное разложение решений сингулярно возмущенных уравнений. Изв. ВУЗ Математика, 1984, №9, с.6-9.

5. Бобочко В.Н., Ломов С.А. Внутренний погранслой в линейной задаче. Труды МЭИ, 1980, вып.499, с.57-60.

6. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М., ИЛ, 1954.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М., Наука, 1972, 232с.

8. Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М., Наука, 1987, 256с.

9. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Наука, 504с.

10. Бутузов В.Ф. Васильева А.Б. Об асимптотике решений типа контрастной структуры. Математические заметки, 1987, т.42, №6, с.831-841.

11. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М., Наука, 1969, 528с.

12. Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига, Зинатне, 1978, 189с.

13. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М., Наука, 1973, 272с.

14. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М., Издательство МГУ, 1978, 108с.

15. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М., Высшая школа,1990, 208с.

16. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. Мат. анализ. Итоги науки и техники. Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1982, т.20, с.3-77.

17. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Определение структуры обобщенного решения нелинейных задач оптимального управления. ДАН СССР, 1980, т.250, №3, с.525-528.

18. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Мир, 1968, 464с.

19. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М., Наука, 1984, 320с.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука, 1967.

21. Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М., Наука, 1986, 256с.

22. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М., Л. 1950.

23. Джакалья Г.Б.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М., Наука, 1973, 320с.

24. Елисеев А.Г. Теория сингулярных возмущений для систем дифференциальных уравнений в случае кратного спектра предельного оператора. Изв. АН СССР, 1984, т.48, №5, с.999-1042, №6, с.1171-1196.

25. Жукова Г.С. Асимптотическое интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. Воронеж, Издательство ВГУ, 1988, 200с.

26. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М., Наука, 1989, 336с.

27. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., Мир, 1972, 740с.

28. Кобрин А.И., Мартыненко Ю.Г. Асимптотическое решение слабо нелинейной системы. Дифференциальные уравнения, 1977, т.13, №6, с.1008-1013.

29. Коддингтон Е.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М., ИЛ, 1958, 476с.

30. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М., Мир, 1972, 276с.

31. Коняев Ю.А. Построение регуляризованной асимптотики для нелинейной задачи Коши. Тезисы докладов 1-й Всесоюзной конференции по асимптотическим методам. Фрунзе, 1975, с.317-320.

32. Коняев Ю.А. Построение регуляризованной асимптотики для линейных систем с многочленной сингулярностью спектра. Труды МЭИ, вып.357, 1978, с.51-55.

33. Коняев Ю.А. Асимптотическое представление периодических решений некоторых эллиптических уравнений порядка 2т в процессе т —» со. Дифференциальныеуравнения, 1978,т.14,№10,с. 1900-1902.

34. Коняев Ю.А. Общий метод асимптотического интегрирования начальных и краевых задач для систем с многочленной сингулярностью. Тезисы докладов на 2-й Всесоюзной конференции по асимптотическим методам, Алма-Ата, 1979,с.67-69.

35. Коняев Ю.А. Об условиях разрешимости краевых задач. Сб. Некоторые вопросы дифференциальных уравнений в решении прикладных задач. Тула, Издательство ТПИ, 1980, с.99-101.

36. Коняев Ю.А. Развитие метода регуляризации для решений начальных и краевых задач с многочленной сингулярностью. Сб. Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Куйбышев, Издательство КГУ, 1980, с.87-98.

37. Коняев Ю.А. Асимптотика фундаментальной матрицы некоторых сингулярно возмущенных уравнений. Сб. Некоторые вопросы дифференциальных уравнений в решении прикладных задач. Тула, Изд-воТПИ,1981,с.6-11.

38. Коняев Ю.А. О существовании периодических решений некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производной. ДАН СССР, 1982, т.264, №1, с.40-44.

39. Коняев Ю.А. Общий подход к асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных начальных и краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, 1984, т.20, №11, с.1999-2003.

40. Коняев Ю.А. Последовательный анализ периодических систем с малым параметром при производной при наличии чисто мнимых (в том числе и тождественно кратных) точек спектра предельного оператора. Дифференциальныеуравнения, 1985,т.21,№6,с. 1085-1089.

41. Коняев Ю.А. О новом подходе к исследованию линейных сингулярно возмущенных задач при наличии тождественно кратных и мнимых точек спектра. Дифференциальные уравнения, 1985,т.21,№10,с.1811-1814.

42. Коняев Ю.А., Мартыненко Ю.Г. Об устойчивости стационарных вращений симметричного твердого тела в переменном магнитном поле. ПММ, 1987, т.51, вып.З, с.375-381.

43. Коняев Ю.А. Исследование многоточечных сингулярно возмущенных задач. Тезисы докладов на Всесоюзном совещании «Методы малого параметра», Нальчик, 1987, с.79.

44. Коняев Ю.А. Асимптотическое интегрирование нелинейных систем. Тезисы докладов на Всесоюзной конференции «Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации», М.,1988,с.50.

45. Коняев Ю.А. Исследование многоточечных краевых задач. Сб. Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Изд-во Илим АН Кирг. ССР, 1988, вып.21, с.212-221.

46. Коняев Ю.А. Теория возмущений в прикладных задачах. М., Изд-во МЭИ, 1990, 60с.

47. Коняев Ю.А. Асимптотический аналог теоремы Флоке -Ляпунова. Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации». М., 1991.

48. Коняев Ю.А. Аналитические методы решения некоторых классов бисингулярных задач. Тезисы докладов 3-й Всесоюзной конференции по асимптотическим методам. Бишкек (Фрунзе), 1991, с.63.

49. Коняев Ю.А. Исследование некоторых классов регулярных и сингулярных краевых задач. Математические заметки, 1992, т.51, вып.2, с.149-151.

50. Коняев Ю.А. Построение контрастных решений сингулярно возмущенных задач. Тезисы докладов научной школы «Современные методы в теории краевых задач». Воронеж. 1992.

51. Коняев Ю.А. Конструктивные методы исследования многоточечных краевых задач. Изв. ВУЗ. Математика, 1992, №2 (357), с.57-61.

52. Коняев Ю.А. Новый алгоритм исследования задачи Штурма-Лиувилля. Тезисы докладов научной школы «Теория функций. Дифференциальные уравнения и математическое моделирование». Воронеж, 1992.

53. Коняев Ю.А. Об одном методе исследования многоточечных краевых задач.СМЖ,1992,т,33,№6,с.87-93.

54. Коняев Ю.А. О точных оценках приближенных решений сингулярно возмущенных начальных и краевых задач. Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики и специальные функции». Самара, 1992.

55. Коняев Ю.А. Об одном методе исследования некоторых задач теории возмущений. Математический сборник. 1993, №12 (184), с.133-144.

56. Коняев Ю.А. Асимптотическое решение сингулярно возмущенной задачи Коши и многоточечных краевых задач. Тезисы докладов Международного совещания «Сингулярные решения и возмущения в системах управления». Переславль-Залесский, 1993.

57. Коняев Ю.А. Сингулярно возмущенные краевые задачи при наличии ненулевых точек спектра предельного оператора. Сибирский математический журнал, 1994, т.35, №1, с.118-123.

58. Коняев Ю.А. Контрастные решения сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач с особенностями. Математические заметки, 1994, т.56, вып.4, с.95-102.

59. Коняев Ю.А. Об одной нелинейной спектральной задаче. Тезисы докладов Вторых Математических чтений МГСУ, 1994, с.41.

60. Коняев Ю.А., Федоров Ю.С. О некоторых сингулярно возмущенных задачах на полуоси. Тезисы докладов Вторых Математических чтений МГСУ, 1994, с.39.

61. Коняев Ю.А. Анализ сингулярно возмущенных задач с одной и двумя подвижными особыми точками. Тезисы докладов Вторых Математических чтений МГСУ, 1994, с.42.

62. Коняев Ю.А. Сингулярно возмущенные задачи с погранслоем смешанного типа. Тезисы докладов Третьих Математических чтений МГСУ, 1995.

63. Ланкастер П. Теория матриц. М., Наука, 1978, 280с.

64. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., Наука, 1981, 400с.

65. Ломов С.А. Степенной пограничный слой в задачах с сингулярным возмущением. Изв. АН СССР, серия матем., 1966, т.30, №3, с.525-572.

66. Ломов С.А., Елисеев А.Г. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных задач. УМН, 1988, т.43, вып.З (261), с.3-53.

67. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М., Изд-во МГУ, 1965, 554с.

68. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М., Наука, 1975, 248с.

69. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М., Наука, 1981, 400с.

70. Мягкова М.П. Асимптотическое решение краевой задачи. Труды МЭИ, 1971, вып.89, с.83-86.

71. Найфе А. Введение в методы возмущений. М., Мир, 1984, 536с.

72. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М., Наука, 1978, 376с.

73. Прохоренко В.И. Построение приближенных и точных решений сингулярно возмущенной задачи Дирихле. Труды МЭИ, 1989, вып.192, с.73-77.

74. Разумейко Б.Г. Об асимптотическом поведении решения краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром. Дифференциальные уравнения, 1971,т.7,№11,с.1998-2006.

75. Раппопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев, Изд-во АН УССР, 1964, 292с.

76. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.Т.4, М., Мир, 1982, 300с.

77. Рожков В.И., Панфилов Н.Г. Краевая задача для линейных систем с малым параметром при производной. Дифференциальные уравнения,1978,т.14,№10,с.1806-1813.

78. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М., Наука, 1971, 288с.

79. Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1977, т.235, №6, с.1274-1276.

80. Сафонов В.Ф. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений. Изв. АН СССР, серия математ., 1979, т.43, №3, с.628-653.

81. Тауфер И. Решение граничных задач для систем линейных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1981, 144с.

82. Территин X.JI. Асимптотическое разложение решений систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Сб. Математика, 1957, т.1, №2, с.29-59.

83. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных. Математ. сб., 1952, т.31 (73), №3, с.576-586.

84. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., Наука, 1980, 496с.

85. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика. УМН, 1970,т.25, вып.4 (154), с.123-156.

86. Тупчиев В.А. Асимптотика решений краевой задачи для системы дифференциальных уравнений первого порядка с малым параметром при производной. ДАН СССР, 1962, т.143, №6, с.1296-1299.

87. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М., Наука, 1970, 564с.

88. Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов математиков. Изд-во ЛГУ, 1980, 200с.

89. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1983, 352с.

90. Фещенко C.B., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. Киев, Наукова Думка, 1966, 252с.

91. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Ташкент, ФАН, 1974, 214с.

92. Фридрихе К. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М., Мир, 1969.

93. Хапаев М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний. М., Высшая школа, 1988, 184с.

94. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Мир, 1970, 720с.

95. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М., Мир, 1989, 656с.

96. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. М., Мир, 1988, 248с.

97. Чезаре Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1964.

98. Шкиль Н.И., Старун И.И., Яковец В.П. Асимптотическое интегрирование линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Киев, Выща Школа,1989, 288с.

99. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М., Наука, 1972, 720с.

100. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М., Наука, 1985, 126с.

101. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969, 528с.

102. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М., Наука, 1970, 672с.

103. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М., Наука, 1988, 432с.

104. Васильева А.Б., Никитин А.Г., Петров А.П. Асимптотический метод исследования контрастных структур и его приложение к теории гидромагнитного динамо. Математическое моделирование, 1995, т. 7, №2, с.61-71.

105. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М., Наука, 1977, 304с.

106. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976, 576с.

107. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М., Наука, 1984, 832с.

108. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М., Л., ОНТИ, 1935, 386с.

109. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М., Наука, 1987, 304с.

110. Коняев Ю.А. Краевые задачи с двойной особенностью. Тезисы докладов Второй международной конференции «Сингулярные решения и возмущения в системах управления». Переславль-Залесский, 1995, с.54.

111. Коняев Ю.А. Сингулярно возмущенные нелинейные краевые задачи при наличии тождественных и нетождественных резонансов. Вестник МЭИ, 1995, №6, с.73-78.

112. Коняев Ю.А. Начальные и краевые задачи с особенностями. Дифференциальные уравнения, 1996, т.32, №3, с.419-421.

113. Коняев Ю.А. Асимптотика решений дифференциальных уравнений с полиноминально периодическими коэффициентами. Вестник МЭИ, 1996, №6, с.79-88.

114. Коняев Ю.А. Федоров Ю.С. Асимптотический анализ некоторых классов сингулярно возмущенных задач на полуоси. Математические заметки, 1997, т.62, вып.1, c.l 11-117.

115. Коняев Ю.А. Сингулярно возмущенные задачи с двойной особенностью. Математические заметки, 1997, т.62, вып.4, с.494-501.

116. Коняев Ю.А. Итерационный метод анализа нелинейных сингулярно возмущенных начальных и краевых задач. Изв. ВУЗ. Математика, 1999, №3, с.38-45.

117. Коняев Ю.А. Структура решения сингулярно возмущенных начально краевых задач с неограниченным спектром предельного оператора. Математические заметки, 1999, т.65, вып.6, с.831-835.

118. Коняев Ю.А. Об однозначной разрешимости некоторых классов нелинейных регулярных и сингулярно возмущенных краевых задач. Дифференциальные уравнения, 1999, т.35, №8, с.1028-1035.

119. Коняев Ю.А. Метод расщепления в теории регулярных и сингулярных возмущений. Изв. ВУЗ. Математика, 2000, №6, с.10-15.

120. Коняев Ю.А. Об одном классе сингулярно возмущенных краевых задач с нестабильным спектром предельного оператора. Дифференциальные уравнения, 2001, т.37, №4, с.558-561.

121. Коняев Ю.А. Анализ сингулярно возмущенных задач методом расщепления. Математическое моделирование, 2001, №12, с.55-57.

122. Дмитриев М.Г. Коняев Ю.А. Асимптотика типа Биркгофа некоторых сингулярно возмущенных задач оптимального управления. Математическое моделирование, 2002, №3, с.27-29.

123. Коняев Ю.А. Алгоритм построения квазирегулярного асимптотического представления решения с/в линейных многоточечных краевых задач с быстрыми и медленными переменными. Изв. ВУЗ. Математика, 2002, №7, с. 14-21.

124. Коняев Ю.А., Мартыненко Ю.Г. Исследование устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений квазиполиномиального типа. «Дифференциальные уравнения», 1998, т.34, №10, с.1427-1429.

125. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа. М.Н.,1979.

126. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.Н., 1967.

127. Морозов В.М., Каленова В.И. Оценивание и управление в нестационарных линейных системах. М., Изд-во МГУ, 1988.

128. Магницкий В.А. Достаточные методы анализа нестационарных управляемых систем. М., Н.,1992.

129. Коняев Ю.А. Достаточные условия устойчивости решений некоторых классов ОДУ в критических случаях. «Дифференциальные уравнения», 1990, т.26, №4, с. 709-712.

130. Коняев Ю.А. О некоторых методах исследования устойчивости. Математический сборник, 2001, т. 192, №3, с. 65-82.

131. Коняев Ю.А. Алгоритм построения квазирегулярного асимптотического представления решения сингулярно возмущенных линейных многоточечных краевых задач с быстрыми и медленными переменными. Изв. ВУЗ, Математика, 2002, №7, с. 27-29.

132. Коняев Ю.А. Метод унитарных преобразований в теории устойчивости. Изв. ВУЗ, Математика, 2002, №2, с. 41-15.

133. Коняев Ю.А. Асимптотическое представление решения уравнения Шредингера для релятивистского и нерелятивистского водородоподобного атома. Тезисы докладов на 5-м Международном конгрессе по Математическому моделированию, Дубна, 2002, с. 63.

134. Коняев Ю.А., Мартыненко Ю.Г., Панфилов Н.Г. Асимптотический аналог теорем о приводимости некоторых классов неавтономных линейных систем Дифференциальные уравнения, 2004, т. 40 , №3, с. 330-333.

135. Коняев Ю.А. Асимптотическое разложение определителя возмущенной матрицы. Математические заметки, 2004, вып. 1, июль, с. 149-151.

136. Коняев Ю.А. Асимптотические и аналитические методы решения некоторых классов прикладных модельных задач (монография). Москва, Изд-во РУДН, 2005,160 с.

137. Коняев Ю.А., Панфилов Н.Г. Асимптотический анализ линейных периодических систем при наличии большого или малого параметра. Изв. ВУЗ, Математика, 2005, № 7, с. 25-29.

138. Коняев Ю.А. Квазирегулярная асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши для линейных систем дифференциальных матричных уравнений, Изв. ВУЗ, Математика, 2005, №4, с. 45-48.

139. Коняев Ю.А. Построение точного решения некоторых сингулярно возмущенных задач для линейных ОДУ со степенным погранслоем. Математические заметки, 2006, т. 79, вып. 6, июнь, с. 950-954.