Исследование свойств линейных аппаратов приближения непрерывных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Шахвердиев, Вагиф Магеррам оглы

• Шахвердиев, Вагиф Магеррам оглы
• 1984

Оглавление диссертации Шахвердиев, Вагиф Магеррам оглы

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ОДНОЙ ОБЩЕЙ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ .ОПЕРАТОРОВ

§ 1.1. Обозначения, определения и некоторые вспомогательные результаты

§ 1.2. Свойства операторов . л?

§ 1.3. О порядке приближения операторами (гп

ГЛАВА П. ИССЛЕДОВАНИЕ МОНОТОННОСТИ И ЗВЕЗД0

0БРАЗН0СТИ НЕКОТОРЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ЛИНЕЙНЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

§ 2.1. Основные определения и вспомогательные результаты.

§ 2.2. Условия монотонности последовательности операторов IV и их применение

§ 2.3. Условие монотонности последовательности и их производных и о звездо-образности этих операторов.*

§ 2.4. Условия монотонности последовательности полиномов С/,-*) и их производных и о звездообразности этих операторов

ГЛАВА Ш. ОБ УСЛОВИЯХ МОНОТОННОСТИ НЕКОТОРЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 3.1. Условия монотонности последовательности полиномов С.Н.Бернштейна-А.О.Гельфонда для функций двух переменных.

§ 3.2. Условия монотонности последовательности полиномов типа Бернштейна ¿В* я,£) для функций двух переменных . МЗ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование свойств линейных аппаратов приближения непрерывных функций»

Одним из основных направлений в современной конструктивной теории функций является эффективное построение линейных агрегатов, приближающих функций из заданного класса.

К числу простейших агрегатов такого типа относятся классические интегралы .Пуассона, Гауса-Вейерштрасса, Ландау, Пикара, Джексона, Фейера, полиномы Бернштейна, Гельфенда, Хлодовского, наконец частные суммы рядов Фурье. Различные свойства этих аппаратов приближения описаны в широко известных монографиях О 3 7 > [«Я , [Р{ ], и других. Характерной чертой их конструкций является то, что они переводят неотрицательные функции в неотрицательные, т.е. являются положительными линейными операторами.

В 1953 году П.П.Коровкин [ [в ] заметил, что для линейных положительных операторов можно значительно упростить условия классической теоремы Банаха-Штейнгауза, в пространстве функций непрерывных на конечном отрезке, достаточно потребовать только сходимость на трех простых функциях.

ТЕОРЕМА Ш.П.Коровкин [($") ). Если для последовательности линейных положительных операторов Д(г(^;х) выполнены три условия то равномерно на если ^ (ос.) непрерывна на (а., $ ] , непрерывна в точке ас- ои слева, в точке Ос -ё справа и ограничена на всей веществен ной оси.

Это фундаментальная теорема послужила отправным пунктом для многих исследований.

Отметим, что важные результаты в этом направлении получены Р.Г.Мамедовым £fl>j — [19 1 , В.А.Баскаковым [ô , В.И. Волковым ] »Г.А.Фоминым [$,4] ♦ И.И.Ибрагимовым и А.Д.Гаджиевым ] , а также зарубежными математиками П.Бут-цером [ЦЬ ] , Т.Поповичу [$о ] t А.Лупашем ] , Шёнбергом [ S~l 3 » Мейер Кенигом и Целлером [V9 ] » Д.Станку [53 j и другими.

П.П.Коровкину принадлежат также и первые результаты по исследованию порядков сходимости последовательностей линейных положительных операторов. В дальнейшем порядки сходимости различных классов операторов были изучены Р.Г.Мамедовым [f? А.С.Джафаровым [5"6П * А.Д.Гаджиевым и другими.

Были выяснены и другие характерные свойства, которыми обладают сконструированные с помощью теоремы П.П.Коровника последовательности операторов. К их числу относятся сохранение операторами свойств приближаемой функции или приобретение ими таких свойств.

Чтобы привести необходимые нам результаты этого типа, напомним некоторые известные определения (см.[9]> [ЧЬ] )

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.1. Пусть функция -f определена и непрерывна на [a, ê] , а ос и ^ - две различные точки этого отрезка Разделенной разностью первого порядка для функции -f-W) , обозначаемой через [х ? у ; j ] , назовем отношение эс3

Аналогично, разделенной разностью -го порядка для функции Си) , по системе различных точек Х0?Х'|?"* ' отрезка [СЦ , обозначаемой через С X)?'"9 ^^^Л назовем отношение ЭСс, ]- '- -г и »А^ о кЛ- ъх.

Не трудно заметить, что разделенная разность [^""э э^п^] удовлетворяет соотношению

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.2. Вещественная функция ^ (х) называется выпуклой (не вогнутой, полиномиальной, вогнутой, не выпуклой) К -го порядка на отрезке [а? , если, соответственно для любой системы из (^К +1) точек отрезка [ (X ? В J V

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.3. Функция ^ (X 3 называется звездообразной на отрезке Са^ё] , если для любых О^р^ 1) выполняется неравенство ^/Зос.)^.р^(ос) (см. [ ] ).

Исследование операторов /4,г ? ^ , имеющих представления в виде конечных или бесконечных сумм содержащих значения приближаемых функций в заданных узлах, позволяет представить разность между двумя последовательными значениями и /1IX через разделенную разность функции -¡¡~ (х) . Это дает возможность установить теоремы о монотонности последовательности | Д ; X)|

Приведем, например, результат относящийся к операторам Саса-Миракьяна

К-о пх)к К1

ТЕОРЕМА (см. [*//&]). Если функция СX) выпукла, то последовательность Мм.Й' Ос) убывает по П. , если же 5 (эс) линейная функция, то

Аналогичными свойствами обладают и операторы Мейер-Кениго и Целлера С ^ 9 Л » полиномы Бернштейна [ 5 ] .

Отметим, что результаты о монотонности последовательностей линейных положительных операторов имеют применения в вопросах приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений (см., например, ? [57] ).

В работе £ о 6 ] исследовано свойство эвездообразности полиномов С. Н.Бернштейна. Как известно [ 41 ] , функция (эс) называется звездообразной на отрезке [о? ё] если для любых¡Ь (о^р^ /) выполняется неравенство

Ь + СХ) Через о обозначим класс звездообразных функций, неотрицательных и непрерывных на и равных нулю в точке Ос —О.

Настоящая диссертационная работа примыкающая по своему содержанию к указанному кругу вопросов, состоит из трех глав.

В первой главе изучается одна общая конструкция линейных положительных операторов в пространстве непрерывных на конечном отрезке функций, содержащая в себе многие из известных операторов, в том числе и отмеченные выше. В этой главе изучается влияние структурных свойств функций на порядок её приближения исследуемыми операторами.

Во второй главе изучаются условия монотонности последовательности операторов близких по своей конструкции к операторам, введенным в первой главе. Полученный результат применяется к численному решению нелинейного дифференциального уравнения первого порядка. Здесь же исследуется и некоторые классические операторы типа полиномов С.Н.Бернштейна. Изучены также свойства звездообразности полиномов типа С.Н.Бернштейна.

Третья глава посвящена изучению условий монотонности последовательностей полиномов типа Бернштейна для функций двух переменных.

Перейдем к подробному изложению содержания диссертации.

Первая глава "Аппроксимативные свойства одной общей конструкции линейных положительных операторов в некоторых классах непрерывных функций" состоит из трех параграфов.

Первый параграф носит вспомогательный характер и содержит основные определения и обозначения. Приведем некоторые из них, необходимые для изложения.

Пусть Д ~[<9? А] произвольный конечный промежуток полуоси (З+п

Через С (А) будем обозначать пространство непрерывных на Д функций; СГИЧ - пространство равномерно непрерывных на функций; (ста) - множество функций, которые на А имеют непрерывные производные р -го порядка; (С^ (Л) - множество функций, определенных на , непрерывных на А , непрерывных в точке ОС ^ А справа и растущих на бесконечности не быстрее степенных функций.

Через р , р , Ир (Р^ Ж) будем обозначать подмножества (Д ^ , состоящие, соответственно, из выпуклых, полиномиальных, вогнутых р -го порядка на Д функций.

Для функций из т) обычным образом определяется модуль непрерывности ууиэсос х,уеА .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.4. При каждом фиксированном оС > О введем следующие классы ^ ц*-= к е С (Л) : ({(**)■--М6 МП'Х:kéA "0<(/~1 ]

H ^ е 1 Га); |f (*+Wyxi ей>°а-2,

W( H^j-fc- tP(A)l

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.5. Пусть дана матрица неотрицательных функций где ОС е А и последовательность положительных чисел {Гп.] таких, что ¡Г*гп== О« У Пусть для отрицательных К D° и, кроме того выполнены условия:

Оо 2

К = о

2°. Для каждой из функций С^) существует такое 2 , что

3°. Функция обладает непрерывной производной по Ос » причем где И1. то же число, что и в 2°. На множестве функций зададим линейный положительный оператор сто к,—о

Во втором параграфе доказывается, что для любой функции кем. теорему 1.2.1), здесь же изучаются свойства операторов бттгС^" о х) Для р -ых производных оператора получено следующее представление

К=о см. теорему 1.2.2). Доказано следующее

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2.4. Если "i^Mp (Р^М) (соответственно IV]«,Г1р ) на R1" , то » 6 (соответственно на ^ • иначе Г0В0РЯ оператор Gyitti^) сохраняет выпуклость, соответственно полиномиальность, вогнутость порядка р на отрезке А .

В этом же параграфе даётся определение центральных моментов оператора

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2.7. Центральными моментами оператора будем называть функцию3^ у1(х) = ; (t-x) d«.,kCx)

Через "t мы обозначаем переменную, по которой действует оператор Qt^fffr); ОС ) .В данном случае

К^и

Пологая J

Легко заметить, что М

Доказано, что для любых 6 Z-о . YL^Sif и ОС 6 Д

5П Ы ¿^Мги^ад^х) - sn/*>j

I К-о см. Лемма 1.2.9), а также показано, что

-[тсЧ

Т (ос) Q (.ОС) У ** (I.2.I3) где - некоторые полиномы от эе f являющиеся линейными комбинациями вида

9p(<C}Vl)-X> [l+i^^p" L+(P-Ora)oc] (1.2.14)

Р-.ЬЯо •'» э V-l ) , такие, что flft ) при ft-^oo

В третьем параграфе, наряду с операторами GyiC^i^) , рассматриваются еще операторы действующие из

С в см) где функция Jj (t ) такова, что для нее существуют константы и р= \>С§)€. 20 » такие, что

A + .

Приведем некоторые результаты этого параграфа.

ТЕОРЕМА 1.3.3. Если /(О 6- С (Л) , и при оОкЛ&^М) то л. бл с+г да) ^ И 0+

ТЕОРЕМА 1.3.5. Если обладает равномерно непрерывной производной на , т.е. если то \^ ,\

А Л

ТЕОРЕМА 1.3.6. Если $Сх) 6 Ц , то ТЕОРЕМА 1.3.7. Если , т0 для любого осе А И

1+с^

ТЕОРЕМА 1.3.10. Если ^^ е ^ Н , где Р ^ 1 , то а) р ^¿ф к=о X Г У б) р рИ

Г- т

К-0 р + л где = ^ — у та же Функция, что и в (1.2.13). ^

ТЕОРЕМА 1.3.13. Если функция Г такова, что { в € №] то для любого А > О оператор равномерно на Д J

Л?) л сходится к 7 (ОС) , причем

Р) г,

П-1Щ

4/ 1

Р)

VI , где

У/

СР)

СР) модуль непрерывности функции

Вторая глава "Исследование монотонности и звездообразнос-тей линейных положительных операторов" состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе этой главы даются основные определения и обозначения, а также вспомогательные результаты, и вводятся следующие линейные положительные операторы:

Г)

1ууъ> к. 7 о где ф > О фиксированное число, а матрица неотрицательных функций О** сх,&-) удовлетворяет условиям:

10. УпеМ, ¿с« д = ,

К- о

2°. Для каждого из функций Ь^к существует такое

2 » ЧТО Полиномиальные операторы С.Н.Бернштейна-А.О.Гельфонда к!-О с узлами п . ^ - ^ ¿Г составленными по заданной последовательности чисел и с матрицей функций Р (ос) -{-/)*""(¿г^'Л] где [¿-к? "' > Ц - есть разделенная разность функции гоО — Об в узлах обе > ' / '

С. Полиномиальные операторы, введенные Якимовским и Левиа-таном ^ к-о где (¿^О любое вещественное число.

Второй параграф посвящен нахождению условий монотонности операторов Основным результатом этого параграфа является

ТЕОРЕМА 2.2.4. Если функция С&) является выпуклой (невогнутой, полиномиальной невыпуклой, вогнутой) первого порядка на А »то последовательность операторов Мп.Й^-*'/] является убывающей (соответственно, невозрастающей), стационарной, неубывающей, возрастающей).

В этом же параграфе для функций, вторые производные которых удовлетворяют условию (^) С , доказано следующее неравенство

I с

Также доказана

ТЕОРЕМА 2.2.6. Пусть для операторов выполнях) ется дополнительно условие ' СХ=> ос

Допустим, что функция двух переменных и все ее частные производные первого и второго порядков ограничены в полосе ^ , и кроме того,^^) удовлетворяет усдовию Гельдера переменной ^ с некоторой константой , т.е.

Тогда последовательность функций , удовлетворяющих рекуррентному соотношению

Отметим, что этому условию удовлетворяют все известные линейные положительные операторы а о Ь - переменная по которой действует оператор УпНо ) при каждом фиксированном Х^ ^ & и при сходится равномерно на любом конечном отрезке С&' ® ^ к решению задачи Коши

В третьем параграфе исследована монотонность полиномов и их производных первого порядка, а также их звездо-образность. Полиномы /) при ~ ^ превращаются в полиномы С.Н.Бернштейна, так как при с/^ ~ П

Тк,п. ~ П Т~) ~ Ть

С*у= (- О -Щ- [*' »''М/

Сформулируем основные результаты этого параграфа. Для разности между двумя последовательными полиномами получено следующее представление яг;«- = г. г /V ^ р (X) см. теорему 2.3.1). Используя это представление, доказывается теорема о монотонности полиномов

ТЕОРЕМА 2.3.1а. Если функция является выпуклой невогнутой, полиномиальной, невыпуклой, вогнутой) первого порядка на [0,4] , то последовательность полиномов(осН)^ является убывающей (соответственно, невозрастающей, стационарной, неубывающей, возрастающей).

В этом параграфе также доказано, что если функция является выпуклой первого и второго порядков в промежутке [ О у 1], то последовательность производных полиномов (/п^^) является убывающей во всяком подинтервале Xе в котором 0^К)П СХ) < О , где т ос)

В четвертом параграфе изучаются аналогичные результаты для рператоров ¡^ V/? X) , введенных Якимовским и Левиата-ном ( J , основные результаты этой главы следующие

ТЕОРЕМА 2.4.1. Разность между двумя последовательными полиномами и (¿э^) можно представить в виде в;,;

Теоремы о монотонности последовательности (^у^)} опубликованы нами в 1969 году в работе . Независимо аналогичные результаты были получены другим методом в работе Р.Ле-виатана [</5"] » опубликованной в том же 1969 году. ч \ П-уц

ХО- ЭС.) Т" Г^НЛ КЧ.А-И МсИ! о

К1 где

Эта теорема позволяет вывести соответствующие утверждения (тЬ^) . А именно справедливо следующее

СЛЕДСТВИЕ 2.4Л. Если функция определена и непрерывна в промежутке [О у П ив нем она выпукла, невогнута, полиномиальна, невыпукла, соответственно вогнута первого порядка и кроме того соответственно ди (я о.; ^ О; ^ о то последовательность полиномов является соответственно убывающей, невозрастающей, стационарной, неубывающей, возрастающей.

Здесь же доказывается условие теорема о монотонности последовательности производных операторов ¡Ьп, 5 ) и их звездообразно сть. ь I ^

Как видно результаты о монотонности полиномов {V С^т/

• С» помимо геометрически прозрачных условий типа выпуклости содержись и условие знакоопределенности разностного оператора А^С^)

Проверка этого условия в общем случае (т.е. для любой функции (ос) и шобого о^ ) вообще говоря затруднительна. Однако, при конкретной об и конкретно заданной функции это условие проверяется, отметим к примеру, что при Сое) — £СШ (мг имеем т ( / пч-ли)

M-t n-tcL

Отсюда ясно видно, что при O^ol^ f и любом /ft имеем А^ О ; если же с/ >/ , то при любом № А ^ Третья глава "Об условиях монотонности некоторых последовательностей полиномиальных операторов для функции двух переменных" состоит из двух параграфов. Результаты этой главы являются распространением результатов § 2.3 и § 2.4 на двумерный случай.

В первом параграфе вводится полином где определяются по аналогии с п. и

Рк (ос) определенных во второй главе. Основным результатом этой главы является следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3.1.1. Если функция определена в квадрате [о,\; 0>\ ] ив нем она выпукла (невогнута, полиномиальна, вогнута, невыпукла) то последовательность полиномов является в квадрате Ю убывающей (соответственно, не возрастающей, стационарной, возрастающей, неубывающей) .

Во втором параграфе получены аналогичные результаты для операторов

Основные результаты диссертации опубликованы в работах £ 14] ш] — 053<

Список литературы диссертационного исследования Шахвердиев, Вагиф Магеррам оглы, 1984 год

1. АЛЕКСИЯ Г., Проблемы сходимости ортогональных рядов,ИЛ,1963.

2. АХИЕЗЕР Н.И., Лекции по теории аппроксимаций, М.,Наука, 1965.

3. БАСКАКОВ В.А., Пример последовательности линейных положительных операторов в пространстве непрерывных функций, ДАН СССР, т.ИЗ, № 2, 1957, стр.249-251.

4. БАСКАКОВ В.А., Об одной конструкции сходящихся последовательностей линейных положительных операторов, исследования по современным проблемам конструктивной теории функций, "Наука", 1961.

5. БЕРНШТЕЙН С.Н. Собрание сочинений, Изд.АН СССР, т.1, 1952, т.2, 1954.

6. ВОЛКОВ В.И., Об одной последовательности линейных положительных операторов в пространстве непрерывных функций, Ученые записки Калининского педагогического института, 1963,29,19-38.

7. ВОЛКОВ В.И. Об. одной равномерно сходящейся последовательности линейных положительных операторов в пространстве непрерывных функций, исследования по современным проблемам конструктивной теории функций, Баку, 1965.

8. ВОЛКОВ Ю.И., 0 некоторых линейных положительных операторах. Мат.заметки, т.23, в.5, 1978.

9. ГЕЛЬФОНД А.О., Исчисление конечных разностей, Физматгиз, 1967.

10. ГЕЛЬФОНД А.О., Избранные труды, "Наука", 1979, стр.223-230.

11. ДЗЯДЫК В.К., Введение в теорию равномерного приближения функций, М., "Наука", 1977.

12. ИБРАГИМОВ И.И., ГАДЖИЕВ А.Д., Об одной последовательности линейных положительных операторов, ДАН СССР, т.193,№ 6, 1970.

13. ИБРАГИМОВ И.И., ГАДЖИЕВ А.Д. Об одной общей последовательноети линейных положительных операторов в пространстве непрерывных функций, Специальные вопросы теории функций, Сб.статей I выпуск, 1977.

14. ИБРАГИМОВ И.И., ГАДШЕВ А.Д., ШАХВЕРДИЕВ В.М. Об условиях монотонности последовательности производных полиномов С.Н. Бернштейна, А.О.Гельфонда, ДАН СССР,т.199,№ 4, 1971.

15. КОРОБКИН П.П., Линейные операторы и теория приближения, М., Физматгиз, 1959.

16. МАМВДОВ Р.Г., Некоторые общие результаты об асимптотическом значении и о порядке приближения функций семейством линейных положительных операторов,I. ИАН Азерб.ССР, сер.физ-мат. техн.наук, 4(1962), 3-16.

17. МАМЕДОВ Р.Г., Некоторые общие результаты об асимптотическом значении и о порядке приближения функций семейством линейных положительных операторов П. ИАН Азерб.ССР, сер.физ-мат. и техн.наук, 6(1962), 3-13.

18. МАМВДОВ Р.Г., Некоторые общие результаты об асимптотическом значении и о порядке приближения функций семейством линейных положительных операторов Ш.ИАН Азерб.ССР, сер.физ-нат. и техн.наук, 1(1963), 3-13.

19. МАМЕДОВ P. h. , Функсиоаларын хэтти олераторларла эахынлаша-сы. Азэрбадчан девлэт непгриздаты, Бакы 1969 ил.

20. МИРАКЬЯН Г.М., Аппроксимирование непрерывных функций с помощью полиномов ,ДАН СССР,т.31,№ 3,1941.

21. НАТАНСОН И.П., Конструктивная теория функций, М.-Л., Гостех-издат, 1949.

22. НАТАНСОН И.П., Теория функций вещественной переменной, М.,Физматгиз, 1974.

23. ТИМАН А.Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., Физматгиз, i960.

24. ФОМИН А.Г., О сходимости некоторых конструкций линейных операторов. Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций, Сб.статей, Баку, 1965.

25. ХЛОДОВСКИЙ И.Н., 0 некоторых свойствах полиномов С.Н.Берн-штейна, Тр.всесоюзного сьезда математиков,г.Харьков,1930.

26. ШАХБАЗОВ A.A. Вероятное доказательство одной теоремы А.О. Гельфонда. ИАН СССР, 31, 1967.

27. ШАХВЕРДИЕВ В.М. Об условиях монотонности обобщенных полиномов типа С.Н.Бернштейна, ИАН Азерб.ССР, № 5, 1968.

28. ШАХВЕРДИЕВ В.М. Об условиях монотонности последовательности обобщенных многочленов С.Н.Бернштейна-А.О.Гельфонда. Мат. заметки, том 5, выпуск б, 1969.

29. ШАХВЕРДИЕВ В.М., Об одном свойстве обобщенных полиномов типа С.Н.Бернштейна, Материалы научной конференции посвященной50 летию установления свветской власти в Азербайджане и 50 летию компартии Азербайджана, "Элм", Баку, 1971.

30. ШАХВЕРДОЕВ В.М., АГАМАЛИЕВ Ч.Г. Об одном обобщении операторов Г.М.Миракяна. Материалы Республиканской конференции по математике и механике, посвященной ХХ1У съезду КПСС, "Элм", Баку, 1971.

31. ШАХВЕРДИЕВ В.М., Обобщенные полиномы типа С.Н.Бернштейна.Тезисы докладов X научной сессии совета по кординации научно-исследовательских работ Азерб.ССР,"Элм", Баку, 1973.

32. ШАХВЕРДИЕВ В.М., 0 сходимости одной конструкции линейных положительных операторов. Всесоюзный симпозиум по теории аппроксимации функций в комплексной области (тезисы докладов), г.Уфа, 1980.

33. ШАХВЕРДЙЕВ В.М., Об одной последовательности линейных положительных операторов. Рукопись деп.в ВИНИТИ № 1576-82,30стр.

34. ШАХВЕРДОВ В.М., Аппроксимативные свойства одной общей конструкции последовательности линейных положительных операторов, Рукопись деп. в ВИНИТИ № 693-84, 17 стр.

35. ШАХВЕРДИЕВ В.М., Сходимость и условия монотонности одного класса линейных операторов,Рукопись деп.в ВИНИТИ №

36. АРАМЭ 0. Относительно свойств монотонности последовательности интерполяционных многочленов С.Н.Бернштейна и их применение К исследованию приближения функций. Mathematica, Gluj,2 (25), 1, 1960, pp.25-4-0.

37. ARAMA О. et D.RIPIAITO. Une properte des polynomes de Bernstein. Mathematica vol.3(26), 1, 1961, pp.5-18.

38. ARAMA 0. Sur quelgues polunomes de type Bernstein. Matiiematica, vol.4 (27), 1962, pp.205-224.

39. AHAMa I. et AHAM 0. Une evolution du reste dans 1'approximation des function par des polunomes generalies de S.H.Bernstein Rev.Roum.de Mathem.pures et appl., vol.9, N4, 1964, pp.365-374.

40. BRUCHNER A.M. and OSTROW E. Some function classes related to the class of convex functions. Pasific Journal Math., 12,4, 1962, pp.1203-1217.

41. BECKENBACH E.F. Superadditive inequalities. Pasific Journ. Math., 14, 2, 1964, pp.421-4J8.

42. CHENY E.W.ShARMA. Bernstein power series. Canad. J.Math. , 16, 1954, pp.241-252.

43. HEINZ-GEBD WEHNHOFF. Local Nocolski constants for positive linear operators. Journ.of Approximation Theory, 33» 1981» pp.224-235.

44. HEINZ-GERD LEHNHOFF. Local Nicolskii constants for a special class of Baskakov operators. Journal of approximation theory, 33, 1981, pp.235-247.

45. LEVIATAN D. On the remainder in the approximation of functions "by Bernstein type operators.Journ.of approximation theory, 2, 1969, 400-409.

46. LORENTZ G. Bernstein polunomials, Toronto, 1953.

47. LUPAS A. Some properties of the linear positive operators I. Mathematica, Cluj, vol.9 (32), 2, 1967, pp.77-85.

48. LUPAS A. Some properties of the linear positive operators II. Mathematica, Cluj, vol.9 (32), 2, 1967, pp.295-299.

49. MEYER-KONIG, W.ZELLER K. Bernsteinsche potensieihen. Studia Math., 19, 1960, pp.89-9^.

50. POPOVICU T. Sur l'approximation des functions convex d'ordre supérieur. Matematica, Cluj 10, 1936, 5» 49-54.SCHOENBERG I.J. On variation diminsing approximation method. 1 The University Wisconsin press. 1959» pp.249-274.

51. STANCU D. On the monotonicy of the sequences formed "by the first order derivatives of Bernstein polunomies. Math. Zeitschr. 98, 1, 1967, pp.46-51.

52. STANCU D. Use of probablitic methods in the theory of uniform approximation of continuous functions. Rev.Roum.Math.pure a appl., 14, 5, 1969, pp.673-691.