Оценка коэффициентов и функционала Милина для голоморфных ограниченных функций с симметрией вращения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Касаткина, Татьяна Васильевна

• Касаткина, Татьяна Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Касаткина, Татьяна Васильевна

Список основных обозначений

Введение

Глава 1. Функционал Милина

§ 1. Уравнения Левнера.

§ 2. Связь между логарифмическими коэффициентами голоморфной функции

§ 3. Функционал Милина.

Глава 2. Оценка коэффициентов на классе Тр(£>, М)

§ 4. Лемма типа Лебедева-Милина.

§ 5. Система управляемых дифференциальных уравнений для логарифмических коэффициентов функции Ф{г, ()

§ 6. Экспоненциальные многочлены Бранжа.

§ 7. Функция ДХО и ее монотонное убывание

Глава 3. Об одной системе линейных дифференциальных уравнений.

§ 8. Частные случаи решения линейной системы

§ 9. Общий случай решения линейной системы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка коэффициентов и функционала Милина для голоморфных ограниченных функций с симметрией вращения»

Актуальность темы. Краткие исторические сведения. Функции, которые в различных точках области принимают различные значения, называют однолистными. Первые задачи и методы их решения, которые дали начало геометрической теории однолистных функций комплексного переменного, появились уже в первом десятилетии XX века. П. Кёбе в 1907 году доказал теорему о существовании круга, покрываемого образами единичного круга Е= {z : \z\ < 1} при отображении голоморфными однолистными в Е функциями fiz) = z + C2(f) z1 + . + Cn(f) zn + . .

Совокупность таких функций образует класс S.

Эта теорема послужила стимулом для исследования многочисленных экстремальных задач геометрической теории функций.

Отсутствие в множестве однолистных функций структуры линейного пространства потребовало создание новых оригинальных методов исследования экстремальных задач. Метод площадей H.A. Лебедева [29], вариационные методы М.А.Лаврентьева [28], М. Шиффера [50], Г.М. Голузина [15], метод симметризации И.П. Митюка [33], В.Н. Дубинина [21] и т.д. позволили качественно изменить содержание теории экстремальных задач на классах однолистных функций. В 1923 году Левнер [49], используя теорему Каратео-дори о сходимости семейства плоских областей к ядру, вывел уравнение для семейства отображений, сходящихся к данной функции класса S. Это уравнение легло в основу одного из основных методов исследования в геометрической теории функций - метода параметрических представлений Левнера. Представление конформного отображения одной области на любую, конформно ей изоморфную, через решения некоторого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка открыло пути для новых способов построения приближенных отображений с оценками погрешностей на границе и внутри области. Метод Левнера, а также методы, предложенные П.П. Куфаревым и H.A. Лебедевым, объединяющие метод вариаций Голузи-на и метод параметрических представлений Левнера, получили важное развитие в работах И.Е. Базилевича, П.П. Куфарева, И.А. Александрова, А.З. Гриншпана, В.Я. Гутлянского, В.И. Попова и других авторов, и привели к глубоким результатам, которые включают в себя доказательства точных неравенств и указание соответствующих экстремальных функций.

Каждой однолистной функцией класса S определяется последовательность Cf= {1, С2, ., С„, .}, составленная из коэффициентов разложения этой функции в ряд Тейлора. Эта последовательность содержит полную информацию о функции / е S. Поэтому большой интерес представляет нахождение необходимых и достаточных условий того, что последовательность С/ является последовательностью некоторой функции класса S.

В 1916 году Л. Бибербахом [47] было доказано, что | С2(/) I < 2 для любой функции класса S и одновременно сформулирована гипотеза: Cn(f) | < п, (п = 3, 4, .) для любой/ е S.

В 1923 году Левнер [49] доказал, что | С3(/) | < 3, для любой f & S, а теорема Литтлвуда [51]: | Cn(f) | <е п, показала справедливость ожидаемого порядка роста коэффициентов. Началось накопление фактов в пользу высказанной гипотезы.

В 60-е годы в работах H.A. Лебедева и И.М. Милина [30] был разработан аппарат формального экспоненцирования, позволяющий оценивать коэффициенты степенного ряда

00 к °° к=1 к= 1 через коэффициенты ряда • И как следствие, было установлено нерак= 1 венство си(/)| < п • ехр \-Мп(/)}, (п = 2,3,.), п-1 п ^ 2 где Мп{/)= £ ^ (1-& 1у*(/)1) - функционал Милина. В 1971 году

И.М. Милин [32] пришел к гипотезе, что М„(/) > 0 для любой / е £ и любого

Л € .Л/Л {1}.

Эта гипотеза оказалась гораздо удобнее для исследований, чем гипотеза Бибербаха, что и подтвердил в 1984 году Луи де Бранж [48], доказав ее справедливость и как следствие, получив неравенство [ С„(/) | < п. Таким образом, метод Левнера позволил решить проблему коэффициентов, волновавшую математиков в течение семидесяти лет, и которой занимались такие видные ученые как Робертсон, Хейман, Дьедонне, И.И. Привалов, К.И. Бабенко и многие другие. История исследований достаточно подробно освещена в работах Фитцджеральда и Поммеренке [45], О.М. Фоменко и Т.В. Кузьминой [46], И.А. Александрова [6], И.А. Александрова и И.М. Милина [9].

Задача о коэффициентах была решена на классе £ и некоторых его подклассах. В числе первых, кто начал исследовать методом Левнера множества значений систем функционалов, был И.Е. Базилевич [12]. Им на классе

Г I (р) | | (Р) п

3Р(М), (М) = £(М), была решена задача о множестве { | Ср+\ \, | С1р+\ I /, которая ясно показала, насколько усложняются оценки коэффициентов при переходе от класса Б к его подклассу ограниченных функций с /^-кратной симметрией вращения и дала некоторые объяснения отсутствию гипотезы для аналогичной гипотезе Бибербаха для класса

В настоящее время, задача о коэффициентах, в силу своей нетривиальности, является традиционным объектом исследования как зарубежных специалистов по теории функций: Карлесона и Джонса [42], Hie Ming-Qin [52] и других, так и отечественных: Ф.Г. Авхадиева [2], Д.В. Прохорова [36], И.Р. Каюмова [2] и других. Почти любую экстремальную задачу на классе однолистных функций можно свести к некоторой проблеме коэффициентов, так как любая однолистная функция представляется однозначно своим рядом Тейлора или Лорана.

Этим обусловлена актуальность решения подобного рода проблем.

Важное теоретическое значение приобретает задача об исследовании отклонения функционала Милина An(f) = Mn+](f) - Mn(f) либо при фиксированной функции из класса S,/gS, либо на классе S и его подклассах. И если

СО последовательность {Mn(f)} ^ будет монотонно возрастать для каждой/ е S, кроме случая, когда/= /сф, где - функция Кёбе, то этот факт откроет новые возможности в решении экстремальных задач теории аналитических функций.

В доказательстве, предложенном Бранжем, важную роль выполняет некоторая система п линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Решение этой системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям, оказалось монотонно убывающим до нуля на положительной части вещественной оси. Этот факт и позволил Бранжу решить задачу о коэффициентах. Таким образом решение данной системы (на самом деле совокупности систем, так как при фиксированном п е N, возникает конкретная система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами) при любых заданных начальных условиях и установление необходимых и достаточных условий, которым должны удовлетворять начальные значения, чтобы соответствующие интегральные кривые системы были заведомо монотонными, заслуживают особого изучения в рамках метода параметрических представлений средствами математического анализа, дифференциальных уравнений и теории специальных функций.

Цель работы. В данной работе, посвященной исследованию геометрических свойств классов аналитических (в том числе и однолистных) функций одного комплексного переменного, основными направлениями являются: вывод леммы типа Лебедева-Милина на классе голоморфных функций, исследование уклонения функционала Милина, получение точных оценок коэффициентов на классе функций более общем, чем ограниченные однолистные в единичном круге функции с симметрией вращения, обобщение теоремы Бранжа, дающей положительный ответ относительно гипотезы Бибер-баха о коэффициентах, общий случай решения некоторой системы дифференциальных уравнений, имеющей важное значение в теореме Бранжа.

Методы исследования. Основные результаты диссертации доказаны с использованием методов математического анализа, теории дифференциальных уравнений, методов геометрической теории функций, аппарата формального экспоненцирования Лебедева-Милина. В работе развиваются метод параметрических представлений Левнера и метод внутренних вариаций Шиффера-Голузина.

Научная новизна и практическая значимость. Идейным источником предлагаемой диссертации служат цикл научных работ П.П. Куфарева, И.А. Александрова, И.М. Милина, H.A. Лебедева, de Branges L. и других ведущих ученых в области теории функций. Принципиальные соображения, изложенные в этой работе, принадлежат профессору И.А. Александрову.

Результаты, представленные в диссертации, кроме введения, § 1 и частично §§ 2, 3, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Достоверность утверждений обосновывается полными математическими доказательствами.

Основные результаты работы. 1. Получен аналог леммы типа Лебедева-Милина на классе голоморфных функций.

2. В классе выделен подкласс функций на котором отклонение функционала Милина монотонно возрастает.

3. Доказана более общая теорема об оценке коэффициентов голоморфных (в том числе и однолистных) функций.

4. Получен общий случай решения совокупности некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при любом фиксированном п е N.

Все полученные результаты опубликованы в статьях [57]-[64].

Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались на семинарах по геометрической теории функций в Томском государственном университете, на Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98, г.Новосибирск, 1998 г.) посвященном памяти С.Л.Соболева (19081989 гг.), на Сибирской межрегиональной конференции по исследованиям в математическом анализе и алгебре (г. Томск, 1998 г.), на Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю.Г. Решетника (г. Новосибирск, 30 августа - 3 сентября 1999 г.), на Международной молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2001» (28 ноября - 1 декабря 2001 г., г. Казань).

Структура работы. Диссертация состоит из списка основных обозначений, введения, трех глав (разбитых на параграфы), библиографии, оглавления и изложена на 102 страницах. Библиография диссертации содержит 64 наименования.

Содержание работы.

В § 1 главы I приводится вывод уравнения Левнера для производящей \\г(г, т) и присоединенной Т7^, т) функций, которые необходимы для получения новых результатов.

Пусть D - односвязная область комплексной плоскости, 0 е D. Пусть из D исключена дуга, состоящая из конечного числа простых жорда-новых дуг, удовлетворяющая уравнению w - ср(х), 0 < т < т0. Тогда на промежутке 0 < т < т0 существует непрерывная функция ц(х) с модулем, равным единице, и такая, что функция \|/(z, х) как функция параметра т, удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных frjj = H(T)+Z дх dz ji(x) - z с начальным условием \|/(z, 0) =ßz). Функция F(w, x) удовлетворяет дифференциальному уравнению с начальным условием F(w, 0) = f~\w).

Функции ßz) из класса S, каждой из которых соответствует непрерывная на (0, со) функция ц(т), |ц(х) | = 1 и такая, что решение С, (z, х) уравнения (**) с начальным условием 0 )—z однолистно и конформно отображает единичный круг Е на область, лежащую в круге и ßz) = lim ет <^(z, х),

X —» 00 образуют подкласс S' всюду плотный в S относительно равномерной сходимости внутри Е.

В § 2, следуя работам И.А. Александрова [6], H.A. Лебедева и И.М. Милина [30] устанавливается связь между модулями тейлоровских коэффициентов | Cn(f) | и модулями логарифмических коэффициентов | аn(f) | функции / е S, z) = z + C2(/)z2 + . + Cn(f)zn + . . (***) в виде неравенства.

Лемма 1 (Лебедев, Милин). Для любого коэффициента С„(/) функции Дг) в ее разложении (***) выполняется неравенство

Сn(f) I < п ■ ехр

I v1 п L к к= 1

1- 1ос,(/)|-)к иеМ{1}.

Следуя И.А. Александрову, функционал

1 v1 ^ п ^ к к=\

1- \ak(J)\ ) = Mn(f) будем называть функционалом Милина, а коэффициенты ak(f) в разложении функции логарифмическими коэффициентами функцииf е S'. Коэффициенты уk(f) в разложении

00

Iy k(f)-zk к= 1 также называют логарифмическими коэффициентами функции/ е S, причем

00 = а,(/), keN.

В § 3 приводятся известные результаты о функционале Милина и рассматривается отклонение функционала Милина

An(f) = Mn+l(f) -Mn(f), п е М{1}.

Задача об отклонении А„(/) либо при фиксированной / е либо на классе S и его подклассах S состоит в оценке А„(/) сверху и снизу an(S) s inf An(f) < 0 < < sup д„(/) s bn(S), f £ S JtS в частности, в подтверждении или опровержении предположения: an(S) - О для п е М{1}.

Указано множество функций S с S для которых inf An(f) = А„(Агф) = 0 (п е N).

6 S

Пусть D - односвязная область с конформным радиусом относительно нуля, равным единице, получаемая исключением из плоскости С обобщенной жордановой дуги L, не проходящей через нуль. Пусть f[z), .ДО) = 0, -функция, отображающая единичный круг Е на С XL. Дугу L можно параметризовать таким образом L = {w : w = cp(i), 0 < t < oo}, что после присоединения к СМ дуги L(х) = {w ; w — ф(т), 0 < х < t) функцию w = \|/(z, т), отображающую круг Е на получившуюся область, можно полагать нормированной условием \|i(z, х) = е z+ . и продолжаемой на границу круга Е.

Семейство функций \|/(z, х) при х —> 0 равномерно сходится внутри круга Е к f[z).

Обозначим через ji(x), 0 < х < оо, точку единичной окружности, отображаемую функцией v|/(z, х) в точку ср(х) границы области (С\L) U L{x). Функция \\f(z, х) удовлетворяет в Е уравнению Левнера в частных производных (*).

Пусть Г^(х) 1,2,.)- логарифмические коэффициенты функции е 1 \|j(z, х) е S' Гx{x)z+ .+Tk{x)zk+ . . z е z

Для функции Г*(т) при фиксированном к е Л^, получим управляемую систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями Г^(0) = Ук(/)

Г[(т) = Щ(т) + 2ц\т) Р,,(т), где

1 1 к~1 Ро(т) = 2 , Рл-1(т) = 2 + Е ^Гт(т) ци(т). т—\

Решая первые два уравнения системы методом вариации произвольной постоянной и в соответствии с вариационной леммой (см. [4], стр. 194) находим точные оценки для | ух(/) | и | у2(/) | на классе б1.

Вводим в рассмотрение функцию

А„(т) = Д,(е"т Ч) = ^т^т £(1-*21г,(т) |2). 1

Отметим, что А„(0) = Д„(/).

Устанавливаем условия, при которых

Л„(0) > Л(со).

Во второй главе изложено полное решение задачи об оценке модулей тейлоровских коэффициентов голоморфных функций класса Тр((), М) с заданной структурной формулой и как следствия получены оценки коэффициентов функции класса £ДЛ/) и точные оценки на классе

Пусть

2 кр+1 № = X С,/;Н 2 к= 1 где М- число, М> 1.

Пусть к= 1 фиксированная голоморфная в точке = 0 функция. Рассмотрим множество функций вида

Ф) =А?) с к= 1 р)

Множество М) получается, когда Дг) пробегает весь класс

Р(М). При () = 0, класс Тр((), М) совпадает с классом Г,(0, оо) = ^(оо) =

В § 4 сформулирована и доказана лемма типа Лебедева-Милина на классе голоморфных функций вида

Обозначим

Лемма. Пусть 0

Тогда последовательность

00

Ск(/Р) схр адь-, монотонно убывает.

Следствие. Для любой функции

00 < \ р) пр+1 Ъ Спр+ ■

П= 1 среднее значение квадратов модулей коэффициентов удовлетворяет неравенству

V1 \Ар) I2// , п Л Л

2, Юкр+х I < (и + 1) е И, л = 0, 1, .

В § 5 получена система дифференциальных уравнений с заданным р) управлением для коэффициентов Ф^ (7) в разложении функции Ф(г,

Ф(2, о)

Обозначим через И>Р(М) с ЗДМ) подмножество функций, каждая из которых отображает круг Е на круг Ом — : |и> I < М} с разрезами по р попарно непересекающимся простым дугам Ьи .,ЬР, которые не проходят через точку -м = 0 и оканчиваются на границе круга См. Множество 5'Р{М) всюду плотно в в топологии равномерной сходимости внутри Е.

Пусть/(г) е 8Р(М). Простую дугу Ьк {к — 1, .,р) зададим уравнением и> = е*ср(0, (0<Г<1пМ), е* = ехр| ^ ^ |. Началу дуги Ьк соответствует t = 0, а концу этой дуги, принадлежащему окружности {w : \w\ = M}, соответствует t = InМ. Образуем семейство областей G^jj) = {w : w е Gm\L(0}, где р

L(t) = U Lk(t), Lk(t) = {w : w = ср(т), 0 < т < f, 0<i< InM}. k=\

Очевидно, Gjjx) c: GJjt?), если Q<t\<t2< InM.

Функция \j/(z, t), \j/(0, t) =■ 0, vj/^O, t) = ег однолистно и конформно отображает круг Е на G>Jf); по теореме Каратеодори о ядре семейства областей

2, 0) фьЪМ) = Ш, и удовлетворяет уравнению Левнера в частных производных д\\) д\у \хр + 2?

Ы дг

Функция Ф(г, в окрестности точки г = 0 имеет разложение

00 (р) кр к= 1 где (р). ч (р), ч (р), ч Ф*р (0 = у*р(0 + МО, и удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных дФ 1

Ы + 2~ дФ ^ + 2 р).

Отсюда получаем систему дифференциальных уравнений для Ф^(0 при каждом фиксированном к е N р) ф 1Р (?) =т+(з,,(/), где Р 1 р)

Ро = 2> Р*(0 = 2+ 2 (РФ*,^, к= 1,2,

1= 1 с начальными условиями р) (р) (р) Ф/р (0) = У/р (0) + д!р (0), 1-1,.,к.

В § 6 вводится в рассмотрение система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

70 = 0 у\ = -р(п - 1)^1 ys = 2p X (—1) {n-j)yj~p(n-s)ys

7=1 y s - 2, .n - 1), удовлетворяющая начальным условиям = —~ n-s t е [0, +со) (в ней п = 2,3, . фиксировано). Получаем для Ys n(í) формулу

- 2тЛ '2 п-гЛ -p(n-r)t

V 1 J е

1 г J

S ( 1 Ys,n(f) ~ ИИ п у

Г= 1

5 = 0,1,.,й-1). Кроме того, имеет место неравенство

Гл>я(0< 0, ¿е[0,оо), 5 = 0, .,«-1. Функции ^,„(0 называют экспоненциальными многочленами Бранжа. В § 7 на множестве решений указанных систем уравнений, следуя Л. де Бранжу, зададим функцию п-1 ад = I (1 - k 1ф£\о I2) wo, о < ? < 1пм, к=\ имеющую в граничных точках промежутка следующие значения: nZ} П-к 2 | (р) ,2

Д.(0) = I — 0-* к (0)1),

Л=1 п-1

ЗДпМ)= 1,(1-к Ш М ) \пМ). к= 1

Продифференцируем функцию 5„(/). Получим, что производная

1 п~^ () 2 в'п{1) = -^ I 1Ф'ар(01 ^(0 неположительна на любом допустимом управлении О < £ < 1пМ. Следовательно, с ростом t, функция Вп{() монотонно убывает от значения Вп{0) до значения Вп(\пМ).

Теорема. Пусть даны число М > 1 и голоморфная в точке н? = 0 функция

00

ОМ = 2 £ & V/. к= 1

Тогда для коэффициентов любой функции оо и=1 ад, ^о имеют место оценки р) I ^ л+1)ехр^-^у £ (!-/<% \2 М2к1) У>1Ц^\пМ) где у (2п + 2~2г

1(0 = Е « + 1 - г г= 1

2и + 2 - г г- 1

-(п+1-г)р1

5=1,., й). то то то

Следствие 1. Если g(z) е SP(M) и g(z) = z + djHx zp+l +. + дЦр+1 znp+l +.

I с£и | < (и + 1) exp ■<-^Y X l^+i-/t,«+i(ln7W) к (л e Л0.

I Ä7=l Следствие 2. Если g(z) e Sp и g(z) = z + C^i zP+1 + . + C^+i znp+l + . , с^+1| <И+1, (и £ TV). Следствие 3. Если g(z) e S и g00=z + C2z2+. + CIIz,+ .,

СЯ| <«, (л = 2, 3, .).

В главе III представлено решение некоторой системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Теорема. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами у\=-{п-\)ух ^ ■s+7+l

У* = 2 L (-1) (n-j)yj-(n-s)ys м s = 1, ., п - 1) на промежутке t е [0; +оо), с начальными условиями Ys „(0) = Xs, где Xs - произвольные числа, имеет вид п

20 (2п - 2г) (2/1- 2л + !)„ (#|

ЪМ = X 2п-5-г 6 ^ г= 1

Если все числа Х5> 0 (5=1,.,/г-1) и удовлетворяют условиям при ? = 0

5-1 +.+1 и-^-2 ЕЙ)'' > 0

7=1 то функции будут монотонно убывать от значений = до нуля при £ е [0; +оо).

Если Х5 = = 1, ., п - 1), то имеем теорему Бранжа о коэффи

7Т циентах голоморфной однолистной в единичном круге функции/ е

Автор диссертационной работы выражает глубокую признательность и искреннюю благодарность моему научному руководителю профессору И.А. Александрову. г - 2п —б —г\ е 2п-2я+ 1;

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Касаткина, Татьяна Васильевна, 2002 год

1. Авхадиев Ф.Г. Некоторые геометрические неравенства и достаточные условия/?-листности // Изв. вузов. Математика. 1983. № 10. С. 3-12.

2. Авхадиев Ф.Г., Каюмов И.Р. Оценки логарифмических коэффициентов для производных в основных классах однолистных функций // Тр. VII Саратовской зимней школы «Теория функций и ее приложения». 1995. Ч. 2. С. 77-81.

3. Александров И.А., Гутлянский В.Я. Экстремальные задачи на классах аналитических функций, имеющих структурную формулу // Докл. Ан СССР. 1965. Т 165. № 5. С. 983-986.

4. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. С. 344.

5. Александров И.А. Об одном случае интегрирования уравнения Лёвне-ра// Сиб. матем. журн. 1981. Т. 22. С. 207-209.

6. Александров И.А. Доказательство Л. де Бранжа гипотезы И.М. Милина и гипотезы Л. Бибербаха // Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28. С. 7-20.

7. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций // Тр. Томского ун-та. 2001. С. 220.

8. Александров И.А., Завозин Г.Г., Копанев С.А. Оптимальные управления в задачах о коэффициентах однолистных функций // Дифф. уравнения. 1976. Т. 12. № 4. С. 3-19.

9. Александров И.А., Милин И.М. О гипотезе Бибербаха и логарифмических коэффициентах однолистных функций // Изв. вузов. Математика. 1989. Т. 8. С. 3-15.

10. Александров И.А., Попов В.И. Оптимальные управления и однолистные функции //Ann. Univ. Mariai Curie-Sklodowska. 1968-1970. Ser. A. V. 22-24. P. 13-20.

11. Базилевич И.Е. Sur les theorems de Kobe-Bieberbach // Матем. сб. 1936. T. l.C. 283-292.

12. Базилевич И.Е. Области начальных коэффициентов ограниченных однолистных функций ^-кратной симметрии // Матем. сб. 1957. Т. 43. № 4. С. 409^128.

13. Базилевич И.Е. О теоремах искажения и коэффициентах однолистных функций//Матем. сб. 1951. Т. 28. № 2. С. 147-164.

14. Голузин Г.М. О теоремах искажения в теории конформных отображений//Матем. сб. 1936. Т. 1(43). С. 127-135.

15. Голузин Г.М. Метод вариаций в конформном отображении, I // Матем. сб. 1946. Т. 19. № 2. С. 203-236.

16. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

17. Гриншпан А.З. Логарифмические коэффициенты функции класса S II Сиб. мат. журн. 1972. Т. 13. № 5. С. 1146-1157.

18. Гриншпан А.З. Однолистные функции и регулярно измеримые отображения // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27. № 6. С. 50-64.

19. Гутлянский В.Я. Параметрические представления и экстремальные задачи в теории однолистных функций. Дисс. докт. физ.-мат. наук. Киев. 1972.

20. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения // М.: Изд-во ИЛ. 1962.

21. Дубинин В.Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи матем. наук. 1994. Т. 49. В. 1(295). С. 3-76.

22. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Продолжение курса. Т. 2. Москва: Изд-во МГУ. 1987.

23. Куфарев П.П. Одно замечание об уравнении Лёвнера // Доклады АН СССР. 1947. Т. 57. С. 655-656.

24. Куфарев П.П. Одно замечание к задаче коэффициентов // Учен. зап. Томск, ун-та. 1955. Т. 25. С. 15-18.

25. Куфарев П.П. Об одном методе исследования экстремальных задач теории однолистных функций // ДАН СССР. 1956. Т. 107. № 5. С. 633635.

26. Куфарев П.П. О методе параметрических представлений и вариационном методе Г.М. Голузина // Труды 3-го Всесоюзного мат. съезда М. 1956. Т. 1.С. 85-86.

27. Куфарев П.П. Некоторые методы и результаты теории однолистных функций // Труды 3-го Всесоюзного мат. съезда М. 1958. Т. 3. С. 189-198.

28. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Основы вариационного исчисления. М.: ОНТИ. Т. 1. Ч. 2. 1935.

29. Лебедев H.A. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975.

30. Лебедев H.A., Милин И.М. Об одном неравенстве // Вест. Ленинградского ун-та. 1965. Т. 19. С. 157-158.

31. Милин И.М. О коэффициентах однолистных функций // ДАН СССР. 1967. Т. 176. № 5. С. 1015-1018.

32. Милин И.М. Однолистные функции и ортонормированные системы. М.: Наука, 1971.

33. МитюкИ.П. Принцип симметризации для кольца и некоторые его применения // Сиб. мат. журн. 1965. № 6. С. 1282-1291.

34. Никитин C.B. Экстремум функционала. // Вест. Ставропольского унта. 1997. № 11. С. 24-28.

35. Попов В.И. Область значений одной системы функционалов на классе 57/Тр. Томск, ун-та. 1965. Т. 182. С. 107-132.

36. Прохоров Д.Р. Методы оптимизации в экстремальных задачах для однолистных функций // Докт. дисс. Новосибирск. ИМ СО РАН. 1990.

37. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука. 1986.

38. Сивирский JI. Sharp estimation of the coefficients of bounded univalent functions near the identity // Bull. Akad. polon. Sei. Ser. Sei math., as-tronet, phys. V. 16. N 7. P. 575-576.

39. Хейман К. Многолистные функции. M.: ИЛ, 1960.

40. Фитцджеральд К.Х., Поммеренке X. Теорема де Бранжа об однолистных функциях // Сердика. Бълг. мат. спис. 1987. Т. 13. № 1. С. 21-25.

41. Clunie J., Pommerenke Ch. On the coefficients of close-toOconvex univalent fonctions // London Math. Soc. 1966. V. 41. N 1. P. 161-165.

42. Carleson L. and Jones P. On coefficient problems for univalent fonctions // Duke math. J. 1992. V. 66. № 2. C. 169-206.

43. Fitzgerald C. Quadratic inequalities and coefficient estimates for schlicht functions // Arch. Rational. Mech. and Anal. 1972. V. 46. № 5. P. 356-368.

44. Fitzgerald C. The Bieberbach conjecture retrospective // Notices Amer. Math. Soc. V. 32. 1985. P. 2-6.

45. Fitzgerald C.H., Pommerenke Ch. The de Branges theorem on univalent fonctions // Trans. Amer. Math. Soc. V. 290. 1985. P. 683-690.

46. Fomenko O.M., Kuzmina G.V. The last 100 days of the Bieberbach conjecture // Math. Intell. 1986. V. 8. № 1. P. 40^17.

47. Bieberbach 1. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermittein // Sitzungsberichte Preuss. Akad. Wiss. Berlin. 1916. S. 940-955.

48. De Branges L. A proof of Bieberbach conjecture // Preprints LOMI. 1984. NE-5-84. P. 1-33.

49. Löwner К. Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Ein-beitskreises //Math. Z. 1923. V. 7. N 3. P. 103-121.

50. Schiffer M. A method of variation with in the family of simple functions // Proc. London Math. Soc. 1938. 44(ser. 2). P. 432-449.

51. Littlewood J.E. On inequalities in the theory of functions // Proc. London Math. Soc. 1925. V. 23. P. 481-519.

52. Xie Ming-Qin. A generalization of the de Branges theorem // Amer. Math. Soc. 1997. V. 125. P. 3605-3611.

53. Pederson R. A proof of the Bieberbach conjecture for the sixth coefficient // Arch. Rational Mech. and Anal. 1968. V. 31. N 5. P. 331-351.

54. Pederson R., Schiffer M. A proof of the Bieberbach conjecture for the fifth coefficient // Arch. Rational Mech. and Anal. 1972. V. 45. N3. P. 161193.

55. Pommerenke Ch. The Bieberbach conjecture // Math. Intelligencer. 1985. V. 7. N 2. P. 23-25; 32.

56. Garabedian P. and Schiffer M. The local maximum theorem for the coefficients of univalent functions // Arch. Rational Mech. and Anal. 1967. V. 26. P. 1-32.СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

57. Александров И.А., Александров А.И., Касаткина Т.В. Функционал Милина и полиномы де Бранжа // Актуальные проблемы современной математики. Сб. науч. трудов. Т. 3. Новосибирск: Изд-во НИИ МИОО АГУ, 1997. С. 13-18.

58. Александров И.А., Александров А.И., Касаткина Т.В. Полиномы Бранжа // Вест. Томского ун-та. Томск. Т. 269. 2002.

59. Александров И.А., Касаткина Т.В. Функционал Милина // Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск: Изд-во ТГУ, 2000. С. 11-15.

60. Касаткина Т.В. О функциях с симметрией вращения // Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск: Изд-во ТГУ, 1998. С. 23-24.102

61. Касаткина Т.В. О логарифмических коэффициентах производной на классе голоморфных однолистных функций // Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск: Изд-во ТГУ, 2000. С. 19-21.

62. Касаткина Т.В. К оценкам коэффициентов голоморфных функций // Материалы международной молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения-2001». Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 12. Казань: Изд-во «ДАС», 2001. С. 92.

63. Касаткина Т.В. Об оценке коэффициентов на классе с некоторой структурной формулой // Вестник Томского ун-та. Томск. Т. 269. 2002. С. 9-11.