Аппроксимативные свойства весовых классов Соболева тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Васильева, Анастасия Андреевна

• Васильева, Анастасия Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Васильева, Анастасия Андреевна

Введение

1 Колмогоровские поперечники весовых классов Соболева и аппроксимативные числа их вложения

1.1 Связь с приближением первообразной веса кусочно-постоянными функциями.

1.2 Регулярность весовых функций.

1.3 Оценка сверху колмогоровских поперечников и аппроксимативных чисел.

1.4 Оценка снизу колмогоровских поперечников и аппроксимативных чисел.

1.5 Асимптотика и точные значения колмогоровских поперечников при р ^ q.

1.6 Порядки колмогоровских поперечников для некоторых сингулярных функций.

2 Свойства классов функций с поточечными ограничениями

2.1 Вспомогательные утверждения.

2.2 Существование гладких функций с поточечными ограничениями

2.3 Порядки колмогоровских поперечников класса липшицевых функций с заданными значениями в концах отрезка.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимативные свойства весовых классов Соболева»

Изучение аппроксимативных свойств различных классов функций является постоянно развивающейся областью современной математики, которой посвящено большое число монографий и статей. В этой области возникают новые перспективные задачи и объекты исследования.

Диссертация продолжает исследования в этом направлении. В ней изучаются аппроксимативные свойства множеств функций, заданных на отрезке или полуоси, с различного вида ограничениями на производные. При этом, основной целью является исследование поведения колмогоровских поперечников весовых классов Соболева в зависимости от веса. В случае равномерной метрики изучаются свойства класса, возникающего в некоторых задачах с фазовыми ограничениями.

Нам понадобятся следующие обозначения. Пусть X — линейное пространство над полем М, Сп{Х) — совокупность всех линейных подпространств X размерности не выше п G Z+. Для множества W С X обозначим через convW выпуклую оболочку W, через spanW линейную оболочку W. Под полунормой || • || : X —> R+ на линейном пространстве X будем понимать функционал Минковского некоторого его выпуклого центрально-симметричного подмножества.

Для линейных нормированных пространств X, Y над полем R будем обозначать L(X, Y) множество линейных непрерывных операторов А : X —> У; при этом ker А — ядро, ткА — размерность образа оператора А.

Пусть (X, d) — метрическое пространство, А с X. Обозначим через А замыкание A, intv4 — внутренность А. Для непустых множеств А, С С X и х € X расстояние от х до множества А обозначим dist^ (х, А) — infyg.4у), расстояние между С и А — distx (С, А) = inf distx (х, А) = inf d(x, у), хеС же С,уеА уклонение множества С от множества А —

ЕХ{С, А) = supdistx {х, А). хеС

В первой главе изучается поведение колмогоровских поперечников dn весовых классов Соболева и поведение аппроксимативных чисел Ап операторов вложения этих классов в пространства Lp>v в зависимости от весов и от числа п. В частности, для достаточно широкого класса весов получены порядковые оценки рассматриваемых величин.

Пусть Jet - измеримое подмножество, Lq(J) — пространство измеримых действительнозначных функций на J. Если / G Lq(J), Е С J — измеримое подмножество, h G Lq(E), /(£) = h(t) для почти всех t G Е, то будем писать /\е = /i- Для произвольного множества Act положим

Л) = {/ е Lq(J) -.WteJ f(t) g А}. Каждой функции / Е Lq(J) (0 < р ^ оо) поставим в соответствие величину

1/р

М-Л yf \f(x)\pdxj , если р < оо, ess sup^j | f(x)I, если p = оо.

При этом, если ||/||lp(J) < оо, то будем писать / е LP(J). Пусть / G Lo{J),Py G L0(J, М+), 1 ^ р < оо, ll/IU = II/I|Lp,„(J) llv/IUP(J);

Lp,v{J) — пространство функций / G L0(J) таких, что ||/||p,u < оо, L0jPtV = LqlP,v{J) — пространство Lq(J) с полунормой || • ||PjU.

Для отрезка или полуоси J обозначим через AC(J) множество функций, абсолютно непрерывных на J (в случае полуоси это означает, что ограничение функции на любой отрезок, содержащийся в J, абсолютно непрерывно).

Определим весовой класс Соболева на отрезке или полуоси J для некоторого веса д G Lq(J, М+), положив

WJ,(J)= /: J-R f{r~1] G AC (J), fir) 9 1 lq{j) и считая по определению, что если д(х) = 0 на множестве Е С J положительной меры, то для любой функции / G Wqg(J) выполнено f^r\x) = 0 при почти всех х G Е и

В частности, fir)

9 lq{j) ~ 9 Lq{J\E) т11) G AC{J), |fM(t)\^g(t) п.в.}. 9 называется

Пространство span WJ}g(J) с полунормой весовым пространством Соболева.

Весовые пространства Соболева на отрезке (и на области в многомерном случае) появились при изучении линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, а также при решении задач продолжения гладких функций с многообразия М С на некоторую окрестность М или на все к € N. Различные свойства этих пространств изложены в книгах [69], [91], [108] и в обзорной статье [33].

Одно из направлений исследования весовых пространств Соболева связано с теоремами вложения этих пространств. Так, в ряде работ рассматривалась задача об ограниченности (компактности) оператора вложения класса {/ € W* [а, Ь) : /^(а) = 0, к — 0, ., г — 1} (—оо < а < b ^ +оо) в пространство LPiV[a, b) или класса {/ G Wqg(a, b] : fW(b) = 0, & = 0, ., г — 1} (—оо ^ а < b < +оо) в пространство I/PiW(a, b], эквивалентная задаче об ограниченности (компактности) двухвесового оператора Римана-Лиувилля Ф) л* - ty-WWt) dt = v(x)V(r)I$(gf)(x) или a

Ir,g,v,bf){x) = v{x) f(t - xy-igWW dt = v{x)V{r)l£!{gf)(x) x соответственно из пространства Lq[a, b] в Lp[a, Ь]. Здесь Г(-) — гамма-функция, I^l — (невесовые) операторы Римана-Лиувилля. Свойства оператора Римана-Лиувилля и других операторов дробного интегрирования, а также обзор этой тематики подробно изложены в книге С.Г. Самко, А.А. Килбаса и О.И. Маричева [53].

При г = 1 критерий ограниченности операторов (1) был получен в работах Г. Таленти [106], Г. Томазелли [107], Б. Макенхаупта [98] (случай р = q), Дж.С. Брэдли [78], В.Г. Мазья [43] и В.М. Кокилашвили [25]. Для произвольных г ^ 1 (включая нецелые) критерий ограниченности и компактности оператора Ir,g,v,a был получен В.Д. Степановым [6, 54,104]. При 0 < г < 1 достаточные условия ограниченности были получены Х.П. Хейнигом, К.Ф. Андерсеном и Э.Т. Сойером [75,76,89].

В случае многомерных областей достаточные условия ограниченности вложения весовых пространств Соболева в весовое пространство Lp были получены В.И. Кондрашовым [28], Л.Д. Кудрявцевым [32], А. Куфнером [91] и X. Трибелем [69], а достаточные условия компактности — X. Трибелем [69], П.И. Лизоркиным и М.О. Отелбаевым [36], П. Гуркой и Б. Опичем [87], Ф. Анточи [77], В. Гольдштейном и А. Ухловым [86] и другими авторами.

Далее нам понадобятся определения колмогоровских и линейных поперечников подмножества в банаховом пространстве [65], а также аппроксимативных чисел линейного оператора [52], являющихся числовыми характеристиками вложения.

Пусть X — линейное пространство с полунормой (возможно, принимающей бесконечные значения), М С X, п 6 Z+. Колмогоровским п-поперечни

1) ком множества М в пространстве X называется величина dn(M, X) = inf sup inf ||ж - y\\x, LeCn{x) хемусь линейным n-поперечником (для нормированного пространства) — величина

АП(М, X) = inf sup ||rc - Ах\\х. AeL{X, X), ткЛ^п хем

Аппроксимативные числа оператора А £ L(X, Y) определяются как

Ап(А) = inf{P - Ап\\х^у ■ rk Ап ^ n}.

Заметим, что если dimF < oo и ker A = {0}, то An(A) = \n(ABx)i гДе

Bx = {xeX: \\x\\x ^ 1}.

Поперечники dn(M, X) были введены A.H. Колмогоровым в [26]. В 60-70-е годы XX века изучались задачи о значениях поперечников функциональных классов в Ьр и конечномерных шаров В™ в I™, где (1 ^ р ^ оо) — пространство Rn с нормой

IIГ®, ж )|| = ||(Ж1 ж )ll,n = / + " " + если Р < °°> хп)\\р ., хп)\\in - | 5 ^ если р = 00)

Вц — единичный шар в I™.

Оценками колмогоровских поперечников и аппроксимативных чисел оператора вложения конечномерных множеств и функциональных классов занимались многие математики, в частности, А.Н. Колмогоров, У. Рудин, С.Б. Стечкин, К.И. Бабенко, В.М. Тихомиров, М.Ш. Бирман, М.З. Соло-мяк, Ю.Н. Субботин, Ю.И. Маковоз, Р.С. Исмагилов, А. Пич, М.И. Стесин, Б.С. Кашин, В.Е. Майоров, Е.Д. Глускин, Н.П. Корнейчук, X. Трибель, П.И. Лизоркин, М.О. Отелбаев, В.Н. Темляков, Э.М. Галеев, Е.Д. Ку-ланин, К. Хеллиг, А.П. Буслаев, Г.Г. Магарил-Ильяев, В.Т. Шевалдин, С.И. Новиков, Д. Левиатан, В.Н. Коновалов, Я. Ланг, В.Д. Степанов, Е.Н. Ломакина, Д.Дж. Харрис, Д.Э. Эдмунде. Различные свойства поперечников изложены в монографиях [31,65,97,101], а также в обзорной статье В.М. Тихомирова [68].

При q ^ р Пичем [100] и М.И. Стесиным [55] были найдены точные значения dp?(В™, I(доказательство изложено также в [65]); значения линейных поперечников совпадают в этом случае с колмогоровскими поперечниками. При р > q вычисление поперечников I™) представляет значительные трудности. В работах А.Н. Колмогорова, А.А. Петрова и Ю.М. Смирнова [27] и С.Б. Стечкина [56] была доказана формула d^{Bi, Щ) — (l — (см. также [65]). Отсюда, в частности, следует, что при N ^ р ^ 2 выполнено Щ) х 1. Для других значений параметров р ^ q первые нетривиальные оценки колмогоровских поперечников множеств В" принадлежат Р.С. Исмагилову и Б.С. Кашину. Работы

Б.С. Кашина [21-23] усилили интерес к задаче получения порядковых оценок поперечников IВ частности, в работе [23] им была получена оценка с^С^, ~ (l + ln-j^)5, с помощью которой были найдены порядковые оценки dx(BqN, при 2 < р < оо, q < р. Окончательный в порядковом смысле ответ в конечномерной проблематике (кроме интервала р = оо, q < 2) получен в работах [15,16] Е.Д. Глускиным и [14] А.Ю. Гарнае-вым и Е.Д. Глускиным. При р = со, q < 2 Б.С. Кашиным в работах [21], [22] были получены оценки, точные в степенной шкале.

При 1 ^ q < р ^ 2 или I<<7<2<P<00, ^ + ^ ^ 1 линейные поперечники по порядку совпадают с колмогоровскими (для N = | это было показано В.Е. Майоровым1 [45] и К. Хеллигом [90], общий случай рассмотрен Е.Д. Глускиным [15]); при ^ + ^ < 1 из формулы двойственности для линейных поперечников, доказанной Р.С. Исмагиловым [19], вытекает порядковое равенство AЩ) ж dN(Bfi, /£), где ± + ^ = 1, ± + ^ = 1.

При qr > 1 для невесовых классов Соболева на отрезке известны следующие порядковые оценки колмогоровских и линейных поперечников: п~г, если р < q или 2 < q < р,

I+I . п , n 2 9, если g < 2 < р, п-7*, если р ^ q, п~г~р+ч, если g < р < 2 или 2 ^ g ^ р, если 9 < 2 < р, ± + ± ^ 1, ч 7Tr+W, если q < 2 < р, ± + ± < 1.

При р < q порядки найдены в работах В.М. Тихомирова, С.Б. Бабаджанова и Ю.И. Маковоза [2,46,67]. Для г = 1 в [46] получено точное значение dn(Wq[О, 1], Lp[О, 1]). При р > q первый результат был получен У. Рудиным [103] (р = 2, q = 1, г = 1) и затем обобщен С.Б. Стечкиным [56] на классы W[[a, Ь]. При q < р < 2 порядки поперечников соболевских классов найдены Р.С. Исмагиловым [18, 19]. В 1975 г. В.Е. Майоровым был разработан метод дискретизации, позволяющий свести задачу об оценке поперечников соболевских классов в Lp к задаче об оценке поперечников конечномерных шаров (первые идеи этого метода появились в работах Р.С. Исмагилова). Порядки убывания колмогоровских поперечников соболевских классов при р > max{g, 2} получены Б.С. Кашиным в работе [23], порядки линейных поперечников получены В.Е. Майоровым [45]. xn(w;[o, 1], lp[о, 1]) х

1 p,q,r

1 Точнее, там были получены порядковые оценки для линейных поперечников соболевских классов в метрике Lp; с их помощью методом дискретизации получаются верхние оценки для линейных поперечников конечномерных шаров, которые оказываются равными по порядку колмогоровским поперечникам.

Точные значения колмогоровских поперечников соболевских классов с периодическими краевыми условиями на отрезке [0, 2тг] были найдены

A.Н. Колмогоровым [26] (случай р = q — 2), В.М. Тихомировым [67] (случай р = q — оо, нечетные п), Ю.Н. Субботиным [57, 58] (случай р = q = 1, нечетные п), Ю.И. Маковозом [47] (случаи q — оо, 1 ^ р ^ оо, четные п и 1 < q ^ оо, р = 1). В работе А.П. Буслаева и В.М. Тихомирова [10] было рассмотрено несколько видов краевых условий и для них найдены точные значения dn(Wq[0, 1], Lp[0, 1]), 1 < р ^ q < оо, в терминах спектров нелинейных уравнений специального вида.

В случае нескольких переменных рассматривались в основном классы функций на торе. Первый результат о значениях колмогоровских поперечников таких классов был получен К.И. Бабенко [5] для р = q = 2. Позже

B.C. Митягиным [48] были найдены порядки убывания поперечников при р = q. Общий случай (в том числе для анизотропных классов) рассмотрен В.Н. Темляковым [62-64], Э.М. Галеевым [12,13] и многими другими авторами. Ряд работ о порядках убывания колмогоровских поперечников соболевских классов посвящен исследованию феномена "малой гладкости", открытого B.C. Кашиным [24]. Дальнейшим изучением этой задачи занимался Е.Д. Куланин [34].

В ряде работ рассматривались различные обобщения задачи о вычислении колмогоровских поперечников соболевских классов. В частности, С.И. Новиковым [50], [99] и В.Т. Шевалдиным [73] были найдены поперечники класса, определяемого линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами. В.Т. Шевалдиным [72], [74] рассматривались классы сверток с различными ядрами, а Нгуен Тхи Тхьеу Хоа [49] — комплексно сопряженные к ним классы. Помимо колмогоровских поперечников, изучались их различные обобщения. В работах В.Ф. Бабенко [3], [4], В.Н. Коновалова [29], [30], Ю.Н. Субботина и С.А. Теляковского [59], [60] были получены оценки относительных поперечников соболевских классов. Для изучения приближений функций из некомпактных классов В.М. Тихомировым [66] было введено понятие средней размерности. Позже Г.Г. Магарил-Ильяев дал определение усредненных поперечников, различные свойства которых им были изучены в работах [39-42] (в частности, были получены порядковые оценки усредненных поперечников для соболевских классов на оси, в некоторых случаях были найдены их точные значения).

Аппроксимативные числа операторов типа Харди

Ii,g,v,a ■ Lq{a, Ъ) —► Lp(a, Ъ) и колмогоровские поперечники образа единичного шара при этом отображении в случае р = q изучались в работах Я. Ланга, Д.Э. Эдмундса, Р. Кермана, В.Д. Эванса, Д.Дж. Харриса [79-81,83,92,93]. В [81], [92,93] Р. Керманом,

Д.Э. Эдмундсом и Я. Лангом была получена асимптотика lim npn(IhgtVta) = аР|М!ъ (3) п.—» оо где рп — колмогоровские, аппроксимативные, гельфандовские или берн-штейновские числа оператора Ii,g,v,a, 9 £ Ь], w € Lp[a, Ь]; при дополнительных предположениях на регулярность функций д и v был найдена верхняя оценка следующего члена асимптотического разложения. В работе В.Д. Эванса, Д.Дж. Харриса и Я. Ланга [83] при q = р = оо была получена оценка (3) при более слабых ограничениях на функции д и v. Случай р < q рассматривался Д.Э. Эдмундсом и Я. Лангом в [79], где было получено обобщение равенства (3) для колмогоровских поперечников и аппроксимативных чисел. При р > q в работе Я. Ланга, О. Мендеза и А. Неквинды [94] для достаточно широкого класса весов установлены оценки j®,Щим ~ IMU^M!> lim П +r> 4An{h,g,v,a) < 1MU г la,b}

Из этих оценок и (2) следует, что порядок убывания при р > q вычислен в случае р<2ив случае q ^ 2, а при l^q<2<p^oo порядок не найден.

В [84,88] В.Д. Эвансом, Д.Дж. Харрисом и Я. Лангом были получены оценки аппроксимативных чисел операторов типа Харди на деревьях.

В случае г > 1 задачи о порядках колмогоровских поперечников соболевских классов с весами и аппроксимативных чисел операторов вложения исследовались не столь подробно. Известны порядки убывания колмогоровских поперечников для степенных весов на отрезке (Д. Левиатан, В.Н. Коновалов [95]), установлены оценки аппроксимативных и энтропийных чисел одновесового оператора Римана-Лиувилля на полуоси для д = 1 или v = 1 (В.Д. Степанов, Е.Н. Ломакина [38]), найдены точные асимптотики значений dn(Wqg[a, b], LPiV[a, b]) в случае р ^ q для кусочно-непрерывных весов guv (А.П. Буслаев [8]).

С помощью адаптивной аппроксимации функций сплайнами М.Ш. Бирманом и М.З. Соломяком в [7] была получена верхняя оценка для колмогоровских поперечников соболевских классов на области в весовом пространстве Lp (при р > шах{^, 2} эта оценка не точна по порядку). В [82] А. Эль Колли были найдены порядки величин dn{W^g{p)^

LpjV(£l)), где веса guv равны степени расстояния до границы области Q,] с помощью методов интерполяции банаховых пространств X. Трибель [69] распространил верхние оценки на поперечники LPiV(Q,)). Для общих весов задача оценки колмогоровских и аппроксимативных чисел оператора вложения классов Соболева в Lp рассматривалась П.И. Лизоркиным, М.О. Отелбае-вым, М.С. Айтеновой и Л.К. Кусаиновой [1,37,51].

В диссертации продолжено изучение зависимости величин колмогоровских поперечников и аппроксимативных чисел весовых классов Соболева в пространствах LP)V{J) от весов д и v и номера поперечника п G N.

В §1.1 получены точные значения величин dn(W^g[a, Ъ], Ьр[а, 6]) в терминах наилучшего приближения первообразной G функции д в метрике Lp[a, b] сплайнами нулевой степени с нефиксированными узлами.

Предложение 1.1.1. Пусть существуют точки a <t\ <••• < tm~\ < Ь такие, что для любого j = 1, ., m - 1 и любого S > 0 функция д не интегрируема на отрезке [tj — 6, tj + J], и 1 ^ р < оо. Тогда при всех п ^ т — 1 выполнено равенство ^„(W^Ja, Ь], Lp[a, b]) = оо.

Пусть —оо < а < Ъ < -foo, Т = {i/г}^1 — множество всех точек из интервала (а, 6), в любой окрестности которых функция д не интегрируема, tQ = a, tm = b) tk-i < tk, к = 1, ., m. Выберем a>k e tk+1) произвольным образом и положим t

G{t) = J g(s)ds, t £ (tk, tk+1). ak

Пусть n ^ m, Sn = 5n[a, b] = Sn([a> Ь], T) — множество кусочно-постоянных функций ip : [a, b] —»■ R, для которых существует набор точек а = tq < т\ < • • • < тп 1 < тп = 6, содержащий {^j^Lo и удовлетворяющий условию <р\(Tj-UTJ) = const.

Следующее утверждение дает точное значение колмогоровских поперечников класса И^^а, b] через наилучшее приближение первообразной G веса д множеством Sn.

Теорема 1.1.1. Пусть п ^ m, 1 < р < оо. Тогда dn(W^g[a, Ь], Lp[a, b]) = inf \\G - ip\\p.

В дальнейшем нам понадобится понятие порядкового неравенства. Пусть

Х: У — множества, /i, /2 : X х Y —> М+. Скажем, что /i(a;, у) < /2(^7, ?/), у если существует положительная функция с : У —> R такая, что f\(x, у) ^ сЫ/2(ж, у) для любого х е Х\ /х(ж, у) > /2(ж, у), если /2(ж, у) < ЛО, у);

У У fi(x, у) х /2(ж, ?/), если fi(x, у) < /2(ж, г/) < ft(x, у). Наряду с символами у У У > и х (означающими, что константа с в порядковом неравенстве может у у у зависеть только от у), нам будет удобно использовать эквивалентные им хх х символы <, > и х (означающие, что константа не зависит от х). Для /1,

2 : X —> R+ будем обозначать fi(x) < /2(ж), если существует число с G (О, оо) такое, что fi(x) < cf2(x) для любого х G X; /1(2;) > /г(^), если /2(®) £ Л (я); х /2 (ж), если /г{х) < f2{x) < fi(x). Положим

LpC[a, b) = {f е L0[a, 6] : Vc < b / G Lp[a, c]} ,

Lp>, b] = {f e L0[a, b] : Vc > a / G Lp[c, 6]}.

В §1.2 получен критерий существования непрерывного оператора вложения весового соболевского класса в пространство LP)V. Как говорилось выше, если оператор Римана-Лиувилля ограничен, то с ним естественным образом связано непрерывное вложение класса W*g в пространство LPiV. В случае, когда оператор Р им ан а-Л иу в и л л я неограничен, возникает новая ситуация, требующая формально определить, что будет пониматься под непрерывным или компактным вложением Wqg в Lp<v. В случае невесовых пространств одним из естественных способов непрерывного или компактного вложения является факторизация соболевского класса по пространству Vr-i полиномов степени не выше г — 1. В случае, который мы сейчас рассматриваем, факторизация является не только удобной, но и необходимой, причем веса могут оказаться такими, что факторизовать придется по пространству, большему, чем Vr-\. Проиллюстрируем это на частном случае, когда класс W*g содержится как подмножество в LPiV. Даже в этой ситуации образ при фактор-отображении класса Wqg в фактор-пространство Y = LPyVjVr-1 может быть неограниченным множеством в фактор-пространстве Y. Поэтому факторизация в этом случае требуется по большему подпространству, уже не содержащемуся в Wgg. Таким образом, под непрерывностью вложения естественно понимать конечность колмогоровского поперечника dn(Wqg, LPjV) для некоторого п, что эквивалентно существованию конечномерного подпространства L G Cn(LP)V) такого, что EbPiV(W^g, L) < 00, а под компактностью — убывание колмогоровских поперечников к нулю. Кроме того, возможны такие веса д и v, что класс Wqg не содержится полностью в LPjV как множество, и в этом случае под непрерывностью вложения мы будем понимать конечность величины dn{Wrq; , Lqpv) = inf sup inf ||/ - <p\\L LeCn(L0) f€Wrg ip&L для некоторого го G то есть существование подпространства L G Cn{L$) такого, что

BLP}V(Wqg, L) — sup inf II/ - ip\\L < 00. fewia veL

Компактность вложения понимается как стремление к нулю последовательности dn{Wlg, L0|Plt»)

Оказывается, что если dn(W^g, Lq:P,v) < оо для некоторого п, то существует естественный способ определения оператора непрерывного или компактного вложения, состоящий в замене класса приведенным

Л /V соболевским классом Wfhg и определении такого оператора на Wgg. Для этого нам понадобятся две теоремы.

Теорема 1.2.1. Пусть lcg^oo, 1 ^ р < оо, г £ N, д, v £ Ь0([а, &], М+) и dn(Wqg[a1 &], Lo)P)V[(2, &]) < оо для некоторого п £ N. Тогда существует разбиение {[с^, A]Kli отрезка [a, b], го < п, такое что для каждого г = г

1, ., г'о выполнено одно из следующих условий:

1- sIka] = 0;

2- v\\<xu0i] = з. # е щ -h 5, Pi — 5] и v G Lp[ai + 5, Д — J] для любого 5 > 0.

Для формулировки второй теоремы потребуются дополнительные обозначения. Пусть g, v £ Lo([a, b], R+), Cg — {/ £ Z^o[a, b] : fg £ L\[a, 6]}, r ^ 2. Зададим отображения Ir,g,v,a и : —> Lo[a, 6] формулой (1).

ПОЛОЖИМ = О Ir-k,g,l,a> ^v = Jk,l,v,a ° fr-k,g,l,b, k = I, Г - 1, ra,6,0 fa,b,r т та,Ъ,г fa,b,0 r

-'r^w ~ ■Lr,g,v,ai ±r,g,v r,g,v ■Lr,g,v,b

Теорема 1.2.2. Предположим, что г € N, 1 < g ^ оо, l^p^oo.

1. Пусть J = [a, 6], g £ L]of [a, b),v£ L'oc[a, 6). Тогда для существования

7-1 ^ n £ N такого, что Ь], LojPiV[a, 6]) < оо, необходимо и достаточно существования к £ {0, ., г} такого, что Щд§\\ьч[а,ь)->ьр[а,ъ] < оо.

2. Пусть J = [a, 6], д £ Llog (a, 6], i> £ Ll°c(a, Ь]. Тогда для существования q-l ^ n £ N такого, что Ь], Lo,plt;[a, &]) < оо, необходимо и достаточно существования к £ {0, ., г} такого, что < оо.

Теперь перейдем к построению приведенного соболевского класса. Пусть dn(Wqg, LqjP)V) < оо. Из теорем 1.2.1 и 1.2.2 следует, что существует разбиение Т* = {[at, (3i)Yi=1 отрезка [a, b] такое, что i0 < к, {1, ., г0} = UJ=1/„, г i £ Ji, если v|[ai>A] = 0, г £ /2, если = 0 и i $ h, i £ /3, если д £ ХЙЦа*, A), v £ L^K и г <£ Д U /2,

7-1 ^ г £ /4, если д £ Д], г; £ Ll°c(ai} А] и г £ 1г UI2 U /3. q-1 ^

При этом, если % G /3, то \\1%$,131\\ьч[а{,рг]->ьр[сц,&] < оо для некоторого h G

О, ., г}; если г G /4, то || I^^h^p^L^Pi] < оо для некоторого к G {О, ., г}.

Пространство сплайнов, по которому будет проводиться факторизация, определим как

S(r - 1, [а, 6], Г*) = {s G Lo[а, 6] : s\{a.iPi) G Vr-i{ah А), г = 1, ., г0}, где Vr-i(A) — множество полиномов степени не выше г — 1 на интервале А. Скажем, что функция / : [a, b] —> R принадлежит классу [а, 6]. если существует функция ip такая, что \\(p\\Lq[a,b] < 1 и ^ = при г е h, /\(аи&1= 0 при г G /2, /|(аг1д) = |(а<,А)) при г G /3, при г £ /4, где с^ = - 1)!(г - к - 1)!.

Тогда любая функция h £ W^g[a, b] представима в виде суммы h = / + s, где / G &] и S G S(r - 1, [а, Ь], Г,).

Пусть J С R — отрезок или полуось, М С LPtV(J) — выпуклое центрально-симметричное множество, Хм ~ линейная оболочка М, || • \\хм — функционал Минковского множества М, Xm-+lpv оператор тождественного вложения линейной оболочки множества М в пространство LPjV(J), т.е.

Хм Э х M^p'v х G LP>V(J). гМ где х^ — производная

В частности, если М = WgJa, b], то \\х\\м =

- q r-го порядка в классическом смысле, определенная п.в. на J.

В предложении 1.2.1 установлена связь между колмогоровскими поперечниками dn(W^g[a, b], L0^v[a, b]) и dn{W^g\a, b], LPtV[a, b]). Из этого предложения вытекает эквивалентность следующих утверждений:

C(g,v) < lMnpdn(WrqJa,b],L0tPjV[a,b})^ p,q,r n—»оо nPdn(W;!g[a, b], L0,p>v[a, 6]) < C(g, v) n>0° P,q,T

C(g, v) < lim n'dnCfirja, &], LPtV[a, Ь]) ^ p,q,r n—»oo Ш n4n{Wlg[a, 6], Lp>, 6]) < C(g, v), p,q,r где p > 0, C(g, v) G (0, +oo) (то есть если для одного из поперечников при больших п выполнены порядковые неравенства, то для второго выполнены такие же порядковые неравенства; более того, тогда порядковые неравенства не зависят от выбора приведенного класса W* [а, 6]). Также эквивалентными являются следующие утверждения: lim npdn(WI [а, Ь], L0,p>v[a, 6]) = C(r, р, q, д, v) и lim npdn{Wr [а, 6], LPtV[a, 6]) = C(r, p, q, g, v), где p > 0, C(r, p, q, g, v) G (0, +oo) (то есть если для одного из поперечников выполнено асимптотическое равенство, то для другого выполнено такое же асимптотическое равенство, и асимптотики поперечников приведенных соболевских классов не зависят от способа их построения). Также можно показать, что порядковые неравенства и асимптотики аппроксимативных чисел оператора вложения не зависят от способа построения приведенного соболевского класса. л

В §1.3 получена верхняя оценка поперечников dn(Wgg{J), LP)V{J)) и аппроксимативных чисел оператора Twrg-^Lpv в случае регулярных весов. Здесь J — отрезок [а, Ь] или полуось [а, +оо); если J = [а, +оо), то полагаем

Wq,g(J) = {(^ГЦ!Ir,g,v,a4> • IMI? ^ Введем некоторые обозначения.

Пусть —оо < а < Ъ < +оо, l^pcoo, lcg^ оо, д G Ь1оч [а, Ь),

9-1

X д v G Ьрс(а, Ь] — неотрицательные функции2. Положим G{x) — f g<>-l(t)dt, а b

V{x) = JvP(t)dt. x

Всюду далее будем полагать к := ^г + ^ — 0 , >с\ — ^г + ^ — ,

-нг1

Пусть рд > 1, pv > 1. Для каждого k G Z выберем и щ так, чтобы д. q д /fy'"1 (если G(ar) < рдч~х для любого х, то := 6) и F^) = pjp (если < pvP для любого х, то щ := а).

Положим а = lim b = lim щ. Рассмотрим множество Z концов к—*—оо к—>—оо непустых интервалов £j+i) П (??/+ь гц). Для любого конечного отрезка Д С (a, b) множество ЯП А конечно. Значит, множество Z можно упорядочить: Z = {OJfcez, Cfc < Gfe+i- Числа jk и lk зададим равенством [Cb C/c+i] = Так как &+i)n(fi'> = 0 при j ф / и (77/4-1, 77/)П(т7//+1, 77/') = 0 при Z ф то числа и 4 определены однозначно.

Теорема 1.3.1. Пусть rG N, 1 ^ р < 00, 1 < <7 ^ 00, <7, г> Е Lq(J, ®ч-)-Предположим, что выполнено одно из следующих условий:

1. функция д возрастает, функция v убывает и gv G LX(J);

2. г = 1 или функция г; убывает; существует такое рд > 1, что fceZ

2Если 6 = оо, то и е Ь] означает, что v 6 Lp[с, +оо) для любого с> а.

3. г — 1 или функция д возрастает; существует такое pv > 1, что fcez

4. г ^ 2 и существуют рд, pv > 1 такие, что £ |Cfc+i ~ Cfc|(r < kez оо.

Тогда

ТГ- ^(J)) hm л Ш/гГп 11 T rn in ~ MU (4) lim \ m/rrn iT г7n in ~ M*' n—»схз A„(vvjl0, IJ, Lp[0, lj) w

Условие 2 в случае г = 1 совпадает с условием теоремы о верхней оценке аппроксимативных чисел в работе Я. Ланга, О. Мендеза и А. Неквинды [94]. При этом, если 1<#<2<р<оо, то верхняя оценка аппроксимативных чисел оказывается точнее, чем в [94]. Таким образом, теорема 1.3.1 обобщает и уточняет результаты этой работы.

Если д = 1, то таким же способом, как доказывалась теорема 1.3.1, можно получить утверждение, уточняющее результат В.Д. Степанова и Е.Н. Ломакиной [38]: если

E^^IMIm^-H] < оо,

S&1то выполнено (4) и (5).

Следующая теорема является обобщением теоремы 1.3.1 в случае отрезка.

Теорема 1.3.2. Пусть г е N, 1 ^ р < оо, 1 < q ^ оо, [а, Ъ] — Ujiif^-i, тг'], при этом для каждого г = 1, ., г0 функции д{ = д\[т^ипЬ Vi = у\{п-1,п} или 9i(t) = 9i(—t), Vi(t) = Vi(-t) удовлетворяют условиям теоремы 1.3.1. Тогда выполнено (4) и (5).

В §1.4 установлена оценка снизу для величины dn(W^g[a, 6], LPjV[a, 6]).

Теорема 1.4.1. Пусть г G N, 1 ^ р, q < оо, qr > 1 или р ^ 2, д, v е Ьъ([а, b], R+), gv е Lx[a, Ь]. Тогда dn(Wr [а, Ь], LPiV[a, b}) to а m/ггп п г rn in ~ Ml*, п^оо dn(iy9r[0, 1], ivp[0, lj) рл>г jfe An(WJ[0, if, lJo, 1]) ~P Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда существует такое iV = N(p, q, г, г;), что для любого п^ N dn(W;ig[a, 6], ^[а, 6]) |MU<k(WJ[0, 1], Lp[0, 1]),

An{Iw Lpv) x \\gv\\H\n{Wrq% 1], Lp\0, 1]).

Тем самым, в случае l^p<oo,l<q,^oo порядки убывания поперечников и аппроксимативных чисел найдены при всех г £ N.

В §1.5 найдена точная асимптотика величин dn(Wqg[a, b], LPiV[a, b}) при p ^ q, — оо < a < b < +oo, и получено обобщение теоремы А.П. Буслаева и В.М. Тихомирова [8,10] о точных значениях колмогоровских поперечников в терминах спектров нелинейных дифференциальных уравнений.

Обозначим h(a) = |/i|a1sgn/i. В случае р ^ q и кусочно-непрерывных функций д(-), г?(-) А.П. Буслаевым [8] было показано, что lim nrdn{WI' [а, Ь], LPjV[a, 6]) = \~p \\gv\\x,

Tl—>00 3 где Xrpq — первое собственное значение задачи с периодическими краевыми условиями на [0, 1]. Отсюда и из предложения 1.4.2 мы получаем обобщение этого результата для существенно более общих весов д и v.

Теорема 1.5.1. В условиях теоремы 1.3.2 выполнено lim nrdn(WI [а, 6], LPtV[a, 6]) = \^\\ду\\х. n—юо

Теперь сформулируем теорему о связи колмогоровских поперечников и спектров дифференциальных уравнений. Без ограничения общности будем считать, что [а, Ь] = [0, 1]. Скажем, что функция х Е I/O[0, 1] имеет п точек перемены знака, если существуют точки 0 = ть < т\ < • ■ • < тп < тп+1 = 1 такие, что s|[Ti|7i+1] ф 0, x(t)x(s) ^ 0,s,te [тг-, ri+1], г = 0, ., п и x{t)x(s) < 0, t G [тг-ь ъ), s б fa, ri+i], г = 1, ., п.

Пусть 1 ^ р ^ q ^ оо, весовые функции д, v : [0, 1] —> R+ почти всюду положительны и оператор Ir,g,v,о : Lg[0, 1] —> Lp[0, 1] компактен. Обозначим q' = р' = Рассмотрим систему уравнений х{г) = дя'у^ у(г) = (-1 yXPVPX{p): (6) ж0')(0) = о, yW{ 1) = 0, 0 ^ j ^ г - 1.

Скажем, что (х, у, Л) G SPn(p, q, г, д, v), если — = 1, ^ G Ьр[0, 1], выполнено (6) и х имеет п точек перемены знака; положим spn(p, Q, г, д, v) = {Л | Зх, у : (ж, у, Л) G SPn(p, q, г, д, v)}.

Теорема 1.5.2. Пусть 1 < р ^ q < оо, весовые функции д, v : [0, 1] —» R+ почти всюду положительны и оператор IT>g,v,о ■ А? [О, 1] —> Lp[0, 1] компактен. Положим W^g[0, 1] = {Ir,g,v,o<P ■ |M|g ^ !}■ Тогда

1],LP)„[0, 1]) = Л"1, (7) где Лп = maxspn(p, q, г, д, v).

Отсюда и из теоремы 1.5.1 следует, что в условиях теоремы 1.3.1 выполнено lim nrTnl = Kpq\\gv\\x. (8)

П—>0о ^

Равенство (7) при l^p^q^oon различных краевых условиях на функции из класса W*g установлено в работе А.П. Буслаева и В.М. Тихомирова [10] для д = 1, г> = 1 и в работе А.П. Буслаева [8] для кусочно-непрерывных весов. Кроме того, для таких весов в [8] получена асимптотика (8). В работе [9] А.П. Буслаевым асимптотика (8) установлена для положительных и непрерывных внутри отрезка [а, 6] весов д и v таких, что д G L^L-[a, b] и v G Lp[a, Ь].

В частных случаях остаточный член в асимптотике (8) можно уточнить. Если q = оо, г = 1, v = 1, д G Ь], > 0 для любого t G [а, 6], то из результатов работы А.П. Буслаева [8], теоремы 1.1.1 и работы А.А. Лигуна и В.Ф. Сторчая [35] следует, что а;1 = Ь], L„[a, Ч) = inf HG-Hlp^^NI^ + oCn-1-^), уб-^п 2 р где где т(£) = t (см. также следствие 1.1.2).

Теорема 1.5.2 в основном доказывается по той же схеме, которая была приведена в статье [10]. Повторение выкладок из этой работы (с некоторыми техническими изменениями) позволяет установить равенство

4(И^[0, 1], LP;V[0, 1]) = mmiX'1 : 0 ^к^п}.

Поскольку веса д и v могут иметь на конце отрезка достаточно сильные особенности, то доказательство непустоты спектра SPn(p, q, г, д, и), приведенное в [10], не проходит. Поэтому для получения равенства (7) доказывается строгое убывание поперечников.

В §1.6 рассматривается класс весов д, для которых порядки убывания поперечников dn{Wgg[a, 6], Lp[a, 6]) отличаются от порядков убывания поперечников dn(Wq[0, 1], Lp[0, 1]) невесовых соболевских классов.

Пусть 1 ^ р < оо, 1 < q ^ оо, \ = - 0 , г е N, и

-r-i+Ln ™ г- (с\ „-П д{х) = x-r"+-«p(11пх|), ж € (0, е-1], (9) где ip : [1, +оо) -5- (0, оо). Обозначим ф(х) = 1пу?(а;). Пусть со(ф, 6) = Бир{ф{х) - ф(у) :\х-у\^6}, 6 > 0, модуль непрерывности функции ф. Скажем, что ip удовлетворяет условию (#), если

1. ш(ф, 1) < оо;

2. ф = фо + ф\, где функция ф\ ограничена, а функция — фо(Ь) возрастает;

3. существует последовательность {Nn}ne^ такая, что Nn = 0(п) и

4. если р < q, то также предполагается, что ф = Ф2 + фз, где функция фз ограничена и существует такое 70 > 0, что функция ^ — 70^ у + ф2(у) возрастает;

5. если р > тах{<7, 2}, то также предполагается, что существуют такие а > £ min <{ 1 \ и М > 0, что <р(су) ^ Мс~а<р(у) для любых с ^ 1, р U р J

У> 1.

Теорема 1.6.1. Пусть ip удовлетворяет условию (#). Тогда е"1], Lp[0, е-1]) х IMIwi^CWJlO, 1], Lp[0, 1]).

Для иллюстрации этого утверждения рассматриваются два примера. 1. Положим , , л если р < q, 0, если q ^ р ^ 2, i если q^2<p,

Qpq

К I если 19

Пусть ip(y) = у ар(у), где apq < а < r + ^ — ^ р — положительная абсолютно непрерывная функция такая, что урр^ —> 0 при у —> оо. Тогда в пункте 3 условия (#) можно взять Nn = п, и dn(Wrq!g{О, е"1], Lp[0, е"1]) х п~а+г+1^ p(n)dn(Wrq{0, 1], Lp[0, 1]).

2. Пусть ip(y) = у~г~г+ч. Тогда в пункте (3) условия {ф) молено взять = \лп ПРИ Р^ Я и Nn = n(lnn)"1- *(р~я) при р < д, и dn(W;j(J[0, в"1], Lp[0, е-1]) х (lnn)r+^dn(Wrq[0, 1], Lp[0, 1]).

Заметим также, что при l<p^q<ooc помощью теоремы 1.6.1 можно получить порядковые оценки для спектра соответствующей системы дифференциальных уравнений.

В следующей теореме вычисляется порядок убывания поперечника dn{Wqg[0, е-1], Lp[0, е-1]) в случае (р(у) = у~а при малых значениях а.

Теорема 1.6.2. Пусть р > max{g, 2}, 0 < а < imin{l, tf}, р{у) = it 2 р у~а, д(х) = 1пж|), х £ (0, е-1]. Тогда dn(W^g[0, е-1], Lp[0, eDxn-f.

Таким образом, порядки поперечников в этом случае имеют не такой вид, как при а > - min < 1, rzf f • Это имеет сходство с эффектом малой гладкости Р L 2 р J

24,34], возникающего для поперечников классических соболевских классов.

Пусть Q — множество, Д, /2 : Q —» R и fi(t) < /2 СО для любого t £ Q. Интервалом |Д, /2| называется множество функций : Q -> R | h{t) < f(t) ^ f2(t), t £ Q}.

Для линейного пространства X функций / : Q —> R интервалом в X называется множество [Д, /2]]х := |Д, /2]]ПХ. Отметим, что в случае X = C(Q) эти множества были изучены в работах М.В. Кадеца и В.Н. Замятина [20], К. Франчетти и Е.В. Чини [85] и С.Я. Хавинсона [70], а в работе А.А. Васильевой [11] рассматривались некоторые их обобщения для векторнозначных функциональных пространств. В частности, из утверждения 1 работы [11] следует, что если X = C(Q) (Q — хаусдорфов компакт), то любой интервал ff/i; /2на самом деле совпадает с интервалом |Д, где Д, /2 : Q —i► R — соответственно полунепрерывные сверху и снизу функции.

Во второй главе рассматривается задача о поперечниках класса

Ъ] П ЦД, /21 И Ь] П tt/ь /аЬм. 3 G C([fl> Ч' С этой задачей тесно связан вопрос о непустоте таких классов.

В [96] Дж. Линденштрауссом был получен следующий результат.

Теорема А. Пусть (Q, р) — метрическое пространство, fi, /2 : Q —> /1 ^ h- Тогда для того, чтобы существовала функция f : Q Ш., удовлетворяющая условию Липшица с константой I, такая, что fi(x) ^ f(x) ^ /2 (х) для любого х € Q, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось dist([/i(rc), /2(ж)], [fi(y), /2(2/)]) < I • у) для любых х, у eQ.

Как заметил П. Шварцман в [105], утверждение Линденштраусса может быть без изменений перенесено на случай полуметрики р.

Пусть ipi, (р2 £ С [а, b], ipi (£) ^ ^г(^) Для любого £ G [а, 6]. Из теоремы Линденштраусса нетрудно получается следующее утверждение: для того, чтобы множество е ff/i, НЬсы к® ^ < п-в-> было непусто, необходимо и достаточно, чтобы для любых £1, £2 £ [а, 6], таких что £1 ^ £2, были выполнены неравенства

2 *2

2(*2) ^ /i(ii) + J <pi(t) dt, Л(£2) ^ /2(£i) + J wit) dt. (10) h h

Таким образом, если функция g непрерывна, то критерий непустоты класса Ъ] П |/i, /2] получен. Задача о непустоте класса П [[/1, f2}c1[a ь] эквивалентна задаче о непустоте множества

Mfufamw = {/ е Ub 121сЦа,Ь] ■ f € l<Pl, Ы} • где <ри <р2 G С7[а, 6], y>i < <р2

В случае, когда класс абсолютно непрерывных функций ЛС[а, 6] заменяется на класс С1 [а, 6], условие (10) оказывается недостаточным для непустоты множества Mfuf2)tpi)(p2, даже если множество f/i, /гИс^ь] непусто. Чтобы дать такое условие, для произвольной функции / : [a, b] —> R и числа £ G [а, 6] положим

- JUL^^™* если этот предел существует).

Следующая теорема из 2-й главы диссертации дает критерий непустоты множества М/и/2г1ри1р2.

Теорема 2.2.1. Пусть /1, /2 : [a, b] —> Ж. полунепрерывны соответственно сверху и снизу, для любого £ € [а, Ь] выполнены неравенства D-f\ ^ D+f\ и

D-f2 > D+f2, а множество [Д, /гЦсчМ) непусто. Пусть (ръ <р2 G С([а, 6]), ipi ^ ip2. Тогда для того, чтобы множество было непустым, необходимо и достаточно, чтобы для любых а ^ ti ^ t2 ^ Ъ выполнялись неравенства (10).

С помощью этой теоремы показывается, что если функция д непрерывна и множество W^ ^a, Ъ] П |/i, Ь\сЦа,ь] непусто, то оно плотно в W^^a, 6] П 1Л) /2! относительно равномерной метрики (см. теорему 2.2.2); в частности, поперечники этих множеств в Loo[a, Ъ] совпадают.

В §2.3 найдены порядки убывания поперечников класса {/ € Ь] :

Да) = 0, /(&) = с}.

Теорема 2.3.1 Пусть д G Li([a, 6], R+), М = {/ G Ъ] : Да) =

0) f(b) = с}, где |с| < ||^||Li[a,6]- Тогда при достаточно больших п dn(M, ада, ч) - imiKm (1ыи1М] - ici)172^1.

Оценка этих поперечников сводится к полученной Е.Д. Глускиным [17] оценке поперечников пересечения n-мерного куба и n-мерного октаэдра.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [109— 113].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору И.Г. Царькову, а также чл.-корр. РАН профессору Б.С. Кашину, профессору В.М. Тихомирову, профессору Э.М. Галееву и доценту А.С. Кочурову за плодотворные обсуждения поставленных задач и постоянную поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Васильева, Анастасия Андреевна, 2008 год

1. М.С. Айтенова, J1.K. Кусаинова, "Об асимптотике распределения аппроксимативных чисел вложений весовых классов Соболева. I, II", Мат. журнал, Алматы, 2:1 (2002), 3-9; 2:2 (2002), 7-14.

2. С.Б. Бабаджанов, В.М. Тихомиров, "О поперечниках одного класса в пространстве D*\ Изв. АН Узб. ССР, сер. физ.-мат., 2(1967), 24-30.

3. В.Ф. Бабенко, "О наилучших равномерных приближениях сплайнами при наличии ограничений на их производные", Мат. заметки, 50:6 (1991), 24-30.

4. В.Ф. Бабенко, "О наилучших Li-приближениях сплайнами при наличии ограничений на их производные", Мат. заметки, 51:5 (1992), 12-19.

5. К.И. Бабенко, "О приближении одного класса периодических функций многих переменных тригонометрическими полиномами", ДАН СССР, 132:5 (1960), 982-985.

6. Э.Н. Батуев, В.Д. Степанов, "О весовых неравенствах типа Харди", Сиб. мат. ж30:1 (1989), 13-22.

7. М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк, "Кусочно-полиномиальные приближения функций классов Мат. сборник, 73:3 (1967), 331-355.

8. А.П. Буслаев, "Об асимптотике поперечников и спектров нелинейных дифференциальных уравнений", Алгебра и анализ, 3:6 (1991), 108-118.

9. А.П. Буслаев, "Экстремальные задачи теории приближений и нелинейные колебания", ДАН СССР, 305:6 (1989), 1289-1294.

10. А.П. Буслаев, В.М. Тихомиров, "Спектры нелинейных дифференциальных уравнений и поперечники соболевских классов", Мат. сборник, 181:12 (1990), 1587-1606.

11. А.А. Васильева, "Замкнутые промежутки в векторнозначных функциональных пространствах и их аппроксимативные свойства", Изв. АН, сер. мат., 68:4 (2004), 75-116.

12. D. Leviatan, V.N. Konovalov, "Kolmogorov and linear widths of weighted Sobolev-type classes on a finite interval", Analysis Math., 28 (2002), 251— 278.

13. J. Lindenstrauss, "On nonlinear projection in Banach spaces", Mich. Math. J., 11 (1964), 263-287.

14. G.G. Lorentz, Approximation of functions. New York: Hdt Rinehart, Winston, 1966.

15. B. Muckenhoupt, "Hardy's inequality with weights", Studia Math., 44:1 (1972), 31-38.

16. S.I. Novikov, "Exact values of widths for some classes of periodic functions", East. J. Approxim., 4:1 (1998), 35-54.

17. A. Pietsch, "s-numbers of operators in Banach space", Studia Math., 51 (1974), 201-223.

18. A. Pinkus, n-widths in approximation theory. Berlin: Springer, 1985.

19. G. Pisier, The volume of convex bodies and Banach spaces geometry. New York: Cambridge Univ. Press, 1989.

20. W. Rudin, "L2-approximation by partial sums of orthogonal developments", Duke Math. J., 19:1 (1952), 1-4.

21. V.D. Stepanov, "Two-weighted estimates for Riemann-Liouville integrals", Rept. 39, Ceskoslov. Akad. Ved. Mat. Ustav. Praha, 1988. P. 1-28.

22. P. Svartsman, "On Lipshits selections of affine-set valued mappings", Geom. funct. anal. 11 (2001), 840-868

23. G. Talenti, "Osservasione sopra una classe di Disuguaglianze", Rend. Sem. Mat. Fis. Milano. 1969. V. 39. P. 171-185.

24. G. Tomaselli, "A class of inequalities", Boll. Un. Mat. Ital. 1969, N 6. P. 622-631.

25. B.O. Turesson, Nonlinear Potential Theory and Weighted Sobolev Spaces. Lecture Notes in Mathematics, 1736. Springer, 2000.

26. А.А. Васильева, "Критерий существования гладкой функции при ограничениях", Мат. заметки, 82:3 (2007), 335-346.

27. А.А. Васильева, Колмогоровские поперечники классов Соболева с весом. М., 2008. 43 с. - Библиогр.: 16 назв. Деп. в ВИНИТИ 27.05.08, N 454-В2008.

28. А.А. Васильева, "Колмогоровские поперечники классов Соболева с весом", Труды Международной летней математической Школы С.Б. Стечкина по теории функций. Россия, Алексин, 1-9 августа, 2007. С. 57-58.