Младшая K-теория нечётных унитарных групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Воронецкий Егор Юрьевич

• Воронецкий Егор Юрьевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Воронецкий Егор Юрьевич

Введение

Глава 1. Нечётные форменные кольца

1.1 Эрмитовы и квадратичные формы

1.2 Категории

1.3 Квадратичные отображения

1.4 Нечётные форменные кольца

1.5 Нечётные форменные алгебры

1.6 Элементарные унитарные группы

1.7 Унитарные группы Стейнберга

Глава 2. Классические редуктивные группы

2.1 Нильпотентные модули класса

2.2 Аугментированные нечётные форменные алгебры

2.3 Классические нечётные форменные алгебры

2.4 Скрученные формы классических групп

2.5 Классические изотропные редуктивные группы

Глава 3. Центральность К2-функтора

3.1 Про-объекты

3.2 Колокализация

3.3 Прочные разложения Пирса

3.4 Исключение корней

3.5 Условия конечности

3.6 Скрещенные модули Стейнберга

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Младшая K-теория нечётных унитарных групп»

Введение

Объектом исследования являются нечётные унитарные группы, классические изотропные редуктивные группы и соответствующие группы Стейн-берга, предметом исследования являются их структура и свойства. Цель исследования заключается в доказательстве центральности нечётного унитарного К2-функтора и К2-функторов классических изотропных редуктивных групп.

Актуальность темы. Унитарные группы — это обобщение классических матричных групп, то есть полных линейных, симплектических и ортогональных групп, на произвольные ассоциативные кольца с единицей. Существуют различные определения унитарных групп, например, [5; 17; 22—24; 31; 32; 51; 58; 59]. Э. Бак в [6] определил унитарные группы как стабилизаторы двух классических форм на модуле, эрмитовой и квадратичной, где квадратичная форма принимает значения в факторгруппе кольца. Этот подход был обобщён В. Петровым в [2], где он определил нечётные унитарные группы с помощью квадратичных форм со значениями в произвольных абелевых группах.

Существует другое обобщение классических групп, основанное на теории редуктивных групповых схем [20; 21]. Если С — это классическая редуктив-ная групповая схема, то её скрученные формы в £рр£ топологии часто можно построить как унитарные групповые схемы [32], по крайней мере над полем характеристики, не равной 2.

Степень разработанности проблемы. Многие результаты младшей алгебраической К-теории были обобщены на унитарные группы [12; 13; 25; 28; 39; 50]. Для нечётных групп известно, что при естественных условиях

— элементарные подгруппы нормальны [2; 3; 49],

— выполняется стандартное описание нормальных подгрупп [10; 40; 41; 46],

— К1-функтор стабилизируется [2; 9; 11; 57; 61],

— нестабильная группа Стейнберга центрально замкнута [34; 47; 53],

— нестабильный К1-функтор является расширением абелевой группы при помощи нильпотентной [7; 8; 27; 62].

Старшая унитарная К-теория рассматривается в работах М. Шлихтинга, например, в [42].

Также известно, что нестабильный К2-функтор централен (то есть нестабильная группа Стейнберга является центральным расширением элементарной подгруппы) в случаях

— полных линейных групп над коммутативными кольцами, согласно работе В. ван дер Каллена [52];

— полных линейных групп над почти коммутативными кольцами, это результат М. Туленбаева [4];

— групп Шевалле типов С, Э, Е, что следует из работ С. Синчука и А. Лавренова [33; 36; 44];

— изотропных ортогональных групп над полями, согласно статье С. Беге

[14];

— изотропных редуктивных групп над локальными кольцами, это результат А. Ставровой [45].

Доказательства для нелокальных колец используют вычисления с относительными группами Стейнберга или «другое представление» группы Стейнберга, они также существенно используют матричную структуру группы и не обобщаются на изотропные редуктивные группы. В линейном случае на самом деле известно, что группа Стейнберга является скрещенным модулем над полной линейной группой, откуда следует нормальность элементарной подгруппы и центральность К2-функтора.

Используемые методы. В работе используются новый локализаци-онный метод, основанный на про-группах («метод про-групп Стейнберга»); вычисления в группах Стейнберга с использованием относительных корней; разложение Гаусса унитарных групп над полулокальными кольцами. Кроме того, мы используем результаты и методы теории унитарных групп, теории категорий (мультикатегории, полуабелевы категории и про-пополнение) и теории редуктивных групповых схем.

Апробация работы. Методы и основные результаты и методы работы докладывались на семинаре «Алгебраические группы», СПбГУ, Санкт-Петербург, 2021.

Результаты работы являются новыми, снабжены подробными доказательствами и опубликованы в реферируемых научных журналах [1; 55—57] (3 опубликованные работы, 1 препринт), что свидетельствует об их достоверности.

Работа носит теоретический характер, её результаты могут применяться в теории линейных алгебраических групп, при проведении учебных и научных семинаров.

Настоящая работа состоит из трёх глав и заключения. В первой главе мы дадим новую конструкцию унитарных групп, обобщающую определение В. Петрова. Она основана на новых алгебраических объектах, нечётных форменных кольцах, образующих многообразие двухсортных алгебр. Категория нечётных форменных колец оказывается алгебраически когерентной полуабелевой в смысле [15; 18], поэтому в этой общности легко использовать релятивизацию М. Стейна [48] в терминах внутренних скрещенных модулей [19].

Вторая глава содержит конструкцию нечётных форменных алгебр по классическим редуктивным групповым схемам. Для использования строго плоского спуска также вводится дополнительная структура на нечётных форменных алгебрах («аугментация»), описывающая корневые элементы длинного корневого типа.

В третьей главе доказывается основной результат диссертации: при естественных предположениях на нечётное форменное кольцо (Л, А) нечётная унитарная группа Стейнберга 8Ш(Д, А) является скрещенным модулем над унитарной группой и(Д, А). Для этого изучаются нечётные форменные про-кольца, полученные «колокализацией» из (Л, А), и их про-группы Стейнберга. На таких про-группах можно построить действия унитарных групп локализаций (Л, А) при помощи разложения Гаусса и вычислений с относительными корнями («исключения корней»). Наконец, такие действия можно единственным образом продолжить до действия и(Д, А) на 8Ш(Д, А).

Совмещая это с результатами второй главы, получается, что все классические односвязные достаточно изотропные редуктивные групповые схемы имеют центральные К2-функторы. Также этот результат легко применить к изотропным унитарным группам В. Петрова, таким как вырожденные ортогональные группы. Наш результат не применим к редуктивным группам изотропного ранга меньше 3, но уже для групп Шевалле ранга 2 есть контрпримеры [60].

В заключении приводятся описания основных результатов, которые выносятся на защиту, а также описываются дальнейшие направления исследования.

Глава 1. Нечётные форменные кольца 1.1 Эрмитовы и квадратичные формы

Мы используем обозначения [х, у] = хух-1у-1 и ху = хух-1 для элементов групп. Если Ai — это подмножества группы с групповой операцией + при % из линейно упорядоченного множества, все они содержат 0 и каждый д € ^ имеет единственное разложение д = ^¿е/ 9г с д% € А^, то мы также обозначаем сумму А{ через ф -е/ А^. Центр группы С обозначается через С(С), аналогично для колец. Все кольца и алгебры предполагаются ассоциативными, но не обязательно с единицами. Мультипликативная полугруппа кольца Я обозначается через Элемент х € Я кольца называется квазиобратимым, если у него есть квазиобратный х°-1, то есть обратный относительно моноидальной операции хоу = ху+х+у. Квазиобратимые элементы образуют группу Я° относительно °.

Напомним конструкцию нечётных унитарных групп из [2]. Антиавтоморфизм (-) кольца Я с единицей называется Х-инволюцией при Л € Я*, если а = ХаХ-1 и Л = Л-1.

Рассмотрим модуль Мд над кольцом Я с А-инволюцией. Биаддитивное отображение В: М х М ^ Я называется эрмитовой формой, если выполнено В(тг,т'гг) = г В(т,т')г' и В(т',т) = В(т,т') X. Группа Гейзен-берга эрмитовой формы В — это Не[$(В) = М х Я с групповой операцией (т, г) + (т', г') = (т + т', г - В(т, т') + г'), моноид В? действует на ней через (т,г) • х = (тх,хгх). Нечётный форменный параметр — это Л^-инвариантная подгруппа С < Не1$,(В) такая, что

{(0, г - гА)} = СШщ < С < Стах = {(т,г) | г + В(т, т) + гХ = 0}.

При выборе такого С отображение д: М ^ Не1в(В)/С,т ^ (т, 0) + С называется квадратичной формой, а унитарная группа — это

и(М, В, С) = {д е АиЬ(Мн) | В(дт, дт') = В(т, т'), д(дт) = д(т)}.

Нас интересует частный случай этих определений. Будем говорить, что (Я, А) — это специальное нечётное форменное кольцо с единицей, если Я — это кольцо с 1-инволюцией, на Дд выбраны эрмитова форма Вд(х,у) = ху и

нечётный форменный параметр А < Не1з(Вд) = Я х Я. Тогда и(Я, Вк, А) можно отождествить с

{д е Я*\ д-1 = д, (д - 1,д - 1) е А}.

В разделе 1.4 мы определим абстрактные нечётные форменные кольца, образующие многообразие двухсортных алгебр.

По любому кольцу Я с единицей можно построить специальное нечётное форменное кольцо (Т, 2) с единицей, где Т = Яор х Я с (хор,у) = (уор,х) и

2 = 2тах = {(жор, у; 2ор\ ху + г + w = 0}.

Тогда

Я*^ и(Т,ВТ, 2тах),^^ ((Г1)0^)

будет изоморфизмом групп. Если Я имеет полное семейство ортогональных идемпотентов /1,..., , то положим е^ = (0,/г) е Т при г > 0 и е^ = (/-р, 0) е Т при % < 0. Они образуют полное семейство ортогональных идемпотентов в Т, = е- и элементы д!^ = (е^, 0) лежат в в. Если же полны, то есть Я = Я^Я, то + е- полны в Т.

По модулю Мх с эрмитовой формой В и нечётным форменным параметром С тоже можно построить специальное нечётное форменное кольцо (£, в) с единицей. Построим по Еп^Мд) специальное нечётное форменное кольцо (Т, 2) с единицей. Подкольцо

5 = {(жор, у) е Т \ В(хт, т') = В(т, ут')}

имеет нечётный форменный параметр

в = {(хор,у; гор^) е втах = 2тах П (5 х 5) \ д(ут) + (0, В(т,шт)) = С}

и легко видеть, что унитарные группы и(М,В, С) и и(5', Вв, в) изоморфны. Теперь пусть в М выбраны у^ при -1 < г < I, г = 0 такие, что В(уг,у^) = 0 при % = -], д(у^ = С при всех % и В(у-{,у{) = 1 при % > 0. Тогда

ец = ((у-3Х-1 В(уг, -))ор,угВ(у-,, -)) е 5 при $ > 0, ец = ((у-3ХВ(уг, -))ор, ViX-1B(у-,, -)) е 5 при $ < 0,

егз ек1 = 0 при з = к, ег]е]к = егк, ег] = при г] > 0 и дг = (егг, 0) е в.

1.2 Категории

Декартова мультикатегория С состоит из

1. класса объектов ОЪ(С);

2. множеств морфизмов С(Х1,... ,Хп; У) при п > 0 и Х^,У € ОЪ(С);

3. тождественных морфизмов [(х € С(X; X) при X € ОЪ(С);

4. отображений композиции

С (У1,...,Уп; 2) хС (Х1,...,Хт; У)

^С (...,У1-1,Х1,...,Хт,У+1,...; г)

для п > 1, т > 0, X,,У3,г € ОЪ(С);

5. отображений

С (Ха{1),Ха(т); У) ^ С (Х1,..., Хп; У ¡а*

для т,п > 0, Хг,У € ОЪ(С), а: {1,...,т} ^ {1,...,п}; и эти отображения согласованы [43]. Симметричная мультикатегория определяется аналогично, но берутся только биективные а.

Симметричная мультикатегория С замкнута [37], если для всех п > 0 и Х1,... , Хп, У € С существуют объект Н и еу € С(Н, Х1,..., Хп; У) такие, что для всех т > 0 и Z1,..., € ОЪ(С) будет биекцией

еу*: С (ги ...,гт; н) ^ с (гъ ...,гт,Хъ...,Хп; У).

Нам потребуются регулярные и полуабелевы категории [15]. Категория С имеет нулевой объект 0, если он одновременно начальный и конечный. Мор-физм / в конечно полной С называется регулярным эпиморфизмом, если это коуравнитель некоторой ядерной пары, то есть расслоенного произведения некоторого морфизма с собой. Конечно полная С регулярна, если все ядерные пары имеют коуравнители и регулярные эпиморфизмы сохраняются при расслоенных произведениях, тогда в ней есть функториальное разложение морфизмов в композицию мономорфизма и регулярного эпиморфизма.

Расщеплённым расширением в регулярной С с нулевым объектом назы-

р

вается диаграмма А'>—-—>А < ^ ))<А" , где р ° в = 1(а» и г = кет(р). Такая С называется гомологической, если все морфизмы между расщеплёнными расширениями, тождественные на концах, обратимы. Наконец, С полуабелева, если

она гомологическая, конечно кополная и все категорные отношения эквивалентности являются ядерными парами.

В произвольной гомологической С объект С действует на объекте X, если выбран класс изоморфизма расщеплённых расширений X ^ У ^ С. Если С полуабелева, то свободный объект с действием С, содержащий X, — это Кег(С П X ^ С) [16]. Полуабелева С называется алгебраически когерентной [18], если в любом объекте X с действием С точная верхняя грань любых двух С-инвариантных подобъектов С-инвариантна. Категории Огр групп и колец без единицы являются алгебраически когерентными полуабелевыми.

Скрещенный модуль [19] в алгебраически когерентной полуабелевой категории С состоит из морфизма 5: X ^ С и действия С на X таких, что 5 эквивариантен относительно действия С и действие X на себе пропускается через действие С на нём. В Огр это в точности классические скрещенные модули, то есть гомоморфизмы групп 6: X ^ С с действием С на X таким, что 5(9х) = 95(х) и Хх' = 5(хХ>х' при д е С, х,х' е X.

1.3 Квадратичные отображения

Группу С будем называть фильтрованной 2-нильпотентной, если в ней выбрана нильпотентная фильтрация 0 < С0 < С. В такой С коммутатор можно рассматривать как биаддитивное отображение С/С0 х С/С0 ^ С0. Все факторгруппы С/Ы будут фильтрованными 2-нильпотентными с фильтрациями 0 < (Со + N)/Ы < С/Ы.

Нам понадобится конструкция фильтрованных 2-нильпотентых С, у которых С/С0 раскладывается в прямую сумму. Возьмём абелевы группы С0 и при % е I, где I линейно упорядочено, биаддитивные отображения [-, =]у : ^ х ^ С0 при % < ] и нормализованные 2-коциклы ^: х ^ С0 (то есть с(х, у) + с(х + у,х) = с(х, у + ^) + с(у, г) и с(х, 0) = с(0, х) = 0). Тогда С = С0 (В ф^г будет фильтрованной 2-нильпотентной группой с фильтрацией С0 так, что х + у = С{(х,у) (В (ж + у) при х,у е С,, и [х,у\ = [х,у]ц при

х е С,И у е С^, % < ].

Отображение д: С ^ Н фильтрованных 2-нильпотентных групп квадратично [26], если д(С0) С Н0 и д(х + у) = д(х) + д(х \ у) + д(у), где

д(- | =): С/Со х С/Со ^ Но биаддитивно (скрещенный эффект д). Такое д задаёт гомоморфизмы Со ^ Но и С/Со ^ Н/Но абелевых групп. Также д(-х) = д(х | х) — д(х), д(пх) = пд(х) + (12>)я(х I х) при п € Ж,

4(Е^ хг) = Е^ Я(хг) + Е^< Я(хг 1 х3), Я([х, у]) = [д(х), д(у)] + д(х 1 у) - д(у 1 х).

Если д,д': С ^ Н квадратичные, то их поточечная сумма д + д' квадратична с

(д + д')(х 1 у) = д(х 1 у) + [д(у),^(х)] + 1

а — д квадратично с (^д)(ж | у) = [д(у), Я(#)]•-д(х | у). Поточечный коммутатор [#,#']•: С ^ Но квадратичен с

[(Ь4](Х | У) = [Я(х),д'(у)] + (У),Я'МГ.

Композиция квадратичных д: С ^ Н и д': Н ^ И тоже квадратична с

(д' о д)(х | у) = д'(д(х | у)) + д'(д(х) | д(у)).

Возьмём фильтрованные 2-нильпотентные группы С1,...,Сп,Н. Отображение д: С\ х ... х Сп ^ Н поликвадратично, если оно квадратично по каждому аргументу. Обозначим индуцированные отображения и скрещенные эффекты через

дг: Сх х ... х С- х Сго х С+ х ... х Сп ^ Но, д: С\/С\о х ... х Сп/Сп{) ^ Н/Н{),

дг: Сх х ... х С- х Сг/Сго х Сг/Сго х С+ х ... х Сп ^ Но.

Ясно, что и дг квадратичны по остальным п-1 переменным. Легко проверить, что эти отображения удовлетворяют

Ф|...х^ох...х^о х... = Щ |...хGi{)х...хGj{)х... при % < 3; (Q0)

дг(...,х,...,у | г,...) = д3 (..., x,... ,y, z,...) при г = 3; (Q1) дг (... ,х, у,..., г | п),...) = д3 (..., х | у,...,х,п),...)

+ [д(...,у,...,г,...),д(...,х,...,-ы,...)} при % <]; (Q2) дг([х,у],...) = [д(...,х,...),д(...,у,...)]

+ ^(...,х,у,...) - дг(... ,у,х,...). ^3)

Обозначим через Quad(G1,..., Сп; Н) группу поликвадратичных отображений С\ х ... х Сп ^ Н и выберем в ней нильпотентную фильтрацию

Quad(Gi,..., Gn; H0), где H0 рассматривается с нильпотентной фильтрацией 0 < Н0 < Но. Фильтрованные 2-нильпотентные группы и поликвадратичные отображения образуют замкнутую симметричную мультикатегорию Quad.

Есть два вполне строгих функтора из Ab в Quad, если рассматривать нильпотентные фильтрации 0 < 0 < А или 0 < А < А на каждой абелевой группе А. Относительно любого из них Quad(А1,..., An; В) является обычной группой полиаддитивных отображений для абелевых групп Ai и В.

Лемма 1. Поликвадратичные q,q': G1 х ... х Gn ^ Н совпадают, если их индуцированные отображения и скрещенные эффекты совпадают, а также q(x1,..., xn) = q'(x1,... , xn), где xi пробегают подмножества Gi, порождающие Gi/Gi0.

Лемма 2. Пусть q: G1 х ... х Gn ^ Н поликвадратично и F < G1 —это нормальная подгруппа, порождённая элементами ai — bi. Тогда q задаёт поликвадратичное G1/F х G'i х ... х Gn ^ Н, если скрещенные эффекты q пропускаются через F и q(ai, х2,... , xn) = q(bi,x2,..., xn).

Лемма 3. Рассмотрим фильтрованные 2 -нильпотентные группы G1, ..., Gn, Н и разложения Gi = Gi0 (Вф^-ej. Fij такие, что Gi/Gi0 = ф Fij являются прямыми суммами абелевых групп. Пусть у нас есть отображения

qi: G1 х ... х Gi0 х ... х Gn ^ Но, q: G1/G10 х ... х Gn/Gn0 ^ Н/Щ, qi: G1 х ... х Gi/Gi0 х Gi/Gi0 х ... х Gn ^ Щ, Ял-jn : ^i х ... х FnJn ^ Н

такие, что qi, q и qi аддитивны или квадратичны по соответствующим аргументам и удовлетворяют (Q0)—(Q3);

Ял-jn (9ъ ...,9n) = q(91, ...,9n) (mod Ял-jn(... ,9i + 9i ,...)= Qji...jn (. ..,9i,...) + qi(...,9i,gil,...)

— Qi(.. .,cji ...) + qji...jn (. ..,gl,...)

для соответствующих нормализованных 2-коциклов Cji. Тогда существует q Е Quad(G1,..., Gn; F) со скрещенными эффектами qi, индуцирующее qi и q, а также продолжающее qj1...jn.

Доказательство. При п = 1 зададим д формулой

яЦо 0 01з) = Шо) + £ V(1з) + Е ^ ,¡3)

з<з'

при помощи ^3). В общем случае мы построим Р1з1 ^ Quad(G2,..., Сп; Н) по индукции. Из ^1)—^2) следует, что эти отображения обладают свойствами из условия при п = 1, поэтому требуемое д существует. Оно удовлетворяет всем требованиям в силу ^0)—^2). □

Если Х1 < С

1, ..., Хп < Сп подгруппы и д € Quad(Gl,..., Сп; Н), то через д(Х1,..., Хп) мы будем обозначать подгруппу Н, порождённую элементами д(х1,..., хп) при XI € Х,и вместо образа Х1 х ... х Хп. Это обычное соглашение для полиаддитивных отображений между абелевыми группами.

1.4 Нечётные форменные кольца

Мы дадим немного другое определение нечётных форменных колец по сравнению с [57], чтобы их категория была полуабелевой.

Нечётное форменное кольцо — это пара (Я, А), где Я является кольцом с инволюцией г ^ г, А является группой с групповой операцией + и даны ф: Я ^ А, ж: А ^ Я, р: А ^ Я, (-) • (=): А х Я ^ А со свойствами

(Я1) ф(а + Ь) = ф(а) + ф(Ь), ф(а + а) = ф(аа) = 0;

(Я2) ж(и + V) = ж(и) + ж(у), ж(ф(а)) = 0;

(Я3) V + и = и + ф(ж(и)ж(у)) + V;

(Я4) ж(и • а) = ж(и)а;

(Я5) р(и + V) = р(и) - ж(и)ж(у) + р(у), р(ф(а)) = а - а;

(Яб) р(и) + ж(и)ж(и) + р(и) = 0;

(Я7) (и + V) • а = и • а + V • а, ф(Ь) • а = ф(аЬа);

(Я8) и • (а + Ь) = и • а + ф( Ь р(и)а) + и • Ь;

(Я9) р(и • а) = ар(и)а;

(Я10) (и • а) • Ь = и • аЬ.

Из аксиом следует, что 0 < ф(Я) < А является нильпотентной фильтрацией. Если рассматривать Я с фильтрацией 0 < Я < Я, то р квадратично, а

если рассматривать его с фильтрацией 0 < 0 < Л, то (—) • (=) биквадратично. Также есть полезное следствие р(—и) = р(и) из (И5) и (И6).

Пусть теперь у нас есть кольцо Я с инволюцией и фильтрованная 2-ниль-потентная группа А с отображениями ф и ж, удовлетворяющими (Ш), (К2), (ИЗ), а также структурой правого неунитального Д-модуля на А/ф(Я), удовлетворяющей (И4). Чтобы построить р, удовлетворяющее (И5), мы можем использовать лемму 3, так как индуцированные гомоморфизмы и скрещенные эффекты уже имеются и удовлетворяют ^0)—^3). Аксиому (И6) можно проверить на образующих согласно лемме 1. Аналогично, индуцированные отображения и скрещенные эффекты для действия (—)•(=), удовлетворяющего (И7) и (И8), уже имеются и удовлетворяют ^0)—^3). Аксиомы (И9) и (Ш0) также можно проверять на образующих.

Нечётное форменное кольцо (Я, А) специально, если (ж,р): А ^ Я х Я инъективно. Множество Я х Я имеет групповую операцию

(а, Ь) + (с, (I) = (а + с,Ь — ас + (I)

и действие полугруппы Я^, задаваемое формулой (а,Ъ) • с = (ас, с Ьс). С точностью до отождествления А с её образом в Я х Я специальные нечётные форменные кольца —это пары (Я, А) из кольца с инволюцией и ^•-инвариантной подгруппы А < Я х Я, причём

{(0, а — а)} = Атш < А < Атах = {(а, Ь) \ Ъ + аа + Ь =0}.

Легко проверить, что категория ОЕИ нечётных форменных колец и их гомоморфизмов полуабелева. В ней мономорфизмы — это инъекции, регулярные эпиморфизмы — это сюръекции, а изоморфизмы — это биекции.

Будем говорить, что нечётное форменное кольцо (Я, А) действует на нечётном форменном кольце (51, в), если даны операции умножения Я х 8 ^ 8, 5 х Я ^ 8, в х Я ^ в, А х 5 ^ в, удовлетворяющие

(А1) (а + а')Ь = аЬ + а'Ь, а(Ь + Ь') = аЬ + аЬ';

(А2) (аа')Ь = а(а'Ь), (аЬ)Ь' = а(ЬЬ'), (аЬ)а' = а(Ьа'), (Ьа)Ь' = Ь(аЬ'); (А3) аЬ = Ьа;

(А4) (и + и') • Ь = и • Ь + и' • Ь, и • (Ь + Ь') = и • Ь + ф(9р(и)Ь) + и • Ь';

(А5) (у + у') • а = V • а + у' • а, у • (а + а') = у • а + ф(а'р(у)а) + у • а';

(А6) ф(а) • Ь = ф( ЬаЬ), ф(Ь) • а = ф(аЬа);

(А7) ж (и • Ь) = ж(и)Ь, ж(у • а) = ж(у)а;

(А8) р(и • Ь) = Ьр(и)Ь, р(у • а) = ар(у)а; (А9) (и • а) • Ь = и • аЬ, (и • Ь) • а = и • Ьа, (и • Ь) • Ь' = и • ЬЬ'; (А10) (у • а) • Ь = у • аЬ, (у • Ь) • а = V • Ьа, (у • а) • а' = V • аа' при а, а' € Я; Ъ,Ъ' € 3; и, и' € А; у, у' € в. Следующая лемма показывает, что так описываются действия в ОРИ в смысле полуабелевых категорий.

Лемма 4. Для любых нечётных форменных колец (Я, А) и (Б, в) существует взаимно однозначное соответствие между классами изоморфизма расщеплённых расширений (Б, в) ^ (Т, 2) ^ (Я, А) и действиями (Я, А) на (Б, в), при котором расщеплённое расширение соответствует сужению своих операций на (Я, А) и (Я, в).

Доказательство. Любое расщеплённое расширение (Т, 2) имеет вид Т = 3 ж Я, 2 = в ж А, поэтому его класс изоморфизма даёт требуемые операции умножения. Группа А действует на в по формуле чи = у + ф(ж(у)ж(и)) и при помощи леммы 1 легко видеть, что эти операции однозначно задают класс изоморфизма.

Наоборот, пусть у нас есть операции умножения. Из (А1) и (А2) следует, что Я действует на 3 в полуабелевой категории колец, поэтому можно построить Т = 3 ж Я с инволюцией, используя (А3). Группа А действует на в по формуле выше, поэтому 2 = в ж А и гомоморфизмы ф: Т ^ 2, ж: 2 ^ Т корректно определены и удовлетворяют (Я1), (Я2), (Я3). Поликвадратичные отображения р: 2 ^ Т и (-) • (=): 2 х Т ^ 2 можно построить по лемме 3, а оставшиеся аксиомы проверить при помощи леммы 1. □

Теорема 1. Категория ОРИ алгебраически когерентна.

Доказательство. Пусть (Т, 2) действует на (Я, А) и (51, в), (Б', в') являются (Т, 2)-инвариантными подобъектами (Я, А). Их точная верхняя грань (5'', в'') —это

3'' = ^ + 5" + 33' + З'З + ЗЗ'З + З'ЗЗ' + ...,

в'' = ф(3'') + в + в' + в • 3' + в' • 3 + в • З'З + в' • 33' + ...,

она тоже (Т, 2)-инвариантна. □

Скрещенным модулем в категории ОРИ будем называть гомоморфизм 5: (3, в) ^ (Я, А) нечётных форменных колец, где (Я, А) действует на (51, в), 5 сохраняет это действие, а также выполнены соотношения Пайффера

1. ЬЬ' = 5(Ь)Ь' = Ь5(У) при Ь, Ь' е Б;

2. V • Ь = 8(у) • Ь = V • ОД при V е в, Ь е 5.

Легко видеть, что это в точности скрещенные модули в смысле алгебраически когерентных полуабелевых категорий.

1.5 Нечётные форменные алгебры

Нечётное форменное кольцо (Я, А) имеет единицу, если Я имеет единицу и и • 1 = и при и е А. Например, любое коммутативное кольцо К с единицей можно рассматривать как нечётное форменное кольцо (К, 0) с единицей (взяв тривиальную инволюцию на К). Действие нечётного форменного кольца (Т, 2) на нечётном форменном кольце (Я, А) с единицей всегда задаётся единственным гомоморфизмом (Т, 2) ^ (Я, А). Специальные нечётные форменные кольца с единицей —это в точности объекты из раздела 1.1.

Действие нечётного форменного кольца (Я, А) с единицей на нечётном форменном кольце (51, в) унитально, если 1Ь = Ь = Ь1 при Ь е Б и V • 1 = V при V е в, то есть если (Б х Я, в х А) имеет единицу (0,1) е Б х Я.

Возьмём коммутативное кольцо К с единицей. Нечётное форменное кольцо (Я, А) называется нечётной форменной К-алгеброй, если на нём унитально действует (К, 0), причём ак = ка при а е Я, к е К. Другими словами,

1. Я является К-алгеброй с К -линейной инволюцией;

2. моноид К• действует справа на А операцией (и, к) ^ и • к;

3. и • (к + к') = и • к + ф(р(и)кк') + и • к';

4. (и • а) • к = и • ак = (и • к) • а;

5. ф(а) • к = ф(ак2), ж (и • к) = ж(и)к, р(и • к) = р(и)к2;

6. ф(аак) = 0.

Любое нечётное форменное кольцо имеет единственную структуру нечётной форменной Ж-алгебры, если положить и • п = пи + ф(р(и)), и все гомоморфизмы нечётных форменных колец сохраняют действие (Ж, 0).

Унитарная группа нечётного форменного кольца (Я, А) — это

и(Я, А) = {д е А \ ж(д) = (д)^д = Щ*(д)} с групповой операцией дК = д • ж (К) + К + д.

Лемма 5. Множество Ц>(Я, А) действительно является группой с нейтральным элементом 0 и обратным д-1 = — д • п(д) — д. Из неё есть гомоморфизм а: Ц>(Я, А) ^ (Я ж Ъ)*,д ^ ж(д) + 1 со свойством а(д)-1 = а(д). Она действует автоморфизмами на (Я, А) по формулам 9а = а(д) аа(д) при а € Я и 9и = (д • п(и) + и) • а(д) при и € А. Это действие задаёт действие сопряжениями унитарной группы на себе, а если (Я, А) является нечётной форменной К-алгеброй, то оно перестановочно с действием (К, 0).

Так как функтор и(-, =): ОРИ ^ Огр сохраняет конечные пределы, то любое действие (Я, А) на (5, в) задаёт действие и(Я, А) на (3, в) и и(5, в). Также этот функтор сохраняет скрещенные модули, что позволяет применять релятивизацию [48] к элементарным подгруппам унитарных групп и их группам Стейнберга.

Нечётная форменная ^-подалгебра (I, Г) < (Я, А) нормальна, если на (Я/1, А/Г) порождается структура нечётной форменной ^-алгебры. Другими словами, это нечётная форменная ^-подалгебра, инвариантная относительно действия (Я, А) на себе. В этом случае мы будем говорить, что (I, Г) —это нечётный форменный идеал (Я, А). Таким образом, нечётный форменный идеал состоит из идеала I = I < Я и подгруппы Г < А, причём Г • Я + Г • К С Г и

А • I + ф(1) = Гтт < Г < Гтах = {и € А | Ж (и), р(и) € I}.

Лемма 6. Нечётный форменный идеал (I, Г) < (Я, А) нечётной форменной К-алгебры, порождённый X С Я и и С А, имеет вид

I = £ (К ж К)а(Я ж К),

а€Х их Ш(и ръЩ ир (и)

Г = ф(1) + А • I + £ и • К и • К

ч€и ч€и

Предложение 1. Пусть К —это коммутативное кольцо с единицей, X и и — множества переменных, (Я, А) — это свободная нечётная форменная К-алгебра, порождённая X С Я и и С А. Также положим

А = {х, х, ж(и),ж(и), р(и) | х € Х,и € и},

через А+ обозначим свободную полугруппу на А (то есть множество непустых конечных последовательностей из элементов А), через А* = {0}и А+ —

свободный моноид на А. Тогда Я = Над, Кег(0) = {г е Я \ г = г },

А/ф(Я) является свободным правым К-модулем с базисом и • ад при и е и и ад е А*, а всё нечётное форменное кольцо (Я, А) специально.

Доказательство. Пусть Я' = Над, это К-алгебра с К -линейной инво-

люцией, где р(и) = — п(и) п(и) — р(и). Она также имеет базис из непустых формальных произведений х, х, п(и), п(и), р(и), р(и), не содержащих подпроизведения ж(и)'к(и), такой базис сохраняется при инволюции. С его помощью легко проверить, что {г е Я' \ г = г} = К (г + г) + Кгг.

Пусть Р = Я'/{г е Я' \ г = г }, обозначим каноничное отображение Я' ^ Р через ф. Также пусть А' = Р 0 фиеи и • (Я' х К), где Р центрально, [и • х,у • у} = ф( у ж (у) ж(и)х), и • х + и • у = ф(— у р(и)х) 0 и • (х + у). При помощи лемм 1 и 3 можно определить операции на А' так, что ж(и • х) = ж(и)х, р(и • х) = хр(и)х, (и • х) • у = и • ху при у е К и Я и (Я', А') является нечётной форменной ^-алгеброй. Ясно, что она свободна. □

Отсюда следует, что любая нечётная форменная ^-алгебра является под-фактором специальной нечётной форменной ^-алгебры с единицей.

Предложение 2. Пусть (Т, 2) —это копроизведение нечётных форменных К-алгебр (Я1, А1) и (Я—1, А—1). Тогда

Т = Я1 0 Я—1 0 (Я1 0к Я—1) 0 (Я—1 0к Я1)

0 (Я1 0к Я—1 0к В,1) 0 (Я—1 0к В,1 0к Я—1) 0 ...; 2 = ф(Я1 0к Я—1) Ф(Я1 0к Я—1 0к Я1 0к Я—1) ...

0 А1 00 А—1 00 (А1 шк Я—1) 0 (А—1 шк Я1) 0 (А1 шк Я—1 0к Я1) 0 (А—1 шк Я1 0к Я—1) 0 ■■■;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Воронецкий Егор Юрьевич, 2023 год

Список литературы

1. Воронецкий Е. Ю. Скрученные формы классических групп // Алгебра и анализ. — 2022. — Т. 34, № 2. — С. 56—94.

2. Петров В. А. Нечётные унитарные группы // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2003. — Т. 305. — С. 195—225.

3. Петров В. А., Ставрова А. К. Элементарные подгруппы в изотропных редуктивных группах // Алгебра и анализ. — 2008. — Т. 20, № 4. — С. 160—188.

4. Туленбаев М. С. Мультипликатор Шура группы элементарных матриц конечного порядка // Зап. научн. семин. ЛОМИ. — 1979. — Т. 86. — С. 162—169.

5. Artin E. Geometric algebra. — Inters. Publ., New York, 1957.

6. Bak A. K-theory of forms. — Princeton Univ. Press, Princeton, 1982. — (Ann. of Math. Stud. 98).

7. Bak A. Nonabelian K-theory: the nilpotent class of k1 and general stability // K-Theory. — 1991. — Vol. 4. — P. 363—397.

8. Bak A., Hazrat R., Vavilov N. Localisation-completion strikes again: relative k\ is nilpotent by abelian //J. Pure Appl. Algebra. — 2009. — Vol. 213. — P. 1075—1085.

9. Bak A., Petrov V., Tang G. Stability for quadratic k1 // K-Theory. — 2003. — Vol. 30. — P. 1—11.

10. Bak A., Preusser R. The E-normal structure of odd dimensional unitary groups //J. Pure Appl. Algebra. — 2018. — Vol. 222, no. 9. — P. 2823—2880.

11. Bak A., Tang G. Stability for hermitian Ki // J. Pure Appl. Algebra. — 2000. — Vol. 150. — P. 107—121.

12. Bak A., Vavilov N. Structure of hyperbolic unitary groups I: elementary subgroups // Algebra Colloq. — 2000. — Vol. 7, no. 2. — P. 159—196.

13. Bass H. Unitary algebraic K-theory // Lecture Notes Math. — 1973. — Vol. 343. — P. 57—265.

14. Böge S. Steinberggruppen von orthogonalen gruppen // J. Reine Angew. Math. — 1998. — Vol. 494. — P. 219—236.

15. Borceux FBourn D. Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories. — Kluwer Academic Publishers, 2004.

16. Borceux F., Janelidze G., Kelly G. M. Internal object actions // Comment. Math. Univ. Carolin. — 2005. — Vol. 46, no. 2. — P. 235—255.

17. Calmès F., Fasel J. Groupes classiques // Autour des schémas en groupes. Vol. II. — Soc. Math. France, 2015. — P. 1—133.

18. Cigoli A. S., Gray J. R. A., Van der Linden T. Algebraically coherent categories // Theory and applications of categories. — 2015. — Vol. 30, no. 54. — P. 1864—1905.

19. Cigoli A. S., Mantovani S., Metere G. Peiffer product and Peiffer commutator for internal pre-crossed modules. — 2015. — Preprint, arXiv:1503.05008.

20. Conrad B. Reductive group schemes // Autour des schémas en groupes. Vol. I. — Soc. Math. France, 2014. — P. 93—444.

21. Demazure M., Grothendieck A. Schémas en groupes I, II, III. — Springer-Verlag, 1970.

22. Dieudonné J. La géometrie des groupes classiques. 3éme ed. — Springer-Verlag, Berlin, 1971.

23. Dieudonné J. On the automorphism of the classical groups // Mem. Amer. Math. Soc. — 1951. — Vol. 2. — P. 1—122.

24. Dieudonné J. Sur les groupes classiques. 3éme ed. — Hermann. Paris, 1973.

25. Hahn A. J., O'Meara O. T. The classical groups and K-theory. — Springer-Verlag, 1989.

26. Hartl M. Quadratic maps between groups // Georgian Math. J. — 2009. — Vol. 16, no. 1. — P. 55—74.

27. Hazrat R. Dimension theory and nonstable Ki of quadratic modules // K-Theory. — 2002. — Vol. 27. — P. 293—328.

28. Hazrat R., Vavilov N. Bak's work on the K-theory of rings //J. K-Theory. — 2009. — Vol. 4, no. 1. — P. 1—65.

29. Jacqmin P.-A., Janelidze Z. On stability of exactness properties under the pro-completion. — 2020. — Preprint, arXiv:2002.02204.

30. Kashiwara M., Schapira P. Categories and sheaves. — Springer-Verlag, 2006.

31. Knus M.-A. Quadratic and hermitian forms over rings. — Springer-Verlag, 1991.

32. Knus M.-A., Merkurjev A., Rost M., Tingol J.-P. The book of involutions. — AMS Col. Publ., 1998.

33. Lavrenov A. Another presentation for symplectic Steinberg groups //J. Pure Appl. Algebra. — 2015. — Vol. 219, no. 9. — P. 3755—3780.

34. Lavrenov A. On odd unitary Steinberg group. — 2013. — Preprint, arXiv:1303.6318.

35. Lavrenov A., Sinchuk S. A Horrocks-type theorem for even orthogonal k2 // Doc. Math. — 2020. — Vol. 25. — P. 767—809.

36. Lavrenov A., Sinchuk S. On centrality of even orthogonal k2 // J. Pure Appl. Algebra. — 2017. — Vol. 221, no. 5. — P. 1134—1145.

37. Manzyuk O. Closed categories vs. closed multicategories // Theory and applications of categories. — 2012. — Vol. 26, no. 5. — P. 132—175.

38. Mardesic S., Segal J. Shape theory: the inverse system approach. — North-Holland Publishing Company, 1982.

39. Milnor J. Introduction to algebraic K-theory. — Princeton University Press, 1971.

40. Preusser R. Sandwich classification for o2n+\(R) and u2n+i(R, a) revisited // J. Group Theory. — 2018. — Vol. 21, no. 4.

41. Preusser R. Structure of hyperbolic unitary groups II: classification of E-normal subgroups // Algebra Colloq. — 2017. — Vol. 24, no. 2. — P. 195—232.

42. Schlichting M. Higher K-theory of forms I. From rings to exact categories // J. Inst. Math. Jussieu. — 2021. — Vol. 20, no. 4. — P. 1205—1273.

43. Shulman M. Categorical logic from a categorical point of view. — 2016. — Lecture notes.

44. Sinchuk S. On centrality of K2 for Chevalley groups of type E i //J. Pure Appl. Algebra. — 2016. — Vol. 220, no. 2. — P. 857—875.

45. Stavrova A. On the congruence kernel of isotropic groups over rings // Trans. Amer. Math. Soc. — 2020. — Vol. 373, no. 7. — P. 4585—4626.

46. Stavrova A., Stepanov A. Normal structure of isotropic reductive groups over rings. — 2018. — Preprint, arXiv:1801.08748.

47. Stein M. R. Generators, relations and coverings of Chevalley groups over commutative rings // Amer. J. Math. — 1971. — Vol. 93, no. 4. — P. 965—1004.

48. Stein M. R. Relativizing functors on rings and algebraic K-theory //J. Algebra. — 1971. — Vol. 19. — P. 140—152.

49. Taddei G. Normalité des groupes élémentaires dans les groupes de Chevalley sur un anneau // Applications of algebraic K-theory to algebraic geometry and number theory, Part II (Boulder, Colo., 1983). — 1986. — P. 693—710.

50. Tang G. Hermitian groups and K-theory // K-theory. — 1998. — Vol. 13, no. 3. — P. 209—267.

51. Tits J. Formes quadratiques, groupes orthogonaux et algébres de Clifford // Invent. Math. — 1968. — Vol. 5. — P. 19—41.

52. van der Kallen W. Another presentation for Steinberg groups // Indag. Math. — 1977. — Vol. 80, no. 4. — P. 304—312.

53. van der Kallen W., Stein M. On the Schur multipliers of Steinberg and Chevalley groups over commutative rings // Math. Z. — 1977. — Vol. 155, no. 1. — P. 83—94.

54. Voronetsky E. Actions of pro-groups and pro-rings. — 2022. — Preprint, arXiv:2205.13336.

55. Voronetsky E. Centrality of K2-functors revisited //J. Pure Appl. Alg. — 2020. — Vol. 225, no. 4. — published electronically.

56. Voronetsky E. Centrality of odd unitary K2-functor. — 2020. — Preprint, arXiv:2005.02926.

57. Voronetsky E. Injective stability for odd unitary Ki //J. Group Theory. — 2020. — Vol. 23, no. 5.

58. Wall C. T. C. On the axiomatic foundation of the theory of Hermitian forms // Proc. Cambridge. Phil. Soc. — 1970. — Vol. 67. — P. 243—250.

59. Weil A. Algebras with involutions and the classical groups //J. Indian Math. Soc. — 1960. — Vol. 24, no. 3. — P. 589—623.

60. Wendt M. On homotopy invariance for homology of rank two groups //J. Pure Appl. Alg. — 2012. — Vol. 216, no. 10. — P. 2291—2301.

61. Yu W. Injective stability for odd-dimensional unitary k1 //J. Group Theory. — 2019. — Vol. 23, no. 2.

62. Yu W., Tang G. Nilpotency for odd unitary Ki-functor // Comm. Alg. — 2016. — Vol. 44, no. 8. — P. 3422—3453.

St Petersburg University

Manuscript

Egor Voronetsky

Lower K-theory of odd unitary groups

1.1.5. Mathematical logic, algebra, number theory, and discrete mathematics

Dissertation of the Candidate of Science in Physics and Mathematics

Translation from Russian

Scientific advisor: Doctor of Sciences in Physics and Mathematics

Professor Nikolai Vavilov

Saint Petersburg — 2022

Contents

Introduction......................................................................3

Chapter 1. Odd form rings..................................................6

1.1 Hermitian and quadratic forms..........................................6

1.2 Categories................................................................7

1.3 Quadratic maps..........................................................9

1.4 Odd form rings..........................................................12

1.5 Odd form algebras ......................................................14

1.6 Elementary unitary groups..............................................17

1.7 Unitary Steinberg groups................................................20

Chapter 2. Classical reductive groups......................................24

2.1 Nilpotent modules of class 2............................................24

2.2 Augmented odd form algebras..........................................27

2.3 Classical odd form algebras..............................................29

2.4 Twisted forms of classical groups........................................33

2.5 Classical isotropic reductive groups ....................................36

Chapter 3. Centrality of K2-functor........................................39

3.1 Pro-objects ..............................................................39

3.2 Colocalization............................................................43

3.3 Firm Peirce decompositions..............................................44

3.4 Root elimination ........................................................48

3.5 Finiteness conditions ....................................................53

3.6 Steinberg crossed modules ..............................................55

Conclusion ........................................................................59

Bibliography ....................................................................60

Introduction

The object of research are odd unitary groups, classical isotropic reductive groups, and the corresponding Steinberg groups, the subject of research are their structure and properties. The purpose of research is to prove the centrality of the odd unitary K2-functor and the K2-functors of classical isotropic reductive groups.

Relevance of the topic. Unitary groups are a generalization of classical matrix groups, i.e. general linear groups, symplectic groups, and orthogonal groups, to arbitrary unital associative rings. There are various definitions of such groups, see e.g. [1; 13; 18—20; 27; 28; 49; 58; 59]. In [2] A. Bak defined a unitary group as the stabilizer of two classical forms on a module, a hermitian and a quadratic ones, where the quadratic form takes values in a factor-group of the ring. This approach was further generalized by V. Petrov in [37], where he defined odd unitary groups using quadratic forms with values in arbitrary abelian group.

There is another generalization of classical groups given by the theory of reductive group schemes [16; 17]. If G is any of classical reductive group schemes, then its twisted forms in the fppf topology often may be constructed as unitary group schemes [28], at least over a field of characteristic different from 2.

State of the art. Many results of lower algebraic K-theory were generalized for unitary groups [8; 9; 21; 24; 35; 48]. For odd unitary groups it is known that under the natural assumptions

- the elementary subgroups are normal [36; 37; 47],

- the standard classification of normal subgroups holds [6; 38; 39; 44],

- the stabilization holds for the Ki-functor [5; 7; 37; 56; 61],

- the unstable Steinberg group is centrally closed [30; 45; 52],

- the unstable K1-functor is an extension of an abelian group by a nilpotent one [3; 4; 23; 62].

Higher unitary K-theory is considered in the works of M. Schlichting, see e.g. [40].

It is also known that the unstable K2-functor is central (i.e. the unstable Steinberg group is a central extension of the elementary subgroup) for

- general linear groups over commutative rings by W. van der Kallen [51];

- general linear groups over almost commutative rings by M. Tulenbaev [50];

- Chevalley groups of types C, D, E by the works [29; 32; 42] of S. Sinchuk and A. Lavrenov;

- isotropic orthogonal groups over fields by S. Boge [10];

- isotropic reductive groups over local rings by A. Stavrova [43].

The proofs for non-local rings use calculations with relative Steinberg groups or an "another presentation" of the Steinberg group, they also rely on the matrix structure of the group and cannot be generalized to isotropic reductive groups. Actually, in the linear case it is known that the Steinberg group is a crossed module over the general linear group, this implies both the normality of the elementary subgroup and the centrality of the K2-functor.

Methods. In the work we use a new localization technique based on pro-groups ("method of Steinberg pro-groups"); calculations in Steinberg groups using relative roots; the Gauss decomposition of unitary groups over semilocal rings. Moreover, we use methods and results from the theory of unitary groups, category theory (multicategories, semi-abelian categories, and pro-completion), and the theory of reductive group schemes.

Approbation of the work. Methods and main results of this work were presented on the seminar "Algebraic groups", SPbU, Saint Petersburg, 2021.

The results of the work are new, equipped with detailed proofs, and are published in refereeing scientific journals [54—57] (3 published papers, 1 preprint), that certifies their reliability.

The work is of theoretical nature, its results may be applied in the theory of linear algebraic groups, when holding educational and scientific seminars.

The dissertation consints of three chapters and the conclusion. In the first chapter we give a new construction of unitary groups generalizing V. Petrov's definition. It is based on new algebraic objects, odd form rings, forming a variety of two-sort algebras. The category of odd form rings turns out to be algebraically coherent semi-abelian in the sense of [11; 14], so in this generality it is easy to use M. Stein's relativization [46] in terms of internal crossed modules [15].

The second chapter contains a construction of odd form algebras by classical reductive group schemes. To use the faithfully flat descent we also introduce an additional structure of odd form algebras ("augmentation") describing root elements of the long root type.

In the third chapter we prove the main result: under natural assumptions on an odd form ring (R, A) the odd unitary Steinberg group StU(R, A) is a crossed module over the unitary group U(R, A). In order to prove this we study odd form pro-rings obtained by the "colocalization" from (R, A) and their Steinberg pro-groups. It is

possible to construct actions of unitary groups of the localizations of (R, A) on such pro-groups using the Gauss decomposition and a calculation using relative roots ("root elimintation"). Finally, these actions may be continued in a unique way to the action of U(R, A) on StU(#, A).

Combining this with the results of the second chapter, we see that all classical simply connected sufficiently isotropic reductive group schemes have central K2-functors. Also, it is easy to apply the main result to isotropic unitary groups of V. Petrov such as degenerate orthogonal groups. Our result does not cover the reductive groups of isotropic rank less than 3 and there are counterexamples for Chevalley groups of rank 2 [60].

In the conclusion an overview of main results that are presented to defense is given, and some possible directions of further possible research are described.

Chapter 1. Odd form rings 1.1 Hermitian and quadratic forms

We use the notation [x, у] = xyx-1 y-1 and xy = xyx-1 for the group operations. If Ai are subsets of a group with the group operation + for i from a linearly ordered set, all of them contain 0, and every g e Ai has a unique decomposition g = ш 9i with gi e Ai, then we also denote the sum of Ai as фieI Ai. The center of a group G is denoted by C(G) and similarly for rings. Все кольца и алгебры предполагаются ассоциативными, но не обязательно с единицами. All rings and algebras are assumed to be associative, but not necessarily unital. The multiplicative semigroup of a ring R is denoted by R?. An element x e R of a non-unital ring is called quasi-invertible if it has a quasi-inverse x°-1, i.e. the inverse with respect to the monoidal operation x ° у = xy + x + y. Quasi-invertible elements form the group R° with respect to °.

Recall the construction of odd unitary groups from [37]. An anti-automorphism (—) of a unital ring R is called X-involution for Л e R* if a = AaA—1 and Л = Л—1.

Now let M be a right Д-module, where R is a ring with a A-involution. A map В: M x M ^ R is called a hermitian form if

Now let Mr be a module over a ring R with a Л-involution. A biadditive map В: M x M ^ R is called a hermitian form if В(mr,m'r') = rB(m,m')r' and В(m',m) = В(m,m') A. The Heisenberg group of В is Heis(B) = M x R with the group operation (m,r) + (m',r') = (m + m',r — В(m,mr) + r'), the monoid R? acts on this group by (m,r) • x = (mx, xrx). An odd form parameter is an ^•-invariant subgroup С < Heis(5) such that

{(0, r — rA)} = Cm in < С < Cm ax = {(т,г) | r + В (m, m) + r\ = 0}.

For a fixed С the map q: M ^ Heis(5)/C,m ^ (m, 0) + С is called the quadratic form. The unitary group is

U(M, В, С) = {g e Аи^Мд) | В(gm, gm') = В(m, m'), q(gm) = q(m)}.

We are interested in a special case of the above definitions. Let us say that (R, A) is a special unital odd form ring if R is a unital ring with a 1-involution

and we choose the hermitian form Br(x, y) = xy and an odd form parameter A < Heis(ßÄ) = R x R on Rr. Then U(R, BR, A) may be identified with

{g e R*\ g-1 = g, (g - 1~g - 1) e A}.

In section 1.4 we define abstract odd form rings as algebras from a two-sort variety.

For any unital ring R we may construct a special unital odd form ring (T, 2), where T = Rop x R, (xop,y) = (yop,x), and

2 = 2max = {(^op, y; zop,w) \ xy + z + w = 0}.

Then

is a group isomorphism. If R has a complete family of orthogonal idempotents fi,...,fi, then let 6i = (0, f{) e T for i> 0 and e, = (/-P, 0) e T for i< 0. They form a complete family of orthogonal idempotents in T, e« = e-i, and the elements Qi = (&i, 0) lie in 6. If fi are full, that is R = RfiR, then e^ + e-i are full in T.

By a module Mr with a hermitian form B and an odd form parameter £ we may also construct a special unital odd form ring (S, 6). Let us construct the special unital odd form ring (T, 2) by End(Mft). The subring

S = {(^op, y) e T \ B(xm, m') = B(m, ym')}

has an odd form parameter

6 = {(xop,y; zop,w) e 6max = 2max H (S x S) \ q(ym) + (0,B(m,wm)) = £}

and it is easy to see that the unitary groups U(M,B, £) and U(S,Bs, 6) are isomorphic. Now suppose that there are elements Vi e M for -1 < i < I, i = 0 such that B(vi, Vj) = 0 for i = -j, q(vi) = £ for all i, and B(v-i,vi) = 1 for i > 0. Then

Gij = ((v-jX-1B(Vi, -))op,vtB(v-j, -)) e 5 for j > 0, Gij = ((v-jXB(Vi, -))op,vtX-1B(v-j, -)) e 5 for j < 0,

eki = 0 for j = k, eijßjk = elk, = e-j- for ij > 0, and q% = (en, 0) e 6.

1.2 Categories

A cartesian multicategory C consists of

1. the class of objects Ob(C);

2. the sets of morphisms C(Xi,..., Xn; Y) for n > 0 and Xi, Y G Ob(C);

3. the identity morphisms idx G C(X; X) for X G Ob(C);

4. the composition maps

C (Y1,...,Yn; Z) xC (X\,..., Xm; Y)

^C (...,Y-i,Xi,...,Xm,Yl+i,...; Z)

for n > 1, m > 0, X,, Y3,Z G Ob(C);

5. the maps

C (Xa(i),Xa(m); Y) ^ C (Xi,..., Xn; Y fa*

for m,n > 0, Xt,Y G Ob(C), a: {1,... ,m} ^ {1,... ,nj; and these maps satisfy natural conditions [41]. Symmetric multicategories are defined in a similar way if we take only bijective a.

A symmetric multicategory C is closed [33] if for any n > 0 and objects Xi,..., Xn, Y G C there is an object H and ev G C(H, Xi,..., Xn; Y) such that for all m > 0 and Zi,..., Zm G Ob(C) the following map is a bijection:

ev*: C (Zi, ...,Zm; H) ^ C (Zi,..., Zm, Xi,... , Xn; Y).

We need the notions of regular and semi-abelian categories [11]. A category C is called pointed if there is a zero object 0, i.e. it is simultaneously initial and terminal. A morphism f in a finitely complete category C is called a regular epimorphism if it is a coequalizer of some kernel pair, i.e. of a fiber product of some morphism with itself. A finitely complete category C is called regular if all kernel pairs of morphisms have coequalizers and regular epimorphisms are preserved under pullbacks. In a regular category every f: X ^ Y admits an image decomposition X ^ Im(/) ^ Y, where ^ Im(/) is a regular epimorphism and Im(/) ^ Y is a monomorphism, such a decomposition is functorial.

A split extension in a pointed regular category C is a diagram

p

A'>—-—>A < ^ ))<A" , where p o s = id^» and i = ker(p). Such a category C is called homological if every morphism between split extensions identical on the end terms is an isomorphism. Finally, C is called semi-abelian if it is homological, finitely cocomplete, and all categorical equivalence relations are kernel pairs.

In arbitrary homological category C an object G acts on an object X if there is a chosen isomorphism class of split extensions X ^ Y ^ G. The free object with

an action of G containing X coincides with Ker(G H X ^ G) if C is semi-abelian [12]. A semi-abelian category C is called algebraically coherent [14] if for every object A with an action of G the least upper bound of any two G-invariant subobjects is also G-invariant. The categories Grp of groups and Rng of non-unital rings are algebraically coherent semi-abelian.

A crossed module [15] in an algebraically coherent semi-abelian category C consists of a morphism 5: A ^ G and an action of G on A such that 5 is G-equivariant and the standard action of A on itself factors through the action of G. Abstract crossed modules in Grp coincide with classical crossed modules, i.e. the group ho-momorphisms 5: A ^ G with an action of G on A such that S(9x) = 9S(x) and Xx' = s(xh' for g E G, x, x' E X.

1.3 Quadratic maps

We say that a group G is filtered 2-nilpotent if it has a fixed nilpotent filtration 0 < Go < G. In such G the commutator may be considered as a biadditive map G/Go x G/G0 ^ G0. All factor groups G/N are filtered 2-nilpotent with the filtrations 0 < (Go + N)/N < G/N.

We need a construction of filtered 2-nilpotent groups G such that G/G0 decomposes into a direct sum. Take abelian groups G0 and Gi for i E I, where I is linearly ordered, biadditive maps [—, =]ij : Gi x Gj ^ G0 for i < j, and normalized 2-cocycles Ci: Gi x Gi ^ G0 (that is c(x,y) + c(x + y,z) = c(x,y + z) + c(y,z) and c(x, 0) = c(0,x) = 0). Then G = G0 0iEl Gi is a filtered 2-nilpotent group with the filtration G0 such that x + y = ci(x,y) (( (x + y) for x,y E Gi and [x,y\ = [x,y]ij for X E Gi, y E Gj, i < j.

A map q: G ^ H between filtered 2-nilpotent groups is called quadratic [22] if q(G0) C H0 and q(x + y) = q(x) + q(x | y) + q(y), where the cross-effect q(— I =): G/G0 x G/G0 ^ H0 is biadditive. Such q induces homomorphisms G0 ^ H0 and G/G0 ^ H/H0 of abelian groups. Also, q(^x) = q(x | x) — q(x), q(fix) = riq(x) + (2)q(x 1 x) for n E Z, qi = Ei Q(xi) + Ei<j Q(xi 1 xj),

Q([x,y}^) = [Q(x),Q(y)}^ + Q(x 1 y) — Q(y 1 x).

If q,q': G ^ H are quadratic, then their pointwise sum q+q' is quadratic with

(q + qf)(x \ y) = q(x \ y) + [q(y),qf(x)\ + |

and — q is quadratic with (—q)(x \ y) = [q(y),q(#)} — q(x \ y). The pointwise commutator [q,q'\: G ^ H0 is quadratic with

[q,q'\(x \ y) = [q(x),q'(y)] + [q(y),q'(>)].

The composition of quadratic maps q: G ^ H and q': H ^ F is quadratic with

(qf o q)(x \ y) = qf(q(x \ y)) + qf(q(x) \ q(y)).

Take filtered 2-nilpotent groups Gi,... ,Gn,H. A map q: Gi x.. .xGn ^ H is called polyquadratic if it is quadratic on each argument. Let us denote the induced maps and the cross-effects by

qi: Gi x ... x G-i x Gio x Gl+i x ... x Gn ^ HQ, q: Gi/Gio x ... x Gn/Gn{) ^ H/H{),

ql: Gi x ... x G—i x Gl/Glo x Gl/Glo x Gl+i x ... x Gn ^ Ho.

Clearly, qi and ql are quadratic on the remaining n — 1 arguments. It is easy to check that these maps satisfy

qi\...xGiox...xGjox... = qj \ ...xGi0x...xGj0 x... for % < j; (Q0)

qi(...,x,...,y \ z,...) = qj(...,x,...,y,z,...) npH i = j; (Q1) q%(... ,x,y,..., z \ w,...) = qj(... ,x \ y,...,z,w,...)

+ [q(...,y,...,z,...),q(...,x,...,w,...)} for i <j; (Q2) qt(..., [x,y\,...) = [q(...,x,...),q(...,y,...)\

+ q% (...,x,y,...) — qi (...,y,x,...). (Q3)

We denote the group of polyquadratic maps Gi x ... x Gn ^ H by Quad(Gi5..., Gn; H). Is has the canonical nilpotent filtration by Quad(Gi5..., Gn; H0), where H0 is considered with the nilpotent filtrarion 0 < H0 < H0. Filtered 2-nilpotent groups and polyquadratic maps form a closed symmetric multicategory Quad.

There are two fully faithful functors from Ab to Quad if we consider any abelian group with the nilpotent filtration 0 < 0 < A or 0 < A < A. With respect to any functor Quad(Ai5..., An; B) is the ordinary group of polyadditive maps for abelian groups Ai and B.

Lemma 1. Two polyquadratic maps q,q': Gi x ... x Gn ^ H are equal if and only if all their induced maps and cross-effects coincide and

q (xi, ...,Xn) = q'(xi,... ,Xn),

where xi run over subsets of Gi generating Gi/Gi0.

Lemma 2. Let q: Gi x ... x Gn ^ H be a polyquadratic map and F < Gi be the normal subgroup generated by elements ai — bi. Then q induces a polyquadratic map G\/F x G2 x ... x Gn ^ H if the cross-effects of q factor through F and q((ii,x2, ...,Xn) = q(bi ,X2,... ,x„).

Lemma 3. Consider filtered 2-nilpotent groups Gi, . .., Gn, H and decompositions Gi = Gi0 00) EJi Fij such that Gi/Gi0 = ^BjEi Fij are direct sums of abelian groups. Suppose that we have the maps

qi: Gi x ... x Gi0 x ... x Gn ^ H0, q: G1/G10 x ... x Gn/Gn{) ^ H/H{), qi: Gi x ... x Gi/Gi0 x Gi/Gi0 x ... x Gn ^ H0,

Qji-jn : Fiji x ... x Fnjn ^ H

such that qi, q, qi are additive or quadratic on the corresponding arguments; they satisfy (Q0)-(Q3);

Qji-jn (9u ..., 9n) = q(9i, ...,9n) (mod #0); Qji-jn(... ,9i + gi ,...) = Qji-jn(. ..,gi,...) + qi(...,gi,g[,...)

— Qi(.. .,Cji ...) + qjV,,jn (...,gl...)

for the corresponding normalized 2-cocycles Cji. Then there is a polyquadratic map q E Quad(Gi5..., Gn; F) with the cross-effects qi, the induced maps qi and q, and the restrictions qj1...jn.

Proof. In the case n = 1 we define q by the formula

Q(f0 ( 0 fj) = Qi(f0) + E V(fj) + E «l(fj,fj)

jEj1 jEjl j,j'EJi

j<j'

using (Q3). In the general case we construct Fij1 ^ Quad(G2,... ,Gn; H) by induction. These maps satisfy the conditions from the statement for n = 1 by (Q1)-(Q2), so the required q exists. It satisfies the requirements by (Q0)-(Q2). □

If Xi < Gi, ..., Xn < Gn are subgroups and q G Quad(Gi5..., Gn; H), then we denote by q(Xi,... ,Xn) the subgroup of H generated by the elements q(xi,... ,xn) for Xi G Xi, not the image of Xi x ... x Xn. This is the standard convention for polyadditive maps between abelian groups.

1.4 Odd form rings

We give a slightly different definition of odd form rings in comparison with [56] in order for the category of these objects to be semi-abelian.

An odd form ring is a pair (R, A), where R is a ring with an involution r ^ r, A is a group with the group operation +, and there are fixed maps 0: R ^ A, -k : A ^ R, p: A ^ R, (—) • (=): A x R ^ A such that

(R1) $(a + b) = 0(a) + 0(6), $(a + a) = $(aa) = 0;

(R2) n(u + v) = n(u) + n(v), n($(a)) = 0;

(R3) v + u = u + ^(w(u)w(v)) + v;

(R4) w(u • a) = w(u)a;

(R5) p(u + v) = p(w) — w(u)w(v) + p(^), p($(a)) = a — a;

(R6) p(w) + w(u)w(u) + p(w) = 0;

(R7) (w + v) • a = u • a + v • a, $(b) • a = <ft(aba);

(R8) u • (a + 6) = u • a + b p(u)a) + u • b;

(R9) p(u • a) = ap(u)a;

(R10) (w • a) • b = u • ab.

The axioms imply that 0 < < A is a nilpotent filtration. The map p is quadratic if we consider R with the filtration 0 < R < R, and the map (—) • (=) is biquadratic if we consider R with the filtration 0 < 0 < R. There is also a useful corollary p(—u) = p(u) of (R5) and (R6).

Now suppose that we have an involution ring R and a filtered 2-nilpotent group A with the maps 0 and w satisfying (R1), (R2), (R3) and with a structure of a right non-unital ^-module on A/$(R) satisfying (R4). In order to construct a map p satisfying (R5) we usually may apply lemma 3, since the induced homo-morphisms and the cross-effect are already well-defined and satisfy (Q0)-(Q3). The axiom (R6) may be checked on the generators by lemma 1. Similarly, the induced maps and the cross-effects for the action (—) • (=) satisfying (R7) and (R8) are

already well-defined and satisfy (Q0)-(Q3). The axioms (R9) and (R10) also may be checked on the generators.

An odd form ring (R, A) is called special if (k, p): A ^ R x R is injective. The set R x R admits the group operation

(a, b) + (c, d) = (a + c,b — ac + d)

and the action of R^ given by (a, b) • c = (ac, cbc). Up to the identification of A with its image in R x R special odd form rings coincide with the pairs (R, A), where R is an involution ring and A < R x R is an ^-invariant subgroup such that

{(0, a — a)} = Amin < A < Amax = {(a, b) | b + aa + b =0}.

It is easy to check that the category OFR of odd form rings and their homo-morphisms is semi-abelian. Monomorphisms in this category coincide with injective maps, regular epimorphisms coincide with surjective maps, and isomorphisms coincide with bijections.

We say that an odd form ring (R, A) acts on an odd form ring (S, 6) if there are multiplication maps R x S ^ S, S x R ^ S, 6 x R ^ 6, A x S ^ 6 satisfying the axioms

(A1) (a + d)b = ab + a'b, a(b + b') = ab + ab';

(A2) (aa')b = a(a'b), (ab)b' = a(bb'), (ab)a' = a(ba'), (ba)b' = b(ab');

(A3) ab = ba;

(A4) (u + u') • b = u • b + u' • b, u • (b + b') = u • b + ^(b'p(u)b) + u • b';

(A5) (v + v') • a = v • a + v' • a, v • (a + a') = v • a + $(a'p(v)a) + v • a';

(A6) 0(a) • b = bob), <ft(b) • a = <ft(aba);

(A7) w(u • b) = w(u)b, w(v • a) = w(v)a;

(A8) p(u • b) = bp(u)b, p(v • a) = ap(v)a;

(A9) (u • a) • b = u • ab, (u • b) • a = u • ba, (u • b) • b' = u • bb';

(A10) (v • a) • b = v • ab, (v • b) • a = v • ba, (v • a) • a' = v • aa' for a, a' E R; b,b' E S; u,u' E A; v,v' E 6. The next lemma shows that this definition describes abstract actions in OFR in the sense of semi-abelian categories.

Lemma 4. For any odd form rings (R, A) and (S, 6) there is a bijection between isomorphism classes of split extensions (S, 6) ^ (T, 2) ^ (R, A) and actions of (R, A) on (S, 6), a split extension corresponds to the restrictions of its operations on (R, A) and (S, 6).

Proof. Any split extension (T, S) is of type T = S x R, S = 6 x A, so its isomorphism class gives the multiplication maps satisfying the axioms. The group A acts on 6 by Vv = v + $(w(v)^(w)) and it is easy to see using lemma 1 that these operations uniquely determine the isomorphism class.

Conversely, suppose that we have multiplication maps. The axioms (A1) and (A2) imply that R acts on S in the semi-abelian category of rings, so we may construct T = S x R with the obvious involution using (A3). The group A acts on 6 by the above formula, hence S = 6 x A and the maps 0: T ^ S, n: S ^ T are well-defined and satisfy the axioms (R1), (R2), (R3). The polyquadratic maps p: S ^ T and (—) • (=): S x T ^ S may be constructed using lemma 3, the remaining axioms follow from lemma 1. □

Theorem 1. The category OFR is algebraically coherent.

Proof. Suppose that (T, S) acts on (R, A) and (S, 6), (S', 6') are (T, S)-invariant odd form subalgebras of (R, A). Their least upper bound (S'', 6'') is

5'' = 5 + + SS' + S'S + SS'S + S'SS' + ...,

6'' = 0(5"') + 6 + 6' + 6 • S' + 6' • S + 6 • S'S + 6' • SS' + ...,

it is also (T, S)-invariant. □

A crossed module in OFR is a homomorphism 5: (S, 6) ^ (R, A) of odd form rings, where (R, A) acts on (S, 6), 5 preserves the action, and the Peiffer identities hold

1. bb' = S(b)V = b5(b') for b,b'G S;

2. v • b = 5(v) • b = v • 5(b) for v G 6, b G S.

It is easy to see that this definition describes the crossed modules in the sense of algebraically coherent semi-abelian categories.

1.5 Odd form algebras

An odd form ring (R, A) is called unital if R is unital and u • 1 = u for u G A. For example, if K is a unital commutative ring with trivial involution, then (K, 0) is a unital odd form ring. Any action of an odd form ring (T, S) on a unital odd form

ring (R, A) is obtained from a unique homomorphism (T, 2) ^ (R, A). Special unital odd form rings coincide with the objects considered in section 1.1.

An action of a unital odd form ring (R, A) on an odd form ring (S, 6) is called unital if 1b = b = b1 for b G S and v • 1 = v for v G 6, that is (S x R, 6 x A) is unital with the identity (0,1) G S x R.

Let К be a unital commutative ring. An odd form A-algebra is an odd form ring (R, A) with a unital action of (K, (0) such that ak = ka for a G R, к G К. In other words,

1. R is a К-algebra with К-linear involution;

2. the monoid К• acts on A from the right by (и, к) ^ и • к;

3. и • (к + к') = и • к + ф(р(и)кк') + и • к';

4. (и • а) • к = и • ак = (и • к) • а;

5. ф(а) • к = ф(ак2), ж (и • к) = ж(и)к, р(и • к) = р(и)к2;

6. ф(аак) = (0.

Every odd form ring has a unique structure of an odd form Z-algebra given by и • n = nи + (2) ф(р(и)), all homomorphisms of odd form rings preserve the action of (Z, (0).

The unitary group of an odd form ring (R, A) is

U(R, A) = [g G A | ж(д) = ~p{g),^(9= ÂiMg)} with the group operation gh = g • ж (h) + h + g.

Lemma 5. The set U(R, A) is indeed a group with the identity 0 and the inverse g-1 = — g • ж(д) — д. The map a : U(R, A) ^ (R x Z)*,g ^ ж (g ) + 1 is a group homomorphism with the property a(g)—1 = a(g) . The unitary group acts on (R, A) by automorphisms by the formulas 9a = a(g) a a(g) for a G R and 9u = (g • ж(и) + и) • a(g) for и G A. This action induces the conjugacy action of the unitary group on itself. If (R, A) is an odd form К-algebra, then this action commutes with the action of (K, 0).

Since the functor U(—, =) : OFR ^ Grp preserves finite limits, any action of (R, A) on (S, 6) gives an action of U(R, A) on (S, 6) and U(S, 6). Also this functor preserves crossed modules, so we may apply the relativization [46] to the elementary subgroups of unitary groups and their Steinberg groups.

An odd form A-subalgebra (I, Г) < (R, A) is normal if (R/I, A/Г) has an induced structure of an odd form A-algebra. In other words, this is an odd form

^-subalgebra invariant under the canonical action of (R, A) on itself. In this case we say that (I, r) is an odd form ideal of (R, A). Thus an odd form ideal consists of an ideal I = I < R and a subgroup r < A such that r • R + r • K C r and

A • I + 0(7) = rmin < r < rmax = {u e A | n(u), p(u) e I}.

Lemma 6. Let (R, A) be an odd form K-algebra, X C R and U C A be subsets, and (I, r) < (R, A) be the odd form K-invariant ideal generated by X and U. Then

i = (R x K )a(R x K),

aex u! Un(u )un(U) up (u)

r = 0(7) + A • I ^^ u • K ^^ u • R.

ueu ueu

Proposition 1. Let K be a unital commutative ring, X and U be two sets of variables, and (R, A) be the free odd form K-algebra generated by X C R and U C A. Let also

A = {x, x, w(u),w(u), p(u) I x e X,u e U},

A+ be the free semigroup on A (i.e. the set of non-empty finite sequences of elements of A), and A* = {0} U A+ be the free monoid on A. Then R = Kw,

Ker(0) = {r e R I r = r }, A/$(R) is a free right K-module with the basis u • w for u e U and w e A*, and the odd form ring (R, A) is special.

Proof. Let R' = Kw, it is a ^-algebra with the ^-linear involution such

that p(u) = — w(u) w(u) — p(u). It also has the basis consisting of all non-empty formal products of x, x, w(u), w(u), p(u), p(u) not containing the subproducts w(u)w(u), such a basis is invariant under the involution. Using this basis it is easy to check that {r e R' | r = r} = reR' K(r + r) + YhreR Krr.

Let P = R'/{r e R' I r = r } and 0: R' ^ P be the canonical map. Let also A' = P (B 0Me u u • (R' x K), where P is central, [u • x,v • y] = yn(v)n(u)x), u • x + u • y = 0(—yp(u)x) BB u • (x + y). Using lemmas 1 and 3 it is possible to construct the operations on A' in such a way that w(u^x) = k(u)x, p(u^x) = xp(u)x, (u • x) • y = u • xy for y e K U R, and (R', A') is an odd form K-algebra. Clearly, it is free. □

It follows that every odd form ^-algebra is a subfactor of a special unital odd form ^-algebra.

Proposition 2. Let (T, 2) be the coproduct of odd form K-algebras (Ri, Ai) and (R—i, A—i). Then

T = Ri © R—i © (Ri ©K R—i) © (R—i ©k Ri)

© (Ri ©K R—i ©K Ri) © (R—i ©K Ri ©K R—i) © ...; 2 = ^(Ri ©K R—i) © ^(Ri ©K R—i ©K Ri ©K R—i) © ... © Ai © A—i © (Ai MK R—i) © (A—i MK Ri) © (Ai №K R—i ©K Ri) © (A—i MK Ri ©K R—i) © ...;

where Ai Mk R—i ©k ... ©k R±i (with n factors of the type R±i) is the group with the generators $(x) for x E R±i ©k ... ©k R±i (with 2n + 1 factors) and u M ai ©... © an for u E Ai, a,k E A(—i)ki. The relations are the following:

1. $(x) are central, $(x + y) = $(x) + $(y), $(x + x) = 0;

2. ^(zzk) = 0 for z E Ri ©k ... ©k R±i (with n + 1 factors);

3. [u M ... © an,v M ... © bn} = 0(bn © ... © n(v)n(u) © ... © an);

4. ^(ao) M ... © an = 0(an © ... © ao © ... © an);

5. u • k M ... © an = u M aik © ... © an = ... = u M ... © ank for k E K;

6. (u + v) M ... © an = u M ... © an + v M ... © an;

1. u M ... © (aj + a'j) © ... © an = u M ... © aj © ... © an + 0(an © ... © a'j © ... © p(u) © ... © aj © ... © an) + u M ... © a^ © ... © an.

Proof. If (Ri, Ai) are free, then the claim may be checked using proposition 1. In the general case we use lemma 6. □

1.6 Elementary unitary groups

A Peirce decomposition of rank 1 of an odd form A-algebra (R, A) is a decomposition

R = 0 Ra, A = 0 0(R%]) © 0 A}

—£<i,j<£ —i<i,j<e —i<i,j<e

i+j>0

into A-submodules and ^-invariant subgroups such that 1. RijRki = 0 for j = k, RijRji < Ru, Rij < R—j—i;

2. w: Aj ^ Rij are isomorphisms and p(Aj) = 0 for i = 0;

3. 0(R-ii) < A0, (AO) < R0j, and p(A0) < R-h3;

4. Aj • Rkl = 0 for j = k, Aj • Rjt < Ai. We need the special odd form ^-algebra

H(l,K) = (0 0 HKei) 0 0 Qi • K)

—i<i<i l<i<l —i<i<i

i=0

with the identity 1 = Yh—i<i<l ei, where eiej = 0 for i = j, e2 = ei, ei = e-i, 0(eo) = 0, ^(^i) = ei, p(qi) = 0, Qi • e3 = 0 for i = j, ^ • ei =

Lemma 7. An odd form ring (R, A) is an odd form K-algebra with a Peirce decomposition of rank I if and only if H(l,K) unitally acts on (R, A). The Peirce decomposition is obtained by the formulas Rij = eiRej, Aj = qi • Rej for i = 0, A0 = {u e A • e3 | -k(u) e Ro3}.

Proof. Clearly, every odd form ring with a unital action of H(l, K) has a canonical Peirce decomposition. The action may be constructed from a Peirce decomposition using lemmas 1 and 3. □

Let (R, A) be an odd form ring with a Peirce decomposition of rank I (over Z). We define the elementary transvections and dilations as

Tij (a) = qi • a — q- j • a — 0(a) for 0 = i = ±j = 0, a e Rij; Tj(u) = u + q—j • (p(u) — k(u)) — $(p(u) + k(u)) for j = 0, u e AO; Di(a) = D—i(a°—1) = q—i • a°—1 + qi • a — 0(a) for i = 0, a e R^; Do(g)= g for g e U(Roo, AO).

It is easy to see that these elements lie in U(R, A). The elementary subgroup EU(R, A) of the unitary group is the subgroup generated by the elementary transvections, and the diagonal subgroup D(R, A) is the subgroup generated by the elementary dilations. We denote the images of Tij, Tj, Di by Tij(R, A), Tj(R, A), and Di(R, A).

If (T, S) is the special unital odd form ring constructed by the matrix ring M(£,R) with the standard family of the idempotents, then elementary transvections and dilations in U(T, S) correspond to the classical elementary transvections and dilations in GL(£,R). If (T, S) is constructed by a module Mr with a her-mitian form B and an odd form parameter C, and the Peirce decomposition is

obtained from elements Vi E M satisfying the appropriate identities, then our elementary transvections are the elementary transvections from [37] up to a choice of the parametrization.

The next lemma shows that D(R, A) preserves the Peirce decomposition, so it and normalizes Tl3(R, A), Tj(R, A), EU(R, A).

Lemma 8. There is a group isomorphism

U(Roo, A0) x H ^ ^ D(R, A), (go,ai,...,a£)^ goDi(ai) ...Dt (ae);

i<i<i

Di(R, A) = U(R, A) n (A* © 0(Rli) © A—) npu i = 0; Do(R, A) = U(R, A) n A0;

D(R, A) = U(R, A) n (0 Aj © 0 = [g E U(R, A) | % = q}

i i>0

where in the last formula U(R, A) canonically acts on (R, A) x H(l,K).

Proof. It is easy to see that the product map from the statement is a group homo-morphism. Since g0 ... gi = g0 + ... + gi for gi E Dt(R, A), this homomorphism is bijective. Also, elementary dilations stabilize ei and q,,. The explicit formulas for Di(R, A) are easy to check directly, they imply the first formula for D(R, A).

Let g E U(R, A) be an element preserving ei and q,. The identities a(g)ei a(g) = ei imply that a(g) = Ei eia(g)ei, so multiplying g by a suitable product of Di(a) for 1 < i < 1 we may assume that w(g) = p(g) E R00. Now the identities % = q,b imply that g•ei = 0 for i = 0, i.e. g E U(^00, A°) = D0(R, A). □

Lemma 9. The Steinberg relations hold:

(St0) Tij(a) = T—j—i(—a);

(St1) Tij (a) Tij (b)= Tij (a + b);

(St2) Tj(u) Tj(v) = T)(u + v);

(St3) [Tij(a),Tkl(b)} = 1 for [i, —j} n [—k, 1} = 0;

(St4) [Tij(a),Tjk(&)} = Tlk(ab) for i = ±k;

(St5) [Tij(a),Tj—i(6)}= T—^ab));

(St6) [Ti(u),Tj(v)} = T—^k(v)n(u)) for i = ±j;

(St7) [Ti(u),Tjk(a)} = 1 for j = i = —k;

(St8) [Ti(u),TiJ(a)} = T—hJ(p(u)a) T3(—u • (—a));

Tij (R, A) = U(R, A) n (Aj 00 A—j 00 Ri3)); Tj (R, A) = U(R, A) n (AO 0 A—j 0 A— 0 $(Roj)).

1.7 Unitary Steinberg groups

Let (R, A) be an odd form ^-algebra with a Peirce decomposition of rank I. Its Steinberg group StU(R, A) is the abstract group generated by the elements Xij(a) for 0 = i = ±j = 0, a e Rij and Xj(u) for j = 0, u e AO with the relations (St0)-(St8). By lemma 9 there is a canonical homomorphism

st: StU(R, A) ^ EU(R, A), Xij (a) ^ %3 (a),Xj (u) ^ T3 (u).

Let $ = {e i + ej | —1 < i,j < 1} \ {0} C Rl be a root system of type BCi, where ei, ..., ei is the standard basis, e—i = —e i, and e0 = 0. We enumerate the generators of StU(R, A) by roots in the following way:

Xe._e. (a) = Xij (a) for a e Rij ,i + j > 0,i,j = 0; (u) = Xi(u) for u e AO; (u) = Xi(u) for u e $(R—ii);

and similarly for elementary transvections. The generators of StU(R, A) are called root elements (of long, short, or ultrashort root type depending on the length of the root), and the images Xa(R, A) of Xa are called the root subgroups of StU(R, A). The Steinberg relations (St3)-(St8) mean that the homomorphisms Xa satisfy the Chevalley commutator formula

[Xa (jj),Xp (y )]= J] Xia+jfi ( faftij (P, V))

i a+jp

i,j>O

for non-antiparallel roots a and /3, where fapij are some universal expressions (elements of free odd form rings with Peirce decompositions). Let us denote the source group of Xa by (R U A)a.

The diagonal group D(R, A) acts on Xa(R, A) and StU(R, A), st is equivari-ant with respect to this action. The general Steinberg group is

GStU(#, A) = StU(R, A) x D(R, A).

The Weyl group W($) = (Z/2Z)1 x Si acts on the set {—£,...,£} if we identify non-zero indices with ultrashort roots. Then this group acts by automorphisms on H(£, K) and induces permutations of components of the Peirce decomposition of (R, A).

Recall that a subset £ C $ is called closed if (£ + £) n $ C £. A closed subset £ is called special if £ n — £ = 0 (or, equivalently, £ lies in an open half-space) and symmetric if £ = —£. We say that a closed subset £ is saturated if 1 £ n $ C £. A root subsystem ^ C $ is saturated if and only if ^ = R^n$, i.e. it is an intersection of $ with a subspace. It is easy to see that saturated root subsystems coincide with symmetric saturated closed subsets. There is a canonical bijection between saturated root subsystems ^ C $ and equivalence relations ~ on {—£, ...,£} such that i ~ j implies —i ~ —j and i ~ —i implies i ~ 0. Namely, i ~ j if and only if ei — ej e ^ U {0} for all —I < i,j < £.

Let ^ C $ be a saturated root subsystem and be the corresponding equivalence relation on {—£, ...,£}. We may construct a new Peirce decomposition of (R, A) of rank I — dim(R^) using equivalence classes of (well-defined up to the action of the new Weyl group). Then all elementary transvections with roots in ^ become elementary dilations, all elementary transvections with roots in $ \ ^ become elementary transvections with respect to the new Peirce decomposition. The new root system is the image of $ \ ^ in the factor-space with respect to a

new dot product. We denote this new root system by (or by $/{ai,... ,an} in the case ^ = $ n Yli Rai) and say that it is obtained from $ by eliminating a generating set of

For any saturated root subsystem ^ C $ we denote the map $ ^ by w^. The groups constructed by the Peirce decomposition after eliminating ^ are denoted by D(R, A; EU(R, A; StU(R, A; and GStU(#, A; Also, there are canonical homomorphisms

: StU(R, A;$/tf) ^ StU(R, A; $)

such that st = st and Fy(Xp(R, A)) = n^(7)=p x-y(R, A).

Let

n± = {±(ei + ej) | —3<i < j < £}; U±(R, A) = {Xa(R, A) | a e n±> < StU(R, A); P±(R, A) = U±(R, A) x D(R, A) < GStU(#, A).

Lemma 10. The product map

H (R U A)a ^ U+(R, A), (Ma)a ^n )

aen+\2n+ a

is a bijection for any linear order on n+. The canonical homomorphism P+(R, A) ^ U(R, A) is injective. If we identify U+(R, A) and P+ (R, A) with their images in U(R, A), then

U +(R, A) = U(^, A) n (0 a;. © 0 0(Rl3));

i<j —j<i<j

P +(R, A) = U(^, A) n (0 a;. © 0 0(Rl3)).

i<3 —j<i<j

Proof. In order to prove the bijectivity it suffices to consider the image of U +(R, A) in U(^, A) and elementary transvections instead of Xa(p). Using induction on 1 and elimination of ultrashort roots we may assume that I =1. Consider an element g E U(R, A) n (®i<j Aj © 0—3<l<3 ^(R*3)). Then the component of g from 0■ A- © ^(Rii) is independent of the order of direct summation and lies in D0(R, A) x Di(R, A) = D(R, A) by lemma 8. From lemma 9 it follows that g is the product of this component and an element from Ti(R, A). □

We say that P±(R, A) and their images in U(R, A) are opposite parabolic subgroups, U±(R, A) are their unipotent radicals, and D(R, A) = P + (R, A)nP —(R, A) is their common Levi subgroup.

Lemma 11. The product map

tt(R, A) = U +(R, A) x D(R, A) x U —(R, A) ^ U(R, A), (f, g, h) ^ fgh

is injective. Its image consists of g E U(R, A) such that all n(g)Ek are quasi-in-vertible in EkREk for 1 < k < I, where Ek = + ... + ei.

Proof. The map is injective since the images of P + (R, A) and U —(R, A) have trivial intersection in the unitary group. It is easy to see that every element in the image satisfies the quasi-invertibility conditions.

To prove the converse, by elimination of ultrashort roots and induction we may assume that 1 = 1. Let g E U(R, A) be such that eiw(g)ei is quasi-invertible.

Multiplying g by a diagonal element we may assume that eiw(g)ei = 0. Consider the element

u = q—i • n(g)ei — g • ei — $(e—in(g)ei) e Al. Then Ti(u) g = —g • ei^(g) + g • (1 — ei) + q—i • n(g)(ein(g) + ei — 1) lies in

P —(R, A) = {g e U(R, A) | e—i^g) = e^^e—i^ • ei = qi • n(g)ei},

the equations of the parabolic subgroup are obtained from lemma 10. □

Chapter 2. Classical reductive groups 2.1 Nilpotent modules of class 2

Let K be a unital commutative ring. A filtered 2-nilpotent group M is called a 2-nilpotent K-module if the monoid K• acts on M from the right, the subgroup M0 has an additional structure of a left A-module, and there is a map r: M ^ M0 such that

1. [m • k,m'• k'] = kk'[m,m'];

2. m • (k + k') = m • k + kk'r(m) + m • k';

3. m • k = k2m for m E M0.

Here r: M ^ M0 and the action M x K ^ M are polyquadratic with respect to the filtrations 0 < 0 < K and 0 < 0 < M0. They satisfy r(m | m') = [m,m'\ and r(m • k) = k2r(m). A morphism of 2-nilpotent K-modules f: M ^ N is a group homomorphism such that f (m • k) = f (m) • k, f (M0) < N0, f (km) = kf (m) for m E M0, and f(r(m)) = r(f(m)).

Recall that any bilinear map c: Mi x Mi ^ M0 of A-modules is a 2-cocycle, so M = M0 © Mi turns out to be a 2-nilpotent K-module with the operations

(mo © mi) + (m'0 ©© m[) = (m® + c(mi,m'i) + m'0) ©© (mi + m[), (mo © mi) • k = (k2mo ©© kmi), t(m0 ©© mi) = 2m0 — c(mi,mi).

We say that a 2-nilpotent A-module splits if it is of this type up to an isomorphism. Every 2-nilpotent K-module M such that M/M0 is free over K necessarily splits.

Let us define a scalar extension of 2-nilpotent A-module M by a unital commutative A-algebra E. Take a A-module A with a commutative A-bilinear multiplication A x A ^ E (it required only in the proof of lemma 12, otherwise A = E). Consider the group M Mk A generated by the central subgroup E ©k M0 and the elements m M a for m E M, a E A (i.e. a factor-group of the product of E ©k M0 and the free group generated by m M a). The relations are

1. [m M a,m' M a'} = ad © [m, m'};

2. (m + m') M a = m M a + m' M a;

3. (m • k) M a = m M ka;

4. m IE (a + a') = m M a + aa' 0 r(m) + m M a';

5. m I a = a2 0 m for m e M0.

Clearly, Im(E" 0K M0) < M Me A is a nilpotent filtration. In the case A = E there are well-defined polyquadratic maps

t: M MK E ^ Im(E 0k M0), e 0 m^ 2e 0 m,

c\

m I e^ e 0 r(m); (—) • (=): (M Ik E) x E ^ M Ik E, (e 0 m, e') ^ ee'2 0 m,

(m I e,e') ^ m I ee'

by lemmas 2 and 3. Also, the ^-module (M MK E)/Im(E" 0k M0) is isomorphic to (M/Mo) 0k E.

We say that the scalar extension of a 2-nilpotent ^-module M by E is well-defined if E0kM0 ^ MMKE is injective, then MMK E is called the scalar extension. It is a 2-nilpotent ^-module by lemma 1 and (M MK E) Me F = M MK F for any unital commutative ^-algebra F. Moreover, HomK(M,N) = HomE(M MK E,N) for all 2-nilpotent ^-modules N.

Lemma 12. The scalar extension of a 2-nilpotent K-module M by flat E is always well-defined. If E is faithfully flat over K, then M ^ M MK E is injective.