Аналитические методы в теории многогранников и орбифолдов, моделируемых в трехмерных пространствах постоянной кривизны тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Выонг Хыу Бао

• Выонг Хыу Бао
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Выонг Хыу Бао

2.2 Правильный тетраэдр в Н3

2.3 Тетраэдр с группой симметрий Б4 в Н3

2.3.1 Длины ребер и условия существования

2.3.2 Двугранные углы

2.3.3 Формулы для гиперболического объема

2.4 Антиподальный октаэдр в Н3

2.4.1 Условия существования

2.4.2 Сведения о гиперболическом тетраэдре

2.4.3 Формула объема компактного гиперболического ан-типодального октаэдра

3 Антипризмы в пространствах постоянной кривизны

3.1 Антипризма в Е3

3.2 Компактная антипризма в Н3

3.2.1 Длины ребер и условие существования

3.2.2 Двугранные углы

3.2.3 Формула объема

3.3 Антипризма в §3

3.3.1 Правильный сферический тетраэдр и октаэдр

3.3.2 Условия существования

3.3.3 Равнобедренная сферическая трапеция

3.3.4 Двугранные углы

3.3.5 Формула объема

4 Трехмерные гиперэллиптические евклидовы многообразия

4.1 Гиперэллиптическая инволюция и евклидов п-орбифолд

4.2 Гиперэллиптичность замкнутых ориентируемых евклидовых многообразий

Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические методы в теории многогранников и орбифолдов, моделируемых в трехмерных пространствах постоянной кривизны»

Введение

Геометрия возникла как область знаний о пространственных отношениях. Она была одной из двух областей античной математики, другой из них было изучение чисел (арифметика). Самые ранние зарегистрированные истоки геометрии можно проследить до первых народов, которые обнаружили тупые треугольники в древней долине Инда и древней Вавилонии примерно с 3000 г. до н.э. Одним из первых геометров был Евклид. Он произвел революцию в геометрии, а также ввел математически строгие доказательства и аксиоматический подход, которые используются математиками и в настоящее время.

Вместе с геометрией свою историю начала теория многогранников. В центре внимания этой теории были правильные выпуклые многогранники в трехмерном евклидовом пространстве, известные как Платоновы тела. Эти многогранники состоят из конгруэнтных (одинаковых по форме и размеру), правильных (все углы равны и все стороны равны) многоугольных граней с одинаковым количеством граней, встречающихся в каждой вершине. В евклидовом пространстве их всего пять: тетраэдр, октаэдр, куб, икосаэдр, додекаэдр. Древние греки широко изучали Платоновы тела. Некоторые источники приписывают открытие Платоновых

тел Пифагору. Другие данные свидетельствуют о том, что он мог быть знаком только с тетраэдром, кубом и додекаэдром и что открытие октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае Теэтет дал математическое описание всех пяти и, возможно, привел первое известное доказательство того, что никаких других выпуклых правильных многогранников не существует.

Евклид полностью математически описал Платоновы тела в своих известных «Началах», последняя книга (Книга XIII) которых посвящена их свойствам. В предложениях 13-17 Книги XIII описывается построение тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра. Для каждого тела Евклид находит отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. Геометры изучали Платоновы тела на протяжении тысяч лет. Одновременно с математическим прогрессом многогранники начинают появляться в различных разделах математики, таких как топология, кристаллография, абстрактная алгебра и, конечно, современная геометрия. В настоящее время теория многогранников обобщена на более высокие размерности и в различных геометриях. В середине девятнадцатого века швейцарский геометр Л. Шлефли классифицировал правильные многогранники в евклидовом пространстве произвольной размерности [38]. В других геометриях постоянной кривизны, а именно в гиперболической и сферической, задача усложняется. Лишь в 1970 г. Е. М. Андреев опубликовал классификацию всех трехмерных компактных гиперболических многогранников (кроме тетраэдров), имеющих не тупые двугранные углы [3]. Теорема Андреева является не только интересным утверждением о трехмерных гиперболических многогранниках, но и фундаментальным

инструментом, используемым в доказательстве теоремы Тёрстона о гиперболизации для трехмерных многообразий Хакена [45]. Это был наглядный пример тесной связи между миром многогранников и топологией. Трехмерная топология оказывается наиболее увлекательной среди других размерностей. В ней преобладают очень специализированные методы, которые не распространяются на пространства размерностей больше трех. Этот феномен привел к открытию тесных связей трехмерной топологии с множеством других областей, таких как теория узлов, геометрическая теория групп, гиперболическая геометрия, теория чисел, теория Тейхмюллера, топологическая квантовая теория поля, калибровочная теория, гомологии Флоера и уравнения частных производных. В свою очередь трехмерная гиперболическая топология играет важную роль в теории трехмерных многообразий. В 1982 г. У. Тёрстон предложил свою гипотезу о геометризации [45], которая была доказана в серии статей 2002-2003 годов Г. Перельманом. Гипотеза утверждает, что каждое компактное трехмерное топологическое многообразие может быть разложено на части так, что каждое имеет один из восьми типов геометрической структуры.

Гиперболическая геометрия является наиболее богатой и загадочной из восьми геометрий в трехмерном пространстве (например, для всех других геометрий несложно дать явное количество многообразий конечного объема с соответствующей геометрией, в отличие от гиперболических многообразий). У. Тёрстон показал в своей работе [45], что каждое замкнутое трехмерное многообразие получается из трехмерной сферы с помощью хирургии Дена вдоль некоторого зацепления, дополнение кото-

рого имеет гиперболическую структуру. В той же работе [45] У. Тёрстон доказал, что дополнение любого узла в трехмерной сфере (за исключением торических и сателлитных узлов) допускает полную гиперболическую структуру. Точнее представить, как много среди всех узлов гиперболических, позволяет классификация [21]. Согласно ей, среди всех узлов, имеющих до 16 перекрестков, только 13 торических и 20 сателлитных, а остальные 1 701 903 являются гиперболическими. Таким образом, гиперболические узлы чрезвычайно распространены, но при этом не достаточно изучены. Следовательно, гиперболические многообразия образуют основную составляющую множества топологических трехмерных многообразий.

В работах [32, 33, 36] Дж. Мостов и Г. Прасад доказали теорему о жесткости, которая утверждает, что если ориентируемое п-мерное многообразие (п > 3) допускает полную гиперболическую структуру конечного объема, то эта структура единственна. Поэтому их гиперболические инварианты, например, объем также являются топологическими инвариантами. Каждое трехмерное многообразие может быть построено с помощью некоторого фундаментального многогранника. Другими словами, чтобы получить 3-многообразие, можно попарно отождествить грани некоторого многогранника. Таким образом, объем трехмерного многообразия — это объем его фундаментального многогранника. Т. Ёргенсен и У. Тёрстон доказали, что множество объемов гиперболических трехмерных многообразий конечного объема является вполне упорядоченным замкнутым подмножеством вещественной прямой [19]. В частности, существует замкнутое трехмерное гиперболическое многообразие мини-

мального объема. Многообразие минимального объема было независимо обнаружено С.В.Матвеевым и А.Т.Фоменко [5], а также Дж. Виксом [51]. Второе по объему многообразие построено У. Тёрстоном в [44], и так далее. В 2009 г. Д. Габаи, Р. Мейергоф и П. Майли [17] доказали, что многообразие Матвеева-Фоменко-Викса действительно имеет наименьший объем из возможных. Кроме того, существует лишь конечное число многообразий данного объема, поэтому гиперболический объем является мощным инвариантом, и вычисление объемов многогранников не теряет актуальности в настоящее время.

Вычислить точный объем многогранника с заданным комбинаторным типом — сложная задача. Формулы объема для неевклидовых тетраэдров в некоторых частных случаях известны со времен Н. И. Лобачевского, Я. Бойяи и Л. Шлефли. Л. Шлефли [38] нашел объем сферической ортосхемы. Ортосхема — это п-мерный симплекс, определяемый последовательностью ребер (^о, ^1), (ь1,ь2), ..., (уп-1,уп), взаимно ортогональные. Ортосхему в трехмерном пространстве также называют двупрямоуголь-ным тетраэдром. По определению трехмерная ортосхема имеет три двугранных угла п/2 и три других, которые будем называть существенными (см. Рис. 0.1).

Теорема 1 (Шлефли, 1858). Пусть Т — сферическая ортосхема с существенными двугранные углы А, В, С. Тогда его объем V = V(Т) задается формулой

Б — вт х вт г

Б + вт х вт г

т

сое 2тх — сое 2ту + сое 2тг — 1

т2

2,2 2

х + у — г ,

Рис. 0.1. Ортосхема Т = Т(А, В, С) с существенными двугранными углами А, В, С, все остальные углы равны п/2

где Б = \]сое2 х сое2 г — сое2 у.

Функция Б(х,у,г), возникающая в теореме 1, называется функцией Шлефли.

Объем гиперболической ортосхемы был получен независимо Н. Лобачевским [25] и Я. Бойяи (см. [42], [43] или [52]). Следующая теорема была предложена Г. С. М. Кокстером [11]. Она представляет собой результат Н. Лобачевского в весьма простой форме.

Теорема 2 (Лобачевский, 1835; Кокстер, 1935). Пусть Т — гиперболическая ортосхема с двугранными углами А, В, С. Тогда ее объем

1

V = V (Т) определяется формулой V = -Б (А, В,С), где Б (А, В,С) — функция Шлефли.

Я. Бойяи нашел объем гиперболической ортосхемы в терминах плоских углов и длины ребра. Этот результат не был опубликован при его жизни. Его можно найти в работе [42], с. 111-118, написанной на основе оригинальных рукописей Я. Бойяи (см. [43] и [52]).

D

\z

■

CD 1 CBA a/

C

B

Рис. 0.2. Ортосхема T, заданная плоскими углами а, в, y и длиной ребра

z

Теорема 3 (Бойяи, 1832). Рассмотрим гиперболическую ортосхему T с

существенными двугранными углами вдоль AC, CB, BD, и всеми други-

п

ми двугранными углами, равными — (Рис. 0.2). T задается ее плоскими углами а, в, Y и длиной ребра z. Тогда ее объем V = V(T) можно найти по формуле

z

tan y í u sh udu

V

2 tan в

ch2 u

- 1

ch2 u _ i

0 V cos2 а / \/ cos2 y

Объем идеального тетраэдра известен со времен Н. Лобачевского [25]. Дж. Милнор представил его в очень элегантной форме [29].

Теорема 4 (Лобачевский, 1835; Милнор, 1982). Пусть T — идеальный тетраэдр с двугранными углами A,B и С. Тогда его объем V = V(T) определяется формулой

V = Л(А) + Л(В )+Л(С),

x

где Л(х) = — J log 12 sin t| dt — функция Лобачевского. 0

Более общий случай тетраэдра с хотя бы одной идеальной вершиной исследовал Э. Б. Винберг [4]. Формула объема для симметричного идеального октаэдра очень похожа на формулу Дж. Милнора для идеальных тетраэдров и приведена в [8].

Теорема 5 (Байгонакова, Медных, 2010). Пусть О — симметричный идеальный октаэдр с двугранными углами А, В, С, Б, Е, Б. Тогда его объем V = V(О) определяется формулой

где Л(х) — функция Лобачевского.

Дж. Сфорца [41], Ю. Чо и Х. Ким [10], Дж. Мураками и У. Яно [34], Д. А. Деревнин и А. Д. Медных [12] и А. Ушиджима [46] привели формулы для вычисления объема различных семейств гиперболических тетраэдров с точки зрения их двугранных углов.

Теорема 6 (Сфорца, 1906). Пусть Т — компактный гиперболический тетраэдр с матрицей Грама С. Рассмотрим С = С(А)как функцию двугранного угла А. Тогда объем V = V(Т) определяется формулой

где А0 — подходящий корень уравнения det С (А) = 0 и с34 = с34(А) — (3, 4)-кофактор матрица С(А).

А

Теорема 7 (Сфорца, 1906). Пусть T — сферический тетраэдр с матрицей Грама G. Рассмотрим G = G(A) как функцию двугранного угла A. Тогда его объем V = V(T) определяется формулой

A /-

т/ 1 Л C34(A) + i у det G(A) sin A

V = — / log- , =-dA,

4i J c34(A) - iJdet G(A) sin A

Ao

где A0 — подходящий корень уравнения det G(A) = 0 а c34 = c34(A) — (3, 4)-кофактор матрица G(A).

Теорема 8 (Деревнин, Медных, 2005). Пусть T(A,B,C,D,E,F) — компактный гиперболический тетраэдр с двугранными углами A, B, C, D, E, F. Тогда его объем V = V(T) определяется формулой

1 Zr cos A+B+C+z cos A+E+F+z cos B+D+F+z cos C+D+E+z V = - 4 J log sin A+B+D+E+Z sin A+C+D+F+z sin B+C+E+Fdz,

Z1

где z\ и z2 корни подынтегрального выражения удовлетворяют условию 0 < z2 — z\ < п . А именно,

k3 к\ k3 к\ zi = arctan ---arctan — , z2 = п — arctan ---arctan — , where

k4 k2 k4 k2

ki = — cos S — cos(A + D) — cos(B + E) — cos(C + F) — cos(D + E + F ) —

— cos(D + B + C) — cos(A + E + C) — cos(A + B + F) , k2 = sin S + sin(A + D) + sin(B + E) + sin(C + F) + sin(D + E + F) +

+ sin(D + B + C) + sin(A + E + C) + sin(A + B + F), k3 = 2 (sin A sin D + sin B sin E + sin C sin F) ,

k4 = \¡ k2 + k2 — k32,

S = A + B + C + D + E + F.

Р. Келлерхальц в своей работе [23] привела формулы, для вычисления объема вычисляют объем некоторых типов куба и усеченных тетраэдров. Так результаты в данной области были получены А. Ю. Весниным [47], Я. Моханти [30, 31], Н. В. Абросимовым [1, 2].

Перейдем к краткому изложению содержания и основным результатам работы.

В первой главе диссертации приведены общие сведения. В параграфе 1.1 данной главы приведены обозначения и определения, используемые в диссертации. Параграфы 1.2 -1.3 содержат основные сведения о гиперболической и сферической геометриях. В параграфе 1.4 приведено дифференциальное уравнение Шлефли, которое применяется для определения объема параметрических многогранников. Параграф 1.5 содержит сведения об орбифолдах.

В второй главе изучаются гиперболические тетраэдры и октаэдры, обладающие нетривиальными симметриями. Глава основана на работе [54]. В начале главы приведен обзор полученных результатов. В параграфе 2.1 рассматриваются компактные гиперболические тетраэдры, имеющие группу симметрий £4, которая порождается зеркально поворотной симметрией четвертого порядка. Указанная симметрия представляет собой комбинацию поворота на угол п/2 вокруг оси, проходящей через середины двух противолежащих ребер, и отражения относительно плоскости, перпендикулярной данной оси и проходящей через середины оставшихся четырех ребер. Для таких тетраэдров установлены необходимые и достаточные условия существования в гиперболическом пространстве Н3.

Теорема 9. Компактный гиперболический тетраэдр Т(а, с) с группой

симметрии £4 и заданными длинами ребер а, с существует тогда и только тогда, когда 1 + сЬ а — 2 сЬс < 0.

Кроме того, для таких тетраэдров найдены соотношения между их двугранными углами и длинами ребер в форме теоремы косинусов.

Теорема 10. Пусть гиперболический тетраэдр Т(а, с) с группой симметриии Б4 задан длинами ребер а, с. Его двугранные углы А, С выражаются по формулам

сЬ а + сЬ2 а — 2 сЬ2 с

сов А сов С

1 + ch a — 2 ch2 c ch c (1 — ch a)

1 + сЬ а — 2 сЬ2 с

Получены точные интегральные формулы, выражающие гиперболический объем указанных тетраэдров через длины ребер.

Теорема 11. Объем V гиперболического тетраэдра Т(а, с) с группой симметрии £4 выражается любой из следующих формул

[а а ((1 + сЬ а)2 — 4сЬ2 с сЬ а) + 4 с вЬ с сЬ с вЬ а , V = -, =-аа ,

(ch 2c — ch a)^J 4 ch2 c — (1 + ch a)2

V Г 2 c (1 — ch a)(1 + ch a + 2ch2 c) + 4 a sh c ch c sh a ^

'arch

(ch 2c — ch a)^J4 ch2 c — (1 + ch a)2

А также для частного случая правильного компактного тетраэдра в гиперболическом пространстве Н3, получена формула объема

Теорема 12. Объем V правильного гиперболического тетраэдра Т с длиной ребра а и двугранными углами, равными А, выражается по форму-

0

лам

V = -3 Г ахсЬ^ е°8Л Л) ¿Л,

Лгссо8(1/3) V1 - 2 с°в Л)

У Га 3 а вЬ а ¿а

Уо (1 + 2 сЬа)^(сЬа + 1) (3сЬа + 1) '

В параграфе 2.2 рассматриваются компактные гиперболические ан-типодальные октаэдры, имеющие антиподальную симметрию. Для таких октаэдров установлены необходимые и достаточные условия существования в гиперболическом пространстве Н3.

Теорема 13. Компактный гиперболический антиподальный октаэдр 0(а,Ъ,с,в,,е, /) с длинами ребер а,Ъ,с, ¿,е, / существует в Н3 тогда и только тогда, когда выполняются следующих неравенств

(сЬ а + сЬ /)(сЬ с + сЬ е) > 2(сЬ Ъ + сЬ ¿); (сЬ Ъ + сЬ ¿)(сЬ а + сЬ /) > 2(сЬ с + сЬ е); (сЬ с + сЬ е)(сЬ Ъ + сЬ ¿) > 2(сЬ а + сЬ /).

А также найдены точные интегральные формулы, выражающие гиперболический объем указанных октаэдров через длины ребер.

Теорема 14. Пусть 0(а, Ъ, с, ¿, е, /) — компактный гиперболический антиподальный октаэдр, заданный его длины ребер а, Ъ, с, ¿, е, /. Тогда объем V = V(О) определяется формулой

т/_ [г Ь ,с14(сПс23 — с12с13) с24(с1зс22 — с^23) ^ вЬ ^

17 = I [ . 3/2( : + : ) —

/х

-Д3

с11

с22

—Д1/2

а вЬ ас14 + е вЬ Ьс13 с вЬ сс23 + Ь вЬ ес24 (--1---+ а вЬ а)\аЬ+

с11

с22

[ Ь ( с14 (с11с23 с12с13) + с24(с13с22 с12с23) ) __ вЬ Ь

/2

Д3/2 Д2

11

22

-Д1/2 Д2

е вЬ е с'14 + Ь вЬ с с!13 а вЬ а с'23 + с вЬ Ь с'24 с11 с22

+/ вЬ / )\аь,

где сомножители с^ ,с^ и определитель реберной матрицы Д1 = Еь Д2 = Е2 являются функциями от одной переменной г, обозначаемой Ь.

ЕЛ =

1 сЬ а сЬ с сЬ е

сЬ а 1 сЬ Ь сЬ а

сЬ с сЬ Ь 1 сЬ Ь

сЬ е сЬ а сЬ Ь 1

V

Е2 =

1 сЬ / сЬ а сЬ Ь сЬ / 1 сЬ с сЬ е сЬ а сЬ с 1 сЬ Ь

\

сЬ Ь сЬ е сЬ Ь 1

/

сЬ /1 = сЬ с сЬ е — (сЬ с сЬ а — сЬ Ь)(сЬ е сЬ а — сЬ а) сясЬ а + л/ (сЬ Ь — сЬ(с + а))(сЬ Ь — сЬ(с — а))(сЬ а — сЬ(е + а))(сЬ а — сЬ(е — а)), сЬ /2 = сЬ а сЬ Ь — (сЬ а сЬ / — сЬ с)(сЬ Ь сЬ / — сЬ е) сясЬ2/ + а/ (сЬ с — сЬ(а + / ))(сЬ с — сЬ(а — / ))(сЬ е — сЬ(Ь + / ))(сЬ е — сЬ(Ь — /)),

сЬ г

(сЬ с + сЬ е)(сЬ Ь + сЬ а)

2(сЬ а + сЬ /)

Третья глава диссертация посвящена изучению компактных антипризм в пространстве постоянной кривизны. Это выпуклый многогранник с 2п вершинами в пространстве Е3, Н3 или §3. Эти многогранники имеют группу симметрии Б2п, порожденную зеркально-вращательной

(

симметрией порядка 2n, то есть поворотом на угол п/n с последующим отражением. В параграфе 3.1 рассматриваются антипризме в евклидовом пространстве. Получены точные формулы объема для евклидовых антипризм.

Теорема 15. Объем антипризмы An(a, c) в евклидовом пространстве равен

, , na2(2 cosп + 1)1

vol(An(a,c)) = \ п n п У 4 c2 cos2 — - a2.

24 sin п cos П V 2n

n 2n '

В параграфе 3.2 изучаются компактные гиперболические антипризмы. Установлены необходимые и достаточные условия существования таких многогранников в H3.

Теорема 16. Компактная гиперболическая антитризма An(a, c) с группой симметрии S2n существует тогда и только тогда, когда

п

1 + ch a - 2 ch c + 2(1 - ch c) cos - < 0.

n

Получены отношения между двугранными углами и длинами ребер компактного гиперболического антипризма в виде правила косинусов.

Теорема 17. Пусть An,(a, c) — компактная гиперболическая антипризма с 2n вершинами, заданными длинами ребер a, c. Тогда двугранные углы An(a,c) определяется по формулам

— Vch a - 1 (1 + ch a - 2 ch c cos n)

cos A

cos C =

^J2(1 + ch a - 2 ch2 c)(cos f - ch a) ch c - ch a ch c + 2(ch2 c - 1) cos -

1 + еЬ а — 2 еЬ с

Кроме того, выведены точные интегральные формулы, выражающие объем гиперболической антипризмы через длины ребер.

Теорема 18. Пусть Ап(а, с) — компактная гиперболическая антитризма 2п вершинами, заданными длинами ребер а, с. Тогда объем V = уо1(Ап(а, с)) можно найти по формуле

ее

V I aG + tH rl+

V = ni -~-== at,

(2ch21 — 1 - cha)VR

где

' ео

G = 2 I ch t — cos П ) sh a sh t, n

H = —(ch a — 1) (l + ch a + 2ch21 — 4ch t cos ^ ,

R = 1 — ch a (2 + ch a) + 2ch21 + 4 (ch a — 1) ch t cos--

n

i 2 2n — 2 sh t cos — n

и c0 — корень уравнения 2 ch c (l + cos n) = 1 + ch a + 2 cos ^.

В параграфе 3.3 изучается симметричная сферическая трапеция. Найдено тригонометрическое отношение между углами и длинами ребер данного четырехугольника.

Теорема 19. Пусть т — равнобедренная сферическая трапеция с длинами сторон x,y,z,y и внутренними углами при вершинах A между сторон x,y, а C между сторон z,y. Тогда для т верно следующее соотношение

cos y sin x/2 — sin z/2

cos A = cos C =

sin y cos x/2 cos y sin z/2 — sin x/2

sin y cos z/2

А также в параграфе 3.3 изучаются сферические антипризмы. Установлены необходимые и достаточные условия существования таких многогранников в S3.

Теорема 20. Сферическая антипризма An(a,c) с группой симметрии S2n существует в S3 тогда и только тогда, когда выполняется следующего неравенства

п п

1 + cos a — 2(1 + cos —) cos c + 2 cos — > 0, n n

пп 1 + cos a + 2(1 — cos —) cos c — 2 cos — > 0, nn

cos a — cos 2n/n > 0.

Получены отношения между двугранными углами и длинами ребер сферической антипризмы в виде правила косинусов.

Теорема 21. Пусть An(a,c) — сферическая антитризма с 2n вершинами, заданными длинами ребер a, c. Тогда двугранные углы An(a, c) можно найти по формулам

у/1 — cos a(2 cos c cos п/n — cos a — 1)

'' (1)

cos A— -,

у 2(1 + cos a — 2 cos2 c)(cos — cos 2n/n)

^ cos c — cos a cos c + 2(cos2 c — 1)cos п/n

cos C =---.

1 + cos a — 2 cos2 c

Приведены точные интегральные формулы, выражающие объем сферической антипризмы через длины ребер.

Теорема 22. Пусть An(a,c) — ферическая антипризма с 2n вершинами, заданными длинами ребер a, c. Тогда объем V = vol(An(a, c)) можно найти по формуле

Г aG+cH

V = n/ -= dt, (2)

Jc0 (1 + cos a — 2 cos2 c)v R

где

G = — 2 ( cos t — cos — ) sin a sin t,

H = (1 — cos a) + cos a + 2 cos21 — 4 cos t cos —^ ,

п 2n

R = cos a (2 + cos a) — 2 cos2 c — 4 (cos a — 1) ch c cos--2 sin2 c cos--1.

n Н

и c0 — корень уравнения 2 cos c (1 + cos n) = 1 + cos a + 2 cos ^.

Результаты третьей главы опубликованы автором диссертации в статьях [55, 56, 57].

Четвертая глава посвящена изучению замкнутых ориентируемых евклидовых многообразий, которые также известны как плоские трехмерные многообразия или просто евклидовы 3-формы. С точностью до гомеоморфизма их шесть и по обозначению Волфа [53] Gi, i = 1, 2, 3,4, 5, 6. Первый из них — трехмерный тор. В 1972 г. Р. Х. Фокс [16] показал, что 3-тор не является двулистным разветвленным накрытием 3-сферы S3. Итак, это не гиперэллиптическое многообразие. Известно, что если M — трехмерное гиперэллиптическое многообразие с некоторой гиперэлли-типтической инволюцией т, тогда M — двулистные разветвленные накрытия трехмерной сферы S3 с ветвлением над некоторым зацеплением (в частности над узлом) L. Такое накрытие задано действием инволюции т и каждая точка на L имеет разветвленный индекс 2. В этом случае, M — двулистные разветвленные накрытия п-орбифолда. O = S3(L) c подлежащим пространством S3. Сингулярное множество L имеет сингулярный угол п в каждой точке на L. В. Данбар в своей диссертации [13] классифицировал все ориентируемые расслоенные орбифолды с подлежащим пространством S3. Только восемь из них — п-orbifolds. В данной

главе показано, что евклидовы 3-формы 0%,% = 2, 3, 4, 5, 6 являются гиперэллиптическими многообразиями. Установлена следующая теорема

Теорема 23. Каждое из многообразий б2, б3, б4, б5, бв является двулистным разветвленным накрытием евклидов п-орбифолд О3 с подлежащим пространством 53 и сингулярным множеством, которые являются крендельными зацеплениями или кольцами Борромео.

В таблице ниже показано однозначное соответствие между евклидовыми ориентируемыми орбифолдами О3 и гиперэллиптическими многообразиями М3

Многообразие М3 Н1(М3, Орбифолд О3 сингулярное множество О3

б2 ^ х ^2 Р222! Р(-2, 2, -2, 2)

б3 ^ х Р3112, Р 3212 Р(1, -3, -3, -3), Р(-1, 3, 3, 3)

б4 ^ х Р4322, Р 4122 Р(2, -4, -4), Р(-2, 4,4)

б5 Р 6122, Р 6522 Р(2, -3, -6), Р(-2, 3, 6)

бв х I212121 Кольца Борромео

Результаты четвертой главы опубликованы автором диссертации в статье [58].

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях исследовательских семинаров «Геометрическая теория функций» Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н., профессора А. Д. Медных, на научном семинаре «Математический

коллоквиум» Томского государственного университета под руководством чл.-корр. РАН А. Ю. Веснина, на семинаре по геометрическому анализу Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н., профессора С. К. Водопьянова, на семинаре «Узлы и теория представлений» Московского государственного университета под руководством профессора РАН В.О. Мантурова.

Кроме того, результаты диссертации докладывались на 55-й Международной научной студенческой конференции, Новосибирск 2017; Международную конференцию «Математика в современном мире», посвященную 60-летию образования Института математики, Новосибирск 2017; Международной конференции «Graphs and Groups, Representations and Relations», Новосибирск 2018; Международная конференция «Дни геометрии в Новосибирске», Новосибирск 2018; Международная конференция «Recent Trends in Mathematical Sciences» (C0RTMAS-2018), Го-ракхпур, Индия 2018; Всероссийской молодежной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Все грани математики и механики», Томск 2019; Международной конференции «Группы и кванд-лы в маломерной топологии», Томск 2019; VI научной конференции с международным участием «Геометрия многообразий и её приложения», Улан-Удэ 2020; III Международной конференции «Groups and quandles in low-dimensional topology», Томск 2020; конференции «Геометрия, топология и динамика», Новосибирск 2020; IV Международной конференции «Groups and quandles in low-dimensional topology», Томск 2021; Конференция математических центров мирового уровня, Сочи 2021. International Conference «Geometry in the Large», Saint Petersburg 2021.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [54] - [67].

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Каждая глава, в свою очередь, разбита на несколько параграфов. Нумерация формул состоит из двух чисел - номера главы и порядкового номера формулы в главе. Таким же образом нумерованы рисунки и таблицы. Для замечаний и теорем используется сплошная нумерация. Работа содержит 21 рисунок и 3 таблицы. В список литературы входит 67 использованных источников, которые приведены в порядке их цитирования. Опубликованные работы автора по теме диссертации выделены в отдельную часть списка литературы. Общий объем диссертации - 114 страниц.

Автор от всего сердца благодарит руководителей Александра Дмитриевича Медных и Николая Владимировича Абросимова за заботу и руководство работой над диссертацией. И также автор выражает благодарность Ксении Николаевне Шатровой за внимательное чтение черновика диссертации.

Глава 1

Предварительные сведения

В настоящей главе диссертации приведены общие сведения. В параграфе 1.1 данной главы приведены обозначения и определения, используемые в диссертации. Параграфы 1.2 -1.3 содержат основные сведения о гиперболической и сферической геометриях. В параграфе 1.4 приведено дифференциальное уравнение Шлефли, которое применяется для определения объема параметрических многогранников. Параграф 1.5 содержит сведения об орбифолдах. Материал данной главы изложен в соответствии с работами [37, 44, 40]

1.1 Обозначения и определения

Трехмерное гиперболическое пространство Н3 Трехмерное евклидово пространство Е3 Трехмерное сферическое пространство £3

Выпуклый многогранник — это выпуклая оболочка (в соответствующей геометрии) конечного набора точек, называемых вершинами многогранника.

Ребро многогранника — это отрезок геодезической, соединяющей пару его соседних вершин.

Грань — это геодезический многоугольник, лежащий на гиперплоскости, проходящей через соответствующие вершины.

Выпуклой оболочкой множества X называется наименьшее выпуклое множество, содержащее X.

1.2 Трехмерное сферическое пространство

Стандартная модель трехмерной сферической геометрии — это единичная сфера Б3 в К4, определяемая уравнением

Б3 = {х е К4 : |х| = 1}.

Евклидова метрика йв на Б3 определяется формулой

йв(х,У) = |х - У1.

Евклидова метрика на

Б3

достаточна для большинства целей, но она не является внутренней для Б3, поскольку определяется в терминах структуры векторного пространства К4. Определим внутреннюю метрику на Б3.

Сферическая метрика

Пусть х,у — векторы в Б3, а в(х,у) — евклидов угол между х и у. Сферическое расстояние между х и у определяется как действительное число

йэ (х, у) = в{х,у).

Заметим, что

0 < йэ(х,у) < п

и йэ(х, у) = п тогда и только тогда, когда у = -х. Два вектора х, у считаются антиподами если у = -х. Функция сферического расстояния йэ является сферической метрикой на Б3. Метрическое пространство, состоящее из Б3 вместе с его сферической метрикой йэ, называется трехмерным сферическим пространством. Большая окружность в Б3 — это пересечение Б3 с двумерным векторным подпространством пространства К4. Геодезические кривые в Б3 — это его большие окружности. Сферическая тригонометрия

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Выонг Хыу Бао, 2022 год

Литература

[1] Абросимов Н. В., Годой-Молина М., Медных А. Д. Об объеме сферического октаэдра с симметриями // Соврем. мат. и ее прил. — 2008. — Т. 60. — С. 3-12.

[2] Абросимов Н. В., КудинаЕ. С., Медных А. Д. Объем гиперболического гексаэдра, допускающего Ъ-симметрию // Сиб. электрон. матем. изв. — 2016. — Т. 13. — С. 1150-1158.

[3] Андреев Е. М. О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачевского // Матем. сб. — 1970. — Т. 81(123), № 3. — С. 445-478.

[4] ВинбергЭ.Б. Геометрия-2 // Современные проблемы математики, Т. 29. —Москва: ВИНИТИ (Итоги науки и техники) — 1988.

[5] Матвеев С. В., Фоменко А. Т. Изоэнергетические поверхности га-мильтоновых систем, перечисление трехмерных многообразий в порядке возрастания их сложности и вычисление объемов замкнутых гиперболических многообразий // Успехи мат. наук. — 1988. — Т. 43, № 1. — С. 5-22.

[6] Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 2: Стереометрия, преобразования пространства // Москва: МЦНМО — 2015.

[7] AbrosimovN. V., KudinaE. S., Mednykh A. D. On the volume of a hyperbolic octahedron with 3-symmetry // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics — 2015. — V. 288. — P. 1-9.

[8] BaigonakovaG. A., Mednykh A. D. On Milnor formula for hyperbolic octahedron // Yakutian Mathematical Journal — 2010. — V. 17, no. 2. — P. 3-9. (Russian)

[9] Bedient R. E. Double branched covers and pretzel knots // Pacific J. Math.

— 1984. — V. 112, no. 2. — P. 265-272.

[10] ChoYu.,KimH. On the volume formula for hyperbolic tetrahedra // Disc. and Comp. Geometry — 1999. — V. 22. — P. 347-366.

[11] Coxeter H. S. M. The functions of Schlafli and Lobatschefsky // Quart. J. Math. Oxford — 1935. — V. 6, no. 1. — P. 13-29.

[12] DerevninD. A., Mednykh A. D. A formula for the volume of a hyperbolic tetrahedron // Russ. Math. Surv. — 2006. — V. 60, no. 2. — P. 159-160.

[13] Dunbar W. D. Fibered orbifolds and crystallographic groups // Ph. D. Thesis. Princeton University, New Haven. — 1981.

[14] Dunbar W. D. Geometric orbifolds // Rev. Mat. Univ. Complut. Madrid

— 1988. — V. 1(1-3). — P. 67-99.

[15] Farkas H., Krai. Riemann surfaces // Grad. Texts in Math. 71, Springer-Verlag. — 1980.

[16] FoxR. H. A note on branched cyclic covering of spheres // Rev. Mat. Hisp.-Amer. - 1972. - V. 32, no. 4. - P. 158-166.

[17] Gabai D., Meyerhoff R., Milley P. Minimum volume cusped hyperbolic three-manifolds // J. Amer. Math. Soc. - 2009. - V. 22. - P. 11571215.

[18] GaliulinR. V., MikhalevS. N., SabitovI. Kh. Some applications of the formula for the volume of an octahedron // Mat. Zametki - 1986. -V. 76, no. 1. - P. 27-43.

[19] GromovM. Hyperbolic manifolds according to Thurston and J0rgensen // Seminaire N. Bourbaki, 1979-1980. Lecture Notes in Mathematics. Springer - 1982. - V. 842. - P. 40-53.

[20] Hatcher A. Algebraic Topology // Cambridge: Cambridge University Press - 2002.

[21] Hoste J., Thistlethwaite M., Weeks J. The first 1,791,936 knots // Math. Intelligencer. - 1998. - V. 20, no. 4. - P. 33-48.

[22] Johnson N. W. Geometries and Transformations // Cambridge: Cambridge University Press. - 2017.

[23] Kellerhals R. On the volume of hypebolic polyhedra // Math. Ann. -1989. - V. 285. - P. 541-569.

[24] Kneser H. Der Simplexinhalt in der nichteuklidischen Geometrie // Deutsche Math. - 1936. - V. 1. - P. 337-340.

[25] Lobatschefskij N. I. Imaginäre Geometrie und ihre Anwendung auf einige Integrale // Deutsche Ubersetzung von H. Liebmann. Leipzig: Teubner.

- 1904.

[26] Magnus W., Karrass A., Solitar D. Combinatorial Group Theory // New York: Interscience Publishers. — 1966.

[27] Mednykh A.D. Three-dimensional hyperelliptic manifolds // Ann. Global Anal. Geom. — 1990. — V. 8. — P. 13-19.

[28] Milnor J. W. How to Compute Volume in Hyperbolic Space // In: Collected Papers, V. 1. Geometry. Houston: Publish or Perish. — 1994.

— P. 189-212.

[29] Milnor J. Hyperbolic geometry: the first 150 years // Bull. Amer. Math. Soc. — 1982. — V. 6, no. 1. — P. 9-24.

[30] MohantyY. Hyperbolic polyhedra: volume and scissors congruence // Ph.D. Thesis. University of California, San Diego. — 2002.

[31] MohantyY. The Regge symmetry is a scissors congruence in hyperbolic space // Algebr. Geom. Topol. — 2009. — V. 3. — P. 1-31.

[32] MostowG.D. Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of the hyperbolic space forms // Publ. Math. IHES — 1968. — V. 34. — P. 53-104.

[33] MostowG.D. Strong rigidity of locally symmetric spaces // Annals of Mathematics Studies no. 78. Princeton: Princeton University Press. — 1973.

[34] Murakami J., YanoM. On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron // Comm. Anal. Geom. - 2005. - V. 13. - P. 379-200.

[35] PonarinYa. P. Elementary planimetria. Vol. 1 // Moscow: MCCME. -2004.

[36] Prasad G. Strong rigidity of Q-rank 1 lattices // Inventiones Mathematicae - 1973. - V. 21. - P. 255-286.

[37] RatcliffeJ.G. Foundations of Hyperbolic Manifolds // New York: Springer-Verlag - 2006.

[38] Schlafli L. Theorie der vielfachen Kontinuität // Gesammelte mathematische Abhandlungen. Basel: Verlag Birkhäuser. — 1950. Bd. 1. P. 167-387.

[39] Schläfli L. On the multiple integral J j ... j dxdy... dz whose limits are pi = aix + biy +... + hiz > 0, p2 > 0,...> 0 and x2 + y2 +... + z2 < 1 // Quart. J. Pure Appl. Math. - 1858. - V. 2. - P. 269-300; 1860, V. 3. - P. 54-68; 97-108.

[40] Scott P. The geometries of 3-manifolds // Bull. London Math. Soc. -1986. - V. 15. - P. 401-487.

[41] Sforza G. Ricerche di estensionimetria differenziale negli spazi metrico-projettivi // Modena Mem. Acc., Ser. III, VIII (Appendice). - 1906. -P. 21-66.

[42] StäckelP. Geometrische Untersuchungen von Wolfgang Bolyai und Johann Bolyai I - II. Leipzig. - 1913.

[43] StackelP. Vizsgalatok az abszolut geometria korebol Bolyai Janos hatrahagyott irataiban (Investigations in absolute geometry in the manuscripts of Janos Bolyai) // Mathematikai es Termeszettudomanyi Ertesito XX. Budapest. - 1902. - P. 175-186.

[44] Thurston W. P. The Geometry and Topology of Three-Manifolds // Princeton: Princeton Univ. Press. — 1980.

[45] Thurston W. P. Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry // Bull. Amer. Math. Soc. — 1982. — V. 6, no. 3. — P. 357-381.

[46] UshijimaA. Volume formula for generalized hyperbolic tetrahedra // In: Non-Euclidean Geometries. Andras Prekopa and Emil Molnar (Ed.), Mathematics and Its Applications — 2006. — V. 581. — P. 249-265.

[47] VesninA.Yu. On Volumes of Some Hyperbolic 3-manifolds // Lecture Notes Series. V. 30. Seoul: Seoul National University . — 1996.

[48] Vesnin A. Yu., Mednykh A. D. Hyperbolic volumes of Fibonacci manifolds // Siberian Mathematical Journal — 1995. — V. 36. — no. 2. — P. 235245.

[49] Vesnin A. On hyperbolic n-orbifolds with arbitrary many singular components // Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste — 2007. — V. 39. — P. 375-386.

[50] Volume A, Space-group symmetry, 2nd ed., eds. Th. Hahn International Tables for Crystallography // Dordrecht: D. Reidel Publishing Co. — 1987.

[51] Weeks J. Hyperbolic structures on 3-manifolds. // Ph. D. Thesis. Princeton University, New Haven. — 1985.

[52] WeszelyT. Bolyai Janos m,atem,atikai munkassaga (Mathematical works of Janos Bolyai). Bukarest: Kriterion Konyvkiado. —1981.

[53] Wolf J. A. Spaces of Constant Curvature // Houston: Publish or Perish.

— 1974.

Работы автора по теме диссертации

[54] Абросимов Н. В., Выонг Хыу Б. Объем гиперболического т,ет,раэдра с группой симметрий S4 // Тр. ИММ УрО РАН — 2017. — Т. 23, №4.

— С. 7-17.

[55] AbrosimovN., VuongB. The volume of a compact hyperbolic antiprism // J. of Knot Theory and Its Ramifications — 2018. — V. 27, No 13, article no. 1842010.

[56] Abrosimov N., Vuong B. The volume of spherical antiprism with S2n symmetry // Siberian Electronic Mathematical Reports — 2021. — Т. 18, №2. — С. 1165-1179.

[57] Выонг Х.Б. Геометрические свойства антитризмы, допускающей зеркально-вращательную симметрию порядка 2n //В сборнике: «Геометрия многообразий и её приложения» материалы шестой научной конференции с международным участием. Улан-Удэ. 27 - 29 августа 2020 года. Отв. ред. В. Б. Цыренова. — 2020. — С. 22-30.

[58] Mednykh A. D., VuongBao On hyperelliptic Euclidean 3-manifolds // J. of Knot Theory and Its Ramifications — 2021. — article no. 2140001, DOI: 10.1142/S0218216521400010

[59] AbrosimovN. V., VuongB. Explicit volume formula for a hyperbolic tetrahedron in terms of edge lengths // J. of Knot Theory and Its Ramifications — 2021. — article no. 2140007, DOI: 10.1142/S0218216521400071 http://arxiv.org/abs/2107.03004

[60] Vuong Huu Bao On the volume of hyperbolic tetrahedron with symmetry group S4 // Abstracts of the International Conference and PhD-Master Summer School on Groups and Graphs, Metrics and Manifolds. Yekaterinburg: Ural Federal University, 2017. — P. 103.

[61] Vuong H. B. Volume of hyperbolic tetrahedron admitting A-symmetry // Тезисы международной конференции «Математика в современном мире», посвященная 60-летию Института математики им. С. Л. Соболева под ред. Г. В. Демиденко. Новосибирск: Изд-во Института математики, 2017. — Р. 146.

[62] Vuong Huu Bao On the volume of a compact hyperbolic antiprism // Abstracts of talks of the International Conference and PhD-Master Summer School on «Graphs and Groups, Representations and Relations» (G2R2). Novosibirsk: Novosibirsk State University, 2018. — P. 87.

[63] Nicolay Abrosimov, Vuong Huu Bao On the volume of a compact hyperbolic antiprism // Тезисы Международной конференции «Дни

геометрии в Новосибирске». Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2018. - С. 5-6с.

[64] Vuong Bao On the edges matrix of a compact hyperbolic tetrahedron // Abstracts of talks of the 2nd International Conference «Groups and quandles in low-dimensional topology». Tomsk, 2019. — P. 7.

[65] Vuong Bao On hyperelliptic Euclidean 3-manifolds // Abstracts of talks of the 3rd International Conference «Groups and quandles in low-dimensional topology». Tomsk, 2020. — P. 6.

[66] Vuong Bao Antiprism in three-dimensional spaces of constant curvature // Abstracts of talks of the 4th International Conference «Groups and quandles in low-dimensional topology». Tomsk, 2021. — P. 18.

[67] Vuong Bao Volume of some polyhedra in three-dimensional spaces of constant curvature // Abstracts of talks of the International Conference «Geometry in the Large». Saint Petersburg, 2021. — P. 25.