Минимальные многообразия Зейферта тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Перфильев, Андрей Андреевич

• Перфильев, Андрей Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Перфильев, Андрей Андреевич

Введение

0.1 Основные определения и обзор литературы

0.1.1 Многообразия Зейферга.

0.1.2 Степень отображения.

0.1.3 Проблема перечисления минимальных многообразий Зейферта

0.2 Структура и краткое содержание настоящей работы

1 Периодические свойства степеней отображений многообразий Зейферта

1.1 Формула для вычисления степеней отображений 20 1.1.1 Модульная структура на группах цепей накрывающего пространства

1 1.2 Определения некоторых понятий . . 1.1.3 Вычисление степени отображения . 1 2 Алгоритм вычисления степеней отображений 1.2 1 Вычисление граничного цикла . 1.2.2 Граничный цикл многообразия Зейферт 28 12 3 Вычисление индуцированного отображения двумерных цепей

12 4 Двойственные образующие фундаментальной группы

12 5 Вычисление характеристической коцепи

1.3 Периодичность степеней оюбражений многообразий Зейферта

2 Решение проблемы перечисления минимальных многообразий Зейферта

2.1 Гомологическая сфера Пуанкаре . . 45 2.1.1 Фундаментальная группа

2.1 2 Характеристическая коцепь для 53/Р

213 Операция ло1арифмирования для 53/Р12о

2.1.4 Степени отображений 53/Р]2о на себя

2 2 Компьютерный эксперимент.

2.3 Вспомогательные утверждения и определения

2.4 Минимальность многообразий серии с!

2.5 Минимальносгь многообразий серии с

2.6 Минимальность многообразий серии <г!

2.7 Минимальность многообразий серии с!

2.8 Список минимальных многообразий Зейферт

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Минимальные многообразия Зейферта»

0.1 Основные определения и обзор литературы

0.1.1 Многообразия Зейферта

Напомним, что п-мерным многообразием в тоиологии называется топологическое пространство, каждая ючка которого имеет окрестность, гомеоморфную п-мерному диску или п-мерному полудиску Множество точек, не имеющих окрестности, гомеоморфной п-мерному диску, называется краем В настоящей работе мы будем рассматривать только замкнутые (компактные, без края), связные, ориентируемые, триангулируемые трёхмерные многообразия Кроме того, большинство рассматриваемых нами многообразий будут многообразиями Зейферха, поэтому остановимся подробно на этом понятии.

Прежде чем определить многообразие Зейферта, определим понятие "расслоенное полногорие". Рассмотрим круглый прямоугольный цилиндр Б2 х I, разбитый на отрезки вида {*} х I. Склеим основания цилиндра по повороту на угол где а и (3 — пара целых взаимно просшх чисел, а > 1. В результате такой склейки, вертикальные отрезки склеятся в замкнутые кривые, и мы получим полноторие, разбитое на слои, гомеоморфные окружностям, или расслоенное полноторие с параметрами (а, ¡3) Расслоенное полногорие с параметрами (1, 0) называется тривиально расслоенным.

Определение. Многообразием Зейферта называется компактное ориентируемое 1рсхмерное многообразие, разбитое на слои (юмсоморфные окружностям) так. чю каждый слой имеет целиком состоящую из слоев окрестность, послойно юмеоморф-ную расслоенному иолноторию Фактор-иространсгво многообразия Зейферта по слою (то есть, но такому отношению эквивалентности, когда 010ждес1вляю1ся все точки каждого слоя) называется базой многообразия Зейфергпа Слой, окрес!-носчь коюрого послойно гомеоморфна тривиально расслоенному иолноторию (полноторию О2 х 51, разбитому на слои вида {*} х 51), называется неособым или регулярным

Конструктивное определение мно1 ообразия Зейферта (аг, Д), г = 1,., п), где ^ — замкнутая ориентируемая (и ориентированная) поверхность, и (аг,Д) — пары взаимно простых чисел, можно дать следующим образом. Удалим из поверхности Р внутренности п непересекающихся дисков (полученную поверхнос1ь назовём Р') Многообразие Р' х 51 имеет на краю п торов. Выберем на каждом из них систему координат, параллель - кривая {*} х 51 (ориентация совпадает с ориешацией окружности 51), меридиан — соотвех-ивующая компонеша края поверхности Р' с ориентацией, индуцированной ориентацией поверхности F Приклеим к г-ой (г = 1 , .,гс) компонент края полноторие по такому юмео-морфизму края, чтобы край меридионального диска иолното-рия переходил в кривую (аг, Д) на краевом горе многообразия Т7' х 51 Полученное тким образом замкнутое многообразие и ес!ь многообразие Зейферта М(Р; (аг, Д), г = 1,. ,п) Осевые окружности вклеенных полноторий называются особыми слоями, а числа (а^Д) параметрами особых слоев

Следующие операции с особыми слоями замкнутого многообразия Зейферта не меняют мноюобразия (см например [1] или [3])'

1 перестановка особых слоев,

2. смены знаков вторых параметров всех особых слоев;

3. добавление или удаление особого слоя с параметрами (1,0);

4 замена пары особых слоев с парамехрами (аг, Д), {а3,Р3) (г ф з) на пару (аг„ Д + а,), (а,, Д - агД

Более подробную информацию о многообразиях Зейфер-та можно най'ш, например, в [1] или в [3].

0.1.2 Степень отображения

На языке теории гомологий понятие степени отображения формулируется следующим образом (см., например, [2]). Пусть М и Р — замкнутые связные ориентированные п-мерные многообразия. Тогда любое отображение / : М —у Р индуцирует гомоморфизм групп гомологий <р : Нп(М) —> Нп(Р). Так как Нп(М) = Нп(Р) = Ъ, то гомоморфизм (р есть умножение на целое число.

Определение. Степенью отображения / называется целое число с^ / = <р( 1)

Там же доказаны следующие свойства степени отображения:

1. Степень являе1ся гомотопическим инвариантом отображения, т. е степени гомоюпных отображений равны.

2. Степень обладает мультипликативным свойством: степень суперпозиции отображений равна произведению их степеней.

3 Степень тождественного отображения многообразия на себя всегда равна 1.

4. Степень несюрьективного см обряжения равна О

Степень как гомоюпический инвариант отображения используется для решения мно1 их различных задач топологии и теоретической физики (см , например, [16, 17]). Пожалуй, самая извесшая из них — интегрирование дифференциальных форм но мноюобразиям Извесша следующая формула (см , например, [29]). если МиР - замкну ше, связные, гладкие, ориешированные п-мерные многообразия, ги - дифференциальная форма, заданная на М. и / гладкое оюбражение из М в Р. то

Среди других (относительно новых) областей применения поня1ия степени отображения следует 01 метить оригинальный способ нахождения числа общих каса1ельных к двум кривым на плоскости как степени оюбражения между некоюры-ми двумерными горами, предложенный М. Поляком (пока не опубликовано)

С 1997 года в зарубежной и 01ечественн0й литературе исследуется 01 ношение часгичною порядка на множес!ве замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий, определяющееся существованием отображения степени один

В рабо1е [19]К Хайат-Ле1 ран, Ш Вонг и X. Цишанг рассматривают следующее отношение ¿-доминирования на множестве замкнутых ориентируемых фехмерных многообразий

Определение. Пусть М и Р — два замкну I ых ориентируемых трехмерных многообразия. Будем говорив, чю мною-образие М д-доминирует многообразие Р, если существует оюбражение С1епени (1 из М в Р

Отношение 1-доминирования (или просто доминирования) обычно обозначаемся знаком > В рабою [19] оно называется 01 ношением мастичного порядка Это верно, если под "равенством" многообразий понимать их гомотопическую эквивалентность.

Пример 0.1. Пусть М и Р — гомотопически эквивалентные линзовые пространства Ь-?д и Ь-¡^ соответственно. Тогда М > Р и Р > М (Линзовые пространства Ь-¡^ и Ьч^ гомотопически эквивалентны.)

Замечание 0 1. Любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие М допускает отображение степени 1 на себя и на сферу 53; то есть, М > М и М > 53.

Определение. ([19]) Многообразие М называется минимальным многообразием, если оно допускает отображения степени один только на многообразия, гомеоморфные М или 53.

Известно множество результатов, касающихся отношения доминирования Перечислим основные из них.

• Каждое отображение степени 1 гомотопно некоторому "выщипыванию" (англ. "ртсЬ") [4, 5, 22].

Определение. Пусть М — трёхмерное многообразие, и тор Т2 С М разбивает его на два подмногообразия М\ и М2 Пусть ц С Т2 — простая замкнутая нетривиальная в Т2 кривая, ограничивающая двустороннюю поверхность F в многообразии М2: FП9M2 = Пусть многообразие Р получено из многообразия М\ приклеиванием полнотория V по тору Т2 так, что кривая ^ становится меридианом полно юрия V. Пусть отображение / : М -» Р обладает следующими свойствами

1. ограничениеявляется тождественным отображением;

2 / отображает поверхность F в меридиональный диск D С V, ограниченный кривой ц, и отображает регулярную окрестность iV(F) С Мг в регулярную окрестное гь N(D) с К,

3 / отображает М2 \ JV(F) в V \ N(B).

Тогда оюбражение / называется выщипыванием (¡mich).

Метод выщипываний использовался в pa6oie Й. Ронга [24] для поиска оюбражений степени один между мноюобра-зиями Зейфер1а ("мешд Ронга").

• Теорема жесткосш Громова-Торс юна для 1иперболиче-ских многообразий

Теорема 0.1. [6J Отображение степени один между гиперболическими трёхмерными многообразиями одного и того же гиперболического объема гомотопно изометрии

Эта 1еорема получила некоюрое усиление и обобщение на случай многообразий Хакена в работах Т. Сомы

Теорема 0.2. [12, Щ

1) Пусть / : М —> Р - отображение степени один между двумя замкнутыми гиперболическими трехмерными многообразиями, причем гиперболический об?>ем Vol(M) < V, V > 0 Тогда существует такая константа с = c(V), что из неравенства (1—c)Vol(M) < Vol(P) следует, что f гомотопно изометрии.

2)Пусть f : AI -4 Р — отображение степени d между двумя такими многообразиями Хакена, что \\М\\ = d||P||. тогда f гомотопно некоторому отображению, переводящему Н(М) в Н(Р) накрытием Здесь ||*|| — норма Громова, а #(*) — гипербо гичсская часть многообразия в J S J-разбиении

• Известно несколько результатов, касающихся связи отношения доминирования и других мер сложности трёхмерных многообразий

1) Если М > Р, группы гомологий многообразия Р являются прямыми слагаемыми соответствующих групп гомологий мноюобразия М ([10]). Кроме -юго, отображение степени один индуцирует сюръективные гомоморфизмы фундаментальной группы и групп гомологий

2) Если М > Р, то ||М|| > ||Р||, где ||*|| - норма Громова

9]).

3) Если М > Р, то N(14) > И{Р), где И{*) - число различных попарно непараллельных несжимаемых поверхностей в многообразии ([26]).

• Несколько важных недавних результатов посвящены исследованию свойств отношения доминирования.

Теорема 0.3. [25, 20, 131 Любое замкнутое ориентируемое многообразие доминирует конечное число геометрических многообразий.

Теорема 0.4. [23, Ц[ Для любого трёхмерного многообразия М существует такое натуральное число Им, что если М = Мо М\ —у . М^ есть последовательность отображений степени один, к > Им, и каждое Мг (г = 1,.,к) допускает геометрическую декомпозицию, то последовательность содержит гомотопическую эквивалентность.

Кроме того, в работе [19] широко исследованы степени отображений мноюобразий Зейферта и для многих случаев определено существование или несуществование отображения степени один Некоторые из нерешённых случаев рассмотрены в работе [21]; там же построен алгоритм вычисления С1епени отображения, базирующийся на исследовании индуцированного оюбражения двумерных цепей, и проведён компьютерный эксперимент но вычислению степеней отображений некоторых мноюобра-зий Зейферта.

• Несколько резулыаюв, полезных для настоящей работы, касаются перечисления возможных степеней отображений на себя мноюобразий Зейферта с конечными фун-дамешальными фупнами.

Теорема 0.5. ¡28] Пусть М — многообразие Зейферта с конечной фундаментальной группой порядка N. Мно-эюеетво возможных степеней огпобраоюений многообразия N на себя, индуцирующих автоморфизмы фундаментальной группы, имеет вид: {к2-\-тМ| gcci(Л:, /V) = 1, т £ 2}.

Теорема 0.6. [11] Существует отображение / : М М степени 49, индуцирующее автоморфизм группы 7Г1 (М), где М ~ 53/А20 — гомологическая сфера Пуанкаре.

0.1.3 Проблема перечисления минимальных многообразий Зейферта

Определение. ([19]) М1101 ообразие Зейферта называем минимальным многообразием Зейферта, если не допускае! отображений С1епеии один пи на какие дру1ие мноюобразия Зей-фер!а, кроме себя и трехмерной сферы

Там же, в работе [19]. указано, чю если верна I ипотеза Пуанкаре, и все свободные дейавия конечных групп на сфере 53 сопряжены с изомехриями. ю все минимальные многообразия Зейферт являются ¡акже минимальными многообразиями (в смысле определения 0 1 2)

Проблема, которой посвящена данная работа — перечисление минимальных многообразий Зейферта — была впервые поставлена в 1997 году К. Хайат-Легран, Ш. Вонгом и X. Ци-шангом В статье [19] ими было перечислено множество многообразий Зейферта, среди которых содержатся все минимальные, причем для всех многообразий из этого множества, кроме перечисленных в следующей теореме, была доказана минимальность Открытой осталась проблема минимальности этих многообразий.

Теорема 0.7. (Науа1-Ьедтапс1,\¥апд, ЕгеясНапд, 1997, [19]) Многообразия следующих четырёх серий не допускают отобра-оюений степени 1 ни на какие другие многообразия Зейферта, кроме себя, 53 и, возможно, гомологической сферы Пуанкаре

11) многообразия Зейферта М(Т2; (а, ±1)), где а делится на 3, 4 или 5.

2) многообразия Зейферта

М(52;(2Ч;А);(2^2;/52);(2Ч;/?з)), гдек> 1, всеаг нечётны, а^А + ос\аф2 + £*2<*зА — =Ы; и есть пара г^ (1 < г ф ] < 3), что 3|аг, Ъ\а3. с13) многообразия Зейферта М(Б2-, (2а\; А); (2а25 А); (2с*з; А)) с теми же ограничениями, что в (¿2) и следующим условием■ если п > 1 — делитель числа 2аг, то уравнение 2х2(а1а2аз) = ±1 (тоЛ 4п) не имеет решений в целыв числах. (сЦ) Гомологические сферы М(52; (2а\\А); (Заг; А); (5аз! А))> где а^аз ф (той 120) и 49а1а2а;з Ф ±1 (той 120).

Позже, в работе [21] К Хайат-Легран, С. Матвеев и X. Ци-шанг исследовали один из четырёх проблемных случаев (а именно, (14) при помощи компьютерного эксперимента, основанного на той же технике вычисления степеней отображений, чю будет использована и в настоящей рабо1е, замегили (хотя и не доказали) периодическую зависимость между napaMPi-рами особых слоев многообразий серии d4 и множес1вом возможных сгепеней их отображений на tomojioi ическую сферу Пуанкаре Выла даже iiociроена эмпирическая формула степени некоторого "стндартного" оюбражения произвольною многообразия серии d4 на S3/Pm В настоящей pa6oie будет доказана данная периодичность для более общего случая, а также рассмофены все четыре проблемные серии многообразий Зейфер1а и дан положи 1ельный ответ на вопрос.

Проблема. Являююя ли многообразия серий di, d2, d3 и d4 минимальными мноюобразиями Зейферта7

0.2 Структура и краткое содержание настоящей работы

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Перфильев, Андрей Андреевич, 2007 год

1. Orlik P. Seifert manifolds, Lecture Notes in Mathematics, 291. // Springer-Verlag, Berlin-New York, 1972.

2. Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. // РХД, Москва-Ижевск, 2001.

3. Матвеев С. В., Фоменко А. Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трёхмерной топологии. // Издательство Московского университета, М.: 1991.

4. Haken W. On homotopy 3-spheres // Illinois J. Math. V. 10 (1966), P. 369-383.

5. Waldhausen F. On mappings of handlebodies and Heegaard splittings. // Topology of Manifolds (ed. J.C.Cantrell, C.W. Edwards) Conf. Athens, GA, 1969, 201-211. Chicago, Markham Publishing Company, 1970.

6. Thurston W. Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry. // Bull. AMS 6 (1982), P. 357-388.

7. Olum P. On mappings into spaces in wich certain homotopy groups vanish. // Ann. of Math V. 57 (1953), P. 561-574.

8. Olum P. Mappings of manifolds and the notion of degree // Ann of Math. V. 58 (1953), P 458-480.

9. Grornov M. Volume and bounded cohomology. // Publ. Math Institute des Hautes Etudes Scientifique. V. 56 (1983) P 599Биб.ШО! ¡ыфия72

10. Browder W. Surgery on simply-connected manifolds. // Berlin-Heidelberg-New-York, Springer, 1972.

11. Plotnick S. Homotopy equivalences and fiee modules. // Topology V. 21.1 (1982) P 91-99.

12. Soma T. A rigidity theorem for Haken manifolds.// Math. Proc. Camb. Phil. Soc V. 118 (1995), P. 141-160

13. Soma T Non-zeio degree maps onto hyperbolic 3-manifolds // J. Di Geom. 3-manifolds , V. 49 (1998), P. 517-546

14. Soma T Sequence of degree-one maps between geometric 3-manifolds // Math. Arm. V. 49 (2000), P. 733-742.

15. Soma T Degree one maps between hyperbolic 3-manifolds with the same lirnrt. // Trans AMS 353 (2001), P. 27-53

16. Shastri A., Williams J.G., Zverujrowski P. Kinks in general relativity //Internat J. Theor. Phys , V 19 (1980), pp 1-23

17. Shastri A., Zvengrowsb P Type of 3-marrifolds and additron of relativistic kinks // Reviews in Math Phys., V. 3 (1991), pp 467-478.

18. Матвеев С В. Algorithmic Topology and the Classification of 3-Mamfolds. // Springer, Berhn-Heidelbeig-NewYork, 2003

19. Hayat-Legrand C., Wang S., Zieschang H. Minimal Seifert manifolds. // Math Ann 1997. V 308 No. 4 P. 673-700

20. Haijat-Legrand C., Wang S. Zieschang H Any 3-manifolds 1-dorninates only finitely many 3-marnfolds suppoiting S3 geometry ' Pioc. AMS V 130 (2002) P 3117-3123.

21. Hayat-L((jrand С. Maticeu S. Zieschang H Computet calculation of the degiee of maps into the Poincaie homologysphere. // Experimental Mathematics, 10(2001), No. 4, P 497-508.

22. Rong Y. Wang S The preimages of submanifolds. // Math. Proc. Cambridge Phil Soc V. 112, P. 271-279 (1992)

23. Rong Y Degree one maps between geometric 3-manifolds. // Trans. AMS (1992)

24. Rong Y. Maps between Seifert fibered spaces of infinite щ 11 Pacific J. Math V. 160 (1993). P. 143-154 (1992)

25. Wang S., Zhou Q. Any 3-manifold 1-dominates at mos finitely many geometric 3-manifolds. // Math. Ann. 2002. V. 322. P. 525-535.

26. Wang S The existence of maps of non-zero degree between aspherical 3-manifolds // Math. Z. V. 208 (1991). P. 147-160.

27. Wang S. Non-zero Degree Maps Between Seifert Manifolds. 11 ICM 2002. V.3. 1-3.

28. Hayat-Legrand C., Kudryavtseva E., Wang S., Zieschang H. Degrees of self-mappings of Seifert manifolds with finite fundamental groups. // Rendiconti Istit. Mat. Univ. Trieste Supp., Vol. 32 (2001) P. 131-147.

29. Гусейн-Заде С. M. Диффернцальная геометрия. Лекции для студентов третьего курса // М. МЦНМО, 2001.

30. Boileau М., Wang S. Degree one maps between small 3-manifolds and Heegaard genus // Algebraic and Geometric Topology, 2005, V 5, 1433-1450Работы автора по теме диссертации

31. Матвеев С.В., Перфильев А А. Периодичность степеней отображений между многообразиями Зейфер:а // Доклады Академии Наук, 2004, т. 395, X» 4, с 449-451

32. Perfihjev A. Map degrees of Seifeit manifolds // Abstracts of International Conference "Geoinetnc Topology, Discrete Geometry and Set Theory", Moscow, 24-28, August 2004, p 17

33. Перфильев А.А. Соображения степени 1 зейфертовых многообразий на гомологическую сферу Пуанкаре. // Фундамен1альпая и прикладная математика, 2005, т. 11, т, с 173-183

34. Perfilyev A. Minimal Seifert Manifolds. // Сибирские Электронные Математические Известия, 2005, т 2, с. 206-207.

35. Перфильев А А. Решение проблемы перечисления минимальных многообразий Зейферта // Сибирский Магматический Журнал, т 48 (2007), №1, пр. 156-175.