Оценки характеристических чисел интегральных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Ломакина, Елена Николаевна

• Ломакина, Елена Николаевна
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ломакина, Елена Николаевна

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ОЦЕНКИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ОПЕРАТОРА ХАРДИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

§ 1.1. Оценки характеристических чисел оператора Харди с одним переменным пределом интегрирования

§ 1.2. Оценки характеристических чисел оператора Харди с двумя переменными пределами интегрирования

Глава 2. ОЦЕНКИ НОРМ ШАТТЕНА - НЕЙМАНА ОПЕРАТОРА ХАРДИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

§ 2.1. Предварительные результаты

§ 2.2. Оценки норм Шаттена - Неймана оператора Харди с одним переменным пределом интегрирования

§ 2.3. Оценки норм Шаттена - Неймана оператора Харди с двумя переменными пределами интегрирования

Глава 3. ОЦЕНКИ АППРОКСИМАТИВНЫХ ЧИСЕЛ ОДНОВЕСОВОГО ОПЕРАТОРА РИМАНА - ЛИУВИЛЛЯ

§ 3.1. Предварительные результаты

§ 3.2. Преобразования

§ 3.3. Оценки an(TaiV) на конечном интервале

I = (а, Ь) с (0, оо)

§ 3.4 Оценки an(Ta>v) на конечном интервале в случае 1<р<2<д<оо

§ 3.5. Оценки сверху an(TQjV : Lp(0, оо) -»• Lq(0, оо))

§ 3.6. Оценки СНИЗу CLn{Ta,v '• Lp{0,oo) -> Lg(0,oo))

§ 3.7. Оценки аппроксимативных чисел двойственного оператора Римана - Лиувилля

Глава 4. ОЦЕНКИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ОДНОВЕСОВОГО ОПЕРАТОРА РИМАНА - ЛИУВИЛЛЯ

§ 4.1. Предарительные результаты

§ 4.2. Оценки en(TQ)U : Lp(0,oo) Lq(0,oo))

§ 4.3. Асимптотические оценки чисел Гельфанда, Колмогорова, Вейля и Гильберта оператора Римана - Лиувилля

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки характеристических чисел интегральных операторов»

Задачи метрической аппроксимации множеств, функциональных классов и линейных операторов имеют в математическом анализе глубокие корни. История вопроса восходит к классическим работам П.Л. Чебышева, А.Н. Колмогорова, Г. Вейля, И.М. Гельфанда и многих других авторов.

В случае линейных операторов объектом исследования служит поведение собственных чисел и характеристических чисел, отражающих аппроксимативные свойства изучаемого преобразования, при этом наиболее важным примером характеристических чисел, порядково или асимптотически мажорирущих все остальные, являются аппроксимативные числа (а—числа).

Пусть У) - пространство всех линейных, ограниченных операторов действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y.

Аппроксимативные числа оператора Т G &(X,Y), определяются как расстояние в &(X,Y) между оператором Т и подпространством Y) всех конечномерных операторов: an(T):=M{\\T-L\\x^Y- L: X ->Y, rankL < n - 1}, n G N, где rankL := dim

Пусть S,T G &(X,Y) и Re &{Y,Z). Аппроксимативные числа обладают следующими свойствами: i) ||T|| = ai(T)>fl2(T)>.>0; ii) an+mi(T -f S) < an(T) + am(S), для всех n, m G N, iii) an+mi(.R о T) < an(T) ■ am(R) для всех n, m G N. iv) an(T) = 0, если rank T <n.

Обозначим <Ж(Х, Y) класс всех компактных операторов из ЗВ(Х, Y). Пусть lim am(T) = 0, тогда Т G X(X, У), если же Т G Y) и m-too lim am(T) = a(T) > 0, то а(Т) называют мерой некомпактности

ТП-* 00 оператора Т.

В том случае, когда X = Y является комплексным гильбертовым пространством, аппроксимативные числа совпадают с сингулярными числами (s—числами), которые впервые появились в работах Э. Шмидта.

Пусть Т G Jf(X), тогда Т*Т имеет положительный самосопряженный квадратный корень, \Т\ := (ТТ)1/2 6 Х(Х) и для всех п G N sn(T) := А„(|Т|), пе N, где собственные числа АП(|Т|) берутся в убывающем порядке и с учетом кратности. Поведение s—чисел и их мажорантные свойства по отношению к собственным числам исследовались в классических работах Г. Вейля и им посвящена обширная монографическая литература [11], [56] и др. Аппроксимативное свойство s—чисел sn+l{T) = inf{||T - L||M : rankL < n}, доказанное в 1957 г. Д.Э. Аллахвердиевым ([И], стр. 48), послужило основой для определения а—чисел. Первоначальные основы теории а—чисел были разработаны А. Пичем [27], [65].

Другим важным примером характеристических чисел являются энтропийные числа еп(Т), п G N, (е—числа) оператора Т Е &{X,Y), определяемые как точная нижняя грань множества всех чисел £ > О, для которых существуют элементы у\,., ym Е Y, где т < 2n1, такие т что T(Bx)c\J{yj + £BY},T.e. з=1 т еп(Т) :=inf{e > 0 : 3 yh .,ymeY,rn< 2n~l : Т{ВХ) С |J {yj+eBY}},

3=1 где Вх •= {х 6 X : ||z||x < 1} - единичный шар в X, a By ~ единичный шар в Y.

Энтропийные числа обладают следующими свойствами: для S, Т G $В(Х, Y) и Я G Z) i) im| = ei(T)>e2(T)>.>0; ii) en(T + 5) < en(T) + \\S\\, n G N;

Hi) en{R о T) < en(T) ■ ||R\\. n G N. (0.0.1)

Апроксимативные числа также тесно связаны с другими характеристическими числами линейных ограниченных операторов. Следуя монографии [65] приведем следующие определения: п-е число Гелъфанда оператора Т G У) сп(Т) := inf{ \\TJ$\\ : МСХ, codim(M) < n}, где Jm означает каноническую инъекцию из подпространства М на jx т банахово пространство X, т.е. М X —У. п-е число Колмогорова

4(Т) := inf{ \\QynT\\ : NCY, dim(N) < n}, где Qtx есть каноническая сюръекция из банахова пространства Y на т QY фактор-пространство Y/N, т.е. X —> Y —^ Y/N. п-е число Вейля хп(Т) := sup{ ап(ТЕ) : Е G Щк,Х), \\Е\\ < 1}, п-е число Гильберта

К(Т):= sup{an(FTE) : Е G 8(l2,X),Fe \\Щ\ < 1,1И1 < !}•

Соотношения между характеристическими числами оператора Т G ^(Х, Y) содержатся в следующей теореме.

Теорема 1. [27], [56]. Пусть Т € ЩХ,У). Тогда i) hn(T) < хп(Т) < Сп{Т) < ап(Т), К{Т) < 4(Т) < ап{Т), ii) ап(Т) < 2пУ2Сп(Т), ап(Т) < 2nll2dn(T), iii) hn(T)<2en{T), сп(Т)<пеп(Т), dn(T) < пеп(Т).

Таким образом, получив оценки для аппроксимативных чисел и используя теорему 1, мы имеем возможность получить оценки и для других характеристических чисел оператора Т £ У).

Исследованию характеристических чисел посвящены книги А. Пи-ча [27], [65], X. Кенига [56], Д.Э. Эдмундса и В.Д. Эванса [43], Д.Э. Эдмундса и X. Трибеля [51], К.Т. Мынбаева и М.О. Отелбаева [23] и других авторов. Основы теории сингулярных чисел представлены в классической монографии И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна [И]. Исторически изучению сингулярных и аппроксимативных чисел интегральных операторов предшествовали известные результаты Г. Вейля [79] об асимптотической зависимости поведения сингулярных чисел и собственных чисел линейных операторов.

Оценкам сингулярных чисел интегральных операторов было посвящено значительное количество работ многих авторов. Отметим основополагающую обзорную статью [8] (см. также, например, подробную библиографию к [65]). Исследование а—чисел интегральных операторов до последнего времени оставалось менее детальным, в особенности это касается конкретных классов операторов. В работе Д.Э. Эдмундса, В.Д. Эванса и Д.Ж. Харриса [45], в пространствах Лебега на полуоси, начали изучаться а—числа двухвесового оператора Харди

Пусть X - гильбертово пространство иТ G Ж{Х). Тогда хп(Т) = dn{T) = Сп(Т) = ап(Т).

0.0.2)

Этими авторами были получены неявные асимптотические оценки аппроксимативных чисел. В дальнейшем результаты обобщались в работах Д.Э. Эдмундса и В.Д. Степанова [49] для операторов с полиномиальным ядром, Е.Н. Ломакиной и В.Д. Степановым [61], [80], [81], [82] на случай пространств Лоренца и банаховых функциональных пространств с условием Е.И. Бережного. В работе И. Ньюмена и М.З. Соломяка [64] получены асимптотические формулы типа Вей-ля и оценки норм Шаттена - Неймана для сингулярных чисел оператора Римана - Лиувилля. Далее, Д.Э. Эдмунде, В.Д. Эванс и Д.Ж. Харрис [46] предложили альтернативный метод приближения весовых функций оператора К : Lp Lp ступенчатыми функциями для получения асимптотических оценок а—чисел. Эти результаты на случай К : Lp Lq и любых 1 < р, q < оо были обобщены в работах Е.Н. Ломакиной, В.Д. Степанова [83], [84], [91]. Наиболее полное исследование задачи об асимптотике а—чисел и е—чисел оператора К : Lp —Lq содержится в работе М.А. Лифшица и В. Линде [59], где получены двухсторонние асимптотические оценки для всех значений 1 < р, q < оо.

Диссертация посвящена исследованию поведения характеристических чисел двух классов интегральных операторов: операторов Харди с переменной областью интегрирования и операторов Римана - Лиувилля.

Перейдем к изложенияю основных результатов диссертации.

Пусть 1 < р < оо. Обозначим ЬР(Ш+) пространство Лебега всех измеримых функций с конечной нормой

Первая глава диссертации посвящена исследованию асимптотического поведения а-чисел интегрального оператора Я : LP(R+) Lq(R+) с переменными пределами интегрирования вида гФ(х)

Hf(x) = v(x) / u(y)f(y) dy, (0.0.3)

J tp{x) где u(y) £ LP'(R+), v(x) € Lq(R+) и cp(x), ^(z) - возрастающие дифференцируемые функции такие, что <£>(0) = ф(0) = 0, (р(х) < ф(х) для х € (0, оо) и р{оо) = ф(со) = оо. Для функций, обратных </> и ф будем использовать символы у?-1 и ф~1.

Остановимся на изложении основных результатов и методов первой главы. Сначала мы получаем оценки для а—чисел операторов с одним переменным пределом интегрирования

Sf(x) = v(x) / u(y)f(y)dy (0.0.4) J о и оо

Г/0г) = ф) / ti(y)/(y)dy, (0.0.5)

J<p(x) которые следуют из работ [83], [84] и [59] заменой переменных.

Введем следующие обозначения: пусть последовательность {£n}nez задана формулой гШп) и(ф(£п))= \u{t)\p dt = 2n, -оо <п< Ыф<оо. (0.0.6)

J о

Заметим, что если = оо, то {ф{£п)} существует для всех п £ Ъ, т.е. N^ = оо.

Определим = и nez / Vnez ^f» ' Vr I Zll^ll^^.^n+i))!!17!!^^!) кпеЪ

Аналогично, для интегрального оператора Т : Lp(R+) -> Lq зададим последовательность {тп}пе% следующим равенством роо и(ч>Ы)= \u(y)fdy = 2~n, -C0<NV<TI<00, (0.0.7)

•М^п) и положим

Хп = \\u\\Lpl(M^n+,))\Hbq(rn,rn+1),

1/г / \ 1/г I llUllLpK^(r„)^(rn+1))lbllL9(rn,rn+1) W Z

Пусть 1/г = 1/р' + l/q, определим параметр

1, 1 < g < р < оо,

Л := < 1/г, l<P<q<2, 2<p<q<oo, (0.0.8) 1/2 + min{l/p', 1/q}, l<p<2<g<oo.

В следующей теореме получены асимптотические оценки а—чисел для операторов S и Т, обобщающие результаты исследований [46], [84], [59].

Теорема 2. Предположим, что весовые функции и Е Zy(R+), v Е £g(R+) такие, что операторы S : LP(R+) Lq(R+) и Т : LP(R+) —»• £g(R+) определенные формулами (0.0.4), (0.0.5) компактны.

1.1) Пусть А = min{l,l/r}, А = (а,Ь) С R+, J = (^(а),^(Ь)), и 6 Ljf(J), V Е Lq(А), 5 : LP(J) Lq(A). Тогда cl(p,q)([ \и(ф(х))\г\у{х)\г(ф'(х))г/р'йх)/ <\immtnxan{S)<

Ja J limsupnxan(5) <c2{p,q)( [ \и{ф(х))\г\у{х)\г{ф'(х))г^ dx] ' . n-> oo \./д j

1.2) Пусть X = min{l,l/r}, A = (a, 6) С R+, I = {cp(a), ip(b)), и E Lpl{I), v E Lq(А), Г : LP(J) Lq(А). Тогда ci{p,q)(^j |мИ®))Г1Ф)Г(¥'/(®))г/,/^ 7 < liminfnAan(T) <

2) Пусть S,T: Ь2{Ш+) L2{R+), < оо, < оо. nez nez

Тогда г оо lim nan(S) = - \и(ф(х))\\у(х)\у/Щх) dx n->00 7Г Уо U

I роо lim пап(Т) = - \u((p(x))\\v(x)\^ip'(x) dx. n-> 00 7Г Уо

3) Пусть 1 < q < р < оо или 1 < р < q < 2, или 2 < р < q<oo с А = min{l,l/r} и < оо, < оо. Тогда n€Z n£Z

Or 00 \ 1/r a„(S) < о /

0ЛОО \ 1/r о / и

Of 00 \ 1/r f < liminf тглап(Т) < о / n>0°

0/>oo \ 1/r

0 /

4) Пусть 1 < q < p < оо или 1 < p < q < 2, или 2 < p < q < oo с Л = min{l, 1/r}. Тогда

1/r sup nAan (5) < ci(p,g) nez J и

1/r supпхап(Т) < c2(p,q) ( ]Гл£ ) • oie z

5) Пусть l<p<2<q<oo,\ = 1/2 + min{l/p', 1/g}, A / \ A

X>nA) <oo, ^хуА <oo. Тогда J VneZ / и f 00 \ 1/r ci(p,q)[ / < liminfnxan(S) <

J о / ( N ^ A limsuPnV(5) < c2(p,q) inf j f £ poo \ 1/r ci(p,g) ( / |tx(y>(®))|r|«Wr(^(a:))r/,/d® < liminfnAan(T) < iV 4 A' lirnsup nV(T) < c2(,^nf|p1Hl^,H|Vk) где inf берется no всем счетным разбиениям интервала A={A$kez

6) Пусть l<p<2<q<oo, Х = 1/2 + min{l/p', 1/g}. Тогда supnAan(S) <ci(p,q)( ^ <тУ A J , sup nxan(T) <c2(p,g)I £

Vnez / n Vnez

Далее, для исследований асимптотики а—чисел оператора Н с переменными пределами интегрирования мы строим специальное разбиение полуоси (0, оо) = (jAjfe, где А = [(кХк+i) и 6к = [Vk,Vk+i) к определяются для к £ Ъ следующим образом:

Со = 1, % = </>(!), т = Ф[1), - 12

Сь+1 = {<р~1оф)к{1), -kez, (0.0.9) щ = Ф(<р-1оя1,)к-\1), fcez.

Cfc+2

Рис.1. Специальное разбиение полуоси.

Мы скажем, что оператор В : Lp(R+) -> L^M"1") имеет блочпо-диагоналъное разлооюение, если существуют два семейства дизъюнктных интервалов {4}, {Ак} такие, что (0,оо) = Ujfe^Jfc> (О»00) = Uк^к и

Bf(x) = Y,XAk (B(fxsk))(x). к

Пусть

Pkf(y) = xsk(y)f(y), Qkf(x) = ха tW/W

Очевидно, что

Положим

Вк = QkBPk и обозначим Вк сужение Вк на Ьр(5к), т.е. Bkf = Bkf для всех / £ Lp(Sk). Легко видеть, что а(Вк) = а(Вк), и отметим также, что при 1 < р < q < оо

В\\ьр->ьч = sup \\Bk\\Lp->Lq = sup \\Bk\\Lj>{Sk)-tLq{bk). к к

Итак,

Я = Ф + Ф =5] Фк+52 Ф*=Е (О-О-Ю) к к к к где операторы Ф и Ф имеют блочно-диагональное разложение, и на каждом участке разбиения, когда х £ Д& = [Cfc>Cfc+i)> выполняется равенство гФ(Ск) г"Ф{х)

Hf(x) = v(x) u(y)f(y)dy + v(x) u(y)f(y)dy,

Jip(x) J^k) которое позволяет в дальнейшем использовать результаты, аналогичные полученным для операторов (0.0.4) и (0.0.5) с одним переменным пределом.

Напомним, что счетная функция последовательности {ап(В)} задается в виде n(t, а(В)) = card {k е N : ак(В) >t}, t> 0. (0.0.11)

Ключевую роль для получения асимптотических оценок аппроксимативных чисел играет лемма о счетных функциях компактного оператора.

Лемма 1. Пусть 1 < р < q < оо, В : Lp(Е+) -> Lg(M+) компактный оператор, имеющий блочно-диагональное разложение

В = Вк. Тогда для всех е > 0 к п(е,В) < ^2п{е,Вк). (0.0.12) к

Данная лемма позволяет получать оценки сверху для а—чисел операторов, имеющих блочно-диагональную структуру.

Пусть последовательности {£fc,n} £ Afc и {т^} £ Д^ заданы по аналогии с формулами (0.0.6) и (0.0.7) следующими соотношениями гШк,п) MCm-I) \u{t)\p'dt = 2n, / \u(t)\p'dt = 2~n.

Определим к,п = | / ИОР^

I r£k,n+1 \

I у |ф)|<^1 Мй+i) , \ W / rn,n+i \ 1/9 = / / . уфк,п) J \JTk>n J

Основные результаты первой главы диссертации заключаются в следующей теореме.

Теорема 3. Пусть 1 < р < оо, оператор Н : -LP(R+) -> LP(R+) вида (0.0.3) компактен и ^ ^ сгк,п < 00> кк,п < 00 • Тогда к п к п выполняется оценка сверху limsupпап(Н)< Г\у{х)\ (\и{ф))\(^\х))1^\и(ф(х))\(ф\х))1/Л dx, n->oo J 0 о случае р = 2 имеет место эквивалентность роо г , limsup пап(Н)и / |и(ж)| |и(</?(ж))|yVW + dx. n-+oo JO

2) Пусть 1 < q < p < оо или 1 < p < q < 2, или 2 < p < q < оо, 1/r = 1 Ip1 + l/qu\ = min{l, 1/r}. Оператор H : LP(R+) -> ^(R+) компактен и ^ ^ <т^п < oo, ^ ^ < оо. Тогда k n k n limsup пАап(Я) « { £ [ [ |ф)Пи(</^))1 VM)^

LM* - 15 Е k€Z

UAk v(x)\г\и(ф(х))\г(ф'(х))^'

1/r'

3) Пусть I<P<2<5<00 с A = 1/2 + min{l/p', 1 /q], оператор H : Lp(R+) —> Lg(R+) компактен и У^ < оо,

Е S Чп < k п п limsupпхап(Н) < < У^ к

П-> 00

1/Л |

1/а Е к N inf (£>«11/ Jli; m=l

1/А I

1/а

Lq(Ak<m) где inf берется no всем конечным дизъюнктным разбиениям Рк = {Д*,1>Д*,2>-ДМГ} интервала Ак.

Используя соотношения между а—числами и другими характеристическими числами, получены асимптотические оценки чисел Гель-фанда, чисел Колмогорова, чисел Гильберта и чисел Вейля для обобщенного оператора Харди с переменной областью интегрирования. Результаты первой главы диссертации опубликованы в [85], [87], [89].

В 1918 году Ф. Рисс [69] опубликовал свою знаменитую статью, в которой были заложены основы теории компактных операторов. В частности, он доказал, что такие операторы имеют по крайней мере счетное множество собственных чисел, которые с учетом кратности, упорядочиваются в последовательность, сходящуюся к нулю, но ничего не было сказано о скорости сходимости такой последовательности. В тоже время И. Шур [78] еще в 1909 заметил, что последовательность собственных чисел интегрального оператора, порожденная непрерывным ядром, является суммируемой с квадратом. Поэтому возникла следующая проблема: найти условия на оператор Т, которые бы гарантировали, что последовательность собственных чисел {Ап} принадлежит пространству 1Г при 0 < г < оо. В контексте интегральных операторов такие условия были получены в терминах свойств ядра оператора: более гладкое ядро гарантирует более быструю сходимость собственных чисел оператора.

Соответствующие результаты для абстрактных операторов были найдены достаточно поздно. Г. Вейль [79] в 1949 году используя сингулярные числа доказал, что для всякого компактного оператора Т в комплексном гильбертовом пространстве sn(T)} б 4 влечет {|А„(Г)|} 6 1Г.

Расширение теоремы Вейля от гильбертова к банахову пространству оставалось открытой проблемой достаточно долго. Только в 1978 году Г. Кёниг [56] получил следующий результат.

Теорема 4. [56] Пусть В € Ж[Х) и а £ (0, оо). Тогда существует константа Са, зависящая только от а такая, что где ак(В) - k-е аппроксимативное число оператора В.

Получение оценок норм Шаттена - Неймана для конкретных классов операторов начинается с работы И. Ныомана и М.З. Соломяка [64]. Авторами были получены оценки норм Шаттена - Неймана для сингулярных чисел оператора Римана - Лиувилля, но методы их работы, основанные на теории квадратичных форм не переносятся на негильбертов случай. Давлее, Д.Е. Эдмунде, В.Д. Эванс и Д.Ж. Харрис [46] предложили альтернативный метод и получили оценки норм Шаттена - Неймана для оператора Харди К : Lp, которые в дальнейшем были обобщены в работе Е.Н. Ломакиной и В.Д. Степанова [84] для К : Lp -» Lq при любых 1 < р, q < оо.

Вторая глава диссертации посвящена оценкам норм Шаттена - Неймана аппроксимативных чисел интегрального оператора Н : LP(R+) -» Lq(R+) с переменными пределами интегрирования.

Будем говорить, что оператор В принадлежит классу Шаттена -Неймана §Q, 1 < а < оо, если {ап(В)} G 1а, при этом оо \ 1 /а

4(Д)) k=1 '

И В £ &а,и>сак, если

Pk.^ = IIW5)}kl. = Bup*(n(i>a(B))1/el t> о где счетная функция последовательности {ап(В)} задается формулой (0.0.11). Известно [30], что лоо \ 1 /а к - {*I ta~ln(t,a{B))dtj .

Основные результаты второй главы диссертации заключаются в следующем. Во-первых, для операторов с одним переменным пределом интегрирования S,T : Lp{R+) Lp{R+) вида (0.0.4) и (0.0.5) устанавливается эквивалентность норм Шаттена - Неймана интегральным выражениям, зависящим от весовых функций оператора

- . £«1 \ VQ , 00/ Гф(х) ч f, г ч «-1 \ 1'а

Ц Hy)\Pdy) Ц Ш\рм) \<x)\Pdx где 1<р<оои1<а<оо. Во-вторых, получена оценка сверху для оператора Н : LP(]R+) -» LP(R+) с двумя переменными пределами интегрирования

1№«<<(Е(7 МрУ У (ЛМ М*)!^) ' „ VAm / JAm\J<p(x) J J где [Jm Дт = Um[Cm,Cm+i) = М+ - специальное разбиение полуоси (0.0.9), рис. 1.

В-третьих, для случая Н : £г(М+) ^(Ж"1") и 1 < а < оо доказана двусторонняя оценка причем, для 2 < а < оо этой эквивалентности можно придать более компактный вид.

И наконец, из пролученных результатов мы можем получить и оценки сверху на собственные числа операторов Харди с одним и двумя переменными пределами интегрирования.

Пусть последовательности {£„} и {тп} определяются формулами гШп) и(ф{£п))= / \u(t)\p dt = 2n, nGZ, -оо <п<Щ<оо,

J о л оо с/?(тп)) = / |u(y)|p' dy = 2~n, n € Z, -00 < < n < oo. Обозначим /-fn+l Ч1^ / ГТ„+1 \i/p

Ц , U^(ip(x))\v(x)\4xj.

Теорема 5. Пусть 1 < a < оо, операторы S : Z>p(K+) и

T : Lp(R+) LP(M+) определенные формулами (0.0.4), (0.0.5) компактны. Тогда W

La,w\ И W k(S)} щ} a(N)

Хк} ак(Т)} а fa(N)

Эти важные соотношения следуют из эквивалентности счетных функций последовательностей {сг*.} и {а^(5)}, {щ} и {ак(Т)}, которая доказывается в сериях лемм 2.2.1-2.2.7 главы 2.

Далее, для операторов S и Т мы рассматриваем функционалы t/д ~ Jq,j la ~ I'a, зависящие от весовых функций:

1/а

00 а/р'

00 р-1

Ja=(/ (/ МП (/ \v(x)\*dx roo \ а/р мр HvW'dy h-Hv) J

00 / г00 ф-Цу) а/р' / а = f-1 v

1/а

1/а Ш нр \v(x)\pdx

О w / \J о

ДГ1/ /^"'(i/) \а/р

-оо / />оо

1/а i= I /о (J |«Г| Ц ItfJ HvW'dy

Следующие теоремы устанавливают эквивалентности. Теорема 6. Если 0 < а < оо, 1 < р < оо, то к} ч ~ Ja ~ J'a

Теорема 7. .ЁЬш 0 < а < оо, 1 < р < оо, то щ}

Т ~ Т' La ~ J-a

Из доказанных выше оценок, для компактных операторов с одним переменным пределом интегрирования мы получаем два следствия. Следствие 1. Пусть 1<р<оо;1<а<оо, S : LP(R+) -> LP(R+)

- компактный оператор определенный формулой (0.0.4). Тогда да) ** (jT (j^'mfdy^7 (f™mpdt)Р

Следствие 2. Пусть 1 < р < оо, 1 < а < оо, Т : LP(R+) ->• LP(R+)

- компактный оператор определенный формулой (0.0.5). Тогда

Далее, блочно-диагональное представление (0.0.10) и лемма 1 о счетных функциях позволяют получить верхнюю оценку для компактного оператора Я с переменными пределами интегрирования где Ат = [CmjCm+i) есть специальное разбиение (0.0.9), рис.1.

Лемма 2. Пусть В : L2(М+) —> L/2(R+) - компактный оператор, имеющий блочно-диагональное разлоэ/сение В = ^Я^. Обозначим к

В\ = (Я*Я)1/2 = Y^{BlBk)1'2, (т{\В\) и а(\Вк\) - спектры оператоk рое \В\ и \Вк\, соответственно. Тогда а (|В|) = [>№!)■ к

В силу представления оператора Я и предложения 6 ([И], стр. 123) для 1 < а < 00, имеем ||Ф||5в < \\H\\Sa, ||Ф|к < Ik, что дает

-21 возможность получить оценки снизу: оо г / м Ск+1 v f-1 ыти>Е]Aliau2{y)dy) Ц v2(x)dx) y2{x)dx> а также г ( МЫ \Q/2/ сх \f-i

11К(ФЩ»Е/Д U Av)dvj Ц J на основании которых, выводим следующий важный результат.

Теорема 8. Пусть Н : 1/2(М+) —> компактный оператор определенный формулой (0.0.3) и 1 < а < оо. Тогда

1>"(я)) {l^l)u2{y)dy) \1}2{х)<ьУ ly2{x)dx

1/а

S-1

• / rnx) \ " / /Чьи \ 2

При а = 2 в предыдущей формуле имеет место равенство, а при 2 < а < оо она имеет более компактный вид.

Для функций ср(х) и ф(х) оператора (0.0.3) определим фарватер-функцию а(х) такую, что ip(x) < сг(х) < ф(х) и u2(y)dy= / u2(y)dy J ip(x) J a(x) для любого X G

Следствие 3. Пусть H : -> 1/2 (Ж+) компактный оператор определенный формулой (0.0.3) и 2 < а < оо. Тогда а ( -оо / / /чг1 (*(*)) 4 а

Е<(Я) « / / / ) у о УФ) ) \Н~1Ш) )

Применяя теорему 1, мы получим асимптотические оценки и для других характеристических чисел оператора с двумя переменными пределами интегрирования.

Следствие 4. Пусть Н : I/2(R+) 1/20&+) компактный оператор определенный формулой (0.0.3) и 2 < а < оо. Тогда ( гФ) \V Г*5"1 И*)) V

Е<(Я) Н / / и2№у) [ v2(t)dt) v2(x)dx ,

W / \/0 \Л(*) J V^-ЧФ)) J J Г™ / гФ) \И V

Е^п(Я) Ы / / / , УГЧФ)) J J

1 a a \

ЕВД й / / u2Wv)[ v\t)dt\ v2(x)dx ,

W J \Jo уф) J УГЧФ)) J J

1 a a \ z(ff)h/ / / v2(t)dt) v2(x)dx\. n J у0 V-M*) / уф-^ф)) J J

Используя теорему 4 и пролученные результаты для аппроксимативных чисел, мы можем получить и оценки сверху на собственные числа операторов Харди с одним и двумя переменными пределами интегрирования.

Теорема 9. Пусть 1 < р < оо, 1 < а < оо и S,T, Н : Lp( R+) LP(R+) компактные операторы определенные формулами (0.0.4), (0.0.5) и (0.0.3). Тогда

00 \ / , ^ , Гоо \ f-1 \ 1/Q

1/q

Результаты второй главы диссертации опубликованы в [8G], [88], [90],

Непосредственным одновесовым обобщением операторов (0.0.2) являются операторы Римана - Лиувилля где а > 0.

Исследование асимптотик энторопийных чисел, а также аппроксимативных чисел оператора Ta>v : Lp(0, оо) -> Lq{0, оо) при р ф q, а ф 1 не предпринемалось. Третья и четвертая главы диссертации восполняют этот пробел для целых а > 1, обобщая и дополняя результаты работ [59], [73], [64].

Для 1 < р, q < оо, qGN положим

92]. L X

Ta,vf{x) := v{x) / (х - y)Q~1f(y)dy, х>0, (0.0.13)

1 1 1 - --а- - + г р q а также — ---г л •— г р q а,

1 1 1 - — а---h

1 < q < р < оо

1<Р<9<2, 2 < р < q < оо 1 а — - -f- mm

0.0.14)

Введем следующие обозначения:

Mr,оо := IWkoo = sup (к + 1 + sup\к\1'г6+,

Г,00 • fc>0 к<О к< О где f2k+l \ l!q

6к = 2н<*-т М \v(x)\4x\ ,kez,

Щ}к>0 и убывающая и возрастающая перестановки, причем

Mir < Мп Мг,оо < C\v\r. Пусть т := inf J] if . кеХ

4Г1/РЦ \v(x)\Чх) 1/9

1/а> А где infimum берется по всем счетным непересекающимся разбиениям

О, оо) = [J h полуоси на интервалы {Д} такие, что ыж card{£; 6 Ж : 1к П А ф 0} < оо, для любого компакта А С (0, оо).

Основные результаты 3 главы диссертации заключены в следующей теореме.

Пусть v Е L+ означает, что \v(s)\ приближается снизу монотонной последовательностью конечнозначных интервальных ступенчатых функций, т.е.

О < vj(s) = £ akXiJs) f |«(в)| для почти всех s 6 (0, оо).

Теорема 10. Пусть l< р, q <оо, a GN« оператор TQ)V :

Lp(0, оо)

Lq(0,оо) компактен. Тогда с некоторыми константами с, с\, с2 абсолютными, или зависящими только от р, q и а, выполняются следующие оценки: (i) при 1 < q < р < оо ciMr.00 < SUP naan(Ta,v) < c2\v\r, (0.0.15) ii) если 1 < p < q <2, 2 < p < q < oo или l<p<2<q<oo, то sup nAan(TQ,„) <ф|1/л, (0.0.16) n iii) если 1 < q < p < oo или 1 < p < q < 2, или 2 < p < q < oo и \v\r < oo, mo limsup nAan(TQ)U) < c||v||r, (0.0.17) n-> 00 iv) если 1 < p <2 < q < oo и Hi/a < oo, mo limsup nxan{TatV) < cpx(v), (0.0.18) n-> 00 v) если 1 < p,q < oo и v £ L+, mo c\\v\\r < liminf nxan(Tav). (0.0.19) n-t 00 '

Оценка (ii) при p = q установлена в [73] при любых а > 1. Точный критерий ограниченности и компактности TajW : Lp(0, оо) ^(0, оо) при 0<g<oo, р > 1 и а > 1 /р получен в [67] (см. теорему 3.1.1). При а = 1 и без условия v 6 L+ теорема 10 получена в [59], где ее результаты обобщаются для двухвесового оператора (0.0.2) с помощью изоморфизмов Lp — пространств при которых оператор интегрирования (0.0.2) сохраняет тип. Двухвесовой аналог оператора (0.0.13) при а ф\ при этих изоморфизмах теряет свою форму, поэтому как и в [64], [73] в третьей и четвертой главах диссертации рассматривается только одновесовой случай. Используя свойства аппроксимативных чисел компакных операторов теорема 10 получена и для а—чисел двойствен

00 ного оператора T*jVf(x) := {у- x)a~lv(y)f{y)dy, х > 0.

J X

Доказаны точные асимптотические оценки для а—чисел и е—чисел классического оператора Римана - Лиувилля.

Теорема 11. Пустъ a€N, 1 < р, q < оо и оператор Та : Lp( 0,1) —> Lq(0,1) компактен. Тогда с константами с\ — ci(p,q) > О, С2 = с2 {p,q) > 0 выполняются асимптотические оценки: i) при 1 < p, q < оо cm~a < en(Ta) < c2n~a;

-a. ii) при 1 < p, q < oo c\n~x < an(Ta) < c2n~\ где А определена формулой (0.0.14). Пусть J£={h}keXi I= || h~ представление интервала / С (0, оо) кех в виде объединения попарно непересекающихся конечных интервалов Ik, и предполагается, что v G Lq(Ik), для любого к G Ж. Здесь Ж означает либо конечное, либо счетное индексное множество.

Рассмотрим разложение пространства Lp(I) в сумму двух подпространств: L°(I) и LC(I), где j = 0,1,., а, к Е Ж,

Lp(I)— подпространство кусочно-полиномиальных функций:

1 обозначает совокупность всех полиномов степени не превосходящей а — 1.

Для функций / G Lp(I), supp / С оператор TQfV сохраняет дизъ-юнктность: ь;(1) := L;(/,if) = |/ G : jf = 0 J

Lq(hY hex

Зададим оператор Pf : LP(I) ->• Lcp(I) по формуле q-1 j=о fcejr где полиномы

- (Ь - a)-'/2Pi (^ТГ?) • J = образуют ортонормированную систему в ЬгСО и f>Pj,k)ik := /

J h

Определим Тогда

T — T Р° 4- Т Р° — -ta,vJ I ~ ±a,vrI и, используя свойства а—чисел, получаем n+m-lC^a^,) < СЬп(ТарРj ) + am(TajVPj-).

Заметим также, что rankPj = a-cardJf, это означает, что на конеч-N ном интервале / = | j имеем rank{Ta^vPf) = a-N, и am(TayVPj) = О к=1 при m > aN. Следовательно, на конечном интервале а—числа оператора Римана - Лиувилля Ta,v оцениваются аппроксимативными числами an(Ta^vPj).

Для 1 < р < оо, 0 < q < оо, a G N, I = (а, 6) С (0, оо) и v € Aj(/), в силу неравенства Гельдера выполняется оценка

Ы\\ь,{1) < |/|Q-1/P|bllL,(7)||/||Lp(/), для всех / G LP(I).

В дальнейшем величина

Ja,v(I) :=\1Г1/р-\Нь< i) будет играть важную роль, и в леммах 3.3.1 - 3.3.2 доказаны ее основные свойства.

В следующей лемме уточняется значение нормы оператора TUjV при его сужении на подпространство L°p{I).

Лемма 3. Пусть I С (0, оо), if = {h}k&x, I = || h и v G Lq(Ik). Тогда для любой функции f £ L°(/,i?) sup Ja,v(h)\\f\\Lp(i),

Ta,vf\\Lq{I) < kejr h-a JaAh)r/il~ar) i, \к€<Ж

1 < p < q < oo, LP(I), Kq<p<oo.

В лемме 4 получена неявная оценка а—чисел оператора TQiVP°, которая в последующей теореме доводится до явной оценки.

Лемма 4. Пусть I С (0, оо), Sf = {h}ktx, I = |J h, кеХ

Р° : LP(I) ->• L°(7,if) uv в Lq(Ik) для любого к. Рассмотрим последовательность натуральных чисел {п&}, что п := £ (пк — 1) + 1 < оо. Тогда a{n-l)a+l{Ta,vP°) < < sup nfc1/rJaiV(/fc), кех ar

Y,nki-arJa,v{h)

-—a

1—ar

1 < p < q < oo, , 1 < g < p < oo.

Базовой для получения супремальных и асимптотических оценок а-чисел является теорема 12. Теорема 12. Пусть

I С (0, оо), if = / = [J h, jteJ LP(I) -> uv £ Lq(Ik) для любого к. Тогда

1/r где Л := min I -, a J . an(TQ,vP°) « nx ]Г -M1*)' \kex 1

0.0.20)

Теорема 13. Пусть I С (0,оо) конечный интервал, v € Lq(I). Тогда limsupплan(Ta,v) « |M|ir(/). (0.0.21) n-> 00 где A := min •

Уже из теоремы 11 видно, что случай параметров l<p<2<q< оо является особым. Для оценок а—чисел оператора Ta>v это требование также выполняется, а именно, в этом случае оценку сверху можно улучшить, причем данный случай потребовал более сложной конструкции с привлечением ортонормированной системы полиномов па отрезке.

Теорема 13. Пусть 1 < р < 2 < q < оо, I С (0,оо) конечный интервал, v £ Lq(I). Тогда limsup nxan(Ta>v) < /3x(v), (0.0.22) n-> oo где A = a - 1/2 + min(l/g, l/p').

Оценки сверху для аппроксимативных чисел оператора Римана -Лиувилля на полуоси (0.0.15), (0.0.16) получены с помощью а—чисел диагональных оператров. Кроме этого, в диссертации приведена техника, касающейся изоморфизмов Lp пространств и показано, что оператор Та,v сохраняет тип и дизъюнктность при этих преобразованиях. В § 3.2 доказано, что оператор Т®^ : L°(I) Lq{I) изоморфен оператору \\(р\\ьг • Т° : L°(0,1) -» Lq(0,1), где в качестве весовой функции v(x) выступает интервальная ступенчатая функция N

Р(Х) :=^2akXh{x), ak > 0, при этом k=1 an(TQg = ЫьМТ°), еп(т^) = ЫьМПУ

И далее, для получения нижних оценок а—чисел, а также и е—чисел оператора Римана - Лиувилля, используем лемму 5 и результаты теоремы 11.

Лемма 5. Пусть I С (0, оо) конечный интервал, 0 < v Е L+, v Е Lq(I). Тогда для любого rj Е (0,1) существуют оператор Y : Lq(I) —> Lq(I) и число (3, удовлетворяющие следующим условиям:

Основным результатом четвертой главе диссертации является следующая теорема.

Теорема 14. Пусть 1 < р,q < оо, aG N и оператор Та,v '■ Lp(0, оо) Lq(0, оо) компактен. Тогда с некоторыми константами с, ci, С2, абсолютными, или зависящими только от р, q и а, выполняются следующие оценки: i) при l<p<q<2,2<p<q<oo или l<p<2<q<oo

ЬР а

Ь?(0Д) sup nxen(TaiV) < c|u|i/A,

0.0.23) n где параметр А определен формулой (0.0.14), (ii) при 1 < q < р < оо ciMr.oo < supnaen{Ta,v) < c2\v

Г1

0.0.24) П iii) при любых 1 < p, q < оо

СTa,v)

0.0.25) n iv) при l<p,q<oouvEL+ c\\v\\r < liminf naen(Ta)V).

0.0.26)

Для получения верхних оценок е—чисел используем результаты теоремы 10 и неравенство, показывающее связь между аппроксимативными и энтропийными числами [39]: для Т G У) и любого 7 > 0 sup n7en(T) < c7sup n7an(T). п п

Оценки снизу (0.0.24), (0.0.25) энтропийных чисел оператора (0.0.13) на полуоси получены с помощью е—чисел диагональных оператров.

Используя соотношения между а—числами и другими характеристическими числами, получены асимптотические оценки чисел Гель-фанда, чисел Колмогорова, чисел Гильберта и чисел Вейля для одно-весового оператора Римана - Лиувилля. Результаты третьей и четвертой глав диссертации опубликованы в [93] - [97].

Результаты диссертации докладывались на семинаре по геометрии и анализу под руководством академика Ю.Г. Решетняка в ИМ СО РАН, на семинаре по функциональному анализу под руководством чл.-корр. РАН, профессора В.Д. Степанова в ВЦ ДВО РАН, на математических семинарах университетов г. Хабаровска.

Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетияка (Новосибирск, 2004 г.), на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2004 г., Хабаровск, 2005 г.)

Результаты данной работы отражены в публикациях [80]-[97].

Научные интересы автора в свое время сформировались под руководством чл.-корр. РАН, профессора В.Д. Степанова. Автор выражает глубокую благодарность В.Д. Степанову за многолетнюю совместную работу, доброе внимание и поддержку.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ломакина, Елена Николаевна, 2006 год

1. Аллахвердиев Д.Э. О скорости приближения вполне непрерывных операторов конечномерными операторами // Уч. зап. Азерб. университета. № 2. 1957. С. 27-35.

2. Апышев О.Д., Отылбаев М.О. О спектре одного класса дифференциальных операторов и некоторые теоремы вложения // Серия математическая. 1979. Т. 43. N 4.

3. Берг Г., Лёфстрём Г. Интерполяционные пространства.-М.: Мир, 1980.

4. Бережной Е.И. Точные оценки операторов на конусах в идеальных пространствах // Труды МИ РАН 1993. Т. 204. С. 3-34.

5. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Об оценках сингулярных чисел интегральных операторов I // Вестник ЛГУ. № 7. Вып. 2. 1967. С. 43-53.

6. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Об оценках сингулярных чисел интегральных операторов II // Вестник ЛГУ. № 13. Вып. 3. 1967. С. 21-28.

7. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Аппроксимация функций классакусочно полиномиальными функциями // Матем. сб. 73.1967. С. 331-335.

8. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Оценки сингулярных чисел интегральных операторов // Успехи матем. наук. 1977. Т. 32. N 1. С. 17-84.

9. Гельфонд А.О. О росте собственных значений однородных интегральных уравнений. Приложение к книге: У.В. Ловитт. Линейные интегральные уравнения. М., Гостехиздат. 1957. С. 233-263.

10. Гольдман M.JI., Степанов В.Д. Пространство дробных потенциалов Римана Лиувилля на полуоси // Препринт ВЦ ДВО РАН № бб. Хабаровск. 2003. 12 с.И. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

11. Глускин Е.Д. Нормы случайных матриц и диаметры конечномерных множеств // Матем. сборник. 1983. Т. 120. С. 180-189.

12. Исмагилов Р.С. n-мерные диаметры компакта в гильбертовом пространстве // ФА и его приложения 2:2 1968. С. 32-39.

13. Исмагилов Р.С. Диаметры множеств в линейных нормированных пространствах и аппроксимация функций тригонометрическими полиномами // УМН 29:3. 1974. С. 161-178.

14. Исмагилов Р.С. Диаметры компактных множеств в линейных нормированных пространствах // Сб. статей "Геометрия линейных пространств и теоря операторов."Ярославль 1977. С. 75-113.

15. Канторович ЛВ., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

16. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

17. Кашин B.C. Поперечникии Колмогорова октаэдров // ДАН СССР № 214. 1974. С. 1024-1026.

18. Кашин B.C. Диаметры октаэдров // УМН 30:4. 1975. С. 251-252.

19. Кашин B.C. Диаметры некоторых конечномерных подмножеств и некоторые классы гладких функций // ИАН СССР, сер. матем. 41. 1977. С. 334-351.

20. Лизоркин П.И., Отелбаев М. Оценки аппроксимативных чисел вложений пространств соболевского типа с весами // Труды МИ-РАН СССР 1984. Т. 170. С. 213-232.

21. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л.: Издательство ЛГУ, 1985.

22. Мынбаев К.Т., Отылбаев М.О. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. М.: Наука, 1988.

23. Ойнаров Р. Весовые неравенства для класса интегральных операторов // Докл. АН СССР 1992. Т. 44. С. 291-293.

24. Ойнаров Р. Двусторонние оценки норм для классов интегральных операторов // Труды ИМ им. Стеклова 1994. Т. 204. С. 240-250.

25. Параска В.И. Об асимптотике собственных и сингулярных чисел линейных операторов, повышающих гладкость // Матем. сб. 68 (110):4. 1965. С. 621-631.

26. Пич А. Операторные идеалы. М: Мир, 1982.

27. Прохоров Д.В., Степанов В.Д. Весовые оценки операторов Рима-на-Лиувилля и приложения // Тр. Мат. ин-та РАН 2003. Т. 243. С. 289-312.

28. Рисс Ф., Сёкифальви-Надь Б. Лекции по функциональному ана-лизу.-М.: Мир, 1979.

29. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ па евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.

30. Степанов В.Д. О сингулярных числах одного класса интегральных операторов // Доклады РАН 1994. Т. 336. № 4. С. 457-458.

31. Степанов В.Д., Ушакова Е.П. Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования // Тр. Матем. инст. им. В.А. Стеклова. 2001. Т. 232. №5. С. 298-317.

32. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. МГУ, 1976.

33. Тихомиров В.М. Теория приближений. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Т. 14. М., 1987.

34. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. Изд-во "Мир". М. 1980.

35. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. ИЛ., М., 1948.

36. Aleksandrov А.В., Janson S., Poller V.V., Rochberg R. An interesting class of operators with unusual Schatten-von Neumann behavior // University of Uppsala. Preprint. 2001. P. 1-89.

37. Carl B. Entropy numbers of diagonal operators with application to eigenvalue problems //J. Approx. Theor. 1981. 32. P. 135-150.

38. Carl B. Entropy numbers, s—numbers and eigenvalue problems //J. Funct. Anal. 1981. 41. P. 290-306.

39. Carl B. Entropy numbers of embedding maps between Besov spaces with an application to eigenvalue problems // Proc. Royal Soc. Edinburgh Sect. A. 90. 1981.

40. Carl В., Stephani I. Entropy, compactness and the approximation of operators. Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1990. 277 p.

41. Chen T. and Sinnamon G. Generalized Hardy operators and normalizing measures // J. Ineq. Appl. № 7. 2002. P. 829-866.

42. Edmunds D.E., Evans W.D. Spectral theory and differential operators. Oxford: Oxford Univ. Press., 1987.

43. Edmunds D.E., Gurka P., Pick L. Compactness of Hardy-type integral operators in weighted Banach function spaces // Studia Math.109. 1994. P. 73-90.

44. Edmunds D.E., Evans W.D., Harris D.J. Approximation numbers of certain Volterra inteqral operators //J. London Math. Soc. 1988. V. 38. (2). P. 471-489

45. Edmunds D.E., Evans W.D., Harris D.J. Two-sided estimates of the approximation numbers of certain Volterra inteqral operators // Studia Math. 1997. V. 124. P. 59-80.

46. Edmunds D.E., Harris D.J., Lang J. Two-sidedestimates for the approximation numbers of Hardy-type operators in L^ —> L\ // Studia Math. 130 (1998). P. 171-192.

47. Edmunds D.E., Haroske D.D. Embeddings in spaces of Lipschitz type, entropy and approximation numbers and applications //J. Approx. Theor. V. 104. 2000. P. 226-271.

48. Edmunds D.E., Stepanov V.D. The measure of non-compactness and approximation numbers of certain Volterra integral operatirs // Math. Ann. 1994. V. 289. P. 41-66.

49. Edmunds D.E., Stepanov V.D. On the singular numbers of certain Volterra integral operators //J. Funct. Anal. V.134. N1. 1995.

50. Edmunds D.E., Tribel H. Function spaces, entropy numbers, differential operators. Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1996.

51. Gogatishvili A. and Lang J. The generalized Hardy operator with kernel and variable integral limits in Banach function spaces // J. Ineq. Appl. № 4. 1999. P. 1-16.

52. Goldman M.L. Hardy type inequalities on the cone of quasimonotone functions // Khabarovsk: Computer Center. Far-Eastern Branch. Russian Academy of Sciences. Preprint № 31. 1998.

53. Haroske D. Approximation numbers in some weighted function spaces // J. Approx. Theor. V. 83. Ж 1. 1995

54. Heinig H.P. and Sinnamon. Mapping properties of integral averaging operators // Studia Math. 129. (1998) P. 157-177.

55. Konig H. Eigenvalue distribution of compact operators Birkhauser // Boston, 1986.

56. Lai Q. Weighted modular inequalities for Hardy operators // Proc. LMS № 79. 1999. P. 649-672.

57. Lang J., Mendez 0., Nekvinda A. Asymptotic behaviour of the approximation numbers of the Hardy-type operator from Lp into Lq // J. Ineq. Appl. V. 5. 2004. P.l-36.

58. Lifshits M.A., Linde W. Approximation and entropy numbers of Volter-ra operators with application to Brownian motion // Mem. Am. Math. Soc. 2002. V. 745, P. 1-87.

59. Linde R. s-numbers of diagonal operators and Besov embedding // Rend. Circ. Mat. Palermo . 1986. P. 83-110.

60. Lomakina E., Stepanov V. On the compactness and approximation numbers of Hardy type integral operators in Lorentz spases // J. London Math. Soc. (2) 1996. V. 53. P. 369-382.

61. Martin-Reyes J., Sawyer E. Weighted inequalities for Reimann-Liou-ville fractional integrals of order one and greater // Proc. Amer. Math. Soc. 106. 1989. P. 727-733.

62. Muckenhoupt B. Hardy's inequalities with weights // Studia Math. 44. 1972. P. 31-38.

63. Newman J., Solomyak M. Two-sided estimates on singular values for a class of integral operators on the semiaxis // Integr. Equat. Oper. Th. 1994. V. 20. P. 335-349.

64. Pietsch A. Eigenvalues and s-numbers. Geest Portig, Leipzig, 1987.

65. Pinkus A. n-widths in Approximation Theory. Spriger Verlag, 1985.

66. Prokhorov D.V. On the boundedness and compactness of a class of integral operators // J. London Math. Soc. 2000. V. 61. 617-628 p.

67. Reimenschneider S.D. Compactness of a class of Volterra operators // Tohoku Math. Jorn. 26. 1974. 3. P. 385-387.

68. Riesz M. Uber lineare Functionalgleichungen // Acta Math. 41. 1918. P. 71-98.

69. Sawyer E.T. Weighted Lebesgue and Lorentz norm inequalities for the Hardy operator // Trans. Amer. Math. Soc. 281. 1984. P. 329-337.

70. Schmidt E. Entwicklung willkiirlicher Functionen nach Systemen vorgeschriebener // Math. Ann. 63. 1907. P. 433-476.

71. Sinnamon G. Weighted Hardy and Opial type inequalities // J. Math. Anal. App. 160. 1991. P. 433-445.

72. Solomyak M. Estimates of the approximation numbers of the weighted Riemann-Liouville operator in the spaces Lp // Operator Theory: Advances and Applications. 2000. V. 113. P. 371-383.

73. Stepanov V.D. Weighed inequalities for a class of Volterra convolution operators // J. London Math. Soc. 45. 1992. P. 232-242.

74. Stepanov V.D. Weighed norm inequalities for integral operators and related topics // Invited lecture held at the internationl Spring School. Prague. 1994.

75. Stepanov V.D. On the Schatten-von Neumann norms of certain Volterra integral operators // Research Report J№ 30. Khabarovsk: Computer Center FEB RAS, 1998. P. 51.

76. Stepanov V.D. On the lower bounnds for Schatten-von Neumann norms of certain Volterra integral operators // J. Londan Math. Soc. 2000. V. 61. P. 905-922.

77. Schur I. Uber die characteristischen Wurzeln einer linearen Substitution mit einer Anwendung auf die Theorie der Integralgleichungen // Math. Ann. 66. 1909. P. 488-510.

78. Weyl H. Inequalities between the two kindsof eigenvalues of a linear transformation // Proc. Nat. Acad. Sci. USA № 35. 1949. P. 408-411.Работы автора по теме диссертации.

79. Ломакина Е.Н., Степанов В.Д. Об операторах типа Харди в банаховых функциональных пространсвах на полуоси // Докл. РАН. 1998. Т. 359. № 1. С. 21-23.

80. Lomakina Е. and Stepanov V. On the Hardy-type integral operators in Banach function spaces // Public. Matem. Universsitat Autonoma de Barselona. № 42. 1998. P. 165-194.

81. Ломакииа Е.Н. Оценки аппроксимативных чисел оператора Хар-ди в пространствах Лоренца // Сборник научных трудов НИИ КТ. Раздел математика.- Хабаровск: Изд-во Хаб. гос. техн. ун-та. 1999. Выпуск 8. С.45-52.

82. Ломакина Е.Н., Степанов В.Д. Об асимптотическом поведении аппроксимативных чисел и оценках норм Шаттена Неймана интегрального оператора типа Харди // Доклады РАН. Т. 367. №5. 1999. С. 594-596.

83. Lomakina Е., Stepanov V. On asymptotic behaviour of the approximation numbers and estimates of Schatten von Neumann norms of the Hardy-type integral operators // Function spaces and application. Narosa Publishing Hause. New Delhi. 2000. P. 153-187.

84. Lomakina Е. The boundedness of the generalized Hardy operator with variable limits of integration // Препринт ВЦ ДВО РАН № 46. Хабаровск. 2000. 27 с.

85. Lomakina Е. On asymptotic behaviour of the approximation numbers and estimates of Schatten von Neumann norms of the Hardy integraloperators with variable limits of integration // Препринт ВЦ ДВО РАН № 51. Хабаровск. 2001. 28 с.

86. Ломакина Е.Н. Оценки аппроксимативных чисел одного класса интегральных операторов I // Сибирский математический журнал. Т. 44. № 1. 2003. С. 178-192.

87. Ломакина Е.Н. Оценки аппроксимативных чисел одного класса интегральных операторов II // Сибирский математический журнал. Т. 44. № 2. 2003. С. 372-388.

88. Ломакина Е.Н., Степанов В.Д. Асимптотические оценки аппроксимативных и энтропийных чисел одновесового оператора Римана- Лиувилля // Препринт ВЦ ДВО РАН № 84. Хабаровск. 2005. 50 с.

89. Ломакина Е.Н., Степанов В.Д. Асимптотические оценки аппроксимативных и энтропийных чисел одновесового оператора Римана- Лиувилля // Доклады РАН. Т. 403. № 5. 2005. С. 598-599.

90. Ломакина Е.Н. Оценки аппроксимативных чисел оператора Римана Лиувилля // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова: тезисы докладов. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2005. С. 35.

91. Ломакина Е.Н., Степанов В.Д. Асимптотические оценки аппроксимативных и энтропийных чисел одновесового оператора Римана Лиувилля // Математические труды. Т. 9. №1. 2006. С. 52-100.