Оптимизационный метод решения обратных задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Астракова, Анна Сергеевна

• Астракова, Анна Сергеевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Астракова, Анна Сергеевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Прямые и обратные задачи и методы их решения

§1.1. Прямая и обратная задача моделирования процесса

§1.2. Методы решения обратных задач

1.2.1. Прямые методы решения обратных задач

1.2.2. Оптимизационные методы решения обратных задач

§1.3. Общая постановка задачи многоцелевой оптимизации

§1.4. Метод решения

1.4.1. Общая схема алгоритма решения

1.4.2. Операторы и параметры генетического алгоритма

1.4.3. Модификация генетического алгоритма

1.5. Заключение по главе 1

Глава 2. Задача расположения датчиков, фиксирующих максимальные по амплитудам возмущения от источников за минимальное время

§2.1. Общая постановка задачи

§2.2. Постановки задач и результаты решений

2.2.1. Минимальное время обнаружения

2.2.2. Фиксация возмущений от всех источников с как можно большей амплитудой хотя бы одним датчиком конфигурации

2.2.3. Фиксация возмущений от каждого источника с как можно большей амплитудой за минимальное время

2.2.4. Точная или приближенная фиксация хотя бы одним датчиком возмущений от каждого источника с амплитудой, не меньшей с?

2.2.5 Точная фиксация хотя бы одним датчиком возмущений от каждого источника с амплитудой, не меньшей за минимальное время

2.2.6. Приближенная фиксация хотя бы одним датчиком всех возмущений с амплитудой, не меньшей б?, за минимальное время

2.2.7. Точная или приближенная фиксация по крайней мере двумя датчиками возмущений от каждого источника с амплитудой, не меньшей ¿, за минимальное время

§2.3. Заключение по главе 2

Глава 3. Задача проектирования проточной части гидротурбины с максимальным КПД и минимальными динамическими нагрузками

§3.1. Общая постановка задачи оптимизационного проектирования

проточных частей гидротурбины

3.1.1. Режимы работы гидротурбины и её универсальная характеристика

3.1.2. Критерии качества работы гидротурбины и ограничения на различных режимах её работы

§3.2. Метод решения прямой задачи

§3.3. Формирование пространства допустимых форм проточного тракта

§3.4. Критерии качества работы гидротурбины и ограничения

3.4.1. Расчет КПД гидротурбины

3.4.2. Комбинированная методика определения потерь энергии

3.4.3. Локальный критерий эффективности гидротурбины

3.4.4. Задание режима, гидродинамическое ограничение, недостаток сформулированного локально критерия эффективности

3.4.5. Глобальный критерий эффективности гидротурбины

3.4.6. Критерий минимизации динамического воздействия прецессирующего вихревого жгута

§3.5. Результаты оптимизационного проектирования

3.5.1. Эффективность спроектированных геометрий

3.5.2. Анализ спроектированной геометрии на интенсивность вихревого жгута

§3.6. Заключение по главе 3

Глава 4. Задача определения параметров трещиновато-пористой среды по замеренным временным зависимостям давления и потерь бурового раствора в скважине на основе новой модели фильтрации

§4.1. Модель плоскорадиальной фильтрации бурового раствора в

трещиновато-пористую среду с вытеснением поровой жидкости

4.1.1. Общие допущения

4.1.2. Уравнения пьезопроводности и законы Дарси модели фильтрации жидкости Гершеля-Балкли в трещиновато-пористую среду

4.1.3. Моделирование вытеснения поровой жидкости буровым раствором

§4.2. Численный метод решения прямой задачи фильтрации бурового раствора в трещиновато-пористую среду с вытеснением поровой жидкости

4.2.1. Обобщенная запись уравнений пьезопроводности

4.2.2. Неявная консервативная конечно-разностная схема для уравнения пьезопроводности

4.2.3. Решение уравнения для границы раздела бурового раствора и поровой жидкости

§4.3. Верификация численного метода решения прямой задачи и анализ

чувствительности решения

4.3.1. Плоскорадиальный фильтрационный поток упругой жидкости

4.3.2. Анализ чувствительности решения уравнений пьезопроводности 113 §4.4. Сравнение поведения решений прямых задач для ньютоновской и

неньютоновской жидкостей

§4.5. Постановка обратной задачи определения параметров трещиновато-

пористой среды

4.5.1. Данные экспериментальных замеров

4.5.2. Оптимизационная постановка обратной задачи

4.5.3. Методы решения оптимизационной задачи

§4.6. Результаты решения обратной задачи

4.6.1. Подбор параметра кт

4.6.2. Подбор параметров кт, т0т, Kvop

4.6.3. Подбор параметров kn m0ll, öq, чщп rQ

§4.7. Заключение по главе 4

Глава 5. Задача определения параметров прискважинной области по результатам каротажного зондирования

§5.1. Структура прискважинной области

§5.2. Высокочастотное индукционное каротажное изопараметрическое

зондирование (ВИКИЗ)

§5.3. Математическая модель распространения электромагнитных волн

прискважинной области

§5.5. Верификация численного алгоритма решения обратной задачи

5.5.1. Трехслойная модель прискважинной области

5.5.2. Четырёхсложная модель прискважинной области

§5.6. Заключение по главе 5

Заключение

Список сокращений

Список литературы

Приложение А

А.1. Распределение функционала для задачи с тремя слоями

А.2. Тестирование операторов рекомбинации для задачи с четырьмя

слоями

Приложение В

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизационный метод решения обратных задач»

Введение

Диссертационная работа посвящена созданию эффективного оптимизационного метода решения обратных задач, его обоснованию и приложению к актуальным задачам геофизики и гидродинамики турбин.

Актуальность работы обусловлена необходимостью совершенствования методов решения обратных задач, в значительном количестве возникающих в различных областях науки и техники. В диссертации рассмотрены четыре таких задачи. При решении первой задачи находится оптимальное расположение датчиков для обнаружения волн цунами по критериям минимизации времени обнаружения и фиксации возмущений с максимальной амплитудой. Метод решения данной задачи может быть применен для более общего случая мониторинга и своевременного обнаружения воздействия опасных природных и антропогенных факторов. От решения задачи зависит успешность работ по предупреждению и эвакуации населения, а минимизация количества устанавливаемых датчиков позволит сэкономить значительные финансовые ресурсы. В связи с этим построение функционалов, одновременная минимизация которых обеспечит выполнение указанных выше критериев, а также разработка метода решения впервые предложенной в диссертации задачи представляют значительный интерес. Вторая задача посвящена проектированию формы проточного тракта гидротурбины, удовлетворяющей более совершенному критерию эффективности её работы и впервые сформулированному критерию минимизации динамических нагрузок, вызванных прецессирующим вихревым жгутом. Актуальность этой работы обусловлена необходимостью создания новых перспективных гидротурбин с повышенными требованиями к КПД и отсутствием вибрации и шума при их работе. Третья задача заключается в определении параметров трещиновато-пористой среды в окрестности скважины по давлению в скважине и потерям бурового раствора при её бурении. Четвертая задача состоит в определении структуры прискважинной области по результа-

там высокочастотного индукционного каротажного изопараметрического зондирования. Актуальность третьей и четвертой задач напрямую связана с совершенствованием технологии нефтедобычи, так как их решение сопряжено с разработкой инструментария для определения с высокой точностью свойств породы в окрестности скважин. При решении третьей задачи была построена наиболее полная на сегодняшний день численная модель (математическая модель и численный метод для её реализации) неустановившейся фильтрации упругой жидкости Гершеля-Балкли в упругой пористой среде, позволившая максимально точно на сегодняшний день описать фильтрацию бурового раствора в трещиновато-пористую среду. При решении четвертой задачи предложена модификация генетического алгоритма нахождения экстремумов в методе оптимизационного проектирования, позволившая избегать локальные экстремумы, ускорившая сходимость и повысившая точность нахождения глобального экстремума.

Разрабатываемый в диссертации оптимизационный метод решения обратных задач и подходы к решению перечисленных задач представляются актуальными и значимыми еще в связи с тем, что они относятся к приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники в РФ и перечню критических технологий РФ [1]. Первая задача относится к разделу «Технологии мониторинга и прогнозирования состояния окружающей среды, предотвращения и ликвидации ее загрязнения» перечня. Вторая — к разделу «Технологии новых и возобновляемых источников энергии, включая природную энергетику» перечня и разделу «Энергоэффективность, энергосбережение, ядерная энергетика» приоритетных направлений. Третья и четвертая задачи — к разделу «Технологии поиска, разведки, разработки месторождений полезных ископаемых и их добычи» перечня и разделу «Рациональное природопользование» приоритетных направлений.

В связи с вышеизложенным осуществляемые в диссертации разработка оптимизационного метода решения обратных задач и решения перечисленных задач представляются актуальными и значимыми. Решение данных

проблем призвано способствовать дальнейшему развитию методологии решения обратных задач и созданию передовых технологий в перспективных областях науки и техники.

Объектом исследований диссертационной работы являются обратные задачи моделирования процессов.

Предметом исследований являются закономерности и особенности работы оптимизационного метода решения обратных задач.

Целью работы является разработка, обоснование оптимизационного метода решения обратных задач и решение следующих задач:

■ определение расположения датчиков, фиксирующих максимальные по амплитудам возмущения от источников за минимальное время;

■ проектирование проточной части гидротурбины по критериям эффективности её работы и минимизации динамических нагрузок, вызванных пре-цессирующим вихревым жгутом;

■ определение параметров трещиновато-пористой среды по замеренным временным зависимостям давления и потерь бурового раствора в скважине на основе разработанной в диссертации численной модели фильтрации;

■ определение структуры прискважинной области по результатам индукционного каротажа.

Задачи, решенные для достижения цели:

1. Модификация оптимизационного метода решения обратных задач на основе улучшенного генетического алгоритма.

2. Формулировка и обоснование новой постановки задачи оптимизационного проектирования формы лопасти гидротурбины, обеспечивающей максимальное КПД при минимальных амплитудах пульсаций давления, вызванных прецессирующим вихревым жгутом.

3. Постановка задачи расположения датчиков, фиксирующих максимальные по амплитудам волны цунами за минимальное время.

4. Создание и обоснование модели неустановившейся фильтрации жидкости Гершеля-Балкли в трещиновато-пористой среде с вытеснением поро-вой жидкости.

5. Построение абсолютно устойчивой консервативной разностной схемы для нелинейного уравнения пьезопроводности модели фильтрации и её адаптация в методе решения задачи определения параметров трещиновато-пористой среды.

6. Разработка алгоритмов решения поставленных задач и программных комплексов их реализации.

7. Верификация разработанных численных алгоритмов.

8. Решение перечисленных выше задач и анализ результатов.

Метод исследования. Основные результаты диссертации получены с применением современных методов математического моделирования, вычислительной математики, теории дифференциальных уравнений, теории оптимизации. В основу метода нахождения экстремумов функционалов положено решение прямой задачи для каждой вариации и построение улучшенных вариаций следующего поколения с помощью модифицированной стратегии генетического алгоритма, обеспечивающей сходимость к глобальному экстремуму задачи.

На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие четырем пунктам (1,3,4,5) паспорта специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам.

1. Модифицированный метод решения обратных задач на основе улучшенного генетического алгоритма и полученные по нему решения задач: расположения датчиков, фиксирующих максимальные по амплитудам возмущения от источников за минимальное время; проектирования проточной части гидротурбины по критериям эффективности её работы и минимизации динамических нагрузок, вызванных прецессирующим вихревым жгутом; определения параметров трещиновато-пористой среды по замеренным вре-

менным зависимостям давления и потерь бурового раствора в скважине; определения структуры прискважинной области по результатам индукционного каротажа.

2. Модель неустановившейся фильтрации жидкости Гершеля-Балкли в трещиновато-пористой среде с вытеснением поровой жидкости.

3. Абсолютно устойчивая консервативная разностная схема для нелинейного уравнения пьезопроводности с разрывными коэффициентами модели фильтрации.

4. Программные комплексы для решения поставленных обратных задач.

Научная новизна выносимых на защиту результатов заключается в

следующем.

Модифицированный на основе улучшенного генетического алгоритма оптимизационный метод решения обратных задач позволил найти решения новых актуальных задач.

Впервые предложены и обоснованы постановки задачи оптимального расположения датчиков, фиксирующих возмущение с максимальной амплитудой за минимальное время.

Предложена и обоснована новая постановка задачи оптимизационного проектирования проточной части гидротурбины по более совершенному критерию эффективности её работы и впервые сформулированному критерию минимизации динамических нагрузок, вызванных прецессирующим вихревым жгутом.

Построена наиболее полная на сегодняшний день модель неустановившейся фильтрации жидкости Гершеля-Балкли в трещиновато-пористой среде с вытеснением поровой жидкости и предложена новая абсолютно устойчивая консервативная разностная схема для её численной реализации.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в возможности применения её результатов (методик, алгоритмов и их программной реализации, результатов расчетов) для развития новых технологий мониторинга и прогнозирования состояния окружающей среды, созда-

ния технологий использования возобновляемых источников энергии, поиска, разведки, разработки месторождений полезных ископаемых и их добычи.

Результаты диссертационной работы используются в филиале ОАО «Силовые машины» «JIM3» (г. Санкт-Петербург), ООО «Технологическая Компания Шлюмберже» (г. Новосибирск) и National Oceanic and Atmospheric Administration Center of Tsunami Research (г. Сиэтл, США), что подтверждают приложенные в конце диссертации акты об использовании научных результатов в практической деятельности.

Достоверность и обоснованность основных результатов, полученных в диссертации, основывается на строгом математическом описании используемых численных алгоритмов, детальных методических расчетах при решении известных и рекомендуемых тестовых задач, сопоставлении результатов численных расчетов с данными экспериментов и результатами, полученными другими авторами.

Представление работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на объединенном научном семинаре ИВТ СО РАН «Информационно-вычислительные технологии (численные методы механики сплошной среды)» под руководством академика РАН Ю.И. Шокина и профессора В.М. Ковени, на научном семинаре ИВМиМГ СО РАН «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» под руководством чл.-корр. РАН С.И. Кабанихина, на научном геофизическом семинаре ИНГГ СО РАН, а также были представлены на 20 всероссийских и международных научных конференциях: Международная конференция International Workshop of Destruction (Япония, г. Йокогама, 2007); Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» XLVI, XLVII, XLVIII (Новосибирск, 2008-2010); Международная молодежная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2009, 2012, 2013); Всероссийская конференция с участием иностранных учёных «Проблемы мониторинга окружающей среды» (Кемерово, 2009); Летняя

школа для аспирантов «3rd Nordic EMW Summer School for PhD Students in Mathematics» (Финляндия, г. Турку, 2009); Международная конференция International Tsunami Symposium, (Новосибирск, 2009); Международная конференция по математическому моделированию (Якутск, 2011), Третья научно-техническая конференция «Проблемы комплексного геофизического мониторинга Дальнего Востока России» (Петропавловск-Камчатский, 2011); Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко (Новосибирск, 2011); Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2011, 2012), Всероссийская научная конференция с международным участием «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2012), Летняя школа Gene Golub SIAM Summer School (США, г. Монтерей, 2012, Китай, г. Шанхай, 2013), VI Всероссийская школа-семинар по электромагнитным зондированиям земли имени М.Н. Бердичевского и Л.Л. Ваньяна (Новосибирск, 2013), Международная конференция High Performance Computing (Украина, г. Киев, 2013); а также на научных встречах финалистов конкурса Google Anita Borg (Швейцария, г. Цюрих, 2008-2010).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 28 печатных работах, в том числе (в скобках в числителе указан общий объём этого типа публикаций, в знаменателе - объем принадлежащий лично автору) 5 статей в изданиях рекомендованных ВАК [2-6] для представления основных результатов диссертации на соискание ученой степени доктора или кандидата наук (9.44/5.7), 8 - в трудах международных и всероссийских конференций [7-14] (8.63/4.9), 2 - в свидетельствах о регистрации программ [15-16], 13 - в тезисах международных конференций [17-29] (1.19/0.65).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№08-01-00364-а, №11-01-00475-а), Президиума

СО РАН (Интеграционный проект СО РАН №130), Новосибирского технологического центра компании «Шлюмберже».

Личный вклад автора. Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. В работах, опубликованных в соавторстве, личный вклад автора заключается в обсуждении постановок задач и выбора метода их решения, в разработке и усовершенствовании алгоритмов и компьютерных программ, их верификации, численном моделировании, создании программно-методического обеспечения, проведении численных экспериментов и оптимизационных расчетов с использованием разработанных программ и интерпретации результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация общим объемом 157 страниц состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений, списка сокращений и списка литературы, включающего 78 наименований. Диссертация содержит 68 рисунков и 25 таблиц.

Содержание работы. Во введении обоснована актуальность выбранной темы исследований, формулируются объекты и предметы исследования, излагаются цель работы и задачи, которые необходимо решить для её достижения, указаны методы их решения, охарактеризована научная новизна и практическая значимость работы, дано ее краткое содержание. Формулируются основные положения, выносимые на защиту.

Глава 1 посвящена анализу известных оптимизационных методов решения обозначенных во введении классов обратных задач и построению модифицированного метода на основе генетического алгоритма.

В §1.1 определяются прямые и обратные задачи моделирования абстрактных процессов, а затем введенные понятия конкретизируются для указанных в цели работы четырех задач.

В §1.2 рассматриваются два класса методов решения обратных задач: прямые и оптимизационные методы. Последние в работе называются методами оптимизационного проектирования. Обосновывается использование метода оптимизационного проектирования для решения сформулированных

четырех обратных задач. Анализируются методы решения оптимизационных задач, которые подразделяются на детерминированные и стохастические методы. Характерными представителями первого класса методов являются градиентные методы, развиваемые в работах С.И. Кабанихина, А.Л. Карчевского [30-32], А.Ф. Латыпова, Ю.В. Никуличева [33, 34] и др. Метод градиентного спуска применялся для решения задачи оптимизационного проектирования лопасти гидротурбины [35]. Задача определения структуры прискважинной области по результатам индукционного каротажного зондирования решалась как оптимизационная с использованием детерминированного метода деформируемых многогранников (Нелдера-Мида) М.И. Эповым, И.Н. Ельцовым [38, 39] и другими авторами. Классические градиентные методы спуска подходят для решения задач с непрерывными функционалами и малым числом варьируемых параметров. Методы Нелдера-Мида недостаточно надежно отыскивают глобальные экстремумы функционалов. Задача расположения датчиков своевременного обнаружения волн цунами решалась в [36] как частично оптимизационная: фиксировались шесть возможных мест их расположения, а затем в них помещались датчики от одного до шести и определялось максимальное время обнаружения волны от источников их генерации. Если датчиков было меньше шести, осуществлялся ручной перебор их возможных расположений в шести заданных местах. То есть минимизации времени обнаружения по местам расположения датчиков не проводилось. Постановка и решение обратной задачи фильтрации жидкости Гершеля-Балкли в трещиновато-пористой среде, предлагаемые в диссертации, являются новым результатом.

Стохастические оптимизационные методы получили в последнее время более широкое распространение, чем детерминированные, так как в них не требуется гладкость целевых функционалов, они обладают способностью не останавливаться в локальных экстремумах и применяются для решения многокритериальных задач. Среди стохастических методов наиболее приемлемым для решения методом оптимизационного проектирования обозначен-

ных в §1.1 четырех обратных задач является эволюционный генетический алгоритм. Он осуществляет поиск оптимального решения, одновременно анализируя множество текущих наборов параметров, называемых индивидуумами, которые эволюционируют на протяжении многих поколений в соответствии с предписанными правилами. Необходимость большого числа вычислений целевых функционалов компенсируется возможностью параллельного расчета. Генетический алгоритм успешно применялся для решения задачи оптимизационного проектирования рабочего колеса гидротурбины [37]. Поэтому модифицированный его вариант используется в диссертационной работе для решения этой же задачи, но с новыми улучшенными критериями. Также он применяется для решения остальных рассмотренных в работе обратных задачи.

В §1.3 ставится оптимизационная задача, обобщающая все четыре рассмотренные в диссертации обратные задачи. В общем случае требуется найти вектор параметров, обеспечивающий минимумы функционалам при наличии фазовых и целевых ограничений. В §1.4 предлагается схема решения этой задачи. Сначала случайным образом формируется начальное поколение индивидуумов. Затем для каждого индивидуума поколения решается прямая задача, проверяется степень выполнения требуемых характеристик и создается улучшенное поколение на основе операций генетического алгоритма. Далее цикл повторяется, пока не будет достигнута сходимость к оптимальному фронту Парето.

Операторы селекции и рекомбинации генетического алгоритма играют ключевую роль при создании нового поколения индивидуумов, максимально приближенного к индивидуумам фронта Парето. На основе многочисленных расчетов, проведенных в диссертационной работе, установлена зависимость параметра селекции от размера поколения в операторе селекции, формирующем множество наилучших родительских индивидуумов текущего поколения, которые будут участвовать в создании следующего поколения. Отбор

наилучших индивидуумов проводится с помощью функции качества, выстраиваемой по рангу индивидуума и учитывающей ограничения.

В диссертации модифицирован оператор рекомбинации, который по двум индивидуумам, случайно выбранным лучших индивидуумов предыдущего поколения, формирует индивидуум нового поколения. В отличие от ранее использовавшегося оператора [37], в котором новый индивидуум случайным образом выбирался из окрестности с центром, расположенным ровно посередине между родительскими индивидуумами, в модифицированном операторе центр окрестности смещен к индивидууму, имеющему наименьшую функцию качества.

Модифицированный таким образом оптимизационный метод при решении обратной задачи о структуре прискважинной области позволил найти глобальный минимум задачи, который не определялся алгоритмом без модификации. Кроме того, в задачах, где алгоритм без модификации позволял найти точное решение, новый алгоритм работает в 5 раз быстрее. Несмотря на элементы случайности в формировании начального и последующих поколений, модификация обеспечила стабильность нахождения глобального минимума при каждом запуске оптимизационного расчета.

В Главе 2 ставится и решается многоцелевая оптимизационная задача расположения заданного числа датчиков для наискорейшего обнаружения волн цунами с максимальной амплитудой.

В §2.1 даются общая и математическая постановки задачи. Вводятся понятия множества источников волн цунами и конфигурации заданного числа датчиков. Источники возмущений и датчики располагаются в подобласти плоской акватории с переменной глубиной дна. Требуется определить конфигурацию, которая позволяет за минимальное время обнаружить возмущения от любого источника с как можно большей амплитудой. Критерии, обеспечивающие выполнение необходимых требований, формулируются как условия минимизации функционалов оптимизационной задачи. Вектору па-

раметров в оптимизационной задаче отвечает конфигурация с набором координат датчиков.

В §2.2 строятся функционалы и ограничения оптимизационной задачи. Минимальное время добегания волны цунами от источника до датчика определяется с использованием длинноволнового приближения для локальной скорости распространения возмущения. Гарантированное время обнаружения конфигурацией возмущения, возникающего в любом из источников берется в качестве первого функционала. Второй функционал отвечает за максимизацию амплитуды улавливаемых возмущений. Полагается, что каждый из рассмотренных в настоящей работе очагов цунами Курило-Камчатской акватории имеет типичное для этой зоны начальное смещение поверхности дна, возникающее вследствие землетрясения магнитудой 7.5 с характерным сейсмическим механизмом. При этом порождается «эталонная» волна, эволюция которой рассчитывается на основе модели мелкой воды. По полученной зависимости формы волны от времени на достаточно большом временном интервале строится профиль, огибающий сверху эту зависимость, который дает амплитуду возмущения от источника в точках акватории. Далее строится функционал для нахождения конфигурации датчиков, обнаруживающей возмущения с как можно большей амплитудой хотя бы одним датчиком. Формулируются критерии точного и приближенного определения хотя бы одним или хотя бы двумя датчиками возмущений от каждого источника с амплитудой, не меньшей заданного порога. На тестовых задачах проводится верификация созданных алгоритмов. Для Алеуто-Аляскинской области возникновения волн цунами найдено расположение трех датчиков, уменьшающее время гарантированного обнаружения волн по сравнению с реально установленными глубоководными датчиками предупреждения о цунами в два раза. Для Курило-Камчатской акватории найдено минимальное число датчиков, при котором гарантированное время обнаружения возмущений остается одинаковым для постановок задачи с ограничением снизу на порог амплитуды возмущений и без него.

Глава 3 посвящена оптимизационному проектированию проточного тракта гидротурбины по критериям эффективности её работы и минимизации динамических нагрузок, вызванных прецессирующим вихревым жгутом за рабочим колесом.

В §3.1 вводятся понятия, характеризующие течение в проточном тракте гидротурбины, и определяются режимы работы гидротурбины набором параметров: напора, частоты вращения рабочего колеса, расхода воды. Приводится важный инструментарий проектирования гидротурбины - универсальная характеристика, содержащая линии уровней КПД гидротурбины и линии постоянного открытия направляющего аппарата в плоскости приведенных переменных расхода и частоты вращения рабочего колеса. На универсальной характеристике задаются режимы работы гидротурбины, после чего формулируется многорежимная и многоцелевая задача оптимизационного проектирования формы проточного тракта: отыскание таких геометрий проточного тракта, которые на заданных режимах работы гидротурбины удовлетворяли бы соответствующим наборам критериев качества и целевых ограничений.

В §3.2 описывается численный метод решения прямой задачи расчета стационарного течения несжимаемой жидкости в направляющем аппарате и рабочем колесе гидротурбины. Метод обладает высокой разрешающей способностью, абсолютной устойчивостью и экономичностью [37]. В диссертационной работе расчет течения проводится в одном межлопаточном канале направляющего аппарата и в одном межлопастном канале рабочего колеса при предположении циклической повторяемости течений в остальных каналах. Используется более совершенная постановка условий во входном и выходном сечениях исследуемой области: в них задаются полные энергии потоков, связанные фиксированным напором. Это позволяет правильно определять расход для данной геометрии, который заранее неизвестен. Параметризация формы рабочего колеса для варьирования его проточного тракта и формирования пространства допустимых геометрий проводится в §3.3.

Новые критерии качества и гидродинамические ограничения оптимизационной задачи строятся в §3.4. Поскольку режим работы гидротурбины, на котором проводится оптимизация её формы, задается открытием направляющего аппарата и расход при новой постановке условий во входном и выходном сечениях может при решении прямой задачи отклоняться от режимного, то в качестве гидродинамического ограничения формулируется условие изменения расхода в допустимой окрестности режимного значения. При этом прежний критерий эффективности [37] становится неприемлемым из-за отбора им в следующее поколение вариаций геометрии с КПД, незначительно превосходящими КПД прототипа, но с расходами отличными от режимного. Так как при новом расходе КПД у прототипа может возрасти, то КПД вариации может оказаться недостаточным. Поэтому предложен новый критерий эффективности гидротурбины, который учитывает зависимость КПД прототипа от расхода, и в случае отклонения расхода у вариаций критерий будет отбирать только такие из них, которые обладают КПД превосходящим КПД прототипа при данном отклоненном от режимного расходе. В процессе оптимизационного проектирования непосредственно оценивать величину амплитуды пульсаций давления, вызванных прецессирующим вихревым жгутом, для каждой вариации геометрии невозможно в силу значительных затрат времени на решение прямой задачи в нестационарной постановке. Однако предварительно проведенные многочисленные расчеты прямых задач показали, что чем сильнее возрастает при приближении к втулке рабочего колеса осреднённая в окружном направлении осевая составляющая скорости, тем меньше становится амплитуда пульсаций давления, вызванных жгутом. На основании этого в диссертации сформулирован косвенный критерий минимизации динамического воздействия жгута: линейная аппроксимация зависимости осевой скорости от радиальной координаты должна возрастать к оси рабочего колеса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Астракова, Анна Сергеевна, 2014 год

Список литературы

1. Об утверждении приоритетных направлений развития науки, технологий и техники в Российской Федерации и перечня критических технологий Российской Федерации: Указ Президента Рос. Федерации от 7 июля 2011 г. № 899 // Собр. законодательства Рос. Федерации. - 2011. -№ 28. — Ст. 4168.

2. Астракова, A.C. Применение генетического алгоритма к задаче оптимального расположения датчиков / A.C. Астракова, Д.В. Банников, М.М. Лаврентьев (мл), С.Г. Черный // Вычислительные технологии. -2009. - Т. 14. - № 5. - С. 3-17.

3. Астракова, A.C. Математическая модель своевременного обнаружения воздействия опасных факторов на природу/ A.C. Астракова, Д.В. Банников, М.М. Лаврентьев (мл), С.Г. Черный // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2009. - Вып: 17. «Кузбасс 2». - С. 45-49.

4. Астракова, A.C. Модель фильтрации вязкопластической жидкости в задаче определения параметров трещиновато-пористой среды / A.C. Астракова, В.Н. Лапин, С.Г. Черный, O.A. Алексеенко // Вестник НГУ. Серия: Информационные технологии. - 2013. - Т. 11, №2, -С. 18-35.

5. Астракова, A.C. Расположение датчиков для своевременного обнаружения волн цунами с максимальной амплитудой / A.C. Астракова, М.М. Лаврентьев (мл), С.Г. Черный // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. - 2013. - Т. 3, № 4. - С. 73-94.

6. Астракова, A.C. Численные методы оптимизационного проектирования проточных частей гидротурбин / A.C. Астракова, Д.В. Банников, С.Г. Черный, Д.В. Чирков // Вычислительные технологии. - 2014. -Т. 19. - № 1. - С. 20-39.

7. Lavrentiev, М.М. Jr. Optimal sensor network on example: fast tsunami wave detection / M.M. Jr. Lavrentiev, S.G. Cherny, D.V. Bannikov,

A.S. Astrakova // Intern. Workshop of Destruction: conference proceedings.

- СОЕ, Keio Univercity, Yokohama, Japan, 2007. P. 13-28.

8. Astrakova, A.S. The determination of the optimal sensors' location using genetic algorithm / A.S. Astrakova, D.V. Bannikov, S.G. Cherny, M.M. Jr. Lavrentiev // 3rd Nordic EWM Summer School for PhD Students in Mathematics: conf. proceedings. - TUCS General Publication, University of Turku, Finland, 2009. - № 53. - P. 5-22.

9. Астракова, А.С. Расположение датчиков для своевременного обнаружения волн цунами с их амплитудной фильтрацией [Электронный ресурс] / А.С. Астракова, Д.В. Банников, М.М. Лаврентьев (мл), С.Г. Черный // Межд. конф. "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященной 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко: труды конференции. - Новосибирск.

- 2011. - http: //conf.nsc.ru/files/conferences/niknik-90/ fulltext /37246 / 45269/Astrakova.pdf

10. Астракова, А.С. Метод оптимизационного расположения датчиков регистрации возмущений с заданным порогом амплитуды за минимальное время / А.С. Астракова, Д.В. Банников, М.М. Лаврентьев (мл), С.Г. Черный // Третья научно-техническая конференция «Проблемы комплексного геофизического мониторинга Дальнего Востока России»: труды конференции. - Обнинск: ГС РАН, 2011. - С. 430-434.

11. Астракова, А.С. Численная модель фильтрации бурового раствора с вытеснением поровой жидкости в задаче определения параметров среды [Электронный ресурс] / А.С. Астракова, В.Н. Лапин, С.Г. Черный // XIII Всерос. конф. молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям: труды конф. — Новосибирск: ИВТ СО РАН, 1996 - 2013. - http://conf.nsc.ru/files/ conferences/ym2012/fulltext /137871 /139437/AstrakovaAS proceedings.pdf

12. Астракова, А.С. Учет вытеснения поровой жидкости при моделировании утечек бурового раствора для определения параметров породы /

А.С. Астракова, В.Н. Лапин, С.Г. Черный //XI Всерос. научная конф. с международным участием «Краевые задачи и математическое моделирование»: труды конференции. - Новокузнецк. - 2012. - С. 16-25.

13. Avdyushenko, A. High-perfomance computations in problems of simulation and optimization of turbine hydrodynamics / S. Cherny. A. Astrakova, D. Chirkov, A. Lyutov // Third International Conference "High Performance Computing" HPC-UA 2013: conf. proceedings. - Ukraine, Kiev, 2013. - P. 28-35. - http://hpc-ua.orK/hpc-ua-13/files/proceedings/ 5.pdf .

14. Астракова, А.С. Оптимизационный метод определения структуры при-скважинной области по результатам каротажного зондирования [Электронный ресурс]/ А.С. Астракова, С.Г. Черный //VI Всерос. школа-семинар по электромагнитным зондированиям земли имени М.Н. Бер-дичевского и Л.Л. Ваньяна - ЭМЭ-2013: труды конференции [Офиц. сайт]. 02.09.2013 г. URL: http://ems2013.ipgg.sbras.ru/

15. Черный, С.Г. Программа оптимизационного проектирования рабочего колеса и отсасывающей трубы гидротурбины CADRUN-opt/2013 / С.Г. Черный, Д.В. Чирков, В.Н. Лапин, А.С. Астракова // Свид. о гос. per. прогр. для ЭВМ. Per. № 2013611575. Роспатент.

16. Черный, С.Г. Программа расчета напряженно-деформированного состояния произвольного упругого тела методом граничных элементов CADBEM/2013 / С.Г. Черный, Д.В. Есипов, В.Н. Лапин, Д.С. Курана-ков, А.С. Астракова // Свид. о гос. per. прогр. для ЭВМ. Per. № 2013811577. Роспатент.

17. Астракова, А.С. Решение задачи оптимального расположения сенсоров методом генетического алгоритма / А.С. Астракова // 46-й Международной Научно-Студенческой Конференции: материалы конф. - Новосибирск, НГУ. - 2008. - С. 114-115.

18. Lavrentiev, М.М. Jr. Optimal location of deep-sea detectors providing minimal registration time of tsunami wave / M.M. Jr. Lavrentiev, S.G. Cher-

ny, D.V. Bannikov, A.S. Astrakova // Geophysical Research Abstracts. -Vienna, Austria. - 2008. - Vol. 10. - P. 2-3.

19. Astrakova, A.S. The method to find location of sensors providing the fastest tsunami wave detection / A.S. Astrakova, D.V. Bannikov, S.G. Cherny, M.M. Jr. Lavrentiev //24 International Tsunami Symposium: conference proceedings. - 2009. - P. 64.

20. Астракова, A.C. Метод генетической оптимизации решения обратных задач / A.C. Астракова // 47-й Международной Научно-Студенческой Конференции: материалы конф. - Новосибирск, НГУ. - 2009. - С. 117.

21. Астракова, A.C. Численный метод решения обратных задач на основе генетического алгоритма/ A.C. Астракова, Д.В. Банников, М.М. Лаврентьев (мл), С.Г. Черный // Молодёжная международная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач»: тезисы докладов. - 2009. - С. 18-19.

22. Астракова, A.C. Оптимизационное проектирование проточной части гидротурбины / A.C. Астракова // 48-й Международной Научно-Студенческой Конференции: материалы конф. - Новосибирск, НГУ. -2010. - С. 234.

23. Астракова, A.C. Расположение датчиков для своевременного обнаружения волн цунами с их амплитудной фильтрацией / A.C. Астракова, Д.В. Банников, М.М. Лаврентьев (мл), С.Г. Черный // Межд. конф. «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко: тезисы докладов. — 2011. — С. 35.

24. Астракова, A.C. Численный метод определения конфигурации датчиков, регистрирующей возмущения с заданным амплитудным порогом за минимальное время / A.C. Астракова, Д.В. Банников, М.М. Лаврентьев (мл), С.Г. Черный //VI Международная конференция по математическому моделированию: тезисы докладов. - Якутск. - 2011. - С. 117-119.

25. Астракова, A.C. Математическая модель обнаружения возмущений с заданным амплитудным порогом за минимальное время / A.C. Астракова, Д.В. Банников, М.М. Лаврентьев (мл), С.Г. Черный // XII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным: тезисы докладов. - Новосибирск. - 2011. -С. 50-51.

26. Астракова, A.C. Определение свойств трещиновато-пористой среды на основе решения обратной задачи с использованием модели фильтрации вязкопластической жидкости //IV Международная молодежная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач»: тезисы докладов. - Новосибирск. - 2012. -С. 20.

27. Астракова, A.C. Численная модель фильтрации бурового раствора с вытеснением поровой жидкости в задаче определения параметров среды/ A.C. Астракова, В.Н. Лапин, С.Г. Черный // XIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям: тезисы докладов. - Новосибирск. -2012. - С. 55.

28. Астракова, A.C. Учет вытеснения поровой жидкости при моделировании утечек бурового раствора для определения параметров породы / A.C. Астракова, В.Н. Лапин, С.Г. Черный // XI Всероссийская научная конференция с международным участием «Краевые задачи и математическое моделирование»: тезисы конф. -Новокузнецк. - 2012. - С. 3.

29. Астракова, A.C. Оптимизационный метод решения обратных задач / A.C. Астракова, Д.В. Банников, В.Н. Лапин, С.Г. Черный, Д.В. Чирков // Тезисы докладов международной научной конференции посвященной 85-летию со дня рождения академика А. С. Алексеева «Методы создания, исследования и идентификации математических моделей»: тезисы конф. - Новосибирск. - 2013. - С. 16.

30. Кабанихин, С. И. Обоснование метода наискорейшего спуска в интегральной постановке обратной задачи для гиперболического уравнения / С. И. Кабанихин, К. Т. Искаков // Сиб. матем. журн. -2001. - Т. 42, № 3. - С. 567-584.

31. Kabanikhin, S. Gradient-type methods in inverse parabolic problems / S. Kabanikhin, A. Penenko // Journal of Physics: Conference Series. - 2008.

- Vol. 135. - P. 1-7.

32. Карчевекий, A.JI. Корректная схема действий при численном решении обратной задачи оптимизационным методом/ А.Л. Карчевекий // Сиб. журн. вычисл. математики. - 2008.- Т. 11. - С. 139-149.

33. Латыпов, А.Ф. Специализированный комплекс программ оптимизации/ А.Ф. Латыпов, Ю.В. Никуличев // Препр. ИТПМ АН СССР №15-85. -Новосибирск. - 1985. - 41 с.

34. Латыпов, А.Ф. О решении экстремальных задач с ограничениями / А.Ф. Латыпов // Изв. СО АН СССР, серия технических наук. - 1974. -Вып. 3, №13. - С. 49-50.

35. Лобарева, И.Ф. Об одном подходе к оптимизации формы лопасти гидротурбины / И.Ф. Лобарева, В.А. Скороспелов, П.А. Турук, С.Г. Черный, Д.В. Чирков // Вычислительные технологии. - 2005. - Т. 10, № 6.

- С. 52-73.

36. Braddock, R. D. Network properties of DEEP-SEA tsunami detectors / R.D. Braddock // 22nd IUGG Intern. Tsunami Symposium, Chania, 2005. -P. 43-48.

37. Банников, Д.В. Оптимизационное проектирование формы проточной части гидротурбины и анализ течения в ней / Д.В. Банников, С.Г. Черный, Д.В. Чирков, В.А. Скороспелов, П.А. Турук // Вычислительные технологии. - 2010. - Т. 15, № 5. - С. 73-94.

38. Эпов М.И. Прямые и обратные задачи индуктивной геоэлектрики в одномерных средах / М.И. Эпов, И.Н. Ельцов // Препринт №2 ОИГГМ СО РАН. - Новосибирск. - 1992. - 31 с.

39. Эпов М.И. Автоматизированная интерпретация электромагнитных зондирований/ М.И. Эпов, Ю.А. Дашевский, И.Н. Ельцов // Препринт №7 ИГиГ СО АН СССР. - Новосибирск. - 1990. - 29 с.

40. Eisinger, R. Automatic shape optimization of hydro turbine components based on CFD / R. Eisinger, A. Ruprecht // TASK Quarterly. - 2001. -Vol. 6. - P. 101-111.

41. Debeissat, F. Multicriteria optimization: viscous fluid analysis - mechanical analysis / F. Debeissat, F. Mazzouji, M. Couston, L. Ferrando et al. // Proc. of 22nd IAHR Symp. On Hydraulic Machinery and Systems. - 2004. -P. 1-10.

42. Thum, S. Optimization of Hydraulic Machinery Bladings by Multilevel CFD Techniques / S. Thum, R. Schilling // International Journal of Rotating Machinery. - 2005. - Vol. 2. - P. 161-167.

43. Бойко, А.В. Аэродинамический расчет и оптимальное проектирование проточной части турбомашин / А.В. Бойко, Ю.Н. Говорущенко, С.В. Ершов, А.В. Русанов, С.Д. Северин. - Харьков: НТУ «ХПИ». -2002. - 356 с.

44. Marjavaara, B.D. Response surface-based shape optimization of a Francis draft tube / B.D. Marjavaara, T.S. Lundstrom // International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow. - 2007. - Vol. 17, Issue 1. -P. 34-45.

45. Rogalsky, T. Differential Evolution in Aerodynamic Optimization / T. Ro-galsky, R.W. Derksen, S. Kocabiyk // Proc. of 46th Annual Conference of the Canadian Aeronautics and Space Institute. - 2007. - P. 29-36.

46. Kim, H. Image Reconstruction using Simulated Annealing Algorithm in Е1Т/ H. Kim, Ch. Boo, Y. Lee // International Journal of Control, Automation, and Systems. - 2005. - Vol. 3, No. 2. - P. 211-216.

47. Parsopoulos, K.E. Unified particle swarm optimization for solving constrained engineering optimization problems / K.E. Parsopoulos,

F.M.N. Vrahatis // Advances in Natural Computation. Springer. - 2005. -P. 582-591.

48. Черный, С.Г. Численное моделирование течений в турбомашинах / С.Г. Черный, Д.В. Чирков, В.Н. Лапин и др. - Новосибирск: Наука, 2006. - 202 с.

49. Enomoto, Y. Design optimization of Francis turbine runner using multi-objective genetic algorithm / Y. Enomoto, S. Kurosawa, T. Suzuki // Proc. of 22nd IAHR Symp. on Hydraulic Machinery and Systems. - 2000. - P. 1-10.

50. Holland, J.H. Adaptation in Natural and Artificial Systems / J.H. Holland. - MI: MIT Press, 1975.

51. Goldberg, D.E Genetic algorythms in search, Optimization and Machine Learning / D.E. Goldberg. - Addison-Wesley P.C. - 1989.

52. Fonseca, C.M. Genetic algorithm for multiobjective optimization: formulation, discussion and generalization / C.M. Fonseca, P.J. Fleming // Proc. 5th Intern. Conf. on Genetic Algorithms. - 1993. - P.416-423.

53. Fonseca, C.M. An overview of evolutionary algorithms in multiobjective optimization/ C.M. Fonseca, P.J. Fleming // Evolutionary Computation. -1995. - 3, N. 1. - P. 1-16.

54. Банников, Д.В. Оптимизационное проектирование формы проточной части гидротурбины и анализ течения в ней / Д.В. Банников, С.Г. Черный, Д.В. Чирков, В.А. Скороспелов, П.А. Турук // Вычислительные технологии. - 2010. - Т. 15, № 5. - С. 73-94.

55. Lipej, A. Design of Kaplan runner using multiobjective genetic algorithm optimization / A. Lipej, C. Poloni // Journal of Hydraulic research. - 2000. -Vol. 38, m. - P.73-79.

56. Nakano, M. Path of propagation of tsunami waves / M. Nakano // Marine Geodesy. - 1978. - Vol. 1. - P. 331-346.

57. Карев, В.Ю. Методы расчета карт изохрон. Методы интерпретации экспериментальных данных и численные расчеты / В.Ю. Карев, А.Н. Судаков, Л.Б. Чубаров. - Красноярск: КрасГУ. - 1987. - С. 75-81.

58. Шокин, Ю.И. Вычислитльный эксперимент в проблеме цунами. / Ю.И. Шокин, Л.Б.Чубаров, Ан.Г. Марчук, К.В. Симонов. - Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние. - 1989. - 168 с.

59. Marchuk, An.G. A method for determination of wave rays in non-homogeneous media / An.G. Marchuk // Math. Modelling in Geophysics: Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. - 2005. - Vol. 10. - P. 5158.

60. Ламб, Г. Гидродинамика. - M.: ОГИЗ, 1947. - 930 с.

61. Harik, G. The gambler's ruin problem, genetic algorithms, and the sizing of populations / G. Harik, E. Cantu-Paz, D. Goldberg, B. L. Miller // Proc. Of the 4th Intern.Conf. on Evolutionary Computation, New York: IEEE Press. - 1997. - P. 7-12.

62. Deb, K. Multi-Objective Optimization using Evolutionary Algorithms / K. Deb. - L.: John Wiley&Sons, 2002. - 497 p.

63. Cantu-Paz, E. Efficient and accurate parallel genetic algorithms / E. Cantu-Paz. - Boston: Kluwer Academic Publishers, 2000.

64. Лаврентьев, M. M. Решение обратных задач для оценки опасности цунами / М. М. Лаврентьев, Ан. Г. Марчук, К. В. Симонов // Межд. конференция "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика": труды конференции. - Новосибирск. - 2011. - http://conf.nsc.ru/files/conferences/niknik-90/fulltext/ 40195/47512/ Lavrentiev_extended abstracts.pdf

65. Lavrentiev, M. Modern Hardware to Simulate Tsunami Wave Propagation / M. Lavrentiev, A. Romanenko //Automation, Control, and Information Technology - ACIT 2010. - 2010. - P. 151-157.

66. Pilev, I. M. Multiobjective optimal design of runner blade using efficiency and draft tube pulsation criteria / I.M. Pilev, A.A. Sotnikov, V.E. Rigin, A. V. Semenova, S.G. Cherny at al. // 26th IAHR Symposium on Hydraulic Machinery and Systems: proceedings of symp. (Beijing, China, 19-23 August 2012). - Beijing. - 2012. - P. 1-8.

67. Пылев, И.М. Оптимизационное проектирование проточных частей гидротурбин / И.М. Пылев, А.К. Малышев, С.Г. Черный, В.А. Скороспелов // Тяжелое машиностроение. - 2007. - №4. - С. 10-13.

68. Банников, Д.В. Оптимизационное проектирование ротора гидротурбины по критериям эффективность-прочность / Д.В. Банников, Д.В. Есипов, С.Г. Черный, Д.В. Чирков // Теплофизика и аэромеханика. - 2010. -Т. 17, № 4. - С. 651-658.

69. Банников, Д.В. Оптимизационное проектирование лопасти гидротурбины, обеспечивающей минимальные динамические нагрузки на конструкцию/ Д.В. Банников, С.Г. Черный, Д.В. Чирков, В.А. Скороспелов, П.А. Турук // Межд. конференция "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященной 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко: труды конференции. - Новосибирск. - 2011. - http://conf.nsc.ru/files/conferences/ niknik-90/fulltext/37922/47393 /tezis bannikov extended.pdf

70. Дрейпер, Н. Прикладной регрессионный анализ / Н. Дрейпер, Г. Смит. - Издательский дом "Вильяме", 2007. - 912 с.

71. Басниев, К.С. Подземная гидромеханика / К.С. Басниев, И.Н. Кочина, В.М. Максимов. - М.: Недра, 1993. - 416 с.

72. Басниев, К.С. Нефтегазовая гидромеханика: Учебное пособие для вузов/ К.С. Басниев, Н.М. Дмитриев, Г.Д. Розенберг. - Москва.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. - 544 с.

73. Wang, S. Experimental and theoretical investigation of the Zaoyuan field heavy oil flow through porous media/ S. Wang, Y. Huang, F. Civan // Journal of Petroleum Science and Engineering, 2006. - Vol. 50. - P. 83-101.

74. Yan, M. Fractal analysis of Herschel-Bulkley fluid flow in porous media / M. Yan, B. Yu, J. Lu, W. Zheng // International Journal of Heat and Mass Transfer, 2010. - Vol. 53. - P. 3570-3574.

75. Баренблатт, Г.И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа/ Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. - М.: Недра, 1972. - 288 с.

76. Каханер, Д. Численные методы и математическое обеспечение. Пер. с англ. / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. - М.: - Мир, 1998. - 575 с.

77. Ельцов, И.Н. Технология исследования нефтегазовых скважин на основе ВИКИЗ. Методическое руководство / И.Н. Ельцов, С.С. Жмаев, А.Н. Петров и др. / Ред. Эпов М.И., Антонов Ю.Н. Новосибирск: НИЦ ОИГГМ СО РАН, 2000. - 122 с.

78. Эпов, М.И. Система одномерной интерпретации данных высокочастотных индукционных каротажных зондирований / М.И. Эпов, М.Н. Ни-китенко // Геология и геофизика, 1993. - № 2. - С. 124-130.