Некоторые случаи интегрируемости уравнения Левнера и экстремальные задачи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Садритдинова, Гулнора Долимджановна

• Садритдинова, Гулнора Долимджановна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Садритдинова, Гулнора Долимджановна

Основные обозначения .,.

Введение

Глава I. Один новый случай интегрирования уравнения Левнера .И

§ 1. Основные результаты . .И п. 1. Уравнение Левнера-Куфарева. п. 2. Теорема о существовании и единственности решения уравнения Левнера-Куфарева п. 3. Основные понятия

§ 2. Выбор управления

§ 3. Функция vj/(t)

§ 4. Интегрирование

§ 5. Предельный случай

§ 6. Частный случай

Глава II. Экстремальное управление в задаче вращения на классе Sp

§ 1. Основные понятия и результаты п. 1. Оценки аргумента производной п. 2. Экстремальные управляющие функции в задаче о max arg f'(zo) на классе

§ 2. Параметризация функционала п. 1. Вывод основных формул п. 2. Введение параметров

§ 3. Условие существования единственного вещественного корня некоторого уравнения третьей степени

§ 4. Вспомогательная кривая п. 1. Отображение перехода к вспомогательной кривой п. 2. Параметризация вспомогательной кривой п. 3. Построение графика вспомогательной кривой

§ 5. Нахождение решений некоторого уравнения, доставляющих максимум функционалу I(fp, г) п. 1. Расположение дуг, прообразов дуг вспомогательной кривой п. 2. Аналитическое выражение ветвей, доставляющих максимум функционалу п. 3. Случай р

§ 6. Нахождение экстремальных управляющих функций

Глава III. Свойства решений уравнения Левнера с постоянным управлением

§ 1. Некоторые результаты в задаче о коэффициентах

§ 2. Постановка задачи

§ 3. Решение уравнения Левнера с постоянным управлением п. 1. Интегрирование. п. 2. Геометрия решения

§ 4. Разложение по степеням 2 решения уравнения Левнера с ц = и новое представление полиномов Бранжа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые случаи интегрируемости уравнения Левнера и экстремальные задачи»

В теории аналитических функций значительное место отводится изучению однолистных аналитических функций, т.е. таких аналитических функций, которые в различных точках области принимают различные значения.

Одним из важных классов функций, однолистных в круговой области, является класс S голоморфных однолистных в единичном круге Е = {z : \z\ < 1} функций, нормированных условиями ДО) = О, /'(О) = 1. Многие исследования связаны с р-симметричными (р — 1, 2, .) функциями класса S, выделяющимися в самостоятельный класс Spt причем Sj = S. Подклассы Sp (р = 2, 3, .) не являются вложенными. Пусть число р раскладывается на простые множители Pi. Тогда любая функция, принадлежащая классу Sp, принадлежит и каждому из классов Spi. Класс Sx представляет собой тождественное отображение круга на круг.

Функции f(z) = lim е C,(z, т), которые мы называем предельными для т—>00 решений уравнения Левнера r ti'(x) + С? dx ц цР(т) - с?' ф, 0) = г,

М< 1,

О < X < 00, где ц(т), |ц(т)| = 1, - непрерывная или кусочно-непрерывная функция на [О, оо), входят в класс Sp.

Связанная с этим уравнением теоретико-функциональная конструкция, которая впервые появилась в работе Левнера [89], имеет широкий спектр применений, в том числе и в области теории вероятностей [36], [37].

В каждой из глав данной работы решается отдельная задача геометрической теории функций комплексного переменного, связанная с уравнением (*).

Примеры интегрирования уравнения Левнера в квадратурах единичны. Некоторые случаи интегрируемости найдены Куфаревым П.П. [46], Александ5 ровым И.А. [5], Хеллингом К. [84]. Базилевич И.Е. [20], проинтегрировав более общее уравнение f --crfc. х) с функцией С1 - е-т) Р0(О + е-хР1(О ' 0 < х < 00, где Pq(Q, P\(Q ~ голоморфные в единичном круге функции с положительными вещественными частями, получил формулу

1/>о(о) которая задает совокупность функций, содержащую ряд подклассов класса S.

В первой главе мы приводим новый случай интегрирования уравнения (*), позволяющий сделать заключение о том, что управляющие функции вида ц.(т) = е~г5т ха+Р(т), где 5 е R, а, J3 е R+, х(т), х(0) = 1, | х(х) | = 1, - непрерывно-дифференцируемая на [0, оо) функция, индуцируют решения этого уравнения, в том числе отличные от отображения круга на круг с разрезами.

В §§ 2, 3 главы I вводится условие, необходимое для интегрирования уравнения (*) с указанным управлением ц(т), и исследуется влияние этого условия на управляющую функцию.

В § 4 интегрируется уравнение Левнера с выбранным управлением и тем самым доказывается теорема о принадлежности функции Q - е~г8т хР w, где w неявно за, ¡ется интегральным уравнением, к множеству однолистных функций, отображающих круг Е на ^-симметричные круговые области.

В § 5 находится функция f(z), предельная для полученного решения С, - C,(z, т), и формулируется вытекающая отсюда теорема о принадлежности этой функции к классу Sp. fiz) =

0Нехр )P№-Ur№dudv

Шестой параграф посвящен частному случаю решенной задачи с описанием геометрии найденных функций.

Широкий круг вопросов теории однолистных функций (теоремы искажения и вращения, задачи о радиусе и кольцах звездности и др.) связан с изучением системы функционалов на классе S при фиксированном Zq е Е\{0}. Эту систему и ее частные случаи рассматривали БибербахЛ., Грунский Г., Голузин Г.М., Базилевич И.Е., Куфарев П.П., Лебедев H.A., Александров И.А., Копанев С.А., Попов В.И., Улина Г.В. и другие. Исследования велись, в основном, методом внутренних вариаций [28], [95], методом параметрических представлений [89], методом интегральных средних [21], методом контурного интегрирования [77], методом площадей [51], методом структурных формул [43] и методом Куфарева [44], объединившим метод внутренних вариаций и метод параметрических представлений.

Первое полное решение задачи о множестве D значений данной системы функционалов было дано Поповым [57].

Представляет интерес новая задача об описании управляющих функций в уравнении Левнера, приводящих к граничным значениям множества D.

Целью работы, проведенной во второй главе настоящей диссертации, является решение этой задачи для функционала I(fp, г) = arg f'p(r), fp е Sp (р = 2, 3, .), г = |z0|, е Е\{0}. Александров И.А. и Александров А.И. в работе [7] решили задачу для р = 1 и проинтегрировали уравнение Левнера с найденными управляющими функциями.

Мы находим экстремальные управляющие функции Ho,i(t), соответствующие экстремумам функционала I(fp, г), используя метод параметрических представлений.

В § 2 главы II проводится параметризация функционала, приводящая к формуле а где

2 £ 2£

-72ТТ+;2 + 52

О < а < 1,

0 < 5 < 1.

В § 3 выводится условие существования единственного вещественного положительного корня уравнения

3 2 1 ~ ~ 252 + - 252 - 2Р53 + , " I Х- л .

1 + 1 + ря р53 + Л-4 VI— =

1 + рБ

В случае выполнения этого условия уравнение

1 1 - ¿2 - Ь2 рз( 1 + ¿2)2 + (52 + ¿2)2 - 0. ^^ где £2 = х, имеет только два вещественных корня ¿о,1 = ¿о^ОХ доставляющих минимальное и максимальное значения функционалу /(/р, г).

В § 5 находятся решения уравнения (**), которые дают максимум функционалу Д/р, г). Для этого в § 4 вводится и исследуется вспомогательная функция

1 ь + и д

Р V2+1 и2 + 1

В § 6 даются формулы для экстремальных управляющих функций. В третьей главе исследуются свойства решений уравнения Левнера с постоянным управлением гч>

I У е + у # # * ) с?т е" - С1

С^, 0) =гь N < 1, 8 где -% < ф < 7t, как функций начального условия с целью попытки получить более простое, нежели у Аски и Гаспера [67], доказательство неотрицательности полиномов Бранжа на [0, оо). Мы используем новое представление полиномов Бранжа в виде суммы определенных полиномов.

В § 2 главы III ставится задача о знаке коэффициентов разложения но степеням г решений уравнения (***). Без потери общности эту задачу можно решать для уравнения с -1 + е dx ^ -1 - (Р ' ф, 0)=г, И<1, В § 3 дается решение уравнения (****) и указываются свойства решения. В § 4 указываются формулы для разложения функции C,(z, т) по степеням z. Для нахождения этих формул мы предварительно доказываем некоторое утверждение о рядах, сформулированное Фазенмайер в [25]. Основываясь на этом разложении, получаем возможность представить полиномы Бранжа в виде суммы определенных полиномов. Показано, что для Уi)(?+i, Yi,q+2 полиномы-слагаемые сохраняют положительный знак для т е [0, да), что свидетельствует в пользу гипотезы, а в представлении У3 4 имеется полином, меняющий свой знак на этом промежутке, что свидетельствует против высказанного предположения.

Перечислим кратко основные результаты диссертации.

Найден новый случай интегрирования уравнения Левнера. Доказана теорема о принадлежности однозначной ветви функции Z

1 / тр С

1 - ир)ищ'~Х du f{z) = тр (1 - уир) »42s+l О где 5 е R, s е R+, р е N, т = s(l + гб), у = е

2 грч>

71 ^ JL с ф < ^ , классу ^ р'

Найдены экстремальные управляющие функции в задаче вращения на классе Sp (р = 2, 3, .) при помощи параметрического метода Левнера.

Получено условие, при выполнении которого уравнение шестой степени, чьи решения доставляют функционалу I(fp, г) = arg f 'p(r), fp e Sp, экстремальные значения, имеет только два вещественных корня.

Дано применение формул, связывающих полиномы Бранжа с решениями уравнений Левнера с постоянным управлением. Получено представление полиномов Бранжа в виде суммы некоторых полиномов, что позволило дать более простое доказательство теоремы Аски и Гаспера о полиномах Бранжа в частных случаях.

Основные положения диссертации опубликованы в [14], [15], [60]—[62], в частности, результатам первой главы посвящены публикации в журналах «Доклады Академии Наук» и «Известия высших учебных заведений», результатам третьей главы - статья в Томском сборнике научных трудов «Исследования по математическому анализу и алгебре». Результаты диссертации докладывались на международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 30 августа - 3 сентября 1999 г.), на XXXVIII международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», посвященной 100-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 10-14 апреля 2000 г.).

Приношу глубокую благодарность моему научному руководителю Игорю Александровичу Александрову за большую помощь в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Садритдинова, Гулнора Долимджановна, 2000 год

1. Александров А.Д. Комбинаторная топология. М.-Л.: Гостехиздат, 1947.

2. Александров И.А. Гипотеза Бибербаха и задача о колебании струны // Докл. расширенных заседаний семинара института прикладной математики им. Векуа. Тбилиси, 1990. Т. 5. № 3. С. 9-13.

3. Александров И.А. Граничные значения функционала / = J{f, f, f', f') на классе голоморфных однолистных в круге функций // Сиб. матем. журн. 1963. Т. 4. № 1. С. 17-31.

4. Александров И.А. Доказательство Л. де Бранжа гипотезы И.М. Милина и гипотезы Л. Бибербаха // Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28. № 2. С. 7-20.

5. Александров И.А. Об одном случае интегрирования уравнения Левнера // Сиб. матем. журн. 1981. Т. 22. № 2. С. 207-209.

6. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976.

7. Александров H.A., Александров А.И. Экстремальные управляющие функции в уравнении Левнера в теореме вращения // ДАН. 2000. Т. 371. № 1. С. 7-9.

8. Александров И.А., Александров А.И., Касаткина Т.В. Функционал Милина и полиномы де Бранжа // Актуальные проблемы современной математики. Сб. научн. трудов. Новосибирск: Изд-во НИИ МИОО НГУ, 1997. Т. 3. С. 13-18.

9. Александров И.А., Никульшина М.Н. К теории подчиненных функций // Укр. матем. журн. 1972. Т. 24. № 2. С. 195-198.

10. Александров И.А., Попов В.И. Весовые функции де Бранжа // Республик. совещ.-семинар по комплексному анализу и прикладным задачам управления. Тез. докладов. Киев, 1989. С. 4-5.

11. Александров И.А., Садритдинова Г.Д. Интегральные представления однолистных функций // Междунар. конфер. по анализу и геометрии. Тез. докладов. Новосибирск: Изд-во ин-та матем., 1999. С. 5.

12. Александров И.А., Садритдинова Г.Д. Отображения с симметрией вращения // Изв. вузов. Матем. 1998. № 10. С. 3-6.

13. Альфорс A.B. Неравенство между коэффициентами й2 и аА однолистной функции // Некотор. пробл. матем. и механ. М.: Наука, 1970. С. 71-74.

14. Бабенко К.И. К теории экстремальных задач для однолистных функций класса S // Тр. матем. ин-та АН СССР. 1972. Т. 101. С. 1-318.

15. Базилевич И.Е. К проблеме коэффициентов в теории однолистных функций // Матем. сб. 1936. Т. 1(43). N? 2. С. 211-228.

16. Базилевич И.Е. Области начальных коэффициентов ограниченных однолистных функций р-кратной симметрии // Матем. сб. 1957. Т. 43. № 4. С. 409-428.

17. Базилевич И.Е. Обобщение одной интегральной формулы для подклассов однолистных функций // Матем. сб. 1964. Т. 64(106). № 4. С. 628-630.

18. Базилевич И.Е. Об оценке среднего модуля и коэффициентов однолистных функций. Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1961. С. 7-40.

19. Базилевич И.Е. О дисперсии коэффициентов однолистных функций // Матем. сб. 1965. Т. 68. № 4. С. 549-560.

20. Базилевич И.Е. О теоремах искажения и коэффициентах однолистных функций // Матем. сб. 1951. Т. 28. № 2. С. 147-164.

21. Базилевич И.Е. Sur les theorems de Koebe-Bieberbach // Матем. сб. 1936. T. 1(43). № 3. С. 283-292.

22. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1967.

23. Голузин Г.М. Внутренние задачи теории однолистных функций // Успехи матем. наук. 1939. Вып. 6. С. 26~89.

24. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

25. Голузин Г.М. Метод вариаций в конформном отображении // Матем. сб. 1946. Т. 19. № 2. С. 203-236.

26. Голузин Г.М. О коэффициентах однолистных функций // Матем. сб. 1948. Т. 22. № 3. С. 373-380.

27. Голузин Г.М. О теоремах искажения в теории конформных отображений // Матем. сб. 1936. Т. 1(43). № 1. С. 126-135.

28. Горяйнов В.В. Граничные функции системы функционалов, составленной из значений однолистной функции и ее производной // Изв. вузов. Матем. 1982. № 7. С. 72-74.

29. Горяйнов В.В. К геометрии конформного отображения // Тр. 2-й Сара-товск. зимн. школы. Саратов, 1986. Ч. 2. С. 84-87.

30. Горяйнов В.В. Общая теорема единственности и геометрия экстремальных конформных отображений в задачах искажения и вращения // Изв. вузов. Матем. 1986. № 10. С. 40-47.

31. Горяйнов В.В. Об экстремалях в оценках функционалов, зависящих от значений однолистной функции и ее производной // Теория отображений и прибл. функций. Киев, 1983. С. 38-50.

32. Горяйнов В.В. Полугруппы конформных отображений // Матем. сб. 1986. Т. 129. № 4. С. 451-472.

33. Горяйнов B.B. Эволюционные семейства аналитических функций и неоднородные по времени марковские ветвящиеся процессы // ДАН. 1996. Т. 347. № 6. С. 729-731.

34. Горяйнов В.В., Полковников A.A. Аналог метода производящих функций для ветвящихся процессов с непрерывным пространством состояний // Обозрение прикл. и пром. математики. Сер. Вероятность и статистика. 1998. Т. 5. Вып. 2. С. 215-216.

35. Гриншпан А.З. Коэффициентные неравенства для конформных отображений с гомеоморфным продолжением // Сиб. матем. журн. 1985. Т. 26. N? 1. С. 49-65.

36. Гриншпан А.З. Логарифмические коэффициенты функций класса S // Сиб. матем. журн. 1972. Т. 13. № 5. С. 1146-1157.

37. Гриншпан А.З. Однолистные функции и регулярно измеримые отображения // Сиб. матем. журн. 1986. Т. 27. № 6. С. 50-64.

38. Гутлянский В.Я. Параметрические представления и экстремальные задачи в теории однолистных функций. Дис. докт. физ.-матем. наук. Киев, 1972.

39. Гутлянский В.Я. Параметрическое представление однолистных функций // ДАН СССР. 1970. Т. 194. № 4. С. 750-753.

40. Зморович В.А. О некоторых вариационных задачах теории однолистных функций // Укр. матем. журн. 1952. Т. 4. № 3. С. 276-298.

41. Куфарев П.Г1. Об одном методе исследования экстремальных задач теории однолистных функций // ДАН СССР. 1956. Т. 107. № 5. С. 633-635.

42. Куфарев П.П. Об однопараметрических семействах аналитических функций // Матем. сб. 1943. Т. 13(55). № 1. С. 87-118.

43. Куфарев П.П. Одно замечание об интегралах уравнения Левнера // ДАН СССР. 1947. Т. 57. № 7. С. 655-656.

44. Лебедев H.A. Мажорантная область для выражения / = zx f'(zy~x/f(z)x в классе S // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. Матем., физики и химии. 1955. Вып. 3. № 8. С. 29-41.

45. Лебедев H.A. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975.

46. Лебедев H.A., Милин И.М. Об одном неравенстве // Вестн. ЛГУ. 1965. № 19. С. 157-158.

47. Майков Е.В. т-непрерывность и т-дифференцируемость функционала // ДАН СССР. 1964. Т. 155. № 2. С. 266-269.

48. Милин И.М. Метод площадей в теории однолистных функций // ДАН СССР. 1964. Т. 154. № 2. С. 264-267.

49. Милин И.М. Однолистные функции и ортонормированные системы. М.: Наука, 1971.

50. Милин И.М. О коэффициентах однолистных функций // ДАН СССР. 1967. Т. 176. № 5. С. 1015-1018.

51. Милин И.М. Оценка коэффициентов однолистных функций // ДАН СССР. 1965. Т. 160. № 4. С. 769-771.

52. Попов В.И. Исследование некоторых функционалов и свойств линий уровня на классах однолистных функций. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Томск, 1965.

53. Попов В.И. К методу параметрических представлений // Вопросы геометрической теории функций. Тр. Томск, ун-та. 1964. Т. 175. Вып. 2 С. 73-77.

54. П опов В.И. Область значении одной системы функционалов на классе S // Тр. Томск, ун-та. 1965. Т. 182. Вып. 3. С. 106-132.

55. Попов В.И. Об одной системе функционалов на классе S // Докл. III Сиб. конф. по матем. и механ. Томск, 1964. С. 63-64.

56. Привалов И.И. О функциях, дающих однолистное конформное отображение // Матем. сб. 1924. Т. 31. № 3. С. 350-365.

57. Садритдинова Г.Д. Об одном случае интегрирования уравнения Лсвнера с симметрией вращения // ДАН. 1999. Т. 368. № 4. С. 462-463.

58. Садритдинова Г.Д. Свойства решений уравнения Левнера с постоянным управлением // Исслед. по матем. анализу и алгебре: Сб. науч. трудов. Томск: Изд-воТГУ. 2000. С. 129-134.

59. Садритдинова Г.Д. Экстремальное управление в задаче вращения // Материалы XXXVIII Междунар. науч. студенч. конфер. «Студент и науч.-тех. прогресс». Матем. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2000. Ч. 2. С. 58.

60. Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. М.: Физматгиз, 1961.

61. Улина Г.В. Об областях значений некоторых систем функционалов в классах однолистных функций // Вест. Ленингр. ун-та. Сер. матем., механ., астр. 1960. Вып. 1.С. 34-54.

62. Фитцджеральд К.X., Поммеренке X. Теорема де Бранжа об однолистных функциях // Сердика. Бълг. мат. спис. 1987. Т. 13. № 1. С. 21-25.

63. Широков Н.А. Теорема регулярности Хеймана // Зап. научн. семин. ЛОМИ АН СССР. 1972. Т. 24. С. 182-200.

64. Askey R., Gasper G. Positive Jacobi polynomial sums II // Amer. J. Math. 1976. V. 98. N 3. P. 709-737.

65. Baernstein A. II. e. a. (Ed.) The Bieberbach conjecture. Proceedings of the symposium of the occasion of the proof // Amer. Math. Soc. 1986. Providence, R. I. N 21. 218 p.

66. Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln // Sitzungsberichte Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1916. S. 940-955.

67. Bombieri E. On the local maximum property of the Koebe function // Invent. Math. 1967. V. 4. N 1. P. 26-67.

68. Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture // Acta Math. 1985. V. 154. N 1-2. P. 137-152.

69. Charzynski Z., Schiffer M. A new proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient ,// Arch. Ration. Mech. and Anal. 1960. V. 5. N 3. P. 187-193.

70. Dieudonne J. Sur les functions univalentes // C. R. Acad. sei. Paris. 1931. P. 1148-1150.

71. Fekete M., Szegö G. Eine Bemerkung über ungerade schlichte Funktionen // J. London Math. Soc. 1933. V. 8. P. 85-89.

72. Fitzgerald C.H. Quadratic inequalities and coefficient estimates for schlicht functions // Arch. Rational Mech. and Anal. 1972. V. 46. N 5. P. 356-368.

73. Fomenko O.M., Kuz'mina G.V. The last 100 days of the Bieberbach conjecture // Math. Intel 1. 1986. V. 8. N 1. P. 40-47.

74. Garabedian P.R., Schiffer M. Indentities in the theory of conformai mapping // Proc. Amer. Math. Soc. 1949. V. 65. P. 187-238.

75. Garabedian P.R., Schiffer M. A proot of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient // J. Rational Mech. and Anal. 1955. V. 4. N 3. P. 427-465.

76. Garabedian P.R., Schiffer M. The lacal maximum theorem for the coefficients univalent functions // Arch. Rational Mech. and Anal. 1967. V. 26. N 1. P. 1-32.

77. Grad A. Coefficient regions of schlicht functions // Amer. Math. Soc., Colloqium Publ. New York, 1950. V. 35. P. 19-25.

78. GrunskyH. Koeffizientenbedingungen für schlichtabbildene meromorphe Funktion // Math. Z. 1939. Bd. 45. Hf. 1. S. 29-61.

79. GrunskyH. Zwei Bemarkughen zur konformen Abbildung // Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 1934. Bd. 43. S. 140-142.

80. Hayman W. The asymptotic behavior of p-valent functions // Proc. London Math. Soc. 1955. V. 5. N 19. P. 257-284.

81. Helling K. Beiträge zur Theorie der Löwnerschen Differentialgleichung //Wiss. Z. Päd. Hochsch. «Liselotte-Herrmann» Güstrow. Math. naturwiss. Fak. 1976. Bd. 2. S. 319-328.

82. Horowitz D. A further refinement for coefficient estimates of univalent functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1978. V. 71. N 2. P. 217-221.

83. Kaplan W. Close-to-convex schlicht functions // Michigan Math. J. 1952 (1953). V. 1. N 2. P. 169-185.

84. Littlewood J.E. On inequalities in the theory of functions // Proc. London Math. Soc. 1925. V. 23. P. 481-519.

85. Littlewood J.E., Paley R.E.A.C. A proof that an odd schlicht function has bounded coefficients // J. London Math. Soc. 1932. V. 7. Pt. 3. N 27. P. 167-169.

86. Löwner K. Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Fin-heitskreises //J. Math. Ann. 1923. Bd. 89. S. 103-121.

87. Löwner K. Untersuchungen über die Verzerrung bei konformen Abbildungen des Einheitskreises \z\ < 1, die durch Funktionen mit nicht verschwindenderAbleitung geliefert werden // Ber. Verh. Sachs. Ges. Wiss.-Leipzig, 1917. Bd. 69. S. 89-106.

88. Pederson R.N., Schiffer M. A proff of the Bieberbach conjecture of the fifth coefficient // Arch. Rational Mech. and Anal. 1972. V. 45. N 3. P.161-193.

89. Robertson M.S. A remark on the odd schlicht functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1936. V. 42. N 6. P. 366-370.

90. Schiffer M. A method of variation within the family of simple function // Proc. London Math. Soc. 1938. V. 44. P. 432-449.

91. Schiffer M. Variation of the Green function and theory of jy-valent functions // Amer. J. Math. 1943. V. 65. N 2. P. 341-360.

92. Waadeland A.H. Fra bieberbachs formondning til de Branges' setning // Normat. 1986. V. 34. N 3. P. 97-112.

93. Zemanek J. Hipoteza Biebebacha, 1916-1984 // Rocz. PTM. 1986. N 1. S. 1-13.