Применение левнеровских семейств отображений в задачах комплексного анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Юферова, Галина Александровна

• Юферова, Галина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Юферова, Галина Александровна

Введение.

Глава 1. Примеры интегрирования уравнения Левнера и уравнения Левнера - Куфарева.

§ 1 Экстремальные функции в теореме вращения на классе 8.

§2 Уравнение Левнера с управляющей функцией =

§3 Об одном случае интегрирования уравнения Левнера — Куфарева.

Глава 2. Функция Кебе и ортогональные многочлены.

§1 Теорема о композиции степенных рядов.

§2 Гипергеометрические многочлены Гаусса, ортогональные многочлены и функция

Кебе.

§ 3 Применение теоремы о композиции степенных рядов к решению уравнения Левнера с постоянным управлением.

Глава 3. Связь экспоненциальных многочленов Бранжа с функцией и функцией

Кебе.

§1 Производящая последовательность для полиномов Бранжа.

§2 Связь функции Бранжа с коэффициентами функции Жт

§3 Неравенства для коэффициентов функции 1¥т

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение левнеровских семейств отображений в задачах комплексного анализа»

В начале XX классическая теория Вейерштрасса о последовательностях голоморфных функций пополнилась исследованиями Каратеодори о сходимости последовательности областей к ядру и соответствующих отображений к отображению на ядро. Эти результаты были обобщены на семейства, зависящие от вещественного параметра и появилась возможность и необходимость исследовать дифференциальные свойства отображений относительно вещественного параметра. Первые исследования в этом направлении были выполнены Левнером [60] в 1923 году. Им был получен следующий результат. Пусть АеС, А^С, — односвязная область в плоскости, содержащая точку м? = 0. Пусть м = 0< т < т° < -ко, - простая жорданова дуга в А, начинающаяся в точке у(т{)еА, оканчивающаяся в точке границы области А и не проходящая через нуль. Обозначим отображение единичного круга Е = е С;\г\ < 1} на А с исключенной частью рассматриваемой дуги от у(0) до у(т) через = г), х1/(0,г) = 0,

Всегда можно полагать, что Ч*(т,г) = етг + . Левнер показал, что ^(г^) имеет производную где м(т) ~ точка на границе круга Е, соответствующая подвижному концу разреза. Полученную формулу можно рассматривать и изучать как дт дг ¿1(т) — г г<=Е, дифференциальное уравнение. Из-за неизвестности более удобно исследовать уравнение для функции где

Плотный относительно равномерной сходимости внутри Е подкласс класса то есть класса голоморфных однолистных отображений круга

Е, удовлетворяющих условиям: /(0) = 0, /'(0) = 1, можно получить как множество отображений где — решение уравнения (*) (уравнения Левнера) с непрерывной управляющей функцией м(т)> (/¿(т)| = 1- Левнер, пользуясь (*), доказал неравенство |с3|<3 на классе что было дополнительным фактом в пользу справедливости гипотезы Бибербаха [29]: на 5" при любом «еМ. На основе уравнения Левнера и исследований Г.М. Голузина [34], [35], [36], [37], [38]; [39], [41], И.Е. Базилевича [23], [24], [26] сформировался один из методов геометрической теории функций комплексного переменного: метод параметрических представлений. П.П. Куфаревым [53], [56], [57], И.А. Александровым [5], [15], В.А. Синевым, Г.Д. Садритдиновой [65], [66] он был развит в направлении реализации конформных отображений (нахождение постоянных в интеграле Кристоффеля - Шварца, получение интегральных представлений подклассов класса 5). И.А. Александров [9], В.И. Попов [62], С.А. Копанев [17], В.Я. Гутлянский [43] нашли области значений многих функционалов на классе в том числе, область изменения 1п/'(г0) на П.П. Куфарев [48] и А.Э. Фалес [58] решили известную задачу

М.А. Лаврентьева о дополнительных областях.

Более общее, чем уравнение Левнера, уравнение

- = -СР{£,т), 0<г < +оо, где функция , при фиксированном г, голоморфна в круге Е и имеет в нем положительную вещественную часть, изучалось П.П. Куфаревым [49], [51], [52], [54] и получило название уравнения Левнера — Куфарева. Основываясь на выпуклости класса функций Каратеодори, И.Е. Базилевич [25], интегрируя уравнение Левнера - Куфарева, получил интегральное представление подкласса класса S, включающее звездные и выпуклые отображения. А.П. Сыркашев [71] в частных случаях свел уравнение Левнера - Куфарева к уравнению Бернулли и уравнению к Рикатти.

Д.Б. Прохоров* [63], С.А; Копанев [45], И.А. Александров [4]' исследовали вариационные задачи, сочетая метод параметрических представлений с методом оптимального управления Л-G. Понтрягина.

Объединение метода внутренних вариаций Шифера' - Голузина и метода параметрических представлений Левнера дано П.П. Куфаревым [50]. М.Р: Куваев [47] распространил уравнение Левнера на автоморфные функции; И.А.Александров - на однолистные отображения кругового кольца, Л.М. Бер [28] - на области с несколькими разрезами, Л.С. Копанева [46] - на отображения с симметрией переноса.

Установлены связи между методом параметрических представлений и вариационно-параметрическим методом М.А. Лаврентьева.

В недавних работах И.А. Александрова [1], [8] показано, что в рамках метода параметрических представлений можно получить основную вариационную формулу Голузина.

В работах H.A. Лебедева и И.М. Милина [59] был разработан «аппарат формального экспоненцирования», позволяющий перенести ограничения' с логарифмических коэффициентов4 на тейлоровские коэффициенты однолистных функций, в частности, позволяющий оценивать коэффициенты функции f <eS следующими неравенствами: cn(f)\<ne~Mn(/), и = 2,3,., где к=\ 4 > К г. 2 И=1 — логарифмические коэффициенты функции /.

Полное решение задачи Бибербаха о коэффициентах функций класса Б было получено Л.де Бранжем [30], [31] в 1984 году. Важной частью предложенного им доказательства стал этап с использованием метода параметрических представлений.

Функционал И.М. Милина Бранжем рассматривался как предельное значение при г = 0 функции к=1у ' где /„(/) - логарифмические коэффициенты функции е~тх¥(т,г), а

2 и-/ 7-1

-{»-Л* Л' = /? - /с, компоненты решения некоторой системы уравнений. Бранж, пользуясь работой Р. Аски, Г. Гаспера [21] установил, что где т = п-в +1, к = Б-1, и доказал гипотезу Милина [61], то есть показал, что Мп (/) > 0. В силу леммы Лебедева - Милина имеем \сп | < п.

В 1991 году Вайнштейн [32] представил другое доказательство гипотезы Бибербаха без использования результата Р. Аски и Г. Гаспера. Доказательство Вайнштейна сводилось к установлению знака введенных в рассмотрение специальных функций А"(г). Тодоров [72] и Вильф [33] независимо друг от друга показали, что функции А" (г) связаны с функциями

Бранжа следующим соотношением: У'зп (г) = -¿А" (г).

И.А. Александровым, А.И. Александровым, Т.В. Касаткиной [14], [16], Г.А. Юферовой [20], [75], [76] исследованы связи Укп(т) с задачами конформных отображений.

Метод параметрических представлений получил дальнейшее развитие и выделился среди всех методов исследования экстремальных задач на классах однолистных отображений как единственный в настоящее время приведший к решению задачи Бибербаха о коэффициентах.

Приведем краткое изложение содержания диссертации. Мы будем использовать номера теорем и формул, введенные в основном тексте данной работы.

В первой главе приводятся новые случаи интегрируемости уравнения Левнера и уравнения Левнера - Куфарева.

В первом параграфе первой главы получено решение уравнения Левнера с заданной управляющей функцией /¿(г) = е~2"рЛ3 (т,<р), где Я{т,(р) дается формулой Л = Л(т,<р) = cos(р • е~т + - cos2 qy • ё~2т, и с начальным условием ¿Г(0,z,//) = z, zeE. Теорема 1.1. Функция

Xe~2'(p

D D где z-cosq>

D = D(z,cp) = v2 ' при фиксированном т, 0 < г < +со, осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга при (р е (0,2л*) \ {я-} в единичный круг с разрезом, начинаюгцимся в точке = и, оканчивающемся в точке на единичной окружности, а при (р <е {О,л"} в единичный круг с выкинутой лункой, ограниченной дугой единичной окружности и дугой кривой, лежащей в единичном круге. При этом £-(гД//) = 0, £ (г, 0,= Функция

2,ф) = 2 СОБ(р * , Ф<=[0,2л-), ге£, (1 - е1<рх\ является предельной для еТ£(т,г,<р) при т—>+со, дает точную оценку аргумента производной при и осуществляет однолистное л/2 конформное отображение круга Е на плоскость = и + ы с разрезом вдоль

1 \ I прямой V = ctg2^• и Л--:—, начинающимся в точке /{ец\ср} = и

- СО БЙ? пересекающий ось абсцисс в точке

2 соя 2 (р

Частным случаем теоремы 1.1 при (р = 0 является пример П.П. Куфарева [56]

7. + II — показывающий, что решение уравнения Левнера не всегда отображает круг Е на круг < 1 с разрезом.

Во втором параграфе первой главы решается задача о нахождении решения уравнения Левнера с управляющей функцией г) = , а,{3 е Е, и с начальным условием = г, г е Е.

Теорема 1.2. При фиксированном т, 0<г<+оо, и функция заданная неявно уравнением

2 — 2 ' где 8 — |—осуществляет однолистное конформное отображение круга Е в единичный круг е < 1}. При этом ¿Г(г,0,//) = О, <^'(г,0,//) = е~г.

1-^/1 + 4

В частности, функция 1) = -г-^-— является решением дифференциального уравнения Левнера с управляющей функцией //(г) = -1. Она играет важную роль в исследовании проблемы коэффициентов.

В третьем параграфе первой главы решается задача о нахождении решения С(Т) уравнения Левнера - Куфарева с начальным условием

0) = г, г&Е и

1 Ч" 2 1 2

Теорема 13. При любых а, / функция

-2Ае-т^-Л\-2Ае~гуЛ -4е~2ты2 С(т) =-^-1-, 0<г<+оо, где м> = м>(2) =-?---г-А = (1-И)(\-ае-т),

Х } 1 + 2(1-2^(1 -а)г + г2 V Л > + 2(1-2г)(1 -а)г + х7 осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга на круговой шестиугольник с границей, образованной единичной окружностью и двумя отрезками вещественной оси.

Функция является предельной для ет£(т) при т—>оо. Она принадлежит классу 5 и осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга Е на область, представляющую собой, плоскость С с двумя разрезами вдоль вещественной оси:

-00. 1 1

2 + 2(1-2^(1 -а) со Она 2-2(1-2*)(1-£7) используется в третьей главе при установлении знака функции Бранжа.

Во второй главе получены формулы, связывающие классические ортогональные полиномы Лежандра, Чебышева, Якоби, Гегенбауэра с решением уравнения Левнера с постоянным управлением /¿(г) = -1.

Они представляют композицию простейшего отображения с функцией Кебе.

Доказывается теорема о подстановке ряда обобщенной функции Кебе

2.

2 р 00 -т, р = 1,2,., в произвольный степенной ряд <2р(и) = , то есть о представлении композиции к=О кр

2рхг в виде ряда по степеням г, г . Полученная теорема применяется для разложения целой положительной степени решения уравнения

Левнера с1т -1-С Установлена связь между членами последовательности с1Ст(т,г)

Лт пг=1

Применяемый нами способ может быть распространен с целью получения разложений, коэффициенты которых связаны со специальными функциями.

Все результаты получаются как следствия применения доказанной в первом параграфе второй главы теоремы 2.1 о разложении композиции сходящегося ряда с /^-симметричной функцией Кебе.

Теорема 2.1. Пусть функция Qp{u) голоморфна в области £), 0е£), и имеет разложение в ряд вида: р=1>2>к=0

Тогда при фиксированном х е (ОД) разложение функции р \ ) по степеням переменной г имеет вид

00, * ^ 2рхг т=О где к=о (2 представляет собой полином степени т, если Ь^ Ф 0.

В частности, при р = 1 и фиксированном х е (ОД) разложение функции 1

-—а по степеням г имеет вид

4хг

1-*У где д(и) = £Ьки\ к=0 щ т

-т)к(т +1)

0^=0 ИД1)*

Ранее теорема 2.1 для р = 1 была доказана Г.Д. Садритдиновой [67]. Во втором параграфе второй главы приводится ряд примеров, показывающих связь между экстремальной в ряде вариационных задач на классе & функцией Кебе и классическими ортогональными полиномами Чебышева, Лежандра, Гегенбауэра, Якоби, а также с некоторыми другими функциями.

В третьем параграфе второй главы получены ряды по степеням 2 для степеней решения уравнения Левнера и для производных от по г ипо г.

Теорема 2.2 Решение 0 < т < +оо, уравнения Левнера ас л-С

-2- = -С-—, 0 < г < +СО,

Т 1 + С с начальным условием = г, возведенное в степень т, имеет разложение в ряд по степеням г следующего вида: г1 + т-\\

С(т,г,-1) = е-У

1=т\ ¿т- 1 У т + 1,т — 1 е

2т + 1 г1, /иеМ.

Получено дифференциальное соотношение между степенями решения уравнения Левнера с постоянной управляющей функцией. Теорема 2.3 При т = 1,2,. имеет место равенство а йх

1 с1Сп+\т,г) ШСя(т,г) с1С+1{т,г) с1С'п(т,2) с1т с1х т +1 йх т йх

В третьей главе исследуется проблема Бибербаха о коэффициентах. Получена система дифференциальных уравнений для коэффициентов г ¿гм разложении функции-^-1-- по степеням 2.

1 - г) Лх

Показано совпадение этой % системы с системой дифференциальных уравнений для нахождения экспоненциальных полиномов Бранжа, используемых в доказательстве справедливости гипотезы Бибербаха о коэффициентах. Дается вывод формулы суммирования для полиномов Чебышева второго рода и получено представление производных функций Бранжа У'кп (г) не в виде суммы знакочередующихся слагаемых, как оно первоначально была получена Бранжем, а в виде суммы со слагаемыми одного знака. Получена связь полиномов Чебышева второго рода с полиномами Бранжа. Это позволяет провести исследование указанных полиномов с , позиции теории конформных отображений и получить неравенство Вп(т)> 0, а значит Мп(/) > 0.

В первом параграфе третьей главы рассмотрена определенная в [0,оо)х£ последовательность , где

Ж0(т,2) = -К(2/1пС}Т'*\ Жт+1(т,2) = £(т,2)Жт(т,2), т=0Д-. ат

Пользуясь теоремой 2.3, устанавливается связь между элементами этой последовательности: при т - 0,1,. имеет место равенство

Жт(т,г) + -1~Жт+1(т,2) = (т + 1)РГт+1(т,г)-т1Гт(т,2).

Получена система дифференциальных уравнений для коэффициентов со функций жт(т,г)= £ @;,,„(т)г/> ™ = 0,1,.:

1=т+1

Во втором параграфе третьей главы установлена связь экспоненциальных полиномов Бранжа г 8 \*(-\у(2п-гА(2п-/ У

Ту у п — Б) ~ п —г

Б —Г г-1 у «У ■ ^ " * * 9 ^ ^ 5 ^ 1 ^ •<• с решением уравнения Левнера и функцией Кебе .

Теорема 3.1. Производная функции Бранжа Узп коэффициенты Qnns{т) разложения функции 1¥ш (т,г) связаны равенством: 8 ^^ 7,И r 1+НУ

L 5 2 j

В третьем параграфе третьей главы введена в рассмотрение функция

HÁZ) =-^-Г' rK 7 l-2cosy-z + z2 полученная в первой главе как предельная при г -» со для решения е~т£(т) уравнения Левнера - Куфарева при t = 1, а = 1 - sin2 у.

Показана связь этой функции с последовательностью {Wm (r,z)| q :

Ну (z) = W0 (r, z) + 2¿ (r,z) • eos m9 m=1 и с ортогональными полиномами Чебышева:

00

Hr(z) = YUmx(cosy)zm. m=1

Получена свиязь коэффициентов разложения функции Wm (V,z) с полиномами Чебышева: т-1 i=i

Дан вывод формулы суммирования для полиномов Чебышева второго рода и ее применение к исследованию экспоненциальных полиномов Бранжа: Лемма 3. Имеет место функциональное соотношение и„ [ху + ^г^/С) = С'„ (ху + ТГ^л/П^г) = ±DM (1 ■- x2f (1 •-где постоянная 47 {п - j'YUtf (2 / +1) и + у + 1)!

Теорема 3.2. Коэффициенты т), 0<г<+оо, в разложении (10) функции ит (соб^) неотрицательны.

Следствие 1. Имеет место неравенство ¥'х \ т,—-— <0, 0<т <+оо,

V п-й) лет{1}, 5 = 1,2,.,«.

Следствие 2. Экспоненциальный полином Бранжа У8 п I г,— (0, +оо) положительно определен. на

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Юферова, Галина Александровна, 2009 год

1. Александров А.И. Вариационная формула Голузина для Левнеровких отображений круга / А.И. Александров, И.А. Александров // Вестник Томского государственного университета . - 2008. - Т. 1 (2). - С. 5 - 10.

2. Александров А.И. Об экстремальных функциях в проблеме вращения для однолистных отображений / А.И. Александров, И.А. Александров // Вестник Томского государственного университета. 2000. — Т. 269 (январь). - С. 16 - 17.

3. Александров А.И. Левнеровские семейства функций в теореме вращения / А.И. Александров, Александров И.А., Бер Л.М. // Вестник Томского государственного университета. 2003. - Т. 280 (декабрь). -С. 5-1.

4. Александров И.А. Вариационный метод решения экстремальных проблем в некоторых классах аналитических функций // Доклады АН СССР. 1963. -Т. 151. - №5. - С. 999 - 1002.

5. Александров И.А. Геометрические свойства однолистных функций // Труды Томского университета. 1964. - Т. 175. - С. 28 - 38.

6. Александров И.А. Доказательство Л. де Бранжа гипотезы И.М. Милина и гипотезы Л. Бибербаха // Сибирский математический журнал. 1987. -Т. 28.-С. 7-20.

7. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций / И.А. Александров. Томск: Томск, гос. ун-т, 2001. - 220 с.

8. Александров И.А. О связи метода параметрических представлений с методами Голузина и Куфарева // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2008. - Т. 2 (3). - С. 5 - 9.

9. Александров И.А. К проблеме коэффициентов в теории однолистных функций / И.А. Александров, В.Я. Гутлянский // Доклады АН СССР. -1969. Т. 188. - №2. - С. 266 - 268.

10. Александров И.А. Функционал Милина / И.А. Александров, Т.В. Касаткина // Исследования по математическому анализу pi алгебре. -2000. С. 11 - 15.

11. Александров И.А. Область значений производной на классе голоморфных однолистных функций / И.А. Александров, С.А. Копанев // Украинский математический журнал. 1970. - Т. 5.

12. Александров И.А. О гипотезе Бибербаха и логарифмических коэффициентах однолистных функций / И.А. Александров, И.М. Милин // Известия вузов. Математика. 1989. - Т. 8. - С. 3 - 15.

13. Александров И.А. Аналитические функции комплексного переменного / И.А. Александров, В.В. Соболев. М.: Высшая школа, 1984. - 192 с.

14. Александров И.А. К доказательству неравенства Бибербаха / И.А. Александров, Г.А. Юферова // Вестник Томского государственного университета. 2007. - № 297, апрель. - С 141 - 145.

15. Аски Р. Positive Jacoby polynomial sums / R. Askey, G. Gasper // Amer. J. Math. 1976. - T. - 98. - C. 709 - 737.

16. Базилевич И.Е. Sur les theorems de Kebe Bieberbach // Матем. Сб. -1936.-Т. 1,-С. 283-292.

17. Базилевич И.Е. О теоремах искажения в теории однолистных функций // Матем. Сб. 1951. - Т. 28(70) : 2. - С. 283 - 292.

18. Базилевич И.Е. О теоремах искажения и коэффициентах однолистных функций //Матем. Сб. 1951. - Т. 28(70): 1. - С. 147 - 164.

19. Базилевич И.Е. Об одном случае интегрируемости в квадратурах уравнения Левнера Куфарева // Матем. сб. - 1955. - Т. 37 (79). - № 3.

20. Базилевич И.Е. Области начальных коэффициентов ограниченных однолистных функций р кратной симметрии // Матем. Сб. - 1957. -Т. 43(85):4. - С. 409-428.

21. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. -М.: Наука, 1974.

22. Бер Л.М. Усиление теоремы скольжения // Вестник Томского государственного университета. 2003. - Т. - 280 (декабрь). - С. 8 - 11.

23. Бибербах Л. (Bieberbach L.) Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln, sitzungsber // Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl. - 1916. -T. 138.-C. 940-955.

24. Бранж (Louis de Branges) A proof of the Bieberbach conjecture // Acta Mathematica. 1985.-T. 154. - C. 137- 152.

25. Бранж (Louis de Branges) A proof of the Bieberbach conjecture // LOMI preprintes, E 5 - 84. S. 1 - 21.

26. Вайнштейн JI. (Weinstein L.) The Bieberbach conjecture // International Mathematics Reseach Notices. 1991. - T. - 5. - C. 61 - 64.

27. Вильф (Wilf H.) A footnote on two proof of the Bieberbach de Branges Theorem // Bull. London Math. Soc. - 1994. - T. - 26. - C. 61 - 63.

28. Голузин Г.М. Дополнение к работе «О теоремах искажения в теории конформных отображений» // Матеем. Сб. 1937. — Т. 2 (44):4. -С. 685 -688.

29. Голузин Г.М. К теории однолистных функций // Матем. Сб. 1939. -Т. 6 (48):3. - С. 383 -388.

30. Голузин Г.М. К теории однолистных функций // Матем. Сб. 1943. - Т. 12 (54). - №1. - С. 48 - 55.

31. Голузин Г.М. Некоторые оценки коэффициентов однолистных функций // Матем. Сб. 1938. - Т. 3 (45). - № 2. - С. 321 - 330.

32. Го лузин Г.М. Некоторые оценки коэффициентов однолистных функций //Матем. Сб. 1938. - Т. 3 (45). -№ 2. - С. 321 - 330.

33. Голузин Г.М. О коэффициентах однолистных функций // Матеем. Сб. -1948. Т. 22 (64), № 3. - С. 373 - 380.

34. Голузин Г.М. О теоремах искажения в теории конформных отображений//Математический сборник. -1936.-Т. 1.-С. 127-135.

35. Голузин Г.М. О теоремах искажения и коэффициентах однолистных функций // Матеем. Сб. 1948. - Т. 23 (65), №3. - С. 353 - 360.

36. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. М.: Физико - математической литература, 1951.

37. Гутлянский В.Я. Параметрическое представление однолистных функций // ДАН СССР. 1970. - Т.194. - С. 750 - 753.

38. Копанев С.А. Оптимальное управление в задачах о коэффициентах однолистных функций / С.А. Копанев, И.А. Александров, Г.Г. Завозин // Дифференциальные уравнения. 1976. - Т. 12. — №4.

39. Копанева JI.C. Параметрическое представление отображений с симметрией переноса // Исследования по математическому анализу и алгебре. 2001. - С. 135 - 144.

40. Куваев М.Р. Обобщения уравнения типа Левнера для автоморфных функций // Труды Томского университета. 1959. - Т. 44. - С. 27 - 30.

41. Куфарев П.П. К вопросу о конформных отображениях дополнительных областей//ДАН СССР. 1950. - Т. 73. -№ 5.-С. 881 -884.

42. Куфарев П.П. К теории однолистных функций // Доклады АН СССР. 1947. - Т. 57. - № 8. - С. 751 - 754.

43. Куфарев П.П. О методе параметрических представлений и вариационном методе Г.М. Голузина // Труды III Всероссийского математического съезда. 1965. - Т. 1. - С. 85 - 86.

44. Куфарев П.П. Об интегралах простейшего дифференциального уравнения с подвижной полярной особенностью правой части // Ученые записки Московского университета. — 1946. — Т. 1. С. 35 - 48.

45. Куфарев П.П. Об одной системе дифференциальных уравнений // Ученые записки Томского университета. 1948. - Т. 8. - С. 61 - 72.

46. Куфарев П.П. Об одном методе численного определения параметров в интеграле Шварца Кристоффеля // ДАН СССР. - 1947. - Т. 57. - № 6. -С. 535 -537.

47. Куфарев П.П. Об одном специальном семействе однолистных областей// Ученые записки Томского университета. — 1947. Т. 5. -С. 22-36.

48. Куфарев П.П. Об однопараметрических семействах аналитических функций//Матем. сб. 1943.-Т. 13 (55):1.-С. 87-118.

49. Куфарев П.П. Одно замечание об уравнении Левнера // Доклады АН СССР. 1947. - Т. 57. - С. 655 - 656.

50. Куфарев П.П. Теорема о решениях одного дифференциального уравнения // Ученые записки Томского университета. 1947. - Т. 5. -С. 20-21.

51. Куфарев П.П. Об одной экстремальной задаче для дополнительных областей / П.П. Куфарев, А.Э. Фалес // Докл. АН СССР. 1951. - Т. 81.- № 6. С. 995-998.

52. Лебедев H.A. Об одном неравенстве / H.A. Лебедев, И.М. Милин // Вестник Ленинградского университета. 1965. - Т. 19. - С. 157 - 158.

53. Левнер К. (Lowner К.) Untersuchungen über schlichte konforme Abbildung des Einheitskreises // Math.Ann. 1923. - T. 89. - C. 103 - 121.

54. Милин M.M. Оценка коэффициентов однолистных функций // Доклады АН СССР, 1965.-Т. 160.-№4.-С. 769-771.

55. Попов В.И. Область значений одной системы функционалов на классе SII Труды Томского университета. 1965. - Т. 182. - С. 107 - 132.

56. Прохоров Д.В. Локальные экстремальные задачи для ограниченных аналитических функций без нулей / Д.В. Прохоров, C.B. Романова // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. - Т. 70. - Вып. 4.- С. 209 -224.

57. Прудников А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Марычев. -М.: Наука, 1981.

58. Садритдинова Г.Д. Области с разрезами и свойства управляющих функций в уравнении Левнера // Тез. докл. междунар. конфер. по матем. и механике. — Томск: ТГУ. — 2003.

59. Садритдинова Г.Д. Уравнение Левнера с составным управлением // Вестник Томского государственного университета. 2004. - № 284.

60. Сатритдинова Г.Д. Об одном случае интегрирования уравнения Левнера с симметрией вращения // Доклады РАН. 1999. - Т. 368. -С. 462-463.

61. Сеге Г. Ортогональные многочлены / Г. Сеге. М.: ГИФМЛ, 1962. -500 с.

62. Смирнов В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. Т. 3. - Ч. 2. -М.: Наука, 1974. - 672 с.

63. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены / П.К. Суетин -М.: Наука, 1976. -328 с.

64. Сыркашев А.Н. Об одном случае интегрирования уравнения Левнера -Куфарева // Материалы третьей всероссийской молодежной научной школы-конференции, КГУ, Казань, 2003г. Т. 21. - С. 204 -206.

65. Тодоров П. (Todorov P.) A simple proof of the Bieberbach conjecture // Bull. Cl. Sci.,Acad. R. Belg. 1992. - V. 12, №3. - p. 335 - 356.

66. Тодоров П. (Todorov P.G.) A structural formula of the Weinstein fonctions used in his proof of the Milin, Robertson and Bieberbach conjectures// Publications de L'institut mathématique. 2001. - V. 70(84). - P. 9 - 18.

67. Уиттекер E.T. Курс современного анализа / E.T. Уиттекер, Г.Н. Ватсон. 42. - M. - Л.: ГТТИ, 1934.

68. Юферова Г.А. Об одном семействе однолистных отображений // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2009. - Т. 1 (5). - С. 47 - 53.

69. Юферова Г.А. Уравнение Левнера и ортогональные многочлены// Вестник Томского государственного университета. 2007. — № 298, май.-С. 121 - 124.