Оценка аппроксимативных возможностей линейных операторов в связи с конечномерным представлением сигналов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат физико-математических наук Батухтина, Ирина Юрьевна

• Батухтина, Ирина Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Батухтина, Ирина Юрьевна

Введение.

Глава 1. Оценка некоторых величин, характеризующих аппроксимативные свойства линейных положительных операторов.

1.1. Аппроксимирующие последовательности линейных положительных операторов.

1.2. Оценка приближения функций класса 1лрм1.

Основная

Оценка снизу величины

1п [\(-х\2,х лемма.

1.4. Случай г=1.

1.5 Случай г=2.

1.6. Оценки, получаемые на основе свойств решетчатых упаковок.

Оценки, использующие решетку Zr.^б

1.8. Упаковки на основе решетки Аг.

1.9 Упаковки на основе решетки Д.

1.10 Оценки, на основе решеток Аг и Ц.

Глава 2. Оценка снизу выражений содержащих характеристики аппроксимативных свойств операторов класса 5 , и возможности предварительного анализа некоторых видов аппроксимирующих операторов.

2.1 Вводные замечания.

2.2. Оценка аппроксимативных свойств некоторых операторов класса £

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка аппроксимативных возможностей линейных операторов в связи с конечномерным представлением сигналов»

Обработка как одномерных, так и многомерных сигналов является основой многих направлений техники, таких как, обработка изображений и сигналов антенных решеток, радио- и гидролокация, сейсмология, радиоастрономия и др. Преобразование сигналов можно рассматривать, используя принципы теории приближения, и в частности с помощью линейных операторов {£„}.

Например, известно, что линейные операторы, являющиеся методами суммирования рядов Фурье, могут быть применены для определения качества цифрового фильтра, которые в свою очередь, используются в радиолокации, обработке речевых сигналов и многих других областях. Заметим, что коэффициенты метода суммирования интерпретируются как взвешивающие множители цифрового фильтра нижних частот с линейной фазой.

Задачи преобразования сигналов не исчерпываются фильтрацией. Весьма важной задачей является представление сигнала (как одномерного, так и многомерного) суммой сигналов более простого вида (см. [31]). Эта задача имеет прямую аналогию с задачей приближения функций последовательностью линейных операторов [Ьп].

В диссертационной работе некоторые вопросы конечномерного представления сигналов изучаются средствами теории приближений. Сигнал (одномерный или многомерный) можно интерпретировать как функцию заданную на конечном отрезке (для одномерного сигнала на практически конечном временном промежутке) или на ограниченной области (для многомерного сигнала).

Задача, которая рассматривается, касается принципиальных возможностей представления сигнала конечной суммой. Мы рассматриваем задачу в самом общем виде, не накладывая существенных ограничений (кроме непрерывности) на составляющие сигналы. Точные формулировки приводятся далее.

Для того чтобы более подробно обозначить круг задач в исследуемой области, оговорим используемые обозначения.

Будем обозначать: Ln:C(Q)->Pn - последовательность линейных операторов, отображающих один (входной) сигнал на другой (выходной). Где C(Q) - множество функций непрерывных на компакте QaRr с чебышевской нормой (множество функций С(<2) можно трактовать, как множество непрерывных r-мерных входных сигналов), Рп с= с(0) подпространство размерности п (соответственно множество значений Рп f r-мерные представляющие сигналы), R (г > 0 - целое), г-мерное евклидово пространство (г -я декартова степень множества действительных чисел R).

Операторы {Ln} должны по некоторой непрерывной функции / привести к последовательности представляющих сигналов, которые принято обозначать L^ {f{t\ х), где fit) - сигнал, подлежащий обработке, х аргумент полученного образа, t,x<EQf / = (^,¿2,.,^), x =

Последовательность j/^j- ^ назовем аппроксимирующей, если V/ е C(Q) выполняется (при п —» оо) К (/(О, X) - f(x) I = max|l„ Сfit), х) - f{x] ^ 0.

Ч xeQ

Одной из характеристик приближения функции или степени достоверности представления сигнала конечной суммой, является скорость убывания указанной нормы. Для ее определения обращаемся к аппроксимационным оценкам. Аппроксимационными оценками называются неравенства вида:

Ln{f(t),x)-f(x}\<an.

Получение аппроксимационных оценок является одной из основных задач теории приближений. Величина ап, составляющая правую часть аппроксимационной оценки, зависит от характеристик функции / и от тех или иных характеристик аппроксимирующих последовательностей операторов \Ьп}. Например, достаточно давно известна оценка, для случая, если {Ьп} линейные положительные операторы, удовлетворяющие равенству

Ьп(\,х) = 1, а функция /(/) принадлежит классу Ьірм 1 (определения приводятся в основной части в главах 1 или 2) ьп{т,х)-/{х)\<м^а(Г) где d{Lnh

Ljy I 11 х\ х

Функцию t-x можно интерпретировать как сигнал наиболее плохо (в определенном смысле) представляемый конечной суммой.

Таким образом, можно сказать, что определенная выше величина d(lJ является характеристикой аппроксимативных свойств линейных положительных операторов. О других характеристиках аппроксимативных свойств линейных (не обязательно положительных) операторов мы скажем в свое время.

Основной предмет диссертации - получение оценок снизу (или оценок ограничительного типа) для этих характеристик. В частности, в первой главе получены оценки упомянутой выше величины d(yLОни значительно сильнее, чем оценки Р.К.Васильева [14] (которые, насколько известно, до этого усилены не были).

Кратко остановимся на истории исследуемого вопроса. Первое ограничительное утверждение доказал П.П. Коровкин [29] (см. также [27]). Один из вариантов доказанной им теоремы выглядит следующим образом: при г = 1, если Ln:C[a,b]—> Рп - последовательность линейных положительных операторов, Рп - множество алгебраических полиномов степени п, Ln (l,jc) = 1, то lim п

И-»со

Оценки ограничительного типа для случая г — 1 и произвольного Рп не обязательно пространства алгебраических полиномов) получил B.C. Виденский [15], [16]. Одна из этих оценок выглядит следующим образом (при Q = [ОД]) d[Ln)>0,25rf2.

Эта оценка является исчерпывающей (увеличить коэффициент 0.25 нельзя). Заметим, при r> 1 исчерпывающих оценок пока не получено.

Кратко, идея построений B.C. Виденского заключается в следующем. Для фиксированного п строится функция rjn (t) такая, что при этом Т]п (0 принадлежит классу LipM 1, при М-2п. После чего используется известная аппроксимационная оценка (см. выше), которая в данном случае даст неравенство

Ln (Ли (0. х) - лп (*)|| * 2nJd(Lj. Отсюда и следует ограничительное неравенство B.C. Виденского, о котором мы уже сказали.

Следуя, в основном тому же плану, Р.К. Васильев в работе [14] получил ограничительные неравенства для произвольного целого г > 1. Его результат (для Q - [0,l]r ) ( — ^ d(Ln)>0,25r~]nr +о пг

V J

В статье [1] Ю.Г. Абакумов предложил во многом сходную схему (указывая, что он буквально следует основным идеям B.C. Виденского). Ю.Г. Абакумов разобрал случай г = 2. Благодаря тому, что rjn (t) строились более рационально, чем у Р.К. Васильева, в оценке удалось избежать лишнего, как оказалось) множителя г-1.

В первой главе диссертации идеи, намеченные и кратко изложенные в [1], получают развитие и подробное изложение.

Результаты сформулированные в теореме 1.1 принадлежат автору. Первая глава разбита на 9 пунктов (параграфов).

В первых двух пунктах 1.1 и 1.2 излагаются хорошо известные результаты, касающиеся аппроксимирующих последовательностей линейных положительных операторов.

В 1.3 доказывается принадлежащее автору утверждение {лемма 1.1), которое имеет ключевое значение для дальнейшего: если существует множество, состоящее из п +1 открытых шаров попарно не пересекающихся, диаметра а и с центрами, принадлежащими <2 = [0Д]Г, то выполняется

Ln\t-x\2,x/ 0,25а2, где Ln: C(Q) —>Рп - последовательность линейных положительных операторов.

Таким образом, задача получения ограничительных неравенств, связывается с задачей построения как можно более плотной упаковки шаров одинакового диаметра.

Эта задача и ряд связанных с ней имеют давнюю историю. При работе над диссертацией использовались сведения из монографии JI. Тота [31] и, главным образом, из оригинального издания отдельных работ, объединенных в двухтомнике [26].

В пункте 1.4 и 1.5 рассматриваются частные случаи г = \ и г=2. Для этих случаев получены (на основе леммы 1.1), оценки снизу величины d[b, при этом в случае г = 1 оценка совпадает с оценкой B.C. Виденского.

В пункте 1.6 излагается схема получения значения диаметра а, фигурирующего в лемме 1.1, через п - размерность аппроксимирующего пространства. Это можно сделать используя известные значения плотности какой-либо конкретной решетчатой упаковки шаров. Оценка будет, тем сильнее, чем выше эта плотность.

В пункте 1.7 на основе использования кубической решетки Ъг получена оценка d{Ln)> 0,25 п' где [х] = шах[п:пе Z,n<x).

Можно заметить, что уже эта оценка сильнее, чем оценка Р.К.Васильева. Использование более плотных упаковок позволяет получить еще более сильные оценки.

В пункте 1.8 приведен авторский вывод аналитического выражения плотности упаковки на основе решетки Аг. (образующие векторы базиса этой решетки являются ребрами правильного симплекса). Полученное значение плотности совпадает с приведенным в [25] (в [25] подробного вывода не приводится).

В пункте 1.9 получено аналитическое выражение плотности упаковки на основе решетки Dr.

В пункте 1.10 сформулирован итоговый результат (теорема 1.1). Этот результат составляют оценки: 1) полученная на основе решетки Аг: d{Ln)> 1

2r4r + \

2) полученная на основе решетки Dr: п г +о 2\ П г d{Ln)> 1

2л/4 п г +0 2^ П г

Вторая глава относится к изучению аппроксимативных свойств линейных операторов :С[0,#]Р или в периодическом случае ьп \ С1п ~>Рп ■ Функции из области определения С(()) можно трактовать, как непрерывные одномерные входные сигналы, полиномы Ьп (/(0, х) из Рп последовательности выходных сигналов.

В этой главе будут рассмотрены операторы свертки вида

W(0,*)=^ )/('+(¿К п -я I где ¡V - четное тригонометрическое ядро, а = - нормирующий

-я множитель. Последовательность [¿п] удовлетворяющих условию £/(/я, {/гЛ },{&,•}) записывается следующим образом: при фиксированном п их выполняется с ґ т-1

Изучение аппроксимирующих последовательностей операторов, приведенного вида, является относительно новой областью исследований. Конкретные примеры последовательностей {£„}, удовлетворяющих условию приведены в работах В.А.Баскакова, Е.М.Ершовой и некоторых других.

Основной задачей, для неположительных операторов, остается определить теоретически возможную близость последовательностей к его исходному сигналу. Показателями аппроксимативных свойств последовательностей операторов являются величины

0. 0 X

Аппроксимационные оценки для последовательностей {¿/7}, удовлетворяющих условию получены лишь в отдельных частных случаях (О.Н. Шестакова, Ю.Г. Абакумов, Е.П. Галайда).

Оценки ограничительного типа для таких последовательностей впервые получены в работах автора. Эти результаты отражены во второй главе.

В пункте 2.1 приводятся известные на настоящий момент аппроксимационные оценки, полученные О.Н. Шестаковой, Ю.Г. Абакумовым и Е.П. Галайдой.

Эти оценки используются в дальнейшем для получения ограничительных неравенств, при этом: в п. 2.2 используются оценки доля функций класса Ырм\, в п. 2.3 - для функций класса , в п. 2.4 - для

2 1 функций класса Ж Нм.

Приведем некоторые из полученных оценок ограничительного типа. Если аппроксимирующая последовательность удовлетворяет условию £/( то выполняется следующее неравенство

2 п

Если при этом р® = ^ д(2) = 0(п-2 ^ то \шткп > .

П—^

Далее, если удовлетворяет условию £/(2, },{£}), то - 1) * *(* + 1) " * - 1)

Ък2 + Зк + 2 „(1) 2к1+к-21 о л--— -В н--п > —

1 ПП ~ ~ ' + 1) и £-1 " 2и

Если же при этом, имеет точный порядок п~х, к> 1, = $ = «Г»"1). то

Иш л/^ > —•- ^ * и^оо 2 2кг+к-2

Для тех же операторов (то есть, для удовлетворяющих условию £/(2,{/?„},{&}) выполняется неравенство (2.17))

12 + 2(2* + * + 1) (2) + * к(к +1) й * п Ип к(к +1) Нп к

Л , с?, , 1 „ ^ „2 2

2+* + 'А дМ + пг'п ~ 2+Х ¿ + 1 " 4и 1б«?

Всего во второй главе получено 16 теорем.

Полученные в диссертационной работе неравенства для величин (I [Ьп) и Рп , составляющих правые части аппроксимационных оценок характеризуют скорость убывания указанной нормы или применительно к теории сигналов определяют степень достоверности представления входного сигнала. Причем, величина является характеристикой аппроксимативных свойств линейных положительных операторов, а для неположительных.

Список литературы содержит цитируемые источники, а также некоторые другие, относящиеся к затронутым в диссертации вопросам.

13