Объемы и изометрии трехмерных гиперболических многообразий и орбифолдов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Веснин, Андрей Юрьевич

• Веснин, Андрей Юрьевич
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Веснин, Андрей Юрьевич

Введение

1 Объемы гиперболических многообразий

1.1 Многообразия Лёбелля.

1.2 Компактные и некомпактные многообразия равного объема

1.3 Конические многообразия Уайтхеда

1.4 Выпуклые оболочки квазифуксовых групп

2 Многообразия и орбифолды малого объема

2.1 Многообразия малого объема как двулистные накрытия

2.2 Многообразие Викса — Матвеева — Фоменко

2.3 Многообразия Фибоначчи как 2-листные накрытия и гипотезы Мей-ерхгофа — Ноймана.

2.4 Хирургии на орбифолдах Адамса.

3 Гиперэллиптические многообразия

3.1 Многообразия с тремя гиперэллиптическими инволюциями.

3.2 Трехмерный аналог теоремы Акколы

3.3 Гамильтоновы циклы и гиперэллиптичность

3.4 Группы Коксетера и гиперэллиптические многообразия.

3.5 Группы Коксетера и линзово-гиперэллиптические многообразия

4 Многообразия с циклической симметрией

4.1 Обобщенные многообразия Такахаши.

4.2 Изометрии циклических разветвленных накрытий двухмостовых узлов

4.3 Медианные зацепления и многообразия с богатыми группами симметрий

4.4 Группы с циклическим представлением.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Объемы и изометрии трехмерных гиперболических многообразий и орбифолдов»

Объектом исследования в данной работе являются объемы и изометрии трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов и конических многообразий. Первый пример некомпактного неориентируемого трехмерного гиперболического многообразия был построен в 1912 г. Гисекингом. Первые примеры замкнутых ориентируемых трехмерных гиперболических многообразий были построены Ф. Лёбеллем в 1931 г. и К. Вебером и X. Зейфертом в 1933 г. Бурное развитие теории трехмерных гиперболических многообразий началось в последние 25 лет и связано прежде всего с работами У. Терстона, его учеников и последователей. В настоящее время теория трехмерных гиперболических многообразий является активно развивающейся областью геометрии и топологии, элегантно сочетающей в себе идеи и методы гиперболической геометрии, теории трехмерных многообразий, теории узлов, геометрической теории групп, теории клейновых групп и многих других разделов современной математики.

Под трехмерным гиперболическим коническим многообразием принято понимать трехмерное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны с сингу-лярностями конического типа вдоль замкнутых геодезических [96]. При этом, каждой компоненте сингулярного множества сопоставлен конический угол, являющийся неотрицательным вещественным числом, не превосходящим 27г. Гиперболические конические многообразия возникают как естественное обобщение гиперболических 3-многообразий (которые соответствуют случаю, когда все конические углы равны 27г) и гиперболических 3-орбифолдов (которые соответствуют случаю, когда конические углы имеют вид 2ж/п для некоторых целых п > 1). Таким образом, каждое коническое многообразие С может быть охарактеризовано как тройка С — (Л4, Е,сч), где многообразие Л4 является его носителем, £ = является его сингулярным множеством, причем каждая компонента £,• гомеоморфна окружности, и множеством конических углов а — («1,.,с^), где с^-, э — 1,. ,к, соответствует компоненте При этом, равенство конического угла нулю означает удаление соответствующей компоненты.

Точное вычисление объемов трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов и конических многообразий является актуальной задачей, поскольку в силу теоремы жесткости Мостова объем трехмерного гиперболического многообразия является его топологическим инвариантом. Однако эта задача является достаточно трудной и связана, в частности, с проблемой вычисления объема многогранника в пространстве Лобачевского Н3. Первые результаты в этом направлении были получены Н.И. Лобачевским в 1832 г. Для некоторых классов многогранников формулы объемов были найдены Э.Б. Винбергом [1], Р. Келлерхалс [89], Дж. Милнором [116] и выражаются через функцию Лобачевского пх

А(х) = - / log | 2 sin С | dQ.

Jo

Так, тетраэдр Т в И3 с четырьмя идеальными вершинами описывается (с точностью до изометрии) единственным комплексным параметром z, Imz > 0 (двугранные углы тетраэдра Т — Tz равны arg z, arg , arg и каждый из них встречается дважды — при паре противолежащих ребер). Его объем выражается формулой [1, 116] vol Tz = Л (arg z) + Л ^arg —+ Л ^arS jfT^) "

В некоторых случаях для вычисления объемов многогранников, многообразий, орбифолдов и конических многообразий удобно использовать вариационную формулу Шлефли, принимающую в трехмерном гиперболическом случае следующий вид. Пусть Ct - гладкое однопараметрическое семейство конических многообразий с носителем и сингулярным множеством £ = öj=lEj фиксированных топологических типов. Тогда d vol Ct = — - 2] Ijdaj, з где lj - длина компоненты Sj, а сц - конический угол вокруг нее.

Свойства объемов трехмерных гиперболических многообразий кардинально отличаются от свойств объемов гиперболических многообразий других размерностей. Под n-мерным гиперболическим многообразием будем понимать фактор-пространство Мп — ЕР/Г, где Г — дискретная группа изометрий пространства Лобачевского Нп, действующая без неподвижных точек. Далее мы будем рассматривать ориентируемые гиперболические многообразий конечного объема.

Двумерный случай полностью описывается теоремой Гаусса - Бонне. Если М2 — гиперболическая поверхность рода g с к выколотыми точками, то area М2 = 2ir(2g — 2 + к). В частности, множество площадей гиперболических поверхностей является дискретным, существуют компактные и некомпактные поверхности равной площади и, с точностью до гомеоморфизма, существует лишь конечное число поверхностей равной площади.

В трехмерном случае имеет место теорема Терстона — Ергенсена: множество объемов трехмерных гиперболических многообразий образует на числовой прямой вполне упорядоченное подмножество типа и>ш и, с точностью до гомеоморфизма, существует лишь конечное число многообразий равного объема.

В [17] C.B. Матвеев и А.Т. Фоменко высказали гипотезу о строении начального отрезка множества объемов, которая была основана на большом количестве компьютерных вычислений объемов. В [83] К. Ходжсон и Дж. Вике уточнили первые десять наименьших многообразий и их объемы, проводя вычисления с помощью разработанной Дж. Виксом компьютерной программы SnapPea [159]. Наименьшее известное замкнутое ориентируемое 3-многообразие À4i, объем которого равен 0.9427., было независимо обнаружено C.B. Матвеевым и А.Т. Фоменко [17] а также Дж. Виксом [158]. Оно может быть представлено в виде М.\ = W(5, —2; 5, —1), где через W(m,n-,p,q) обозначается многообразие, полученное хирургиями Дэна с параметрами (га, п) и (р, q) на компонентах зацепления Уайтхеда W. Второе многообразие с объемом 0.9813 ., было построено Р. Мейерхгофом (см. [157]) с помощью (5, —1)-хирургии Дэна на узле восьмерка. Поскольку узел восьмерка может быть получен (1,1)-хирургией Дэна на одной компоненте зацепления W, это многообразие может быть описано как М.ч = W(l, 1; 5, —1). Третье многообразие М.г — W(3, — 2; 6, — 1) было обнаружено Р. Мейерхгофом и В. Нойманом [113]. Его объем равен 1.0149

Авторами были высказаны гипотезы о арифметичности М.ъ и точном равенстве его объема объему правильного идеального тетраэдра в пространстве Лобачевского И3.

Наименьший объем некомпактных ориентируемых гиперболических многообразий реализуется для двух многообразий, одним из которых является дополнение к узлу восьмерка [42]. Их объем равен 2,02. и соответствует предельному ординалу.

В [157] У. Терстон поставил вопрос о существовании компактного гиперболического многообразия, объем которого соответствует предельному ординалу.

По-видимому, до сих пор остается открытым вопрос М. Громова [67] о существовании пары трехмерных гиперболических многообразий с иррациональным отношением объемов.

Аналог теоремы Терстона — Ергенсена для трехмерных гиперболических орби-фолдов доказан В. Данбаром и Р. Мейерхгофом [54]. Орбифолды наименьших объемов с нежесткими каспами описаны К. Адамсом [25], и минимальный среди них -орбифолд, униформизируемый группой Пикара PSL(2, Z[z]).

Напомним, что в теории римановых поверхностей важную роль играют гиперэллиптические римановы поверхности. Обобщая это понятие, будем называть п-мерное многообразие Мп гиперэллиптическим, если оно обладает инволюцией г такой, что фактор-пространство Мп/(г} гомеоморфно n-мерной сфере Sn. При этом г называется гиперэллиптической инволюцией. В случае, когда многообразие допускает введение геометрической структуры, будем подразумевать, что инволюция г является изометрией. Существование гиперэллиптических многообразий в каждой из восьми трехмерных геометрий Терстона [157] установлено А.Д. Медных в [108]. Оценки на число гиперэллиптических инволюций трехмерных гиперболических многообразий были получены М. Рени и Б. Циммерманном [137].

С изучением гиперэллиптических инволюций тесно связана следующая проблема, поставленная Дж. Бирман в [92, проблема 3.25]. Пусть К — узел в й13, а М2(К) — его двулистное разветвленное накрытие. Будем говорить, что два узла К\ и К^ эквивалентны, если и только если соответствующие многообразия М'^Кх) и М2(К2) гомеоморфны. Проблема состоит в описании классов эквивалентных узлов и преобразований узлов, сохраняющих классы эквивалентности.

Хорошо известно, что группа изометрий трехмерного гиперболического многообразия конечного объема является конечной группой. Как установил С. Коджима [94], каждая конечная группа может быть реализована таким образом. Вычисление группы изометрий заданного многообразия является достаточно трудной задачей, решение которой в отдельных случаях возможно благодаря использованию алгебраических (см., например, [104]), геометрических (см., например, [7]), или компьютерных (см., например, [83]) методов. В то же время, группы симметрий гиперболических узлов и зацеплений изучены достаточно хорошо [39]. Естественно возникает вопрос: можно ли описать группу изометрий п-листного циклического разветвленного накрытия гиперболического узла, исходя из знания группы симметрий этого узла? В частности, можно ли при этом указать оценку на п, гарантирующую отсутствие на п-листном накрытии скрытых изометрий, т. е. не являющихся поднятиями симметрий узла? Такая оценка, хотя и весьма далекая от точной, была получена М. Рени и Б. Циммерманном [135].

Следуя [85], будем говорить, что группа С? является группой с циклическим представлением если при некоторых п и ад она допускает представление

7 = (?„(го) = {хъ.,хп \и>, г){и:)} ., г)п~1(ю)}, где г) : ¥п ¥п - автоморфизм свободной группы Fn = (жх,. .,хп) ранга п, определенный по правилу г}(хг) — Х{+1, г = 1,.,п — 1, г](хп) = а гу е - циклически приведенное слово. Слово ги называется определяющем словом. Как показал Дж. Столлингс, не существует алгоритма который по представлению группы позволил бы выяснить является ли данная группа фундаментальной группой трехмерного многообразия. Естественно возникает вопрос: какие группы с циклическим представлением являются фундаментальными группами трехмерных гиперболических многообразий? Например, такое представление имеют фундаментальные группы разветвленных циклических накрытий одномостовых узлов рода один [66]. В [152] установлены условия на слово ги при которых естественное НИМ-расширение группы Сп(ги), соответствующее автоморфизму г), является группой узла коразмерности два в /г-мерной сфере Зк, к > 3.

Целью диссертации является развитие теории трехмерных гиперболических многообразий. Основное внимание уделено получению точных формул объемов трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов, конических многообразий, выпуклых оболочек квазифуксовых групп; изучению многообразий и орбифолдов малого объема; построению и исследованию гиперэллиптических многообразий; описанию групп изометрий разветвленных циклических накрытий двухмостовых узлов.

В диссертации получены следующие основные результаты:

- установлено существование бесконечного семейства пар компактных и некомпактных трехмерных гиперболических многообразий равных объемов, что дает ответ на вопрос Терстона о предельных порядковых числах в теореме Терстона — Ерген-сена об объемах трехмерных гиперболических многообразий;

- установлено существование трехмерных гиперболических многообразий хегоро-ва рода два со сколь угодно большими объемами и группами изометрии сколь угодно большого порядка;

- дан ответ на вопрос Мейерхгофа — Ноймана о точном значении объема и об арифметичности третьего по объему известного компактного ориентируемого гиперболического трехмерного многообразия;

- получены точные формулы для объемов гиперболических конических многообразий Уайтхеда;

- получены точные формулы для объемов сердцевин выпуклых оболочек квазифуксовых групп проколотого тора;

- развита теория построения трехмерных гиперэллиптических и линзово-гипер-эллиптических многообразий из многогранников Коксетера;

- установлен трехмерный аналог теоремы Акколы о гиперэллиптичности и лин-зовой-гиперэллиптичности трехлистного неразветвленного накрытия многообразия хегорова рода два;

- в терминах хирургии Дэна получено описание многообразий, являющихся циклическими накрытиями трехмерной сферы, разветвленными над двухмостовыми узлами;

- получена оценка на порядок циклического накрытия трехмерной сферы, разветвленного над гиперболическим двухмостовым узлом, гарантирующая отсутствие на таком гиперболическом многообразии скрытых изометрий.

К другим результатам, имеющим и самостоятельный интерес, отнесем следующие:

- дано единое описание десяти известных наименьших по объему компактных трехмерных ориентируемых гиперболических многообразий в терминах хирургии на зацеплении Уайтхеда и как двулистных разветвленных накрытий трехмерной сферы;

- описано действие группы изометрий на многообразии Викса —Матвеева —Фоменко;

- получены точные формулы объемов многообразий Лёбелля;

- установлена связь между параметрами хирургий на орбифолдах Адамса и параметрами хирургий на накрывающих их некомпактных многообразиях;

- исследованы многообразия, получаемые хирургиями на зацеплении Уайтхеда и обладающие тремя гиперэллиптическими инволюциями; дано описание множеств ветвлений этих инволюций.

Перейдем к точным формулировкам.

В первой главе диссертации исследуются объемы трехмерных гиперболических многообразий, орбифолдов и конических многообразий. При этом, основное внимание уделяется изучению вопросов, связанных с теоремой Терстона - Ергенсена и получению точных формул объемов.

В §1.1 рассматривается классическое многообразие Лёбелля и его естественные обобщения и устанавливаются явные формулы для объемов этих многообразий в терминах функции Лобачевского. ,

Пусть Я - ограниченный прямоугольный (все двугранные углы равны тг/2) многогранник в пространстве Лобачевского Н3. Обозначим через (7 группу, порожденную отражениями в гранях Я. Для каждой вершины многогранника К ее стабилизатор в группе (7 изоморфен восьмиэлементной абелевой группе Ъ^ ф й2 ф Ъч = которая может быть рассмотрена как векторное пространство над полем б\Р(2). Чтобы описать построение многообразия из восьми экземпляров многогранника Я, мы рассмотрим эпиморфизм (р : (7 —У

Лемма 1.1.1 [1*] Пусть группа (7 порождена отражениями в гранях ограниченного прямоугольного многогранника й в I3. Ядро Кег (р эпиморфизма (р : (7 —¥ не содержит элементов конечного порядка тогда и только тогда, когда образы отражений в любых трех гранях многогранника В., имеющих обчцую вершину, являются линейно независимыми в группе рассматриваемой как векторное пространство над полем С^(2).

Таким образом, если эпиморфизм ср удовлетворяет условию леммы 1.1.1, то М ~ Н3/Кег<£> является замкнутым гиперболическим 3-многообразием.

Указанным способом может быть получено классическое многообразие Лёбелля из [102]. А именно, рассмотрим прямоугольный (2п+2)-гранник Я(п) верхним и нижним основаниями которого являются п-угольники, а боковая поверхность состоит из двух циклов пятиугольников (смежных, соответственно, с верхним и нижним основаниями). В частности, Д(5) является прямоугольным додекаэдром, а Д(6) является прямоугольным 14-гранником, использованным Ф. Лёбеллем в [102].

Обозначим через £?(п) группу порожденную отражениями в гранях И(п). Рассмотрим эпиморфизм срп : 0(п) —у Ъ\ ядро которого Кег (рп не содержит элементов конечного порядка. Гиперболическое многообразие Ь(п) = Н3/Кег срп назовем многообразием Лёбелля. Многообразие Ь(п) зависит от эпиморфизма срп и не определяется однозначно по п. При этом, классическое многообразие Лёбелля, построенное в [102], является могообразием Лёбелля для п = 6. Первый пример замкнутого неори-ентируемого гиперболического 3-многообразия, построенный Н. Аль-Джубори в [28], является многообразием Лёбелля для п = 5.

Существование ориентируемых и неориентируемых многообразий Лёбелля для п > 5 устанавливается в следующих теоремах.

Теорема 1.1.1 [1*] Для любого целого п > 5 существует ориентируемое многообразие Лёбелля L{n).

Теорема 1.1.2 [1*] Для любого целого п>Ъ существует неориентиру емое многообразие Лёбелля L(n).

Последняя теорема подтверждает предположение Ф. Лёбелля [102] о том, что подходящими склеиваниями из восьми экземпляров R(6) можно получить как ориентируемые, так и неориентируемые многообразия.

Далее показывается, что число многообразий Лёбелля, имеющих равные объемы, не ограничено и доказывается формула для объемов многообразий Лёбелля в терминах функции Лобачевского.

Теорема 1.1.3 [2*] Для любого целого N существует не менее чем N попарно негомеоморфных многообразий Лёбелля с равным объемом.

Более того, для указанных многообразий может быть выбран общий фундаментальный многогранник.

Следствие 1.1.1 [2*] Для любого целого N существует прямоугольный многогранник И3, который является фундаментальным для по крайней мере N попарно негомеоморфных замкнутых ориентируемых многообразий.

Напомним, что согласно теореме Тёрстона — Ергенсена [67], число гиперболических 3-многообразий заданного конечного объема всегда конечно. Теорема 1.1.3 и следствие 1.1.1 показывают, что эти числа не ограничены в совокупности. Другие примеры компактных гиперболических 3-многообразий, иллюстрирующих это свойство, строились в [88], [29] и [170], а некомпактных - в [160].

Строение многогранника R(n) позволяет применить результаты работы [89] для вычисления его объема.

Теорема 1.1.5 [3*] Пусть L{n), п > 5, является многообразием Лёбелля. Тогда volL(n) = An (2А(в) + A (в + + A (в - - A (20 - , где 9 = f - arccos 2cos^/n)

В частности, объем классического многообразия Лебелля, построенного в 1931 г., равен 48.184368.

В §1.2 дается положительный ответ на вопрос Терстона [157] о существовании компактных многообразий объемы которых соответствуют предельным ординалам в теореме Терстона — Ергенсена. А именно, показывается, что существует бесконечное семейство пар компактных и некомпактных многообразий равного объема. Доказательство основано на получении точных формул в терминах функции Лобачевского для объемов конических многообразий с сингулярным множество узел восьмерка и орбифолдов с сингулярным множеством 2-компонентное зацепление 62.

Начнем с рассмотрения семейства трехмерных компактных ориентируемых гиперболических многообразий, униформизируемых группами Фибоначчи. Группы Фибоначчи ^(2,т) введены Дж. Конвеем [47] и имеют следующее представление:

Известно, что группа т) конечна тогда и только тогда, когда т = 1,2,3,4,5, 7 (см. обзор [156]). Различные обобщения групп ^(2,т) вводились и изучались в [84,

Изучении групп Фибоначчи в контексте теории гиперболических многообразий связано с работой [72], где было показано, что группа ^(2,2п), п> 4, изоморфна дискретной кокомпактной подгруппе группы РЗЬ2(С) — полной группы сохраняющих ориентацию изометрий пространства Лобачевского И3. При этом, факторпростран-ство Мп — Н3/^(2,2п), п > 4, является замкнутым ориентируемым гиперболическим 3-многообразием, которое будем называть гиперболическим многообразием Фибоначчи. Отметим, что группа ^(2,4) изоморфна и действует на й"3 таким образом, что факторпространство М-2 = 2,4) является линзовым пространством 1/(5,2). А группа ^(2,6) изоморфна 3-мерной афинной группе и многообразие М3 = Е3/^(2,6) является многообразием Ханцше — Вендта, изучавшемся в [164]. Многообразия М2 и М3 также будем называть многообразиями Фибоначчи.

В [76] X. Хилден, М. Лозано и X. Монтесинос установили, что многообразие Фибоначчи Мп, п > 2, является циклическим п-листным накрытием сферы Я3, разветвленным над узлом восьмерка Т = 4г. Обозначим через Т(а) коническое многообразие с носителем 513 и сингулярным множеством узел восьмерка с сингулярным углом а. Следующее утверждение дает формулу объема конического многообразия Т{о) в терминах функции Лобачевского А(х).

Теорема 1.2.3 [6*] Пусть Т(а) - гиперболическое коническое многообразие. Тогде 9 — агссоз(сойо; — 1/2).

Поскольку многообразие Фибоначчи Мп является циклическим п-листным накрытием орбифолда Т{2тх/п), получаем

Следствие 1.2.6 [6*] Объем гиперболического многообразия Фибоначчи МП! п > 4, равен

2, Тп) = (жЬ Ж2, • • • , хт | ХгХг+1 = х1+2, г тос! га).

103, 4*]. гда ио1 Мп = 2п(А(/3 + 5) + А(/? - 5)), где 5 = тг/п и /3 = | агссоз(соз(2£) — 1/2).

Перейдем к рассмотрению семейства некомпактных многообразий. Обозначим через Thn, п > 2, замыкание 3-нитиевой косы (схо^1)™, где а\ и о2 - стандартные порождающие группы кос на трех нитях. Члены семейства Thn хорошо известны. В частности, Th2 — это узел восьмерка, Thz — зацепление борромеевы кольца, Th4 — узел турецкая чалма Sie, а Т/2,5 — узел Юш в обозначениях [140]. Как показал У. Тер-стон [157], многообразия S3 \ Thn, п > 2, являются гиперболическими. Точная формула для объемов этих многообразий приведена в следующем утверждении.

Следствие 1.2.8 [6*] При п > 2 объем некомпактного гиперболического многообразия S3 \ Thn равен vol (S3 \ Thn) = An (А(а + 7) + Л(а - 7)), где 7 = 7г/2п и а = - arccos(cos(27) — 1/2).

Сравнивая приведенные формулы объемов компактных многообразий M2n, п > 2, и объемов некомпактных многообразий S3 \ Thn, п > 2, получаем следующий результат.

Теорема 1.2.4 [5*] При п> 2 имеет место следующее равенство объемов: vol М2п = vol (S"3 \ Thn).

Таким образом, объемы компактных многообразий Фибоначчи М2п соответствуют предельным ординалам в теореме Тёрстона — Ергенсена. В частности, объем многообразия Фибоначчи М4 равен объему дополнения к узлу восьмерка, а объем многообразия Фибоначчи М6 равен объему дополнения к зацеплению борромеевы кольца.

В §1.3 исследуется класс конических многообразий с сингулярностями вдоль зацепления Уайтхеда W = 5f. Определим коническое многообразие Уайтхеда W(a, ß) как коническое многообразие с носителем трехмерная сфера Sz и сингулярным множеством W с коническими углами а и ß, соответствующими его компонентам. Область гиперболичности для W(a,ß) была описана в [78]. В частности, если вещественные числа тип превосходят 2.507, то коническое многообразие —) является гиперболическим. Далее мы всегда будем предполагать, что а и ß таковы, что W(a, ß) гиперболическое.

Основным результатом этого параграфа является следующая формула объема гиперболического конического многообразия Уайтхеда.

Теорема 1.3.1 [21*] Пусть W(a,ß) - гиперболическое коническое многообразие Уайтхеда с коническими углами а и ß. Положим А = ctg f и В = ctg f. Тогда rit vol W{a, ß) — i / log J Ci

2(z + A )(z2 + B2) dz

1 + A2)(l + B2)(z2 - z3) z2- 1' где Сг = С и (2 — С> 1т(() > О, - корни кубического уравнения с3 + \ {А2В2 + А2 + В2 - 1) С2 - А2В2С + А2В2 = О. и

Доказательство этой теоремы основано на вариационной формуле Шлефли (см. [9], [80]), точных вычислениях длин сингулярных геодезических конического многообразия с использованием результатов [110].

Следующий параграф, §1.4, посвящен исследованию выпуклых сердцевин квази-фуксовых групп. Напомним, что группа С? называется клейновой, если она является дискретной подгруппой РЭЬ(2,С), полной группы изометрий трехмерного гиперболического пространства Н3. Такая группа действует конформными автоморфизмами на римановой сфере С = <ЭН3. При действии С? точки сферы С разбиваются на множество разрывности О(С), на котором действие является собственно разрывным, и предельное множество Л((7), на котором действие является минимальным, то есть каждая орбита плотна. Предельное множество Л((7) является множеством предельных точек неподвижных точек группы (7. Группа С? называется квазифуксовой, если Л (С) является топологической окружностью.

Пусть М = И3/С - трехмерное многообразие, униформизируемое клейновой группой (7. Выпуклой сердцевиной С/О многообразия М называется наименьшее замкнутое выпуклое множество, содержащее все замкнутые геодезические многообразия М. При этом, С может быть определено в универсальном накрывающем пространстве И3 как гиперболическая выпуклая оболочка предельного множества Л((7), называемая также областью Нильсена группы (7. Граница дС выпуклой оболочки образована выпуклыми подмножествами гиперболических плоскостей, пересекающихся вдоль попарно непересекающегося множества полных геодезических, называемых складками [41, 57].

Хорошо известно, что клейнова группа геометрически конечна тогда и только тогда, когда ее выпуклая сердцевина имеет конечный«объем. Более того, конечнопо-рожденные квазифуксовы группы являются геометрически конечными.

В данном параграфе рассматривается случай, когда (7 является группой проколотого тора:

7 = (X, У | [X, У] - параболическая изометрия И3), где X и У - изометрии пространства Н3, а [X, У] = ХУХ"1У~1. А именно, рассмотрены следующие два случая групп проколотого тора {X, У) для которых: изометрии X и У являются чисто гиперболическими; и) изометрии ХУ и ХУ~1 являются чисто гиперболическими.

Напомним, что изометрия X пространства Н3 называется чисто гиперболической если для соответствующей матрицы X из БЬ(2, С) след 1;г(Х) является вещественным числом большим 2 или меньшим —2. Геометрически, такая изометрия является гиперболическим сдвигом (без поворота) вдоль геодезической.

Для каждого из указанных случаев построены гиперболические многогранники, являющиеся фундаментальными для выпуклых сердцевин квазифуксовых групп проколотого тора, и получены формулы для их объемов. При этом, развиваются два подхода к нахождению соотношений между длинами складок и двугранных углов вдоль них (такие соотношения обычно называют соотношениями складок). С одной стороны, используются соотношения складок, полученные Дж. Паркером и К. Сери-ес в [131]. С другой стороны, эти соотношения и другие формулы, необходимые для вычисления объемов, получаются из матриц Грама многогранников. Это позволяет воспользоваться формулой Шлефли (см. [9, 36, 115]) для нахождения объемов этих многогранников, а следовательно, и объемов сердцевин выпуклых оболочек квазифуксовых групп. Полученные формулы приведены в теореме 1.4.1 и следствии 1.4.3. Результаты этого параграфа опубликованы в [15*].

Во второй главе диссертации изучаются многообразия и орбифолды малого объема.

Прежде всего, в §2.1 дается единое описание десяти известных наименьших по объему замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий Мг,. Эти многообразия были описаны в [83] в терминах хирургий Дэна на некоторых зацеплениях в 53 выбор которых был обусловлен геодезическими спектрами многообразий. Нетрудно заметить, что эти многообразия допускают единое описание. А именно, все они могут быть получены хирургиями на компонентах зацепления Уайтхеда УУ. Это обуславливает важность изучения класса замкнутых 3-многообразий У\?{т,щр,д), получаемых хирургиями Дэна с параметрами (т, п) и (р, д) на компонентах зацепления Уайтхеда УУ.

В силу теоремы X. Монтесиноса [119], многообразие полученное хирургиями Дэна на строго обратимом зацеплении, может быть представлено как 2-листное накрытие 53, разветвленное над некоторым зацеплением. Применение алгоритма Монтесиноса к случаю многообразий УУ{т,щр,д) позволяет получить следующий результат.

Теорема 2.1.2 [19*] Пусть М = УУ(?тг, щр, д) — замкнутое 3-многообразие, полученное (т, п) и (р, д) хирургиями Дэна на зацеплении Уайтхеда >У. Тогда М является 2-листным накрытием Б3, разветвленным над зацеплением £(т, щ р, д), имеющем следующий вид, где | + 4 и ~ + 2 обозначают соответствующие рациональные танглы:

Описание многообразий М.\,. ,М.ю в виде У\?(т,п-,р,д) дано ниже в таблице, где соответствующие параметры хирургии приведены в первом столбце. Гиперболические объемы и группы изометрий приведены во втором и третьем столбцах, где Вп обозначает группы диэдра порядка 2п и 516 обозначает полудиэдральную группу порядка 16. По теореме 2.1.2, многообразия А4±,. ,Л4ю являются 2-листными накрытиями З3, разветвленными над зацеплениями вида С(т, п;р, q). Обозначим эти зацепления через С\,., £ю, соответственно. Дополнения б"3 % — 1,., 10, являются гиперболическими многообразиями. В четвертом столбце таблицы приведены объемы этих многообразий. В последнем столбце для зацеплений приведены обозначения в соответствии со стандартными таблицами узлов и зацеплений малого порядка из [39] и [140].

УО1 М{ 1(М{) уо1 (б13 \ А) Сг

Му = Щ5, -2; 5,-1) 0.9427. Ш>6 9.4270. 94 9

М2 = Щ1,1] 5,-1) 0.9813. Ю>2 5.6387. Юш

Мз = ЩЗ,- 2; 6,-1) 1.0149. £>16 8.1195. Ю?38

МА = УУ(5,-1; 5,-1) 1.2637. Ю>4 9.2505. 10x55

М5 = Щ1,1;6,-1) 1.2844. Ю>2 5.8430. 11?

М6 = УУ(1,1; 1, —2) 1.3986. Ю>2 5.8296. 14?

М7 = УУ(1,-2;6,-1) 1.4140. ©2 5.9782. П?

М8 = УУ(2,1; 5, —1) 1.4140. Ю>2 7.7948. П?

М9 = УУ(7,-3; 5,-1) 1.4236. ю>2 10.6933. 10x62

М10 = УУ(1,1;3, —2) 1.4406. Ю>2 7.1180. 13?

Это, в частности, дает новые описания многообразий М.ъ ЛЛ2 и Мз-Следствие 2.1.1 [19*] Многообразие Викса — Матвеева — Фоменко М\ является 2-листным накрытием б"3, разветвленным над узлом

Следствие 2.1.2 [19*] Многообразие Мейерхгофа М% является 2-листным накрытием в3, разветвленным над узлом 10x61.

Следствие 2.1.3 [19*] Многообразие Мейерхгофа — Ноймана Л4$ является 2-листным накрытием Б3, разветвленным над 2-компонентным зацеплением 10^38

Далее в §2.1 устанавливается, что эти многообразия являются максимально симметричными Об-многообразиями.

Напомним [165], что для кренделя Уд рода д >2 максимально возможный порядок конечной группы его сохраняющих ориентацию автоморфизмов равен 12{д—1). Оценка такого типа является 3-мерным аналогом классической оценки Гурвица 84(д — 1) для порядка конечной группы автоморфизмов римановой поверхности рода д > 2.

Следуя Б. Циммерманну [166], будем говорить, что замкнутое 3-многообразие М является О-многообразием рода д, если оно допускает действие конечной группы <3, и д — минимальный род такого сплетения Хегора многообразия М, что оба его креднеля остаются инвариантными при действии С. Если, более того, имеет максимально возможный порядок 12 (д — 1), то (^-многообразие М и соответствующее действие группы С? называются максимально симметричными. Случай (-^-многообразий рода д = 2 был изучен в [166]. В частности, установлено, что С может являться одной из следующих четырех групп: О4 или И>6. При этом, максимально симметричные

В6-многообразия являются в точности 3-листными накрытиями 513 разветвленными над 2-мостовыми зацеплениями.

В следующем утверждении мы используем стандартные обозначения для узлов и зацеплений следуя [140]. Пусть Мт(к) — орбифолд с носителем 5"3, сингулярным множеством которого является узел порядка N с индексом сингулярности к. Пусть М1(къ к2) — орбифолд с носителем £3, сингулярным множеством которого является 2-компонентное зацепление А^ порядка N с индексами сингулярности к\ и к2 на его компонентах. Поскольку компоненты 2-мостового зацепления эквивалентны, это обозначение корректно.

Утверждение 2.1.3 [19*] Следующие диаграммы накрытий коммутативны и многообразия М.\ = 5, —1; 5, — 2), >У(3, —2; 9, —2) и УУ(7, —2; 7, —3) являются максимально симметричными И>6-многообразиями:

У(5,-1;5,-2) 1^(3,-2; 9,-2) Щ7, -2; 7, -3)

V ^ V Ч V Ч г Ч 949 (2) 52(3) А X 947(2) 52(3,3) А х 941(2) 62(3) з\ /г з\ /2 з\ /2

7?(2,3) 81(2,3) 7| (2,3)

Интересно отметить, что 1^(5, —2; 10, —3) также имеет хегоров род 2 и группу изометрий Об, однако, эта группа не оставляет инвариантными крендели сплетения Хегора рода 2.

Утверждение 2.1.4 [19*] Род Хегора д = 2 и порядок группы изометрий С = Рб многообразия —2; 10, —3) удовлетворяют условию |(3| = 12{д — 1), но

Н?(5, —2; 10, —3) не является максимально симметричным Рбмногообразием.

В §2.2 продолжается исследование многообразия Викса — Матвеева — Фоменко М\. В теореме 2.2.1 дается описание действия полной группы изометрий на этом многообразии и всех возникающих при этом фактор-орбифолдов. Результаты этого параграфа опубликованы в работе [18*].

В §2.3 многообразия Фибоначчи описываются как двулистные разветвленные накрытия трехмерной сферы и даются ответы на вопросы Мейерхгофа и Ноймана о точном значении объема и арифметичности многообразия Л4з. Ключевым результатом этого параграфа является следующая

Теорема 2.3.1 [7*] Многообразие Фибоначчи Мп, п > 2, является 2-листным накрытием разветвленным над зацеплением Т1гп.

Поскольку зацепление Т1гп является замыканием трехнитиевой косы (сгхсг2-1)"', оно допускает трехмостовое представление. В силу теоремы О.Я.Виро [10] и поскольку многообразие Мп является евклидовым при п = 3 и гиперболическим при п > 4 получаем

Следствие 2.3.1 [7*] При п> 3 хегоров род многообразия Фибоначчи Мп равен двум.

В силу этого факта и результатов параграфа 2.1 многообразия Фибоначчи выступают как явные примеры в следующих утверждениях.

Утверждение 2.3.1 [8*] Существуют трехмерные гиперболические многообразия хегорова рода 2 с группой изометрий сколь угодно большого порядка.

Утверждение 2.3.3 [8*] Существуют трехмерные гиперболические многообразия хегорова рода 2 со сколь угодно большим объемом.

Теоремы 2.3.1 и следствие 2.1.3 позволяют установить следующую интересную связь между многообразием Мейерхгофа - Ноймана Л4з и гиперболическим многообразием Фибоначчи М4.

Теорема 2.3.3 [7*] Многообразие Фибоначчи М4 является 2-листным нераз-ветвленным накрытием многообразия Мейерхгофа — Ноймана Л4з

Объем многообразия М3, вычисленный [113] с точностью до Ю-50, приближенно совпал с объемом правильного идеального тетраэдра в пространстве Лобачевского. Авторами был поставлен вопрос о точном равенстве этих объемов. Там же была высказана гипотеза об арифметичности многообразия Л4з над полем <Ц>(\/—3) (см. об арифметичности [105]). Справедливость этих гипотез установлена в следующей теореме.

Теорема 2.3.4 [7*] Многообразие Мейерхгофа — Ноймана М3 — >У(3, —2; 6, —1) арифметично над полем 0(\/—3), и его объем равен объему правильного идеального тетраэдра в пространстве Лобачевского.

В §2.4 изучаются найденные К. Адамсом в [25] три наименьших гиперболических 3-орбифолда с нежесткими каспами; их объемы равны 0.3053., 0.4444. и 0.4579Мы будем называть эти орбифолды орбифолдами Адамса и обозначать через Аг, Л2 и Аз, соответственно. Целью этого параграфа является установление связи между параметрами орбифолдных хирургий на орбифолдах Адамса и параметрами хирургий на накрывающих их некомпактных многообразиях.

Орбифолд А\ известен как орбифолд Пикара, поскольку он является фактор-пространством Н3 по действию группы Пикара Р8Ь(2,Щъ\). Известно, что он 24-листно накрывается многообразием 5'3\ б|, где б| трехкомпонентное зацепление борромеевы кольца. Обозначим через б|(р, коническое многообразие, полученное применением (р, д)-хирургий на всех трех компонентах зацепления Группа сохраняющих ориентацию симметрий зацепления изоморфна симметрической группе 84 порядка 24 (см. [35] или [164]) и может быть реализована ортогональным действием §4 на 3-сфере, оставляющим зацепление инвариантным. Действие §4 на дополнении к зацеплению б| индуцирует действие §4 на д).

Теорема 2.4.1 [12*] Для любых рациональных чисел р и д коническое многообразие 6з(р, д), полученное В^-эквивариантной (р, д)-хирургией на борромеевых кольцах 61, является регулярным §4-накрытием конического многообразия Л\{р — 2д,р + 2д), полученного (р — 2д,р 4- 2д) -хирургией на орбифолде Пикара.

В теоремах 2.4.3 и 2.4.4 аналогичные результаты доказываются для орбифолдов Адамса Л2 и Аз и накрывающих их дополнений к зацеплениям б3 и соответственно. Результаты этого параграфа опубликованы в работе [12*].

Основным объектом исследования в третьей главе диссертации являются трехмерные гиперэллиптические многообразия. Трехмерное многообразие называется гиперэллиптическим, если оно обладает инволюцией фактор-пространство по действию которой гомеоморфно трехмерной сфере. Такая инволюция называется гиперэллиптической.

В § 3.1 изучаются гиперэллиптические инволюции на трехмерных многообразиях УУ(т, п;р, д). В теоремах 3.1.1, 3.1.2 и 3.1.3 устанавливается, что многообразия УУ(1,п;1,д), УУ(1,п;2, д) и >У(2,п;2,д) обладают тремя гиперэллиптическими инволюциями, и описываются соответствующие тройки узлов, возникающих как множества ветвления. В теореме 3.1.4, описывается действие группы диэдра В2 на многообразиях УУ(т,щт,п). Результаты этого параграфа опубликованы в [11*].

В §3.2 рассматривается трехмерный аналог теоремы Акколы о гиперэллиптичности 3-листных неразветвленных накрытий римановых поверхностей рода два [24]. Установленный результат разбивается на два случая, которые рассмотрены в следующих теоремах.

Теорема 3.2.2 [16*] Пусть - трехмерное многообразие хегорова рода два, а ]¥ - его регулярное 3-листное неразветвленное накрытие. Тогда ]¥ является 2-листным разветвленным накрытием 3-многообразия, допускаю'ш,его хегорово сплетение рода один (т. е. накрытием 3-сферы, линзового пространства или Б2 х Б1).

Теорема 3.2.3 [16*] Пусть И^ - трехмерное многообразие хегорова рода два, и У/ - его нерегулярное 3-листное неразветвленное накрытие. Тогда У/ является гиперэллиптическим.

В §3.3 развивается теория построения трехмерных гиперэллиптических многообразий из прямоугольных многогранников Коксетера. Подход к построению таких многообразий основан на обобщении идей из параграфа 1.1 и связан с существованием на многограннике гамильтоновых циклов.

Следующий результат является гиперболическим случаем теоремы, доказанной в [108] для трехмерных геометрий Терстона. Однако, в отличии от [108], приводимое в параграфе 3.3 доказательство конструктивно.

Теорема 3.3.1 [108, 9*] Пусть Р — прямоугольный многогранник в Н3, а А(Р) — группа, порожденная отражениями в гранях Р. Предположим, что Р является га-мильтоновым. Тогда существует подгруппа Г<1 Д(Р), |Д(Р) : Г| = 8, действующая без неподвижных точек в И3, такая, что фактор-пространство М3 = Н3/Г является гиперэллиптическим многообразием.

Известно, что не всякий прямоугольный многогранник в И3 является гамильтоно-вым. Для расширения класса рассматриваемых многогранников в данном параграфе вводятся понятия тэта-гамильтоновости и /^-гамильтоновости, естественно обобщающие понятие классической гамильтоновости. Развитие метода доказательства теоремы 3.3.1 позволяет установить следующие свойства.

Теорема 3.3.2 [9*] Пусть Р — прямоугольный многогранник в Н3, а А(Р) — группа, порожденная отражениями в гранях Р. Предположим, что многогранник Р тэта-гамильтонов. Тогда существует подгруппа Г < А(Р), | Д(Р) : Г| = 16, действующая без неподвижных точек в Н3, такая, что фактор-пространство М3 = Н3/Г является гиперэллиптическим многообразием.

Следствие 3.3.1 [9*] Пусть Р — прямоугольный многогранник в Н3; а Д(Р) — группа, порожденная отражениями в гранях Р. Предположим, что многогранник Р является К^-гамильтоновым. Тогда существует подгруппа Г < Д(Р)г |Д(Р) : Г| = 32, действующая без неподвижных точек в Н3, такая, что фактор-пространство М3 = Н3/Г является гиперэллиптическим многообразием.

В §3.4 и §3.5 подход к построению гиперэллиптических трехмерных многообразий развивается в двух направлениях. В §3.4 расширяется класс рассматриваемых коксетеровских многогранников. Основным результатов этого параграфа является следующая

Теорема 3.4.1 [10*] Пусть р - коксетеровский многогранник в §3 и Р - коксе-теровскии многогранник в X3, где X3 = Н3, Е3, §3; §2 хЕ1 или Н2 хЕ1, а 8(р) и Д(Р) - соответствующие им группы отражений. Предположим, что скелет Р1 многогранника Р содержит собственный остовный подграф Т, гомеоморфный скелету р1 многогранника р и все ребра Р1 \ Т имеют вес 2. Тогда в группе Д(Р) существует подгруппа G индекса |Д(Р) : G| = 2|5(р)| без кручения такая, что М3 '= X3/G -гиперэллиптическое многообразие.

В §3.5 описывается метод построения 2-листных разветвленных накрытий пространств L(p, q) и S2 х S1 при которых фундаментальные группы возникающих многообразий являются подгруппами конечного индекса в группах Коксетера. Обозначим через JC(p) взвешенный полный граф на четырех вершинах два несмежных ребра которого имеют веса р, а остальные ребра имеют вес 2.

Теорема 3.5.1 [20*] Пусть Р - многогранник Коксетера в пространстве X3, где X3 = Е3,Н3,§2 х Е^Н2 х Е1, и Д(Р) - группа, порожденная отражениями в гранях Р. Предположим, что скелет Р1 многогранника Р содержит собственный остовный подграф Т, гомеоморфный 1С(р), и что все ребра из Р1 \Т имеют, вес два. Тогда существует подгруппа без кручений Г < Д(Р) индекса 8р такая, что М3 = Х3/Г является Ь(р, д)-гиперэллиптическим многообразием.

Рассматривая вместо К,(р) двойной тэта-граф 0# с четырьмя вершинами и шестью ребрами (все - веса 2), получаем аналогичный результат для накрытий многообразия Б2 х в1.

Теорема 3.5.2 [20*] Пусть Р - многогранник Коксетера в пространстве X3, где X3 = Е3,Н3,82 х ЕХ,И2 х Е1, и Д(-Р) - группа, порожденная отражениями в гранях Р. Предположим, что скелет Р1 многогранника Р содержит собственный остовный подграф Т, гомеоморфный графу и что все ребра из Р1 \ Т имеют вес два. Тогда существует подгруппа без кручений Г < Д(Р) индекса 16 такая, что М3 = Х3/Г является в2 х Б1 -гиперэллиптическим многообразием.

В четвертой главе диссертации изучаются многообразия с циклической симметрией, в частности, циклические накрытия 3-сферы, разветвленные над двухмосто-выми узлами.

В §4.1 вводится класс трехмерных обобщенных многообразий Такахаши, обобщающих класс многообразий введенный М. Такахаши в [153]. Для пары целых положительных чисел тип рассмотрим зацепление Сп,т С 53 с 2тп компонентами. Все его компоненты су, где 1 < г < 2п и 1 < ] < т, являются незаузленными окружностями и образуют 2п подсемейств из т незацепленных окружностей су, 1 < ] < т, с общим центром (зацепление £ю,1 изображено на рисунке ниже).

Зацепление обладает вращением порядка п, относительно которого указанные 2п подсемейств окружностей разбиваются на два класса эквивалентности. Рассмотрим многообразие, получаемое хирургией Дена на 53 вдоль зацепления Сп^т с коэффициентами хирургии Рк^/Як^, соответствующими компонентам С2к-\,], и г^/в^, соответствующими компонентам Сг/у, для 1<к<пн1<]<т. Без ограничения общности, мы далее всегда полагаем, что gcd.{pkJ,qk¡j) = 1, gcd(г^в^) = 1 и Рк,],Гк,з > 0. Полученное трехмерное многообразие будем обозначать

ТП1т{рк,]1я.к^гк,]1зк,з) и называть обобщенным многообразием Такахаши (случай тп = 1 дает многообразия Такахаши из [153]).

Теорема 4.1.1 [23*] Фундаментальная группа обобщенного многообразия Та-кахаши Тп>т{рк,з/цкфГк,]1 Зк,з) имеет следующее сбалансированное представление с 2пт порождающими А = {аг^}1<г<2п,1<^<ш и 2пт соотношениями:

71 I и2к-1,з — а2к-2,з а2к-2,з+1 и2к-2,т и2к,т а2к^+1 а2к,3 1 п~гк,з <1к+и Пк+и-1 Чк+1,1 -Як, 1 п~1к,з .

2к~ 2к+1,з 2к+1^—1 а2к+1,1 а2к-1,1 а2к-1^-1 а2к-1Л>

I <к <п,1 < ] <т).

Если параметры хирургии являются п-периодическим, т.е. Рк,з = Рз, Як,з — Чз, гк,з — г5 и вк,з = я?, получаемое многообразие Тп,т{т>з1 с1з-> гз!8з) называется обобщенным периодическим (п-периодическим) многообразием Такахаши.

Следствие 4.1.1 [23*] Фундаментальная группа обобщенного периодического многообразия Такахаши в¿) имеет следующее представление: (п \ ~1 ■■ — л5-' л5™ л —~&771 п~8з \Щ,з11<1<2п,1<з<т | 2к—1,з — а2к-2,з. ' " а2к-2,т а2к,т а2к,р п~гз п9з . „Я 1 п-<11 . п~Чз . и2к,] ~ 2к+1,з 2к+1,1 а2к~1,1 и2к-1^'

1<к<п,1<э<т).

Теорема 4.1.3 [23*] Обобщенное периодическое многообразие Такахаши Тп,т{Рз/Я.з\гз/эз) является циклическим п-листным накрытием связной суммы 2т линзовых пространств • ■ ■ #Ь(рт, дт)фЬ(гт, вт), разветвленных над некоторым узлом, не зависящим от п.

Следующий результат показывает, что семейство обобщенных периодических многообразий Такахаши содержит класс всех циклических разветвленных накрытий двухмостовых узлов. Ниже мы используем обозначения Конвея для двухмостовых узлов (см. [48]).

Теорема 4.1.4 [23*] Обобщенное периодическое многообразие Такахаши /Я.311 /^з) является циклическим п-листным разветвленным накрытием двух-мостового узла, соответствующего параметрам Конвея \-2qi,2в1,., — 2дт, 2вт].

Из теоремы 4.1.4 следует, что обобщенное периодическое многообразие Такахаши гомеоморфно многообразию Минкуса Мп(а,Ь) [117], многообразию Линса-Мандела Б(п, а, Ь, 1) [101, 122] и многообразию Данвуди М((а — 1)/2,0,1,6/2,п, — ^о-) [55, 66], где а/Ь определяется по правилу а/Ь = —2^ +

Параграф 4.1 завершается описанием алгоритма нахождения фундаментальных групп многообразий, являющихся циклическими разветвленными накрытиями двухмостовых узлов, основанного на полученном выше представлении этих многообразий.

В §4.2 изучаются изометрии циклических накрытий 3-сферы, разветвленных над гиперболическими двухмостовыми узлами. Основным результатом параграфа является следующая теорема.

Теорема 4.2.6 [24*] Пусть п > 5, К - гиперболический деухмостовый узел, и М = Мп(К) - (гиперболическое) циклическое п-листное разветвленное накрытие S3, разветвленное над К. Обозначим через vn объем наименьшего ориентируемого гиперболического 3-орбифолда с кручением порядка п. Если ¡vol (S3 \ К) л то Мп(К) не имеет скрытых симметрии.

Использование этой оценки иллюстрируется следующими примерами.

Следствие 4.2.4 Пусть К - гиперболический деухмостовый узел, задаваемый рациональным параметромр/q = 2k±-^. Если п> 6, то Мп(К) не имеет скрытых симметрий.

Следствие 4.2.5 Пусть К - деухмостовый узел, задаваемый рациональным параметром p/q = 2k ± ., ^ j —. Если п > 9; то Мп(К) не имеет скрытых сим

2m±l/(2a) метрий.

В параграфе 4.3, рассматриваются хирургии на зацеплениях, соответствующих Платоновым телам. А именно, пусть М(Р) - медианный граф для плоского графа Р. Альтернированное зацепление С(Р) для которого М(Р) является проекцией будем называть медианным зацеплением, соответствующим графу Р. В частности, если Р является скелетом тетраэдра, то соответствующим ему медианным зацеплениям являются борромеевы кольца б3. Группа симметрий этого зацепления изоморфна §4, а фактор-пространством по действию этой группы на S3 \ б3 является орбифолд Пика-ра M3/PSL(2, Щг\). Связь между параметрами §4-эквивариантных хирургии на 6| и параметрами орбифолдных хирургий на орбифолде Пикара была установлена в §2.4. В данном параграфе рассматривается 4-компонентное октаэдральное зацепление £4 являющееся медианным для скелета октаэдра. Его группа симметрий изоморфна S4 х Z2, а фактор-пространством по действию этой группы на S3 \ £4 является орбифолд Бианки = M3/PGL(2,02), где 02 - кольцо целых алгебраического поля Q(y^2). Связь между параметрами 84-эквивариантных хирургий на £4 и параметрами орбифолдых хирургий на £>4 установливается в следующей теореме.

Теорема 4.3.1 [28*] Многообразие M.(p,q), полученное §4 х Z2-3Keueapuanm-ной хирургией на октаэдральном зацеплении £4, является регулярным (§4 х Ъ2)-накрытием орбифолда В4(р — 3q,p + 3q), полученного (р — 3q,p + 3q)-хирургией на каспе орбифолда Бианки В4 — Ш3/PGL(2, 02).

Возникающие в теореме 4.3.1 многообразия являются интересными примерами максимально-симметричных многообразий.

Следствие 4.3.1 [28*] При целых д многообразие М.(± 1 — Зд, д), полученное эк-вивариантной хирургией на октаэдральном зацеплении С4, является максимально симметричным (§4 х Ъ?) -многообразием.

В §4.4 рассматриваются геометрические вопросы, связанные с группами с циклическим представлением.

Как было отмечено в параграфе 1.2, группы Фибоначчи

-Р(2,т) = (хх,.,хт I ХгХг+1 = х^2, г = 1,.,т) с четным числом порождающих обладают интересными геометрическими свойствами. А именно [72], при т — 2п, п > 4 они являются фундаментальными группами трехмерных гиперболических многообразий, которые мы называли многообразиями Фибоначчи. Естественно возникает вопрос о том, обладают ли аналогичным свойством группы Фибоначчи с нечетным числом порождающих и обобщения групп Фибоначчи? Как показал К. Маклачлан [103], если т нечетно, то группа ^(2,т) не может быть группой гиперболического трехмерного орбифолда конечного объема.

В данном параграфе рассматриваются два введенных в [40] семейства групп, естественно обобщающих группы Фибоначчи. Группы первого семейства, Р(г,т,к), г > 2, т > 3, к > 1, называемые обобщенными группами Фибоначчи, имеют представление

771, к) = (х\, . . . , Хт | ХгХ{+1 • • • = I = 1, . . . , т), где индексы берутся по модулю т. Группы второго семейства, Н(г,т,к), г > 2, т > 3 , к > 1, имеют представление

Н(г, т, к) — (х\, . . . , Хт | £¿£¿+1 • • ■ = Х{+Т • ■ • Хг+г-1+к, % = 1, . . . , Ш), где индексы берутся по модулю т.

Развитие метода из [103] позволяет установить следующий результат.

Теорема 4.4.1 [26*] Пусть г четно, а т нечетно и взаимно просто с г + 2к — 1. Тогда обобщенная группа Фибоначчи ^(г, т, к) не реализуется как группа гиперболического трехмерного орбифолда конечного объема.

В некоторых случаях удается установить, что группы из рассматриваемых семейств являются группами негиперболических трехмерных многообразий.

Утверждение 4.4.2 [26*] При к > 1 группа Р(2, 2к + 1, к) является фундаментальной группой замкнутого трехмерного многообразия, получаемого как циклическое (2к + 1)-листное накрытие трехмерной сферы, разветвленное над узлом трилистник.

Утверждение 4.4.3 [26*] При к >2 группа Н(к, 2к — 1, к — 1) является фундаментальной группой замкнутого трехмерного многообразия которое может быть получено как циклическое (2к — 1)-листное накрытие трехмерной сферы разветвленное над торическим (2к — 1,2)-узлом.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Веснин, Андрей Юрьевич, 2005 год

1. Алексеевский Д.В., Винберг Э.Б., Солодовников A.C. Геометрия пространств постоянной кривизны // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 29 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР), М. 1988. С. 5-146.

2. Андреев Е.М. О выпуклых многогранниках в пространстве Лобачевского // Мат. сб. 1970. Т. 81. № 1. С. 445-474.

3. Бердон А. Геометрия дискретных групп // М. Наука, 1986.

4. Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. М.: Мир, 1986.

5. Браун К.С. Когомологии групп // Наука, М. 1987.

6. Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований // Наука, М. 1980.

7. Веснин А.Ю., Рассказов A.A. Изометрии гиперболических многообразий Фибоначчи // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40. № 1. С. 14-29.

8. Винберг Э.Б. Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности // Тр. Моск. мат. об-ва, 1984. Т. 84. С. 68-102.

9. Винберг Э.Б., Шварцман О.В. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 29 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР), М., 1988. С. 147259.

10. Виро О.Я. Зацепления, двулистные разветвленные накрытия и косы // Матем. сборник. 1972. Т. 82. № 2. С. 216-228.

11. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны // М.: Наука, 1982.

12. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию // М.: Мир, 1985.

13. Груневальд Ф., Меннике Й., Эльстрод Ю. Группы, действующие на гиперболическом пространстве // М.: МЦНМО, 2003.14 15 [16 [171822 2324