Совмещенная математическая модель уравнений Максвелла с уравнениями упруго-пористых сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Имомназаров, Холматжон Худайназарович

• Имомназаров, Холматжон Худайназарович
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Имомназаров, Холматжон Худайназарович

Введение

Глава I. Феноменологическая модель движения идеально проводящей жидкости в пористой упругодеформируемой среде

1. Динамические уравнения идеальной модели

2. Малые колебания идеально проводящей жидкости в пористой среде, находящейся в однородном магнитном поле

3. Алгебраическая связь между проводимостями упругого пористого тела и жидкости для малых значений пористости

Глава II. Диссипативная модель движения проводящей жидкости в пористой упругодеформируемой среде

1. Уравнения для модели среды с трением, вязкостью и конечной проводимостью

2. Затухание поперечных звуковых волн

3. Уравнения движения распространения сейсмоэлектрических и электросейсмических процессов в пористых средах.

4. Использование скважинных электросейсмических измерений для обнаружения и описания трещиноватых (проницаемых) зон.

4.1 Модифицированный закон Дарси с учетом плотности электрического тока

4.2 Распределение порового давления, порожденного волной Стоили, в скважине и околоскважинном пространстве

4.3 Распределение электрического поля, порожденного волной Стоили, в скважине и околоскважинном пространстве

4.4 Численное моделирование и сравнение результатов с экспериментальными данными для скважинных наблюдений

Глава III. Прямые задачи для уравнений проводящих поводящих пористых сред (случай учета электрического поля)

6. Совмещенная одномерная обратная задача для уравнений проводящих пористых сред (случай учета магнитного поля)

Глава V. Численное решение совмещенных одномерных обратных задач для уравнений проводящих пористых сред

1. Численное определение проводимости упругого пористого тела и жидкости, а также физической плотности упругого пористого тела.

2. Численное определение проводимости упругого пористого тела и жидкости, а также коэффициента трения

3. Численные эксперименты

4. Численное решение совмещенной одномерной обратной задачи для уравнений проводящих пористых сред (случай продольных волн)

4.1 Численное определение проводимости упругого пористого тела и жидкости, а также скорости второй продольной волны.

4.2 Численные эксперименты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Совмещенная математическая модель уравнений Максвелла с уравнениями упруго-пористых сред»

Исследование процессов фильтрации жидкостей в электропроводящих пористых, трещиноватых средах в гидромеханике представляет теоретический и прикладной интерес и вызывает значительные трудности при построении дифференциальных уравнений, описывающих процессы переноса. Упомянутые вопросы приобретают особую актуальность в задачах прогноза землетрясений и в разработке технологий повышения отдачи нефтяных пластов. Для определения конкретных направлений исследования этих вопросов целесообразно рассмотреть состояние экспериментальных и теоретических исследований в данных направлениях.

В 1936 году в работе W.F. Brace, A.S. Orange [1] было замечено изменение электрического сопротивления горных пород под действием упругих колебаний (сейсмоэлектрический эффект первого рода).

Позднее обнаруженный А.Г. Ивановым [2, 3] сейсмоэлектрический эффект второго рода (эффект Е - возникновение переменной разности электрических потенциалов между двумя точками среды при распространении в ней упругих колебаний), создал предпосылку для получения при геофизических исследованиях качественно новой информации, основывающейся как на специфической кинематической картине этого явления (разной скорости распространения сейсмических и электромагнитных полей, от области их генерации), так и на тесной связи областей интенсивных механоэлектрических преобразований с петрофизическими свойствами геологической среды. Эта информация может быть использована как при исследовании строения Земли в геофизике, так и при электромагнитном мониторинге геодинамических и иных процессов, протекающих в ее недрах. Именно эти обстоятельства стимулировали интерес геофизиков к данной проблеме и побудили провести в последние 10-20 лет исследования, направленные на изучение ее различных аспектов [4].

Первые лабораторные эксперименты по изучению сейсмоэлектри-ческого эффекта второго рода были поставлены М.С. Анцыферовым [5], получившим сейсмоэлектрический сигнал на увлажненном сланцевом стержне при квазистатическом режиме возбуждения. Наиболее полное петрофизическое изучение эффекта Е проведено в Институте физики Земли РАН (Э.И. Пархоменко и её сотрудники [6-11]), в Институте геологии и геохимии горючих ископаемых HAH Украины (Г.И. Петкевич, С.А. Лизун и др. [12-15]), в Институте геофизики СО РАН (А.К. Манштейн, М.И. Эпов, В.А. Куликов и др [16, 17]), в Массачусетском Технологическом Институте (Z. Zhu, M.N. Toksöz и др. [18, 19, 20]) и другими авторами. Изучались зависимости величины эффекта от вещественного состава горных пород, структурно-текстурных особенностей, характера и типа флюидонасьпцения по-рового пространства, а также воздействия электрического тока на осадочные породы.

В 1996 году в работе O.V. Mikhailov, J. Queen, M.N. Toksöz [21] были проведены полевые эксперименты по измерению электрических полей, вызванных скважинной волной Стоили. Анализ электрических сигналов, зарегистрированных в экспериментах показал, что они вызваны волной Стоили, сгенерированной потоком жидкости в трещиноватой среде околоскважинного пространства. Обнаружена корреляция нормализованных амплитуд электрического поля (отношение электрического поля к поровому давлению), вызванного волной Стоили, со средним числом плотности трещин. Результаты экспериментальных исследований подтвердили преимущественно электрокинетическую природу данного явления, существующего только в пористых, водонасыщенных средах. работ (см. [26] и ссылки в ней). Показано, что в достаточно большом по величине поле процессы электроосмоса способствуют разделению нефти и воды.

Теоретическим исследованиям сейсмоэлектрического и электросейсмического эффектов посвящены работы многих авторов.

В 1944 году Я.И. Френкель [27] сделал попытку совместить уравнения Максвелла с уравнениями пористых сред, по аналогии с классической теорией упругости. Согласно теории Гельмгольца и Смолу-ховского, разность гидродинамических давлений между двумя точками среды должна соответствовать разности электрических потенциалов. При вычислениях электрокинетического эффекта, связанного с распространением продольных волн во влажной почве, рассмотренная в данной работе теория основывается на формуле Гельмгольца- Смолуховского. Получена система линейных дифференциальных уравнений движения, определяющая воздействие движения среды на напряженности электрического поля. При этом обратным воздействием электромагнитного поля на движение среды не рассматривалось.

В работах В. Г^оигЬеЬесЫ; [28], С.Ь. СагпаЬап [29], Б.У. РИйегтап [23], Т. ЬзЫсЬ [30] предлагается для описания электрокинетического явления в пористых средах использовать модефицированные законы Дарси и Ома:

J = —Ь^Ур — <7/ V ф, где V - скорость жидкости, J - плотность электрического тока, ф - потенциал электрического поля, к - коэффициент проницаемости, ¿1,^2 - феноменологические коэффициенты. Первый член в правой части первого уравнения представляет закон Дарси, второй член в правой части второго уравнения представляет закон Ома. Члены с Ь\ и 1/2 соответствуют электрокинетическому эффекту, и согласно соотношениям взаимности Онсагера [31]:

Ь\ = Ь2.

Авторы не рассмативали при этом уравнения движения пористых сред и систему уравнений Максвелла. Совмещенная математическая модель, описывающая электрокинетическое явление в пористых средах, отсутствует.

В работе Н.И. Мигунова [32] сделана попытка совместить уравнений Максвелла с уравнениями пористых сред для модели Я.И. Френкеля. При этом для объяснения электрокинетических явлений в пористых средах предлагается использовать модифицированные законы Дарси и Ома в отличие от предложенных в работах В. ГУГоигЬеЬесЫ; [28], С.Ь. СагпаЬап [29], Б.У. Р^егтап [23], Т. Шс1о [30]:

У = --Ур-Х^Е,

3 = Ь2 Ур + с?0 сгу Е.

Одновременно в правую часть уравнения движения упругого пористого тела и жидкости добавлялись соответствующие электрические силы: (¿¿о Д Ь\/к) Е и — (¿¿оДЬг/^Е. Феноменологические коэффициенты Ь\ и 1и2 также как в работах В. ЫоигЬеЬесЫ; [28], С.Ь. Сагпа-Ьап [29], Б.У. Г^егтап [23], Т. ЬЫсЬ [30] удовлетворяют соотношениям взаимности Онсагера. Построена совмещенная математическая модель уравнений Максвелла с уравнениями упруго-пористых сред. Показано влияние электрокинетических свойств на распространение сейсмических продольных волн первого и второго рода [33]. В данной модели отсуствует предельный переход к уравнению магнитной гидродинамики для пористых сред.

Позднее «I. Кееу, Р.И. Yeatts [34] сделали попытку совместить систему уравнений Био с уравнением для потенциала электрического поля. А именно, в правую часть уравнения движения упругого пористого тела и жидкости добавлялись соответствующие электрические силы; (е 2 й^/к — г Аф) и (егёЦк) Уф. Эволюция электрического потенциала описывалась уравнением Д

2 (R divU + Q divu) + ¡л + (G ф>/е)ф 0

Здесь z - величина пропорциональности (для £ потенциала), R, Q -упругие коэффициенты теории Био, г - диэлектрическая проницаемость, G = caf + do (е z)2/ßk, с - безразмерный коэффициент зависящий от поровой геометрии (в случае капиллярной трубе, с = 1). В данной работе авторы не рассмотрели полный набор уравнений Максвелла, что привело их к ошибочному заключению, что сейсмические сдвиговые волны не генерируют электромагнитных воздействий S.R. Pride [35].

В работе S.R. Pride [35] была сделана попытка совмещения системы уравнений Био с уравнениями Максвелла на основе модифицированных законов Дарси и Ома, а также введением коэффициента пропорциональности между напряженностями и индукциями электромагнитного поля. В данной модели также, как в [32] отсуствует предельный переход к уравнению магнитной гидродинамики для пористых сред.

В работах Я.И. Френкеля [27], В. Nourbehecht [28], C.L. Carnahan [29], Н.И. Мигунова [32], D.V. Fitterman [23], Т. Ishido [30], J. Neev, F.R. Yeatts [34], S.R. Pride [35] предполагалась проводящей только жидкая компонента, однако замкнутая математическая модель построена не была: не были получены самосогласованные уравнения движения, определяющие обратное воздействии электромагнитных полей Е и Н на движение среды. Более того, в данных работах от-суствуют предельные переходы к уравнению магнитной гидродинамики для пористых сред.

Учитывая все изложенные результаты и существующие подходы, следует признать, что назрела необходимость в дальнейшем развитии теории методов математического моделирования и комплексной обработки геофизических данных на основе применения численных методов решения прямых и обратных задач геофизики в совмещенных постановках, в том числе в переходе на микрофизический уровень осреднения моделей. При этом следует использовать возможность одновременного применения различных методов геофизики для более устойчивого (и точного) решения прямых и обратных задачи в комплексной подстановке.

Известны три подхода к построению математических моделей двухскоростных сред. Самым распространенным является метод осреднения. По своей природе процедура осреднения носит явно выраженный геометрический характер. В таких подходах принимается в качестве постулата: локальная аддитивность энтропии, энергия делится на внутреннюю и кинетическую, подсистемы сохраняют локальное термодинамическое равновесие, источники в балансовых соотношениях по существу угадывается. Динамические уравнения подчиняются под определенный вид уравнения состояния, в то время как при гидродинамическом описании уравнения состояния должно иметь известный произвол. Методы осреднения развивались в работах Х.А. Рахматуллина [36], Р.И. Нигматуллина [37], М. Ishii [38] и других авторов (см. для исторической полноты обзор D.A. Drew [39]). Как отмечено в работах А.П. Крайко и JT.E. Стернин [40], J.H. Stuh-miller [41] и другие авторы, соответствующие уравнения движения, полученные процедурой пространственного осреднения, в обратимом приближении при условии совпадения давлений в фазах оказываются негиперболическими даже при малой относительной разности скоростей фаз. Последнее означает некорректность задачи Коши для соответствующих нелинейных уравнений движения, и ставит под сомнения саму процедуру метода пространственного осреднения.

Второй метод, известен как вариационный метод [42-48]. В вариационном подходе обычно вирируемый функционал представляет собой действие по Гамильтону: лагранжиан системы есть разность между кинетической и потенциальной энергиями системы. Вообще говоря, разделить полную энергию двухскоростного континуума на кинетическую и потенциальную при взаимодействующих континуумах невозможно [49, 50]. Вариационный подход является мощным средством при математической формулировке метода конечных элементов.

Феноменологический подход развит в монографиях Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [49], А.М. Блохина и В.Н. Доровского [50], И.М. Халатникова [51]. Этот подход является современным методом построения совмещенных математических моделей и использует самые общие сведения о системе - законы сохранения, преобразования Галилея, согласованность уравнений движения жидкости с термодинамическими условиями равновесия.

Для построения адекватной математической модели движения проводящей жидкости в пористых средах необходима формальная, более высокого уровня феноменологическая схема, описывающая процессы фильтрации жидкости во вмещающей упругодеформируемой пористой среде. Удачный выбор такой схемы позволит свести задачу построения математической модели нелинейных геофизических процессов в пористых электропроводящих средах к исследованию проблемы непротиворечивости системы уравнений Максвелла и исходной модели упругой деформации пористой среды. Построенная математическая модель наряду с использованием вычислительной техники и математических методов исследования открывает возможность анализировать основные закономерности взаимодействия электромагнитных процессов в пористых электропроводящих слоях Земной коры.

Понятно, что для учета электромагнитных процессов необходима феноменологическая модель, построенная на первых физических принципах в соответствии с общими принципами построения известных гидродинамических систем, таких как, например, система уравнений Эйлера, описывающая движение идеальной жидкости.

В.Н. Доровский применил феноменологический подход для описания классических конденсированных сред (фильтрация [52], пузырьковая жидкость [53, 54], трещиновато-пористые среды [55], многофазные среды [56] и т.д.). Подход Доровского позволяет без каких либо частных предположений получать общие нелинейные уравнения движения двухскоростной гидродинамической системы, а предложенная схема позволяет включить эффекты электромагнитизма. Подход обобщает гидродинамическую схему вывода системы уравнений Эйлера на двухскоростные системы и опирается на основные технические приемы Л.Д. Ландау, впервые используемые при выводе гидродинамических уравнений сверхтекучего гелия [57]. Известная теория Г.И. Баренблатта, Ю.П. Желтова, И.Н. Кочиной [58] для трещиновато-пористых сред получается из теории В.Н. Доровского [55], если учитывать только кинетические процессы, связанные с относительным движением жидкости в порах и межблочном пространстве. Мы приведем основные положения подхода В.Н. Доровского, так как они используются в диссертации (как на этапе постановки задач, так и при выводах).

Так в работах [52, 59, 60] для построения обратимого приближения постулируется факт выполнения законов сохранения массы, импульса, энтропии, энергии. Галилеевская инвариантность законов сохранения определяет структуру неизвестных потоков в законах сохранении массы, импульса, энтропии, энергии с точностью до соответствующих инвариантов.

Деформация упругого пористого тела описывается метрическим тензором деформации д^ [61]. Поскольку в теорию входят две скорости (скорости движения жидкости v и пористого остова и), то в качестве недостающего уравнения движения, определяющего одну из скоростей, используется линейная по градиентам дифференциальная форма, структурно совпадающая с уравнением Ньютона в континуальном представлении и отвечающая общим условиям термодинамического равновесия (Т = const, /i = const, и = v = const)

9v

Предполагая тождественное выполнение первого начала термодинамики для рассматриваемой системы в указанных работах устанавливается, что неизвестные потоки в законах сохранения массы, импульса, энтропии, энергии и функции а,/3 определяются однозначно.

В диссертации для построения совмещенной математической модели уравнений Максвелла с уравнениями пористых сред используется подход Доровского. А именно, в правую часть закона сохранения импульса добавляется сила Лоренца и одновременно в уравнение движения проводящей жидкости включается неизвестная электромагнитная сила. При этом электромагнитное поле относится ко всему локальному элементу континуума, который включает в себя поровое пространство с жидкостью, и описывается уравнениями Максвелла. При наличии электромагнитного поля, в первое начало термодинамики следует включать электромагнитную энергию. В результате согласования уравнений электродинамики и уравнений континуальной теории фильтрации однозначно определяется электромагнитная сила и соответствующие обратимые потоки в законах сохранения. Обратимое приближение, однозначно фиксируемое законами сохранения и обратимыми потоками, позволяет самосогласованно ввести диссипативные члены в уравнения движения. Введение диссипатив-ных членов стандартно для гидродинамической модели. К обратимым потокам в законах сохранения под знак дивергенции включаются необратимые аддитивные потоки. В соответствии с принципом возрастания энтропии для неравновесных термодинамических систем, правая часть уравнения баланса энтропии принимает вид

Условие непротиворечивости законов сохранения и уравнения движения, определяющего вторую скорость в системе позволяет получить вид диссипативной функции Я и необратимые потоки в законах сохранения, а так же силу трения в последнем уравлинейной термодинамики диссипативных процессов позволяет ввести кинетические коэффициенты и тем самым связать необратимые потоки в законах сохранения с соответствующими термодинамическими силами.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Имомназаров, Холматжон Худайназарович

Основные результаты диссертации, соответствуют этой схеме и сводятся к следующему:

1. Построена математическая модель, объединяющая уравнения фильтрации и уравнения Максвелла и описывающая движение проводящей жидкости в пористой проводящей упругодеформируемой среде.

2. На основе построенной модели исследован характер малых колебаний электропроводящей насыщенной пористой среды. Показано, что в системе существуют четыре типа звуковых колебаний: Альфве-новского типа, поперечные и два продольных. Установлен характер дисперсии Альфвеновской волны, обусловленной межкомпонентным трением.

3. Установлена фундаментальный факт, что отношение проводимости жидкости к общей проводимости для малых значений парциальной плотности проводящей жидкости есть функция пористости. Теоретически показано, что электросейсмические эффекты возникают только в водонасьпценных породах. Установлены частотные характеристики амплитуды магнитного поля, возбуждаемого волной Рэлея.

4. Установлено соответствие электросейсмических экспериментальных данных свойствам построенной математической модели проводящей жидкости через проводящую упругую пористую среду.

5. Доказана отсуствие взаимно-одназначного соответствия между четырьмя упругими константами обратимого приближения теории Био и тремя скоростями распространения сейсмических волн, а также показана некорректность в смысле Адамара задачи Коши для системы уравнений Био в диссипативном случае.

6. Построен фундаментальный тензор для системы уравнений континуальной теории фильтрации, как для однородной, так и для неоднородной среды.

7. Доказаны теоремы единственности и оценки условной устойчивости совмещенных обратных задач для системы уравнений проводящих пористых сред. Численно решены совмещенные одномерные обратные задачи для уравнений проводящих пористых сред на основе оптимизационного подхода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация выполнена согласно общепринятой схеме, лежащей в основе современного математического моделирования с использованием математических методов и вычислительной техники : формулировка физического содержания модели и её математической идентификации с помощью дифференциальных уравнений, а также с использованием численных методов для анализа закономерностей, содержащихся в модели.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Имомназаров, Холматжон Худайназарович, 2001 год

1.F., Orange A.S. Electrical resistivity changes in saturated rock under stress // Science, 1936, v. 153, p. 1525.

2. Иванов А.Г. Эффект электризации пластов Земли при прохождении через нее упругих волн // Докл. АН СССР, 1939, т. 24, No 1, с. 41-43.

3. Иванов А.Г. Сейсмоэлектрический эффект второго рода // Изв. АН СССР, Сер. география и геофизика, 1940, No 5, с. 699-727.

4. Агеев O.A., Светов B.C., Шерман Г.Х., Шипулин C.B. Сейсмоэлектрический эффект второго рода в горных породах (по данным лабораторных исследований) // Геология и геофизика, 1999, т. 40, No 8, с. 1251-1257.

5. Анцыферов М.С. Лабораторные воспроизведение сейсмоэлек-трического эффекта второго рода // Докл. АН СССР, 1958, т. 121, No 5, с. 827-829.

6. Пархоменко Э.И., Гаскаров И.В. Скважинные и лабораторные исследования сейсмоэлектрического эффекта второго рода в горных породах // Изв. АН СССР, Физика Земли, 1971, No 9, с. 88-92.

7. Гаскаров И.В., Пархоменко Э.И. Сейсмоэлектрический эффект горных пород и предпосылки его применения в геологоразведочном деле // Изв. АН СССР, Физика Земли, 1974, No 1, с. 110-115.

8. Миронов С.А., Пархоменко Э.И., Черняк Г.Я. Сейсмоэлектри-ческий эффект горных пород, содержащих газовую или жидкую углеводородную компоненту // Изв. АН СССР, Физика Земли, 1993, N0 11, с. 70-76.

9. Пархоменко Э.И. Электрические свойства горных пород. М., Наука, 1965, 165 с.

10. Пархоменко Э.И., Чжао Цзе-Сань Исследование влияния влажности на величину сейсмоэлектрического эффекта осадочных пород лабораторным методом // Изв. АН СССР, Сер. геофиз., 1964, N0 2, с. 206-212.

11. Пархоменко Э.И., Гаспаров И.В., Марморштейн Л.М. О связи величины сейсмоэлектрического эффекта песчаников с их проницаемостью // Докл. АН СССР, 1975, т. 223, N0 5, с. 1110-1113.

12. Кондрат В.Ф., Лузин С.А., Лящук Д.Н. и др. Сейсмоэлектри-ческое взаимодействие полей в пористых средах // Прикладная геофизика. М., Недра, 1990, вып. 122, с. 17-27.

13. Петкевич Г.И., Лузин С.А., Сизоненко В.С. Методы изучения стимулированных явлений в петрофизике. Киев, Науково думка, 1991, 112 с.

14. Петкевич Г.И., Лузин С.А., Лящук Д.Н., Кондрат В.Ф. Петро-физика стимулированных явлений // Физические свойства горных пород при высоких давлениях и температурах. Уфа, 1990, с. 46-48.

15. Манштейн А.К., Эпов М.И., Куликов В.А., и др. Управляемые динамические процессы в водонасыщенных терригенных породах // Материалы научной конференции РФФИ "Геодинамика и эволюция Земли". Новосибирск, ОИГГМ СО РАН, 1996, с. 16-19.

16. Манштейн А.К., Куликов В.А., Эпов М.И., Нефедкин Ю.А. Изменение сейсмических скоростей в поле постоянного электрического тока // Геология и геофизика, 1999, No. 3, с. 465-473.

17. Zhu Z., Toksoz M.N. Experimental studies of electrokinetic conversions in fluid-saturated borehole models // 67th Ann. Internat. Mtg., Soc. Expl. Geophys., Expanded Abstracts, 1997, p. 334-337.

18. Mikhailov O.V., Haartsen M.W., Toksoz M.N. Electroseismic investigation of the shallow subsurface: Field measurements and numerical modeling // Geophysics, 1997, v. 62, p. 97-105.

19. Zhu Z., Toksoz M.N. Seismoelectric measurements in a fractured borehole model // 68th Ann. Internat. Mtg., Soc. Expl. Geophys., Expanded Abstracts, 1998, p. 134-136.

20. Mikhailov O.V., Queen J., Toksoz M.N. Using borehole electroseismic measurements to detect and characterize fractured (permeable) zones // Geophysics 2000, v. 65, No 4, pp. 1098-1112.

21. Mizutani H., Ishido Т., Yokokura Т., Ohnishi S. Electrokinetic phenomena associated with earthquakes //J. Geophys. Res., 1976, v. 7, No 3 p. 365-368.

22. Fitterman D.V. Electrokinetic and magnetic anomalies associated with dilatant regions in a layered earth //J. Geophys. Res., 1978, v. 83, p. 5923-5928.

23. Corwin R.F., Hoover D.B. The self-potential method in geotermal exploration // Geophysics 1979, v. 44, pp. 226-245.

24. Черняк Г.Я. О физической природе сейсмоэлектрического эффекта // Изв. АН СССР, Физика Земли, 1976, No. 2, с. 108-112.

25. Звездов А.В. Физические и электрохимические методы увеличения подвижности остаточной нефти в обводненных зонах продуктивных пластов. М.: Москва, 1985, Дис. на соискание степени канд. тех. наук, 103 с.

26. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. 1944. - т.8, No 4. -С.133-150.

27. Nourbehecht В. Irreversible thermodynamic effects in inhomoge-neous media and their application in certain geoelectric problems // Ph. D. thesis, Mass. Inst, of Technol., Cambridge, 1963.

28. Carnahan C.L. Nonequilibrium thermodynamic treatment of transport processes in groundwater flow // Tech. Rep. Series H-W, Hydrology and Water Resources, 1975, v. 24, University of Nevada.

29. Ishido T. Streaming potential associated with hydrotermal convection in the crust: A possible mechanism of self-potential anomalies in geothermal areas (in Japanese with English abstract) // J. Geotherm. Res. Soc. Jpn, 1981, v. 3, p. 87-100.

30. Де Гроот С., Мазур П. Неровновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. -456с.

31. Мигунов Н.И. Влияние электрокинетических свойств горных пород на скорость распространения сейсмических сигналов // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1978, No 5, с. 52-56.

32. Мигунов Н.И. О распространении продольных упругих волн в грунтах с электрокинетическими свойствами // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1981, No 3, с. 47-54.

33. Neev J., Yeatts F.R. Electrokinetic effects in fluid-saturated poroe-lastic media // Phys. Rev. 1989, В 40, No 13. pp. 9135-9141.

34. Pride S.R. Governing equations for the coupled electromagnetics and acoustics of porous media // Phys. Rev. 1994, В 50, No 21. pp. 15678-15696. v. 92, pp. 3278-3290.

35. Рахматуллин X.A. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сплошных сред // ПММ. -1956. -т.20, вып. 2. -С. 184195.

36. Нигматуллин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987.

37. Ishii М. Thermo-Fluid Dynamic Theory of Two-Phase Flow. Paris: Eyrolles, 1975.

38. Drew D.A. Mathematical modelling of two-phase flow // Ann. Rev. Fluid Mech. 1983. v. 15. p. 261-291.

39. Крайко A.H., Стернин Л.Е. К теории течений двухскоростной сплошной среды с твердыми или жидкими частицами // ПММ. 1965. т. 29, вып. 3. с. 418-429.

40. Stuhmiller J.H. The influence of interfacial pressure forces on the character of two-phase flow model equations // Int. J. Multiphase Flow. 1977. v. 3. p. 551-560.

41. Седов JT.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред // УМН. 1965. т. XX, вып. 5. с. 121-180.

42. Халатников И.М. Гамильтонов формализм в классической и двухжидкостной гидродинамике // Письмо в ЖЭТФ. 1976. т. 23, вып. 11. с. 653-656.

43. Bedford A., Drumheller D.S. A variational theory of immiscible mixture // Arch. Rat. Mech. Annal. 1978. v. 68. p. 37-51.

44. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983.

45. Geurst J.A. Virtual mass in two-phase bubbly flow // Physica. A. 1985. v. 129A. p. 233-261.

46. Geurst J.A. Variational principles and two-fluid hydrodinamics of bubbly liquid/gas mixtures // Physica. A. 1986. v. 135A. p. 455486.

47. Gouin H. Variational theory of mixtures in continuum mechanics // Eur. J. Mech. B/Fluids. 1990. v. 9, No 5. p. 469-491.

48. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика М.: Наука, 1988. - 736 с.

49. Блохин A.M., Доровский В.Н. Проблемы математического моделирования в теории многоскоростного континуума Новосибирск, 1994. 123 с.

50. Халатников И.М. Теория сверхтекучести. М.: Наука, 1971. -320с.

51. Доровский В.Н. Континуальная теория фильтрации // Геология и геофизика 1989. - No 7. - С. 39-45.

52. Dorovsky V.N. A hydrodynamic nonlinear model of bubble liquid // Computers Math. Applic. 1997.V.33, No 6. p.1-12.

53. Dorovsky V.N., Imomnazarov Kh.Kh., Romensky E.I. A hydrodynamic nonlinear model of bubble liquid (Part II) // Computers Math. Applic. 1997.v.33, No 6. p.13-15.

54. Dorovsky V.N. Mathematical Models of Two-Velocity Media // Mathl. Comput. Modelling. 1995, v.21, No.7 pp.17-28.

55. Доровский B.H., Аверкин Ю.А. Гидродинамика трехфазной объемной кристаллизации многокомпонентных сред // Геология и геофизика 1991. - No 8. - С. 79-90.

56. Ландау Л.Д. Теория сверхтекучего гелия -II // ЖЭТФ. 1941. -т. 11. -С.592.

57. Баренблат Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // ПММ. 1960. т. 24. Вып. 5. с. 852-864.

58. Доровский В.Н., Перепечко Ю.В. Феноменологическое описание двухскоростных сред с релаксирующими касательными напряжениями // ПМТФ 1992. - No 3. - С. 56-62.

59. Доровский В.Н., Перепечко Ю.В., Роменский Е.И. Волновые процессы в насыщенных пористых упругодеформируемых средах // Физика горения и взрыва 1993. - No 1. - С. 100-111.

60. Годунов С.К. Элементы механики сплошных сред. М.: Наука, 1978. - 304 с.

61. Archie G.E. The electrical resistivity log as an aid in determining some reservoir characterictics // Trans. AIME, 1942, v. 146 p. 5462.

62. Tang X.M., Cheng C.H., Toksoz M.N. Dynamic permeability and borehole Stoneley waves: A simplified Biot-Rosenbaum model //J. Acoust. Soc. Am., 1991, v. 90, No. 3, p. 1632-1646.

63. Романов В.Г. Структура решения задачи Коши для системы уравнений электродинамики и упругости в случае точечных источников // СМЖ, 1995. т. 36, No 3, с. 628-649.

64. Бабич В.М. Фундаментальные решения динамических уравнений теории упругости для неоднородной среды // ПММ 1961. т.25 - No 1. - С. 38-45.

65. Dorovsky V.N., Imomnazarov Kh.Kh. A Mathematical Model for the Movement of a Conducting Liquid Through a Conducting Porous Medium. // Mathl. Comput. Modelling -1994.V.20, No 7. p.91-97.

66. Добровольский И.П. Механизм подготовки тектонического землетрясения. Москва . ИФЗ, 1984, 188 с.

67. Jackson P.D., Taylor-Smith D. and Stanford P.N. Resistivity-porosity-particle shape relationships for marine sands // Geophysics, 1978, v. 43, No. 6, p. 1250-1268.

68. Knopoff L. The interaction between elastic wave motions and a magnetic field in electrical conductors //J. Geophys. Res. 1955, v. 60, p. 441-456.

69. Кейлис-Борок В.И., Монин А.С. Магнитоупругие волны и граница земной коры // Известия АН СССР, серия Геофизика, 1959, с. 1529-1541.

70. Imomnazarov Kh.Kh. Archie's Law for a Mathematical Model of Movement of a Conducting Liquid Through a Conducting Porous Medium // Appl. Math. Lett. 1998, v.ll, No.6, p.135-138.

71. Паттерман С. Гидродинамика сверхтекучей жидкости. -М.: Мир, 1977. -520с.

72. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. -М.:ГИФМЛ, 1962. -300с.

73. Гиматудинов Ш.К. Физика нефтяного пласта, Москва, 1963, 275 с.

74. Tang Х.М., Cheng С.Н. Borehole Stoneley wave propagation across permeable structures // Geophys. Prosp., 1993, v. 41, p. 165-187.

75. Kostek S., Johnson D.L., Winkler K.W., Hornby В.Б. The interaction of tube waves with borehole fractures, Part II: Analytical models // Geophysics 1998, v. 63, No 3, p. 809-815.

76. Paillet F.L., White J.E. Acoustic modes of propagation in the borehole and their relationship to rock properties // Geophysics, 1982, v. 47, p. 1215-1228.

77. Hornby B.E., Johnson D.L., Winkler K.H., Plumb R.A. Fracture evalution using reflected Stoneley-wave arrivals // Geophysics, 1989, v. 54, p. 1274-1288.

78. Johnson D.L., Koplik J., Dashen R. Theory of dynamic permeability and tortuosity in fluid-saturated porous media //J. Fluid Mech. 1987, v. 176, p. 379-400.

79. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959, вып. 1, 470с.

80. Алексеев А.С., Бабич В.М., Гельчинский Б.Я. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн Л.: Наука, 1961. - N 5. - С. 3-24.

81. Смирнов В.М. Курс высшей математики. -М.: ГИТТЛ, 1951. т.4. -804с.

82. Biot М.А. Theory of propagation of elastic waves in a Fluid-Saturated Porous Solid. I. Low-Frequency Range //J. Acoust. Soc. Am. 1956, v. 28, No. 2 p.168-178.

83. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a Fluid-Saturated Porous Solid. II. Higher Frequency Range //J. Acoust. Soc. Am. 1956, v. 28, No. 2 p.179-191.

84. Имомназаров X.X. Фундаментальное решение системы уравнений двухскоростной гидродинамики // Доклады РАН. 1996, Т.346, No.l, с. 26-27.

85. Гульельми А.В. Возбуждение колебаний электромагнитного поля упругими волнами в проводящем теле. Геомагнетизм и аэрономия Т. 26, No 3, 1986 с. 467-470.

86. Гульельми А.В. и др. Индукционное сейсмомагнитное зондирование земной коры // ДАН СССР Т. 293, No 4, 1986 С. 828-830.

87. Imomnazarov Kh.Kh. A Mathematical Model for the Movement of a Conducting Liquid Through a Conducting Porous Medium: I. Excitation of Oscillations of the Magnetic Field by the Surface Rayleigh Wave // Mathl. Comput. Modelling. 1996, v.24, No.l pp.79-84.

88. Jones J.P. Rayleigh Waves in a Porous, Elastic, Saturated Solid. // J. Acoust. Soc. Am. -1961. -v.33, No 7. p.959-962.

89. Deresiewicz H. The Effect of Boundaries on Wave Propagation in a Liquid-Filled Porous Solid: IV. Surface Waves in a Half-Space. // Bull. Seism. Soc. Am. -1962. -v.52, No 3. p.627-638.

90. Алексеев A.C. Обратные динамические задачи сейсмики // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967. с.9-84.

91. Матевосян А.Х., Фатьянов А.Г. Метод расчета волновых полей для одной модели сейсмического объемного источника // Препринт ВЦ СО РАН. 1994, No. 1029. 20с.

92. Недялков И.П. Комплексная интерпретация потенциальных полей // Докл. БАН. 1957. - т.Ю, No 6. с. 67-70.

93. Недялков И.П. Комплексная интерпретация потенциальных полей // Изв. АН СССР, Физика Земли, 1965, No 11, с. 48-65.

94. Голиздра Г.Я. О комплексной интерпретации сейсмических и гравитационных полей // ДАН Укр. ССР, Сер. ВТ 1975, т. 12 с. 114-117.

95. Алексеев A.C., Бубнов Б.А., Об одной совмещенной постановке обратных задач сейсмики и гравиметрии // ДАН СССР, 1981. т. 251, No 5, с.1086-1090.

96. Алексеев A.C., Бубнов Б.А., Устойчивость решения обратной задачи комплексирования сейсмики и гравиметрии // ДАН СССР, 1984. т. 275, No 2. с.332-335.

97. Алексеев A.C., Ерохин Г.Н., Комплексирование в обратных задачах геофизики (интегральная геофизика) // ДАН СССР, 1989. т. 308, No 6, с.1327-1331.

98. Lines L., Shults A., Treitel S. Cooperative Inversion of Geophysical ßata // Geophysics., 1988, v. 53, No 10. p. 120-135.

99. Имомназаров Х.Х. Единственность определения источника в задаче Коши для системы уравнений континуальной теории фильтрации // Доклады РАН. 1998, Т.360, No.l, с.111-113.

100. Imomnazarov Kh.Kh. Uniqueness of Determination of a Sourse in the Cauchy Problem for the System of Equations of Continual Filtration Theory // Appl. Math. Lett. 1998, v. 11, No.2, p.75-79.

101. Имомназаров Х.Х. Об одном классе совмещенных одномерных обратных задач для уравнения Максвелла и уравнения континуальной теории фильтрации // Тр. ИВМиМГ СО РАН. Сер. Мат. моделирование в геофизике. Новосибирск, - 1998. - Вып. 5. - с. 61-73.

102. Imomnazarov Kh.Kh. Combined One-Dimensional Inverse Problems for Maxwell's Equations and an Equation of the Continual Filtration Theory // Appl. Math. Lett. 1999, v. 12, No.2, p.45-49.

103. Imomnazarov Kh.Kh. Estimates of conditional stability of some combined inverse problems for Maxwell's equations and equations of porous media // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center, ser. Mat. Mod. in Geophysics, 1999, No 5, pp. 27-38.

104. Аниконов Ю.Е. Псевдодифференциальные операторв и обратные задачи // Препринт ВЦ СО АН СССР, No 671, с. 26

105. Бухгейм A.J1. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988

106. Хермандер JI. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965. 379 с.

107. Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983. 207 с.

108. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 с.

109. Isakov V. Uniqueness of the continuation across a time-like hyperplane and related inverse problems for hyperbolic equations // Comm. in Partial Diff. Equ. 1989, v. 14, No.4, pp.465-478.

110. Имомназаров X.X. Фундаментальные решение системы уравнения континуальной теории фильтрации для неоднородной среды // Доклады РАН. 1996, Т.347, No.2, с.242-245.

111. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 287 с.

112. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.

113. Исаков В.М. О единственности продолжения решений гиперболических уравнений // Математические заметки. 1982, Т.32, No.l с.75-82.

114. Хайдаров А. Карлемановские оценки и обратные задачи для гиперболических уравнений // ДАН СССР. 1984, Т.249, No.4, с.817-820.

115. Isakov V. A Nonhyperbolic Cauchy Problem and its Applications to Elasticity Theory // Comm. On Pure and Appl. Math. 1986, v.39, No.2, pp.747-767.

116. Бухгейм А.Л., Клибанов M.B. Единственность в целом одного класса многомерных обратных задач // Докл. АН СССР. 1981, Т.260, No.2, с.269-272.

117. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики М.: Наука, 1984. 263 с.

118. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР 1950, т. 72, No 3, с. 457-460.

119. Меграбов А.Г. Обратные задачи рассеяния плоских волн на неоднородных слоях со свободной или закрепленной границей (гиперболический случай) // Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973, вып.4, с. 84-102.

120. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1973. 252 с.

121. Alekseev A.S., Avdeev A.V., Cheverda V.A., Fatianov A.G. Wave processes in vertically inhogeneous media: a new strategy for a velocity inversion // Inverse Problems, 1993, v.9, No.3, p.367-390.

122. Авдеев А.В., Горюнов Э.В., Прийменко В.И. Численное решение обратной задачи электромагнитоупругости // Математическое моделирование, 1997, т. 9, No 10, с. 54-66.

123. Имомназаров Х.Х. Фундаментальное решение уравнений континуальной теории фильтрации для неоднородной среде // Труды ВЦ Материалы конференций молодых ученых. Новосибирск, 1995. С.57-68.

124. Имомназаров Х.Х., Матевосян А.Х. Об одной задаче расчета поля излучающего объекта в пористом полупространстве // Доклады РАН. 1998, Т.358, No.6, с.826-829.

125. Imomnazarov Kh.Kh., Matevosyan A.Kh. One Problem of Calculating the Field of a Radiating Object in a Porous Half-Space // Appl. Math. Lett. 1998, v.ll, No.l, p.25-29.

126. Имомназаров Х.Х. Несколько замечаний для системы уравнений Био, описывающей пористую среду // Материалы международной конференции "Выпускник НГУ и научно-технический прогресс", Часть 1, Новосибирск, 1999, с.46-47.

127. Имомназаров Х.Х. Несколько замечаний о системе уравнений Био // Доклады РАН. 2000, Т. 373, No.4, с.536-537.

128. Imomnazarov Kh.Kh. Some remarks on the Biot system of equations describing wave propagation in a porous medium // Appl. Math. Lett. 2000, v. 13, No. 3, p 33-35.

129. Imomnazarov Kh.Kh. Uniqueness of the solution to combined one-dimensional inverse problems for Maxwell's equations and equations of porous media // Сотр. Appl. Math. 2000, v. 19, No 2, pp. 267-273.

130. Горюнов Э.В., Имомназаров Х.Х. Численное решение совмещенной одномерной обратной задачи для уравнения Максвелла и уравнений пористых сред // Сиб. ЖВМ, 2000, т. 3, No 2, с. 137-149.

131. Имомназаров Х.Х. Использования скважинных электросейсмических измерений для обнаружения и характеристики трещиноватых зон // Труды международной конференции "Математические модели и методы их исследования", Красноярск 2001, т. 1, с. 277-282.