Применения принципа площадей и структурных формул к конформным и гармоническим отображениям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Григорьев, Виктор Вадимович

• Григорьев, Виктор Вадимович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Григорьев, Виктор Вадимович

ВВЕДЕНИЕ

§1. Исторический обзор и проблематика

ГЛАВА 1 . ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИНЦИПА ПЛОЩАДЕЙ К ОДНОЛИСТНЫМ ФУНКЦИЯМ

КЛАССОВ С И

§2. Точные коэффициентные неравенства для однолистных функций класса С Каратеодори

§3. Критерий однолистности функции класса Каратеодори.

§4. Оценки начальных коэффициентов в классе S, зависящие от радиусов кругов покрытия элементов

ГЛАВА 2 . ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИНЦИПА

ПЛОЩАДЕЙ К ОДНОЛИСТНЫМ ФУНКЦИЯМ

КЛАССОВ С5, SM И S

§5. Новые серии точных коэффициентных неравенств в подклассах Cs[n] класса Cs

§6. Асимптотически точные оценки начальных коэффициентов в подклассах класса Sm

§7. Применение принципа площадей к оценке третьего коэффициента в классе 5[/о].

Точные оценки логарифмических коэффициентов в классе

ГЛАВА 3. МЕТОД СТРУКТУРНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ ЛОКАЛЬНО ОДНОЛИСТНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

§8. Вывод структурной формулы для локально однолистных гармонических отображений

§9. Оценки коэффициентов, теорема покрытия и константы квазиконформности в классах Sjj (а)

§10. Исследование классов гармонических отображений, ассоциированных с р-кратно симметричными однолистными функциями

§11.Гармонические отображения, ассоциированные с конформными отображениями из классов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применения принципа площадей и структурных формул к конформным и гармоническим отображениям»

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР И ПРОБЛЕМАТИКА

1. Полуторовековая история геометрической теории функций комплексного переменного берет начало в трудах великого немецкого математика Б. Римана. В 1851 г. он защитил докторскую диссертацию на тему "Основы общей теории функций одной комплексной переменной" , а три года спустя прочитал свою знаменитую лекцию " О гипотезах, лежащих в основании геометрии". В них были введены фундаментальные математические понятия "многократно протяженной величины" (риманова пространства, дифференцируемого многообразия), многолистной римановой поверхности, конформного отображения, аналитического продолжения и другие. Идеи Римана пролили свет на истинную природу понятия многозначной функции. Были введены понятия однолистной и многолистной функции и важный "принцип Дирихле", положенный в основу доказательства знаменитой теоремы Римана о конформных отображениях. Данная К. Вейер-штрассом критика принципа Дирихле низвела доказательство Римана на уровень эвристических суждений, и только сорок лет спустя почти одновременно появились три строгих доказательства теоремы о существовании и единственности однолистного конформного отображения односвязной области с границей, содержащей более одной точки, на круг. Их авторами были Д. Гильберт, А. Пуанкаре и П. Кебе. Столь долгий период поиска строгого обоснования принципа Дирихле отмечен важными вехами становления и развития геометрической теории 4 функций. Вейерштрасс создал строгую теорию аналитического продолжения на основе степенных рядов. Пуанкаре построил теорию ав-томорфных функций, связал ее с теорией римановых поверхностей и неевклидовой геометрией Лобачевского. Ф. Клейн и Г.А. Шварц также развили тополого-алгебраические методы и широко использовали идею симметрии для решения задач геометрической теории функций. Знаменитая теорема Пуанкаре-Кебе-Клейна об униформизации аналитических функций была непосредственной предшественницей первых исследований геометрических свойств классов однолистных голоморфных функций. Речь идет о доказанной П. Кебе почти сто лет назад, в 1907 г., теореме о покрытии в классе нормированных однолистных функций. Теория конформных отображений получила значительное развитие в связи с тем, что было начато систематическое изучение классов однолистных функций в заданной области, то есть тех функций, которые реализуют различные подходящим образом нормированные конформные отображения этой области. Причем в качестве таких областей обычно берутся канонические области -единичный круг, его внешность, полуплоскость, прямолинейная полоса, круговое кольцо. Основной результат теории состоит в том, что классы однолистных функций образуют нормальные семейства. Как следствие получаем, что каждая экстремальная относительно заданного непрерывного функционала А(/) задача в таком классе имеет по крайней мере одно решение. В случае задачи на минимум (максимум) можно иметь дело с полунепрерывными снизу (сверху) функционалами. Именно этот подход позволил получить строгие доказательства римановой теоремы о конформном отображении односвязной области на круг, теорем Гильберта, Голузина, Шиффера о конформных отображениях многосвязной области на канонические области с разрезами. Классы однолистных функций наделены топологией локально равномерной сходимости элементов.

2. В настоящей диссертации одно из центральных мест занимает впервые рассмотренный К. Каратеодори [64] и О. Теплицем [82] класс С голоморфных в круге А := {z € С : \z\ < 1} функций p(z), имеющих положительную реальную часть и нормированных условием р(0) = 1. Каждый элемент р € С представляется в А рядом Тейлора: оо рМ = 1 + 5>я*я. (1) п=1

Очевидно, что выпуклая линейная комбинация элементов Pi,P2," т ,Рп класса С принадлежит классу С. Наличие выпуклой структуры на С позволяет доказать следующий классический результат.

Теорема А. (Рисса-Герглотца) Необходимым и достаточным условием принадлежности функции p(z) классу Каратеодори является ее представимость интегралом Стильтьеса: гк 1 L eitz T^V4dp{t)' (1Л) где р - борелевская вероятностная мера на промеоюутке [—7Г, 7г].

С помощью этого критерия легко выводятся интегральные параметрические представления для классов функций, выпуклых и однолистных, звездообразных и однолистных в круге и других. 6

Каратеодори и Теплиц решили задачу точного описания множества значений системы коэффициентов {(pi,••• 5Pn)}> n > 1 на классе С.

Теорема В. (Каратеодори-Теплица) Множество значений системы коэффициентов {(pi, • • • ,Рп)Ь п>1 на классе С есть замкнутое выпуклое ограниченное множество Кп точек п ~ мерного комплексного евклидова пространства Сп для которых определители

2 Pi Рк

Pi 2 ■ • Рк-1

Р2 Pi • • Рк-2 pk pk-i . 2

1 < к < п, либо все положительны, либо положительны до какого-то номера, начиная с которого все равны нулю. Последний случай отвечает принадлежности точки (pi, • • • ,рп) границе дКп тела коэффициентов Кп. Каждой граничной точке этого тела отвечает только одна функция класса С и она имеет вид выпуклой линейной комбинации

Ек \ z д-jt—

1 — егЪи z

V~\ с положительными коэффициентами Х», причем 1 < к < п и tu t^ при fi Ф У, /i, У = 1, • • • ,72.

Представляя ядро Шварца

ГгЙ- tsR' (1'2) 7 в (1.1) рядом Тейлора, почленно интегрируя его и пользуясь норми-рованностью меры р, можно получить точные оценки \рп\ < 2, экстремалями которых являются ядра Шварца. Более того, областями значений функционалов рп = рп(р) являются круги с центром в начале координат радиуса 2.

Областью значений функционала p{z$) на классе С (zq- фиксированная точка единичного круга) является круг, диаметром которого служит отрезок

-1-Ы i + N]

Ll + |^o|' l-\zo\\'

Граничные точки круга вносятся только ядрами Шварца. Если ввести бесконечную матрицу

А =

2 Pi Р2 Рз

Pi 2 • Р2

Р2 Pi 2 Р1

Pi

Рк Pk-i ■ • \. то с учетом приведенных фактов можно привести следующую формулировку критерия Каратеодори-Теплица.

Теорема С. Множество значений системы коэффициентов {{Pi,P2i" ')} па классе С есть замкнутое выпуклое множество К точек бесконечномерного комплексного пространства С°°, определяемого условием неотрицательности всех главных миноров матрицы 8

А. Область коэффициентов Z?oo(C) •= К является подмножеством декартова произведения кругов \ри\ < 2, и € N. Граничные точки множества К характеризуются обращением в нуль главных миноров матрицы А, начиная с некоторого.

Класс Каратеодори порядка а, 0 < а < 1, обозначаемый символом С(а), состоит из голоморфных в единичном круге функций p(z), нормированных условием р(0) = 1 и принимающих значения в полуплоскости Rew > а. Его элементы имеют интегральные представления вида

Гт 1 л. eitz p(z) = ( 1-а) ^ i±—|dp(t) + a.

В диссертации будет изучаться подкласс Cs класса С, образуемый однолистными функциями.

3. Упомянутый выше результат Кебе привлек внимание Й. Пле-меля, Т. Гронуолла, Г. Пика, Г. Фабера, JI. Бибербаха. Гронуолл (1914) первым применил так называемый "принцип площадей" (площадь неотрицательна) к доказательству утверждения о том, что если функция оо и=1 однолистна в А и голоморфна за исключением простого полюса в начале координат, то выполняется точное неравенство площадей схэ

Ыа<1и=1

Два года спустя Бибербах [40] и Фабер нашли точное значение константы Кебе - радиуса круга покрытия для класса S, образуемого 9 однолистными в Д голоморфными функциями f(z) = Z + ап гП

Она оказалась равной 1/4, а функции (i + kp' ф 6 м> получившие впоследствии название (лучевых) функций Кебе, оказались экстремальными и в ряде других задач.

Одновременно Бибербах доказал, что в классе S выполняется точная оценка |аг| < 2 с функциями Кебе в качестве единственных экстремалей и высказал ставшее широко известным предположение (гипотезу Бибербаха) о том, что в классе S для всех п € N имеют место точные оценки \ап\ < п с теми же экстремальными функциями. Тогда же была поставлена проблема коэффициентов Бибербаха, требующая точного описания области Vn в евклидовом пространстве размерности 2п — 2, заполняемой точками (Reai, Ima2, • • • , Rean, Iman), где (&2, «з, • • * , «п.) ~ векторы, образуемые начальными тейлоровскими коэффициентами функций f S. Проблемы о влиянии однолистности отображения на величины коэффициентов отображающих функций и структуру го-тел коэффициентов Vn были, очевидно, навеяны работами Каратеодори и Теплица о телах коэффициентов функций класса С.

Первого успеха в доказательстве гипотезы Бибербаха достиг в 1923 г. чешский математик К. Левнер [75]. Он развил метод параметрических продолжений конформных отображений класса S с помощью решений специального дифференциального уравнения (уравнения Левнера), правая часть которого представляла собой однопараметрическое семейство ядер Шварца. Здесь впервые обнаружилась

10 связь класса S с классом Каратеодори. На этом пути Левнеру удалось доказать гипотезу Бибербаха для п = 3. Другие доказательства неравенства |аз| <3 впоследствии были получены А. Шеффером и Д. Спенсером (1943), Г.М. Голузиным (1946), Дж. Дженкинсом (1951) и Л. де Бранжем (1984). Эти и другие подобные доказательства следует рассматривать как пробные камни для используемых методов оперирования с экстремальными проблемами конформного отображения, и основное значение проблем Бибербаха в действительности состоит в том, что они бросают вызов нашим методам в этой области. Не случайно каждое из продвижений происходило как результат развития или усовершенствования какого-либо метода в теории однолистных функций. Две проблемы Бибербаха, а также риманова проблема модулей в XX веке в немалой мере способствовали возникновению и совершенствованию глубоких и эффективных методов комплексного анализа: площадей и контурного интегрирования (Г. Грунский, Н.А. Лебедев, И.М.Милин, Л.Л. Громова, О. Лехто, В.Я.Гутлянский, Л. Альфорс, В.Г. Шеретов, А.З. Гриншпан, Э. Хой и другие; см.[18], [20], [55-59], [5], [34], [36], [37], [87, 88], [92-94], [99]); внутренних и граничных вариаций конформных и квазиконформных отображений (Г.М.Голузин, М.А. Лаврентьев, М. Шиффер, А. Шеффер, Д. Спенсер, Л. Альфорс, Л. Берс, П.П. Белинский, К.И. Бабенко, С.Л. Круш-каль, Р. Кюнау, В.Я.Гутлянский, В.И. Рязанов, В.Г. Шеретов и другие; см. [4-8], [10], [14-17], [60], [32], [33], [35], [62], [89-91]); модулей и экстремальных метрик (Г. Греч, О. Тейхмюллер, Л. Альфорс, А. Берлинг, Л. Берс, Дж. Дженкинс, В.А. Зорич, Б.В. Шабат, П.М.

Тамразов, Г.В. Кузьмина, Р. Кюнау, В.Г. Шеретов, А.Ю. Васильев и другие; см. [5, б], [10, 11], [13], [19], [26], [29], [30], [86]); параметрических продолжений и методов оптимального управления (К. Левнер, П.П.Куфарев, И.А. Александров, В.И. Попов, В.Я.Гутлянский, Д.В. Прохоров, А.Ю.Васильев и другие; см. [2, 3], [75], [81]); симметриза-ций (Г. Пойа, Д. Cere, М. Маркус, И.П. Митюк, В.Н.Дубинин, А.Ю. Солынин, Л.В. Ковалев и другие; [22-25], [11], [31], [61], [77] [65]); структурных формул (К. Каратеодори, И.А. Александров, В.А. Змо-рович, В.В. Черников, В. Хенгартнер, В.Г. Шеретов и другие; см. [2], [83], [95, 96], [98]). Сферы применимости этих методов нередко выходят за рамки геометрической теории аналитических функций. Приведенный перечень методов и авторов весьма субъективен и далек от исчерпывающего. Вне его рамок остался метод Л. де Бранжа [41], позволивший ему дать полный положительный ответ на гипотезу Бибербаха. Перспективными в теории отображений представляются современные методы голоморфной динамики [21], а также новые методы С.Л. Крушкаля [15], [42], [69, 70], Ф.Г. Авхадиева [1]. В.И. Рязанова, В.Я. Гутлянского, В.В. Горяйнова, Г. Давида, В.В. Чуешева и другие.

4. Продолжим обзор исследований о коэффициентах функций класса S. Впервые оценка [ад] < 4 была получена П. Гарабедяном и М. Шиффером [43], после чего Альфорс [36] доказал ее методом площадей, хотя оценка |аз| < 3 для этого метода казалась недосягаемой. Лишь недавно В.Г. Шеретовым [99] был предложен усиленный вариант метода площадей в метриках аналитических квадратичных диф

12 ференциалов, заданных на многолистных римановых поверхностях, открывший новые возможности, используемые и в настоящей диссертации.

Ранее де Бранжа были получены доказательства гипотезы Бибербаха для п = б (Р. Педерсон [79], 1968 г.) и для п = 5 (Р. Педерсон и М. Шиффер [78], 1972 г.). Оба они, особенно последнее, весьма громоздки. В 2002 г. В.Г. Шеретов [99] получил эти оценки методом площадей в подклассе, содержащем класс 5*, как следствие новых серий точных неравенств, связывающих начальные тейлоровские коэффициенты.

Главы 1 и 2 настоящей диссертации посвящены применениям двух вариантов метода площадей В.Г. Шеретова [93], [97], [99] к задачам о коэффициентах однолистных функций класса Каратеодори. Доказан коэффициентный критерий однолистности функции р € С. Дан вывод неравенств типа Альфорса [36], связывающих начальные тейлоровские коэффициенты функций классов Cs, S, а также совместно с научным руководителем получено доказательство оценки |аз| < 3 в подклассе 5[/о] класса S методом площадей. Установлены верхние оценки начальных тейлоровских коэффициентов аз, сц, а5 функций из подклассов класса Sm j зависящие от параметра М и асимптотически точные при М —> оо. Найдены точные оценки всех логарифмических коэффициентов в подклассе S* класса S, образуемом звездными функциями.

Проблема описания п - тел коэффициентов Vn и получения ко

13 эффициентных критериев однолистности также оставалась в центре исследований. В 1939 г. Грунский получил в [58] важный критерий однолистности в терминах введенных им коэффициентов называемых ныне коэффициентами Грунского однолистной функции. В известной монографии А. Шеффера и Д. Спенсера [32] дано точное описание тела коэффициентов V2 = D2(S). Другие критерии однолистности были установлены Г.М. Голузиным, И.Е. Базилевичем, В.Я. Гутлянским, причем последний завершил начатое К. Левнером и продолженное П.П. Куфаревым исследование связи между классами S и С. В.Г. Шеретов в 1985 г. применил метод площадей для получения счетной системы точных коэффициентных неравенств, вполне характеристической для области коэффициентов оо(5) := {(а2, «з, • • •) е С°° : оп = /(п)(0)М п = 2,3, • • • , / G 5}.

Этот результат дает алгоритмическое решение проблемы коэффициентов Бибербаха. Он изложен в главе 5 докторской диссертации [33] и в усиленной форме опубликован в статье [97].

Эти и многие другие исследования нашли отражение в монографической литературе [1-33], [34, 35]. Интересно отметить, что класс Каратеодори находится в тесной связи с классом В голоморфных в круге Д функций /, не обращающихся в нуль и таких, что \f(z)\ < 1. До настоящего времени не решена гипотеза Я. Кшижа [72] о том, что для любой функции / € В выполняются точные оценки \an(f)\ < 2е-1, экстремали которой ассоциированы с ядром Шварца. Некоторые результаты по проблеме Кшижа можно найти в [73, 74], [80], [85], [100].

14

5. Предметом диссертационных исследований являются также аналитические функции с квазиконформными продолжениями и гармонические отображения.

Основоположниками теории квазиконформных отображений были Г. Греч и М.А. Лаврентьев (1928). В настоящее время это обширная область математики [4], [6], [9], [14, 15], [17], [19], [24], [29, 30], [33, 34], [60] [69-71], [86-92], переросшая рамки геометрической теории функций, в недрах которой она зародилась.

Напомним, что соболевским гомеоморфизмом называется решение / уравнения Бельтрами /г = ц/z с измеримым коэффициентом \i{z), IMloo < 1? реализующим сохраняющее ориентацию топологическое отображение плоской области D на область f(D) С С. Если / -диффеоморфизм, то обобщенные производные fz и fe совпадают с формальными производными fz~ 2[дх W ~ 2[дх + W'

Функция \х называется комплексной характеристикой соболевского гомеоморфизма /. Если ||//||оо = к < 1? то / называется к - квазиконформным гомеоморфизмом (отображением). Квазиконформное отображение - это к - квазиконформное отображение при некотором к, 0 < к < 1. 0 - квазиконформные отображения и только они являются конформными отображениями первого рода. Якобиан Jj квазиконформного отображения / определен почти всюду в D формулой Jj = \fz\2 — \ fz\2 и почти всюду в D положителен. Если / конформное отображение области D, то J/ = |/'|2.

15

Определим еще действительные (локальные) характеристики p/(z) YL0f(z) квазиконформного отображения /, введенные М.А. Лаврентьевым (см. [9]). Они следующим образом выражаются через комплексную характеристику fi = fif. ч 1 + И*)1 а / ч я" 1 p/(z)=rrai'w = 2+ 2arg

В общем случае эти функции определены почти всюду на подмножестве, где fi(z) ф 0. Если fi(z) = 0, то p/(z) = 1, а вторая лав-рентьевская характеристика 9/(z) не определена. Геометрический смысл характеристик p/{z), 9j{z) заключается в том, что в точке диф-ференцируемости z отображения / бесконечно малый эллипс с центром z, отношением большой и малой полуосей равным Pf{z) и углом наклона его большой оси к оси абсцисс, равным 9f(z) преобразуется гомеоморфизмом / в бесконечно малую окружность с центром w = f{z). Квазиконформные диффеоморфизмы обладают этим локальным свойством в каждой точке отображаемой области, то есть являются локально аффинными преобразованиями. Конформные отображения преобразуют бесконечно малые окружности в бесконечно малые окружности.

Функционал К[/] ||р/|1>|| оо называется коэффициентом квазиконформности отображения / в области D. Он связан с существенной нормой комплексной характеристики к/ := Ц/х/^Цоо (или дилатаци-ей отображения /) в области D соотношением К[/] = (1 + kf)/( 1 — kf). Анализ задачи Греча-Тейхмюллера о минимизации К[/] в свободных гомотопических классах квазиконформных гомеоморфизмов компактных римановых поверхностей привел к решению восходящей

16 к Риману проблемы модулей алгебраических кривых и построению глубокой теории пространств Тейхмюллера [4], [6], [8], [14]. Э. Рейх, К. Штребель, В.Г.Шеретов [33], [89-90] и другие качественно исследовали задачу Гретча-Тейхмюллера для единичного круга и открытых римановых поверхностей.

В диссертации будут рассмотрены некоторые свойства классов 5^(оо), образуемых к - квазиконформными автоморфизмами римановой сферы С, таких, что /(оо) = оо и ограничения / на единичный круг принадлежат классу S. Эти и другие родственные классы квазиконформных отображений являются предметом современных исследований. Здесь они будут изучаться с помощью метода площадей.

Параллельно с 1926 г. развивалась теория гармонических отображений, имеющая тесные связи с конформными, квазиконформными отображениями и минимальными поверхностями. Авторами первых исследований были Т. Радо, X. Кнезер, Г. Шоке, Л.Д. Кудрявцев. Плоские евклидовы гармонические отображения реализуются комплекснозначными гармоническими функциями вида / = д + h, где д и h - голоморфные функции в отображаемой области. С каждым гармоническим отображением ассоциируются первая комплексная характеристика fj, := ~д'/h!, вторая комплексная характеристика и := g'/hякобиан J/ = \h'\2 — \д'\2, квадратичный дифференциал Хопфа ip(z)dz2 := д' h' dz2. Комплексная характеристика представи-ма в виде fi(z) = k(z) где k{z) — |д'/h'\ < 1. Если ||/i||oo =: к < 1, то / является к -квазиконформным отображением типа Тейхмюллера. Такие отображения нередко возникают как экстремали задач

17 квазиконформного отображения. В работах Дж. Клуни и Т. Шейл Смолла [66], В. Хенгартнера и Г. Шобера [83, П. Дюрена и В. Хенгарт-нера [63], А. Лизайка [76], и других были изучены свойства некоторых классов однолистных гармонических отображений, обобщающих класс S.

В.Г. Шеретов [95, 96], [98] предложил новый метод исследования классов локально однолистных гармонических отображений - метод структурных формул, связывающих эти классы с классами С, S. С помощью этого метода получены основные результаты третьей главы диссертации, связанные с оценками коэффициентов, теоремами покрытия и параметрами квазиконформности рассматриваемых отображений.

Приложение включает исходный текст программы для построения некоторых новых фракталов типа множеств Мандельброта и Жюлиа, в том числе - квазидисков, изображения этих фракталов и приближенные построения линий уровня функций Грина для соответствующих множеств Фату.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Григорьев, Виктор Вадимович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подведем итоги и выделим основные положения работы, выносимые на защиту.

На протяжении XX столетия были достигнуты впечатляющие успехи в геометрической теории функций - теории римановых поверхностей, конформных, квазиконформных, гармонических отображений. Возникали и укреплялись многообразные перекрестные связи с другими ветвями современной математики и выходами во внематемати-ческие приложения. Последняя треть века отмечена решением крупных проблем в теории однолистных функций, теории экстремальных квазиконформных и гармонических отображений с выходами в тейх-мюллеровы пространства. Определяющий вклад в развитие методов геометрической теории функций внесли отечественные математики. Наряду с аналитическими, все больший вес приобретают численные методы, использование пакетов аналитических вычислений Maple 8.00 фирмы Waterloo Maple Inc., Mathcad фирмы Enhanced Engineering h Education, Inc. и других.

Данная диссертация посвящена применению разных вариантов метода площадей и метода структурных формул к задачам об оценках коэффициентов и о покрытии в известных и новых классах отображений (конформных, в том числе - с квазиконформным продолжением, р-кратной круговой симметрией, ограниченных; локально однолистных гармонических). На защиту выносятся следующие основные положения: доказательство неравенств площадей для подкласса Cs, образуемо

90 го однолистными в единичном круге А функциями р из класса С Каратеодори и подклассов Сд класса Cs, образуемых ограничениями на А к- квазиконформных автоморфизмов р римановой сферы; получение путем специализаций аналога неравенства Альфорса и других коэффициентных неравенств; доказательство критерия принадлежности функции р € С подклассу Cs в форме счетной системы точных коэффициентных неравенств; получение оценок второго и третьего тейлоровских коэффициентов функций из классов 5, Sk (оо), зависящих от радиусов кругов покрытия этих функций; применение принципа площадей к получению новых серий точных коэффициентных неравенств в подклассах Cs[n] класса Cs', вывод асимптотически точных при М —> оо оценок тейлоровских коэффициентов аз, сц, as в подходящих подклассах класса Sm', получение точной оценки, связывающей второй и третий коэффициенты в подклассе S[fo] класса S, и следующей из нее точной оценки модуля третьего коэффициента в этом подклассе; применение метода структурных формул к получению точных оценок всех коэффициентов локально однолистных гармонических отображений, генерируемых функциями класса S и функциями из обобщенного класса Каратеодори С (а); вычисление обобщенной константы Кебе, оценка коэффициентов квазиконформности; исследование классов локально однолистных гармонических отображений, ассоциированных с р - кратно кругосимметричными однолистными функциями из классов Sp и (оценки начальных коэффициентов и обобщенных констант Кебе).

Новые методы В.Г. Шеретова, использованные в диссертации, весьма перспективны.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Григорьев, Виктор Вадимович, 2003 год

1. Авхадиев Ф.Г.Конформные отображения и краевые задачи. Казань, 1996. 216 с.

2. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. 344 с.

3. Александров И.А. Введение в геометрическую теорию функций. Донецк, 1972. 335 с.

4. Альфорс JI. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969. 134 с.

5. Ahlfors L.V. Conformal Invariants: Topics in Geometric Function Theory. N.Y., 1973. 157 p.

6. Альфорс Л., Берс Jl. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М., 1961. 177 с.

7. Бабенко К. И. К теории экстремальных задач для однолистных функций класса S // Труды матем. ин-та им. В. А. Стек-лова АН СССР. 1972. Т. 101. С. 1-318.

8. Белинский П. П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974. 99 с.

9. Волковыский Л. И. Квазиконформные отображения. Львов: Львовск. гос. ун-т, 1954. 155 с.

10. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексногопеременного. М.: Наука, 1966. 628 с.104

11. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М.: ИЛ, 1962. 266 с.

12. Дубровин Б.А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. Москва Ижевск, 2001. 152 с.

13. Кузьмина Г. В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы // Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. Ленинград: Наука, 1980. 241 с.

14. Крушкаль С. Л. Квазиконформные отображения и римановы поверхности. Новосибирск: Наука, 1975. 196 с.

15. Крушкаль С.Л., Кюнау Р. Квазиконформные отображения -новые методы и приложения. Новосибирск: Наука, 1984. 216 с.

16. Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. М.: ИЛ, 1953. 311 с.

17. Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. М., 1962. 136 с.

18. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975. 336 с.

19. Lehto О., Virtanen K.I. Quasiconformal Mappings in the Plane. Berlin: Springer-Verlag, 1973. 260 p.

20. Милин И.М. Однолистные функции и ортонормированные системы. М.: Наука, 1971. 256 с.

21. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Ижевск, 2000. 320 с.

22. Митюк И.П. Симметризационные методы и их применение105в геометрической теории функций. Введение в симметриза-ционные методы. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 1980. 91 с.

23. Митюк И.П. Применение симметризационных методов в геометрической теории функций. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 1985. 95 с.

24. Митюк И.П., Шеретов В.Г., Щербаков Е.А. Плоские квазиконформные отображения. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 1979. 83 с.

25. Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. М., 1956. Т. 1 396 е., Т. 2 - 432 с.

26. Pommerenke Ch. Univalent Functions. Gottingen, 1975. 375 p.

27. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М., 1960. 444 с.

28. Суетин П. К. Ряды по многочленам Фабера. М.: Наука, 1984, 336 с.

29. Суворов Г.Д. Обобщенный "принцип длины и площади" в теории отображений. Киев, 1985. 277 с.

30. Teichmiiller О. Extremale Quasikonforme Abbildungen und Quadr-atische Differentiate // Abhand. Preuss. Akad. Wiss. Math.-Naturwiss. Kl. 1939. N. 22. S. 1-198.

31. Хейман В.К. Многолистные функции. М.: ИЛ, 1955. 435 с.

32. Schaeffer А. С., Spenser D. С. Coefficient Region for Schlicht

33. Functions. AMS Colloq. Publ. V. 35. N-Y., 1950. 314 p.106

34. Шеретов В. Г. Квазиконформные отображения, экстремальные относительно своих граничных значений. Дисс.- • • доктора физ.-мат. наук. Краснодар, 1988. 322 с.

35. Шеретов В.Г. Аналитические функции с квазиконформным продолжением. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1991. 60 с.

36. Шиффер М., Спенсер Д.К. Функционалы на конечных рима-новых поверхностях. М., 1957. 347 с.

37. Альфорс J1. Неравенство между коэффициентами <22 и <24 однолистной функции // Некоторые проблемы математики и механики. Л., 1970. С. 71-74.

38. Ahlfors L.V. A Remark on Schlicht Functions with Quasiconfor-mal Extension // London Math. Soc. Lecture Notes Ser. 1974. N. 12. P. 3-10.

39. Баранова O.E. Некоторые применения метода площадей к классам аналитических функций с квазиконформным продолжением. Дисс. • • • канд. физико-математических наук. Тверь, 2001. 112 с.

40. Bieberbach L. Uber einige Extremalproblem in Gebiete der Kon-formen Abbildung // Math. Annalen. 1916. Bd. 77. S. 153-172.

41. Bieberbach L. Uber die Koeffizient Derjenigen Potentreihen, wel-che eine Schlichte Abbildung des Einheitskreises Vermitteln // Sitzungsbereichite Konig. Preuss. Akad. 1916. P. 940-955.

42. De Branges L. A. A Proof of the Bieberbach Conjecture // Acta

43. Math. 1985. V. 154. P. 137-152.107

44. Earle C.J., Kra I., Krushkal S.L. Holomorphic Motions and Teichmiiller spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1994. V. 343. P. 927-948.

45. Garabedian P., Schiffer M. A Proof of the Bieberbach Conjecture for the Fourth Coefficient //J. Ration. Mech. Anal. 1955. V. 4, N. 3. P. 187-238.

46. Григорьев В.В. Приложения метода площадей к конформным отображениям класса Каратеодори // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2002. С. 30-40.

47. Grigoryev V.V., Sheretov V.G. Coefficient Univalence Criterion for the Functions from Carateodory Class // International Workshop on Potential Flows and Complex Analysis. Ukraine, Kiev, 23-29 September 2002. Program and Abstracts. Kiev, 2002. P. 21-22.

48. Григорьев В.В. Коэффициентные неравенства для однолистных функций класса Каратеодори // Труды Международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания"., 2002. С. 35-40.

49. Григорьев В.В., Шеретов В.Г. Новые приложения принципа площадей к однолистным функциям // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 20-40.

50. Григорьев В.В. Применения метода структурных формул к108локально однолистным гармоническим отображениям // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2002. С. 40-60.

51. Григорьев В.В. Неравенства для начальных коэффициентов функций класса S, зависящие от радиусов кругов покрытия элементов // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 60-47.

52. Григорьев В.В., Шеретов В.Г. Новые приложения принципа площадей // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов Воронежской Зимней математической школы. Воронеж, 26 янв. 2 февр. 2003 г. С. 20.

53. Григорьев В.В. Коэффициентные неравенства для однолистных функций класса Каратеодори // Международная конференция "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Тезисы докладов. Обнинск, 2002. С. 34-35.

54. Григорьева В. В., Розова Е. А. О неравенствах, связывающих модули второго и четвертого коэффициентов в классах Sk(оо) // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т, 1996. С. 59-66.

55. Григорьева В. В., Шеретов В.Г. Оценки в классах ограниченных однолистных функций с р-кратной симметрией // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т, 2001. С. 41-46.

56. Григорьева В. В., Шеретов В.Г. Метод структурных формул109для локально конформных отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т, 2002. С. 15-23.

57. Гриншпан А.З. Коэффициентные неравенства для конформных отображений с гомеоморфным продолжением // Сиб. ма-тем. журн. 1985. Т. 26, N. 1. С. 49-65.

58. Громова JI.JI. Некоторые приложения принципа площадей // Вестник Ленинградского гос. ун-та. 1968. N 7. С. 31-40.

59. Громова Л.Л. Приложение принципа площадей к экстремальным задачам конформного отображения неналегающих областей. Дисс • • • канд. физ.-мат. наук. Л.: ЛГУ, 1968.

60. Grunsky Н. Koeffizienten Bedingugen fur Schlicht Abbildende Mero-morphe Funktionen // Math. Zeitschrift. 1939. Bd. 45. S. 29-61.

61. Гутлянский В.Я. О принципе площадей для одного класса ква зиконформных отображений // Докл. АН СССР. 1973. Т. 212, N 3. С. 540-543.

62. Гутлянский В.Я., Шепетев В.А. Точные оценки модуля однолистной аналитической функции с квазиконформным продолжением. Препринт 79.13. Киев: ИМ АН УССР, 1979.

63. Дубинин В.Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, N 1. С. 3-76.

64. Думкин В.В., Шеретов В.Г. О задаче Тейхмюллера для одногокласса открытых римановых поверхностей // Мат. заметки.1101970. Т. 7, N 5. С. 605-615.

65. Duren P., Hengartner W. Harmonic Mappings of Multiply Connected Domains // Pacific J. Math. 1997. V. 180, N 2. P. 201-220.

66. Caratheodory C. Uber die Variabilitatsbereich des Fourierschen Konstanten von Positiv Harmonischen Funktion // Rendiconti Circ. Mat. di Palermo. 1911. V. 32. P.193-217.

67. Ковалев Л.В. Оценки конформного радиуса и теоремы искажения для однолистных функций // Записки научных семинаров ПОМИ. 2000. Т. 263 С. 141-156, 239-240.

68. Clunie J., Sheil-Small Т. Harmonic Univalent Functions // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A 1. Math. 1984. V. 9. P. 3 25.

69. Королева О.Е., Шеретов В.Г. Применение метода площадей к классам пар р-листных k-квазиконформных функций без общих значений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ. 1998. С. 132-143.

70. Krushkal S.L. Univalent Functions and Holomorphic Motions // J. Anal. Math. 1985. V. 66. P.253-275.

71. Krushkal S.L. Exact Coefficient Estimates for Univalent Functionswith Quasiconformal Extension // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1111. 1995. V. 20. P. 349-357.

72. Kiihnau R., Niske W. Abschatzung des Dritten Koefficienten bei den Quasikonform Fortsetzbaren Schlichten Funktionen der Klasse S U Math. Nachr. 1977. Bd. 78. S. 185-192.

73. Krzyz J.G. Problem 1, posed in Fourth Conference on Analytic Functions // Ann. Polon. Math. 1967-1968. V. 20. P.314.

74. Lewandowsky Z., Szynal J. On the Krzyz Conjecture and Related Problems // XVI-th Rolf Nevanlinna Colloquium. Berlin, 1996. P. 257 268.

75. Lewandowsky Z., Szynal J. On the Krzyz Conjecture and Related Problems II // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. 1998. Sect A. V. 52, N. 1. P. 73 82.

76. Lowner K. Untersuchungen iiber Schlichte Konforme Abbildung des Einheitkreises // J. Math. Ann. 1923. Bd. 89. S. 103-121.

77. Lyzzaik A. The Modulus of the Image Annuli Under Univalent Harmonic Mappings and a Conjecture of Nitsche // J. London Math. Soc. 2001 V. 64, N 2. 369-384.

78. Solynin A. Yu., Vuorinen M. Extremal Problems and Symmetriza tion for Plane Ring Domains // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. V. 348, N 10. P. 4095-4112.

79. Pederson R., Schiffer M. A Proof of the Bieberbach Conjecture for the Fifth Coefficient // Archiv Ration. Mech. and Anal. 1972. V. 45, N. 3. P. 161-240.

80. Pederson R. A Proof of the Bieberbach Conjecture for the Sixth112

81. Coefficient // Archiv Ration. Mech. and Anal. 1968. V. 31, N 5. R 331-351.

82. Prochorov D. V., Szynal J. Coefficient Estimates for Bounded Nonvanishing Functions // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math. 1981. V. 29, N 5-6. P. 223 230.

83. Прохоров Д.В. Принцип максимума в решении экстремальной задачи на классе однолистных функций // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27 , N. 1. С. 186-190.

84. Toplitz О. Uber die Fouriersche Entwicklung Positiver Funktio-nen. 11 Rendiconti. Circ. Mat. di Palermo. 1911. V. 32. P. 191-192.

85. Hengartner W., Schober G. Univalent Harmonic Functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V. 299, N 1. P. 1 31.

86. Hengartner W., Szynal J. Univalent Harmonic Ring Mappings Vanishing on the Interior Boundary. // Canad. J. Math. 1992. V. 44, N 1. P. 308 323.

87. Szapiel W. A New Approach to the Krzyz Conjecture // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. 1994. Sect. A. V. 48, N 13. P 169 192.

88. Шеретов В.Г. Единственность экстремальных квазиконформных отображений типа Тейхмюллера // Мат. заметки. 1974. Т. 16, N 2. С. 213-220.

89. Шеретов В.Г. Гармонические отображения и однолистные функции // Мат. анализ. Краснодар, 1974. Вып. 2. С. 143-153.1. ИЗ

90. Шеретов В.Г. Об одном варианте теоремы площадей // Мат. анализ. Вып. 3. Краснодар, 1976. С. 77-80.

91. Шеретов В.Г. К теории экстремальных квазиконформных отображений // Мат. сб. 1978. Т. 107, N 1. С. 146-158.

92. Шеретов В.Г. Квазиконформные отображения, экстремальные относительно своих граничных значений // Сиб. матем. журн. 1986. Т. 27 , N 4. С. 161-166.

93. Шеретов В.Г. Квазиконформные экстремали гладких функционалов и интеграла энергии на римановых поверхностях // Сиб. матем. журн. 1988., Т. 29 , N 3. С. 163-174.

94. Шеретов В.Г. К методу площадей для К-однолистных функций // Известия Сев.-Кавказ. науч. центра высш. школы. Естеств. науки. 1986. N 1. С. 30-33.

95. Шеретов В.Г. Метод площадей в метриках аналитических квадратичных дифференциалов, заданных на накрывающих сферы Римана // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1996. С. 116-124.

96. Шеретов В.Г. Оценки модуля третьего коэффициента в классах Sk (оо) // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1997. С. 121-126.

97. Sheretov V.G. Structural Formulae Method for the Planar Harmonic Mappings // International Conference on Geometric Function Theory dedicated to Herbert Grotzsch 1902 1993. Abstracts. P. 19. Halle, 2002.

98. Шеретов В.Г. Метод структурных формул в геометрической теории плоских гармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2002. С. 30 39.

99. Шеретов В.Г. К проблеме коэффициентов для однолистных функций // Сиб. матем. журн. 2002. Т.43 , N 2. С. 472-481.

100. Шеретов В.Г. Метод структурных формул в геометрической теории гармонических отображений // Российской математике триста лет. Труды юбилейной научной конференции. Тверь, 2002. С. 70 - 78.

101. Шеретов В.Г. Новый подход к доказательству гипотезы Бибербаха // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 100-115.

102. Шеретов В.Г. Доказательство гипотезы Кшижа для некоторых подклассов класса ограниченных голоморфных функций // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 116-123.