Асимптотическое поведение решений двухфазовой проблемы микроволнового нагрева в одномерном случае тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Юмагузин, Наиль Юлаевич

• Юмагузин, Наиль Юлаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Юмагузин, Наиль Юлаевич

Введение

1 Технологические и физические модели микроволнового нагрева

1.1 Описание процесса микроволнового нагрева.

1.2 Гипертермия в онкологии.

1.3 Двухфазовость задачи микроволнового нагрева

1.4 Одномерный случай задачи микроволнового нагрева

2 Асимптотическое поведение классических решений одно-фазовой проблемы микроволнового нагрева

2.1 Постановка задачи. Построение динамической системы

2.2 Построение функционала типа Ляпунова. Исследование асимптотического поведения решений.

2.3 Численные результаты.

3 Асимптотическое поведение слабых решений двухфазовой проблемы микроволнового нагрева

3.1 Формулировка задачи. Понятие слабого решения.

3.2 Исследование асимптотического поведения с помощью функционала типа Ляпунова.

3.3 Исследование асимптотического поведения с помощью многозначных полугрупп

3.4 Существование аттрактора многозначной полугруппы

3.5 Численные результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическое поведение решений двухфазовой проблемы микроволнового нагрева в одномерном случае»

В представленной работе изучается асимптотическое поведение решений начально-краевой задачи для парабол ико-гипербол и ческой системы, описывающей процесс нагрева материала под воздействием микроволнового излучения в одномерном случае по пространственной переменной. Такой процесс нагрева под действием микроволнового излучения используется в различных технологических процессах ([28]), а в последнее время более интенсивно в медицине ([29]). В трехмерном случае данный процесс описывается с помощью парной системы из уравнений Максвелла и уравнения теплопроводности. Одномерный случай по пространственной переменной рассматривается в данной работе.

Первая глава работы посвящена рассмотрению некоторых прикладных задач, использующих микроволновый нагрев. В первой части главы описывается устройство широко используемого прибора, нагревающего материал микроволнами (микроволновая печь) и рассматривается применение микроволнового нагрева в медицине для лечения раковых заболеваний путем процедуры гипертермии. Далее, с использованием физических законов, в предложенной работе выводятся основные дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие подобную задачу микроволнового нагрева. Кро.ме того, в данной главе рассматривается комбинирование процедуры гипертермии с криотерапией. Для данной комбинации приводится обобщение выведенных уравнений с учетом двухфазовости материала. Относительно полученных уравнений в частных производных в работе в работеформулируется начально-краевая задача и рассматривается сведение системы к одномерному случаю по пространственной переменной.

Во второй главе рассматривается одномерная задача микроволнового нагрева без учета двухфазовости материала. Для такой задачи сформулированы достаточные условия, при которых существуют единственные гладкие глобальные решения для заданных начальных данных ([60]). Доказывается теорема об асимптотическом поведении решений такой системы нагрева в одномерном случае с использованием функционала типа Ляпунова ([20]), при этом используется метод априорных оценок глобальных решений начально-краевой задачи. Используя свойство глобальности, единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных в соответствующем пространстве, строится динамическая система. Кроме того, приводятся численные результаты, показывающие асимптотическое поведение решений начально-краевой задачи для системы нагрева и подтверждающие полученные теоретические результаты. Соответствующие результаты об асимптотическом поведении решений для однофазовой задачи микроволнового нагрева в одномерном случае были изложены в работе Kalinin Y. N., Reitmann V., Yumaguzin N.Y. [32].

В третьей главе работы изучается двухфазовая задача нагрева с разрывными коэффициентами, учитывающими физические свойства материала. Для учета двухфазовости материала в задаче нагрева используется оператор энтальпии ([47]). Для начально-краевой задачи, описывающей микроволновый нагрев материала, вводится понятие слабого решения системы с помощью интегральных тождеств ([42]) и приводятся условия, при которых для данной начально-краевой задачи существует хотя бы одно глобальное решение при заданных начальных данных. Исследуется асимптотическое поведение таких слабых решений с использованием функционала типа Ляпунова, включающего оператор энтальпии. Кроме того, учитывая возможную неединственность решений для рассматриваемой начально-краевой задачи, в работе используется понятие многозначной полугруппы, обобщающей понятие динамической системы. Показывается существование аттрактора для построенной многозначной полугруппы. В заключение в третьей главе приводятся численные результаты, показывающие асимптотическое поведение решений для двухфазовой задачи нагрева и подтверждающие полученные теоретические результаты. Результаты об асимптотическом поведении слабых решений для двухфазовой задачи с учетом оператора энтальпии приведены в работах Райтманн Ф., Юмагузин Н. Ю. [8] и Reitmann V., Yumaguzin N.Y. [51, 52].

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Юмагузин, Наиль Юлаевич

Заключение

В предложенной работе изучается начально-краевая задача, включающая в себя уравнения в частных производных гиперболического и параболического типов и описывающая процесс нагрева материала под воздействием микроволнового излучения в одномерном по пространственной переменной случае. Исследование процесса микроволнового нагрева является актуальным в силу развития новых технологий, в том числе в медицине для лечения раковых оиухлей. Одним из таких способов является гипертермия, в котором используется мржроволновое излучение для нагрева клеток тканей до критической температуры.

Подобная технологическая постановка прикладной задачи порождает определенные математические проблемы. В частности, нетривиальным является сочетание в начально-краевой задаче уравнений разных типов: гиперболического, описывающего распространение микроволнового излучения и порожденного уравнениями Максвелла, а также параболического, описывающего температуру в материале через уравнение теплопроводности с учетом теплового эффекта. Дополнительные сложности вызывает необходимость рассмотрения разрывных коэффициентов системы, что обусловлено прикладной задачей, так как органический материал может иметь неоднородную структуру. Кроме того, в некоторых случаях возможны вариации в процедуре гипертермии, в результате которых появляется эффект двухфазовости материала, усложняющий вид параболического уравнения добавлением оператора энтальпии. В совокупности данные особенности поо рождают достаточно специфическую задачу, для изучения которой требуется развитие существующих математических методов.

Данная работа посвящена изучению асимптотического поведения начально-краевой задачи нагрева с учетом указанных выше особенностей. Первым результатом для этой задачи, без учета разрывных коэффициентов и двухфазовости материала, является теорема о сходимости произвольного классического решения системы нагрева к стационарному решению. Первые результаты об асимптотическом поведении для задачи в условиях однофазовости с непрерывными коэффициентами системы были получены в работе Yin Н.-М. [60]. Результаты настоящей диссертационной работы были получены с использованием других методов, которые применимы и для двухфазовой задачи с разрывными коэффициентами, для которой были доказаны аналогичные результаты о сходимости слабых решений к стационарному решению. Приведены результаты численных экспериментов, подтверждающие полученные теоретические результаты.

В рамках диссертации для задачи нагрева в условиях неединственности существования слабого решения был предложен метод построения многозначной полугруппы для системы и доказано существование определенного типа аттрактора. Данные результаты продолжают исследование, приведенное в работах Kapustyan A.V., Melnik V.S., Valero J. [33], Melnik V. S., Valero J. [431 для общих динамических систем.

При дальнейшем исследовании асимптотики решений задачи нагрева целесообразным будет рассматривать более общие предположения относительно начально-краевой задачи, в частности рассматривать неоднородные краевые условия. Также естественным обобщением является исследование задачи в трехмерном случае.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Юмагузин, Наиль Юлаевич, 2012 год

1. Каменномостская С. JI. О задаче Стефана // Математический сборник. 1963. Т. 53, №4. С. 89-108.

2. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

3. Ландау Л., Лифшиц Е. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

4. Лихтарников А. Л., Якубович В. А. Дихотомия и устойчивость неопределенных нелинейных систем в гильбертовых пространствах // Алгебра и анализ. 1997. Т. 9, вып. 6. С. 132-155.

5. Мейрманов А. М. Периодические решения двухфазовой задачи Стефана // Динамика жидкости со свободными границами. Вып. 57. С. 35-40.

6. Олейник O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана // Доклады Академии Наук СССР. 1960. Т. 135, №5. С. 1054-1057.

7. Райтманн Ф., Юмагузин Н. Ю. Асимптотическое поведение решений двухфазовой задачи микроволнового нагрева в одномерном случае

8. Вестник Санкт-Петербургского Университета. 2012. Сер. 1. Вып.З. С. 59-62.

9. Серкова Н. Д. Двухфазовая задача нагрева неоднородного материала / Дипломная работа. Санкт-Петербургский Государственный Университет, 2011.

10. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматлит, 2001. Т.2. 810 с.

11. Aronson D., Crandall М. G., Peletier L.A. Stabilization of solutions of a degenerate nonlinear diffusion problem // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 1982. Vol. 6, №10. P. 1001-1022.

12. Ball J. M. On the asymptotic behavior of generalized processes, with applications to nonlinear evolution equations // Journal of Differential Equations. 1978. Vol.27. P. 224-265.

13. Bertsch M., Gurtin M.E., Hilhorst D. On a degenerate diffusion equation of the form c(z)t = <p(zx)x with application to population dynamics // •Journal of Differential Equations. 1987. Vol. 67. P. 56-89.

14. Boichenko V.A., Leonov G.A., Reitmann V. Dimension theory for ordinary differential equation. Berlin: Teubner, 2005. 441 p.

15. Cannon J. R., DiBenedetto E. On the existence of weak solutions to an n-dimensional Stefan problem with nonlinear bondary conditions // SIAM J. Math. Anal. 1978. Vol. 11, №4. P. 632-645.

16. Chueshov I. A reduction principle for coupled nonlinear parabolic-hyperbolic PDE // Journal of evolution equations. 2004. Vol. 4. P.591-612.

17. Cooper Т.Е., Trezek G.J. Rate of lesion growth around spherical and cylindrical cryoprobes // Cryobiology. 1971. Vol. 7, №4. P. 183-190.

18. Crandall MG., Ligett TM. Generation of semi-groups of nonlinear transformations on general Banach spaces // American Journal of Mathematics. 1971. Vol.93, №'2. P.265-298.

19. Crandall MG., Pazy A. Nonlinear evolution equations in Banach spaces //' Israel Journal of Mathematics. 1972. Vol. 11, № 1. P.57-94.

20. Dafermos С. M. Asymptotic behavior of solutions of evolution equations // Nonlinear evolution equations. New York: Academic Press. 1978. P. 103— 123.

21. Damlamian A. Some results on the multi-phase Stefan problem // Communications in Partial Differential Equations. 1977. Vol.10, №2. P. 1017-1044.

22. Damlamian A., Kenmochi N. Asymptotic behavior of solutions to a multiphase Stefan problem // Japan J. Appl. Math. 1986. Vol.3. P. 15-36.

23. Deng Z.-S., Liu J. Modeling of multidimensional freezing problem during cryosurgery by the dual reciprocity boundary element method // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2004. Vol. 28. P. 97-108.

24. Encylopedia Britannica Электронный ресурс] Режим доступа: URL: http://www.britannica.com/EBchecked/topic/183692 (дата обращения: 18.07.2012).

25. Feireisl Е. Strong decay for wave equations with nonlinear nonmonotonedamping // Nonlinear Analysis: Theory, Methods k Applications. 1993. Vol.21, №1. P. 49-63.

26. Friedmann A. The Stefan problem in several space variables // Transactions of the American Mathematical Society. 1968. Vol. 133, №1. P.51-87.

27. Glassey R., Yin H.-M. On Maxwell's equations with a temperature effect, II // Communications in Mathematical Physics. 1997. Vol. 194. №2. P.343-358.

28. Grundas S. Advances in induction and microwave heating of mineral and organic materials. Rijeka: InTech, 2011. 752 p.

29. Habash R., Bansal R. Thermal therapy, part 2: hyperthermia process // Critical Reviews in Biomedical Engineering. 2006. Vol. 34. №6. P. 491-542.

30. Ishii H. Asymptotic stability and existence of almost-periodic solutions for the one-dimensional, two-phase Stefan problem // Math. Japonica. 1980. Vol.25. P. 379-393.

31. Jochmann F. Asymptotic behaviour of solutions to a class of semilinear hyperbolic systems in arbitrary domains // Journal of Differential Equations. 2000. Vol. 160. P. 439-466.

32. Kalinin Y. N. Reitmann V., Yumaguzin N.Y. Asymptotic behavior of Maxwell's equation in one-space dimension with termal effect // Discrete and Continuous Dynamical Systems Supplement 2011. 2011. Vol.2. P. 754-762.

33. Kapustyan A.V., Melnik V. S., Valero J. Attractors of multivalued dynamical processes generated by phase-field equations /'/ International Journal of Bifurcation and Chaos. 2003. Vol. 13, № 7. P. 1969-1983.

34. Kenmochi N., Yamazaki N. Global attractor of the multivalued semigroup associated with a phase-field model of grain boundary motion with constraint /7 Discrete and Continuous Dynamical Systems Supplement 2011. 2011. Vol.2. P. 824-833.

35. Kriegsmann G. A. Microwave heating of dispersive media // SIAM J. App. Math. 1993. №53. P. 655-669.

36. Kubo M., Yamazaki N. Elliptic-parabolic variational inequalities with time-dependent constraints // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2007. Vol. 19, №2. P.335-359.

37. Kumar S., Katiyar V. Numerical study on phase change heat transfer during combined hyperthermia and cryosurgical treatment of lung cancer // Int. J. of Appl. Math and Mech. 2007. Vol.3, №3. P. 1-17.

38. Langa J. A. Asymptotically finite dimensional pullback behaviour of non-autonomous PDEs // Archiv der Mathematik. 2003. Vol.80, №5. P. 525535.

39. Leonov G.A., Burkin I.M., Shepelyavy A.I. Frequency methods in oscillation theory. Dordrecht: Kluwer, 1996. 403 p.

40. Manoranjan V. S., Showalter R., Yin H.-M. On two-phase Stefan problem arising from a microwave heating process // Discrete and Cont. Dyn. Sys. Seiies A. 2006. Vol.4, №15. P. 1155-1168.

41. Melnik V. S., Valero J. On attiactors of multivalued semi-flows and differential inclusions // Set-Valued Analysis. 1998. №6. P. 83-111.

42. Morgan J. Global existence for semilinear parabolic systems // SI AM J. Math. Anal. 1989. Vol. 20. №5. P. 1128-1144.

43. Morgan J. Boundedness and decay results for reaction-diffusion systems // SIAM J. Math. Anal. 1990. Vol.21. №5. P. 1172-1189.

44. Morgan .J., Yin H.-M. On Maxwell's system with a thermal effect //' Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B. 2001. Vol.1. P. 485-494.

45. Niezgodka M., Pawlow I. Optimal control for parabolic systems with free boundaries existence of optimal controls, appioximation lesults // Lecture Notes in Control and Information Sciences. 1980. Vol.22. P. 412420.

46. Niezgodka M., Pawlow I. A generalized Stefan problem in several space variables // Appl. Math. Optim. 1983. Vol.9. P. 193-224.

47. Pilyugin S. Yu. The space of dynamical systems with the C0-topologv. New-York: Springer-Verlag, 1994. 188 p.

48. Reitmann V., Yumaguzin N.Y. Frequency-domain conditions for convergence to the stationary set in coupled PDEs / Abstracts of "The 8th AIMS Conference on Dynamical Systems. Differential Equations and Applications". 2010. Dresden. Germany. P. 305.

49. Reitmann V., Yumaguzin N.Y. Stability analysis for Maxwell's equation with a thermal effect in one space dimension // Journal of Mathematical Sciences. 2012. Vol. 46. Accepted for publication.

50. Sato N., Shirohzu J., Kenmochi N. Asymptotic behavior for nonlinear systems of phase transitions // RIMS Kokyuroku. 1995. Vol.891 P. 146156.

51. Sell G. R. Lectures on topological dynamics and differential equations. London: Van Nostrand Reinhold, 1971. 199 p.

52. Sell G.R. Differential equations without uniqueness and classical topological dynamics // Journal of Differential Equations. 1973. Vol.14. P. 42-56.

53. Shamsundar N., Sparrow E. VI. Analysis of multidimensional conduction phase change via the enthalpy model // Journal of Heat Transfer. 1975. Vol. 97. P. 333-340.

54. Stedry M, Vejvoda 0. Time periodic solutions of a one-dimensional two-phase Stefan problem // Annali di Matematica Pura ed Applicata. 1981. Vol. 127, №1. P. 67-78.

55. Wei W., Yin H.-M. Global solvability to a singular nonlinear Maxwell's equation in quasi-stationary electromagnetic fields // Communication in Pure and Applied Analysis. 2005. Vol.4. P.431-444.

56. Yin H.-M. Global solutions of Maxwell's equations in an electromagnetic field with the temperature-dependent electrical inductivity // European Journal of Appl. Math. 1994. Vol.5. P. 57-64.

57. Yin H.-M. On Maxwell's equations in an electromagnetic field with the tempeiature effect // SIAM J. of Mathematical Analysis. 1998. Vol.29. P. 637-651.

58. Yin H.-M. Regularity of weak solution to Maxwell's equations and applications to microwave heating // Journal of Differential Equations. 2004. Vol.200. P. 137-161.