Исследование множеств значений функционалов вариационным и параметрическим методами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Пчелинцев, Валерий Анатольевич

• Пчелинцев, Валерий Анатольевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Пчелинцев, Валерий Анатольевич

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Метод внутренних вариаций однолистных функций

1.1 Вариационная формула Голузина

1.2 Основные вариационные формулы

в классах 5 и Е0

1.3 Вспомогательные вариационные формулы

в классах 5 и Ео

1.4 Вариационные формулы в классе Ш

2 Множество значений производной Шварца

2.1 Определение и свойства производной Шварца

2.2 Интегральное представление производной

Шварца

2.3 Множество значений функционала {f{zo),zo} на классе 5

2.4 Множество значений функционала на классе

3 К задаче о неналегающих областях

3.1 Функционал «/, = 1п у^Щ

3.2 Дифференциальные уравнения для граничных функций

3.3 Уравнение границы множества Е

4 Множества значений функционалов на классе пар однолистных функций

4.1 Функционал = 1п (Яст)

4.2 Вывод дифференциальных уравнений для граничных функций функционала (4.1)

4.3 Анализ и интегрирование уравнений (4.4) и (4.5)

4.4 Функционал Ф(/, = 1п

4.5 Анализ и интегрирование уравнений (4.23) и (4.24)

Заключение

Литература

Список обозначений

В работе принята двойная нумерация теорем и формул, самостоятельная в каждой главе.

С - комплексная плоскость;

С = СУ(оо} - расширенная комплексная плоскость;

и - единичный круг {х <Е С : \г\ < 1};

и* - внешность единичного круга {С € С : > 1};

К (г, Я) - круговое кольцо {г е С : 0 < г < < Я < +оо};

5 - класс голоморфных однолистых в круге V функций ги = /(г) таких, что /(0) = 0,/'(О) = 1;

Бм ~ подкласс функций класса удовлетворяющих неравенству |/(г)| <М, М> 1;

Е - класс мероморфных однолистных в области V* функций ъи = ^(С)> имеющих в проколотой окрестности бесконечно удалённой точки разложение вида Е(() = С + ао + «1/С + --- + ап/(п +

Е0 - подкласс функций класса Е, не принимающих в II* нулевого значения;

Ш - класс всех пар функций (/(г), ^(С))> /(0) = 0. ^Х00) — 00 > мероморфных однолистных и без общих значений соответственно в круге и ив его внешности £/*;

Ш' - класс всех пар функций (f(z),F(Q), ¡(г) е 5, F(£) £ Е0;

□ - конец доказательства.

Во всех рассматриваемых классах функций введена топология равномерной сходимости внутри заданной области.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование множеств значений функционалов вариационным и параметрическим методами»

Введение

Ушедший в историю XX век был отмечен выдающимися достижениями в области теории функций комплексного переменного и многочисленными приложениями этой теории к исследованию актуальных задач в современном естествознании. Основополагающие работы начала прошлого века П. Кёбе, К. Каратеодори, Т. Гронуолла, Л. Бибербаха, К. Лёвнера и многих других математиков заложили фундамент современной геометрической теории однолистных функций и конформных отображений. Эта теория, возникшая первоначально на пути непосредственного развития классической теории функций комплексного переменного, за последние полвека сформировалась в одну из актуальных и интенсивно развивающихся областей современного анализа. Спектр приложений геометрической теории однолистных функций достаточно широк и охватывает, например, такие области, как гидромеханика, аэродинамика, теория упругости и другие. Все приложения стали возможны во многом благодаря тому, что значимое место в данной теории уделяется экстремальным задачам, которые находятся в тесной связи с основными задачами как самой теории, так и многочисленными её приложениями.

Однолистным функциям принадлежит основная роль в геометрической теории функций (ГТФ). Предметом исследований ГТФ являются классы функций, которые рассматриваются в канонических обла-

стях определения. При этом ГТФ концентрирует внимание на классах функций преимущественно как на классах отображений и значительно в меньшей мере исследует вопросы представления этих функций в аналитической форме. Однолистные отображения образуют самые простые с точки зрения их геометрических свойств классы конформных отображений. С другой стороны, именно однолистные отображения обладают рядом важных экстремальных свойств во многих общих классах конформных отображений.

Начало систематическому исследованию экстремальных задач геометрической теории однолистных функций положили работы П. Кё-бе [59] и [60], посвященные соответствию границ при конформных отображениях. Во втором десятилетии прошлого века большой вклад в развитие зарождавшейся теории внёс К. Каратеодори. Он доказал теорему о сходимости последовательности областей к ядру, а в работах [54], [55] рассмотрел вопрос о граничном соответствии, предложив теорию простых концов и доказав теорему о соответствии границ при конформных отображениях. Эти и многие другие задачи получили затем мощный импульс благодаря исследованиям М.А. Лаврентьева [37, 38], Г.М. Голузина [25-27], ПЛ. Куфарева [35, 36], М. Шиф-фера [67], Ю.Е. Аленицына [17, 18], H.A. Лебедева [41-44], Л.И. Кол-биной [33, 34], Г.В. Улиной [49] И.А. Александрова [11-18], К. Пом-меренке [65, 66], Дж. Дженкинса [28], В.Я. Гутлянского [27], Л.Х. Бурштейна [21], Д.В. Прохорова [45, 46], В.Н. Дубинина [29, 30], О. Шрамма [68], М.Д. Контрераса [51, 56, 57], Э.Г. Кирьяцкого [31, 32] и многих других авторов.

Для решения экстремальных задач в ГТФ были предложены новые методы, поскольку методы классического вариационного исчисления

оказались недостаточными. Первым по времени своего возникновения состоятельным методом ГТФ был метод площадей, разработанный в исследованиях Т. Гронуолла и Л. Бибербаха. Таким путем в 1914 году Т. Гронуолл доказал внешнюю теорему площадей в классе Е. Этот результат позволил установить ряд замечательных свойств функций Кёбе

ад = (1-^)2'0 - ^ <2уг-

Функции отображают единичный круг и на всю плоскость с ра-

диальным разрезом и потому эти функции (вместе с тождественным отображением /(г) = г) представляют собой самые симметричные элементы класса В 1916 году Л. Бибербах [52] высказал гипотезу о том, что для коэффициентов функций класса £ справедливо неравенство

\сп\ < п, п > 1

и равенство здесь имеет место только для функций Кёбе. Сам Л. Бибербах доказал это неравенство для п — 2. Гипотеза Бибербаха продолжала оставаться недоказанной до 1984 года. Привлекая внимание многих аналитиков, эта гипотеза способствовала возникновению новых идей и некоторых методов ГТФ. Так, под влиянием гипотезы Бибербаха в 1923 году К. Лёвнер создал параметрический метод и с его помощью доказал неравенство для п = 3.

В 30-40-х годах XX века возникли методы граничных и внутренних вариаций Шиффера, вариационный метод Голузина. Этому предшествовала разработанная П. Монтелем теория нормальных семейств аналитических функций.

Все методы ГТФ являются по существу геометрическими. Основ-

ные классы однолистных функций характеризуются высокой степенью нелинейности (например, сумма двух функций класса Б может оказаться неоднолистной), и это обстоятельство определяет своеобразие методов теории однолистных функций. Наряду с различными классами функций в этой теории исследуются объекты более общей природы: классы систем отображений на неналегающие области той или иной топологической структуры. С такими объектами весьма естественным образом связаны многие основные классы отображений. Большое внимание в ГТФ, как уже отмечалось, уделяется различным экстремальным задачам, в которых речь идёт об экстремумах и множествах значений функционалов, характеризующих свойства конформных отображений. К ним относятся задачи о значениях, принимаемых функциями и их производными во внутренних точках их областей определения, разнообразные по постановке вопросы о геометрических характеристиках образа области (например, задачи о покрытии того или иного семейства линий или областей, о граничном искажении) и многие другие вопросы. Исследуемые функционалы имеют, как правило, трансцендентный характер и сложность экстремальных задач зависит от количества полюсов ассоциированных квадратичных дифференциалов, играющих роль свободных параметров. В последние годы в ГТФ было получено решение ряда трудных экстремальных вопросов, к которым относятся задачи, имеющие богатую историю, и задачи нового типа.

Трудные экстремальные задачи ГТФ в большинстве случаев требуют одновременного использования нескольких методов исследования. В ряде вопросов общего характера обнаружилось, что некоторые методы успешно дополняют друг друга. Известным примером сочетания различных методов служит вариационно-параметрический метод Ку-

фарева.

Приведём краткую характеристику параметрического метода Лёв-нера и методов вариаций и остановимся на тех приложениях этих методов, которые, как нам представляется, наиболее наглядно демонстрируют современное состояние ГТФ и возможности её методов.

Метод параметрических представлений Лёвнера. В 1923 году К. Лёвнер [61] представил параметрический метод, в основе которого лежит следующее дифференциальное уравнение

где 0 < г < оо, /х(г), |/л(т)| = 1, - кусочно-непрерывная функция. Посредством этого метода он доказал справедливость гипотезы Биберба-ха для третьего коэффициента. Метод Лёвнера уже в скором времени получил широкое распространение как метод ГТФ, позволяющий получать глубокие результаты. Большая роль в развитии и распространении этого метода принадлежит Г.М. Голузину. Он доказал, в частности, с его помощью теорему вращения. В 30-40-х годах прошлого века методу Лёвнера были посвящены исследования И.Е. Базилевича, П.П. Куфарева и других авторов, в которых были получены результаты общего характера в теории метода Лёвнера и даны решения ряда экстремальных вопросов.

В 1943 году П.П. Куфарев [36] получил уравнение, обобщающее уравнение Лёвнера

где функция Р{ю,т), определённая при ги е17 и т Е [0, оо), принадлежит классу Каратеодори при каждом г > 0 и измерима по т при каждом шеи. Это уравнение известно как уравнение Лёвнера-Куфарева.

(0.1)

Теория Лёвнера-Куфарева получила логическое завершение в исследованиях К. Поммеренке [66] и В.Я. Гутлянского [27], в которых показано, что каждая функция класса S представляется в виде

f(z) = lim eTw(z, т, 0),

т—>оо

где w(z,t,s) - решение уравнения Лёвнера-Куфарева с начальным условием w(z, s, s) = z, 0 < s < т < oo, получаемое при надлежащем выборе функции P(w,t).

Существенным аспектом классического метода Лёвнера является тесная связь между результатами этого метода и метода вариаций. Общие результаты метода вариаций показывают, что экстремальными для большого числа задач теории однолистных функций являются отображения круга U на плоскость с разрезами по конечному числу аналитических дуг, следовательно, такие отображения представляются посредством уравнения (0.1) в терминах управляющей функции /i(r). Это навело на мысль использовать, с одной стороны, дифференциальное уравнение для отображающей функции, получаемое методом вариаций, а с другой стороны - уравнение Лёвнера для того, чтобы свести нахождение функции ц{т), фигурирующей в уравнении (0.1), к решению некоторой граничной задачи для системы дифференциальных уравнений. Возможность такого подхода была указана в 1945 году М. Шиффером. Общие рассмотрения этого вопроса были проведены H.A. Лебедевым, исходившим из вариационной формулы Голузина. Законченную форму указанный подход принял в работах П.П. Куфа-рева и созданный им метод получил известность как вариационно-параметрический метод Куфарева. С помощью этого метода Томской математической школой был решен ряд трудных экстремальных задач

(см. монографии И.А. Александрова [12, 13] и [51]).

В 1984 году Л. де Бранж [53] с помощью метода Лёвнера решил проблему коэффициентов однолистных функций, т.е. именно этот метод сыграл роль "палочки-выручалочки" при решении гипотезы Бибер-баха.

В настоящее время параметрический метод в объединении со стохастическим анализом нашёл широкое применение при решении задач статистической физики [68]. Так, например, В. Вернер за вклад в изучение стохастической эволюции Лёвнера, геометрии двумерного броуновского движения и конформной теории поля и С.К. Смирнов за доказательство конформной инвариантности двумерной перколяции и модели Изинга в статистической физике были удостоены Филдсовской премии в 2006 и 2010 годах соответственно.

Метод параметрических представлений использовали в своих работах Г.М. Голузин, И.Е. Базилевич, П.П. Куфарев, И.А. Александров, В.И. Попов, В.Я. Гутлянский, Д.В. Прохоров, Л. де Бранж и другие. С различными подходами к обоснованию и многочисленными применениями этого метода можно ознакомиться по монографиям Г.М. Го-лузина [25], У.К. Хеймана [50], К. Поммеренке [66] И.А. Александрова [12, 13], Труды П.П. Куфарева [25], В.Я. Гутлянского и В.И. Рязанова [27].

Методы вариаций. Вариационные методы теории однолистных функций существенно отличаются от методов классического вариационного исчисления. Вариационные принципы при исследовании конформных отображений использовались ещё в работах Ж. Адамара и Г. Жюлиа. Первым из вариационных методов теории однолистных функций был вариационно-геометрический метод Лаврентьева. Широ-

кое распространение в теории однолистных функций получили методы граничных и внутренних вариаций Шиффера и вариационный метод Голузина.

В 1943 году М. Шиффер [67] предложил метод внутренних вариаций, который основывается на теории потенциала. В 1946 году Г.М. Голузин [23] дал свой вариант метода внутренних вариаций, который содержится в теореме 1.1, приведённой в первой главе. Он получил вариационные формулы при меньших, чем у М. Шиффера, предположениях об отображениях. Метод внутренних вариаций приводит при решении экстремальных задач к некоторому функционально-дифференциальному уравнению для каждой экстремальной функции. Отметим, что метод внутренних вариаций Шиффера и вариационный метод Голузина были распространены на случай многосвязной области.

Вариационные методы дают важную геометрическую характеристику экстремальных отображений и с помощью этих методов были получены решения разнообразных по постановкам экстремальных задач. Методы вариаций нашли многочисленные приложения к экстремальным задачам в классах функций, характеризующихся теми или иными геометрическими условиями.

Большое внимание вариационным методам уделяется в работах М.А. Лаврентьева, М. Шиффера, Г.М. Голузина, П.П. Куфарева, H.A. Лебедева, Л.И. Колбиной, И.А. Александрова, В.Я. Гутлянского, К. Поммеренке и других. С различными подходами к обоснованию и многочисленными применениями вариационных методов можно ознакомиться по монографиям М.А. Лаврентьева и Б.В. Шабата [38], Г.М. Голузина [25], У.К. Хеймана [50], К. Поммеренке [66], И.А. Алексан-

дрова [12, 13], В.Я. Гутлянского и В.И. Рязанова [27].

Общая характеристика и основные результаты

диссертации

Настоящая диссертация посвящена применению параметрического и вариационного методов для исследования множеств значений ряда функционалов, заданных на различных классах однолистных функций. А именно, параметрическим методом Лёвнера решается задача о нахождении множества значений производной Шварца на классах S и Sm■ Другими методами множество значений производной Шварца на указанных классах исследовалось 3. Нехари [63, 64], Е. Хил-лом [58], Ю.Е. Аленицыным [17], H.A. Александровым [10], H.A. Лебедевым [42]. Вариационным методом Голузина решается одна экстремальная задача о неналегающих областях. Такие задачи были впервые поставлены в 1934 году М.А. Лаврентьевым [37]. Значительные результаты в решении подобного рода задач получены П.П. Куфаре-вым [35], Г.М. Голузиным [25], H.A. Лебедевым [40, 41], Л.И. Кол-биной [33, 34], Г.В. Улиной [49], Л.Х. Бурштейном [21], В.А. Андреевым [16, 19], А.К. Бахтиным [20] и другими математиками. Далее, используя вариационный метод Голузина, исследуются множества значений двух функционалов заданных на классе Ш'. Класс 9ЕЯ' в своих работах использовали H.A. Лебедев [42], Я.С. Мирошниченко [44]. Поэтому рассматриваемая в данной работе тематика является широко известной и актуальной.

Цели работы. Целями диссертационной работы являются: — развитие вариационного метода Голузина и параметрического метода Лёвнера;

— нахождение новых случаев интегрирования уравнения Лёвнера;

— исследование множества значений конкретного функционала, зависящего от значений функций в фиксированных точках, в задаче о неналегающих областях;

— отыскание множеств значений двух функционалов заданных на множестве пар однолистных функций;

Методы исследования. В работе используются методы математического анализа, методы теории функций комплексного переменного, методы геометрической теории однолистных функций, методы аналитической теории дифференциальных уравнений, вариационный метод Голузина и параметрический метод Лёвнера.

Научная новизна. Основные результаты диссертационного исследования, полученные автором, являются новыми и определяются следующими положениями, выносимыми на защиту:

• Путём интегрирования уравнения Лёвнера найдено множество значений производной Шварца на классах 5 и Бм- Указаны граничные функции.

• Найдено множество значений одного функционала в задаче о неналегающих областях.

• Указано множество значений функционала, зависящего от значений функций класса Ш' в фиксированных точках единичного круга и его внешности.

• Указано множество значений функционала, зависящего от значений производных отображений класса ШГ в фиксированных точках единичного круга и его внешности.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоре-

тический характер. Её результаты могут использоваться в научных исследованиях и спецкурсах для студентов и аспирантов механико-математических факультетов, специализирующихся по теории функций комплексного переменного. Используемые методы исследования данной работы могут быть полезны при решении экстремальных задач геометрической теории однолистных функций.

Достоверность и обоснованность всех полученных результатов. Все полученные в диссертации результаты имеют строгое математическое обоснование в форме теорем.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации обсуждались на научном семинаре кафедры математического анализа ММФ ТГУ (руководитель профессор И.А. Александров), на научном семинаре отдела анализа и геометрии в Институте математики им. C.JI. Соболева (руководитель академик Ю.Г. Решетняк), а также докладывались на научных конференциях:

1. Современные проблемы теории функций и их приложения, Саратов, 27 января - 3 февраля 2012.

2. III Всероссийская молодежная конференция "Современные проблемы математики и механики", Томск, 23 - 25 апреля 2012.

3. Международная молодежная конференция "Современные методы механики", Томск, 19 - 20 сентября 2012.

4. 51-ая Международная научная студенческая конференция "Студент и науно-технический прогресс", Новосибирск, 12 - 18 апреля 2013.

Публикации. Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в десяти печатных работах, в том числе четыре ста-

тьи в журналах, рекомендованных ВАК.

1. Александров И.А., Пчелинцев В.А. Множество значений производной Шварца // Вестник Томск, гос. ун-та. Матем. и мех. 2010. № 3(11). С. 5-12.

2. Пчелинцев В.А. Об одной экстремальной задаче // Вестник Томск, гос. ун-та. Матем. и мех. 2012. № 3(19). С. 22-30.

3. Пчелинцев В.А. К задаче о неналегающих областях // Сиб. мат. журн. 2012. Т.53, № 6. С. 1391-1400.

4. Пчелинцев В.А. Об одном функционале на классе пар функций// Вестник Томск, гос. ун-та. Матем. и мех. 2013. № 2(22). С. 44-56.

5. Пчелинцев В.А. Одна задача о неналегающих областях // Материалы 16-й Саратовской зимней школы. Саратов, 27 января - 3 февраля 2012. С. 137-138.

6. Пчелинцев В.А. Множество значений функционала I = {/,z0] на классе S // Труды III Всероссийской молодёжной научной конференции. Томск, 23 - 25 апреля 2012. С. 51-53.

7. Пчелинцев В.А. Эллиптические интегралы // Современные проблемы механики: матер, междунар. конф. Томск, 19 - 20 сентября 2012. С. 13-14.

8. Пчелинцев В.А. Об одном функционале, заданном на множестве пар однолистных функций // Материалы 51-й Международной научной студенческой конференции. Математика. Новосибирск, 12 - 18 апреля 2013. С. 31.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и списка обозначений. Работа изложена на 95 страницах и содержит 3 рисунка. Во введении раскрывается актуальность исследуемой проблемы,

приводится обзор известных результатов, формулируется цель и излагается содержание работы, обосновывается теоретическая и практическая значимость полученных результатов.

Глава 1 посвящается методу внутренних вариаций в геометрической теории однолистных функций. Рассматривается вариант этого метода предложенный Г.М. Голузиным [23], который основывается на теореме 1.1. Как следствие из теоремы 1.1 выведены вариационные формулы в классах Б, Е0 и Ш. Результаты этой главы являются широко известными и используются в главах 3 и 4 диссертации.

Во 2-ой Главе методом параметрических представлений решается задача о нахождении множества значений производной Шварца на классах Б и Бм с указанием граничных функций.

Приводятся основные свойства производной Шварца с доказательствами. Получено представление для производной Шварца в виде дифференциального уравнения Лёвнера (Теорема 2.1). С помощью полученного представления установлено, что множество значений производной Шварца плотно на классах Б и Бм-

Доказано, что в точке го = О множеством значений производной Шварца на классе 5 является замкнутый круг с центром в нуле радиуса шесть, при этом приведены граничные функции (Теорема 2.2). В случае произвольной точки получено неравенство, определяющее множество значений производной Шварца на классе 5, указаны граничные функции (Теорема 2.3).

Установлено соотношение между модулями функции, её производной и её производной Шварца на классе Бм (Теорема 2.4).

Результаты 2-ой главы опубликованы автором в [1, 6].

В главе 3 исследуется множество значений функционала (3.1) на классе Ш при фиксированных точках из единичного круга и его внешности. Для исследования этой задачи применяется вариационный метод Голузина. Получено необходимое условие для граничной пары функций этого функционала (неравенство (3.3)).

С помощью этого условия, рассмотренного совместно с варьированной парой функций (1.10), доказано, что объединение образов единичного круга и его внешности при отображении граничной парой функций не имеет в ^-плоскости внешних точек (Лемма 3.1).

Как результат применения неравенства (3.3) и пар вариационных формул (1.11) и (1.12) получена система функционально-дифференциальных уравнений для граничных функций (Теорема 3.1).

Установлено, что общей границей образа единичного круга и его внешности при отображении граничной парой функций является замкнутая жорданова аналитическая кривая. Найдено уравнение кривой, которая ограничивает множество значений функционала (3.1) (Теорема 3.2). Доказаны некоторые следствия.

Полученные результаты распространяют исследования H.A. Лебедева [41].

Результаты 3-ей главы опубликованы автором в [3, 5, 7].

Глава 4 посвящается нахождению множеств значений функционала (4.1) и функционала (4.20) на классе Ш' при фиксированных точках из единичного круга и его внешности. Для решения этих задач применяется вариационный метод Голузина. Получены необходимые условия для граничных функций этих функционалов (неравенства (4.2)-(4.3) и (4.21)-(4.22)).

С помощью указанных неравенств, рассмотренных совместно с малыми вариационными формулами, доказаны леммы 4.1 и 4.2.

На основе вариационных формул Шиффера-Голузина, получены системы функционально-дифференциальных уравнений для граничных функций функционалов (4.1) (Теорема 4.1) и (4.20) (Теорема 4.3).

Показано, что функции из граничных пар отображают единичный круг и его внешность на плоскость с разрезами по конечному числу аналитических дуг. Найдены уравнения кривых, которые ограничивают множества значений функционалов (4.1) (Теорема 4.2) и (4.20) (Теорема 4.4).

Результаты 4-ой главы опубликованы автором в [2, 4, 8].

В заключении формулируются основные результаты диссертации.

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору Игорю Александровичу Александрову за постановку задач и ценные советы.

Глава 1

Метод внутренних вариаций однолистных функций

В настоящей главе доказывается теорема Голузина и как следствие из неё выводятся вариационные формулы в классах 5, Ео и 9Л.

Пусть В С С - область, и IV - некоторое подмножество множества голоморфных в В функций. Говорят, что в классе \¥ имеет место вариационная формула

если для каждой функции /(.г) £ и любого достаточно малого е, £ > 0, функция /(2,е) € причём П(г) голоморфная в Б функция, и о{г,е)/£ —> 0 при е —» 0 равномерно внутри I).

Метод внутренних вариаций для решения экстремальных задач геометрической теории функций в 1943 году был предложен М. Шиффе-ром [67]. Позже Г.М. Голузин [23] привёл свой вариант этого метода, получив вариационные формулы при меньших чем у М. Шиффера предположениях об отображениях.

Результаты 1-ой главы являются широко известными и используются на протяжении всей диссертации.

1.1 Вариационная формула Голузина

Пусть K(r, 1) = {z : 0 < г < \z\ < 1} - круговое кольцо. Допустим, что в К (г, 1) задана голоморфная однолистная при любом фиксированном е € [0, £о)> > 0, функция w = g(z,e), g(z, 0) = z. Будем считать, что при £ € [0,£о) образ

Дг = д(К(г,1),е)

кольца K(r, 1) имеет дополнение до С, состоящее из двух замкнутых множеств, одно из которых не ограничено, а другое, ограниченное, пусть содержит точку w = 0 и ограничено замкнутой аналитической кривой Г(г, е) = gijriS), где - окружность {z : \z\ = ?-}.

Пусть D(e), D(0) = D, - область, получающаяся присоединением к Дг компоненты её дополнения, содержащей точку w — 0. Пусть w = f(z,e) - функция, реализующая однолистное конформное отображение круга U на область D(e). По теореме Римана такое отображение существует и будет единственным, если /(0,е) = 0 и /'(0, £г) > 0. Будем полагать, что f(z,e) удовлетворяет этим условиям нормировки. Вместо /(г, 0) будем писать f{z), т.е. f(z, 0) = f(z). Имеем f(U,e) = D(e), в частности /([/, 0) = D(0), т.е. f(U) = D.

Теорема 1.1. Пусть задана функция f(z). Пусть для каждого ее [0,его)

g(z, е) = f(z) + £zf'(z)q(z) + 0(z, г),

(3{z s)

где lim ' = 0 равномерно внутри К (г, 1) и функция q(z) голоморфна в К (г, 1), следовательно, она раскладывается в нём в ряд Лорана q(z) = T(z) + S(z), где

оо оо

Гм = £^г. ад = $>*».

п—1 п=0

Тогда

Дг,е) = /(*)+"/'(*) ^(г) + Т - ^^ + (1.1)

Доказательство. Будем искать представление функции /{г,е) в виде

/{г, е) = /(г) + ег/'(г)р(г) + о(г, е),

где р(г) - голоморфная в С/ функция.

Введём отображение £ = ф{г,е) кругового кольца К(г, 1), основываясь на указанном далее соответствии областей. Прообразом кривой Г(г, е) при отображении яи = /(С, е) круга {£ : |£| < 1} является некоторая замкнутая жорданова аналитическая кривая С(г,е), вместе с окружностью {£ : = 1} ограничивающая кольцо У£(г, 1). Обозначим через ф(г, е) голоморфное однолистное отображение кругового кольца К(г,е) на кольцо 1), удовлетворяющее условию 0(1, е) = 1. На рисунке представлены рассматриваемые области, кривые и отображения.

Из определения ф(г, е) следует, что функция

g(z,e) = /(ф{г,е)), z е K{r, 1).

При любом £ она продолжается на окружность {г : \г\ = 1} и переводит её в единичную же окружность. По принципу симметрии Римана-Шварца функция ф(г, е) голоморфно продолжается в круговое кольцо К (г, 1 /г), полагая

е) —

ф{г,е) при ге.К(г, 1);

1/ф{1/г,е) при геК(1,1/г). Легко увидеть, что £г) = 1.

Голоморфная в К(г,1/г) функция

1

ф(г,е) = — 1п-,

£ г

где ветвь логарифма выбирается в соответствии с условием 1п 1 = О, представляется разложением в ряд Лорана:

и ( \

2Г

п= 1

п=О

Поскольку на единичной окружности г = егв, О < 9 < 27г, как уже

1

было отмечено, |а>(е , е)| = 1, то Леф(е , е) — - 1п

£

довательно,

оо

Яе ]Г (Ьп(фш + Ъ.п(е)е-т) + 11е&0(£)

п= 1 | оо

ш(егв,£)

оЮ

= 0. Сле-

" ть— 1

Таким образом,

¿0п +

Ъ-п{£)+Ьп{£) е~ш)+КеЪ0(£) = 0

КеЪ0(£) = 0, Ьп(е) = -Ь_„(е), п = 1,2,....

Введём функции

р{г,£) =

/(г,£)-/(2!) ег/'(г)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пчелинцев, Валерий Анатольевич, 2013 год

Литература

[1] Александров И. А., Пчелинцев В. А. Множество значений производной Шварца // Вестник Томск, гос. ун-та. Матем. и мех. 2010. № 3(11). С. 5-12.

[2] Пчелинцев В. А. Об одной экстремальной задаче // Вестник Томск, гос. ун-та. Матем. и мех. 2012. № 3(19). С. 22-30.

[3] Пчелинцев В. А. К задаче о неналегающих областях // Сиб. мат. журн. 2012. Т.53, №6. С. 1391-1400.

[4] Пчелинцев В. А. Об одном функционале на классе пар функций // Вестник Томск, гос. ун-та. Матем. и мех. 2013. № 2(22). С. 44-56.

[5] Пчелинцев В. А. Одна задача о неналегающих областях // Материалы 16-й Саратовской зимней школы. Саратов, 27 января - 3 февраля 2012. С. 137-138.

[6] Пчелинцев В. А. Множество значений функционала I = {/, ¿о} на классе S // Труды III Всероссийской молодёжной научной конференции. Томск, 23 - 25 апреля 2012. С. 51-53.

[7] Пчелинцев В. А. Эллиптические интегралы // Современные проблемы механики: материалы Международной конференции. Томск, 19 - 20 сентября 2012. С. 13-14.

[8] Пчелинцев В. А. Об одном функционале, заданном на множестве пар однолистных функций // Материалы 51-й Международной научной студенческой конференции. Математика. Новосибирск, 12 - 18 апреля 2013. С. 31.

[9] Александров А. //., Александров И. А. Вариационная формула Го-лузина для лёвнеровских отображений круга // Вестник Томск, гос. ун-та. Матем. и мех. 2008. № 1(2). С. 5-10.

[10] Александров И. А. Область значений функционала /={/, на классе 5 // Вопросы математики. Труды Томск, гос. ун-та, 1961. Т. 155, С. 56-60.

[11] Александров И. А. К вопросу о связности множества значений функционала // Вопросы математики. Труды Томск, гос. ун-та. 1961. Т. 155. С. 72-76.

[12] Александров И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976.

[13] Александров И. А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: Том. гос. ун-т, 2001.

[14] Александров И. А. О связи метода параметрических представлений с методами Голузина и Куфарева // Вестник Томск, гос. унта. Матем. и мех. 2008. № 2(3). С. 5-9.

[15] Александров И. А. Комплексный анализ. Часть 2. Томск: Том. гос. ун-т, 2012.

[16] Александров И. А., Андреев В. А. Экстремальные задачи для систем функций без общих значений // Сиб. мат. журн. 1979. Т. 19, №5. С. 684-693.

[17] Аленицын Ю.Е. Об однолистных функциях в многосвязных областях // Матем. сб. 1956. Т. 39(81), № 3. С. 315-336.

[18] Аленицын Ю.Е. О функциях без общих значений и внешней границе области значений функции // Докл. АН СССР. 1957. Т. 115, № 6. С. 1055-1057.

[19] Андреев В. А. Некоторые задачи о неналегающих областях // Сиб. мат. журн. 1976. Т.17, №3. С. 483-498.

[20] Бахтин А. К., Бахтина Г. П., Зелинский Ю.Б. Тополого-алгебраические структуры и геометрические методы в комплексном анализе // Труды Института математики НАНУ. 2008. Т. 73. 308 с.

[21] Бурштейн Л.Х. К вопросу о конформных преобразованиях круга на неналегающие области // Мат. заметки. 1969. Т. 6, № 4. С. 417-424.

[22] Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1950.

[23] Голузин Г. М. Метод вариаций в конформном отображении // Матем. сб. 1946. Т.19. № 2. С. 203-236.

[24] Голузин Г. М. Метод вариаций в конформном отображении II // Матем. сб. 1947. Т.21. № 1. С. 83-117.

[25] Голузин Г. М. Геометрическая теория функций копмлексного переменного. М.: Наука, 1966.

[26] Градштейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ГИФМЛ, 1963.

[27] Гутлянский В. Я., Рязанов В. И. Геометрическая и топологическая теория функций и отображений. Киев: Наукова Думка, 2011.

[28] Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображения. М.: ИЛ, 1962.

[29] Дубинин В. Н. О граничных значениях производной Шварца регулярной функции // Матем. сб. 2011. Т. 202, № 5. С. 29-44.

[30] Дубинин В. Н., Прилепкина Е. Г. О вариационных принципах конформных отображений // Алгебра и анализ. 2006. Т. 18, № 3. С. 39-62.

[31] Кирьяцкий Э.Г. Некоторые свойства обобщённой производной Шварца // Вестник ВГУ. Физ. Матем. 2010. № 1. С. 112-116.

[32] Кирьяцкий Э. Г. Некоторые свойства функций с отличной от нуля п-й разделённой разностью // Сиб. мат. журн. 2012. Т.53, №3. С. 597-612.

[33] Колбина Л. И. Некоторые экстремальные задачи в конформном отображении // Докл. АН СССР. 1952. Т. 84, № 5. С. 865-868.

[34] Колбина Л. И. Конформное отображение единичного круга на неналегающие друг на друга области // Вестник Ленингр. унта. 1955. Вып. 2, № 5. С. 37-43.

[35] Куфарев П. П. К вопросу о конформных отображениях дополнительных областей // Докл. АН СССР. 1950. Т. 73, № 5. С. 881884.

[36] Труды П.П. Куфарева (К 100-летию со дня рождения) / Под общ. ред. И.А. Александрова. Томск: Изд-во НТЛ, 2009.

[37] Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Труды физико-математического института им. В.А. Стеклова АН СССР. 1934. Т. 5. С. 159-246.

[38] Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1966.

[39] Лебедев H.A. Мажорантная область для выражения I = In{zx[f'(z)]1~x/[f(z)]x} в классе S // Вестн. Ленингр. ун-та. Ма-тем., физ. и хим. 1955. Вып. 3, № 8. С. 29-41.

[40] Лебедев H.A. К теории конформных преобразований круга на неналегающие области // Докл. АН СССР. 1955. Т. 103. С. 553555.

[41] Лебедев H.A. Об области значений одного функционала в задаче о неналегающих областях // Докл. АН СССР. 1957. Т. 115, № 6. С. 1070-1073.

[42] Лебедев H.A. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975.

[43] Матвеев П. Н. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. СПб: Лань, 2008.

[44] Мирошниченко Я. С. К вопросу о кривизне линий уровня // Вопросы геометрической теории функций. Изд-во Томск, гос. ун-та. 1969. Т. 210. Вып. 6 С. 62-65.

[45] Прохоров Д. В. Множества значений систем функционалов в классах однолистных функций // Матем. сб. 1990. Т. 181, № 12. С. 1659-1677.

[46] Прохоров Д. В., Захаров А.М. Интегрируемость частного вида уравнения Лёвнера // Изв. Сарат. ун-та. Матем., мех. и информ. 2010. Вып. 2, Т. 10. С. 19-23.

[47] Риман Б. Сочинения. М.-Л.: ОГИЗ, 1948.

[48] Сыркашев А. Н. О вариационном и параметрическом методах в теории однолистных функций // Вестник Томск, гос. ун-та. Матем. и мех. 2003. Т 280. С. 65-75.

[49] Улина Г. В. Об областях значений некоторых систем функционалов в классах однолистных функций // Вестн. Ленингр. ун-та. Матем., физ. и астрон. 1960. Вып. 1, № 1. С. 35-54.

[50] Хейман У. К. Многолистные функции. М.: ИЛ, 1960.

[51] Abate M., Bracci F., Contreras M.D., Diaz-Madrigal S. The évolution of Loewner's differential équation // To appear in Newsletter of the European Mathematical Society, 2010, issue 78, P. 31—38.

[52] Bieberbach L. Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen weiche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitten // Sitzgsher. Preuss Akad. Wiss. 1916. Bd. 138. S. 940-955.

[53] Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture // Acta Math. 1985. V. 154. 1-2. P. 137-152.

[54] Caratheodory C. Untersuchungen über die konformen Abbildungen von festen und veränderlichen Gebieten // Math. Ann. 1912. Bd. 72. S. 107-114.

[55] Caratheodory C. Über die Begrenzug einfach zusammenhängender Gebiete // Math. Ann. 1913. Bd. 73. S. 323-370.

[56] Contreras M. D., Diaz-Madrigal S., Gumenyuk P. Loewner Theory in annulus /: evolution families and differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 2013. V. 365, № 5. P. 2505-2543.

[57] Contreras M. D., Diaz-Madrigal S., Gumenyuk P. Loewner Theory in annulus II: Loewner chains // Preprint 2011. Availiable on arXiv: 1105.3187.

[58] Hille E. Remarks on a paper by Zeev Nehari // Bull. Amer. Math. Soc. 1949. V. 55, № 6. P. 552-553.

[59] Koebe P. Über die Uniformisierung beliebiger analytischen Kurven // Nachr. Gess. Wiss. Gött. Math-Phys. K 1. 1907. S. 191-210.

[60] Koebe P. Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven II // Math. Ann. 1910. Bd. 73. S. 1-81.

[61] Löwner K. Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises // Math. Ann. 1923. Bd. 89. S. 103-121.

[62] Macura J. A variational method for univalent functions connected with antigraphy // Generalizations of Complex Analysis Banach Center Publications 1996. V. 37. P. 21-28.

[63] Nehari Z. Some criteria of univalence // Bull. Amer. Math. Soc. 1949. V. 55, № 5. P. 545-551.

[64] Nehari Z. The schwarzian derivative and univalent functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1954. V. 55, № 6. P. 700-704.

[65] Pommerenke Ch. On a variational method for univalent functions // Michigan Math. J. 1970. V. 17. P. 1-3.

[66] Pommerenke Ch. Univalent Functions. Göttingen, 1975.

[67] Schiffer M. Variation of the Green function and theory of the p-valued functions 11 Amer. J. Math. 1943. V. 65. P. 341-360.

[68] Schramm 0. Scaling limits of loop-erased random walks and uniform spanning trees // Israel J. Math. 2000. V. 118. P. 221-288.

J