Аппроксимативные свойства некоторых методов суммирования рядов и интегралов Фурье тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Котова, Ольга Викторовна

• Котова, Ольга Викторовна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Котова, Ольга Викторовна

Введение................................................4

Основные обозначения и определения......................21

1 Аппроксимативные свойства методов суммирования интегра-

лов Фурье 27

1.1 Приближение целыми функциями экспоненциального типа не

выше ......................................27

1.2 Критерии приближения линейными операторами..........28

1.3 Порядковые неравенства для наилучшего приближения А ... 32

1.4 Дополнение к п. 1.2, в котором видна разница между Lp, p G

(1, w), и L1 (C)....................................36

2 Метод Бернштейна-Стечкина суммирования рядов Фурье 40

2.1 Предварительные сведения............................40

2.2 Ответ на вопрос об оценке приближения снизу.........43

2.3 Вспомогательные утверждения.........................49

2.4 Оценки сверху и снизу для суммы двух приближений....51

2.5 Точный порядок приближения..........................56

2.5.1 Случай (s,r) = (2,4)..........................56

2.5.2 Случай (s,r) = (3,5)..........................72

2.5.3 Случай (s,r) = (4,6)..........................87

3 Некоторые методы суммирования рядов и интегралов Фурье

в кратном случае 106

3.1 Вспомогательные утверждения........................106

3.2 Приближение некоторыми средними рядов Фурье........109

3.2.1 Сравнение методов суммирования при разных параметрах113

3

3.2.2 О точном порядке приближения средними Марцинкевича-

Рисса..........................................116

3.3 Приближение некоторыми средними интегралов Фурье.....119

3.3.1 Средние типа Гаусса-Вейерштрасса...............119

3.3.2 Средние Бохнера-Рисса..........................120

3.3.3 Средние Марцинкевича-Рисса ................... 126

Заключение...............................................128

Литература...............................................129

4

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимативные свойства некоторых методов суммирования рядов и интегралов Фурье»

Введение

Актуальность темы исследования. В теории приближений функций, возникшей в трудах П. Л. Чебышева, К. Вейерштрасса, А. Лебега, С. Н. Бернштейна, Д. Джексона и Ш. Ж. Валле-Пуссена, появились прямые и обратные теоремы о порядке (скорости) приближения функций на прямой полиномами и целыми функциями экспоненциального типа в зависимости от гладкости функций и степени (типа). С. М. Никольский применил прямые и обратные теоремы для функций нескольких переменных к доказательству, в частности, теорем вложения. Появились пространства Никольского-Бесова. Назовем монографии А. Ф. Тимана [26] и С. М. Никольского [16], которые неоднократно издавались на английском языке.

Гладкость функций измеряют обычно модулями гладкости разных порядков. Их свойства изучали А. Лебег, M. A. Marchaud [46], О. В. Бесов [3], Р. М. Тригуб [52], H. S. Shapiro, J. Boman [37, 38], М. Ф. Тиман [28]. Для определения точного порядка приближения, особенно в кратном случае, введены специальные модули гладкости, а затем и K-функционалы, которые возникли (I. L. Lions, I. Petre) при реализации вещественного метода интерполяции пары банаховых пространств. См. монографии R. A. De Vore and G. G. Lorentz [39], Р. М. Тригуба и Э. С. Белинского [52], В. К. Дзядыка и И. А. Шевчука [42], обзорную статью [32].

В процессе аппроксимации линейные операторы можно без увеличения погрешности заменять на сверточные операторы. Таким образом возникла задача исследования аппроксимативных свойств разных методов суммирования рядов и интегралов Фурье. Известны классические методы суммирования Абеля-Пуассона, Фейера-Джексона, Рогозинского-Бернштейна, Гаусса-Вейерштрасса, Бохнера-Рисса, Марцинкевича и другие. Вопрос о сравнении разных методов суммирования для индивидуальных функций по скорости сходимости возник еще в 1968 г. (H. S. Shapiro [50], Р. М. Тригуб [30]). Еще ранее Р. М. Тригуб впервые нашел точный порядок (двусторонние оценки) приближения некоторыми классическими методами суммирования рядов Фу

5

рье периодических функций одного переменного. Этой проблемой занимались

B. В. Жук [7], Э. А. Стороженко [25], М. Ф. Тиман и В. Г. Пономаренко [27],

Э. С. Белинский [1], О. И. Кузнецова [11], Ю. Л. Носенко [17]. А после статьи Z. Ditzian, K. G. Ivanov [40] такие результаты стали называть "strong converse theorem". Назовем еще V. Totik [51], К. В. Руновский [20, 49], X. L. Zhou,

C. Г. Прибегин [19], Ю. С. Коломойцев [9, 10], М. Л. Гольдман и А. В. Малышева [4], F. Weisz [54]. См. также список литературы в статье B. R. Draganov [41].

Двусторонние оценки приближения средними рядов и интегралов Фурье через модули гладкости дают, в частности, новые формулы для K- функционалов (ответ на вопрос, поставленный З. Чесельским в [35]).

В данной диссертационной работе исследуются некоторые методы суммирования рядов и интегралов Фурье, а также некоторые общие вопросы теории приближений функций.

Цель и задачи работы.

Объектом исследования в диссертационной работе являются некоторые методы суммирования рядов (метод Бернштейна-Стечкина) и интегралов Фурье (приближение функций на прямой целыми функциями экспоненциального типа, а в случае функции нескольких переменных — методы Гаусса-Вейерштрасса, Бохнера-Рисса, Марцинкевича-Рисса).

ПреДметом исследования являются оценки сверху и снизу и точный порядок приближения периодических функций известными тригонометрическими полиномами или, в случае функции на прямой, целыми функциями экспоненциального типа не выше ^.

Целью данной диссертационной работы является изучение аппроксимативных свойств некоторых методов суммирования рядов и интегралов Фурье.

Для реализации поставленной цели были сформулированы такие заДачи:

1) получить новые прямые, а для некоторых методов приближения и обратные теоремы;

2) исследовать вопрос об оценке снизу приближения периодических функций полиномами Бернштейна-Стечкина с помощью модулей гладкости;

3) найти точный порядок приближения периодических функций полино

6

мами Бернштейна-Стечкина;

4) изучить аппроксимативные свойства методов Марцинкевича-Рисса, Га-усса-Вейерштрасса суммирования двойных рядов Фурье и найти точный порядок приближения;

5) найти точный порядок приближения индивидуальных функций классическими методами суммирования Гаусса-Вейерштрасса, Бохнера-Рисса и Марцинкевича-Рисса интегралов Фурье в кратном случае.

Научная новизна полученных результатов. Все результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, являются новыми. В частности, обнаружено, что давно известный метод суммирования, указанный для улучшения порядка сходимости С. Н. Бернштейном, существенно отличается от всех классических методов, что сильно усложнило определение точного порядка приближения. При этом предельно усилена общая оценка приближения сверху, найденная С. Б. Стечкиным.

Теоретическая и практическая ценность. Все результаты диссертации относятся к области фундаментальных исследований по теории функций. Они носят теоретический характер, дополняют многочисленные исследования ряда авторов, могут быть использованы для получения новых прямых и обратных теорем приближения функций и для нахождения точного порядка сходимости.

Методы исследования. В настоящее время используются два метода получения доказательств таких результатов. Они отличаются от классического метода, в котором используют оценки ядер полиномиальных операторов (Бернштейн, Джексон, Марцинкевич, Стечкин и др.). Первый из этих двух методов основан на экстремальных свойствах полиномов (целых функций экспоненциального типа не выше ) и известных прямых теоремах. Этот метод применим и к нелинейным методам (операторам) приближения (см. монографию В. В. Жука [6]). Второй метод доказательства основан на принципе сравнения мультипликаторов Фурье, т.е. сверток функций с разными мерами.

Применяют метод мультипликаторов Фурье, которые определяются введением множителей в интеграл Фурье (для периодических функций — в

7

ряд Фурье). В пространстве Lp, p G (1, +w) известны достаточные условия Й. Марцинкевича [47], С. Г. Михлина [14], Л. Хермандера [43], П. И. Лизорки-на [12]. В пространстве L1 определяющим является представление функции-множителя в виде преобразования Фурье конечной борелевской комплекснозначной меры, т.е. принадлежность известной банаховой алгебре Винера. Недавно на эту тему появилась обзорная статья [45]. См. также монографию [52].

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Получены необходимые и достаточные условия приближения линейными операторами с оценкой через модуль гладкости сверху и отдельно — снизу.

2. Найден точный порядок убывания наилучшего приближения (f) функции f на прямой целыми функциями экспоненциального типа не выше в зависимости от поведения модулей гладкости функции f и .

3. В общей прямой теореме Стечкина такая же оценка приближения снизу невозможна, т.к. этот давно известный метод аппроксимации, как оказалось, существенно отличается от всех классических методов.

4. Найден точный порядок приближений периодических функций полиномами Бернштейна-Стечкина через новые модули гладкости порядков 2, 3 и 4.

5. Исследована сходимость средних Марцинкевича-Рисса и средних типа Гаусса-Вейерштрасса для двойных рядов Фурье.

6. Проведен сравнительный анализ методов Марцинкевича-Рисса суммирования двойных рядов Фурье при разных положительных значениях параметров а и в.

7. Найден точный порядок приближения периодических функций средними Марцинкевича-Рисса при а = 1, в > 0 для функций двух переменных.

8. Найден точный порядок приближения индивидуальных функций классическими методами суммирования Гаусса-Вейерштрасса и Бохнера-Рисса интегралов Фурье в кратном случае.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обусловлена строгостью

8

доказательств, применением известных методов исследования. Полученные результаты не противоречат результатам других авторов и опубликованы в ведущих рецензируемых журналах.

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научном семинаре "Анализ Фурье и теория приближений функций" в Донецком национальном университете (руководитель профессор Р. М. Тригуб) в период с 2006 по 2016 гг.; на Международной научной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — V", 26 апреля — 01 мая 2015 г., г. Ростов-на-Дону.

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано семь работ [55] — [61]:

— 5 научных статей ([55], [56], [58]— [60]) изданы в журналах, которые входят в международные наукометрические базы, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ: [56] и [60] индексированы в Scopus; [55], [58] и [59] — zbMath;

— 1 научная статья [57] — в журнале, рекомендованном ВАК Украины;

— 1 тезисы докладов международной научной конференции [61].

Из совместных работ в диссертацию вошли результаты, полученные автором самостоятельно. Работы [56], [58] — [60] опубликованы в соавторстве с Р. М. Тригубом. В этих работах автору диссертации принадлежат такие результаты: [56] — основная теорема и леммы (кроме леммы 4); [58] — теоремы 1 - 3, 8 - 10, а также пример 1; [59] — теоремы 1.1 - 1.4, 2.3 - 2.5; [60] — теоремы 3 - 5 и следствие. Р. М. Тригубу принадлежит постановка задач, указание методов исследования, а также общее руководство.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, раздела, содержащего основные обозначения и определения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка цитированной литературы. Объем работы составляет 135 страниц, библиография — 61 источник.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во ббеДении дается общая характеристика работы, представлена история вопроса и дается короткий обзор результатов диссертации по главам и параграфам.

9

Основные обозначения и определения, которые неоднократно используются в формулировках теорем и их доказательствах, вынесены в отдельный раздел и приводятся перед изложением результатов диссертационной работы.

В первой главе изучаются аппроксимативные свойства методов суммирования интегралов Фурье.

Функция f на вещественной оси приближается целыми функциями экспоненциального типа не выше а при а w. Напомним здесь определение.

Функцию g называют целой функцией экспоненциального типа не выше а, если она целая и для любого е > 0 найдется R = R(e) такое, что при ]z] > R

]g(z)] < e(^+')]z'.

Параграф 1.1 содержит предварительные сведения.

В параграфе 1.2 получены необходимые и достаточные условия приближения линейными операторами с оценкой через модуль гладкости сверху и отдельно — снизу.

Через (R) будем обозначать множество целых функций экспоненци-

ального типа не выше а, сужение которых на R принадлежит Lp (R).

Первую разность функции шага h > 0 определяют так:

AJ"(x) = f(x) - f+ h),

а модуль гладкости в Lp (R) порядка s G N и шага h > 0:

; h)Lp = sup (-)^L.

Через c(...) с индексами будем обозначать положительные константы, зависящие только от величин, стоящих в скобках.

Теорема 1.1 Пусть — линейный непрерывный оператор Lp (R) Wp,^ (R) (p > 1). Для того чтобы при Данном s G N Для всех функций

10

f G Lp(R) и и > 0 выполнялось неравенство

))f- G,(f)]L„ < Ci(sM(?;

необходимо и Достаточно, чтобы

sup ]]G,]]b„^L„ < W,

и

g - G, (g)]L„

< c2(s^^]]g(s) us"

L„

Для любой функции g G Wp,, (R).

Теорема 1.2 Пусть G, — линейный непрерывный оператор Lp(R) Wp,, (R) (p > 1). Для того чтобы при Данном s G N Для всех функций f G Lp(R) и и > 0 выполнялось неравенство

f - G,(f )]r„

> C3(s)M,(^f; П

L„

необходимо, а если sup [[G, ]ь„^ь„ < ос,

то и Достаточно

g - G, (g)]L„

> C4(s)^g<s' us

L„

Для любой функции g G Wp,, (R).

При p = w из этих теорем следуют сразу такие же предложения для периодических функций, так как любая периодическая целая функция экспоненциального типа из Wp,, является тригонометрическим полиномом порядка не выше и. Эти теоремы новые и в периодическом случае.

В параграфе 1.3 найден точный порядок убывания наилучшего приближения A,(f) функции f на прямой целыми функциями экспоненциального типа не выше и в зависимости от поведения модулей гладкости функции f и

11

^. Напомним здесь определение A,(f).

Наилучшим приближением целой функцией экспоненциального типа не выше в пространстве Lp называют:

A, (f )Lp = = inf ]]f — g]]L .

Теорема 1.3 Пусть f G Lp(R) (p > 1) и s G N. Для того чтобы при ю выполнялось Двустороннее неравенство с положительными константами, не зависящими от f и

A,(f)Lp - f; -1)

необходимо и Достаточно, чтобы при h +0

^s(f; h)Lp = °^s+i(f; h)L^.

Для периодических функций эта теорема доказана R. K. S. Rathore в [48].

В следующей Теореме 1.4 показана разница между случаями p G (1, ю) и p =1 или p = сю.

Теорема 1.4 Пусть

СЮ

S, (f;x)

1 б ж sin t,

J f(x —

П

—сю

а

G, (f ) = S', (f) - в Al S', (f)' в = 0, а ё (0,2п).

Если p G (1, 2], тогДа выполняется Двустороннее неравенство с положительными константами, зависящими только от s, а, в и p:

f - G,(f)^L,

Если же p =1, то указанная оценка приближения сверху, как в теоре-

12

ме 1.1, имеет место только в случае

eisa = (-1)s, в =(1 - eia)-s.

Результаты первой главы опубликованы в [58] и [59].

Вторая глава диссертации посвящена изучению аппроксимативных свойств одного метода суммирования рядов Фурье. Непрерывная 2п-периоди-ческая функция f на [-п, п] приближается тригонометрическими полиномами Бернштейна-Стечкина.

Параграф 2.1 содержит предварительные сведения и обозначения.

Общую прямую теорему с модулем гладкости при s = 1 получил Д. Джексон, при s = 2 — А. Зигмунд и Н. И. Ахиезер.

При любом порядке s > 3 С. Б. Стечкин (1951), используя при r > s + 2 следующие полиномы (далее будем обозначать как случай (s,r))

; х) = 2п1^ / ^(-1)v+^s)f+ vt)Dn

,,_1 \^/

где Dn(t) — ядро Дирихле:

п

/ Dn(t)dt,

доказал неравенство

)^C < c(r)^.

1

Ранее С. Н. Бернштейн использовал такие полиномы для доказательства подобного неравенства в частном случае ; h) = O(ha), a > 0 (см. [2]).

Изучим приближение функций полиномами Бернштейна-Стечкина. Отличие этих полиномов от других состоит в том, что не только константы являются неподвижными точками операторов fs,r,n.

13

В 2010 г. на Международной конференции в Москве, посвященной 90-летию С. Б. Стечкина, профессор В. И. Иванов поставил вопрос о точном порядке приближения полиномами (раздел "Видеотека" портала math-net.ru, см. также [8]).

В параграфе 2.2 доказано, что обычный модуль гладкости, который подходит для оценки приближения сверху, не годится для оценки снизу уже при

(s,r) = (2, 4).

Теорема 2.1 Неравенство

f; < c5

с положительной константой c5, не зависящей от f и n, неверно.

Параграф 2.3. содержит основные вспомогательные утверждения, необходимые для доказательства теорем второй главы: принцип сравнения мультипликаторов, одна теорема A. Beurling и классическая теорема Бюдана-Фурье о точном числе всех действительных корней многочлена.

В параграфе 2.4 приведена теорема, содержащая оценки сверху и снизу с помощью обычного модуля гладкости для суммы двух приближений.

Теорема 2.2 Для любых натуральных s > 2, четных r > s + 4 и si = s + 2(1 + (—1)s+1) существует величина c6(r) такая, что при n > + 1

и N = [n] (целая часть) Для любой функции f G C(T) выполняется Двустороннее неравенство с положительными константами, зависящими только от r:

14

Ts,r,n(f) = Tn (yk6ikX, Tn(0) = 1

где f — коэффициенты Фурье функции f.

Ранее результат, подобный Теореме 2.2, получили при функции-множителе не зависящей от n, Ю. С. Коломойцев и Р. М. Тригуб в [10]. Для оценки приближения снизу оставить одно из двух слагаемых нельзя. В этом случае нужно вводить специальный модуль гладкости (разностный оператор).

В [10] и [56] Р. М. Тригуб ввел усредненную разность, связанную с точкой t G (-2п, 0) U (0, 2п),

i

ALf (x) = / [ALf (x) - ^Lf (x)]du

где

2(it + 1 - e^)

0

2it + ^ — 4e^^ + e2it

(вещественная часть знаменателя 2(1 - cost)2 > 0), а

i

Ah,of (x)

Ahuf (x)du-

0

Параграф 2.5 посвящен нахождению точного порядка приближения непрерывных 2п-периодических функций полиномами Бернштейна-Стечкина Ts,r,n(f; x) для некоторых значений параметров s и г.

(4, 6). Есть разница при четном s (см. Теоремы 2.3, 2.5) и нечетном s (Теорема

2.4). В работе доказано, что четная функция-множитель ^n(x) равна единице при x > 0 и любом n лишь в одной точке xn, когда (s,r) = (2,4) и (s,r) = (3, 5), и в двух точках x1,n и x2,n, когда (s,r) = (4,6).

15

В Теоремах 2.3, 2.4 и 2.5 получены двусторонние неравенства с положительными абсолютными константами.

Теорема 2.3 При (s,r) = (2, 4) Для любой функции f G C(T) при любом n G N выполняется Двустороннее неравенство с положительными абсолютными константами:

f - T2,4,n(f )]C

Д1 Д1

-Xn

f (•)

C*

Теорема 2.4 При (s,r) = (3, 5) Для любой функции f G C(T) при любом n G N выполняется Двустороннее неравенство с положительными абсолютными константами:

f - ^3,5,n(f)]C

IIД2 Д1 ]Д П ,оД П,

Д1

'Xn n

-Xn

f (')

C.

Теорема 2.5 При (s,r) = (4, 6) Для любой функции f G C(T) при любом n G N выполняется Двустороннее неравенство с положительными абсолютными константами:

2

f 7"4,6,n(f )]C

Пдn,

j=1

Д1

'Xj,n n

xj,n

f (')

C.

Из этих теорем следуют такие же двусторонние неравенства и по норме в Lp(T), 1 < p < w.

Позднее точный порядок приближения периодических функций полиномами Бернштейна-Стечкина для r > 6, 2 < s < r — 2 при всех достаточно больших n был найден Р. М. Тригубом [33].

Результаты второй главы опубликованы в [55], [56] и [57].

Третья глава диссертационной работы посвящена изучению аппроксимативных свойств некоторых методов суммирования рядов и интегралов Фу

16

рье в случае функции нескольких переменных: исследована сходимость средних Марцинкевича-Рисса и аналога средних типа Гаусса-Вейерштрасса для двойных рядов Фурье; проведено сравнение методов Марцинкевича-Рисса суммирования двойных рядов Фурье при разных значениях параметров; найден точный порядок приближения индивидуальных функций классическими методами суммирования Гаусса-Вейерштрасса, Бохнера-Рисса и Марцинке-вича-Рисса интегралов Фурье в кратном случае.

Параграф 3.1 содержит предварительные сведения и основные вспомогательные утверждения, необходимые для доказательства теорем третьей главы: другая формулировка принципа сравнения мультипликаторов, . -теорема Винера, один критерий для радиальных функций и общая схема для нахождения точного порядка приближения функции через K-функционал.

Пусть функция (t) при а и в > 0 определяется так:

(t) = (1 - ta)e при t G [0, 1]; (t) =0 при t > 1.

В параграфе 3.2 рассматриваются средние Марцинкевича-Рисса рядов Фурье (а > 0, в > 0)

(f) = Щ Птах{)к1], ]k2]f).A

и средние типа Гаусса-Вейерштрасса рядов Фурье (а > 0)

keZ2

Теорема 3.1 При любых а и в > 0 Для любой функции f G Lp(T2),p G [1, +w] (L^ = C)

в (.)h + n,a,e (f Lp +

Юа(/)^Lp 0 (П ^^)

В следующей теореме дано сравнение методов суммирования Марцинке-вича-Рисса при разных значениях параметров а и в.

17

Теорема 3.2

1) При любых а, в1 и в2 > 0, при любом n и f G Lp(T2), p G [1, +w] (Lw = C) выполняется неравенство

f - (f )^Lp - C7(a,ei,e2)]]f - (f )^Lp,

то есть поряДок приближения не зависит от в -

2) .При в > 0 и а2 > а1 > 0, при .любом n и Для любой функции f G Lp(T2), p G [1, +w] (Lw = C) выполняется неравенство

]]f - ^n,a2,P(f) ]]bp — с8(а1, а2, в) ^f - ^n,ai,P(f) ]]^р,

то есть с ростом а скорость сходимости может расти.

Стоит отметить, что противоположного неравенства в п. 2) для всех функций f и любого n при в> 0 и а2 >а1 > 0 быть не может.

Р. М. Тригуб определил точный порядок приближения индивидуальных периодических функций классическими средними рядов Фурье. В кратном случае приходится обычно вводить специальные модули гладкости (см. [31]). Точный порядок приближения периодических функций суммами Марцинкевича в случае а = в =1 нашла О. И. Кузнецова ([11] или см. [52, 8.5.13]). А при p G (1, w) подходят для сумм Марцинкевича и обычные модули (см. [27]).

Теорема 3.3 При любых в > 0, любом n G N и f G Lp(T2), p G [1, +w] (Lw = C) выполняется Двустороннее неравенство с положительными константами, зависящими только от в:

f - <7°1,в(7)б„

2

+ f (')

______77 _____________yu u2

Lp

Здесь Z\hf (x) = f (x - 2h) - 2f (x) + f (x + 2h) — вторая симметричная разность в направлении вектора h, e^ и e^ — орты осей в R2.

18

Найден точный порядок приближения полиномами щт. в при любом а > 0 через специальный К-функционал, который при е > 0 определяют следующим образом:

Ka(e,f,Lp,da) = inf (]]f - д]]щ + ,

где da(f) — дифференциальный оператор

da(f) - max {Ыа, l^lpfe'(k-x).

Теорема 3.4 .При любых а и в > 0, n G IN и f G Lp(T2), 1 < p < w (Lw = C) выполняется Двустороннее неравенство с положительными константами, зависящими только от а, в:

f - ^°а-в(f)^Lp - n,f,Lp,d^.

Следствие 3.1 При любом е > 0

Ki(e,f,Lp,di)

2

(el +е2)ем

+ (e;-e2).^ f (') du

u2

В параграфе 3.3 найден точный порядок приближения методами Гаусса-Вейерштрасса, Бохнера-Рисса и Марцинкевича-Рисса интегралов Фурье в кратном случае.

Пусть w (f; x) = 2n^ - ^^)^(t)dt, — СЮ

тогда средние типа Гаусса-Вейерштрасса:

G.,.(f) = Ф.(f), y(x) = e-lxl" (а> 0).

19

Теорема 3.5 При любом p G [1, +w], а > 0, натуральном г > 2(а + d — 1) Для любой функции f G Lp(Rd) и s G (0,1] выполняется Двустороннее неравенство с положительными константами, зависящими лишь от а и г:

ll.f — т. (f )^^р

/ Л^А21 f(-)du

У ]u]r+a са.Ю" ]u]>1

Lp

Точный порядок приближения средними типа Бохнера-Рисса интегралов Фурье определен в следующей теореме.

Пусть при г G N, Д > 1 (d — 1) и s > 0

(f ) = Ф 1 (f), у(ж) = (1 — ]x]2r)+.

Теорема 3.6

1) При любом p > 1 Для любой функции f G Lp(Rd) и s G (0,1] (А — оператор Лапласа)

f Re,r,J (f )1^р

/ f(.№

]u]<1

inf

(Rd)

(^f — + s2r ^Ar .

2) При p G (1, +w) Для любой f G Lp(Rd) и s G (0,1]

f — (f)lL - sup

P ]u]<1

f (-)

Lp

Средние Марцинкевича-Рисса двойных интегралов Фурье (d = 2,в > 0)

Mc.e(f) = T^(f), p(xi,X2) = (1 — max{]xi], ]x2]}) + -

При в = 1 этот метод суммирования двойных рядов Фурье изучал Марцинкевич (это средние арифметические квадратных частных сумм).

20

Теорема 3.7 При любом в > 0 Для любой функции f G Lp(R2), p > 1, s G (0,1] выполняются Двусторонние неравенства с положительными константами, зависящими лишь от в

llf - Ж (f )]L, - ] 4, f (')du

]lf - (f)]L, - (^f - g11^, + s^d(g)^L,).

гДе el и e^ — орты осей R2 и Для глаДких функций

Lp

d(f;x) = (2П) /*^(y)max{!yiI' Ы}б'(х'у)бу.

R2

Результаты третьей главы опубликованы в [58], [59] и [60].

В заключении приведены основные результаты работы и несколько нерешенных задач, имеющих отношение к результатам диссертации.

Автор выражает признательность научному руководителю д. ф.-м. н., проф. Р. М. Тригубу за постановку задач, руководство в подготовке и постоянное внимание к работе.

21

Основные обозначения и определения

В работе используются следующие обозначения и определения.

Пусть Rd — d-мерное вещественное евклидово пространство,

Td = [-П'П)d — d-мерный тор (d > 1).

Определение 1 Через C(T) обозначают пространство непрерывных 2п-периодических функций на T, для которых

]]f )k(T) = max ]f(x)] < w.

Определение 2 Через Lp(E), p G [1, w], где E = R или E = T, обозначают пространства измеримых функций, суммируемых с p-той степенью по Лебегу на E, при этом

f Чьр(Е) =

(]f (x)]pdx)^

< w,

p G [1, w),

f Чь^(д) = esssupIf (x)].

Определение 3 Функцию g называют целой функцией экспоненциального типа не выше ^, если она целая и для любого s > 0 найдется R = R(s) такое, что при ]z] > R

lg(z)l< e(^+^)]z]. (0.1)

Будем обозначать через (R) — множество целых функций экспоненциального типа не выше ^, сужение которых на R принадлежит Lp(R).

Если функция f G Li(T), то коэффициенты Фурье f определяются по

формуле:

Tk = = — / f (x)e-ikxdx, k G Z, (0.2) 2п d — П

а ряд Фурье имеет вид

f .fk e"kx.

22

Здесь {eikx}kez — ортогональная тригонометрическая система в T.

Пусть h > 0. Первую разность функции шага h определяют так:

Ah/(x) = f (x) - f (x + h).

Для нахождения s-той разности применяют формулу:

Ah(f )(x) = Х<-1)/(x + vh),

v=0

где

— биномиальные коэффициенты:

s\ = s!

v !(s — v)!

Гладкость функции / измеряют модулями гладкости ^s(/; h), которые в

Lp определяют так:

^s(/; h)Lp

sup ]]Af(-)

0<J<h

(0.3)

В пространстве C для краткости будем обозначать: ^s(/; h)c = ^s(/; h). При A > 0 выполняется неравенство

^(f; Ah)Lp < (A + 1Г^(/; h)Lp,

а для гладких функций ^s(/; h)Lp < ]]/* hs (см. [26] или [52]).

Симметричные разности первого и второго порядка:

Ahf (x) = f (x + h) — f (x — h),

^Ah/(x) = f (x — 2h) — 2/ (x) + f (x + 2h).

(0.4)

(0.5)

23

Определение 4 Наилучшее приближение целой функцией экспоненциального типа не выше в пространстве Lp определяют так:

A(f)Lp = mf ]]f — g]]bp. (0.6)

Определение 5 Функция f на R удовлетворяет условию Липшица степени а, если существует такая константа M, что при а G (0,1] выполняется неравенство

]f(xi) — f(Х2)] < M]xi — X2]a

для любых x1, x2 G R.

Определение 6 Комплекснозначная числовая последовательность {Ak}W) является мультипликатором из C(T) в C(T), т.е. {Ak} G M, если для любой функции f G C(T) ряд

X Akfke'kx - Af (0.7)

keZ

является рядом Фурье некоторой функции Af G C(T) и

]]{Ak}^M = sup ]]Af< w.

f <1

Аналогично определяется оператор-мультипликатор из Lp(T) в Lp(T), 1 < p < w, т.е. {Ak} G Mp. При этом ]]{Ak}]Mp < ]]{Ak}]M (см., например, [22, гл. I, VI], [23, гл. VI] или [36, гл. 16]).

Определение 7 Алгебра B (R) преобразований Фурье конечных борелев-ских мер на R:

w

в(R) = {f : f(x)=/ e—'xtd^(t), ]]f ]]g(R) =var д< , (0.8)

—w

где д — конечная на R комплекснозначная борелевская мера, а var д — ее полная вариация. Свойства мер д и ]д] см., например, в [13, гл. 11].

24

Определение 8 Алгебра A(R) абсолютно сходящихся интегралов Фурье на R:

w

A(R) = {f : f (x)^/ g(t)e-iXtdt, ]]f ]A(R) = ]]д]]ы(R) < . (0.9)

-w

Аналогично определяются алгебры B(Rd) и A(Rd) при d > 2. Свойства банаховых алгебр B и A см. в недавней обзорной статье [45].

Будем рассматривать полиномы Бернштейна-Стечкина Ts-r-n(f; x), которые имеют вид:

Ts-r-n(f; x)

п s

<-1)V+1( s)f (x+vt)Dn xdt

—п V

(0.10)

V =1

Здесь Dn(t) — ядро Дирихле:

sin 2

1 п

sin(n +1 )t 1 f

Bn(t) = ------S7^------, ar-n = 2П У (t)dt.

п

Для f, g > 0 запись f — g означает, что найдутся две положительные константы c1 < c2 такие, что выполняется двойное неравенство

Cig < f < c2g

с указанием зависимости (или независимости) констант от конкретных параметров.

Средние арифметические первых So, S1,..., S^ 1 частных сумм ряда Фурье определяют следующим образом:

) = Е (1 - )fe'kx.

25

Пусть при а и в > 0 функция ^а-в(t) определяется следующим образом:

Г (1 — ta)e, t ё [0,1],

(t) = \

[ 0, t> 1.

Й. Марцинкевич рассмотрел средние арифметические квадратных частных сумм (d = 2):

1 n—1 1

-Y2 S°(/) nmax{lk11, ]})

- k=0 kez2

A e"k-x'

Средние Марцинкевича-Рисса (а > 0, в > 0) рядов Фурье определяют

так: (f) = ^a-^-max{]k1], ]k2]f).Aei(k-x). kez2

Средние типа Гаусса-Вейерштрасса (а > 0) рядов Фурье имеют вид:

(/) = e— ""а

kez2

При e > 0 для функции / в Lp определяют K-функционал следующим образом:

K(e, f, Щ Ar) = ittf (JI./ — g^z, + e2rЦДАА,), (0.11)

где Ar — полигармонический оператор.

Пусть

(f;x) =

СЮ

— СЮ

тогда

— средние типа Гаусса-Вейерштрасса (а > 0) интегралов Фурье:

G.,,, (/) = Ф 1 (f), y(x) = e—x°,

26

— средние Бохнера-Рисса (r G N, Д > 2 (d — 1), s > 0) интегралов Фурье:

(f) = Ф1(f), ^(x) = (1 — ]x]2r)+,

— средние Марцинкевича-Рисса (d = 2, а > 0) интегралов Фурье:

M^(f) = Ф^), ^(x1, Х2) = (1 — max{]x1 ], ]x2]})+.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Котова, Ольга Викторовна, 2016 год

Литература

[1] Белинский, Э. С. Приближение средними Бохнера-Рисса и сферический моДуль непрерывности / Э. С. Белинский // Докл. АН УССР, сер. А. — 1975. — № 7. — С. 579 - 581.

[2] Бернштейн, С. Н. О свойствах оДнороДных функциональных классов / С. Н. Бернштейн // Докл. АН СССР, сер. мат. — 1947. — 57, № 2. — С. 111-114.

[3] Бесов, О. В. ИсслеДование оДного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и проДолжения / О. В. Бесов // Сб. статей. Тр. МИАН СССР. — М.: Изд-во АН СССР, 1961. — 60. — С.42-81.

[4] Гольдман, М. Л. Об оценке равномерного моДуля непрерывности обобщенного потенциала Бесселя / М. Л. Гольдман, А. В. Малышева // Теория функций и уравнения математической физики. Сб. статей. Тр. МИАН. — М.: МАИК, 2013. — 283. — С. 80 - 91.

[5] Жижиашвили, Л. В. О суммировании Двойных ряДов Фурье / Л. В. Жи-жиашвили // Сиб. мат. журнал. — 1967. — 8, № 3. — С. 548 - 564.

[6] Жук, В. В. Аппроксимация периоДических функций / В. В. Жук. - Л.: ЛГУ, 1982. - 366 с.

[7] Жук, В. В. О приближении периоДических функций метоДами ряДов Фурье / В. В. Жук // Доклады АН СССР. - 1967. — 173, № 1. - С. 30 -33.

[8] Иванов, В. И. Прямые и обратные теоремы теории приближения периоДических функций в работах С. Б. Стечкина и их развитие / В. И. Иванов //Тр. ИММ УрОРАН. — 2010. — 16, № 4. — С. 5 - 17.

130

ВиДео ДоклаДа — Раздел "Видеотека"портала Math-Net.Ru: http:// www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=449

[9] Коломойцев, Ю. С. Аппроксимативные свойства обобщенных среДних Бохнера-Рисса в пространствах ХарДи Ир, 0 < p < 1 / Ю. С. Коломойцев // Матем. сборник. — 2012. — 203, № 8. — С. 79 - 96.

[10] Коломойцев, Ю. С. Об оДном неклассическом метоДе приближения периоДических функций тригонометрическими полиномами / Ю. С. Коломойцев, Р. М. Тригуб // Укр. мат. вестник. — 2012. — 9, № 3. — С. 356

- 374.

[11] Кузнецова, О. И. Двусторонние оценки приближения функций среДними Рисса и Марцинкевича / О. И. Кузнецова, Р. М. Тригуб // Докл. АН СССР. — 1980. — 251, № 1. — С. 34 - 36.

[12] Лизоркин, П. И. ПреДельные случаи теорем о -мультипликаторах / П. И. Лизоркин // Тр. МИАН СССР. — 1986. — 173. — С. 164 - 180.

[13] Макаров, Б. М. Лекции по вещественному анализу. Учебник / Б. М. Макаров, А. Н. Подкорытов. — С.-Петербург: БХВ-Петербург, 2011. — 688 с.

[14] Михлин, С. Г. О мультипликаторах ряДов Фурье / С. Г. Михлин // Докл. АН СССР. — 1956. — 109, № 4. — С. 701 - 703.

[15] Мишина, А. П. Справочная математическая библиотека. Высшая алгебра (линейная алгебра, многочлены, общая алгебра) / А. П. Мишина, И. В. Проскуряков. - М.: Физматгиз, 1962. - 300 с.

[16] Никольский, С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. — М.: Наука, 1977. — 456 с.

[17] Носенко, Ю. Л. Аппроксимативные свойства среДних Рисса Двойных ряДов Фурье / Ю. Л. Носенко // Укр. матем. ж. — 1979. — 31, № 2. — С. 157

- 165.

131

[18] Прасолов, В. В. Многочлены / В. В. Прасолов. — М.: МЦНМО, 2001. — 336 c.

[19] Прибегин, С. Г. О некоторых метоДах суммирования степенных ряДов Для функций из Hp(Dn), 0 < p < w / С. Г. Прибегин // Матем. сб. — 2009. — 200, № 2.— С. 89 - 106.

[20] Руновский, К. В. Об оДной оценке Для интегрального моДуля глаДкости / К. В. Руновский // Изв. вузов. Матем. — 1992. — № 1.— С. 78 - 80.

[21] Скопина, М. А. О схоДимости почти всюДу сумм Марцинкевича Двойного ряДа Фурье / М. А. Скопина. — Зап. научн. сем. ЛОМИ. — 1991. — 190.— С. 148 - 156.

[22] Стейн, И. ВвеДение в гармонический анализ на евклиДовых пространствах / И. Стейн, Г. Вейс. — М: Мир, 1974. — 332 с.

[23] Стейн, И. Сингулярные интегралы и Дифференциальные свойства функций /И. Стейн.— М: Мир, 1973.-- 342 с.

[24] Стечкин, С. Б. О поряДке наилучших приближений непрерывных функций / С. Б. Стечкин // Изв. АН СССР, сер.мат. — 1951. — 15, № 3.— С. 219-242.

[25] Стороженко, Э. А. Об оДной заДаче ХарДи-ЛиттлвуДа / Э. А. Стороженко // Матем. сб. — 1982. — 119, № 4.— С. 564 - 583.

[26] Тиман, А. Ф. Теория приближения функций Действительного переменного / А. Ф. Тиман. — М.: Физматгиз, 1960. — 624 с.

[27] Тиман, М. Ф. О приближении периоДических функций Двух переменных суммами типа Марцинкевича / М. Ф. Тиман, В. Г. Пономаренко // Изв. вузов, матем. — 1975. — № 9. — С. 59 - 67.

[28] Тиман, М. Ф. О разностных свойствах функций многих переменных / М. Ф. Тиман // Изв. АН СССР, сер. матем. — 1969. — 33, № 3. — С. 667 - 676.

132

[29] Тригуб, Р. М. Конструктивные характеристики некоторых классов функций / Р. М. Тригуб // Изв. АН СССР, сер. мат. — 1965. — 29, № 3. — С. 615 - 630.

[30] Тригуб, Р. М. Линейные метоДы суммирования и абсолютная сходимость ряДов Фурье / Р. М. Тригуб // Изв. АН СССР, сер. мат. — 1968.

— 32, № 1. — С. 24 - 49.

[31] Тригуб, Р. М. Абсолютная схоДимость интегралов Фурье, суммируемость ряДов Фурье и приближение полиномами функций на торе / Р. М. Тригуб // Изв. АН СССР, сер. мат. — 1980. — 44, № 6. — С. 1378

— 1409.

[32] Тригуб, Р. М. О разных моДулях глаДкости и K-функционалах / Р. М. Тригуб // arXiv:1606.07632v1 [math.CA] 24 June 2016. — 2016. — 33 с.

[33] Тригуб, Р. М. Точный поряДок приближения периоДических функций полиномами Бернштейна-Стечкина / Р. М. Тригуб // Матем. сб. — 2013.

— 204, № 12. — С. 127 - 146.

[34] Харди, Г. Х. РасхоДящиеся ряДы / Г. Х. Харди. — М: Изд-во иностр. лит., 1951. — 505 с.

[35] Чесельский, З. Базисы и K-функционалы Для пространств Соболева наД компактными многообразиями класса / З. Чесельский. — Тр. МИАН СССР. — 1983. — 164. — P. 197 - 202.

[36] Эдвардс, Р. РяДы Фурье в современном изложении / Р. Эдвардс. — М: Мир, 1985. - том 2. - 400 с.

[37] Boman, J. Comparison theorems for a generalized modulus of continuity / J. Boman, H. S. Shapiro // Ark. Mat. — 1971. — 9, № 1. — P. 91-116.

[38] Boman, J. Equivalence of generalize modulus of continuity / J. Boman // Ark. Mat. — 1980. — 18, № 1. — P. 73-100.

133

[39] DeVore, R. A. Constructive Approximation / R. A. DeVore, G. G. Lorentz. — Springer-Velarg, 1993.— 456 p.

[40] Ditzian, Z. Strong converse inequalities / Z. Ditzian, K. G. Ivanov // Journal D'Analyse Mathem. — 1993. — 61. — P. 61 - 111.

[41] Draganov, B. R. Exact estimates of the rate of approximation of convolution operators / B. R. Draganov // Journal Appr. Theory. — 2010. — 162. — P. 952 - 979.

[42] Dzyadyk, V. K. Theory of uniform approximation of function by polinomials / V. K. Dzyadyk, I. A. Shevchuk. — Walter de Gruyter, Berlin, New York.

— 2008. — 480 p.

[43] Hormander, L. Estimates for translation invariant operators in Lp spaces / L. Hormander // Acta Math. — 1960. — 104. — P. 93 - 109.

[44] Levin, B. Ya. Lectures on Entire Functions / B. Ya. Levin // Transl. Math. Monogr., vol. 150, AMS, Providence, R.I., 1996. — 248 p.

[45] Liflyand, E. The Wiener algebra of absolutely convergent Fourier integrals: an overview / E. Liflyand, S. Samko, R. Trigub // Analysis and Math.Physics, Springer, 2012. — 2, № 1. — P. 1 - 68.

[46] Marchaud, M. A. Sur les derivees et sur les differences des fonctions de variables reelles / M. A. Marchaud //J. Math. pur et appl. — 1927. — 6. — P. 337 - 425.

[47] Marcinkiewicz, J. Sur une methode remarquable de sommation des series doubles de Fourier. Collected papers. PWN. / J. Marcinkiewicz. — Warszawa, 1964. — P. 527 - 538.

[48] Rathore, R. K. S. The problem of A. F. Timan on the precise order of decrease of the best approximation / R. K. S. Rathore //J. Appr. Theory. — 1994.

— 77.— P. 153 - 166.

134

[49] Runovski, К. В. Methods of trigonometric approximation and generalized smoothness I / K. Runovski, H.-J. Schmeisser // Eurasian Math. J. — 2011.

— 2, № 3.— С. 98 - 124.

[50] Shapiro, H. S. Some Tauberian teorems with applications to approximation theory / H. S. Shapiro // Bull. Amer. Math. Soc. — 1968. — 74. — P. 499 -504.

[51] Totik, V. Approximation by Bernstein polinomials / V. Totik // Amer. J. Math. — 1994. — 114. — P. 995 - 1018.

[52] Trigub, R. M. Fourier Analysis and Approximation of functions / R. M. Trigub, E. S. Belinsky. — Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2004. — 585 р.

[53] Trigub, R. M. Exact order of approximation of periodic functions by linear positive operators / R. M. Trigub // East journal on approximations. — 2009.

— 15, № 1. — P. 25 - 50.

[54] Weisz, F. Summability of multi-dimensional trigonometric Fourier series / F. Weisz // Surveys in Appr. Theory. — 2012. — 7. — P. 1 - 179.

Список работ по теме диссертации

[55] Котова, О. В. О приближении периоДических функций полиномами Стечкина / О. В. Котова // Труды института прикл. матем. и механики. — 2011. — 22. — С. 131 - 134.

[56] Котова, О. В. Точный поряДок приближения периоДических функций оДним неклассическим метоДом суммирования ряДов Фурье / О. В. Котова, Р. М. Тригуб // Укр. матем. журнал. — 2012. — 64, № 7. — С. 954 -969.

135

[57] Котова, О. В. О приближении непрерывных периоДических функций полиномами Стечкина / О. В. Котова // В1сник Дншропетровського ушверситету. Сер1я: Математика. — 2013. — Вип. 18. — С. 104 - 124.

[58] Котова, О. В. Аппроксимативные свойства метоДов суммирования интегралов Фурье / О. В. Котова, Р. М. Тригуб // Доклады НАН Украины. — 2015. — №1. — С. 13-19.

[59] Котова, О. В. Аппроксимативные свойства метоДов суммирования интегралов Фурье / О. В. Котова, Р. М. Тригуб // Укр. матем. вестник. — 2015. — 12, №2. — С. 222 - 242.

[60] Котова, О. В. Новое Достаточное условие принаДлежности алгебре абсолютно схоДящихся интегралов Фурье и его применение к вопросам суммируемости Двойных ряДов Фурье / О. В. Котова, Р. М. Тригуб // Укр. матем. журнал. — 2015. — 67, № 8. — С. 1082 - 1096.

[61] Котова, О. В. О приближении функций на прямой целыми функциями экспоненциального типа / О. В. Котова // Международная научная конференция "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — V". Тезисы докладов. — Ростов н/Д: Изд. центр ДГТУ. — 2015. — С. 81 - 82.