Аппроксимативные свойства линейных конечномерных методов формосохраняющего приближения дифференцируемых функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор наук Сидоров Сергей Петрович

• Сидоров Сергей Петрович
• доктор наук
• 2014

Оглавление диссертации доктор наук Сидоров Сергей Петрович

Введение

Глава 1. Базовые свойства линейных формосохраняющих операторов

1.1. Конус функций

1.2. Основные свойства линейных формосохраняющих операторов

Глава 2. Оценки линейных относительных поперечников множеств дифференцируемых функций

2.1. Определения и основные свойства линейных относительных п-поперечников

2.2. Оценки линейных относительных поперечников для операторов, сохраняющих ^-выпуклость

2.3. Оценки линейных относительных поперечников для операторов, обладающих свойством формосохранения относительно пересечения конусов

2.4. Аппроксимативные свойства операторов, обладающих свойством формосохранения относительно конуса типа II

Глава 3. Оценка ошибки восстановления функционалов с ограничениями на алгоритм

3.1. Об ошибке оптимального восстановления функционалов линейными формосохраняющими алгоритмами

3.2. Ошибка приближения дифференцируемых функций многих переменных интерполяционными формосохраняющими операторами

3.3. Линейные операторы класса Бт

Глава 4. Аппроксимативные свойства операторов, обладающих свойством формосохранения относительно конусов обобщен-

но выпуклых функций

4.1. Условия сходимости последовательности формосохраняющих операторов

4.2. Моментная задача для дискретных мер на конечном интервале

Глава 5. Оценка п—ой минимальной погрешности линейных алгоритмов для некоторых задач аппроксимации

5.1. Обозначения

5.2. Оценка п-ой минимальной погрешности линейных алгоритмов

для одной задачи аппроксимации

5.3. Об оценке п-ой минимальной погрешности линейных алгоритмов для одной задачи в линейном нормированном пространстве

5.4. Об оптимальном восстановлении линейных функционалов на множествах конечной размерности

5.5. Оптимальная интерполяция сходящихся алгебраических рядов

Литература

Приложение А

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимативные свойства линейных конечномерных методов формосохраняющего приближения дифференцируемых функций»

Введение

Предметом исследования настоящей диссертационной работы являются линейные конечномерные методы формосохраняющего приближения классов функций и их аппроксимативные свойства.

Для многих прикладных задач теории приближений зачастую необходимо не просто аппроксимировать некоторую функцию, а приблизить ее с сохранением некоторых ее свойств, связанных с формой функции (положительность, монотонность, выпуклость и т.п.). Раздел теории приближений, посвященный такого рода задачам, называется теорией формосохраняющего приближения.

Одной из первых публикаций по данной тематике была работа Ю. Пала [107], опубликованная в 1925 г., в которой доказывается, что произвольную выпуклую функцию можно равномерно приблизить на отрезке последовательностью выпуклых алгебраических полиномов. Конструктивное доказательство этого факта было предложено Т. Поповичу [110] в 1937 г., который

показал, что если функция / является выпуклой порядка к на [0,1], то многое-

члены Бернштейна Вп/(х) := ^ /(-)С-хг(\ — х)п-г также будут выпуклыми

г=0 п

порядка к на [0,1].

Интерес к данной проблематике усилился в конце 60-х годов XX века, когда появились работы О. Шиша [115], Г.Г.Лоренца и К. Л.Целлера [96], [97]. Они дали толчок работам Р. ДеВора [75] по монотонному приближению и работам А. С. Шведова [62], [63], Д. Ньюмана [106], Р. К. Битсона и Д. Левиатана [67], Г. Г. Лоренца и К. Л. Целлера [98] по комонотонной аппроксимации в 70-е и 80-е годы прошлого века. Обзор некоторых результатов теории формосохра-няющего приближения можно найти в книгах [80], [64], [15], а также в статьях [92], [88].

В последние 25 лет в этой области шли интенсивные исследования, по-

явилось много новых результатов. Большинство из них касаются оценок величин наилучшего приближения функций различных классов алгебраическими или тригонометрическими полиномами с сохранением формы приближаемой функции. В настоящее время теория формосохраняющего приближения представляет собой сложившееся и актуальное направление теории приближения функций.

Интерес к теории формосохраняющего приближения вызван прежде всего тем, что ее результаты имеют множество приложений, большинство из которых связано с применением в компьютерном графическом дизайне (CAGD, computer-aided graphical design), для которого вопросы сохранения формы графических объектов являются существенными. В CAGD часто рассматривается задача создания поверхности тела сложной формы (например, фюзеляжа самолета, детали двигателя, архитектурного сооружения) как дискретного набора точек. Чтобы представить тело, необходимо расположить эти точки на некоторой кривой или поверхности. Отсутствие непрерывности производной или смена знака производной первого или даже второго порядка заметны для человеческого глаза. По этой причине интерес представляет гладкое приближение, которое сохраняет форму данных.

К настоящему времени сложились несколько основных направлений исследований в теории формосохраняющего приближения [80]:

1. Изучение формосохраняющих свойств интерполяционных полиномов (в алфавитном порядке: Б. И. Квасов, F. Deutch, S. Gal, W. J. Kammerer, K. Kopotun, G. G. Lorenz, M. G. Nikolcheva, E. Passow, T. Popoviciu, J. A. Roulier, Z. Rubinstein, J. Szabados, W. Wolibner, S. W. Young, K. L. Zeller и др.);

2. Исследование формосохраняющих свойств сплайнов (в алфавитном порядке: Ю. С. Волков, Б. И. Квасов, Ю. Н. Субботин, В. Т. Шевалдин, И. А.

Шевчук, R. DeVore, K. Kopotun, D.Leviatan, A. Shadrin и др.);

3. Исследование формосохраняющих свойств полиномов типа полиномов Бернштейна (в алфавитном порядке: H. Berens, P. L. Butzer, J. M. Carni-cer, W. Dahmen, M. M. Derrienic, R. DeVore, A. D. Gadzijev, T. N. T. Goodman, 1.1. Ibragimov, L. M. KociC, I. B. LackoviC, C. A. Micchelli, F. J. Muñoz-Delgado, R. J. Nessel, V. Ramírez-González, I. Rasa, P. Sabloniere, D. D. Stan-cu, B. Wood и др.);

4. Результаты типа результатов Шиша. Метод основан на полиномах одновременного приближения функции и ее производных, при этом к ним прибавляются подходящие полиномы (равномерно стремящиеся к 0) таким образом, чтобы сумма сохраняла некоторые знаки производных приближаемой функции (G. A. Anastassiou, J. A. Roulier, O. Shisha и др.);

5. Результаты типа результатов Коровкина. Получение условий сходимости последовательностей линейных формосохраняющих операторов, т.е. аналогов теоремы Коровкина об условиях сходимости последовательностей линейных положительных операторов к тождественному оператору. (D.Cardenas-Morales, H.Gonska, H.-B.Knoop, F.J.Muñoz-Delgado, P. Pottinger, V. Ramírez-González и др.).

Пусть X есть линейное нормированное пространство. Тот факт, что функция f Е X обладает некоторыми свойствами формы, означает принадлежность элемента f некоторому конусу V в X (например, конусу монотонных или конусу выпуклых функций в С[0,1]). Если f Е V, то говорят,что f имеет форму в смысле конуса V.

В теории формосохраняющего приближения возникают и представляют интерес классические задачи теории приближения функций. Одной из таких задач является задача существования, единственности, характеризации

элемента наилучшего формосохраняющего приближения. Пусть V есть некоторый конус в линейном нормированном пространстве X. Пусть Хп — произвольное n-мерное подпространство X такое, что Хп П V = 0. Обозначим Е(f,Xn П V) величину наилучшего приближения элемента f G V элементами множества Хп П V,

Е(f,Xn П V)х = inf ||/- д\\х.

geXnnV

Другой классической задачей теории приближений, интенсивно изучаемой в теории формосохраняющего приближения, является задача об уклонении множеств от заданного конечномерного подпространства. Пусть А С X, А П V = 0. Величина

Е(А П V,Xn П V)х = sup Е(f,Xn П V)х = sup inf ||/ - д\\х

fеАПУ fеАПУ д£хпПУ

является уклонением А П V от Хп П V.

Оценке величины Е(А П V,Xn П V)х для различных конкретных множеств А и конечномерных подпространств Хп посвящено много работ. Обзор существующих результатов для полиномиального формосохраняющего приближения, т. е. когда Хп — множество алгебраических полиномов степени не выше п — 1, V — некоторые конусы (положительных, монотонных, выпуклых) функций в X = Lp[—1,1], можно найти в работе Д. Левиатана [93] (см. также [92], [80]).

Дальнейшим развитием этого направления является задача оценки относительных поперечников множеств. Пусть X — линейное нормированное пространство, А и V есть непустые подмножества X, А П V = 0. Тогда относительным n-поперечником по Колмогорову множества А в X с ограничением V называется величина

dn(A П V,V)X = inf Е(А П V,Xn П V)x = inf sup inf ||/ — дЦх,

xn xn JeAriV 9&ХППУ

7

где левый инфимум ищется среди всех n-мерных линейных многообразий Хп пространства X, таких, что Хп П V = 0.

Впервые понятие относительного поперечника было введено В.Н.Коноваловым [17] в 1984 году. Хотя в этой работе решалась задача, непосредственно не связанная с формосохранением, тем не менее это понятие необходимо возникает при изучении свойств формосохраняющего приближения функций. Оценки относительных (не обязательно формосохраняющих) поперечников были получены в статьях [53], [55], [54], [56], [57], [58].

Конечно, невозможно получить значения dn(A П V, V)х и определить оптимальные подпространства Хп (если они существуют) в общем случае, т.е. без учета специфики А, V, X. Тем не менее, некоторые оценки относительных формосохраняющих n-поперечников были в последнее время получены в работах [89], [81], [90].

Одной из классических задач теории приближений является также задача оценки линейных поперечников множеств. Пусть X есть линейное нормированное пространство, А есть некоторое подмножество пространства X. Напомним [59], что линейный n-поперечник множества А С X в пространстве X определяется следующим образом

дп(А)х := inf sup ||(/ - Ln)f ||х, (1)

L„ f

где инфимум ищется среди всех линейных непрерывных операторов Ln : X ^ X конечного ранга п, I есть тождественный оператор.

В теории формосохраняющего приближения представляет интерес задача оценки величин линейных поперечников вида (1), где инфимум ищется среди всех линейных непрерывных операторов Ln : X ^ X конечного ранга п, обладающих некоторыми дополнительными свойствами (свойствами формо-сохранения). Под формосохраняющим понимается оператор, отображающий конус, связанный с некоторыми свойствами формы приближаемых функций,

в себя. Несмотря на естественность постановки такого рода задач, она не рассматривалась ранее. Мы введем определения таких поперечников (определения 7 и 8) и будем называть их линейными относительными поперечниками.

Интерес к оценке линейных относительных п-поперечников связан с тем, что зная величину такого поперечника, можно судить насколько «хорош» или «плох» (в смысле оптимальности) тот или иной конечномерный метод приближения, обладающий соответствующим свойством формосохранения.

Одним из наиболее изученных классов линейных операторов, обладающих свойствами формосохранения, являются положительные операторы. Классическими результатами для класса положительных операторов являются результаты П. П. Коровкина. Им были найдены [21] условия сходимости последовательности линейных положительных операторов к тождественному оператору в X = С[0,1]. Кроме того, П.П.Коровкин показал [22], что порядок приближения линейными положительными полиномиальными операторами порядка п не выше чем п-2 даже на системе из трех функций

«ЛУ «ЛУ .

Несмотря на успешное и активное развитие рассматриваемой области теории приближений, в ней остается большое количество открытых вопросов и нерешенных задач. Так, проблемы, связанные с количественными оценками скорости сходимости линейных формосохраняющих методов приближения, не были достаточно исследованы. В частности, оставался открытым вопрос о существовании эффекта «насыщения» для линейных методов, обладающих свойством формосохранения, а также его количественной характеристике. Эта проблема впервые была сформулирована Р. ДеВором [74]. Близкой к этой задаче является проблема оценки ошибки оптимальной линейной интерполяции с формосохраняющим ограничением на алгоритм.

Другое важное направление в рассматриваемой области связано с получением качественных результатов, развивающих идеи П. П. Коровкина для

случая линейного формосохраняющего приближения. Ряд работ (в частности, работы [103], [102], [87], [83] и др.) посвящен данной проблематике. В связи с данными задачами теории приближений естественно возникает также проблема нахождения условий сходимости последовательности линейных операторов, обладающих свойствами формосохранения относительно конусов обобщенно выпуклых функций.

Класс всех р-выпуклых функций на [0,1] обозначим Др[0,1]. Пусть 0 ^ к ^ к есть два целых числа и пусть а = (ар)р=0 есть последовательность чисел такая, что ар Е {—1, 0,1} и а^ • = 0. Обозначим

Д^(а) := ^ Е С[0,1] : ар/ Е Др[0,1], к < р < к}. (2)

Данная работа посвящена изучению аппроксимативных свойств формо-сохраняющих линейных операторов Ь, таких, что

¿(Дм(а)) с Д^(а[г]),

где к ^ г ^ к, а[г] = (аг )-с=0, где а^ = 0 для % = г и аг = .

Для данного класса операторов будут получены аналоги базовых свойств линейных положительных операторов; получены оценки порядка приближения операторами конечного ранга; получены оценки линейных относительных поперечников классов дифференцируемых функций; построены оптимальные конечномерные линейные операторы, для которых достигаются значения линейных относительных поперечников.

Кроме того, в работе будут получены оценки ошибки оптимальной линейной интерполяции с (формосохраняющим) ограничением на алгоритм; доказаны теоремы типа теорем Коровкина о сходимости последовательностей линейных операторов; получены оценки ошибки приближения конечномерных множеств конечномерными линейными методами.

Все результаты являются новыми. Основные из них состоят в следующем.

1. Введены два определения линейных относительных поперечников, базирующихся на идеях В. Н. Коновалова и П. П. Коровкина. Найдены порядковые оценки значений линейных относительных поперечников для операторов Ьп конечного ранга, обладающих свойством Ьп (Ак) с Ак, некоторых классов дифференцируемых функций. Доказана справедливость гипотезы Р. ДеВора о том, что для линейных конечномерных операторов, сохраняющих ^-выпуклость, имеет место эффект «насыщения». Получены порядковые оценки значений линейных относительных поперечников для операторов Ьп конечного ранга п, обладающих свойствами формосохранения Ьп(Дн,к(а)) с Д^(а[г]), Н ^ г ^ к.

2. Разработаны методы получения оценок величин ошибок восстановления функционалов с ограничениями на алгоритм. Найдены оценки ошибки задачи оптимальной линейной интерполяции алгоритмами, положительными на некотором конусе, описывающем свойства формы приближаемых функций как одной переменной, так и функций многих переменных. Найдены оценки ошибки приближения интерполяционными операторами с ограничением на число осцилляций ядра некоторых классов дифференцируемых функций.

3. Установлен ряд аппроксимативных свойств операторов, обладающих свойством формосохранения относительно конусов обобщенно выпуклых функций, в частности, доказаны теоремы типа теорем Коровки-на об условиях сходимости последовательностей формосохраняющих операторов. Полученные результаты обобщают результаты работ [103], [102].

4. Получены оценки ошибки конечномерного приближения конечномерных множеств. В частности, показано, что оценка линейного п-попереч-ника по Колмогорову некоторых множеств размерности п+1 сводится к решению в этом пространстве чебышевской задачи о нахождении многочлена, наименее уклоняющегося от нуля, со старшим коэффициентом, равным единице. Получены обобщения этого результата.

Материал диссертационной работы структурирован следующим образом.

В главе 1 изучаются простейшие свойства линейных формосохраняющих операторов. В параграфе 1.1 определяются конуса функций, с которыми будут связаны формосохраняющие свойства операторов, рассматриваемые в данной работе. Будет определен конус, являющийся пересечением конусов р-выпуклых функций для некоторых р.

В параграфе 1.2 приводятся некоторые базовые свойства линейных операторов, обладающих формосохраняющими свойствами относительно конусов, определенных в параграфе 1.1. Получены аналоги хорошо известных свойств линейных положительных операторов для линейных формосохраня-ющих операторов.

Основные результаты диссертационной работы приведены в главе 2, которая состоит из четырех параграфов.

В параграфе 2.1 вводятся два различных определения линейных относительных поперечников, по Коновалову и по Коровкину, получены основные свойства линейных относительных поперечников как по Коновалову, так и по Коровкину, рассмотрен вопрос об отличии свойств таких поперечников от свойств (классических) линейных поперечников (1).

В параграфе 2.2 находятся значения линейных относительных поперечников для операторов Ьп конечного ранга, обладающих свойством Ьп(Дк) с Дк. Основной целью параграфа является доказательство гипотезы Р. ДеВо-

ра [74] о том, что для линейных конечномерных операторов, сохраняющих ^-выпуклость, имеет место эффект «насыщения».

Показано, что если конечномерный оператор сохраняет ^-выпуклость, то порядок приближения оператора дифференцирования к-го порядка производными оператора не может быть выше чем п-2 на некотором подмножестве span {1,х,... ,хк+2}. Для этого доказывается одно точное неравенство, оценивающее порядок приближения производными формосохраняющих операторов конечного ранга, определенных в пространстве всех действительнозначных к раз непрерывно дифференцируемых функций одной действительной переменной. Приводится пример оператора, обладающего наилучшим порядком приближения.

Далее показывается, что если аппроксимационный процесс {Ln}n£N является формосохраняющим относительно конуса всех &-раз дифференцируемых функций, чья производная порядка к неотрицательна на [0,1], и предполагая, что операторы Ln имеют конечный ранг п, тогда порядок сходимости DkLnf к Dkf не может быть лучше, чем п-2 даже на системе функций хк, х + , х + , на любом подмножестве [0,1] положительной меры. Используя этот факт, находятся асимптотические оценки ошибок приближения оператора дифференцирования порядка к линейными операторами конечного ранга, сохраняющими ^-выпуклость, по норме пространства 1], р £ N

Из полученных результатов следует, что если линейный оператор конечного ранга п сохраняет ^-выпуклость, то порядок приближения производных порядка 0 < i < к непрерывных функций производными этого оператора не может быть лучше чем п-2 на некотором подмножестве span {1,х,..., хк+2}. Таким образом, свойство сохранения ^-выпуклости является негативным в том смысле, что ошибка приближения такими операторами не уменьшается с ростом степени гладкости приближаемых функций, т.е. для линейных конечномерных операторов, сохраняющих ^-выпуклость, имеет место эффект

«насыщения». В работе [91] показано, что нелинейные аппроксимационные методы, сохраняющие ^-выпуклость, не обладают этим недостатком.

В параграфе 2.3 находятся значения линейных относительных поперечников для операторов Ln конечного ранга п, обладающих свойством формо-сохранения

Ln(Ah>k(а)) С Д^(а[k]). (3)

Доказывается одно точное неравенство, оценивающее порядок приближения производными операторов Ln конечного ранга п, обладающих свойством фор-мосохранения (3), определенных в пространстве всех действительнозначных к раз непрерывно дифференцируемых функций одной действительной переменной.

Далее показывается, что если аппроксимационный процесс {Ln}nGN обладает свойством формосохранения (3), и предполагая, что операторы Ln имеют конечный ранг п, то порядок сходимости DkLnf к Dkf не может быть лучше, чем п-2 даже на системе функций 1 , ..., х , на любом подмножестве [0,1] положительной меры. Используя этот факт, находятся асимптотические оценки ошибок приближения оператора дифференцирования порядка к линейными операторами конечного ранга, удовлетворяющими (3), по норме пространства LP[0,1], р Е N.

Из полученных результатов следует, что если линейный оператор Ln конечного ранга п обладает свойством формосохранения (3), то порядок приближения производных порядка 0 < i < к непрерывных функций производными этого оператора не может быть лучше чем п-2 на некотором подмножестве span {1,х,... ,xk+2}. Таким образом, свойство сохранения (3) является негативным в том смысле, что ошибка приближения такими операторами не уменьшается с ростом степени гладкости приближаемых функций, т.е. для линейных конечномерных операторов, обладающих свойством (3), также как

и для операторов, сохраняющих ^-выпуклость, имеет место эффект «насыщения».

Обозначим Г = {г : h ^ i < к, а,, = 0, =0, а,, • а;+2 = -1}.

Случай г £ Г (Г = 0, конус Ah,k (а) есть конус типа II) рассматривается в параграфе 2.4. Изучаются аппроксимативные свойства линейных операторов Ln конечного ранга п, обладающих свойством формосохранения

Ln(Ah,k(а)) С Ah'k(a[r]), г £ Г. (4)

В данном параграфе показывается, что если линейный оператор Ln конечного ранга п обладает свойством формосохранения (4) при г £ Г, то порядок приближения производными оператора не может быть выше чем n-(k-г) даже на подмножестве span {1,^,...,^k}. Кроме того, приводится пример формосохраняющего оператора конечного ранга п с оптимальным порядком приближения, удовлетворяющего (4).

Далее показывается, что если аппроксимационный процесс {Ln}n£N обладает свойством формосохранения (4) при г £ Г, и предполагая, что операторы Ln имеют конечный ранг п, то порядок сходимости DrLnf к Drf не может быть лучше, чем n-(k-r) даже на системе функций 1 , х,..., ^с , на любом подмножестве [0,1] положительной меры. Используя этот факт, находятся асимптотические оценки ошибок приближения оператора дифференцирования порядка г линейными операторами конечного ранга, удовлетворяющими (4), по норме пространства LP[0,1], р £ N.

Из полученных результатов следует, что если линейный оператор Ln конечного ранга п обладает свойством формосохранения (4) при г £ Г, то порядок приближения производных порядка 0 < i < г непрерывных функций производными этого оператора не может быть лучше чем n-(k-r) на некотором подмножестве span {1,x,...,xk}. Таким образом, свойство сохранения (4) при г £ Г является негативным в том смысле, что ошибка приближения

такими операторами не уменьшается с ростом степени гладкости приближаемых функций.

Вместе с тем, следует отметить, что линейные конечномерные методы, удовлетворяющие условию (4), обладают тем позитивным свойством, что они могут обладать более высоким порядком приближения п-(к-г), чем линейные конечномерные методы, обладающие свойством сохранения ^-выпуклости или свойством (3), для которых оптимальный порядок приближения п-2.

Глава 3 посвящена нахождению оценок величин ошибок восстановления функционалов с ограничениями на алгоритм.

Так, в параграфе 3.1 рассматривается задача оптимальной линейной интерполяции алгоритмами, положительными на некотором конусе, описывающем свойства формы приближаемых функций. Показывается, что такие линейные формосохраняющие методы обладают негативным свойством, связанном с неспособностью тождественно приближать алгебраические полиномы выше заданной степени. Далее показывается, что оценка ошибки задачи линейной формосохраняющей интерполяции может быть сведена к задаче конической оптимизации. Это позволяет использовать принцип двойственности для получения оценки ошибки формосохраняющей интерполяции.

В параграфе 3.2 находится оценка ошибки равномерного приближения дифференцируемых функций многих переменных с ограниченной производной второго порядка линейными интерполяционными операторами, сохраняющими свойство положительности и выпуклости приближаемых функций.

Близкими к поведению положительных и формосохраняющих операторов являются введенные П. П. Коровкиным операторы класса Зт. В параграфе 3.3 изучаются свойства таких операторов, в частности, найдены величины линейных поперечников классов дифференцируемых функций.

В главе 4 изучаются аппроксимативные свойства операторов, обладающих свойством формосохранения относительно конусов обобщенно выпуклых

функций. В параграфе 4.1 представлены теоремы типа теорем Коровкина об условиях сходимости последовательностей формосохраняющих операторов. Полученные результаты обобщают результаты работ [102], [103].

Глава 5 работы посвящена вопросам конечномерного приближения конечномерных множеств. В параграфе 5.2 находится n-я минимальная линейная погрешность линейных алгоритмов для одной задачи аппроксимации и находится соответствующий линейный n-поперечник. Отметим, что связь между некоторыми понятиями теории приближений и теории оптимальных алгоритмов хорошо известна [60]. Так, n-я минимальная погрешность линейных алгоритмов отличается от соответствующего линейного п-поперечника по Колмогорову лишь множителем. Показывается, что оценка n-ой минимальной погрешности линейных алгоритмов для одной задачи аппроксимации (оператор решения S является тождественным) в произвольном линейном нормированном пространстве (и оценка соответствующего линейного п-поперечника по Колмогорову) сводится к решению в этом пространстве чебы-шевской задачи о нахождении многочлена, наименее уклоняющегося от нуля, со старшим коэффициентом, равным единице.

В параграфе 5.3 показывается, что подобный результат справедлив и в том случае, когда оператор решения S не является тождественным.

Многие задачи численных методов могут быть сведены к задаче восстановления некоторого функционала: на основе значений некоторых линейных функционалов требуется найти значение некоторого другого функционала, независимого от исходных. Параграф 5.4 посвящен задаче оптимального восстановления линейных функционалов на множествах конечной размерности.

В параграфе 5.5 рассматривается следующая задача оптимальной интерполяции сходящихся алгебраических рядов. Пусть п Е N, —1 < Х\ < ... < хп < 1. Для произвольной функции f Е {£°°=0 artr : lar| < 1, г > п}, t Е (—1,1), мы пытаемся восстановить значение f (() в фиксированной

точке ( Е (—1,1) с помощью алгоритма А, использующего информацию /(х\),..., /(хп), а также находим ошибку этой задачи.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях автора [116], [117], [118], [119], [120], [38], [39], [121], [122], [44], [42], [45], [46], [85], [125], [123], [126], [127], [48], [128], [129], а также в работах [33], [34], [35], [36], [37], [40], [41], [43], [47], [124], [13], [49], [131], [50]. Из опубликованных в соавторстве работ в диссертацию включены только результаты автора.

Глава 1

Т 1 и и

Базовые свойства линейных формосохраняющих операторов

Глава состоит из двух параграфов.

В параграфе 1.1 определяются конуса функций, с которыми будут связаны формосохраняющие свойства операторов, рассматриваемые в данной работе. Будет определен конус, являющийся пересечением конусов р-выпуклых функций для некоторых р.

В параграфе 1.2 приводятся некоторые базовые свойства линейных операторов, обладающих формосохраняющими свойствами относительно конусов, определенных в параграфе 1.1. Получены аналоги хорошо известных свойств линейных положительных операторов для линейных формосохраня-ющих операторов.

1.1. Конус функций

Обозначим Ск[0,1], к ^ 0, пространство всех действительнозначных к раз непрерывно дифференцируемых функций, определенных на [0,1], с субнормой

I/ 11с* [0,1] = Е 1 8ЦР (*)!, (1.1)

г- ТЕ [0,1]

где Иг означает оператор дифференцирования порядка г, (х) = ^, и Б0 = I есть тождественный оператор. Производные в (1.1) являются правосторонними в точке 0 и левосторонними в точке 1.

Вк[0,1], к ^ 0, будет означать пространство всех действительнозначных функций, определенных на [0,1], имеющих ограниченную производную по-

рядка к, с субнормой (1.1).

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Сидоров Сергей Петрович, 2014 год

Литература

1. Ахиезер, Н. И. Лекции по теории аппроксимации / Н. И. Ахиезер.— Москва: Наука, 1965.

2. Бахвалов, Н. С. Оценки снизу асимптотических характеристик классов функций с доминирующей смешанной производной / Н. С. Бахвалов // Матем. заметки. — 1972. — Т. 12, № 6. — С. 655-664.

3. Богданов, В. В. Выбор параметров обобщённых кубических сплайнов при выпуклой интерполяции / В. В. Богданов, Ю. С. Волков // Сиб. журн. вычисл. матем. — 2006. — Vol. 9, no. 1. — Pp. 5-22.

4. Боянов, Б. Д. Наилучшие методы интерполирования для некоторых классов дифференцируемых функций / Б. Д. Боянов // Мат заметки. — 1975. — Т. 17, № 4. — С. 511-524.

5. Васильев, Р. К. О порядке приближения функций многих переменных линейными положительными операторами конечного ранга / Р. К. Васильев // Матем. заметки. — 1993. — Т. 53, № 1. — С. 3-15.

6. Великин, В. Л. Оптимальная интерполяция периодических дифференцируемых функций с ограниченной старшей производной / В. Л. Великин // Матем. заметки. — 1977. — Т. 22, № 5. — С. 663-670.

7. Виденский, В. С. Об одном точном неравенстве для линейных положительных операторов конечного ранга / В. С. Виденский // Докл. АН ТаджССР. — 1981. — Т. 24, № 12. — С. 715-717.

8. Волков, Ю. С. Новый способ построения интерполяционных кубических сплайнов / Ю. С. Волков // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2004. — Vol. 44, no. 2. — Pp. 231-241.

9. Волков, Ю. С. Формосохраняющая интерполяция кубическими сплайнами / Ю. С. Волков, В. В. Богданов, В. Л. Мирошниченко, В. Т. Шевалдин // Сиб. журн. вычисл. матем. — 2010.— Уо1. 88, по. 6.— Рр. 836-844.

10. Волков, Ю. С. О выборе аппроксимаций в прямых задачах построения сопла / Ю. С. Волков, В. М. Галкин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2007. — Уо1. 47, по. 5. — Рр. 923-936.

11. Волков, Ю. С. Локальная аппроксимация сплайнами со смещением узлов / Ю. С. Волков, Е. В. Стрелкова, В. Т. Шевалдин // Матем. тр. — 2011. — Уо1. 14, по. 2. — Рр. 73-82.

12. Волков, Ю. С. Условия формосохранения при интерполяции сплайнами второй степени по субботину и по марсдену / Ю. С. Волков, В. Т. Шевалдин // Тр. ИММ УрО РАН. — 2012. — Уо1. 18, по. 4. — Рр. 145-152.

13. Калмыков, М. Ю. Моментная задача для дискретной неположительной меры на конечном интервале / М. Ю. Калмыков, С. П. Сидоров // Современные проблемы теории функций и их приложении: Материалы 16-ой Саратовской зимней школы. — Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2012. — С. 81-82.

14. Квасов, Б. И. Алгоритмы изогеометрической аппроксимации обобщенными кубическими сплайнами / Б. И. Квасов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1996. — Уо1. 36, по. 12. — Рр. 3-22.

15. Квасов, Б. И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. Второе издание / Б. И. Квасов. — Москва: Физматлит, 2006.

16. Квасов, Б. И. Монотонная и выпуклая интерполяция весовыми

кубическими сплайнами / Б. И. Квасов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2013. — Vol. 53, no. 10. — Pp. 1610-1621.

17. Коновалов, В. Н. Оценки диаметров типа колмогорова для классов дифференцируемых периодических функций / В. Н. Коновалов // Матем. заметки. — 1984. — Т. 35. — С. 369-380.

18. Коркин, А. И. О некотором минимуме / А. И. Коркин, Е. И. Золотарев // Полное собрание сочинений Е. И. Золотарева. — Ленинград: Акад. Наук СССР, 1931. —Т. 1. —С. 138-153.

19. Корнейчук, Н. П. Сплайны в теории приближений / Н. П. Корнейчук. — М.: Наука, 1984. — Russian.

20. Коробов, Н. М. Теоретико-множественные методы в приближенном анализе / Н. М. Коробов. — Москва: Физматгиз, 1963.

21. Коровкин, П. П. О сходимости линейных положительных операторов в пространстве непрерывных функций / П. П. Коровкин // ДАН СССР. — 1953. — Т. 90, № 5. — С. 961-964.

22. Коровкин, П. П. О порядке приближения функций линейными положительными операторами / П. П. Коровкин // ДАН СССР. — 1957.— Т. 114, № 6. — С. 1158-1161.

23. Коровкин, П. П. О порядке приближения функций линейными полиномиальными операторами класса Sm / П. П. Коровкин // Иссл. по совр. пробл. констр. теор. функций. — Баку, 1965.— С. 163-166.

24. Коровкин, П. П. Об условиях сходимости последовательности операторов / П. П. Коровкин // Иссл. по совр. пробл. констр. теор. функций.— Баку, 1965. — С. 95-97.

25. Крейн, М. Г. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи / М. Г. Крейн, А. А. Нудельман. — М.: Наука, 1973.

26. Магарил-Ильяев, Г. Г. Принцип лагранжа для гладких задач с ограничениями на конусе / Г. Г. Магарил-Ильяев // Владикавк. матем. журн. — 2005. — Т. 7, № 4. — С. 38-45.

27. Марчук, А. Г. Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек / А. Г. Марчук, К. Ю. Осипенко // Матем. заметки. — 1975. — Т. 17, № 3. — С. 359-368.

28. Никольский, С. М. К вопросу об оценках приближений квадратурными формулами / С. М. Никольский // УМН.— 1950.— Т. 5, № 2.— С. 165-177.

29. Осипенко, К. Ю. Оптимальная интерполяция аналитических функций / К. Ю. Осипенко // Матем. заметки. — 1972. — Т. 12, № 4. — С. 465-476.

30. Осипенко, К. Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек / К. Ю. Осипенко // Матем. заметки. — 1976. — Т. 19, № 1. — С. 29-40.

31. Осипенко, К. Ю. Об оптимальных методах восстановления в пространствах Харди—Соболева / К. Ю. Осипенко // Матем. сб. — 2001.— Т. 192. — С. 67-86.

32. Привалов, А. А. Теория интерполирования функций / А. А. Привалов. — Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1990. — Т. 1, 2.

33. Сидоров, С. П. Порядок приближения линейными формосохраняющими операторами конечного ранга / С. П. Сидоров // Математика. Механи-

ка: Сборник научных трудов. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. — Вып. 2. — С. 112-115.

34. Сидоров, С. П. Некоторые свойства линейных формосохраняющих операторов / С. П. Сидоров // Математика. Механика: Сборник научных трудов. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001.— Вып. 3.— С. 117-121.

35. Сидоров, С. П. Некоторые свойства линейных формосохраняющих операторов / С. П. Сидоров // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 11-ой Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002. — Вып. 5. — С. 104-107.

36. Сидоров, С. П. Приближение гладких функций линейными конечномерными операторами в пространстве L / С. П. Сидоров // Математика. Механика: Сборник научных трудов. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. — Вып. 5. — С. 104-107.

37. Сидоров, С. П. Об оптимальной аппроксимации некоторых функционалов / С. П. Сидоров // Математика. Механика: Сборник научных трудов. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. — Вып. 6. — С. 130-133.

38. Сидоров, С. П. Оценка n-й минимальной погрешности линейных алгоритмов для одной задачи аппроксимации / С. П. Сидоров // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2004. — Vol. 44. — Pp. 997-1001.

39. Сидоров, С. П. Об оценке n-й минимальной погрешности линейных алгоритмов для одной задачи в линейном нормированном пространстве / С. П. Сидоров // Сиб. матем. журн. — 2005. — Т. 46. — С. 673-678.

40. Сидоров, С. П. Об ошибке приближения алгебраических полиномов нейронными сетями прямого распространения / С. П. Сидоров // Нейрокомпьютеры: разработка и применение. — 2005. — № 6. — С. 45-53.

41. Сидоров, С. П. Оптимальная линейная интерполяция с условием на алгоритм / С. П. Сидоров // Математика. Механика: Сборник научных трудов. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007.— Вып. 9.— С. 91-94.

42. Сидоров, С. П. Оценка относительного линейного поперечника единичного шара для класса положительных операторов / С. П. Сидоров // Сиб. журн. индустр. матем. — 2007. — Т. 10. — С. 122-128.

43. Сидоров, С. П. Формосохраняющая оптимальная линейная интерполяция / С. П. Сидоров // Тр. Матем. центра им.Н.И.Лобачевского. — Казань: Изд-во Казан. математического общества, Изд-во Казан. гос. ун-та, 2007. — Т. Вып. 35. — С. 223-225.

44. Сидоров, С. П. Формосохраняющие линейные поперечники единичных шаров в С[0,1] / С. П. Сидоров // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2007. — Т. 7. — С. 33-39.

45. Сидоров, С. П. Об оптимальном восстановлении линейных функционалов на множествах конечной размерности / С. П. Сидоров // Матем. заметки. — 2008. — Т. 84. — С. 602-608.

46. Сидоров, С. П. Ошибка приближения дифференцируемых функций многих переменных интерполяционными формосохраняющими операторами / С. П. Сидоров // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2009. — Т. 9. — С. 49-52.

47. Сидоров, С. П. Оценка линейного формосохраняющего поперечника одного класса дифференцируемых функций / С. П. Сидоров // Математика. Механика: Сборник научных трудов. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. — Вып. 12. — С. 78-80.

48. Сидоров, С. П. Об ошибке оптимальной интерполяции линейными фор-мосохраняющими алгоритмами / С. П. Сидоров // Сиб. журн. индустр. матем. — 2012. — Т. 15. — С. 119-127.

49. Сидоров, С. П. Приближение гладких функций формосохраняющими конечномерными методами на измеримых множествах / С. П. Сидоров // Современные проблемы теории функций и их приложении: Материалы 16-ой Саратовской зимней школы. — Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2012. — С. 160-161.

50. Сидоров, С. П. Аппроксимативные свойства линейных конечномерных методов, сохраняющих ^-выпуклость / С. П. Сидоров // Современные проблемы теории функций и их приложении: Материалы 17-ой Саратовской зимней школы. — Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2014. — С. 248-250.

51. Смоляк, С. А. Интерполяционные и квадратурные формулы на классах и Е* / С. А. Смоляк // ДАН СССР. — 1960.— Т. 131, № 5.— С. 1028-1031.

52. Стрелкова, Е. В. Формосохранение при аппроксимации локальными экспоненциальными сплайнами произвольного порядка / Е. В. Стрелкова, В. Т. Шевалдин // Сиб. журн. вычисл. матем. — 2011.— Уо1. 17, по. 3. —Рр. 291-299.

53. Субботин, Ю. Н. Точные значения относительных поперечников классов дифференцируемых функций / Ю. Н. Субботин, С. А. Теляков-ский // Матем. заметки. — 1999.— Т. 65.— С. 871-879.

54. Субботин, Ю. Н. Относительные поперечники классов дифференциру-

емых функций в метрике Ь2 / Ю. Н. Субботин, С. А. Теляковский // УМН. — 2001. — Т. 56, № 4. — С. 159-160.

55. Субботин, Ю. Н. Сплайны и относительные поперечники классов дифференцируемых функций / Ю. Н. Субботин, С. А. Теляковский // Теория приближений. Асимптотические разложения. Сборник статей. — 2001. — Т. 7, № 1 из Тр. ИММ УрО РАН. — С. 208-216.

56. Субботин, Ю. Н. Об относительных поперечниках классов дифференцируемых функций / Ю. Н. Субботин, С. А. Теляковский // Исследования по теории функций и дифференциальным уравнениям. Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского. — М.: Наука, 2005. — Т. 248, № 1 из Тр. МИАН. — С. 250-261.

57. Субботин, Ю. Н. К вопросу о равенстве колмогоровских и относительных поперечников классов дифференцируемых функций / Ю. Н. Субботин, С. А. Теляковский // Матем. заметки. — 2009. — Т. 86. — С. 456-465.

58. Субботин, Ю. Н. Уточнение оценок относительных поперечников классов дифференцируемых функций / Ю. Н. Субботин, С. А. Теляковский // Теория функций и дифференциальные уравнения. Сборник статей. К 105-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского. — М.: Наука, 2010. — Т. 269, № 1 из Тр. МИАН. — С. 242-253.

59. Тихомиров, В. М. Поперечники множеств в функциональном пространстве и теория наилучших приближений / В. М. Тихомиров // УМН. — 1960. — Т. 15, № 3. — С. 81-120.

60. Трауб, Дж. Общая теория оптимальных алгоритмов / Дж. Трауб, Х. Во-жьняковский. — Москва: Мир, 1983.

61. Чебышев, П. Л. Полное собрание сочинений / П. Л. Чебышев.— М.-Л., 1948. — Т. 2.

62. Шведов, А. С. Комонотонная полиномиальная аппроксимация функций / А. С. Шведов // ДАН СССР. — 1980. — Т. 250, № 1. — С. 39-42.

63. Шведов, А. С. Порядок ко-приближения функций алгебраичскими полиномами / А. С. Шведов // Матем. заметки. — 1981.— Т. 29, № 1.— С. 117-130.

64. Шевчук, И. А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций / И. А. Шевчук. — Киев: Наукова думка, 1992.

65. Altomare, F. Korovkin-type theorems and approximation by positive linear operators / F. Altomare // Surveys in Approximation Theory. — 2010.— Vol. 5. — Pp. 92-164.

66. Barnhill, R. E. An error analysis for interpolation on analytic functions / R. E. Barnhill, J. A. Wixom // SIAM J. Numer. Anal. — 1968. — Vol. 5. — Pp. 522-528.

67. Beatson, R. K. On comonotone approximation / R. K. Beatson, D. Levi-atan // Canad. Math. Bull. — 1983. — Vol. 26. — Pp. 220-224.

68. Boas, R. P. Functions with positive differences / R. P. Boas, D. V. Widder // Duke Math. J. — 1940. — Vol. 7, no. 1. — Pp. 496-503.

69. Bojanov, B. D. An optimal interpolation formula / B. D. Bojanov, V. G. Chernogorov // J. Approx. Theory. — 1977. — Vol. 20. — Pp. 264-274.

70. Cárdenas-Morales, D. Bernstein-type operators which preserve polynomials / D. Cardenas-Morales, P. Garrancho, I. Rasa // Comput. Math. Appl. — 2011. —Vol. 62.—Pp. 158-163.

71. Chalmers,. A characterization and equations for minimal shape-preserving projections / Chalmers, D. B. D. Mupasiri, M. Prophet // J. Approx. Theory. — 2006. — Vol. 138, no. 2. — Pp. 184-196.

72. Chalmers, B. L. Optimal interpolating spaces preserving shape / B. L. Chalmers, D. Leviatan, M. P. Prophet // J. Approx. Theory.— 1999.— Vol. 98, no. 2. — Pp. 354-373.

73. DeVore, R. A. The Approximation of Continuous Functions by Positive Linear Operators / R. A. DeVore. — Berlin/Heidelberg/New York: Springer-Verlag, 1972.

74. DeVore, R. A. Monotone approximation by splines / R. A. DeVore // SIAM J. Math. Anal. — 1977. — Vol. 8. — Pp. 891-905.

75. DeVore, R. A. Pointwise estimates for monotone polynomial approximation / R. A. DeVore, X. M. Yu // Constr. Approx. — 1985.— Vol. 1.— Pp. 323-331.

76. Forst, W. Optimale hermite-interpolation differenzierbaren periodischer funktionen / W. Forst // J. Approx. Theory. — 1977. — Vol. 20. — Pp. 333-347.

77. Gaffney, P. W. Optimal interpolation: Ph.D. thesis / Oxford Univ. — 1976.

78. Gaffney, P. W. To compute the optimal interpolation formula / P. W. Gaffney // Math. Comp. — 1978. — Vol. 32. — Pp. 763-777.

79. Gaffney, P. W. Optimal interpolation / P. W. Gaffney, M. J. D. Powell // Numerical Analysis / Ed. by G. A. Watson. — Berlin and New York: Springer-Verlag, 1976. — Vol. 506 of Lecture Notes in Math. — Pp. 90-100.

80. Gal, Sorin G. Shape-Preserving Approximation by Real and Complex Polynomials / Sorin G. Gal. — Dordrecht: Springer, 2008.

81. Gilewicz, J. Widths and shape-preserving widths of sobolev-type classes of s-monotone functions / J. Gilewicz, V. N. Konovalov, D. Leviatan // J. Approx. Theory. — 2006. — Vol. 140, no. 2. — Pp. 101-126.

82. Golomb, M. Interpolation operators as optimal recovery schemes for classes of analytic functions / M. Golomb // Optimal Estimation in Approximation Theory / Ed. by C. A. Micchelli, T. J. Rivlin.— New York: Plenum Press, 1977. —Pp. 93-138.

83. Gonska, H. H. Quantitative korovkin type theorems on simultaneous approximation / H. H. Gonska // Mathematische Zeitschrift. — 1984.— Vol. 186, no. 3. — Pp. 419-433.

84. Hopf, E. Über die Zusammenhange zwischen gewissen höheren Differenzenquotienten reeller Funktionen einer reellen Variablen und deren Differenzier-barkeitseigenschaften: Ph.D. thesis / Üniversitöt Berlin. — 1926.

85. Kalmykov, M. U. A moment problem for discrete nonpositive measures on a finite interval / M. Ü. Kalmykov, S. P. Sidorov // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. — 2011. — Vol. 2011, Article ID 545780. — Pp. 1-8.

86. Karlin, S. Tchebycheff systems: With applications in analysis and statistics / S. Karlin, W. Stadden. — New York: Interscience Publishers John Wiley & Sons, 1966. — Vol. XV of Pure and applied mathematics.

87. Knoop, H.-B. Ein satz vom korovkin-typ fur Ck raume / H.-B. Knoop, P. Pottinger // Math. Z. — 1976. — Vol. 148. — Pp. 23-32.

88. Kocic, L.M. Shape preserving approximations by polynomials and splines / L.M. Kocic, G.V. Milovanovic // Computers & Mathematics with Applications. — 1997. — Vol. 33, no. 11. — Pp. 59 - 97.

89. Konovalov, V. Shape preserving widths of sobolev-type classes of ^-monotone functions on a finite interval / V. Konovalov, D. Leviatan // Israel Journal of Mathematics. — 2003. — Vol. 133. — Pp. 239-268.

90. Konovalov, V. Shape-preserving widths of weighted sobolev-type classes of positive, monotone, and convex functions on a finite interval / V. Konovalov, D. Leviatan // Constructive Approximation. — 2008. — Vol. 19. — Pp. 23-58.

91. Kopotun, K. On ^-monotone approximation by free knot splines / K. Kopo-tun, A. Shadrin // SIAM J. Math. Anal. — 2003. — Vol. 34. — Pp. 901-924.

92. Kopotun, K. A. Uniform and pointwise shape preserving approximation by algebraic polynomials / K. A. Kopotun, D. Leviatan, A. Prymak, I. A. Shevchuk // Surveys in Approximation Theory. — 2011.— Vol. 6.— Pp. 24-74.

93. Leviatan, D. Shape-preserving approximation by polynomials / D. Leviatan // J. of Comp. and Appl. Math. — 2000. — Vol. 121. — Pp. 73-94.

94. Lewicki, G. A characterization and equations for minimal shape-preserving projections / G. Lewicki, M. Prophet // J. Approx. Theory. — 2010.— Vol. 162, no. 5. — Pp. 931-951.

95. Lewicki, G. Minimal shape-preserving projections onto nn: Generalizations and extensions / G. Lewicki, M. P. Prophet // Numerical Functional Analysis and Optimization. — 2006. — Vol. 27, no. 7-8. — Pp. 847-873.

96. Lorentz, G. G. Degree of approximation by monotone polynomials, I / G. G. Lorentz, K. L. Zeller // J. Approx. Theory. — 1968. — no. 1. — Pp. 501-504.

97. Lorentz, G. G. Degree of approximation by monotone polynomials, ii / G. G. Lorentz, K. L. Zeller // J. Approx. Theory. — 1969. — no. 2. — Pp. 265-269.

98. Lorentz, G. G. Monotone approximation by algebraic polynomials / G. G. Lorentz, K. L. Zeller // Trans. Amer. Soc. — 1970.— Vol. 149, no. 1.— Pp. 1-18.

99. Melkman, A. A. n-width and optimal interpolation of time- and band-limited functions / A. A. Melkman // Optimal Estimation in Approximation Theory / Ed. by C. A. Micchelli, T. J. Rivlin.— New York: Plenum Press, 1977. —Pp. 55-68.

100. Meyers, L. F. Best interpolation formulas / L. F. Meyers, A. Sard // J. Math. Phis. — 1950. — Vol. 29. — Pp. 198-206.

101. Micchelli, C. A. Lectures Notes in Mathematics / C. A. Micchelli, T. J. Rivlin. — Berlin: Springer-Verlag, 1985. — Vol. 1129. — Pp. 21-93.

102. Muñoz-Delgado, F. J. Almost convexity and quantitative korovkin type results / F. J. Muñoz-Delgado, D. Cardenas-Morales // Appl. Math. Lett. — 1998. — Vol. 94, no. 4. — Pp. 105-108.

103. Muñoz-Delgado, F. J. Qualitative Korovkin-type results on conservative approximation / F. J. Muñoz-Delgado, V. Ramirez-Gonzalez, D. Cárdenas-Morales // J. Approx. Theory.— 1998.— Vol. 94.— Pp. 144-159.

104. Mupasiri, D. A note on the existence of shape-preserving projections /

D. Mupasiri, M. Prophet // Rocky Mountain J. Math. — 2007.— Vol. 37, no. 2. — Pp. 573-585.

105. Mupasiri, D. On the difficulty of preserving monotonisity via projections and related results / D. Mupasiri, M. Prophet // Jaen J. Approx. — 2010. — Vol. 2, no. 1. — Pp. 1-12.

106. Newman, D. J. Efficient comonotone approximation / D. J. Newman // J. Approx. Theory. — 1979. — Vol. 25. — Pp. 189-192.

107. Pal, J. Approksimation of konvekse funktioner ved konvekse polynomier / J. Pal // Mat. Tidsskrift. — 1925. — Vol. B. — Pp. 60-65.

108. Pinkus, A. n-Widths in Approximation Theory / A. Pinkus. A Series of Modern Surveys in Mathematics. — Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo: Springer-Verlag, 1985.

109. Popoviciu, T. Sur quelques proprietes des fonctions d'une ou de deux variables reelles / T. Popoviciu // Mathematica. — 1934. — Vol. 8.— P. 1-85.

110. Popoviciu, T. About the Best Polynomial Approximation of Continuous Functions. Mathematical Monography / T. Popoviciu. — Sect. Mat. Univ. Cluj, 1937.— (In Romanian), fasc. III.

111. Popoviciu, T. Les Fonctions Convexes / T. Popoviciu. — Paris: Hermann & Cie, 1944.

112. Prophet, M. P. On j-convex preserving interpolation operators / M. P. Prophet // J. Approx. Theory. — 2000. — Vol. 104, no. 1. — Pp. 77-89.

113. Sard, A. Best approximate integration formulas; best approximation formulas / A. Sard // Amer. J. Math. — 1949. — Vol. 71. — Pp. 80-91.

114. Shapiro, A. Semi-Infinite Programming: Recent Advances / A. Shapiro / Ed. by M. A. Goberna, M. A. Lopez. — Academic Publishers, Kluwer, 2002.

115. Shisha, O. Monotone approximation / O. Shisha // Pacific J. Math. — 1965. —Vol. 15, no. 2.—Pp. 667-671.

116. Sidorov, S. P. On the order of approximation by linear shape-preserving operators of finite rank / S. P. Sidorov // East J. on Approx. — 2001.— Vol. 7, no. 1. — Pp. 1-8.

117. Sidorov, S. P. The constructions of operators from class sm of an optimal order of approximation / S. P. Sidorov // East J. on Approx. — 2002. — Vol. 8, no. 3. — Pp. 303-310.

118. Sidorov, S. P. On some extremal properties of lagrange interpolatory polynomials / S. P. Sidorov // J. Approx. Theory. — 2002.— Vol. 118, no. 2.— Pp. 188-201.

119. Sidorov, S. P. Approximation of the r-th differential operator by means of linear shape-preserving operators of finite rank / S. P. Sidorov // J. Approx. Theory. — 2003. — Vol. 124, no. 2. — Pp. 232-241.

120. Sidorov, S. P. Negative property of shape preserving finite-dimensional linear operators / S. P. Sidorov // Appl. Math. Lett. — 2003.— Vol. 16, no. 2.— Pp. 257-261.

121. Sidorov, S. P. On estimates of n-th minimal error of linear algorithms on some sets of dimension of n + 1 / S. P. Sidorov // Global J. of Pure and Appl. Math. — 2005. — Vol. 1, no. 1. — Pp. 1-8.

122. Sidorov, S. P. Optimal interpolation of convergent algebraic series / S. P. Sidorov // Numerical Algorithms. — 2007. — Vol. 44, no. 3. — Pp. 273-279.

123. Sidorov, S. P. Basic properties of linear shape-preserving operators / S. P. Sidorov // Int. Journal of Math. Analysis. — 2011.— Vol. 5.— P. 1841 -1849.

124. Sidorov, S. P. Estimates of linear relative n-widths in Lp\0,1] / S. P. Sidorov // Abstracts of II Jaen Conference on Approximation Theory (Ube-da, Jaen, Spain, June 26th-July 1st, 2011).— Jaen, 2011.— P. 61.

125. Sidorov, S. P. Korovkin-type theorem for sequences of operators preserving shape / S. P. Sidorov // Positivity. — 2011. — Vol. 15. — Pp. 11-16.

126. Sidorov, S. P. Estimates of linear relative n-widths in Lp\0,1] / S. P. Sidorov // Analysis in Theory and Applications. — 2012. — Vol. 28, no. 1. — Pp. 1-11.

127. Sidorov, S. P. Linear relative n-widths of sets of smooth functions / S. P. Sidorov // Proceedings of Int. Conf. «Constructive Theory of Functions», Sozopol-2010. In memory of Borislav Bojanov / Ed. by G. Nikolov, R. Uluchev. — Sofia: Prof. Marin Drinov Academic Publishing House, 2012. — Pp. 354-362.

128. Sidorov, S. P. Korovkin sets for sequences of shape-preserving operators / S. P. Sidorov // Int. J. of Pure and App. Math. — 2013. — Vol. 87, no. 4. — Pp. 645-656.

129. Sidorov, S. P. On the order of approximation by linear shape-preserving operators on subsets of [0,1] with positive measure / S. P. Sidorov // Int. Journal of Math. Analysis. — 2013. — Vol. 7, no. 46. — Pp. 2491-2502.

130. Sidorov, S. P. Estimates of divided differences of real-valued functions defined with a noise / S. P. Sidorov, V. Balash // Int. J. of Pure and App. Math. — 2012. — Vol. 76. — Pp. 95-106.

131. Sidorov, S. P. Conic programming approach to optimal interpolation problems in cagd / S. P. Sidorov, M. Yu. Kalmykov // Applied Mathematical Optimization and Modelling, APMOD 2012 Extended Abstracts. — Peder-born: Universitat Paderborn, 2012.— Pp. 447-450.

132. Vasiliev, R. K. Sur l'ordre d'approximation des fonctions continues par les operateurs lineaires de rang fini et de class Sm / R. K. Vasiliev // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena.— 1992. —Vol. XL. —Pp. 115-121.

133. Vasiliev, R. K. On the order of approximation of continuous functions by positive linear operators of finite rank / R. K. Vasiliev, F. Guendouz // J. Approx. Theory. — 1992. — Vol. 69, no. 2. — Pp. 133-140.

Приложение А

Пример 2. Рассмотрим X = В2 с Евклидовой нормой \ж\ = у7ж2 + х^, х = (ж^ж2). Положим А = {(ж1,ж2) Е В2 : ж1 + ж2 < 1, ж^ж2 > 0}, V = {(ж1 ,ж2) Е В2 : ж1,ж2 > 0}. Тогда ^(А П V, V)х = ^. Мы имеем -2А П V = {(0,0)} и ^(-2А П V, V)х = 0.

Пример 3. Рассмотрим X = В2 с Евклидовой нормой \ж| = \/х\+Ж,, ж = (ж1, ж2). Положим А = {(ж1, ж2) Е В2 : ж1 + ж2 < 1, ж1 + ж2 > 0}, V = {(ж1, ж2) Е В2 : ж1 < 0, ж2 < 0}. Тогда Ь(А) = {(ж1, ж2) Е В2 : ж2 + ж2 < 1}, А П V = {(0,0)}, &(А) П V = {(ж1,ж2) ЕВ2 : ж1 < 0,ж2 < 0,ж? + ж2 < 1}, и 61(Ь(А) П V, V)х = 2 - у/2, МА П V, V)х = 0.

Пример 4. Рассмотрим X = В2 с Евклидовой нормой \ж| = у^2 + ж2, ж = (ж1,ж2). Положим А = {(ж1,ж2) Е В2 : \ж1\ + \ж2\ < 1, ж1,ж2 > 0} и {(ж1,ж2) Е В2 : \ж1\ + \ж2\ < 1, ж1,ж2 < 0}, V = {(ж1 ,ж2) Е В2 : ж1 + ж2 > 0,ж1 > 0,ж2 < 0}. Тогда соА = {(жьж2) Е В2 : \ж1 + \ж2\ < 1}, А П V = {(ж1,ж2) Е В2 : 0 < ж1 < 1,ж2 = 0}, соА П V = {(ж1,ж2) Е В2 : ж1 + ж2 > 0, ж1 > 0, ж2 < 0, ж1 - ж2 < 1}, и 51(соА П V, V)х = 1/(2/2), 81(А П V, V)х = 0.

Пример 5. Рассмотрим X = В3 с Евклидовой нормой \ж| = ^/ж2 + ж2 + ж2, ж = (ж1,ж2,ж3). Положим А = {(ж1,ж2,ж3) Е В3 : \ж1\ + \ж2\ + \ж3\ < 1, ж1 ,ж2 > 0, ж3 > 0}и{(0,0,0)}, V = {(ж1,ж2,ж3) Е В3 : ж1,ж2 > 0,ж3 = 0}. Тогда А П V = {(ж1,ж2,ж3) Е В3 : ж1,ж2 > 0,ж1 + ж2 < 1, ж3 = 0}, А П V = {(0,0,0)}, и ^(А П V, V)х = 1 //2, ^(А П V, V)х = 0.

Пример 6. Рассмотрим X = В2 с Евклидовой нормой \ж| = у^2 + ж2, ж = (ж1,ж2). Положим А = V = {(ж1,ж2) Е В2 : ж1 + ж2 < 1, ж1,ж2 > 0}. Тогда ^(А П V, V)х = ¿1 («А П V, V)х = 1/(2/2) для всех а > 1.

Пусть Ь^ (Я) означает Банахово пространство всех (эквивалентных классов) функций / : Я ^ Я, интегрируемых по Лебегу вплоть до степени 2 на [-к, к] и таких, что Дх + 2к) = /(х) для почти всех х £ Я. Пространство Ь2>п(Я) наделено нормой

lfh = ¿

i

К \ 2

f2(x)dх

Пример 7. Пусть X = L^(Я), Р := span{1, cos х, sinх}, Л = {/ £ Р : II/У2 < 1} и У = {f £ L^k(Я) : f > 0}. Тогда всякий линейный оператор Ln конечного ранга п такой, что Ln(V) С V, может быть представлен в виде

n

Lnf = Е ^ ^

i=1

где ai, gi £ L22k(Я), i = 1,... ,п, есть почти всюду неотрицательные функции. Очевидно, что dn(A П V, V)¿2 (R) = 0.

Наша цель состоит в том, чтобы показать, что множество всех линейных операторов, удовлетворяющих 1) If — Lnf Ц2 = 0 для всех f £ Р; 2) Ln(V) С V, является пустым. Обозначим ht(х) = sin2 ^т. Тогда ht £ A и

к

I h+ — Ln h\\ 2 = — t n |2 2n

^ht(x) — ^(ai, ht)9i(x)^ dx = 0.

Таким образом, ^ = ^™=1()почти всюду. Из того, что ^(£) = 0 следует, что )<?«(£) = 0. Это невозможно для всех Ь £ [-к,к] в

силу того, что щ, д^ > 0 почти всюду.

Пример 8. Пусть X = Я4, \\у\\х = шахо<<з |у,\, у = (уо, у\, у2, Уз), и пусть V = Я+ есть неотрицательный октант пространства Я4. Обозначим е0(х) = 1, е 1(х) = х, е2(х) = х2, х £ Я. Для / £ С (Я) обозначим и = (/(0), Д1), Д2),/(3)). Пусть А = [I/ : f = Е?^«^, 1«2| < 1}сЯ4.

248

Рассмотрим линейный оператор L : R4 ^ R4 конечного ранга 3, определенный следующим образом

Ly = yoleo+1(9yi-8yo—ЫМ—% +Уз)Ie2, у = (Уо,У\,У2,Уз). (А-1)

Заметим, что rangeL = span{/e0, Ie1, Ie2} и размерность rangeL равна 3.

Из неравенств (Ly)¡ = у,И i = 0,1,3, следует, что Ly = у для всех у Е А. Так как \\у — Ly\\x = 0 для всех у Е А, мы имеем 63(А П V)х = 0.

Следует отметить, что оператор L, определенный выше, не удовлетворяет свойству формосохранения L(V) С V. Чтобы это показать, рассмотрим векторы у = (1,0,0,0) Е V и z = Ie0 — 11е1 + 111е2 = (1,0, — |, 0). Имеем Ly = L(z + (0, 0,1, 0)) = Lz + L(0,0,1, 0) = (1,0, — 1, 0) + (0,0, 0,0) =

(1, 0, — 1, 0) еу .

Более того, не существует линейного оператора L : R4 ^ R4 конечного ранга 3, такого, что Ly = у для всех у Е А и для которого выполнено свойство формосохранения L(V) С V.

Предположим, что такой оператор L существует. Тогда L может быть представлен в виде Ly = ^2i=0 ai(y)Ie¡. Так как L(Ie0) = Ie0, L(Ie1) = Ie1, L(Ie2) = Ie2, мы имеем

а0^0(у0) + а1в0(у1) + а2е0(уз) = ^(У2) а0в1(у0) + а1в1(у1) + а2в1(уз) = е^) (А-2)

(10^2 (у0) + а-1е2 (у1) + а2е2 (у3) = е2 (у2)

Рассмотрим вектор у* = I(у2е0 — 2у2е1 + е2). Мы имеем у* = 0, если i = 2, и у* > 0, если i = 0,1, 3.

Из (А.2) следует, что а0у* + а1у* + а2у* = 0, и, следовательно, один из коэффициентов а0,а\,а2 строго менее 0, т.е. L не является положительным и свойство L(V) С V не выполнено. Таким образом, 63(А П V,V) = 0.