Перечисление накрытий трехмерных многообразий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Шматков, Михаил Николаевич

• Шматков, Михаил Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шматков, Михаил Николаевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, КОНСТРУКЦИИ

И МЕТОДЫ

1.1 Фундаментальная группа и накрытия.

1.2 Фундаментальные группы отдельных классов трехмерных многообразий.

1.2.1 Расслоения Зейферта.

1.2.2 Евклидовы пространственные трехмерные формы

1.3 Подгруппы с наперед заданной факторгруппой.

1.4 Транзитивные представления группы в Sn и ее подгруппы индекса п.

1.5 Мультипликативные функции и их основные свойства.

Глава 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ НАКРЫТИЯ ОТДЕЛЬНЫХ

КЛАССОВ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

2.1 Вывод формул для подсчета циклических накрытий над расслоениями Зейферта без особых слоев.

2.1.1 Предварительные построения и результаты.

2.1.2 Дальнейшие преобразования и вычислительные примеры

2.2 Вывод формул для подсчета циклических накрытий над евклидовыми пространственными трехмерными формами

Глава 3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ НАКРЫТИЯ РАССЛОЕНИЙ

ЗЕЙФЕРТА

3.1 Вспомогательные обозначения и результаты

3.2 Расслоения Зейферта типа (О,о).

3.3 Расслоения Зейферта типов (О,n), (N,n,II) (N,n,III)

3.4 Расслоения Зейферта типа (N,o).

3.5 Расслоения Зейферта типа (N,n,I) .4.

Глава 4. ПОДГРУППЫ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ГРУПП

ТРЕХМЕРНЫХ ЕВКЛИДОВЫХ ФОРМ

4.1 Подготовительные результаты

4.2 Многообразия классов М.\ и М.2.

4.3 Многообразия классов Мз, М4, и М&.

4.4 Многообразия классов A/i и Л/3.

4.5 Многообразия классов Л/2 и Л/4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Перечисление накрытий трехмерных многообразий»

Данная работа посвящена исследованию проблемы перечисления накрытий многообразий малых размерностей.

Начало систематическому изучению (разветвленных) накрытий римано-вых поверхностей, а в дальнейшем — и многообразий более высоких размерностей, было положено в классических работах А. Гурвица, относящихся к концу XIX века. Предпосылкой для таких исследований явилось то, что первоначально римановы поверхности определялись как разветвленные накрытия над расширенной комплексной плоскостью. Из такого определения, в частности, впервые была получена классическая формула Римана-Гурвица, связывающая род поверхности с родом ее накрывающей, а также с порядками и числом точек ветвления. Эта формула лежит в основе всех современных исследований по теории компактных римановых поверхностей.

При таком определении римановой поверхности последняя получается как результат склейки соответствующих берегов некоторого числа плоскостей с разрезами. Тем самым, число разветвленных нактрытий с фиксированным типом ветвления соответствует числу комбинаторных способов склейки таких плоскостей с разрезами.

В своей ставшей уже классической работе [72] А. Гурвиц в 1891 году определил производящую функцию для числа неэквивалентных накрытий заданной кратности над римановой сферой, имеющих заданное число простых точек ветвления (порядка 2). В 1900 году в частной беседе М. Ласкер посоветовал А. Гурвицу использовать в своих исследованиях теорию характеров, которая уже была развита к тому времени Г. Фробениусом [39]. Развивая идеи этой беседы, в работе 1902 года [73] А. Гурвиц показал, что полученная им ранее производящая функция достаточно просто выражается через неприводимые характеры симметрической группы.

Методами, не использующими теорию характеров, X. Рёрл [106] получил верхнюю и нижнюю оценки для числа неэквивалентных накрытий над компактной римановой поверхностью, имеющих заданный тип ветвления. Е. Ллойд [84] при несколько ином определении эквивалентности получил производящую функцию для числа неэквивалентных регулярных накрытий над римановой сферой с циклической группой преобразований наложения Zp для простого р > 2.

В цикле работ [25, 26, 28, 29, 31, 90] А.Д. Медных, развивая идеи А. Гур-вица, получил полное решение задачи о числе неэквивалентных неразветв-ленных накрытий заданной кратности над произвольной компактной римановой поверхностью. Им же в работах [27, 30] полностью решена восходящая к А. Гурвицу задача о числе неэквивалентных накрытий над произвольной компактной римановой поверхностью с заданным типом ветвления (задача Гурвица). В указанной работе в случае, когда род поверхности стремится к бесконечности, получена асимптотика, из которой следует, что верхняя оценка X. Рёрла [106] на порядок выше, а нижняя соответственно на порядок ниже истинного числа накрытий. Продолжая свои исследования в этой области, в работе [91] он рассмотрел частный случай задачи Гурвица, когда порядки ветвления совпадают с кратностью накрытия, и привел полученные им ранее формулы к виду, более пригодному для непосредственных вычислений.

Ранее в работе [62] были получены необходимые и достаточные условия существования накрытий с заданным типом ветвления над компактной поверхностью с неположительной эйлеровой характеристикой. Аналогичный вопрос для разветвленных накрытий над сферой и проективной плоскостью оставался открытым. Полученное А.Д. Медных [30] решение задачи Гурвица позволяет по типу ветвления и по таблицам характеров симметрических групп ответить на вопрос о существовании накрытий и в двух оставшихся случаях.

Г. Джонс, используя определенную Ф. Холлом на решетке подгрупп произвольной конечной группы G функцию Мёбиуса hq [67], разработал метод подсчета числа нормальных подгрупп произвольной конечно порожденной группы с наперед заданной конечной факторгруппой и применил его к фундаментальным группам поверхностей и неевклидовым кристаллографическим группам, а также получил с его помощью решение задачи о числе неэквивалентных циклических накрытий компактных римановых поверхностей [75, 76].

М. Коркмаз [78], рассмотрев задачу о порождающих элементах группы классов отображений поверхности, получил конечное число порождающих в случае неориентируемой проколотой поверхности. В частности, им установлено, что если поверхность имеет по крайней мере два прокола, то с точностью до сопряжения имеются четыре порождающих.

В работе [47] предложено чисто геометрическое, основанное на результатах теории квазиконформных отображений, решение задачи о существовании разветвленного накрытия над двумерной сферой с наперед заданным типом ветвления, решенной ранее А.Д. Медных алгебраическими методами с привлечением теории характеров [30].

Постепенно методы, разработанные и успешно применяемые в двумерном случае, стали переноситься в область исследования трехмерных многообразий. Здесь следует отметить цикл работ В.А. Лисковца и А.Д. Медных [81, 82, 83]. В данных работах авторы, применяя разработанный ими для этой цели алгебраический подход, основанный на транзитивном представлении конечно порожденной группы в симметрической группе Sn, получили формулы для отыскания числа подгрупп заданного индекса фундаментальных групп расслоений Зейферта без особых слоев для четырех из шести классов расслоений Зейферта, которое тесно связано с числом накрытий указанных многообразий.

К сожалению, на данный момент в этом направлении не удалось достичь большего продвижения и получить результаты для числа накрытий над указанными многообразиями, а также расширить класс рассматриваемых 3-мно-гообразий. Вызвано это целым рядов обстоятельств, среди которых наиболее значимыми являются, во-первых, значительно большая сложность строения фундаментальных групп 3-многообразий по сравнению с двумерной ситуацией, и, во-вторых, отсутствие в настоящее время единой классификации всех 3-многообразий, что вызывает необходимость поиска своих подходов к каждому из известных классов 3-многообразий.

Повышенный интерес в последние годы к решениям задачи Гурвица, различных ее вариаций и связанных с ними задач обусловлен как потребностями развития теории, так и многочисленными приложениями таких результатов в различных областях современной науки — начиная с чистой и прикладной математики и заканчивая теоретической физикой, при исследовании соли-тонных решений, и теорией струн.

Так, например, авторы работы [96] открыли интересную связь между задачей Гурвица и интегралами Ходжа. Вводя в рассмотрение потенциалы

Громова-Виттена и используя результаты А.Д. Медных о числе разветвленных накрытий над римановыми поверхностями [30, 91], авторы получили порождающую функцию для простых чисел Гурвица в терминах теории представлений симметрической группы Sn. На этой основе авторами получена порождающая функция для интегралов Ходжа на фазовом пространстве римановых поверхностей с двумя отмеченными точками.

В работе [79] авторы, интерпретируя число разветвленных накрытий рима-новой поверхности римановой поверхностью как соответствующий инвариант Громова-Виттена и применяя формулу склейки, вывели рекурсивное соотношение для числа указанных накрытий с элементарными точками ветвления и наперед заданным типом ветвления над особой точкой.

В работе [61] получены формулы для вычисления объемов фазовых пространств голоморфных дифференциалов, исходя из интерпретации указанных объемов как асимптотических значений числа связных разветвленных накрытий тора, когда их степень стремится к бесконечности, а тип ветвления зафиксирован. Указанные результаты находят применение в задачах, связанных с биллиардами в рациональных полигонах, а также находятся в связи с интервальными обменами и экспонентами Ляпунова геодезического потока Тейхмюллера.

В настоящей работе продолжен цикл исследований комбинаторных аспектов теории накрытий многообразий малых размерностей, начатый в указанных выше работах. При этом, особое внимание уделено рассмотрению трехмерных многообразий.

В связи с тем, что в настоящее время не существует единой классификации трехмерных многообразий, в настоящей работе рассматрвиаются отдельные замкнутые классы 3-многообразий. Одним из таких естественных классов является класс компактных связных плоских трехмерных римановых многообразий, то есть трехмерных евклидовых форм.

Еще из фундаментальных результатов J1. Бибербаха [48, 49] о кристаллографических группах в n-мерном евклидовом пространстве следует, что в i

I каждой размерности существует лишь конечное число негомеоморфных ев клидовых пространственных форм (то есть связных полных римановых пространств постоянной нулевой кривизны), причем каждая из них допускает конечнолистное накрытие тором той же размерности.

В трехмерном случае впервые все десять негомеоморфных евклидовых форм были приведены в работе В. Ханцше и Г. Вендта [68]. В этой работе бы* ла дана топологическая характеризация указанных многообразий, приведены копредставления фундаментальных групп этих многообразий, а также указаны их порождающие в группе движений трехмерного евклидова пространства Е3. Необходимо отметить, что отдельные трехмерные евклидовы формы появлялись и ранее указанной работы в исследованиях других математиков. Однако, последняя неизвестная в то время трехмерная евклидова форма, принадлежащая классу Л4$ в обозначениях настоящей работы (см. п. 1.2.2), была приведена впервые именно в работе [68], в связи с чем она и получила впоследствии название многообразия Ханцше-Вендта.

Несмотря на достаточно продолжительную историю исследования трехмерных евклидовых форм, в последние несколько лет интерес к их изучению резко возрос в связи с рядом результатов, устанавливающих связь этих объектов с другими областями современной науки. Среди указанных результатов отметим следующие. k

Недавно Д. Лонгом и А. Ридом [85] было установлено, что для любого п > 2 каждая евклидова n-форма с точностью до диффеоморфизма возникает как сечение некоторого каспа подходящего гиперболического (п -f- 1)-орбифолда. Этот результат дает частичный ответ на вопрос, поставленный Ф. Фарреллем и С. Здравковской [64], о том, является ли каждое плоское п-многообразие с точностью до диффеоморфизма сечением каспа подходящего гиперболического (п + 1)-многообразия конечного объема с одним каспом (оговорка «с точностью до диффеоморфизма» вызвана известным следствием из теоремы жесткости Мостова, в соответствии с которым существуют некоторые алгебраичесие ограничения на изометрический тип плоского п-многообразия, которое может возникать как сечение каспа гиперболического (п + 1)-многообразия конечного объема). * В трехмерном случае в данной области известно нечто большее. А именно, в работе [99] установлено, что каждая евклидова трехмерная форма получается как сечение каспа гиперболического 4-многообразия. Однако, при этом, все же, нельзя утверждать, что число каспов равно единице. Кроме того, в трехмерном случае известен результат Дж. Рэтклифа и С. Чанца, полученный ими в работе [105]. Здесь при помощи специально разработанной для этих целей компьютерной программы построен перечень из 1171 ги-» перболического 4-многообразия минимального объема, каждое из которых получается отождествлением соответствующих сторон идеальной 24-клетки в гиперболическом пространстве Н4. Эти многообразия являются простейшими среди полных гиперболических 4-многообразий конечного объема. С помощью этой серии многообразий авторы доказывают, что спектр объемов гиперболических 4-многообразий есть множество всех положительных целочисленных кратных числа 47г2/3 (таким образом, в четырехмерном гипербо-► лическом случае ситуация аналогична двумерному, поскольку уже более ста лет известно, что спектр объемов гиперболических 2-многообразий есть множество всех положительных целочисленных кратных числа 2-п). При этом, в частности, установлено, что все трехмерные евклидовы формы, за исключением классов Л4з, М.4, М-ъ в обозначениях настоящей работы, возникают с точностью до диффеоморфизма как сечения каспов указанных гиперболических 4-многообразий.

Отметим здесь также некоторые связи трехмерных евклидовых форм с теорией спектра оператора Лапласа-Бельтрами Д(/) = —divgrad(/). Данный оператор возникает в математической физике в связи с волновым уравнением и уравнением теплопроводности.

В первой половине XX века интерес в изучению спектра оператора Лапласа-Бельтрами был вызван предположением о том, что собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами, заданного на двумерной области М, полностью определяют геометрию М. Такое предположение было во многом обусловлено результатом Г. Вейля [120], которым было установлено, что спектр оператора Лапласа-Бельтрами на М определяет такой важный геометрический инвариант М, как объем vol(M). В популярной форме этот вопрос был сформулирован М. Кацем [77] так: «Можно ли услышать форму барабана?».

На строгом математическом языке указанная проблема формулируется следующим образом: если многообразия М и М' изоспектральны, то следует ли отсюда, что они изометричны? При этом два многообразия М и М' называются из о спектральными, если спектры оператора Лапласа-Бельтрами на Ми М' совпадают.

Первый отрицательный ответ на этот вопрос был получен в 1964 году Дж. Милнором [93], которым были построены два 16-мерных изоспектраль-ных, но не изометричных тора. Однако, в двумерном случае Р. Бруксом в 1988 году [56] было установлено, что два двумерных тора изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны. Оказывается, отрицательный ответ получается уже в четырехмерном случае. А именно, в 1990 году А. Шиманом [111] были построены два четырехмерных изоспектральных неизометричных тора. Затем им же в 1997 году [112] было доказано, что в размерности три два тора изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны.

Естественно возникает вопрос о том, как разрешается упомянутая проблема в классе всех компактных связных плоских трехмерных римановых многообразий, то есть трехмерных евклидовых форм.

В 2002 году Р. Исангуловым [12] было установлено, что любые две го-меоморфные трехмерные евклидовы формы изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны, то есть в каждом из классов A4i, ., Л4б, A/i, ., ЛГ4 в обозначениях настоящей работы (см. п. 1.2.2) изоспектраль-ность эквивалентна изометричности.

После упомянутого результата открытым оставался вопрос о том, могут ли быть изоспектральными две трехмерные евклидовы формы из разных классов (неизометричными они будут автоматически).

Положительный ответ на поставленный вопрос был получен Дж. Конвеем и Дж. Розетти [57, 58], которыми были построены изоспектральные многообразия классов и Л4q в обозначениях настоящей работы.

Отдельного внимания заслуживает результат Т. Сунады [116]. Им был открыт общий метод построения пар изоспектральных неизометричных многообразий. Метод Т. Сунады основан на рассмотрении римановых накрытий и сведении исходной задачи к исследованию определенных конечных групп. В связи с результатами Т. Сунады закономерно возникает вопрос о числе классов изоспектральных накрытий заданной кратности над произвольным римановым многообразием. Однако, несмотря на идейную близость к исследуемой в настоящей работе проблеме, в настоящее время нет даже подходов к решению задачи о перечислении классов изоспектральных накрытий.

Другим рассматриваемым в настоящей работе классом трехмерных многообразий являются расслоения Зейферта.

Многообразия, получившие впоследствии название расслоений Зейферта (многообразий Зейферта, расслоенных пространств Зейферта), первоначально были введены и классифицированы Г. Зейфертом в 1933 году в работе [109] в связи с попыткой решения проблемы классификации трехмерных многобра-зий. С тех пор этот класс многообразий был широко изучен. Несмотря на это, различные аспекты многообразий Зейферта продолжают изучаться и до сих пор [44].

Такой интерес к изучению указанного класса многообразий вызван тем, что многообразия Зейферта представляют собой очень важный класс трехмерных многообразий. Это объясняется несколькими причинами.

С одной стороны, класс многообразий Зейферта довольно широк. Если, например, взять лист бумаги и нарисовать на нем диаграмму Хегора какого-нибудь трехмерного многообразия, то оно почти наверняка окажется многообразием Зейферта. Дело в том, что на листе бумаги можно изобразить не слишком сложную диаграмму, а все такие диаграммы задают либо многообразия Зейферта, либо их связные суммы.

С другой стороны, наличие структуры расслоения Зейферта открывает пути их систематического изучения. Можно сказать, что многообразие Зейферта ведет себя поддающимся контролю образом в направлении слоев, и остается изучить его поведение в перпендикулярном двумерном направлении. В этой связи с геометрической точки зрения можно представлять себе расслоение Зейферта как своего рода слоение над двумерным орбифолдом со слоем окружность.

Необходимо также отметить, что многообразия Зейферта важны и с точки зрения геометрии и топологии произвольных трехмерных многообразий.

Известно, что все замкнутые трехмерные многообразия, геометризуемые по образцу шести из всех восьми возможных трехмерных геометрий, открытых У. Тёрстоном [118], являются расслоениями Зейферта (исключение составляют лишь геометрии Н3 и Sol). Более того, в каждом неприводимом трехмерном многообразии с непустым несжимаемым краем можно выделить однозначно определенное так называемое характеристическое подмногообразие Зейферта, дополнение к которому обладает рядом интересных свойств. Например, каждая компонента дополнения имеет гиперболическую структуру — это утверждение составляет содержание доказанной части знаменитой геометризационной гипотезы Тёрстона.

Интересно также обобщенное понятие расслоения Зейферта, когда допускается наличие слоев, являющихся неориентируемыми окружностями. Это определение является более общим, чем исходное определение Зейферта. В этом обобщенном смысле компактное трехмерное многообразие представляет собой слоение Зейферта тогда и только тогда, когда оно допускает слоение на окружности (без каких либо ограничений на взаимное расположение слоев). Эти более общие слоения Зейферта рассматривались, в частности, в работах П. Орлика и Ф. Раймона [101], а также Р. Финтушела [65]. Известны также и другие обобщения понятия расслоения Зейферта.

Наконец, представляет интерес установленный в цикле работ [119, 107, 108, 50, 51] тот факт, что если два расслоения Зейферта гомотопически эквивалентны (то есть их фундаментальные группы изоморфны), то сами многообразия гомеоморфны. Таким образом, среди расслоений Зейферта нет контрпримера гипотезе Пуанкаре.

Кроме того, в работе [107] устанавливается свойство своего рода замкнутости класса расслоений Зейферта относительно накрытий. А именно, если М — замкнутое ориентируемое неприводимое трехмерное многообразие с бесконечной фундаментальной группой, допускающее конечнолистное накрытие расслоением Зейферта, то 3VC само является расслоением Зейферта.

В настоящей работе продолжается исследование указанных классов трехмерных многообразий с несколько иной точки зрения, которая, по нашему мнению, недостаточно развита в существующих работах в этой области. А именно, нас интересуют комбинаторные аспекты этих многообразий.

Методика исследования. В работе широко используются методы теории групп, теории представлений симметрических групп, теории характеров, алгебраической топологии, комбинаторные методы и методы теории мультипликативных функций.

Научная новизна и практическая ценность работы. В диссертации получены следующие основные результаты:

I. Получены формулы для отыскания числа неэквивалентных циклических накрытий заданной кратности над расслоениями Зейферта без особых слоев.

II. Получены формулы для подсчета числа указанных накрытий над компактными связными плоскими трехмерными римановыми многообразиями, а также найден критерий существования циклических накрытий над многообразием Ханцше-Вендта.

III. Полностью решена задача перечисления неэквивалентных циклических накрытий фиксированной кратности для класса всех расслоений Зейферта.

IV. Выведены формулы для подсчета числа подгрупп заданного индекса в фундаментальных группах трехмерных евклидовых форм.

Все полученные результаты являются новыми, снабжены полными доказательствами и могут быть использованы для дальнейшего развития теории многообразий малых размерностей, геометрической топологии и теории групп.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики СО РАН им. С.Л.Соболева под руководством академика РАН, профессора Ю.Г. Решетняка, семинарах Института математики СО РАН «Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах» под руководством профессора А.Д. Медных, «Геометрия, топология и их приложения» под руководством член-корреспондента РАН, профессора И. А. Тайманова, «Эварист Галуа», а также докладывались на XXXIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», посвященной 70-летию академика В.А. Коп-тюга (г. Новосибирск, 2001), Международной конференции «Мальцевские чтения» (г. Новосибирск, 2001), XL Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2002), Международной конференции-школе по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова (1912-1999) (г. Новосибирск, 2002), Третьей межрегиональной конференции по математическому образованию на Алтае (г. Барнаул, 2002), Международной конференции по теории чисел и арифметической геометрии (г. Вейхай, Китай, 2002), XLI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2003), Международной школе-конференции «Комбинаторика, топология, выпуклость: их общие точки» (г. Иерусалим, Израиль, 2003), Пятой международной конференции по геометрии и топологии, посвященной памяти А.В. Погорелова (1919-2002) (г. Черкассы, Украина, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [123] - [131].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 176 страницах, состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 131 наименования, содержит 12 рисунков и 9 таблиц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шматков, Михаил Николаевич, 2004 год

1. Александров А.Д., Решетник Ю.Г. Поворот кривой в п-мерном евклидовом пространстве // Сиб. мат. журн. - 1988. - Т. 29, № 1. - С. 3-22.

2. Апанасов Б.Н. Дискретные группы преобразований и структуры многообразий. Новосибирск: Наука, 1983. - 242 с.

3. Бердон А. Геометрия дискретных групп: Пер. с англ. М.: Наука, 1986. - 304 с.

4. Берже М. Геометрия: Пер. с франц. М.: Мир, 1984. - Т. 1. - 560 е.; Т. 2. - 368 с.

5. Винберг Э.Б., Шварцман О.В. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны. Соврем, пробл. матем. Фу идам, направления. - Т. 29. - М.: ВИНИТИ, 1988. - С. 147-259.

6. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1988. - 143 с.

7. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны: Пер. с англ. М.: Наука, 1982. - 480 с.

8. Гельфанд С.И., Манин Ю.И. Методы гомологической алгебры. Т. 1. -М.: Наука, 1988. - 416 с.

9. Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел: Пер. с англ. М.: Наука, 1971. - 200 с.

10. Ершов Ю.Л. Свойства решеток, сохраняющиеся при свободных произведениях // Алгебра и логика. 2000. - Т. 39, № 1. - С. 66-73.

11. Зейферт Т., Трельфалль В. Топология: Пер. с нем. М.: ГОНТИ, 1938. - 400 с.

12. Исангулов P.P. Изоспектральные плоские 3-многообразия: Маг. дисс. -Новосибирск: НГУ, 2002. 41 с.

13. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. - 288 с.

14. Коксетер Г.С.М. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966. - 648 с.

15. Коксетер Г., Мозер У. Пороэюдающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп: Пер. с англ. М.: Наука, 1980. - 240 с.

16. Коробов А.А. Базы тождеств некоторых треугольных линейных групп. Препринт ИМ СО РАН. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1992. - 35 с.

17. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. - 495 с.

18. Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов: Пер. с англ. М.: Мир, 1967. - 348 с.

19. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. - 448 с.

20. Лисковец В.А. К перечислению подгрупп свободной группы // Докл. АН БССР. 1971. - Т. 15, № 1. - С. 6-9.

21. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. Представление групп в терминах образующих и соотношений: Пер. с англ. М.: Наука, 1974. - 455 с.

22. Маклейн С. Гомология: Пер. с англ. М.: Мир, 1966. - 543 с.

23. Масси У., Столлингс Дж. Алгебраическая топология: Пер. с англ. М.: Мир, 1977. - 343 с.

24. Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. М.: Изд-во МГУ, 1991. - 301 с.

25. Медных А.Д. Определение числа неэквивалентных накрытий над компактной римановой поверхностью // Докл. АН СССР. 1978. - Т. 239, № 2. - С. 269-271.

26. Медных А.Д. О неразветвленных накрытиях компактных поверхностей // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 244, № 3. - С. 529-532.

27. Медных А.Д. Разветвленные накрытия римановых поверхностей/. Канд. дис. Новосибирск: Ин-т мат., 1979. - 104 с.

28. Медных А.Д. К решению задачи Гурвица о числе неэквивалентных накрытий над компактной римановой поверхностью // Докл. АН СССР. 1981. - Т. 261, № 3. - С. 537-542.

29. Медных А.Д. К задаче Гурвица о числе неэквивалентных накрытий над компактной римановой поверхностью // Сиб. мат. журн. 1982. -Т. 23, № 3. - С. 155-160.

30. Медных А.Д. Неэквивалентные накрытия римановых поверхностей с заданным типом ветвления // Сиб. мат. журн. 1984. - Т. 25, № 4. -С. 120-142.

31. Медных А.Д., Позднякова Г.Г. О числе неэквивалентных накрытий над компактной неориентируемой поверхностью // Сиб. мат. журн. -1986. Т. 27, № 1. - С. 123-131.

32. Понтрягин JI.C. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. - 519 с.

33. Прасолов В.В., Сосинский А.Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. М.: МЦНМО, 1997. - 352 с.

34. Решетняк Ю.Г. Об устойчивости изометрических преобразований // Сиб. мат. журн. 1994. - Т. 35, №. 4. - С. 860-878.

35. Решетняк Ю.Г. Геометрия пространств с кривизной, ограниченной сверху // 2 Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, Новосибирск, 1996: Тез. докл. Новосибирск, 1996. - Ч. 1. -С. 68.

36. Родосский К.А. Алгоритм Евклида. М.: Наука, 1988. - 240 с.

37. Скотт П. Геометрии на трехмерных многообразиях: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 168 с.

38. Стэнли Р. Перечислительная комбинаторика: Пер.с англ. М.: Мир, 1990. - 440 с.

39. Фробениус Г. Теория характеров и представлений групп. Харьков: ОНТИ, 1937. - 214 с.

40. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970. - 424 с.

41. Холл М. Теория групп: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. -468 с.

42. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. - 187 с.

43. Цишанг X., Фогт Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные группы: Пер. с англ. М.: Наука, 1988. - 688 с.

44. Aaslepp К., Drawe М., Hayat-Legrancl С., Sczesny С.A., Zeischang Н. On the cohomology of Seifert and graph manifolds j j Topology Appl. 2003. - V. 127, N. 1-2. - P. 3-32.

45. Anderson D.R., Apostol T.M. The evaluation of Ramanujan's sum and generalizations // Duke math. J. 1953. - V. 20. - P. 211-216.

46. Apostol T.M. Introduction to Analytic Number Theory. New York/Heidelberg/Berlin: Springer-Verlag, 1976. - 338 p.

47. Barariski K. On realizability of branched coverings of the sphere // Topology and its Applications. 2001. - V. 116. - P. 279-291.

48. Bieberbach L. Uber die Bewegungsgruppen der euklidischen Raume / // Math. Ann. 1911. - V. 70. - P. 297-336.

49. Bieberbach L. Uber die Bewegungsgruppen der euklidischen Raume II // Math. Ann. 1912. - V. 72. - P. 400-412.

50. Boileau M., Otal J.-P. Groupe des diffeotopies de certaines varietes de Seifert // C. R. Acad. Sci, Pans, Ser I. 1986. - V. 303. - P. 19-22.

51. Boileau M., Otal J.-P. Scindements de Heegaard et groupe des homiotopies des petites varietes de Seifert // Invent. Math. 1991. - V. 106, N. 1. -P. 85-107.

52. Bogopol'skij O.V. Almost free groups and the M. Hall property // Algebra Logic. 1994. - V. 33, N. 1. - P. 1-13.

53. Bogopol'skij O.V. The automorphic conjugacy problem for subgroups of fundamental groups of compact surfaces // Algebra Logic. 2001. - V. 40, N. 1. - P. 17-33.

54. Bridson M.R., Haefliger A. Metric spaces of поп-positive curvature. Berlin et al.: Springer, 1999. - Fundamental Principles of Mathematical Sciences. -V. 319. - 643 p.

55. Brooks R. On branched coverings of 3-manifolds which fiber over the circle // J. reme und angew. Math. 1985. - V. 36, N. 2. - P. 87-101.

56. Brooks R. Constructing isospectral manifolds // Amer. Math. Monthly. -1988. V. 95. - P. 823-839.

57. Conway J.H., Rossetti J.P. Describing the platycosms // http://www.arxiv.org math.DG/0311476 - 2003. - 47 p.

58. Conway J.H., Rossetti J.P. Hearing the platycosms // http://www.arxiv.org math.DG/0311470 - 2003. - 20 p.

59. Dehn M. Uber die Topologie des dreidimensionalen Raumes // Math. Ann. 1910. - V. 69 - P. 137-168.

60. Ershov Yu.L. On d-spaces // Theoret. Comput. Sci. 1999. - N. 224. -P. 59-72.

61. Eskin A., Okunkov A. Asymptotics of numbers of brached coverings of a torus and volumes of moduli spaces of holomorphic differentials // Invent. Math. 2001. - V. 145. - P. 59-103.

62. Ezell C.L. Branch point structure of coverings maps onto nonorientable surface // Trans. Amer. Math. Soc. 1978. - V. 243. - P. 123-133.

63. Farkas H.M., Kra I. Riemann Surfaces. New York/Heidelberg/Berlin: Springer-Verlag, 1980. (Graduate texts in Math., V. 71). - 340 p.

64. Farrell F.T., Zdravkovska S. Do almost flat manifolds bound? // Mich. Math. J. 1983. - V. 30. - P. 199-208.

65. Fintushel R. Local Sl-actions on 3-manifolds // Pacific J. Math. 1976. -V. 66. - P. 111-118.

66. Hall M, Jr. Subgroups of finite index in free group // Canad. J. Math. -1949. V. 2, N. 2. - P. 187-190.

67. Hall P. The Eulerian functions of a group // Quatrerly J. Math. Oxford. -1936. V. 7. - P. 134-151.

68. Hantzsche W., Wendt H. Dreidimensionale euklidische Raumforrnen // Math. Ann. 1935. - V. 110. - P. 593-611.

69. Hempel J. 3-manifolds. Princeton: Princeton Univ. Press; Univ. of Tokyo Press, 1976. - 195 p.

70. Hodgson C., Rubinstein J.H. Involutions and isotopies of lens spaces // Lect. Notes Math. 1985. - V. 1144. - P. 60-96.

71. H5lder 0. Zur Theorie der Kreisteilungsgleichung Km(x) = 0 // Prace Mat.-Fiz. 1936. - V. 43. - P. 13-23.

72. Hurwitz A. Uber Riemann'sche Elcichen mit gegeben Verzweigungspunkten 11 Math. Ann. 1891. - Bd. 39. - S. 1-61.

73. Hurwitz A. Uber die Awzahl der Riemannschen Elachen mit gegeben Verzweigungspunkten // Math. Ann. 1902. - Bd. 55. - S. 53-66.

74. James G.D. The Representation Theory of the Symmetric Groups -Berlin/Heidelberg/New York: Springer-Verlag, 1978. (Lect. Notes in Math., V. 682).

75. Jones G.A. Enumeration of homomorphisms and surface-coverings // Quarterly J. Math. Oxford. 1995. - V. 46, N. 2. - P. 485-507.

76. Jones G.A. Counting subgroups of non-euclidean crystallographic groups // Math. Scand. 1999. - V. 84. - P. 23-39.

77. Кас М. Can one hear the shape of a drum // Amer. Math. Monthly- 1966.- V. 73. P. 1-23.

78. Korkmaz M. On generators of the mapping class group of a nonorientable surface / http://citeseer.nj.nec.com/korkmaz98generators.html

79. Li A.-M., Zhao G., Zheng Q. The number of ramified coverings of a Riemann surface by Riemann surface j j Commun. Math. Phys. 2000.- V. 213. P. 685-696.

80. Liskovets V. Reductive Enumeration Under Mutually Orthogonal Group Action // Acta App. Math. 1998. - V. 52. - P. 91-120.

81. Liskovets V., Mednykh A. On the Number of Subgroups in the Fundamental Groups for a class of Seifert Fibre Spaces — Dresden, 1997. (Prepr. ser. / Univ. Dresden; MATH-AL-15-1997). 21 p.

82. Liskovets V., Mednykh A. Enumeration of subgroups in the fundamental groups of orientable circle bundles over surfaces // Comm. in Algebra. -2000. V. 28, N. 4. - P. 1717-1738.

83. Lloyd E. Riemann surface transformation groups // J. Combinatorial Theory (A). 1972. - V. 13. - P. 17-27.

84. Long D.D., Reid A.W. All flat manifolds are cusps of hyperbolic orbifolds 11 Algebr. Geom. Topol. 2002. - V. 2. - P. 285-296.

85. Lubotzky A. Counting finite index subgroups j j Lond. Math. Soc. Lect. Notes Ser. 212 Groups'93: Galway/St.Andrews. - V. 2. - P. 368-404.

86. Luft E., Sjerve D. 3-manifolds with subgroup in their fundamental group // Pacific J. Math. 1984. - V. 114. - P. 191-205.

87. Macbeath A.M. On a theorem of Hurwitz // Proc. Glasgow Math. Assoc. -1961. V. 5. - P. 90-96.

88. Magajna Z., Mohar B. Existence of branched coverings of surfaces // Preprint Series Dept. Math, Univ, Ljubljana. 1985. - V. 23, N. 138. -P. 345-368.

89. Mednykh A.D. On the number of subgroups in the fundamental group of a closed surface // Comm. m Algebra. 1988. - V. 16, N. 10. - P. 2137-2148.

90. Mednykh A.D. Branched coverings of Riemann surfaces whose branch orders coincide with the multiplicity // Comm. in Algebra. 1990. - V. 18, N. 5. - P. 1517-1533.

91. Mednykh A., Vesnin A. Coxeter groups and branched coverings of lens spaces // J. Korean Math. Soc. 2001. - V. 38, N. 6. - P. 1167-1177.

92. Milnor J. Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds // Proc. NAS USA. 1964. - V. 51. - P. 542.

93. Minkus J. The branched cyclic coverings of 2-bridge knots and links // Mem. Am. Math. Soc. 1982. - V. 255. - 68 p.

94. Molnar E. On isometrics of space forms. Proceedings of the Konference on Differential Geometry and its Applications (Eger, 1989). - Amsterdam: North-Holland, 1992. - P. 509-534.

95. Monni S., Song J. S., Song Y. S. The Hurwitz Enumeration Problem of Branched Covers and Hodge Integrals // http://www.arxiv.org hep-th/0009129 - 2000. - 35 p.

96. Nicol C.A. Linear congruences and the von Sterneck function // Duke Math. J. 1959. - V. 26, N. 1-2. - P. 193-197.

97. Nicol C.A., Vandiver H.S. A von Sterneck arithmetical function and restricted partitions with respect to a modulus // Proc. Nat. Amer. Acad. Sci. 1954. - V. 40, N. 9. - P. 825-834.

98. Nimershiem B.E. All at three-manifolds appea,r as cusps of hyperbolic four-manifolds // Topology and Its Appl. 1998. - V. 90. - P. 109-133.

99. Orlik P. Seifert manifolds. Lecture Notes in Mathematics (291). -Berlin/Heidelberg/New York: Springer-Verlag, 1972. - 156 p.

100. Orlik P., Raymond F. On 3-manifolds with local SO(2)-action // Qyart. J. Math. 1969. - V. 20. - P. 143-160.

101. Ovchinnikov M. The long-eight-figure spines of lens spaces and binary trees I j Acta Appl. Math. 2003. - V. 75, N. 1-3. - P. 15-24.

102. Ramanathan K.G. Some applications of Ramanujan's trigonometrical sum, Cm(n) // Proc. Ind. Acad. Sci. 1945. - V. 20. - P. 62-69.

103. Ramanujan S. Collected papers. / Edited by G.H. Hardy, P.V. Seshu, B.M. Wilson. Cambridge: University Perss, 1927. - XXXVI+355 p.

104. Ratcliffe J.G., Tschantz S.T. The volume spectrum of hyperbolic 4-manifolds // Exp. Math. 2000. - V. 9, N. 1. - P. 101-125.

105. Rohrl H. Unbounded coverings of Riemann surfaces and extensions of ring of meromorphic functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. - V. 107. -N. 2. - P. 320-343.

106. Scott P. There are no fake Seifert fibre spaces with infinite ix\ // Ann. Math. 1983. - V. 117. - P. 35-70.

107. Scott P. Homotopy implies isotopy for some Seifert fibre spaces // Topology. 1985. - V. 24. - P. 341-351.

108. Seifert H. Topologie dreidimensionaler gefaserter Raume j j Acta Math. -1933. V. 60. - P. 147-238.

109. Seifert H. Topology of 3-dimensional Fibered Spaces. New York/London/Toronto/Sydney/San Francisco: Academic Press, 1980. - 438 p.

110. Schiemann A. Ein Beispiel positiv definiter quadratischer Formen der Dimension ^ mit gleichen Darstellungszahlen // Arch. Math. 1990. -V. 54. - P. 372-375.

111. Schiemann A. Ternary positive definite quadratic forms are determined by their thete series // Math. Ann. 1997. - V. 308. - P. 507-517.

112. Shmatkov R.N. Euclidean structure on the Whitehead link cone-manifold. Mannheim, Heidelberg, 2001. - 26 p. - (Prepr. ser. / Univ. Mannheim und Univ. Heidelberg; N 5).

113. Sunada T. Riem,annian coverings and isospectral manifolds // Ann. of Math. 1985. - V. 121. - P. 169-186.

114. Vinberg E.B., Shvartsman O.V. Discrete groups of motions of spaces of constant curvature. Encycl.Math.Sc. Geometry II. - Berlin et al.: Springer, 1993.- P. 139-254.

115. Thurston W. Three-dimentional Geometry and Topology. Princeton: Princeton Univ. Press, 1997. - 311 p.

116. Waldhausen F. Gruppen mit zentrum und 3-dimensionale Mannigfaltigkeiten // Topology. 1967. V. 6. - P. 505-517.

117. Weyl H. Uber die Asymptotische Verteilung der Eigenwerte // Nachr-der Konigl. Ges d. Wiss Zu Gottingen. 1911. - P. 110-117.

118. Weyl H. Uber das Hurwitzsche Problem der Bestimmung der Anzahl Riemannscher Flachen von gegebener Verzuieigungsart // Comment. Math. Helv. 1931. - V. 3. - P. 103-113.

119. Wieland H. Finite permutation groups Acad. Press, 1964. - 214 p. Работы автора по теме диссертации

120. Шматков М.Н. О числе неэквивалентных циклических накрытий над расслоениями Зейферта j j Математические труды. 2003. - Т. 6, № 1. - С. 182-201.

121. Шматков М.Н. Перечисление неэквивалентных циклических накрытий компактного связного плоского трехмерного риманова многообразия // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2003. - С. 429-441.

122. Шматков М.Н. О числе неэквивалентных циклических накрытий над расслоениями Зейферта Материалы XL Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Математика). - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2002. - С. 78-79.

123. Шматков М.Н. Подсчет числа неэквивалентных циклических накрытий для некоторых 3-многообразий Тезисы докладов 5-й международной конференции по геометрии и топологии памяти А.В. Погорелова (1919-2002). - Черкассы: Изд-во ЧГТУ, 2003. - С. 149-151.