Сложность трехмерных многообразий: точные значения и оценки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Фоминых, Евгений Анатольевич

• Фоминых, Евгений Анатольевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Фоминых, Евгений Анатольевич

Оглавление

Введение

1 Оценки сложности замкнутых многообразий

1.1 Известные и новые оценки сложности

1.2 Тэта-кривые на торе и простые относительные спайны

1.3 Доказательство теоремы 1.1.11

1.4 Доказательство теоремы 1.1.12

1.5 Доказательство теоремы 1.1.13

1.6 Нижние оценки числа многообразий, обладающих геометриями S3 и Nil

2 Оценки сложности многообразий с краем

2.1 Многообразия Зейферта с краем

2.2 Торические узлы

2.3 Кружевные узлы с тремя нитями

3 Сложность гиперболических многообразий с краем

3.1 Гиперболические многообразия с краем, сложность которых известна

3.2 Семейство гиперболических многообразий

3.3 Двусторонние оценки сложности многообразий

3.4 е-инвариант

3.5 Точные значения сложности многообразий М* к

3.6 Точные значения сложности многообразий

4 Сложность гиперболических многообразий с каспами

4.1 Обезвоженное описание

4.2 Многообразия, склеенные из не более чем девяти тетраэдров

4.3 Многообразия, склеенные из десяти тетраэдров

4.4 Сложность гиперболических многообразий с каспами

Заключение

Литература

149

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сложность трехмерных многообразий: точные значения и оценки»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы. Фундаментальной проблемой маломерной топологии является проблема классификации трехмерных многообразий. Один из подходов к частичному решению этой проблемы заключается во введении меры "сложности" многообразия. Наличие такой меры позволяет перечислять многообразия в порядке возрастания их сложности, т.е. сначала перечислять многообразия сложности 0, затем — сложности 1, затем сложности 2 и т.д. В качестве такой функции сложности можно рассмотреть, например, род Хегора д(М) или минимальное число симплексов в триангуляции многообразия M. Однако, эти меры сложности имеют существенные недостатки. Если многообразия рода Хегора 1 классифицированы (это линзовые пространства Lp>q), то уже для больших значений рода g такой простой классификации пока нет. Минимальное число симплексов в триангуляции многообразия как функция сложности не является аддитивной по отношению к связной сумме многообразий, поскольку трехмерная сфера S3 имеет ненулевую сложность.

Обозначим через Л4 множество всех компактных связных трехмерных многообразий. В [49] C.B. Матвеев построил функцию с : Л4 —» Z с целыми неотрицательными значеними, которая обладает следующими свойствами:

1. Функция с аддитивна по отношению к связной сумме многооб-

разий, т.е. с(Мх#М2) = с{Мх) + с(М2).

2. Функцию с(М) можно сравнительно легко оценить сверху.

Напомним определение сложности по Матвееву. Пусть M — связное компактное трехмерное многообразие. Компактный двумерный полиэдр Р С M называется спайном многообразия М, если либо dM ^ 0 и пространство M \ Р гомеоморфно дМ х (0,1], либо дМ = 0 и пространство М\Р гомеомеорфно открытому шару. Компактный полиэдр Р называется почти простым, если линк каждой его точки вкладывается в полный граф К4 с четырьмя вершинами. Точки, л инки которых гомеоморфны графу называются истинными вершинами полиэдра Р. Спайн многообразия называется почти простым, если он является почти простым полиэдром. Будем говорить, что сложность с(М) многообразия M равна к, если M имеет почти простой спайн с к истинными вершинами и не имеет почти простых спайнов с меньшим числом истинных вершин.

Как уже отмечалось, сложность с(М) многообразия M можно сравнительно легко оценить сверху. Для этого достаточно построить какой-нибудь его почти простой спайн Р. Тогда число истинных вершин спайна Р и есть верхняя оценка сложности с(М). В [50] приведено несколько таких оценок сложности, основанных на построении почти простых спайнов многообразий, заданных сингулярными триангуля-циями, диаграммами Хегора, оснащенными зацеплениями и др. Однако, найденные таким способом верхние оценки сложности как правило весьма далеки от реальных значений сложности.

В работе [9] C.B. Матвеев построил верхние оценки сложности линзовых пространств. Позже Б. Мартелли и К. Петронио [48] построили верхние оценки сложности расслоений над окружностью со слоем тор

и замкнутых многообразий Зейферта. Как мы увидим ниже, эти оценки точны для всех многообразий, сложность которых не превосходит 12.

Задача вычисления сложности многообразий является весьма трудной. К настоящему времени точные значения сложности известны только для конечного числа табулированных многообразий, а также для нескольких бесконечных семейств замкнутых многообразий и многообразий с краем. Остановимся на этом более подробно.

C.B. Матвеев показал [50], что в классе замкнутых неприводимых многообразий и в классе гиперболических многообразий функция сложности обладает свойством конечности. Это означает, что для каждого целого числа к существует только конечное число различных замкнутых ориентируемых неприводимых многообразий сложности к и конечное число различных ориентируемых гиперболических многообразий сложности к. Напомним, что трехмерное многообразие называется гиперболическим, если его внутренность допускает полную гиперболическую метрику конечного объема. Отметим, что функция сложности с, вообще говоря, не обладает свойством конечности. Например, почти простой спайн F х {1/2} многообразия F х [0,1], где F — замкнутая ориентируемая поверхность, не имеет истинных вершин. Поэтому многообразия вида F х [0,1] образуют бесконечное семейство многообразий сложности 0.

Свойство конечности позволяет перчислять все замкнутые неприводимые многообразия и все гиперболические многообразия в порядке возрастания их сложности. Сначала изложим результаты компьютерной классификации замкнутых ориентируемых многообразий, проведенной C.B. Матвеевым и его учениками (см. [10, 11, 50]).

Теорема 1.1.10 ([50]) Число замкнутых ориентируемых неприводимых трехмерных многообразий сложности <12 задается таблицей 1.1.

Тип\с < 5 6 7 8 9 10 11 12 Итого

S* 61 61 117 214 414 798 1582 3118 6365

Eó 0 6 0 0 0 0 0 0 6

Nil 0 7 10 14 15 15 15 15 91

Н2 х R 0 0 0 2 0 8 4 24 38

SL2R 0 0 39 162 513 1416 3696 9324 15150

Sol 0 0 5 9 23 39 83 149 308

Há 0 0 0 0 4 25 120 461 610

Составные 0 0 4 35 185 777 2921 10361 14283

Итого 61 74 175 436 1154 3078 8421 23452 36851

Таблица 1.1: Число замкнутых ориентируемых неприводимых трехмерных многообразий сложности <12

Число замкнутых неориентируемых Р2-неприводимых многообразий растет гораздо медленнее. Как показали Г. Амендола и Б. Мар-телли в работе [21], на уровне сложности < 7 их всего 8: пять имеют сложность 6 и три — сложность 7.

Первая таблица всех компактных ориентируемых гиперболических 3-многообразий с геодезическим краем сложности 2 содержала 8 многообразий и была построена М. Фуджи еще в 1990 г., см. [37]. Эти многообразия обладают следующими свойствами:

• край каждого многообразия есть замкнутая ориентируемая поверхность рода 2;

• все многообразия имеют одинаковый объем « 6, 451998;

• это значение объема является минимальным в множестве объемов всех компактных ориентируемых гиперболических 3-много-образий с геодезическим краем (см. [45]).

Следующий шаг был сделан Р. Фрижерио, Б. Мартелли и К. Пет-ронио [36]. При помощи компьютера они показали, что среди всех компактных ориентируемых гиперболических 3-многообразий с геодезическим краем 150 многообразий имеют сложность 3 и 5002 многообразий имеют сложность 4.

Появление в начале 1990-х программного обеспечения для работы с узлами, зацеплениями и трехмерными многообразиями сделало возможным перечисление трехмерных гиперболических многообразий с каспами по числу идеальных тетраэдров в их минимальной триангуляции. Прежде всего, речь идет о компьютерной программе БпарРеа [61]. С ее помощью в 1989 г. был составлен список многообразий с каспами, для построения которых достаточно пяти идеальных тетраэдров [44]. В 1999 г. был составлен список многообразий с каспами, для построения которых достаточно семи идеальных тетраэдров [25]. В 2010 г. был составлен список многообразий с каспами (он содержит 12846 многообразий) , для построения которых достаточно восьми идеальных тетраэдров [56].

Из вышеизложенного видно, что точные значения сложности известны для большого, но конечного числа систематически перечисленных многообразий. В.В. Таркаев при помощи компьютерных вычислений показал, что известные верхние оценки сложности линзовых пространств [9], расслоений над окружностью со слоем тор и замкнутых многообразий Зейферта [48] точны для всех многообразий, сложность которых не превосходит 12.

К настоящему моменту есть лишь несколько бесконечных серий многообразий, сложность которых известна. Точные значения сложности для бесконечого числа линзовых пространств и обобщенных пространств кватернионов получены В. Джейко, X. Рубинштайном и С. Тиллманом в [40, 41]. Точные значения сложности для бесконечого числа ориентируемых гиперболических многообразий с геодезическим краем, имеющих специальные спайны с одной 2-компонентой, получены в [34]. Наконец, точные значения сложности накрытий дополнительного пространства узла восьмерка получены С. Анисовым в [22].

Цели и задачи. Целью диссертации является развитие теории сложности трехмерных многообразий. Диссертация посвящена решению следующих актуальных задач данной теории.

Задача 1. Построение верхних оценок сложности для бесконечных серий замкнутых граф-многообразий Вальдхаузена, точных для всех многообразий, сложность которых не превосходит 12. Граф-многообразия были введены и классифицированы Ф. Вальдхаузеном [59, 60]. Среди замкнутых ориентируемых неприводимых трехмерных многообразий сложности < 12 их более 90% [50]. Однако верхние оценки сложности, точные для всех многообразий сложности < 12, были известны только для линзовых пространств [9] и для замкнутых многообразий Зейферта [48]. Поэтому задача нахождения таких точных оценок сложности для новых серий граф-многообразий весьма актуальна.

Задача 2. Нахождение точных значений сложности для бесконечного числа многообразий, в частности, для многообразий Паолюци -Циммермана [53] и гиперболических многообразий с каспами. Так как сложность является одним из важнейших инвариантов трехмерных многообразий, то эта задача также весьма актуальна. До получения

результатов, представленных в диссертации, точные значения сложности для бесконечного числа неприводимых многообразий были известны только для линзовых пространств и обобщенных пространств кватернионов [10, 11], для многообразий с краем, имеющих специальные спайны с одной 2-компонентой [34, 35], для накрытий дополнительного пространства узла восьмерка [22] и для многообразий сложности 0 [16, 12].

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Они содержат решения соответствующих актуальных задач теории сложности трехмерных многообразий. Новыми являются и методы получения результатов, особенно метод нахождения точных значений сложности гиперболических многообразий с геодезическим краем.

Выносимые на защиту положения. На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационного исследования.

1. Найдены верхние оценки сложности для двух бесконечных классов замкнутых граф-многообразий и для многообразий, полученных хирургиями Дена на узле восьмерка. Эти оценки точны для всех указанных многообразий сложности <12 (теоремы 1.1.11, 1.1.12 и 1.1.13).

2. Получены верхние оценки сложности для всех многообразий Зей-ферта с непустым краем и, как следствие, для дополнительных пространств торических узлов в трехмерной сфере (теоремы 2.1.1 и 2.2.1).

3. Решена задача вычисления сложности для бесконечного семейства гиперболических многообразий Паолюци - Циммермана и

их обобщений (теоремы 3.5.1 и 3.6.1).

4. Табулированы и исследованы гиперболические многообразия с каспами, склеенные из не более чем 10 правильных идеальных гиперболических тетраэдров, а также установлены точные значения сложности их накрытий (теоремы 4.2.1, 4.2.2, 4.3.1 и 4.4.1).

Результаты пункта 1 получены автором лично. Результаты пункта 2 получены автором совместно с Б. Вистом (В. Wiest) при равном вкладе и являются неделимыми. Результаты пункта 3 получены автором совместно с А.Ю. Весниным при равном вкладе и являются неделимыми. Результаты пункта 4 получены автором совместно с А.Ю. Весниным и В.В. Таркаевым при равном вкладе и являются неделимыми.

Перейдем к описанию структуры работы и точным фомулиров-кам основных результатов. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Каждая глава разбита на параграфы. Список литературы приведен в алфавитном порядке.

Первая глава диссертации посвящена построению точных верхних оценок сложности для двух бесконечных классов А и ¡Е замкнутых граф-многообразий Вальдхаузена и для многообразий, получаемых р/д-хирургиями на узле восьмерка.

Напомним, что компактное ориентируемое многообразие М называется граф-многообразием [59, 60], если его можно получить склеиванием нескольких экземпляров элементарных блоков D2 х S1 и N2 х S1, где D2 — диск и N2 — диск с двумя дырками, по некоторым гомеоморфизмам их краевых торов. Любое неприводимое граф-многообразие задается меченой молекулой (см. [50]), т.е. ориентированным графом, каждой вершине (атому) которого сопоставлено многообразие Зейфер-

та с указанными базовой поверхностью и параметрами особых слоев. Торы на крае этого многообразия должны соответствовать ребрам, инцидентным рассматриваемой вершине, и на них должны быть введены канонические системы координат. Ребра графа должны быть помечены целочисленными матрицами порядка 2, задающими гомеоморфизмы склеек.

Опишем классы Л и Н. Будем говорить, что замкнутое ориентируемое граф-многообразие принадлежит классу Л тогда и только тогда, когда ЛБЛ-разбиение этого многообразия состоит из двух многообразий Зейферта с базой диск В2 и двумя особыми слоями каждое. Пусть С

— множество всех целочисленных матриц порядка 2 с определителем

— 1. Многообразия класса Л удобно задавать меченными молекулами вида (МъМ2,А), где

{РпЯг) — пары взаимно простых целых чисел, ¿1,^2 £

Будем говорить, что меченая молекула {М\,М2,А) многообразия класса Л приведена, если = ¿2 — —1 и параметры (рг.дг) особых слоев удовлетворяют условию рг > дг > 0, 1 < г < 4.

Пусть р, д Е N. Обозначим через £> (р, д) сумму всех неполных частных в разложении числа р/д в непрерывную дробь, т.е.

М1 = (П2,(ръд1),(р2,д2),{1А1)), М2 = {В2,(р3,д3),(р4,д4),{1Л2)), ЛЕС,

1

1

а2 + • • • +-

йк-1 н--

ак

3(р,д) = (ц + ... + ак,

> 0,..., а^ > О.

Наконец, каждой матрице А £ С сопоставим число

= 5(|а| + |6|, |с| + Щ).

Следующая теорема устанавливает верхние оценки сложности для многообразий из класса Л, точные для всех многообразий сложности < 12.

Теорема 1.1.11 ([73]) Пусть (Мх, А) — приведенная меченая молекула многообразия М £ Л. Тогда справедлива следующая оценка сложности с(М) многообразия М:

4

с(М) < тах{£(А) - 2,0} - 2 + ^

г=1

Эта оценка точна для всех многообразий класса Л сложности <12.

Будем говорить, что замкнутое ориентируемое граф-многообразие М принадлежит классу ЕЕ тогда и только тогда, когда ЛБЛ-разбиение многообразия М состоит из трех многообразий Зейферта: двух многообразий с базой диск В2 и двумя особыми слоями каждое и одного многообразия с базой кольцо А2 и одним особым слоем. Опишем такое многообразие более подробно.

Рассмотрим двухзвенную ломаную, ребра которой ориентированы от вершин V 1,^2 валентности 1 к вершине валентности 2. Каждой вершине щ ломаной сопоставим многообразие Зейферта М^, а ребра пометим матрицами Ах,А2 6 С, где

Мх = {р2 \рх.Ях)-ХР2,Ч2)А\-М)), М2 = (В2,{р3,д3),(р4,д4),(1А2)),

М3 = 042,(р5,д5),(Мз)).

В результате, мы получим меченую молекулу М2, М3, А2), определяющую некоторое граф-многообразие класса Е1.

Будем говорить, что меченая молекула (М1; М2, М3, А\, А2) многообразия класса ^ приведена, если tl — ¿2 — ^з — — 1 и параметры (РпЯг) особых слоев удовлетворяют условию Рг > Яг > 0, 1 < { < 5. Отвечающее ей многообразие будем обозначать М((рг, дг), 1 < г < 5). Будем говорить, что матрица

отрицательна, если хотя бы одно из чисел а/с.Ь/й 6 (¡}и {1/0} отрицательно.

Определим функцию си: С х С —> Z следующим образом:

Следующая теорема устанавливает верхние оценки сложности для многообразий из класса Н, точные для всех многообразий сложности

Теорема 1.1.12 ([70]) Пусть (Мь М2, М3, Аъ А2) — приведенная меченая молекула многообразия М = М((рг, дг), 1 < г < 5) Е Е!. Тогда

тах(£(А1) - 2,0) + тах(£(А2) - 2, 0), иначе.

обе матрицы отрицательны;

Кроме того, положим

< 12.

справедлива следующая оценка сложности с(М) многообразия М:

5

с(М) < ^ S(Pl, + А2) - 1.

i=i

Эта оценка точна для всех многообразий класса ЕЕ сложности <12.

Обозначим через 4i (p/q) замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие, полученное р/д-хирургией на узле восьмерка

Для формулировки теоремы нам потребуется ввести функцию и (p/q), определенную на множестве неотрицательных рациональных чисел и принимающую натуральные значения. Пусть р > 0, q > 1 — взаимно простые целые числа, [p/q] — целая часть числа p/q, и rem(p,q) — остаток от деления р на q. Определим значение uj(p/q) по следующему правилу

ЦP/q) = а(р/о) + max{\p/q] - 3, 0} + S(rem(p, q),q),

где

Г 6, если p/q = 4; a(p/q) = \ 7, если p/q € Z и р/g ф 4; [ 8, если p/q

Следующая теорема устанавливает верхние оценки сложности для многообразий 4i(p/q), точные для всех многообразий сложности < 12.

Теорема 1.1.13 ([72]) Для любых взаимно простых целых чисел р > 0 и q > 1 справедливо следующая оценка сложности c(4\(p/q)) многообразия 4i(p/q):

C(MP/Q)) < "(p/Q)-

Эта оценка точна для всех многообразий вида 4\(p/q) сложности

< 12.

Обозначим через Ф(к) и Ф(к) число замкнутых ориентируемых многообразий сложности < к, обладающих геометриями S3 и Nil соответственно. В конце первой главы на основе вышеописанных верхних оценок сложности многообразий строятся нижние оценки для чисел Ф(к) и Ф(&), являющиеся точными для всех к < 12. Это позволяет оценить снизу число многообразий с геометриями S3 и Nil, имеющих сложность 13.

Результаты первой главы опубликованы в работах [63, 70, 71, 72,

73].

Во второй главе диссертации развивается метод построения почти простых спайнов многообразий Зейферта с непустым краем. Опираясь на этод метод нами найдены верхние оценки сложности для всех многообразий Зейферта с непустым краем и, как следствие, найдены верхние оценки сложности для дополнительных пространств ториче-ских узлов в трехмерной сфере. Здесь под дополнительным пространством Еаф торического узла Т(а, /3) мы понимаем компактное многообразие, получающееся удалением из сферы S3 открытой трубчатой окрестности узла Т(а, /3).

Теорема 2.1.1 ([75]) Пусть М = (F, {ръ qx),..., (рк, qk)) - ориентируемое многообразие Зейферта с непустым краем и нормализованными параметрами (pi> qt> 0j особых слоев. Тогда

к

с(М) < ^^ m&x{S(pi, qi) — 3, 0}.

г=1

Теорема 2.2.1 ([75]) Пусть а, ¡3 — взаимно простые натуральные

числа и а > Р > 2. Тогда

с(Еа>р) < /3) - 3 + тах < 5(а,0) - ~ 3 > 0

а

¡3

Теорема 2.2.1 позволяет установить точные значения сложности дополнительных пространств четырех торических узлов.

Далее мы устанавливаем линейные верхние оценки сложности дополнительных пространств торических узлов.

Следствие 2.2.2 ([75]) (а) Для любого а > 3 справедливо неравенство

(Ъ) Пусть ос, ¡3 — взаимно простые натуральные числа и 2 < ¡3 < а — 2. Тогда справедливо неравенство

В заключении главы мы устанавливаем точные значения и верхние оценки сложности дополнительных пространств некоторых кружевных узлов с тремя нитями специального вида (теорема 2.3.1).

Результаты второй главы опубликованы в работах [69, 74, 75].

В третьей главе диссертации изучается сложность компактных ориентируемых гиперболических 3-многообразий к с геодезическим краем, где

Следствие 2.2.1 ([75]) (а) с{Е^2) = 0. (Ь) с(Е5>2) = с(Д4>3) = с(Я5,з) = 1.

с(£й.а_1) < тах(2о; - 7, 0).

а — 5, если а четно; а — 4, если а нечетно.

п> 3, 0 < к < п — 1, \<(1<п-1 и (п, 2 — к) = (1.

Многообразия М^к рассматривались Л. Паолюци и Б. Циммерманом в работе [53].

Опишем многообразие Пусть Вп — п-угольная бипирамида,

ребрам которой приписаны метки аг,Ьг,сг, где г = 0,1,.. ., гг — 1, по аналогии с рис. 3.2, на котором приведен случай п = 6. Договоримся, что ребра с метками аг ориентированы в направлении от вершин Уг к вершинам К+ь ребра с метками Ъг — от вершин Уг к вершине А/", а ребра с метками сг — от вершины 5 к вершинам Уг.

N

Ьу / Ь\ А ДьХ А

Уо/ У\1 у2 \У4

а'5 \ «0 \а\ / аз / а4 ^^

Со \Cl\Ci 1 /СУ с4

5

Рис. 3 2: Бипирамида

Введем обозначения для граней:

Хг = агЬг+1Ъ~1 и Х[ = едс^.

Для каждого ¿ = 0,1,... ,п — 1 зададим попарные отождествления граней : Хг —>• в соответствии со следующим порядком обхода их границ

хкл • агог Ск+г&к-Н^к+г+Х'

Действие отождествлений х^л на гранях индуцирует их действие на ребрах и вершинах бипирамиды. Относительно этого действия ребра

бипирамиды разбиваются на ё классов эквивалентности:

Ео = 3 = 0,1,... , п'},

Е1 = {^1+ф, &2-Ь+ф, Сх+Ы-ф, .7 = 1) • • •

= {ас1- 1+ф) Ьа-к+ф, ^с!—1+/с+ф) .7 = 0,1,..., п'},

где п' = п/й— 1 и все индексы берутся по модулю п. Обозначим через факторпространство, получаемое попарными отождествлениями 2-'/с,г) г = 0,1,...,п—1, граней бипирамиды Вп. Оно является ориентируемым псевдомногообразием с одной особой точкой, и его эйлерова характеристики равна х(^пк) = 1 — с/ + п — 1 = п — <¿^0. Вырезав из коническую окрестность особой точки, получим компактное

многообразие М%к с одной компонентой края.

Ключевым результатом этой главы является решение задачи вычисления сложности для бесконечного семейства гиперболических многообразий Паолюци - Циммермана М^к и их обобщений М2к.

Теорема 3.5.1 ([64]) При п > 4 имеет место равенство

с(Кк) = п■

Теорема 3.6.1 ([65]) При п > 6 имеет место равенство

с{М1к) = п.

Кроме того, для всех обощенных многообразий Паолюци - Циммермана М%к найдены двусторонние оценки их сложности.

Теорема 3.3.1 ([67]) Имеют место следующие неравенства:

n-d< c(Mjttk) < п.

Для доказательства теорем 3.5.1 и 3.6.1 мы применяем ^-инвариант C.B. Матвеева, М.А. Овчинникова и М.В. Соколова [13], являющийся гомологически тривиальной частью инварианта Турева — Виро порядка 5.

В данной главе мы используем ^-инвариант также для доказательства существования собственных простых подполиэдров специальных спайнов замкнутых многообразий (предложение 3.4.1) [74]. Этот результат применяется в теории нормальных поверхностей Хакена [43] для доказательства того, что каждое замкнутое трехмерное многообразие, за исключением линзового пространства с параметрами (5,2), содержит нетривиальную нормальную поверхность [74], что по-видимому является первым примером использования е-инвариантов для получения новых теоретических результатов.

Результаты третьей главы опубликованы в работах [63, 64, 65, 68].

В четвертой главе диссертации предметом исследования являются трехмерные гиперболические многообразия с каспами. Класс таких многообразий представляет интерес в контексте теории узлов, поскольку примерами таких многооразий являются дополнения к узлам и зацеплениям в трехмерной сфере.

Каждое некомпактное гиперболическое 3-многообразие конечного объема может быть получено склейкой некоторого числа идеальных гиперболических тетраэдров [32]. Поскольку к настоящему времени речь идет о десятках тысяч табулированных многообразий, эти списки не застрахованы от неточностей, связанных с распознаванием мно-

гообразий. Совсем недавно в [2-1] было замечено, что список из [25] содержит два одинаковых неориентируемых многообразия с каспами. Они имеют обозначения ж 101 и ж 103, и каждое строится из шести идеальных тетраэдров.

Как известно, среди всех тетраэдров в трехмерном гиперболическом пространстве максимальный объем имеет правильный идеальный тетраэдр. Его объем уз равен 1.0149426... Если многообразие получено склеиванием Т правильных идеальных тетраэдров, то его объем равен Тг>з, и является максимальным среди всех многообразий, склеенных из Т идеальных тетраэдров.

В главе 4 получен полный список многообразий, имеющих максимальный объем среди всех многообразий, которые склеиваются из Т идеальных тетраэдров, где Т = 1,..., 10. Отметим, что результат теоремы 4.2.1, описывающей случаи Т = 1,2,..., 8, получен независимо от работ [25, 56] и полностью согласован с ними.

Обозначим через МУТк множество всех трехмерных ориентируемых гиперболических многообразий с к каспами, полученных склейками Т правильных идеальных гиперболических тетраэдров. Пусть \МУТк\ — мощность множества МУТк. Если оно не пусто, то его элементы будем обозначать МУТк, где п = 1,..., \МУТк\. Для описания склеек идеальных тетраэдров мы применяем кодировки, используемые в работе [25].

Теорема 4.2.1 ([66, 67]) Существует ровно 29 ориентируемых гиперболических 3-многообразий с каспами, получаемых склеиванием не более чем восьми правильных идеальных гиперболических тетраэдров: 17 из них имеют один касп, а 12 — два каспа. Кодировки этих многообразий приведены в табл. 4-5 и 4-6, соответственно.

Имя Кодировка Н\ Обозначения из [25]

МУ2\ саЬЬЬЬае1 Z М2\

МУ2\ саЬЬЬЬар! ъь®ъ М22

МУ4\ еЬсИэсвсЫадЬр! М451

МУ412 еЬсИэсскк^Ые Zз © Zз ф Z М452

МУЪ\ 1араас1ссеееЬ1оЬ£\¥ Z2©Z М522З

МУ6\ gfdabbcdefffaqhhqqh Z4 е Z4 е z М6908

МУЬ\ gfdabbcdefffaqhhqax Z2 0 Zl0 © Z М 69ю

МУ61 gbpaaddefeffoffhoxh Z4 0Z М 69О9

МУ&А gdhaabeffieehpilpet Zз©Z М 69ц

МУ&Ъ gbpaabcfdffefohfxhf Z2O0Z М6912

МУ$1 gbpaabefedffЖlofxh Z2 © Z4 0 Z М691з

МУ8\ ifdbfb cdefghhhaqhhqaalu Zз © Z15 ф Z —

МУд>2 ifdbfbcdefghhhaqhhqaadm Z7 © Z7 © Z —

МУ8\ ibpadcdefghhghkgsplecgn Z4фZ —

МУ8\ idhbbbeegfghhhqplqaaqdt Z4ФZ —

МУ8] ibpafbdefghhghknwalinow Z6ФZ —

МУ81 ibpafcfefegghhkqvmgmokk Z6фZ —

Таблица 4.5: Многообразия с одним каспом

Теорема 4.2.2 ([66, 67]) Существует ровно одно трехмерное ориентируемое гиперболическое многообразие с каспами, которое получается склеиванием девяти правильных идеальных гиперболических тетраэдров. Обозначим это многообразие МУ9\. Оно задается кодировкой

jbpahaaedeigghihigbftenjnfj, имеет 1 касп и Н^МУ^Х) — ф2.

Теорема 4.3.1 ([66, 67]) Любое ориентируемое гиперболическое 3-многообразие, полученное склеиванием десяти правильных идеальных тетраэдров имеет не более пяти каспов. При этом, справедливы следующие оценки и точные равенства для числа таких многообразий:

Имя Кодировка Нг Обозначение из 25]

MV4{ ebdbbdddemlqp zez M4l

МУЦ ebdbcdddddddx z®z M4i

MVb'i fapaadcceeebfnbfk z2 e z e z M52n

МУ6'( gdhaabfefefelpllpll z3 0 z 0 z M&i8

МУ7\ hbpabbcfggfegfkadihgo z2 e z e z M 7'f62

MV8\ idhbbbffegehhhmememxmmx ihpaagfhfhgfghxeeeexxxx zez —

MV8'22 idhbbbefFgehhhhxxxihiex zez —

MV$j idhbbbeegfghhhmplhmdatm zez —

MV 8'i idhbbbeefgfhhhppllxpxxl zez —

MV8'£ idhbbbeefgfhhhmplximume zez —

MV8'i idhbbbffgeghhhqupqpeeti z3 e z e z —

MV8j idhbbbeeffghhhppllxpllx z5 e z e z —

Таблица 4.0: Многообразия с двумя каспами

1. 11 < \МУЩ < 15;

2. 15 < |МУ102| < 20;

3. 9 < |МУ103| < 15;

4. |МУ104| = 3, при этом, МУ10\ = 53 \ Ь8а21, МУЩ = 53 \ ЫОпШ и МУЩ = 53 \ ¿12};

5. |МУ105| = 1, при этом, МУ10\ = 53 \ ЫОпШ;

Далее рассматривается понятие сложности для некомпактных гиперболических многообразий с каспами. Будем говорить, что сложность с(М) гиперболического многообразия М с каспами равна Т, если М допускает идеальную триангуляцию из Т тетраэдров, и не допускает идеальных триангуляций с меньшим числом тетраэдров. Точные значения сложности известны для конечного числа многообразий, полученных склеиванием не более чем восьми идеальных тетраэдров [25, 56]. Известно, что объем уо1(М) трехмерного гиперболического

многообразия М является его топологическим инвариантом. Среди всех тетраэдров в Н3 наибольший объем уз = 1.0149426 ... имеет правильный идеальный тетраэдр. На этом основано следующее свойство, отмеченное в [22]:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фоминых, Евгений Анатольевич, 2014 год

Литература

[1] Веснин, А.Ю. Трехмерные гиперболические многообразия типа Лебелля / А.Ю. Веснин // Сиб. матем. журн. - 1987. - Т. 28, № 5. - С. 50-53.

[2] Веснин, А.Ю. Объемы трехмерных гиперболических многообразий Лебелля / А.Ю. Веснин // Матем. заметки. - 1998. - Т. 64, № 1. - С. 13-24.

[3] Веснин, А.Ю. Разветвленные циклические накрытия линзовых пространств / А.Ю. Веснин, Т.А. Козловская // Сиб. матем. журн. - 2011. - Т. 52, № 3. - С. 542-554.

[4] Веснин, А.Ю. Двусторонние оценки сложности многообразий Лё-белля / А.Ю. Веснин, C.B. Матвеев, К. Петронио // Докл. Акад. наук. - 2007. - Т. 416, № 3. - С. 295-297.

[5] Веснин, А.Ю. Гиперболические объемы многообразий Фибоначчи / А.Ю. Веснин, А.Д. Медных // Сиб. матем. журн. - 1995. -Т. 36, № 2..- С. 266-277.

[6] Винберг, Э. Б. Объемы неевклидовых многогранников / Э. Б. Винберг // Успехи матем. наук. - 1993. - Т. 48, № 2. - С. 17-46.

[7] Грасселли, JI. Многообразия Зейферта и (1,1)-узлы / JI. Грас-селли, М. Мулаццани // Сиб. матем. журн. - 2009. - Т. 50, № 1.

- С. 28-39.

[8] Козловская, Т.А. Обобщение многообразия Эверита. Диаграммы Хегора. Сложность / Т.А. Козловская // Вестник Кемеровского государственного университета. - 2011. - № 3-1. - С. 54-59.

[9] Матвеев, C.B. Сложность трехмерных многообразий и их перечисление в порядке возрастания сложности / C.B. Матвеев // Докл. Акад. наук СССР. - 1988. - Т. 301, № 2. - С. 280-283.

[10] Матвеев, C.B. Распознавание и табулирование трехмерных многообразий / C.B. Матвеев // Докл. Акад. наук. - 2005. - Т. 400, № 1. - С. 26-28.

[11] Матвеев, C.B. Табулирование трехмерных многообразий / C.B. Матвеев // Успехи матем. наук. - 2005. - Т. 60, № 4. - С. 97-122.

[12] Матвеев, C.B. Структура трехмерных многообразий сложности 0 / C.B. Матвеев, Д.О. Николаев // Докл. Акад. наук. - 2014. -Т. 455, № 1. - С. 15-17.

[13] Матвеев, C.B. Построение и свойства ¿-инварианта / C.B. Матвеев, М.А. Овчинников, М.В. Соколов // Записки научных семинаров ПОМИ. - 2000. - Т. 267. - С. 207-219.

[14] Матвеев, C.B. Нижние оценки сложности трехмерных многообразий / C.B. Матвеев, E.J1. Первова // Докл. Акад. наук. - 2005.

- Т. 378, № 2. - С. 151-152.

[15] Матвеев, C.B. Изоэнергетические поверхности интегрируемых гамильтоновых систем, перечисление трехмерных многообразий в порядке возрастания их сложности и вычисление объемов замкнутых гиперболических многообразий / C.B. Матвеев, А.Т. Фоменко // Успехи матем. наук. - 1988. - Т. 43, № 1. - С. 522.

[16] Николаев, Д.О. Классификация многообразий сложности 0 / Д.О. Николаев // Вестник Челябинского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2008.

- № 6. - С. 101-107.

[17] Овчинников, М.А. Представление гомеотопий тора простыми полиэдрами с краем / М.А. Овчинников // Мат. заметки. - 1999. -Т. 66, № 4. - С. 533-539.

[18] Овчинников, М.А. Построение простых спайнов многообразий Вальдхаузена / М. А. Овчинников // Сб. трудов межд. конф. "Маломерная топология и комбинаторная теория групп", Киев: Институт математики НАН Украины. - 2000. С. 65-86.

[19] Скотт, П. Геометрии на трехмерных многообразиях / П. Скотт.

- М.: Мир, 1986. - 168 с.

[20] Adams, С. Minimum idéal triangulations of hyperbolic 3-manifolds / C. Adams, W. Sherman // Discrète Comput. Geom. - 1991. - Vol. 6, No. 2. - P. 135-153.

[21] Amendola, G. Non-orientable 3-manifolds of complexity up to 7 / G. Amendola, B. Martelli // Topology Appl. - 2005. - Vol. 150, No. 1-3. - P. 179-195.

[22] Anisov, S. Exact values of complexity for an infinite number of 3-manifolds / S. Anisov // Moscow Math. J. - 2005. - Vol. 5, No. 2. -P. 305-310.

[23] G. Burde, H. Zieschang: Knots, Studies in Math. Vol. 5, de Gruyter, Berlin-New York, 1985.

[24] Burton B.A. A duplicate pair in the Snappea census. Preprint arXiv:1311.7615. URL: http://arxiv.org/pdf/1311.7615v2.pdf (дата обращения 11.03.2014).

[25] Callahan, P. A census of cusped hyperbolic 3-manifolds. With microfiche supplement / P. Callahan, M. Hildebrand, J. Weeks // Math. Сотр. - 1999. - Vol. 68, No. 225. - P. 321-332.

[26] Casali, M.R. Computing Matveev's complexity of non-orientable 3-manifolds via crystallization theory / M.R. Casali // Topology Appl. - 2004. - Vol. 144, No. 1-3. - P. 201-209.

[27] Casali, M.R. Computing Matveev's complexity of non-orientable 3-manifolds via crystallization theory: the boundary case / M.R. Casali, P. Cristofori // Journal of Knot Theory and its Ramifications. - 2013. - Vol. 22, No. 8. - article number 1350038.

[28] Casali, M.R. Complexity computation for compact 3-manifolds via crystallizations and Heegaard diagrams / M.R. Casali, P. Cristofori, M. Mulazzani // Topology Appl. - 2012. - Vol. 159, No. 13. -P. 3042-3048.

[29] Cattabriga, A. Complexity, Heegaard diagrams and generalized Dunwoody manifolds / A. Cattabriga, M. Mulazzani, A. Vesnin // J. Korean Math. Soc. - 2010. - Vol. 47, No. 3. - P. 585-599.

[30] Cristofori, P. Cyclic generalizations of two hyperbolic icosahedral manifolds / P. Cristofori, T. Kozlovskaya, A. Vesnin // Topology Appl. - 2012. - Vol. 159, No. 8. - P. 2071-2081.

[31] M.J. Dunwoody, Cyclic presentations and 3-manifolds, In: Proc. Inter. Conf., Groups-Korea '94, Walter de Gruyter, Berlin-New York (1995) 47-55.

[32] Epstein, D. Euclidean decompositions of noncompact hyperbolic manifolds / D. Epstein, R. Penner // Journal of Differential Geometry. - 1988. - Vol. 27, No. 1. - P. 67-80.

[33] Ferri, M. A graph-theoretical representation of PL-manifolds —a survey on crystallizations / M. Ferri, C. Gagliardi, L. Grasselli // Aeq. Math. - 1986. - Vol. 31. - P. 121-141.

[34] Frigerio, R. Complexity and Heegaard genus of an infinite class of compact 3-manifolds / R. Frigerio, B. Martelli, C. Petronio // Pacific J. Math. - 2003. - Vol. 210, No. 2. - P. 283-297.

[35] Frigerio, R. Dehn filling of cusped hyperbolic 3-manifolds with geodesic boundary / R. Frigerio, B. Martelli, C. Petronio // Journal of Differential Geometry. - 2003. - Vol. 64, No. 3. - P. 425-455.

[36] Frigerio, R. Small hyperbolic 3-manifolds with geodesic boundary / R. Frigerio, B. Martelli, C. Petronio // Experimental Mathematics. - 2004. - Vol. 13, No. 2. - P. 171-184.

[37] Fujii, M. Hyperbolic 3-manifolds with totally geodesic boundary which are decomposed into hyperbolic truncated tetrahedra / M. Fujii // Tokyo J. Math. - 1990. - Vol. 13, No. 2. - P. 353-373.

[38] Gabai, D. Minimum volume cusped hyperbolic three-manifolds / D. Gabai, R. Meyerhoff, P. Milley //J. Amer. Math. Soc. - 2009. -Vol. 22, No. 4. - P. 1157-1215.

[39] Grasselli, L. Genus one 1-bridge knots and Dunwoody manifolds / L. Grasselli, M. Mulazzani // Forum Math. - 2001. - Vol. 13. -P. 379-397.

[40] Jaco, W. Minimal triangulations for an infinite family of lens spaces / W. Jaco, H. Rubinstein, S. Tillmann //J. Topology. - 2009. -Vol. 2, No. 1. - P. 157-180.

[41] Jaco, W. Coverings and minimal triangulations of 3-manifolds / W. Jaco, H. Rubinstein, S. Tillmann // Algebraic & Geometric Topology. - 2011. - Vol. 11, No. 3. - P. 1257-1265.

[42] Johannson, K. Homotopy equivalences of 3-manifolds with boundaries. Lecture Notes in Mathematics. V. 761. Springer, Berlin, 1979.

[43] Haken, W. Theorie der Normalflächen / W. Haken // Acta Math. -1961. - Vol. 105. - P. 245-375.

[44] Hildebrand M.V., Weeks J.R. A computer generated census of cusped hyperbolic 3-manifolds // Computers and mathematics: papers from the conference held at the Massachusetts Institute of Technology / eds. Erich Kaltofen, Stephen M. Watt. (Cambridge, 1989). New York: Springer-Verlag, 1989. P. 53-59.

[45] Kojima, S. The smaller hyperbolic 3-manifolds with totally geodesic boundary / S. Kojima, Y. Miyamoto //J. Differential Geom. - 1991. - Vol. 34, No. 1. - P. 175-192.

[46] Kellerhals, R. On the volume of hyperbolic polyhedra / R. Kellerhals // Mathematische Annalen. - 1989. - Vol. 285, No. 4. - R 541-569.

[47] Martelli, B. Three-manifolds having complexity at most 9 /

B. Martelli, C. Petronio // Experimental Math. - 2001. - Vol. 10, No. 2. - P. 207-236.

[48] Martelli, B. Complexity of geometric 3-manifolds / B. Martelli,

C. Petronio // Geom. Dedicata. - 2004. - Vol. 108, No. 3. - P. 15-69.

[49] Matveev, S. Complexity theory of 3-dimensional manifolds / S. Matveev // Acta Appl. Math. - 1990. - Vol. 19, No. 2. - P. 101130.

[50] Matveev, S. Algorithmic topology and classification of 3-manifolds. In: Algorithms and Computation in Mathematics. Springer, Vol. 9, Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 2007, xiv+492 p.

[51] Matveev, S. Two-sided asymptotic bounds for the complexity of some closed hyperbolic three-manifolds / S. Matveev, C. Petronio, A. Vesnin // Journal of the Australian Math. Soc. - 2009. - Vol. 86, No. 2. - P. 205-219.

[52] Mednykh, A. Covering properties of small volume hyperbolic 3-manifolds / A. Mednykh, A. Vesnin //J. Knot Theory Ramifications.

- 1998. - Vol. 7, No. 3. - P. 381-392.

[53] Paoluzzi, L. On a class of hyperbolic 3-manifolds and groups with one defining relation / L. Paoluzzi, B. Zimmermann // Geom. Dedicata.

- 1996. - Vol. 60, No. 2. - P. 113-123.

[54] Petronio, С. Two-sided asymptotic bounds for the complexity of cyclic branched coverings of two-bridge links / C. Petronio, A. Vesnin // Osaka J. Math. - 2009. - Vol. 46, No. 4. - P. 1077-1095.

[55] Ratcliffe J. Foundations of hyperbolic manifolds. 2nd ed. New York: Springer, 2006. 779 p. (Graduate Texts in Mathematics; vol. 149.)

[56] Morwen Thistlethwaite's homepage [site]: Cusped hyperbolic manifolds with 8 tetrahedra.

URL: http://www.math.utk.edu/~morwen/8tet/ (дата обращения: 11.03.2014).

[57] Thurston, W. Three dimensional geometry and topology / W. Thurston. - Princeton Math. Ser. 35, Princeton University Press, 1997.

[58] Ushijima, A. The canonical decompositions of some family of compact orientable hyperbolic 3-manifolds with totally geodesic boundary / A. Ushijima // Geom. Dedicata. - 1999. - Vol. 78, No. 1. - P. 21-47.

[59] Waldhausen, F. Eine Klasse von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.

I. / F. Waldhausen // Invent. Math. - 1967. - Vol. 3. - P. 308-333.

[60] Waldhausen, F. Eine Klasse von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.

II. / F. Waldhausen // Invent. Math. - 1967. - Vol. 4. - P. 87-117.

[61] Jeff Weeks' Topology and Geometry Software [site]: SnapPea. URL: http://geometrygames.org/ SnapPea/ (дата обращения: 11.03.2014).

[62] Wolf, J. A.: Spaces of constant curvature. McGraw-Hill Book Co., New York-London-Sydney (1967).

Работы автора по теме диссертации

[63] Веснин, А.Ю. Сложность трехмерных многообразий: точные значения и оценки / А.Ю. Веснин, C.B. Матвеев, Е.А. Фоминых // Сибирские электронные математические известия. - 2011. - Т. 8. - С. 341-364.

[64] Веснин, А.Ю. Точные значения сложности многообразий Пао-люци - Циммермана / А.Ю. Веснин, Е.А. Фоминых // Доклады Академии наук. - 2011. - Т. 439, № 6. - С. 727-729.

[65] Веснин, А.Ю. О сложности трехмерных гиперболических многообразий с геодезическим краем / А.Ю. Веснин, Е.А. Фоминых" // Сибирский математический журнал. - 2012. - Т. 53, № 4. -С. 781-793.

[66] Веснин, А.Ю. Трехмерные гиперболических многообразий с кас-пами сложности 10, имеющие максимальный объем /А.Ю. Веснин, В.В. Таркаев, Е.А. Фоминых // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2014. - Т. 20, № 2. - С. 74-87.

[67] Веснин, А.Ю. О сложности трехмерных гиперболических многообразий с каспами / А.Ю. Веснин, В.В. Таркаев, Е.А. Фоминых // Доклады Академии наук. - 2014. - Т. 456, № 1. - С. 11-14.

[68] Веснин, А.Ю. Двусторонние оценки сложности трехмерных гиперболических многообразий с геодезическим краем /А.Ю. Вес-

нин, Е.А. Фоминых // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. - 2014. - Т. 286. - С. 65-74.

[69] Таркаев, В.В. Верхние оценки сложности дополнительных пространств некоторых кружевных узлов / В.В. Таркаев, Е.А. Фоминых // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика - 2014. - Т. 6, № 3. - С. 50-52.

[70] Фоминых, Е.А. Верхние оценки сложности для бесконечной серии граф-многообразий / Е.А. Фоминых // Сибирские электронные математические известия. - 2008. - Т. 5. - С. 215-225.

[71] Фоминых, Е.А. Трехмерные многообразия малой сложности, обладающие геометриями и Nil / Е.А. Фоминых // Вестник Челябинского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2010. - № 23. - С. 98-103.

[72] Фоминых, Е.А. Хирургии Дена на узле восьмерка: верхняя оценка сложности / Е.А. Фоминых // Сибирский математический журнал. - 2011. - Т. 52, № 3. - С. 680-689.

[73] Фоминых, Е.А. Верхние оценки сложности многообразий, склеенных из двух многообразий Зейферта с базой диск и двумя особыми слоями / Е.А. Фоминых // Вестник Кемеровского государственного университета. - 2011. - № 3-1. - С. 87-92.

[74] Fominykh, Е. /с-normal surfaces / Е. Fominykh, В. Martelli // Journal of Differential Geometry. - 2009. - Vol. 82, No. 1. - P. 101114.

[75] Fominykh, Е. Upper bounds for the complexity of torus knot complements / E. Fominykh, B. Wiest // Journal of Knot Theory and its Ramifications. - 2013. - Vol. 22, No. 10. - article number 1350053.