Некоторые применения принципа площадей и структурных формул тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Суетин, Валерий Юрьевич

• Суетин, Валерий Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Суетин, Валерий Юрьевич

Введение

1. Исторический обзор и проблематика

2. Основные результаты

Глава I. Обобщение принципа площадей и их приложения

3. Теорема площадей в классах Е'[п]

4. Оценки начальных лорановских коэффициентов в классах £'[п]

5. Неравенство площадей в подклассах S[n] класса S

6. Коэффициентные неравенства для / £ 5[п]

7. Новые неравенства площадей для однолистных функций с р-кратной круговой симметрией

8. Оценки радиусов кругов покрытия

Глава II. Применение методов структурных формул

9. Оценки коэффициентов и констант Кебе в некоторых классах локально гармонических отображений

11. Об одном однопараметрическом классе локально конформных отображений

12. Обобщение одного класса локально конформных отображений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые применения принципа площадей и структурных формул»

§1. Исторический обзор и проблематика

1. История геометрической теории функций комплексного переменного насчитывает полтора века и берет начало в трудах великого немецкого математика Б. Римана. В 1851 г. он защитил докторскую диссертацию на тему "Основы общей теории функций одной комплексной переменной", а три года спустя прочитал свою знаменитую лекцию "О гипотезах, лежащих в основании геометрии". В них были введены фундаментальные математические понятия "многократно протяженной величины" (риманова пространства, дифференцируемого многообразия), многолистной римановой поверхности, конформного отображения, аналитического продолжения и другие. Идеи Римана пролили свет на истинную природу понятия многозначной функции. Были введены понятия однолистной и многолистной функции и важный "принцип Дирихле", положенный в основу доказательства знаменитой теоремы Римана о конформных отображениях. Данная К. Вейерштрассом критика принципа Дирихле низвела доказательство Римана на уровень эвристических суждений, и только сорок лет спустя почти одновременно появились три строгих доказательства теоремы о существовании и единственности однолистного конформного отображения односвязной области с границей, содержащей более одной точки, на круг. Их авторами были Д. Гильберт, А. Пуанкаре и П. Кебе. Столь долгий период поиска строгого обоснования принципа Дирихле отмечен важными вехами становления и развития геометрической теории функций. Вей-ерштрасс создал строгую теорию аналитического продолжения на основе степенных рядов. Пуанкаре построил теорию автоморфных функций, связал ее с теорией римановых поверхностей и неевклидовой геометрией Лобачевского. Ф. Клейн и Г.А. Шварц также развили тополого-алгебраические методы и широко использовали идею симметрии для решения задач геометрической теории функций. Знаменитая теорема Пуанкаре-Кебе-Клейна об униформизации аналитических функций была непосредственной предшественницей первых исследований геометрических свойств классов однолистных голоморфных функций. Речь идет о доказанной П. Кебе почти сто лет назад, в 1907 г., теореме о покрытии в классе нормированных однолистных функций. Теория конформных отображений получила значительное развитие в связи с тем, что было начато систематическое изучение классов однолистных функций в заданной области, то есть тех функций, которые реализуют различные подходящим образом нормированные конформные отображения этой области. Причем в качестве таких областей обычно берутся канонические области -единичный круг, его внешность, полуплоскость, прямолинейная полоса, круговое кольцо. Основной результат теории состоит в том, что классы однолистных функций образуют нормальные семейства. Как следствие получаем, что каждая экстремальная относительно заданного непрерывного функционала А(/) задача в таком классе имеет по крайней мере одно решение. В случае задачи на минимум (максимум) можно иметь дело с полунепрерывными снизу (сверху) функционалами. Именно этот подход позволил получить строгие доказательства римановой теоремы о конформном отображении од-носвязной области на круг, теорем Гильберта, Голузина, Шиффера о конформных отображениях многосвязной области на канонические области с разрезами. Классы однолистных функций наделены топологией локально равномерной сходимости элементов.

2. Упомянутый выше результат Кебе привлек внимание Й. Пле-меля, Т. Гронуолла, Г. Пика, Г. Фабера, JI. Бибербаха. Гронуолл (1914) первым применил так называемый "принцип площадей" (площадь неотрицательна) к доказательству утверждения о том, что если функция со g(z) = z~l + ^9vZv однолистна в А {z Е С : \z\ < 1} и голоморфна за исключением простого полюса в начале координат, то выполняется точное неравенство площадей оо 1>=1

Два года спустя Бибербах [34] и Фабер нашли точное значение константы Кебе - радиуса круга покрытия для класса S, образуемого однолистными в А голоморфными функциями f(z) = Z + 2 On zn. Она оказалась равной 1/4, а функции

U(z) = z(l + e^z)~2, феШ,

1) получившие впоследствии название (лучевых) функций Кебе, оказались экстремальными и в ряде других задач.

Одновременно Бибербах доказал, что в классе S выполняется точная оценка |а21 < 2 с функциями Кебе в качестве единственных экстремалей и высказал ставшее широко известным предположение (гипотезу Бибербаха) о том, что в классе S для всех п € N имеют место точные оценки а„| <п (2) с теми же экстремальными функциями. Тогда же была поставлена проблема коэффициентов Бибербаха, требующая точного описания области Vn в евклидовом пространстве размерности 2п — 2, заполняемой точками (i?e02,/ттга2, • • • , Rean, Iman), где (02,03?" • >ап) ~ векторы, образуемые начальными тейлоровскими коэффициентами функций f £ S. Проблемы о влиянии однолистности отображения на величины коэффициентов отображающих функций и структуру n-тел коэффициентов Vn были, очевидно, навеяны работами Кара-теодори и Теплица о телах коэффициентов голоморфных в единичном круге А := {z Е С : \z\ < 1} функций p(z), имеющих положительную реальную часть и нормированных условием р(0) = 1, т.е. функций из класса С (класса Каратеодори).

Высказанная Л.Бибербахом гипотеза (2) занимала многих математиков XX века. В 1917 году чешский математик Ч. Левнер показал, что для функций / Е S, отображающих круг \z\ < 1 на звездообразные области, выполняются точные оценки (2). В 1924 году И.И. Приваловым доказано, что если при этом функция / - нечетная, то имеет место точная оценка |anj <1, п = 3,5,. В 1923 году Левнер [53] развил метод параметрических продолжений конформных отображений класса S с помощью решений специального дифференциального уравнения (уравнения Левнера), правая часть которого представляла собой однопараметрическое семейство ядер Шварца. Здесь впервые обнаружилась связь класса S с классом Каратеодори. На этом пути Левнеру удалось доказать гипотезу Бибербаха для п = 3. Другие доказательства неравенства |аз| < 3 были получены позже А.Шеффером и Д. Спенсером (1943), Г.М. Голузиным (1946), Дж. Дженкинсом (1951) и Л. де Бранжем (1984). Эти и другие подобные доказательства следует рассматривать как пробные камни для используемых методов оперирования с экстремальными проблемами конформного отображения. Не случайно каждое из продвижений происходило как результат развития или усовершенствования какого-либо метода в теории однолистных функций. Две проблемы Бибербаха, а также риманова проблема модулей в XX веке в немалой мере способствовали возникновению и совершенствованию глубоких и эффективных методов комплексного анализа: площадей и контурного интегрирования (Г. Грунский, Н.А. Лебедев, И.М.Милин, J1.JI. Громова, О. Лехто, В.Я.Гутлянский, Л. Аль-форс, В.Г. Шеретов, А.З. Гриншпан, Э. Хой и другие; см.[15], [17], [40-43], [4], [30], [64], [67-68], [71]); внутренних и граничных вариаций конформных и квазиконформных отображений (Г.М.Голузин, М.А. Лаврентьев, М. Шиффер, А. Шеффер, Д. Спенсер, Л. Аль-форс, Л. Берс, П.П. Белинский, К.И. Бабенко, С.Л. Крушкаль, Р.

• Кюнау, В.Я.Гутлянский, И.И.Привалов, В.И. Рязанов, В.В.Старков, В.Г. Шеретов и другие; см. [3 - 6], [9], [И - 14], [26], [48], [50], [57], [60], [65 - 66]); модулей и экстремальных метрик (Г. Греч, О. Тейх-мюллер, Л. Альфорс, А. Берлинг, Л. Берс, Дж. Дженкинс, В.А. Зорич, Б.В. Шабат, П.М. Тамразов, Г.В. Кузьмина, Р. Кюнау, В.Г. Шеретов, А.Ю. Васильев и другие; см. [4], [8 - 10], [16], [21], [24], [25]); параметрических продолжений и методов оптимального управления (К. Левнер, П.П. Куфарев, И.А. Александров, В.И. Попов, В.Я.Гутлянский, Д.В. Прохоров, А.Ю. Васильев и другие; см. [2], [52], [53], [59]); симметризаций (Г. Полна, Д. Сеге, М.Маркус, И.П. Митюк, В.Н.Дубинин, А.Ю.Солынин, Л.В.Ковалев и другие; [19 - 20], [9], [44], [47], [58]); структурных формул (К. Каратеодори, И.А.Александров, В.А. Зморович, В.В.Черников, В. Хенгартнер, В.Г. Шеретов и другие; см. [2], [62], [69 - 70]). Сферы применимос

• ти этих методов нередко выходят за рамки геометрической теории аналитических функций.

Приведенный перечень методов и авторов весьма субъективен и далек от исчерпывающего. Вне его рамок остался метод Л. де Бранжа [35], позволивший ему дать полный положительный ответ на гипотезу Бибербаха. Перспективными в теории отображений представляются современные методы голоморфной динамики [18], а также новые методы С.Л. Крушкаля [12], [49], Ф.Г. Авхадиева [1], И.И. Баврина [32], В.И. Рязанова, В.Я. Гутлянского, В.В. Горяйнова, Г. Давида, В.В. Чуешева [63] и другие.

3. Продолжим обзор исследований оценок коэффициентов функций класса S.

Дьедонне и Рогозинским было показано, что неравенство (2) выполняется для любой функции из класса S с вещественными коэффициентами ап. В 1924 году Литтлвуд доказал для произвольной функции f Е S выполнение неравенства ап\ < en, п = 2,3,.

Существование константы, ограничивающей величину |ап| для нечетных функций было показано в 1932 году Литтлвудом и Полна. Численное значение этой константы

К| < 21/431/2е1/2 было получено в 1935 году В.И. Левиным. Улучшение оценок Литтл-вуда до \ап\ < Зегг/4 дано в 1948 году [37] Г. М. Го Лузиным. Оценка an| < const + en/2 приведена И.М. Милиным [17].

Улучшением оценок для коэффициентов нечетных функций занимался Ю.Е.Аленицын [28 - 29 ]. Шеффер и Спенсер показали, что существуют нечетные функции с чисто вещественными коэффициентами, у которых j«2n—11 > 1 при п > 2 (цит. по [8]).

На основе уравнений Левнера в 1933 году Фекете и Сеге [73] для / £ S и а € [0; 1) получили точную оценку тейлоровских коэффициентов а3-аа22\<2е~2а/<<1-^ + 1. Следствием из этой оценки является точная оценка а2р+1 + 1)/р для тейлоровских коэффициентов функции оо к=О

Впервые оценка ja^ | <4 была получена в 1955 году П. Гарабедяном и М. Шиффером, после чего Альфорс [30] доказал ее методом площадей, хотя оценка |аз| < 3 для этого метода казалась недосягаемой.

Доказательства гипотезы Бибербаха были получены для п = б Р. Педерсоном (1968 г.) и для п — 5 Р. Педерсоном и М. Шиффером (1972 г.).

Для решения проблемы Бибербаха об оценках тейлоровских коэффициентов функции класса S в общем виде потребовалось почти 70 лет. Успех в 1984 году Л.де Бранжа [35] был достигнут, благодаря комбинированию развитого им метода с методом экспоненциальных неравенств И.М. Милина.

В 2003 г. В.Г. Шеретов [71] получил эти оценки методом площадей в подклассе, содержащем класс звездных функций S*, как следствие новых серий точных неравенств, связывающих начальные тейлоровские коэффициенты. Глава 1 настоящей диссертации посвящена применениям метода площадей В.Г. Шеретова [68], [72] к задачам о коэффициентах однолистных функций различных классов.

4. Проблема описания п-тел коэффициентов Vn и получения коэффициентных критериев однолистности также оставалась в центре исследований. А. Шеффер и Д. Спенсер, описывая функционалы на конечных римановых поверхностях, дали точное описание тела коэффициентов V2 — D2(S). В настоящее время исследованием п-тел коэффициентов занимается, например, Д.В.Прохоров и его ученики. В 1939 г. Грунский получил важный критерий однолистности в терминах введенных им коэффициентов оо^^, называемых ныне коэффициентами Грунского однолистной функции.

Другие критерии однолистности были установлены Г.М. Голузи-ным, И.Е. Базилевичем, В.Я. Гутлянским, причем последний завершил начатое К. Левнером и продолженное П.П. Куфаревым исследование связи между классами S ж С. В.Г. Шеретов в 1985 г. применил метод площадей для получения счетной системы точных коэффициентных неравенств, вполне характеристической для области коэффициентов

Doo(S) := {(а2, а3,-)бС00 : ап = /(гг)(0)М п = 2, 3, • • • , / G S}.

Этот результат дает алгоритмическое решение проблемы коэффициентов Бибербаха. Он изложен в главе 5 докторской диссертации [26].

Эти и многие другие исследования нашли отражение в монографической литературе [1-27]. Интересно отметить, что класс Кара-теодори находится в тесной связи с классом В голоморфных в круге А функций /, не обращающихся в нуль и таких, что |/(<гг)| < 1.

5. В теории конформных отображений значительное место занимает исследование того, какие ограничения налагает требование однолистности функции на некоторые величины, связанные с этим отображением, например, на величину модуля функции, на величину модуля и аргумента ее производной, т.е. на степень производимого этой функцией искажения в различных точках области, и т.д. Еще одной важной теоремой, доказанной JI. Бибербахом в уже цитированной работе [34] является теорема искажения, в которой двусторонне оценивается модуль производной, а равенство достигается на функциях Кебе (1) (см. также [36]). В 1919 года JT. Бибербахом доказана теорема вращения, дающая оценку модуля аргумента производной. В окончательной форме эта теорема была получена Г.М. Голузиным.

В главе 2 данной диссертации получены точные двусторонние неравенства для модулей производных и их отношений для некоторых новых классов локально однолистных функций.

6. Предметом диссертационных исследований являются также аналитические функции с квазиконформными продолжениями.

Основоположниками теории квазиконформных отображений были Г.Греч и М.А.Лаврентьев (1928). В настоящее время это обширная область математики, переросшая рамки геометрической теории функций, в недрах которой она зародилась. Изучению свойств таких функций посвящены работы Л.Альфорса [3], П.П.Белинского [6], В.Я. Гутлянский [43], С.Л.Крушкаля [11,12], [49], О.Лехто [16], В.В. Старкова [60], В.Г. Шеретова [26], [66], [69 - 70].

В диссертации рассмотрены некоторые свойства классов 5/Доо), образуемых к — квазиконформными автоморфизмами римановой сферы С, таких, что /(оо) = оо и ограничения / на единичный круг принадлежат классу S. Эти и другие родственные классы квазиконформных отображений являются предметом современных исследований ([38 - 39]). Здесь они будут изучаться с помощью метода площадей.

7. Продолжая идеи К. Каратеодори, И.А. Александрова, В.А. Змо-ровича, В.В.Черникова, В. Хенгартнера, Л. Шауброк [61] и др., В.Г.

Шеретов [69 - 70] исследовал классы локально однолистных гармонических отображений методом структурных формул, связывающих эти классы с классами С, S. С помощью этого метода получены основные результаты второй главы диссертации, связанные с оценками коэффициентов, теоремами искажения, покрытия и выпуклости рассматриваемых отображений. Данный раздел работы продолжает исследования В.В.Григорьевой [39]. Полученные результаты согласуются с гипотезами Клуни и Шейл-Смолла [46] об однолистных гармонических отображениях

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Суетин, Валерий Юрьевич

Заключение

В диссертации рассматриваются приложения принципа площадей к получению коэффициентных неравенств и оценок модулей тейлоровских и лорановских коэффициентов функций, однолистных в единичном круге и его внешности соответственно и удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям. Существенно использованы методы структурных формул для описания свойств новых классов локально конформных и локально гармонических функций.

Указанные результаты могут быть естественным образом продолжены в следующих направлениях:

1) Более подробное изучение классов £'[п] и S[n], строгое доказательство однолистности незвездных функций, приведенных как примеры з первой главе, и двулистности их произведений, построение других примеров-функций. Расширение результатов на более широкие классы однолистных функций.

2) Применение методов структурных формул для новых классов локально конформных и локально гармонических отображений.

3) Проверка гипотезы: отображения класса S*[k] допускают продолжения до /с-квазиконформных гомеоморфизмов римановой сферы.

4) Решение вопроса о невключении класса Sjj в

Автор выражает глубокую благодарность свому научному руководителю доктору физико-математических наук Шеретову Владимиру Георгиевичу за постановку задачи и ценные замечания в процессе работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Суетин, Валерий Юрьевич, 2005 год

1. Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи. Казань, 1996. 216 с.

2. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. 344 с.

3. Альфорс JL Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969. 134 с.

4. Ahlfors L.V. Conformal Invariants: Topics in Geometric Function Theory. N.Y., 1973. 157 p.

5. Бабенко К. И. К теории экстремальных задач для однолистных функций класса S // Труды матем. ин-та им. В. А. Стек-лова АН СССР. 1972. Т. 101. С. 1-318.

6. Белинский П. П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974. 99 с.

7. Волковыский JI. И. Квазиконформные отображения. Львов: Львовск. гос. ун-т, 1954. 155 с.

8. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

9. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М.: ИЛ, 1962. 266 с.

10. Кузьмина Г. В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы // Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. Ленинград: Наука, 1980. 241 с.

11. Крушкаль С. Л. Квазиконформные отображения и римано-вы поверхности. Новосибирск: Наука, 1975. 196 с.

12. Крушкаль С.Л., Кюнау Р. Квазиконформные отображения -новые методы и приложения. Новосибирск: Наука, 1984. 216 с.

13. Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. М.: ИЛ, 1953. 311 с.

14. Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. М., 1962. 136

15. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975. 336 с.

16. Lehto О., Virtanen K.I. Quasiconformal Mappings in the Plane. Berlin: Springer-Verlag, 1973. 260 p.

17. Милин И.М. Однолистные функции и ортонор мир о ванные системы. М.: Наука, 1971. 256 с.

18. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Ижевск, 2000. 320 с.

19. Митюк И.П. Применение симметризационных методов в геометрической теории функций. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 1985. 95 с.

20. Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. М., 1956. Т. 1 396 е., Т. 2 - 432 с.

21. Pommerenke Ch. Univalent Functions. Gottingen, 1975. 375 p.

22. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М., 1960. 444 с.

23. Суетин П. К. Ряды по многочленам Фабера. М.: Наука, 1984, 336 с.

24. Суворов Г.Д. Обобщенный "принцип длины и площади" в теории отображений. Киев, 1985. 277 с.

25. Teichmiiller О. Extremale Quasikonforme Abbildungen und Quad-ratische Differentiale // Abhand. Preuss. Akad. Wiss. Math.-Naturwiss. Kl. 1939. N. 22. S. 1-198.

26. Шеретов В. Г. Квазиконформные отображения, экстремальные относительно своих граничных значений. Дисс.- • • доктора физ.-мат. наук. Краснодар, 1988. 322 с.

27. Srivastava Н.М., Owa S. Current Topics in Analytic Function Theory. World Scientific. 1992. Singapore/London/Hong Kong. 312 p.

28. СТАТЬИ В ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПЕЧАТИ

29. Аленицын Ю.Е. К вопросу об оценке коэффициентов однолистных функций // Матем. сборн. 28. 1951. С.401-406.

30. Аленицын Ю.Е. О функциях, р-листных в среднем // Матем. сборн. 20. 1937. С.113-124.

31. Альфорс JI. Неравенство между коэффициентами а2 и а4 однолистной функции // Некоторые проблемы математики и механики. Д., 1970. С. 71-74.

32. Aouf М.К. On a Certain Class of Meromorphic Univalent Functions with Positive Coefficients// Rend.Mat.Appl. 11 (7). 1991. P. 209-219.

33. Баврин И.И. Классы функций, однолистных с весом// Доклады РАН. Т. 371, 6. 2000. С.727-729.

34. Баранова О.Е. Некоторые применения метода площадей к классам аналитических функций с квазиконформным продолжением. Дисс. • • • канд. физико-математических наук. Тверь, 2001. 112 с.

35. Bieberbach L. Uber die Koeffizient Derjenigen Potentreihen, wel-che eine Schlichte Abbildung des Einheitskreises Vermitteln // Sitzungsbereichite Konig. Preuss. Akad. 1916. P. 940-955.

36. De Branges L. A. A Proof of the Bieberbach Conjecture // Acta Math. 1985. V. 154. P. 137-152.

37. Голузин Г.М. О теоремах искажения в теории конформных отображений // Матем. сборн. 1. 1936. С. 127-135.

38. Голузин Г.М. Некоторые теоремы покрытия в теории аналитических функций // Матем. сборн. 22. 1948. С. 353-372.

39. Григорьев В. В., Шеретов В.Г. Новые приложения принципа площадей к однолистным функциям // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т, 2003. С. 52-70.

40. Григорьева В. В., Шеретов В.Г. Метод структурных формул для локально конформных отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т, 2002. С. 15-23.

41. Гриншпан А.З. Коэффициентные неравенства для конформных отображений с гомеоморфным продолжением // Сиб. матем. журн. 1985. Т. 26, N. 1. С. 49-65.

42. Громова JI.JI. Об оценке \а4\ в классе S(k) // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. док л. 12-й Саратовской зимней школы. Саратов. 2004. - С.60-61.

43. Громова JI.JI. Приложение принципа площадей к экстремальным задачам конформного отображения неналегающих областей. Дисс ••• канд. физ.-мат. наук. Л.: ЛГУ, 1968.

44. Гутлянский В.Я. О принципе площадей для одного класса ква зиконформных отображений // Докл. АН СССР. 1973. Т. 212, N 3. С. 540-543.

45. Дубинин В.Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, N 1. С. 3-76.

46. Duren P., Hengartner W. Harmonic Mappings of Multiply Connected Domains // Pacific J. Math. 1997. V. 180, N 2. P. 201-220.

47. Clunie J., Sheil-Small T. Harmonic Univalent Functions // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A 1. Math. 1984. V. 9. P. 3 25.

48. Ковалев Л.В. Оценки конформного радиуса и теоремы искажения для однолистных функций // Записки научных семинаров ПОМИ. 2000. Т. 263 С. 141-156, 239-240.

49. Королева О.Е., Шеретов В.Г. Применение метода площадей к классам пар р-листных к-квазиконформных функций без общих значений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ. 1998. С. 132-143.

50. Куфарев П.П. Об однопараметрических свойствах аналитических функций II Матем. сборн. 1943. 13. С.87-118.

51. Куфарев П.П. Одно замечание об интегралах уравнения Jle-внера I/ ДАН СССР. 1947. Т.57. С.655-656.

52. Lowner К. Untersuchungen iiber Schlichte Konforme Abbildung des Einheitkreises //J. Math. Ann. 1923. Bd. 89. S. 103-121.

53. Lyzzaik A. The Modulus of the Image Annuli Under Univalent Harmonic Mappings and a Conjecture of Nits che //J. London Math. Soc. 2001 V. 64, N 2. 369-384.

54. Mogra M.L., Reddy T.R., Juneja O.P. Meromorphic Univalent Functions with Positive Coefficients// Bull.Austral.Math.Soc. 32. 1985. P.161-176.

55. Owa S., Cho N.E., Lee S.H. A Class of Meromorphic Univalent Functions with Positive Coefficients// Kobe J. Math. 1987. P.43-50.

56. Привалов И.И. О функциях, дающих однолистное конформное отображение // Матем. сборы. 1954. Т.31. С.350-365.

57. Solynin A. Yu., Vuorinen М. Extremal Problems and Stjmmetri-zation for Plane Ring Domains // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. V. 348, N 10. P. 4095-4112.

58. Прохоров Д.В. Принцип максимума в решении экстремальной задачи на классе однолистных функций // Сиб. мат. журн. 1986. Т.27 , N.1. С. 186-190.

59. Starkov V.V. Harmonic locally quasiconformal mappings /j Annates Univ. Mariae Curie-Sklodowska, Ser. A. 1995. V.49. P.183-197.

60. L.E.Shaubroeck Growth, distortion and coefficient bounds for plane harmonic mappings convex in one direction // Rocky Mountain Journal of Mathematics. V.31. N.2. 2001. P. 625-639.

61. Hengartner W., Schober G. Univalent Harmonic Functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V. 299, N 1. P. 1 31.

62. Чуешев В.В. Периоды гармонических дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности // Сиб. Мат. Журнал. 2002. Т.43. 4. С.937 952.

63. Шеретов В.Г. Об одном варианте теоремы площадей // Мат. анализ. Вып. 3. Краснодар, 1976. С. 77-80.

64. Шеретов В.Г. К теории экстремальных квазиконформных отображений // Мат. сб. 1978. Т. 107, N 1. С. 146-158.

65. Шеретов В.Г. Квазиконформные экстремали гладких функционалов и интеграла энергии на римановых поверхностях // Сиб. матем. журн. 1988., Т. 29 , N 3. С. 163-174.

66. Шеретов В.Г. К методу площадей для К-однолистных функций // Известия Сев.-Кавказ. науч. центра высш. школы. Естеств. науки. 1986. N 1. С. 30-33.

67. Шеретов В.Г. Метод площадей в метриках аналитических квадратичных дифференциалов, заданных на накрывающих сферы Римана // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1996. С. 116-124.

68. Sheretov V.G. Structural Formulae Method for the Planar Har monic Mappings // International Conference on Geometric Function Theory dedicated to Herbert Grotzsch 1902 1993. Abstracts. P. 19. Halle, 2002.

69. Шеретов В.Г. Метод структурных формул в геометрической теории плоских гармонических отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2002. С. 30 39.

70. Шеретов В.Г. Новый подход к доказательству гипотезы Бибербаха // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2003. С. 100-115.

71. Шеретов В.Г. Развитие метода площадей и его приложения к однолистным функциям // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2004. С. 52-59.

72. Fekete , Szego Eine Bemerkung uber ungerade Funktionen // Journ. London Math. Soc. 1933. 8. P. 85-89.1. Список публикаций

73. Суетин В.Ю., Шеретов В.Г. Об одном классе локально конформных отображений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т. 2003. С. 125-129.

74. Суетин В.Ю. Применение метода площадей к оценке коэффициентов функций класса £// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т. 2004. С. 24-27.

75. Суетин В.Ю. Оценка тейлоровских коэффициентов в одном классе однолистных функций// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т.2004. С.33-39.

76. Суетин В.Ю. Оценки коэффициентов и констант Кебе в некоторых классах конформных и гармонических отображений// Современные методы теории функций и смежные вопросы. Тез.докл. Воронежской зимней математической школы. Воронеж. 2005. С.223-224.

77. Суетин В.Ю., Шеретов В.Г. Оценки коэффициентов и констант Кебе в некоторых классах конформных и гармонических отображений// Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской гос. ун-т. 2004. С.40-50.

78. Суетин В.Ю. Применение метода площадей к оценке коэффициентов функций класса Е // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тез. докл. 12-й Саратовской зимней школы. Саратов. 2004. С.176-177.