Параметрическая, структурная идентификация и исследование устойчивости нелинейных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Ву Динь Тханг

• Ву Динь Тханг
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Ву Динь Тханг

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1: ПРОБЛЕМЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ, СТРУКТУРНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ И ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1.1. Обзор аналитических методов идентификации нелинейных динамических систем

1.1.1. Методы идентификации, основанные на линеаризации характеристик объектов

1.1.2. Методы идентификации существенно нелинейных объектов

1.1.2.1. Идентификация в пространстве состояний

1.1.2.2. Частотные методы идентификации нелинейных систем

1.1.2.3. Методы идентификации, основанные на использовании функциональных рядов

1.2. Обзор аналитических методов исследования устойчивости нелинейных динамических систем

1.3. Задачи исследования

2.1. Общая постановка задачи параметрической идентификации нелинейных динамических систем

2.2. Параметрическая идентификация систем, представленных в классе линейных моделей

2.3. Параметрическая идентификация систем с нелинейностью квадратического характера

2.4. Параметрическая идентификация систем с нелинейностью кубического характера

ГЛАВА 3: СТРУКТУРНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

3.1. Формирование структуры систем, представленных в классе линейных моделей

3.1.1. Построение дифференциального уравнения

3.1.2. Представление обыкновенных дифференциальных уравнений уравнениями в пространстве состояний

3.2. Формирование структуры систем с нелинейностью квадратического характера

3.2.1. Основная система второго порядка

3.2.2. Система второго порядка с М устройствами умножения

3.3. Формирование структуры систем с нелинейностью кубического характера

ГЛАВА 4: ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

4.1. Исследование устойчивости систем, представленных в классе линейных моделей

4.2. Исследование устойчивости систем с нелинейностью квадратического характера

4.3. Исследование устойчивости систем с нелинейностью кубического характера

ГЛАВА 5: ПРОГРАММНО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ, СТРУКТУРНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ И ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

5.1. Структура программно-математического обеспечения параметрической, структурной идентификации и исследования устойчивости нелинейных динамических систем (ПСИиИУ)

5.2. Основные сведения по работе с ПСИиИУ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параметрическая, структурная идентификация и исследование устойчивости нелинейных динамических систем»

ВВЕДЕНИЕ

Исследования в области идентификации и моделирования систем в связи с бурным развитием методов технической кибернетики достигли больших успехов. При этом решающую роль играет разработка таких методов идентификации и моделирования систем, которые отличались бы универсальностью, точностью. Разработка и использование таких совершенных методов дает в руки исследователей и разработчиков новой техники самого широкого назначения (машины, станки, системы управления техническими устройствами и комплексами, технологические процессы и т.д.) инструмент для повышения эффективности разработок, повышения надежности и производительности устройств, машин, систем и технологических процессов.

Однако на современном этапе разработчики испытывают существенные трудности из-за определенных несовершенств такого рода инструмента, в первую очередь по причинам того, что традиционно используемые методы идентификации и моделирования:

- разработаны применительно к отдельным, достаточно узким классам систем, машин, устройств;

- зачастую не обеспечивают необходимой точности, особенно в случае, когда их применяют к классу нелинейных систем;

- не обладают свойством универсальности, в том числе и по отношению к математическим и физическим средствам решения задачи в целом;

- как правило, требуют априорных знаний о структуре и параметрах системы.

Особую важность задачи идентификации и моделирования приобретают при рассмотрении сложных динамических объектов, априорные сведения о которых либо отсутствуют, либо незначительны. Если иметь в виду их распространение, то именно такие системы (типа "черного ящика") наиболее часто встречаются на практике. В настоящее время стало очевидно, что при

рассмотрении многих практических задач, связанных с разработкой и созданием сложных систем, известные и широко применявшиеся методы уже не удовлетворяют возросшим требованиям. Объясняется это тем, что большая часть таких объектов не может быть с достаточной точностью описана с помощью хорошо развитой теории линейных систем, не говоря уже о том, что зачастую априорная информация о них чрезвычайно скудна и данные об их структуре носят в основном эмпирический характер. Все это препятствует использованию мощного аппарата дифференциальных уравнений для анализа и синтеза систем такого класса.

Весьма заманчивым является разработка и использование методов, основанных на разложении (в частности, разложении в функциональные ряды) выходных рабочих сигналов систем (устройств и т.д.) при задании известных входных (управляющих и т.д.) воздействий. Такие методы, обладая четко выраженной универсальностью и объективностью описания исследуемой (проектируемой) системы, практически свободны от указанных недостатков.

Из известных в настоящее время методов, позволяющих строить адекватные математические модели с наперед задаваемой точностью для большого класса объектов, обладающих конечной памятью, можно выделить подход, предложенный Н. Винером для решения проблемы анализа и синтеза нелинейных систем. Будучи теоретико-экспериментальным, включая частным случаем широко используемую теорию линейных систем, данный метод позволяет проводить исследования конкретно рассматриваемого объекта и по найденным в результате эксперимента динамическим характеристикам (ядрам Винера-Вольтерра) строить его адекватную математическую модель. Основа используемого подхода заключается в том, что выходной сигнал любой нелинейной системы с конечной памятью при воздействии на ее вход сигнала типа белого гауссовского процесса однозначным образом представляется в виде ряда, состоящего из ортогональных функционалов. При этом система полностью описывается соответствующим ей набором ядер Винера-Вольтерра, а ее модель

состоит из семейства нелинейных преобразователей (ортогональных функционалов), число которых зависит от вида объекта исследования и от требуемой точности моделирования.

Практика разработки и исследования динамических объектов с применением математического моделирования предполагает решение задач, связанных с параметрическим представлением рассматриваемых объектов. После формирования структуры динамического объекта, отдельные узлы которого представлены в виде математических моделей из ортогональных функционалов, определяемых соответствующими им наборами ядер Винера-Вольтерра, возникает задача перехода от имеющегося внешнего описания к внутреннему, отражающему зависимость этих моделей от конкретных параметров.

С помощью параметрических моделей решаются задачи анализа, в частности задача исследования устойчивости и синтеза структуры динамических систем.

Однако в настоящее время отсутствует удобный и эффективный инструмент решения задач параметрической и структурной идентификации и исследования устойчивости винеровских моделей, реализованный в виде соответствующего программно-математического обеспечения.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка программно-математических средств параметрической, структурной идентификации и исследования устойчивости моделей нелинейных динамических систем, построенных из ортогональных функционалов Винера-Вольтерра.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю профессору, д.т.н. Музыкину Сергею Николаевичу за предоставление интересной темы, постоянное внимание и помощь при выполнении данной работы.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Ву Динь Тханг

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании проведенных исследований в настоящей диссертационной работе можно сделать следующие выводы:

1. Проведено исследование метода параметрической идентификации нелинейных динамических систем, внешние модели которых строятся из функциональных разложений Винера-Вольтерра. В результате параметрической идентификации ядра Винера-Вольтерра системы представляются в дробно-рациональном виде.

2. Проведено исследование метода структурной идентификации системы на основании полученной ее параметрической модели. Для линейной части системы, состоящей из ядер Винера-Вольтерра первого порядка, строятся дифференциальные уравнения и уравнения в пространстве состояний. Для нелинейной части системы, состоящей из ядер выше первого порядка, проводится синтез структуры ядер с помощью линейных звеньев и умножителей.

3. Проведено исследование метода исследование устойчивости системы на основании полученной ее параметрической модели. Ядра устойчивой нелинейной динамической должны удовлетворять условиям устойчивости по обобщенному критерию Рауса-Гурвица.

4. Разработано программно-математическое обеспечение параметрической идентификации, структурной идентификации линейной части, и исследования устойчивости нелинейных динамических систем по изложенным методам. Разработанное программно-математическое обеспечение учитывает винеровские модели до третьего порядка включительно, что позволяет исследовать динамические системы с кубической нелинейностью.

5. Проведены вычислительные эксперименты (на данных, полученных в натурном эксперименте) параметрической, структурной идентификации и исследования устойчивости стабилизатора электрогидромеханической системы управления самолетом. Полученные результаты вычислительного эксперимента подтверждают работоспособность разработанного программно-математического обеспечения.

6. Исследованные методы параметрической, структурной идентификации и исследования устойчивости могут быть применены для исследования динамических систем с нелинейностями более высоких порядков.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Ву Динь Тханг, 1999 год

Список ядер

тал

Диапазон частот; 0 Гц-4.84 Гц

Шаг диск с

Мнимая часть Щ

-ч 1] Яо ; ] ; | м И т

шжттШ

0.000000080000000

-0.814237410962050

-0.621 802065609700

-0,362684759405965

-0.033091939311698

0.055708806474286

0.131434881324140

О.Ш29365358Е880

0.068983594008138

0.035139038249213

0.137983086676741

0.057669453019571

0.020297390588427

0.027740726335196

0.013062259742583

0.0063818528969ЭЗ

Г (у^Р,е) г Ш # Ш

к ¡ж \

5 о

ж. шт Р* :

йчивости ядер или создав

Рис. 5.8

Выбор ядер для парам, идент. и иссл. устойчивости

. ............... !

Имеющиеся

"" £3 ;*>' С']

Выходной сигнал ' ...........■ [Ю]

I , ■—- -'

Бы&рай'йыв

£

ж. ■

I Я 1штш

I ;

■ ' -¿Л

ядре о-пй'оситель ■■ ■ всехвыхо^Щ^игна^р

Параметры иденжис|йка№1##---- ■ 8 ■■ ■ « ' Плшугтимяь гТ|4-ПЯМ11ЛЙ'гтк оинс^ре

I?

« 'Допустимая погрешнее^ь ..рсрейст. части1 . ¡1 о

г" ¿Ж

Л' "" 1 ■ "*

1} ^ У

ПроеЬдй^ь р^обррку ^т^'^йр " -1 инд^н го^ни их йдфтЧ^й^Й^и

; ' * ¿1.__«'ГкГ : ^

X Отмена

чать

Рис. 5.9

(Щ ПСИиИУ- [Парам, идент. и проверка устойчивости] 5 8й | х |

■ ¡С? *) *1

у|: | ::р: г»*--" зг: х: [г г--.Я Ш

: Ядра-

Список ядер

в"

Выходной сигнал в ^

1

| Г г-го порядка

I С 3-го порядка

Дробно-рациональное представление ядра

т.....

. 2 -4'

3, .-¿-О

■Результат идентификации ■

т = 9; п = 10

____

^ Погрешность по.......-

Аиплнтудшззфазовая ИрактерисЖз действ: части р< . * г ■»•

¡п

а4

= 0.015806733827390 ^

1 . . ь

■ иг . Ш

! щ шШШ

по ядру I - алпрок

**

И | ;]..... 3

■

■ I!: -,.655

...... \ 1

Ы Й -0.023423879323047 Ь2 = 0.027624295306879 ЬЗ = -0.000040577385891 Ь4 = 0.000294229910653 Ь5 =-0.000000590288672 ЬН = 0.000001217394881 Ь7 = 0.000000000044833 Ь3 = 0.000000001941338 Ь9 =0.000000000000425 аО = 1 000000000000000 а1 = 0.000000000001 053

а2 ■= 0.Ё26087712171284 .. _____ | « ^ - у --др,, ■ :

аЗ = 0.042721096739740 - ¡' ! ^ * ^ ,- ^ ^

|—-1 ; ¿11 [§||;£Г

Шт //

ни

11!

О

Г,

эриац'ия об устойчивости ядра

Ядро неустойчиво так какхарак. полином имеет неположит, коэффициенты

ЩОёсех.яд^-) ||

розд

вашк

Рис. 5.10

ПСИиИУ- [Структурная идентификация]

- \в\

X

¡3-1 Фей л Р.—

_—

НО ?

^ ■ ■ ■' 1111 Ей £ :4ЯЯДШ

; % ь ___* д................:

Т

—:

ШШ

:#: V, | ?1 ||_

Ш' Я ' г г

^ Ж" I

Выходной сигнал

Линейная

I . т

1

: V ■

ЯдраЬго порядка Дифференциальное уравнение

% Козфе

и! са и! И

Представление ядра в пространстве состояь дивектор состояний Щ): >:(*)-входной сигнал Ш уШ - выходной сигнал

м

>(0-Су;/)+«(.«)

И —— ■ к Ё 1 "Т^Г

0 ;0 0 и

0 0 1 0 0 с

0 0 0 п 0 щ

0 0 0 0 ¡■1 й

0 0 0 0 0 ■

0 0 0 0 0 г

0 0 0 0 0 [Д]

<1 1 ...... 1 ' ,„■ ^ [

' *■'■*'' ия

- = г ## Вектор В (10) " " „ ;

1_1 1

шШи 0 0 0 0

ж я вдв

Вектор С (1С

I 1 I

1.0383212

-0.02342380.02762425-0.0000405 0.ОО02942;-Д0С

Из А

(=1)

..................:.... ....................... -...:.„-------.-^а^^тщщ —— ...—

Зальнейшее действие г. создав отчет Шш || "К" 1

Рис. 5Л 1

ЯпСИиИУ-|0|чит] мам—

•• . И

Щ 1 в ¡Й^Ш 1 ; . • да I 1 ■ : 1-

¡Электрогидромеханическая система управления самолетом

Количестово входных сигналов: 1

Количестово выходных сигналов: 1

Порядок модели: 3

Шаг дискретизации: 0.10с

Глубина памяти ядер 1-го порядка; 32

Глубина памяти ядер 2-го порядка: 8

Глубина памяпг ядер 3-го порядка: 4

Выходной сигнал: 1

Ядро |УЕ}

Диапазон частот: 0 Гц - 4.84 Гц Шаг дискретизации: 0.32 Гц Значения ядра в частотной области 1,0198343010015378 0.0000000000000000 0.4924533806770342 ■0,3142374109620505 -0.1441572374251336 -0.6218020656096996 -0.4139468067683083 -0.3626847594059655 -П ЮШЮОЛП9Й75704

И

У

ш

.....ЙН

Рис. 5.12

Выбор данных для отчета

Входные данные | Выходные данные |

ш

I ^'»

аниемодели

: Ц

г? : -

и I ;

^тэ&ипиз&тор эпек г рог ид во мехами ческой системы упрзвпения

1 I '

:"57 Количество входных сигналов 17 К:ол®Я^^Ш®йныхсигналов

¡7 Шаг^'^с'ретизации

Сг|1-Бь1брать|

Рис. 5.13

Выбор данных для отчета

1 1

«Входные данные!ШйВДВДые данные |

| ¡И ...............____

Щ ЩЯ : :

1 |7:1Диапазон чаютсШ! 111511 : 17 Шаг дискретизации ■'

("¡Значения ядер в часготнойфлйсти -

«П 1 I ■

I ] |

(7«Степени полиномов модели V ||!11' "'4

' ' ^ \

; [7 Значёниякоэффициентов параметрической модели ;

|1|1 !7 Погрешность'идентификации-** | «/. .д ? Т^Значени^шерам. моде'лй\в ча^Щ?о^р&ласти хИ 3-Выбратб['"Т:[

17 -Информация I Г м,,

Ь 4

I

1 ' ИЁ

ш

-

91 : ■■ ■ ■

X £пмг: .а

Рис. 5.14

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании проведенных исследований в настоящей диссертационной работе можно сделать следующие выводы:

1. Проведено исследование метода параметрической идентификации нелинейных динамических систем, внешние модели которых строятся из функциональных разложений Винера-Вольтерра. В результате параметрической идентификации ядра Винера-Вольтерра системы представляются в дробно-рациональном виде.

2. Проведено исследование метода структурной идентификации системы на основании полученной ее параметрической модели. Для линейной части системы, состоящей из ядер Винера-Вольтерра первого порядка, строятся дифференциальные уравнения и уравнения в пространстве состояний. Для нелинейной части системы, состоящей из ядер выше первого порядка, проводится синтез структуры ядер с помощью линейных звеньев и умножителей.

3. Проведено исследование метода исследование устойчивости системы на основании полученной ее параметрической модели. Ядра устойчивой нелинейной динамической должны удовлетворять условиям устойчивости по обобщенному критерию Рауса-Гурвица.

4. Разработано программно-математическое обеспечение параметрической идентификации, структурной идентификации линейной части, и исследования устойчивости нелинейных динамических систем по изложенным методам. Разработанное программно-математическое обеспечение учитывает винеровские модели до третьего порядка включительно, что позволяет исследовать динамические системы с кубической нелинейностью.

5. Проведены вычислительные эксперименты (на данных, полученных в натурном эксперименте) параметрической, структурной идентификации

и исследования устойчивости стабилизатора электрогидромеханической системы управления самолетом. Полученные результаты вычислительного эксперимента подтверждают работоспособность разработанного программно-математического обеспечения.

6. Исследованные методы параметрической, структурной идентификации и исследования устойчивости могут быть применены для исследования динамических систем с нелинейностями более высоких порядков.

ЛИТЕРАТУРА

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. Москва, 1963.

2. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. Москва, Высшая школа, 1994.

3. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. Москва, Мир, 1979.

4. Балл Т.А. Об одном способе ускорения аппаратурного корреляционного анализа. - "Автоматика и телемеханика" № 9, 1963.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Москва, Наука, 1987.

6. Боголюбов H.H., Митриполъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Москва, Физматгиз, 1961.

7. Бендат Д., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. Москва, Мир, 1989.

8. Ван-Трис Г. Синтез оптимальных нелинейных систем управления. Москва, Мир, 1964.

9. Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. Москва, ИЛ, 1961.

10. Винер Н. Кибернетика или управление и связь в животном или машине. Москва, Советское радио, 1968.

11. Воронов A.A. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость. Москва, Высшая школа, 1979.

12. Воронов А.А, Ким Д.П., Лохин В.М. и др. Теория автоматического управления. Часть 1, 2. Москва, Высшая школа, 1986.

13. В у Динь Тханг. Параметрическая идентификация динамических объектов / Сборник научных трудов "Математическое моделирование и управление в сложных системах". Под ред. Музыкина С.Н. Москва, МГАПИ, 1997.

14. Ву Динъ Тханг. Параметрическая идентификация динамических объектов / Труды научно-технической конференции "Моделирование и исследование сложных систем". Кашира, МГАПИ, 1998.

15. Ву Динъ Тханг. Структурная идентификация нелинейных динамических систем / Сборник научных трудов "Математическое моделирование и управление в сложных системах". Под ред. Музыкина С.Н. Москва, МГАПИ, 1999.

16. Ву Динъ Тханг. Исследование устойчивости нелинейных динамических систем / Сборник научных трудов "Математическое моделирование и управление в сложных системах". Под ред. Музыкина С.Н. Москва, МГАПИ, 1999.

11. Ву Динъ Тханг. Программно-математическое обеспечение параметрической, структурной идентификации и исследования устойчивости нелинейных динамических систем / Сборник научных трудов "Математическое моделирование и управление в сложных системах". Под ред. Музыкина С.Н. Москва, МГАПИ, 1999.

18. Гроп Д. Методы идентификации систем. Москва, Мир, 1979.

19. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. Москва, Энергия, 1979.

Ю.Жуков В.П. К проблеме исследования на асимптотическую устойчивость неавтономных нелинейных динамических систем без требования равномерности. - Автоматика и телемеханика, № 4, 1998.

И.Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. Москва, Мир, 1971.

22. Каменецкий В.А. Параметрическая стабилизация нелинейных систем управления. - Автоматика и телемеханика, № 2, 1996.

23. Кичатов Ю.Ф. Метод регуляции в задаче определения нелинейных характеристик объектов / В книге "идентификация и аппаратура для статистических исследований". Труды I Всесоюзного симпозиума по статическим проблемам технической кибернетики. Москва, Наука, 1970.

24. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2: Получисленные алгоритмы. Москва, Мир, 1977.

25. Константинова О.И., Кочегуров В.А., Шумилов Б.М. Параметрическая идентификация нелинейных дифференциальных уравнений на основе сплайн-схем, точных на многочленах. - Автоматика и телемеханика, № 5, 1997.

26. Ку И.Х. Теория нелинейных систем автоматического управления / Труды I конгресса ИФАК. Москва, Наука, 1961.

27. Кулебанин B.C., Линковский Ж.Б. К оптимальной линеаризации нелинейного объекта. ДАН СССР, т. 159, № 3, 1964.

28. Ли Ю., Щетцен М. Определение ядер Винера-Вольтерра методом взаимной корреляции / В книге "Техническая кибернетика за рубежом". Под ред. Солодовникова B.C., Москва, Машиностроение, 1968.

29. Лъюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. Москва, Наука, 1991.

30. Матчо Джон, Р. Фолкнер Дэвид. Delphi. Москва, Издательство "Бином", 1996.

31. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. Под ред. НелепинаР.А. Москва, Наука, 1975.

32. Музыкин С.Н., Родионова Ю. М. Моделирование динамических систем. Ярославль, Верхне-Волжское книжное издательство, 1984.

33. Музыкин С.К, Родионова Ю.М. Функциональные разложения Винера-Вольтерра в задачах проектирования. Ярославль, Верхне-Волжское книжное издательство, 1992.

34. Музыкин С.Н., Родионова Ю.М. Моделирование гибких производственных систем. Учебное пособие. Москва, МИП, 1989.

35. Музыкин С.К, Штьгкин МД. Идентификация динамических объектов. Методические указания по выполнению лабораторных работ. Москва, МИП, 1990.

36. Попков Ю.С., Киселев О.Н., Петров Н.П., Шмульян Б.Л. Идентификация и оптимизация нелинейных стохастических систем. Москва, Энергия, 1976.

37. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. Москва, 1973.

38. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко A.C. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. Москва, Наука, 1976.

39. Пупков К.А., Шмыкова И.А. Анализ и расчет нелинейных систем с помощью функциональных степенных рядов. Москва, Машиностроение, 1982.

40. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и практика цифровой обработки сигналов. Москва, Мир, 1978.

41 .Райбман Н.С. Идентификация объектов управления. - Автоматика и телемеханика, № 6, 1979.

42. Райбман Н.С. Дисперсионная идентификация. Москва, Наука, 1981.

43. Сван Том. Основы программирования в Delphi для Windows 95. Киев, Издательство "Диалектика", 1995.

44. Сван Том. Секреты 32-разрядного программирования в Delphi. Киев, Издательство "Диалектика", 1997.

45. Сейдж Э.П., Мелса Д.Л. Идентификация систем управления. Москва, Наука, 1974.

46. Сильвестров А.Н., Чинаев П.И. Идентификация и оптимизация автоматических систем. Москва, Мир, 1987.

47. Современная теория управления. Под ред. Леондеса К.Т. Москва, Наука, 1970.

48. Современные методы идентификации. Под ред. Эйкхоффа П. Москва, Мир, 1983.

49. Спиди К. и др. Теория управления. Идентификация и оптимальное управление. Москва, Наука, 1973г.

50. Фаронов В.В. Программирование на персональных ЭВМ в среде Турбо-Паскаль. Москва, Издательство МГТУ, 1992.

51. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений., Москва, Мир, 1977.

52. Штыкин М.Д. Разработка программно-математического комплекса белошумовой идентификации динамических объектов в системах автоматизации технологических процессов: Диссертация на соискание ученой степени к.т.н. Москва, МИЛ, 1991.

53. Щетцен М. Синтез нелинейных систем в одном специальном случае / В книге "Техническая кибернетика за рубежом". Под ред. Солодовникова B.C., Москва, Машиностроение, 1968.

54. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. Москва, Мир, 1975.

55. As from К. J., EykhoffP. System identification. Automática, V. 7, N. 2, 1971.

56. Barrett J.F. The use of fimctionals in the analysis of nonlinear physical systems. Journal of Electronics and Control., N. 15,1963.

57. Cooley J.W., Tukey J.W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series. Math. Сотр., N. 19, 1965.

58. Goodwin G.C., PayneR.L. Dynamic system identification: Experimental design and data analysis. New York, Academic Press, 1977.

59. Lee J. W., Schetzen M. Measurement of the Wiener kernels of nonlinear systems by cross-correlation method. International Journal of Electronics. Vol. XXIX, N. 3, 1966.

60. Volterra V. Theory of functional, integral and integro-differential equations. London, Bladcie and Sons Ltd., 1930.

61. Wiener N. Response of a nonlinear device to noise. Report V-16S, Radiation Laboratory, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts, April 6, 1942.

62. Wirth N. Algorithms + Data structures = Programs. Prentice Hall International Editions. 1976.