Аналитические и геометрические свойства различных классов гармонических отображений круга тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Ле Ань Суан

• Ле Ань Суан
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Ле Ань Суан

Введение

Глава 1. Теоремы вращения

1.1. Предварительные сведения

1.2. Точные оценки | arg h'\ в случае г

Глава 2. Оценки интегральных средних

2.1. Гипотеза Дж. Клуни и Т. Шейл-Смолла о коэффициентах при определенных условиях на аналитическую часть

2.2. Условие для аналитической части гармонических однолистных отображений в Нр при 0 < р < 1/3

Глава 3. Свойства выпуклых гармонических отображений

3.1. Вращения выпуклых гармонических однолистных отображений

3.2. Гармонические отображения и конечная листность аналитических функций

Заключение

Список литературы

Список иллюстративного материала

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические и геометрические свойства различных классов гармонических отображений круга»

Введение

Актуальность темы исследования. Объектом исследования в настоящей диссертационной работе являются гармонические однолистные отображения в плоскости комплексного переменного.

Теория однолистных функций является одной из самых красивых областей в геометрической теории функций. Ее историю можно проследить с 1851 года, когда Б. Риман сформулировал и обосновал известную теорему об отображении в своей докторской диссертации.

Теорема Римана. Пусть И - односвязная область, являющаяся собственным, подмножеством комплексной плоскости. Тогда существует единственная функция, которая конформно отображает область И на круг Ю и удовлетворяет условиям /(^о) = 0 и /'(^о) > 0, е И.

Пусть 5 - класс функций /(г) = г + а2х2 + • • • + апгп + • • • +, голоморфных и однолистных в круге Ю. Важным примером функции в этом классе является функция Кёбе

потому что она играет роль экстремали во многих задачах. Заметим, что к(Ю) - это вся комплексная плоскость, за исключением луча на отрицательной вещественной оси от точки (-1/4) до (-го) (см. [3, 30, 35]). Тесно связан с классом 5 класс состоящий из функций

мероморфных и однолистных в области Ю- = е С : | > 1}.

В 1909 году П. Кёбе показал, что класс 5 компактен относительно топологии локально равномерной сходимости. Так как коэффициентап = ап(/), / е 5, является непрерывным функционалом, то существует максимум, определенный как Ап := шах/е5 |ап(/)|, п = 2,3,...

00

00

^ (С )= С + «о + ^ «п С Л

В 1914 году Т.Х. Гронуодд доказал теорему площадей, которая утверждает, что если функция ^ € то 1 П1ап\2 < 1 получив первый результат по проблеме коэффициентов. Это фундаментальный факт для теории однолистных функций. Не зная работы Т.Х. Гронуолла, Л. Бибербах [24] доказал то же самое соотношение и вывел результат о коэффициентах в классе 5 в 1916 году. Он установил, что точная оценка модуля второго коэффициента а2 функции в классе 5 не превосходит 2. Этот результат выводится из соотношения |а1| < 1 в классе которое является следствием теоремы площадей. Поскольку функция Кёбе играет роль экстремали во многих задачах для класса как мы упоминали выше, естественно предположить, что она максимизирует |ап| для всех п. Это знаменитая гипотеза Бибербаха, впервые предложенная в 1916 году. Гипотеза Бибербаха [24]. Среди всех функций

<х

f (х) = 2 + ^ апгп, г € Ш>

п= 2

в классе Б функция Кёбе имеет наибольшие по модулю коэффициенты, то есть

|ап| < п, п > 2,

для любой / €

В течение многих лет эта проблема оставалась открытой и вдохновляла на разработку оригинальных методов теории однолистных функций. Можно выделить два подхода к гипотезе Бибербаха. Первый подход заключается в том, чтобы исследовать коэффициенты для некоторого значения п. Например, в 1923 году К. Левнер [ ] доказал, что |а3| < 3, в 1955 году П.Р. Гарабедян и М. Шиф-фер [ ] установили, что |а4| < 4, в 1968 году Р.Н. Педерсои [ ]иМ. Озава [ ] обосновали неравенство |а6| < 6, и в 1972 году Педерсоп и Шиффер [ ] доказали, что |а5| < 5. Второй подход заключается в том, чтобы проанализировать некоторые специальные подклассы класса которые включают звездообразные, выпуклые, почти выпуклые функции и т. д. Многие частичные результаты

были получены за прошедшие годы, включая результаты для специальных подклассов 5 и для конкретных коэффициентов, а также асимптотические оценки и оценки для п в общем случае. Например, в 1925 году Дж.И. Литтлвуд [ ] доказал |ап| < е • п, в 1965 году И.М. Милин [ ] доказал |ап| < 1, 243 • п, и в 1972 году К.Х. Фитцджеральд [ ] доказал |ап| < у77/6 • п = 1, 0801... • п.

В 1985 году гипотеза Бибербаха была доказана Л. де Бранжем [29]. Он использовал неравенство Лебедева Мидина [9 11], чтобы доказать гипотезу Мидина [12], доказав тем самым гипотезу Робертсона [74] и установив правильность гипотезы Бибербаха.

Напомним, что комплексное отображение /(г), г = х + гу, которое имеет непрерывные частные производные второго порядка и в области И удовлетворяет уравнению Лапласа А/ = 0, называется гармоническим в области И. Рассмотрим линейное пространство комплекснозначных гармонических отображений / = Н+д, где д(0) = 0 и Н, д € Л- линейное пространство аналитических функций, определенных в круге Ю, наделенное топологией локально равномерной сходимости. Функция Н называется аналитической частью /, а функция д называется ко-аналитической частью /. Через Бн обозначим класс сохраняющих ориентацию гармонических и однолистных отображений / = Н + д в Ю, у которых д(0) = Н(0) = Н'(0) — 1 = 0. Нам также понадобится класс = {/ € вн : д'(0) = 0}.

Развитие теории гармонических отображений на плоскости состояло из двух основных этапов. Известно, что хотя гармонические отображения являются естественными обобщениями конформных отображений, они первоначально изучались дифференциальными геометрами из-за их естественной роли в параметризации минимальных поверхностей. В любом представлении минимальной поверхности изотермическими параметрами каждая из трех координатных функций является гармонической. Таким образом, проекция непараметрической минимальной поверхности на ее базовую плоскость индуцирует гармоническое отображение. Свойства минимальных поверхностей, такие как кривизна

Гаусса, могут быть эффективно изучены с помощью этих гармонических отображений. Т. Радо [71], Л. Берс [23], Э. Хайнц [44, 45], 14. Нитше [55 58] и другие внесли свой вклад (до 1960 года), чтобы осветить взаимодействие между гармоническими отображениями и минимальными поверхностями.

Только в середине 1980-х годов гармонические отображения стали привлекать широкий интерес у специалистов по комплексному анализу. Катализатором была знаковая статья Дж. Клуни и Т. Шейл-Смолла [28], указывающая на то, что многие из классических результатов для конформных отображений имеют явные аналоги для гармонических отображений. Авторы этой статьи нашли аналоги классических теорем вращения и искажения, теоремы покрытия и оценки коэффициентов для однолистных гармонических отображений. Они также построили аналог гармонической функции Кёбе, который, похоже, при-

5

ные и весьма правдоподобные гипотезы, некоторые из которых были проверены для гармонических отображений со специальными геометрическими свойствами. Статья Дж. Клуни и Т. Шейл-Смолла положила начало систематическому изучению однолистных гармонических отображений с точки зрения комплексного анализа. С тех пор эта область быстро развивается, хотя ряд основных проблем остается нерешенным, привлекая внимание большого числа математиков по всему миру таких, как П. Дюрен, X. Поммеренке, О.П. Ахуджа, С. Поннусами, X. Сильверман, М. Дорф, С. Рушевей, а также российских математиков: С.Ю. Граф, Д.В. Прохоров, В.В. Старков, В.Г. Шеретов и др.

Упомянутая статья Клуни и Шейл-Смолла [28] состоит из шести разделов, в которых сформулирован ряд открытых проблем (включая вопрос об оценке коэффициентов гармонической однолистной функции, аналогичной гипотезе Бибербаха для аналитической однолистной функции). После доказательства

5

ким-л ибо образом распространить классический набор результатов для класса 5

ций 5я и 50- Дж. Клуни и Т. Шейл-Смолл дали утвердительный ответ. Они обнаружили, что хотя оценки для этих классов не совпадают, все же с подходящими интерпретациями существуют аналогичные оценки для гармонических отображений в классах 5я и 5°. Они обнаружили результат для класса 5°, в котором используется аналог функции Кёбе & в классе 5. Фактически они построили гармоническую функцию Кёбе К = Н + С в классе 5°, определенную согласно формулам

„. . 1 - г2/2 + х3/6 г2/2 + г3/6

Н^ = (1 - г)3 и > = (1 - г)3 •

Можно показать, что К однолистно отображает круг Ю на плоскость С с исключенным лучом вдоль отрицательной вещественной оси от точки (-1/6) до (-го) (см. [30, 35]). Они также выдвинули следующий гармонический аналог гипотезы Бибербаха для класса 5°.

Гипотеза Клуни и Шейл-Смолла [ ]. Для функции / = К + д е 5° с

представлением в виде

00 00

К(^) = 2 + ап2п и д(г) = ^2 % е Ю,

п=2 п=2

для, всех п > 2 выполняются неравенства:

, . (п + 1)(2п + 1) |7 . (п - 1)(2п - 1) ,. . „ .,

К|< (-^-1, Ы < (-^-1, и |КЫМ < п.

Более того, равенства достигаются для, гармонической функции Кёбе К (г).

Эта гипотеза была проверена для стандартных геометрических подклассов 5°, а именно, для класса всех звездообразных функций (а также для функций почти выпуклых, типично вещественных или выпуклых в одном направлении) (см. [28, 77, 79]). В отличие от класса 5, проблема коэффициентов для 5° является чрезвычайно сложной и остается открытой даже для второго коэффициента а2 функции К. В качестве попытки решить вышеуказанную гипотезу, следующая более сильная гипотеза была предложена в работе С. Поннусами и Калиража [64].

Гипотеза 1. 50 = 50(5), где 50(5) = {h + g e 50 : Ф = h + el°g e S для некоторого вещественного числа 6}. То есть, для каждой функции f =

Гипотеза С. Пониусами и Кадиража привлекла внимание различных математиков, о чем свидетельствует тот факт, что в последнее время появилось много работ (см. [17, 21, 78]), посвященных вопросам, связанным с этой гипотезой и ее обобщениями. Например, В.В. Старков [ ] доказал, что = 50(5) тогда и только тогда, когда для любой функции / € 50 существует в € (0, ^/2] такое, что

и Е = {(z,t) e D х (0,n/2] : IA(z,t)l = |B(z,t)ft.

Позже, в работе M. Айдогана и др. [21] было показано, что гипотеза С. Пониусами и Кадиража неверна.

В работе С. Пониусами и Кадиража [64] также была выдвинута еще одна гипотеза о выпуклых гармонических отображениях, которую мы представим ниже. Для этого обозначим через С и С0 классы всех гармонических отображений f классов 5 и 50 соответственно, таких что область f (D) является выпуклой. Гипотеза 2. Если, f = h + g e C0, то существует вещественное число в такое, что аналитическая, функция = h + егвg однолистна и отображает круг D на выпуклую область. Другим и словами С°н = С0 (С).

Однако, в недавней работе [51] мы доказали, что гипотеза 2 также неверна.

Хотя гипотезы, предложенные С. Пониусами и Кадиражем, оказались неверными, они также способствуют дальнейшему исследованию гипотезы Клуни и Шейд-Смодда.

Цели и задачи диссертационной работы.

• Получение оценки функционала | arg h'| для функций вида f = h + g7

h + g e S0 существует вещественнoe число 6 такое, что Ф = h + ег°g e 5.

A(z,t) = -ешВ(z,t), y(z,t) e E,

1де

когда / принадлежит либо классу гармонических однолистных отображений 5°(5) либо классу гармонических выпуклых отображений (С).

• Доказательство гипотезы Клуни и Шейл-Смолла о коэффициентах гармонических отображений при определенных условиях на их аналитическую часть.

Изучение радиуса выпуклости аналитической части однолистных гармонических отображений.

Установление условия, при котором аналитическая часть гармонического однолистного отображения принадлежит пространству Харди Нр.

и С°н.

ческом однолистном отображении в классах 5° и

• Исследование вопроса о максимальной листности функции К + ег°д при условии, что область (К + #)(Ю) можно разрезать на п выпуклых подобластей.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором самостоятельно, в нераздельном сотрудничестве с И.Р. Каю-мовым и С. Поннусами. В совместных публикациях И.Р. Каюмову и С. Пон-нусами принадлежат постановки задач и метод исследования. Роль автора в доказательстве выносимых на защиту результатов является определяющей.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные в данной диссертации результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения экстремальных свойств гармонических однолистных отображений и различных классов аналитических однолистных функций, а также в образовательном процессе при чтении спецкурсов.

Методы исследования. В диссертации использовались вариационные методы, а также методы геометрической теории функций комплексного пере-

менного.

Положения, выносимые на защиту.

Точная оценка функционала | argh'(z)l в случае, когда lz| < 1/л/2 и f = h + д e 50(5), и для случая, когда f = h + д e С0(С).

• Точные оценки коэффициентов гармонических отображений / = Н + д >0 (

класса 50(5) при определенных условиях на их аналитическую часть.

нических отображений / = Н + д класс а 50 (5).

го отображения /, гарантирующее принадлежность / пространству Нр при 0 < р < 1/3.

0

существует функция / = Н + д € С0 такая, что голоморфная однолистная

функция Ь^) + е д(г) те звездообразна в круге Ю. литических компонент гармонического отображения.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1) Международная конференция «Фундаментальные проблемы алгебры, анализа и геометрии», 26 июня - 02 июля 2016 г., г. Казань.

2) XIII Международная летняя школа-конференция «Теория функций, её приложения и смежные вопросы», 21 - 27 августа 2017 г., г. Казань.

3) II Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы физико-математического образования», 20 - 22 октября 2017 г., г. Набережные Челны.

и

4) XVII Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2018», 23 - 28 ноября 2018 г., г. Казань.

5) XIV Международная летняя школа-конференция «Теория функций, её приложения и смежные вопросы», 07 12 сентября 2019 г., г. Казань.

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в 8 печатных работах, из них 3 статьи опубликованы в рецензируемых журналах, входящих в список ВАК РФ, или приравненных к ним [14, 50, 51], а также в изданиях, индексируемых в базах данных Web of Science и Scopus, 5 работ опубликованы в сборниках трудов конференций как тезисы докладов [6 8, 15, 16].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают личной вклад автора в опубликованные работы. В совместных публикациях И.Р. Каюмову и С. Поннусами принадлежат постановки задач и метод исследования. Роль автора в доказательстве выносимых на защиту результатов является определяющей.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 92 страниц, из них 92 страниц текста, включая 11 рисунков. Библиография включает 79

8

Содержание работы

Во введении кратко изложена история вопроса, обоснована актуальность диссертационной темы, поставлены основные цели и задачи диссертации, обоснованы научная новизна и практическая значимость работы, сформулированы методология и выносимые на защиту положения, описана структура диссертации.

В первой главе изложены основные понятия, которые будут использованы в тексте диссертации.

Параграф 1.2 диссертации посвящен исследованию теоремы вращения ана-

' (

литической части гармонических однолистных функций класса5Н(5). Установ*

лена

Теорема 1.2.3. Если f = h + д е S0(5), то

{5arcsin lz I при, lz I < 1/V2,

n + log i _| i2 + arcsin IzI при Iz I > 1/V2.

Оценка является точной для Iz I < 1/л/2-

Мы не можем получить точную оценку I arg h'(z)I для ^ > но подо-

зреваем, что оценка в этом случае также точна. Более того, мы предполагаем, что теорема 1.2.3 справедлива, когда / принадлежит классу 50. Аналогично в этом параграфе получен следующий результат

Теорема 1.2.5. Если f е С0(С) = {h + g е С°н : h + ег°g е С для некоторого вещественного числа, 9}, то

I arg h'(z)I < 3 arcsin Iz I.

Оценка, является точной и достигается тогда и только тогда, когда/(z) = e-af0(e'az), а е R где

Ш = 2

z z

+

1 - Z (1 - Z)2

1

+ 2

Z Z

1 - Z (1 - Z)2

Хорошо известно [ ], что каждая функция / € 5 отображает круг ^ | < г на выпуклую область, если г < 2 — л/3 = 0.267949..., и константа 2 — л/3 является точной. Это число называется радиусом выпуклости для класса 5. В следующей теореме мы определяем радиус выпуклости для аналитической части функции / в классе 50 (5).

Теорема 1.2.7. Для каждого положительного действительного числа г < (5 — л/17)/4 = 0.219224... и каждой / = Н + д € 50(5) функция Н отображает круг |г| < г на выпуклую область. Еармоническая функция, Кебе показывает, что оценка является, точной.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию гипотезы Клуни и Шейл-Смолла о коэффициентах при определенных условиях на аналитическую часть гармонических отображений. Кроме того, в этой главе мы устанавливаем условие для аналитической части гармонического однолистного отображения /, гарантирующее принадлежность / пространству Харди Нрщ>]& 0 < р < 1/3.

Основными результатами этой главы являются следующие теоремы. Теорема 2.1.1. Предположим, что / = К + д Е 5° и К(х) = г + ^апхп удовлетворяет условию

Ф'(.) _ 1

К' Ы 1

< 1, т.е. —--, 2 Е Ю,

Ф'(х) 1 - 2

К' (г)

для, некоторого Ф Е 5. Тогда для, п > 2 имеет место неравенство

К| <(п + 1)12п + 1). 6

Равенство достигается тогда и только тогда, когда К(х) = е~гвН(егвх) и Ф(г) = е~гвк(ег°х)7 9 Е Ж, где Н является аналитической частью гармонической функции Кёбе и к(х) = х/(1 — г)2.

Теорема 2.1.3. Предположим, что / = К + д Е 5° и К(х) = г + ^апхп

Ф

Тогда, для, п > 2 имеет место неравенство

п + 1

К| < .

Равенство достигается тогда и только тогда, когда К(х) = е—гвКо(егвх) и Ф(г) = г/(1 — ег°г), в Е Ж где К°(г) = (г — г2/2)/(1 — ^)2.

Через Т обозначим класс локальных однолистных отображений 'ф в пространстве Л, удовлетворяющих условию

Л

Ф'(г) Г 2

с нормировкой ф(0) = г[)'(0) — 1 = 0. Известно, что функции класса Т выпуклы в некотором направлении (и, следовательно, почти выпуклы и однолистны в круге Ю). Более того, в силу работ [ , ] модули коэффициентов при

^ ( гф''(г)\ 1 Ие 1 + > —-, ^ е ю,

V Ф') )

гп функции 'ф Е Т меньше или равиы (п + 1)/2 и оценка достигается, когда К°(х) = (х — г2/2)/(1 — г)2 или функция К° совпадает с ее вращением. Теорема 2.1.5. Предположим, что / = К + д Е и К(х) = г + ^апхп удовлетворяет условию ( ) для, некоторой Ф Е Т. Тогда для, п > 2 имеет место неравенство

(п + 1)(п + 2)

к| <-^-•

Равенство достигается тогда и только тогда, когда К(х) = е—гвК1(ег°х) и Ф(^) = е—гвК°(егвг), в Е где

. . 1 ( 1 \ , , г — 1 22

Пусть Нр (соответственно, Кр) - пространство Харди порядкар (0 < р < ж) аналитических (соответственно, гармонических) функций. Известно, что если функция / = К + д Е то К,д Е Нр и / Е Кр для всех р Е (0,р°), где р° зависит от |а2|, второго коэффициента функции К (см. [ ]). Доказана следующая Теорема 2.2.4. Предположим, что / = К + ~д Е и условие ( ) выполнено. Тогда имеют место следующие утверждения:

1) / Е Кр для всех р < 1/3.

и) J {\Ы(х)1 + 1д'(г(1х(1у < для всех р < 1/2.

ю

В третьей главе в первом параграфе мы опровергаем гипотезу С. Пон-нусами и Калиража, утверждающую, что для каждой функции / = К + ~д Е существует такое значение в Е К, что К + ег°д Е С. В следующем параграфе мы исследуем вопрос о максимальной листности функции К + ег°д для области, которую можно разрезать на п выпуклых подобластей.

Мы выдвигаем более слабую гипотезу, чем гипотеза С. Поннусами о выпуклых гармонических отображениях, а именно.

Гипотеза 3.1.2. Если / = К + д Е С°7 то существует вещественное число О такое, что аналитическая функция К(х) + ег°д(х) однолистна и отображает круг Ю на звездообразную область.

Основными результатами этой главы являются следующие утверждения. Теорема 3.1.4. Гипотеза 3.1.2 неверна.

Отсюда мы приходим к выводу, что вторая гипотеза Поннусами неверна. Теорема 3.1.6. Существует гармонический автоморфизм круга / = К + д такой, что функция К + егвд выпукла только в одном направлении, как предсказано теоремой сдвига Клуни и Шейл-Смолла для в = 0. Кроме того, аналитическая функция К + д не звездообразна в нем,.

Область О называется п-выпуклой областью, если ее можно разрезать на п выпуклых подобластей. Имеет место теорема

Теорема 3.2.8. Пусть / = К + д гармоническое и локально однолистное отображение круга Ю на область О. Если О - п-выпуклая область, то функция К + егвд не более, чем п-листна в круге Ю.

В заключении сформулированы результаты диссертации. Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Каюмову Ильгизу Рифатовичу за постановку проблемы, постоянную поддержку и за внимание к работе. Автор также выражает благодарность сотрудникам кафедры математического анализа Института математики и механики Казанского федерального университета за помощь и полезные замечания.

Глава 1 Теоремы вращения

1.1. Предварительные сведения

Пусть Ю = {г : < 1} - единичный круг на комплексной плоскости С, Д - линейное пространство аналитических функций, определенных в круге Ю, наделенное топологией локально равномерной сходимости. Через В обозначим класс функций ш Е Л таких, что )| < 1 при ^ Е Ю. Нам также понадобится класс Во = {и Е В : ы(0) = 0}.

Рассмотрим линейное пространство комплекснозначных гармонических отображений / = К + д7 где К, д Е Л и д(0) = 0, наделенное той же топологией. Отметим, что представление / = К + д является единственным и называется каноническим представлением гармонического отображения /.Функция К называется аналитической частью /, а функция д называется ко-аналитической частью /.

Отображение / локально взаимно однозначно, если якобиан функции /, Jf (г) = Цг(г)|2 — |/г(г)|2, те обращается в нуль в круге Ю. Будем говорить, что / сохраняет ориентацию, если 3$ (г) > 0 в круге Ю. Так как /г(г) = К'(г) и /г(%) = д'(г), то условие 3/(х) > 0 эквивалентно перавенству 1д'(^)| < |К'(г)|, а значит, К'(г) = 0 и, таким образом, можно определить функцию ш Е В, которая называется дилатацией функции / по формуле ш(г) = д'(х)/Ы(г)7 где К'(г) = 0 в круге Ю.

Пусть 5 - класс функций /(г) = г + а2х2 + • • •, голоморфных и однолистных в Ю. Через 5я обозначим класс сохраняющих ориентацию гармонических и однолистных отображений / = К + д в Ю, У которых д(0) = К(0) = К'(0) —1 = 0. Нам также понадобится класс 50 = {/ Е 5я : </(0) = 0}. Очевидно, что 5 С 50 С 5Я. Чере з Си С°н обозначим массы фун кций / из 5 и соответ-

ственно таких, что область /(Ю) является выпуклой.

Определение 1.1.1. Комплексная функция /(г) называется гармоничесной в области если /(г) имеет непрерывную частную производную второго порядка и в области И выполняется условие

д 2Г

АI = 4 = 0.

охох

Определение 1.1.2. Голоморфная функция /(г) называется однолистной в области если в этой области она инъективна, т. е. если для х1,х2 Е И, г1 = г2, то $(^1) = /(^2).

Если гармоническая функция /(г) однолистна в окрестности точки г° Е И, то она локально однолистна в точке г°. Тогда по теореме Леви [ ] имеет место ^ (2°) = 0.

Заметим, что если функция /(г) однолистна в И, то она локально однолистна в любой точке области И, но обратное утверждение неверно.

Определение 1.1.3. Область И называется выпуклой, если для любых точек ^ и г2 в И, отрез о к [г1, г2] принадлежит об ласти И.

Голоморфная функция /(г) называется выпуклой в круге Ю, если она однолистна в Ю и область /(Ю) выпукла.

Голоморфная однолистная функция / (г) выпукла в к руге Ю тогда и только тогда, когда

Ке + > 0, * Е Ю.

V ) )

Определение 1.1.4. Область И называется звездообразной относительно точки г° Е И, если линейный отрезок, соединяющий г° с любой другой точкой г Е И, целиком принадлежит этой области.

Голоморфная функция /(г) называется звездообразной в круге Ю, если она однолистна в Ю и область /(Ю) звездообразна относительно начала координат.

( )

в круге Ю, если существует выпуклая функция д(г) такая, что

^е(Ц^) > 0, УгЕ Ю. \ д'( А)

.9' (z)

Определение 1.1.6 ([ ]). Голоморфная функция f(z) = z + а2z2 + • • •, называется типично вещественной в круге Ю, если она вещественна на диаметре — 1 < z < 1,ав остальных точках этого круга удовлетворяет условию

Im(f(z)) • Im(z) > 0.

Г.М. Голузиным [4] было показано, что любая такая функция представима в круге D по формуле

■к

/М = 1 Л-„ * л-2 da(9),

Jy) п J 1 — 2zcos9 + z2 0

где a(9) - вещественная неубывающая функция в 0 <9 < п с а(п) — а(0) = п;

( )

вещественной в D.

( ) ( )

морфны в круге D. Тогда функция /( z) называется подчиненной функцией ( )

9,

если

/( z)=g(u>(z)), VzG D,

для некоторой голоморфной функции ш(z) в D, удовлетворяющей условиям: ш(0) = 0, |w(z)| < 1 для всех z G D.

Определение 1.1.8. Гармоническое пространство Харди hp является линейным пространством (комплекснозначных) гармонических функций в круге D

таких, что \\/\\р < то, где

I/\\Р = <

вир Мр(г, /) если р е (0, то),

0<г<1

вир (£)|

геВ

если р = то,

и Мр(г,/) обозначают интегральные средние, которые определяются следующим образом

2тг

1/р

1

мр(г,/)= ( — И(гёв)Г 619

Определение 1.1.9. Голоморфное отображение /(х) облаети И в плоскоеть С называется конформным, если оно взаимно однозначно в И.

Конформное отображение обладает следующими основными свойствами: постоянство растяжения и сохранение углов.

Далее мы приводим некоторые основные результаты, которые будут применены для доказательства теорем и лемм в диссертации.

Лемма 1.1.10 (Шварц - Пик [ ]). Голоморфное отображение / круга В на себя удовлетворяет неравенствам\

/ (*1) - / ы

и

1 - / (01)/Ы

)1 <

< -

1 - ^>2

1- и (г )|2

, 21, 22 £ В,

1 '

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда функция,

лв х а

f(г) = ем-—, а е В, в е К.

1 — аг

Лемма 1.1.11 ([70]). Если локально однолистная, функция,

то

/(х) = 2 + ^ апхп

п=2

принадлежит классу Т, то

для п> 2.

ы <

п + 1 2

И.Р. Каюмовым [48] получен следующий результат: Для, любой голоморфной однолистной функции / (/(0) = 0) в круге Ю7 имеет место неравенство

2-к

1

2ж

г Г (г егв) <1 + 4 | log(1 )|

¡(г ёш)

1

В работе Дж. Фенга и Т. МакГрегора [36] получены следующие неравен-

ства

1) Если функция / Е то

2-к

1 _ г егв

¿в, Х> 0,

И

2-к

Ц\Пге»< I 0 0

2-к

¿/|/п)(ге'в)\\Ю < (1 _г)(^,+2)Л_1, Л> 2/5,

0

где 0 < г < 1 и п = 1, 2,...

п

1

2-к

С

1

2^ |1 _ гегв 0

6В< < (1 _ 0м-1

при д > 1,

С log ^ при д = 1.

С

Нам понадобятся следующие два классических неравенства.

Теорема 1.1.12 (Неравенство Гёльдера [ ]). Пусть / Е Пр[а, Ь],д Е Ьч[а, Ь] где р,д Е (1, ж) и 1/р + 1/q = 1- Тогда, следующее неравенство справедливо

|Нх)д(х)№ < ( I |I |д(х)1Чх)1,4.

1/ч

ь

ь

ь

Теорема 1.1.13 (Неравенство Минковского [ ]). Если /ид Е ЕР[а, Ь] где р > 1. то I + 9 Е ЕР[а,Ь] и справедливо следующее неравенство ь ъ ъ

( / и (Я) + д(х)1Р йх)УР < и И (х)1Р йх)УР + П 1д(х)1Р д,х)1/Р.

1.2. Точные оценки | arg h'l в с лучае г < 1/л/2

Гипотеза 1.2.1 (Клуни и Шейл-Смолл [ ]). Для f = h + ~д Е S0 с представлением в виде

ж ж

h(z) = z + ^ апzn и g(z) = ^ Mn, z Е D, (1.1)

n=2 n=2

для, всех n > 2 выполняются неравенства:

. . (п + 1)(2n +1) ,, . (п - 1)(2п - 1) h . ,, ,, ^ .

К\ < (-^-S \bn\< --^-L, и \\ап\-\Ьп\\ < п. 1.2

6 6 1 1

Более того, равенства достигаются для, гармонической функции Кебе К(z)7 определенной как

i/1 + zV ) i i/1+ 2

{(Ж) ■ -1}+4 *{№)2 -1}-

К(г) = Н(г) + С,(г) = 6К^\к1--^ - - ^ , (1.3)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ле Ань Суан, 2019 год

Список литературы

1. Авхадиев, Ф.Г. Введение в геометрическую теорию функций / Ф.Г. Авхади-ев. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 2012. — 127 с.

2. Авхадиев, Ф.Г. Точные оценки в теории функций / Ф.Г. Авхадиев. — Казань : Казанский федеральный университет, 2013. — 40 с.

3. Голу зим, Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин. — Москва: Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1966.^628 с.

4. Голузин, Г.М. О типично вещественных функциях / Г.М. Голузин // Машем. сб.- 1950. ^Т. 27, № 69. ^С. 201-218.

5. Голузин, Г.М. О теоремах искажения в теории конформных отображений / Г.М. Голузин // Матем. сб. 1936. Т. 43, № 1. С. 127-135.

6. Каюмов, И.Р. Об одной гипотезе С. Поннусами / И.Р. Каюмов, Л.А. Су-ан // Международная конференция «Фундаментальные проблемы алгебры, анализа и геометрии». — Казань: Казанский университет, Изд-во Академии наук РТ, 2016. ^ С. 365.

7. Каюмов, И.Р. Теорема вращения для гармонических отображений / И.Р. Каюмов, С. Поннусами, Л.А. Суан // Международная летняя школа-конференция «Теория функций, её приложения и смежные вопросы». — Т. 54. Казань: Издательство Казанского математического общества, Изд-во Академии наук РТ, 2017. — С. 345-346.

8. Каюмова, A.B. Гипотеза Клуни и Шейл-Смолла о коэффициентах при определенных условиях на аналитическую часть / A.B. Каюмова, С. Поннусами, Л.А. Суан //II Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы физико-математического образования». — Набережные Челны, 2017. - С. 28-29.

9. Лебедев, H.A. Об одном неравенстве / H.A. Лебедев, И.М. Милин // Вестник Ленинградского университет,а. — 1965. — Т. 19, № 20. — С. 157-158.

10. Лебедев, Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций / Н.А. Лебедев. — Москва: Наука, 1975. 336 с.

11. Милин, И.М. О коэффициентах однолистных функций / И.М. Милин // ДАН СССР.-1967.-Т. 176, № 5. — С. 1015-1018.

12. Милин, И.М. Однолистные функции и ортонормированные системы / И.М. Милин. Москва: Наука, 1971. 256 с.

13. Милин, И.М. Оценка коэффициентов однолистных функций / И.М. Милин //ДАН СССР. 1965. Т. 160. Л" 4. О. 769-771.

14. Суан, Л.А. Гармонические отображения и конечная листность аналитических функций / Л.А. Суан // Учен. зап. Казан, ун-т,а. Сер. Физ.-матем. науки. - 2018. - Т. 160, Л" 4. С. 771-777.

15. Суан, Л.А. Конечная листность аналитических функций / Л.А. Суан // Международная летняя школа-конференция «Теория функций, её приложения и смежные вопросы». — Т. 57. — Казань: Издательство Казанского математического общества, Изд-во Академии наук РТ, 2019. С. 322-324.

16. Суан, Л.А. О гармонических отображениях из пространства Харди / Л.А. Суан // XVII Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения-2018». — Т. 56. — Казань: Из -во Казан. ун-та, 2018. — С. 277-278.

17. Abu-Muhanna, Y. The spherical metric and univalent harmonic mappings / Y. Abu-Muhanna, R.M. Ali, S. Ponnusamy // Monatsh. Math. — 2019. —Vol. 188, no. 4.-P. 703-716.

18. Abu-Muhanna, Y. The boundary behaviour of harmonic univalent maps / Y. Abu-Muhanna, A. Lyzzaik // Pacific J. Math. — 1990. — Vol. 141, no. 1. — P. 1-20.

19. Aleman, A. Convex harmonic mappings are not necessarily in h1/2 / A. Aleman, M. J. Martin // Proc. Amer. Math. Soc. — 2015. —Vol. 143, no. 2.— P. 755-763.

20. Avkhadiev, F.G. Schwarz-Pick type inequalities / F.G. Avkhadiev,

K.J. Wirths. — Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser Verlag, 2009. — 166 p.

21. Aydogan, M. On the shears of univalent harmonic mappings / M. Aydogan, D. Bshouty, et. al. // Complex Anal. Oper. Theory. — 2019. — Vol. 13, no. 6.-P. 2853-2862.

22. Bazilevich, I.E. The problem of coefficients of univalent functions / I.E. Bazile-vich // Math. J. of the Aviation Institute. (Moscow). — 1945. — P. 29-47.

23. Bers, L. Isolated singularities of minimal surfaces / L. Bers // Ann. of Math. -1951.-Vol. 53.-P. 364-386.

24. Bierberbach, L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln / L. Bierberbach // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys-Math. Kl. — 1916. — P. 940-955.

25. Bierberbach, L. Aufstellung und Beweis des Drehungssatzes für schlichte konforme Abblidungen / L. Bierberbach // Math. Zeit. — 1919. — Vol. 4. — P. 295-305.

26. Biyun, Y. A note for rotation theorem of close-to-convex functions / Yao Biyun // Chinese science bulletin. — 1980. — Vol. 25, no. 3. — P. 270270.

27. Cima, J.A. Integral smoothness properties of some harmonic mappings / J.A. Cima, A.E. Livingston // Complex Variables Theory Appl. — 1989. — Vol. 11, no. 2.-P. 95-110.

28. Clunie, J.G. Harmonic univalent functions / J.G. Clunie, T. Sheil-Small // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A.I. -1984.-Vol. 9.-P. 3-25.

29. de Branges, L. A proof of the Bieberbach conjecture / L. de Branges // Acta Math. -1985.-Vol. 154.-P. 137-152.

30. Dorff, M. Explorations in Complex Analysis / M. Dorff, et. al. — Washington: The Mathematical Association of America, 2012. — 392 p.

31. Dorff, M. Harmonic shears of elliptic integrals / M. Dorff, J. Szynal // Rocky Mountain J. Math. -2005.-Vol. 35, no. 2.-P. 485-499.

32. Driver, K. Harmonic shears of regular polygons by hypergeometric functions /

K. Driver, P. Duren // J. Math. Anal. Appl. — 1999.-Vol. 239.-P. 72-84.

33. Duren, P. Theory of Hp Spaces / P. Duren. — New York and London: Pure and Applied Mathematics, Academic Press, 1970.— Vol. 38.— 277 p.

34. Duren, P. Univalent Functions / P. Duren. — Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 259, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo: SpringerVerlag, 1983.-395 p.

35. Duren, P. Harmonic Mappings in the Plane / P. Duren. — Cambridge: Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge Univ. Press, 2004. — Vol. 156. — 156 p.

36. Feng, J. Estimates of integral means of the derivatives of univalent functions / J. Feng, T.H. MacGregor // J. Analyse Math. - 1976. - Vol. 29. - P. 203-231.

37. FitzGerald, C.H. Quadratic inequalities and coefficient estimates for schlicht functions / C.H. FitzGerald // Arch. Rational Mech. Anal. — 1972.— Vol. 46.-P. 356-368.

38. Garabedian, P. A proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient / P. Garabedian, M. Schiffer // J. Rational Mech. Anal. — 1955. — Vol. 4.-P. 427-465.

39. Goodman, A.W. An invitation to the study of univalent and multivalent functions / A.W. Goodman // Internat. J. Math. - Math. Sci. — 1979. —Vol. 2, no. 2.-P. 163-186.

40. Greiner, P. Boundary properties of planar harmonic mappings: Ph. D. thesis / University of Michigan. — 1995.

41. Greiner, P. Geometric properties of harmonic shears / P. Greiner // Comput. Methods Funct. Theory. - 2004. -Vol. 4, no. 1.-P. 77-96.

42. Hayman, W.K. Multivalent Functions / W.K. Hayman. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1958.-Vol. 110.-276 p.

43. Hedenmalm, H. On the Makarov law of the iterated logarithm / H. Heden-malm, I.R. Kayumov // Proc. Amer. Math. Soc. — 2007. — Vol. 135. — P. 2235-2248.

44. Heinz, E. Uber die Losungen der Minimalflächengleichung / E. Heinz // Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. — 1952. — P. 51-56.

45. Heinz, E. On one-to-one harmonic mappings / E. Heinz // Pacific J. Math. — 1959.-Vol. 9.-P. 101-105.

46. Hengartner, W. On schlicht mappings to domains convex in one direction / W. Hengartner, G. Schober // Comment. Math. Helv. — 1970. —Vol. 45.— P. 303-314.

47. Kayumov, I.R. The law of the iterated logarithm for locally univalent functions / I.R. Kayumov // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. — 2002.— Vol. 27, no. 2.-P. 357-364.

48. Kayumov, I.R. On Brennan's conjecture for a special class of functions / I.R. Kayumov // Math. Notes. - 2005. -Vol. 78.-P. 498-502.

49. Kayumov, I.R. Lower estimates for integral means of univalent functions / I.R. Kayumov // Arkiv fUr Matematik. — 2006. — Vol. 44, no. 1. —P. 104-110.

50. Kayumov, I.R. On the analytic part of univalent harmonic mappings / I.R. Kayumov, S. Ponnusamy, L.A. Xuan // Complex Analysis and Operator Theory. -2018. -Vol. 12, no. 5.-P. 1291-1301.

51. Kayumov, I.R. Rotations of convex harmonic univalent mappings / I.R. Kayumov, S. Ponnusamy, L.A. Xuan // Bulletin des Sciences Mathématiques.— 2019.-Vol. 155, no. 6.-P. 1-9.

52. Littlewood, J.E. On inequalities in the theory of functions / J.E. Littlewood // Proc. London Math. Soc. -1925.-Vol. 23, no. 2.-P. 481-519.

53. Löwner, K. Untersuchungen äber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I. / K. Lowner // Math. Ann. -1923. —Vol. 176. — P. 61-94.

54. Makarov, N.G. A note on the integral means of the derivative in conformal mapping / N.G. Makarov // Proc. Amer. Math. Soc. — 1986.— Vol. 96.— P. 233-236.

55. Nitsche, J.C.C. Uber eine mit der Minimalflachengleichung zusammenhangende analytische Funktion und den Bernsteinschen satz /

J.C.C. Nitsche // Archiv der Math. (Basel). - 1956. -Vol. 7.-P. 417-419.

56. Nitsche, J.C.C. On harmonic mappings / J.C.C. Nitsche // Proc. Amer. Math. Soc. -1958.-Vol. 9.-P. 268-271.

57. Nitsche, J.C.C. On the constant of E. Heinz / J.C.C. Nitsche // Rend. Circ. Mat. Palermo. -1959. -Vol. 8.-P. 178-181.

58. Nitsche, J.C.C. Zum Heinzschen Lemma über harmonische Abbildungen / J.C.C. Nitsche // Archiv der Math. (Basel). - 1963. -Vol. 14. P. 407-410.

59. Nowak, M. Integral means of univalent harmonic maps / M. Nowak // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Sect. — 1996. —Vol. 50.— P. 155-162.

60. Ozawa, M. On the Bieberbach conjecture for the sixth coefficient / M. Ozawa // Kodai Math. Sem. Rep. -1969.-Vol. 21.-P. 97-128.

61. Pederson, R. A proof of the Bieberbach conjecture for the sixth coefficient / R. Pederson // Arch. Rational Mech. Anal. -1968.-Vol. 31.-P. 331-351.

62. Pederson, R. A proof of the Bieberbach conjecture for the fifth coefficient / R. Pederson, M. Schiffer // Arch. Rational Mech. Anal. — 1972.—Vol. 45.— P. 161-193.

63. Pommerenke, C. Boundary Behaviour of Conformal Maps / Ch. Pom-merenke. — Berlin: Springer-Verlag, 1992. — 306 p.

64. Ponnusamy, S. On the coefficient conjecture of Clunie and Sheil-Small on univalent harmonic mappings / S. Ponnusamy, A. Sairam Kaliraj // Proc. Indian Acad. Sci.-2015.-Vol. 125, no. 3.-P. 277-290.

65. Ponnusamy, S. Coefficients of univalent harmonic mappings / S. Ponnusamy, A. Sairam Kaliraj, V.V. Starkov // Monatsh. Math. — 2018. — Vol. 186, no. 3. - P. 453-470.

66. Ponnusamy, S. Classification of univalent harmonic mappings on the unit disk with half-integer coefficients / S. Ponnusamy, J. Qiao // J. Aust. Math. Soc. -2015.-Vol. 98.-P. 257-280.

67. Ponnusamy, S. Characterization of univalent harmonic mappings with integer or half-integer coefficients / S. Ponnusamy, J. Qiao // Analysis. — 2017. —

Vol. 37, no. 1.-P. 23-38.

68. Ponnusamy, S. Planar Harmonic and Quasiregular Mappings / S. Ponnusamy, A. Rasila // RMS Lecture Notes Series: Topics in Modern Function Theory / Ed. by S. Ruscheweyh, S. Ponnusamy. — India: Ramanujan Mathematical Society, 2013.-Vol. 19.-P. 267-333.

69. Ponnusamy, S. Radius of convexity of partial sums of functions in the close-to-convex family / S. Ponnusamy, S. Kumar Sahoo, H. Yanagihara // Nonlinear Analysis. -2014. -Vol. 95.-P. 219-228.

70. Ponnusamy, S. Variability regions for certain families of harmonic univalent mappings / S. Ponnusamy, H. Yamamoto, H. Yanagihara // Complex Var. Elliptic Equ. -2013.-Vol. 58, no. 1.-P. 23-34.

71. Rado, T. Uber den analytischen Charakter der Minimalflachen / T. Rado // Math. Z. -1926.-Vol. 24.-P. 321-327.

72. Robertson, M.S. Analytic functions starlike in one direction / M.S. Robertson // Am. J. Math. -1936.-Vol. 58.-P. 465-472.

73. Robertson, M.S. On the theory of univalent functions / M.S. Robertson // Annals of Mathematics. -1936.- Vol. 37, no. 2.-P. 374-408.

74. Robertson, M.S. A remark on the odd schlicht functions / M.S. Robertson // Bull. Amer. Math. Soc. -1936.-Vol. 42.-P. 366-370.

75. Rogosinski, W. On the coefficients of subordinate functions / W. Rogosinski // Proc. London Math. Soc. -1943.-Vol. 48, no. 2.-P. 48-82.

76. Royster, W.C. Univalent functions convex in one direction / W.C. Royster, M. Ziegler // Publ. Math. Debrecen. - 1976. -Vol. 23.-P. 339-345.

77. Sheil-Small, T. Constants for planar harmonic mappings / T. Sheil-Small // J. London Math. Soc. -1990.-Vol. 42.-P. 237-248.

78. Starkov, V.V. Univalence of harmonic functions, problem of Ponnusamy and Sairam, and constructions of univalent polynomials / V.V. Starkov // Issues Anal. -2014.-Vol. 3, no. 21.-P. 59-73.

79. Wang, X.T. Precise coefficient estimates for close-to-convex harmonic uni-

valent mappings / X.T. Wang, X.Q. Liang, Y.L. Zhang // J. Math. Anal. Appl.-2001.-Vol. 263, no. 2. — P. 501-509.

Список иллюстративного материала

3.1 Область П................................................................63

3.2 Область Ф^(П) ..................................66

3.3 Рис. 3.3 ..................................................................69

3.4 Рис. 3.4 ..................................................................70

3.5 Рис. 3.5 ..................................................................70

3.6 Область Ф| (П)..........................................................73

3.7 Область Ф0(П) ..........................................................74

3.8 Г отображает круг Ю на п-выпуклую область П (случай п = 3 . 77

3.9 Кривая Ф(7^)............................................................78

3.10 Область Ик и ее обр аз )..........................................79

3.11 Область К(Ю)............................................................80