Оптимальные ударно-волновые системы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Омельченко, Александр Владимирович

• Омельченко, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Омельченко, Александр Владимирович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Основные обозначения

Введение

1 Ударно-волновые системы и структуры

1.1. Ударно-волновые системы

1.2. Интенсивность системы 5„

1.3. Интенсивность системы 5П)(Т. Газодинамически обусловленные системы

1.4. Коэффициенты восстановления

1.5. Угол поворота потока в системе

1.6. Ударно-волновые структуры

1.7. Плоскость интенсивностей волн

1.8. Изомаха скачка уплотнения

1.9. Изомахи волны разрежения и волны сжатия

1.10. Необходимое условие существования ударно-волновых систем

1.11. Оптимальные ударно-волновые системы и структуры

2 Газодинамически обусловленные оптимальные ударно-волновые системы

2.1. Элементарные оптимальные системы 50)<т

2.2. Оптимальные системы с изоэнтропными волнами

2.3. Скоростной напор за системой а

2.4. Плотность за системой

2.5. Статическое давление за системой Sjtm

2.6. Акустический импеданс за системой

2.7. Многоскачковые системы, оптимальные для скоростного напора

2.8. Другие оптимальные многоскачковые системы

3 Минимизация потерь полного давления

3.1. Постановка задачи

3.2. Формализация задачи

3.3. Предварительный анализ

3.4. Строгая локальная оптимальность

3.5. Анализ результата

3.6. Асимптотическое поведение решения

3.7. Дополнительный анализ активного ограничения

3.8. Дополнительный анализ целевой функции

3.9. Анализ решения в случае п = 0

3.10. Проверка решения на глобальную оптимальность

3.11. Максимум целевой функции

3.12. Дополнение 1

3.13. Дополнение 2

4 Геометрия оптимальных ударно-волновых систем

4.1. Геометрия оптимальных систем с изоэнтропной волной

4.2. Геометрия оптимальных односкачковых систем

4.3. Геометрия многоскачковых оптимальных ударно-волновых систем

4.4. Простейшие ударно-волновые системы, обеспечивающие максимальный угол поворота потока

4.5. Оптимальные ударно-волновые системы S^l с замыкающим скачком уплотнения а

4.6. Оптимальные ударно-волновые системы S^fj с замыкающей изоэнтропной волной i

4.7. Геометрически обусловленные оптимальные ударно-волновые системы

5 Простейшие оптимальные ударно-волновые структуры

5.1. Особенности оптимизации ударно-волновых структур

5.2. Постановка задачи о распаде центрированной волны сжатия

5.3. Решение задачи о распаде центрированной волны

5.4. Использование результатов решения задачи при анализе оптимальных изоэнтропных волн сжатия

5.5. Задача регулярного отражения скачка уплотнения

от стенки

5.6. Особые числа Маха и интенсивности скачков

5.7. Скачки уплотнения равной интенсивности

5.8. Оптимальные интенсивности системы

Заключение

Библиографический список использованной литературы

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

М — Число Маха; 7 — показатель адиабаты; J — интенсивность волны; 5 — ударно-волновая система; / — интенсивность системы; К — коэффициент восстановления; / — произвольная газодинамическая переменная; р — статическое давление; Т — температура; р — плотность; ё — скоростной напор; г — акустический импеданс; /х, т — изоэнтропные функции; £, к — функции от 7 ; ¡3 — угол поворота потока в волне; — множество планов.

Нижние индексы относятся

к

5 — к параметрам за системой;

а — к параметрам за замыкающим скачком;

0 — к параметрам торможения;

т — к параметрам на прямом скачке уплотнения;

а — к параметрам на слабом скачке уплотнения;

* — к параметрам в звуковой волне.

Верхние индексы относятся

^ — к газодинамической переменной / ;

— к скачку уплотнения; ^ — к изоэнтропной волне;

— к волне разрежения;

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальные ударно-волновые системы»

Введение

Проблема управления параметрами сверхзвукового потока путем генерации в нем ударно-волновых систем, обеспечивающих экстремальные значения газодинамических переменных за ними, является актуальной для решения многих прикладных задач, связанных со взрывами, вылетом снаряда из ствола, сверхзвуковым полетом летательных аппаратов, истечением струй из сопел реактивных двигателей при сверхкритических перепадах давления, взаимодействием сверхзвуковых струй с преградами, газодинамическим конструированием сверхзвуковых воздухозаборников [40] и т.д.

Само понятие оптимальных ударно-волновых систем возникло при решении конкретной практической задачи, связанной с получением максимального восстановления полного давления во входном диффузоре реактивного двигателя. Данная задача возникла в середине 40-х годов в связи с проблемой конструирования эффективных сверхзвуковых воздухозаборников. Одной из первых работ, посвященных данной проблеме, была работа К.Осватича (см. библиографию в [6]). В этой работе рассматривались системы, состоящие из п косых и замыкающего (п + 1)-го прямого скачка уплотнения. Оказалось, что такие системы при любых интенсивностях первых п косых скачков являются с точки зрения потерь полного давления эффективнее одиночного прямого скачка. При этом для заданных числа Маха М невозмущенного потока и количества п косых скачков существуют оптимальные значения интенсивностей косых скачков, при которых потери полного давления минимальны.

Результаты работы К.Осватича, выполненной в 1943 году в Германии и засекреченной, после окончания Второй Мировой войны оказались в США. В 1947 году Г.И.Петров и Е.П.Ухов предложили численное решение указанной задачи (см.[24]). При

этом они, в отличие от К.Осватича, рассмотрели не только системы с замыкающим прямым скачком уплотнения, но и системы, состоящие из п косых и замыкающего звукового скачка. Как оказалось, последние обеспечивают лучшее восстановление полного давления [24].

Аналитические решения поставленных задач в те годы получены не были. Это было обусловлено, прежде всего, отсутствием простых и удобных для проведения аналитических выкладок соотношений, связывающих значения газодинамических параметров как на отдельной волне, так и в ударно-волновой системе. В современном, удобном для практики виде соотношения на косом скачке уплотнения получил Ф.Шуберт в 1943 г. Однако до начала исследований, связанных с взаимодействием ударных волн, результаты Ф.Шуберта широкую известность не получили.

В конце сороковых годы появилась группа работ, посвящен- V ных исследованию взаимодействия газодинамических разрывов между собой и с твердой поверхностью, и, в первую очередь, ма-ховского отражения ударной волны. Интерес к этой проблеме был обусловлен появлением взрывных устройств большой мощности [43]. Правда, в акустической постановке задача об отражении волны от стенки была решена значительно раньше (А. Зоммер-фельд, 1901 г.), а тройные конфигурации ударных волн наблюдались еще Э.Махом, однако эти исследования не носили систематического характера.

Первые комплексные (экспериментальные и теоретические) исследования отражения ударных волн от твердой поверхности выполнены Г.Эгинком (1943 г.), Л.Смитом (1945 г.), В.Бликнеем и А.Таубом (1946 г.) [43, 41]. Теория "разветвленных" скачков уплотнения, первоначально предназначенная для объяснения эффектов взаимодействия скачка с пограничным слоем на стенке, разработана А.Вейзе, Г.Эгинком и Ф.Веккеном (1943 г.) [4]. По совету Толмина в новой форме, более простой и удобной в применении на практике, эту теорию представил В.Вуст [5]. Для анализа течения в точке ветвления скачков он ввел "сердцевидные"

кривые на плоскости Л = 1п(р1/р), ¡3 {(5 - угол поворота потока на косом скачке уплотнения) и использовал соотношение Ф.Шуберта для описания параметров за скачком.

Основополагающие теоретические и экспериментальные исследования нерегулярного (маховского) отражения нестационарной ударной волны от твердой поверхности были выполнены примерно в эти же годы Дж.Нейманом [50], Л.Д.Ландау [12], Л. Смитом, Ф.Веккеном [4], А.Кабаннбй [42]. Теория Неймана, известная под названием "трехударной", получила дальнейшее развитие и с успехом используется для исследования тройных конфигураций ударных волн как в стационарных, так и в нестационарных потоках. Наиболее полно достижения теории ударных волн, полученные в 40-е - 50-е годы, изложены в работах Р.Куранта и К.Фридрихса (1950 г.) [11], а также Л.Д.Ландау (1953 г.) [12]. Последний разработал некоторые основные принципы образования всевозможных ударно-волновых конфигураций.

В 60-е годы теория интерференции разрывов получила наибольшее развитие в работах Л.Хендерсона [44, 45, 46]. Среди работ отечественных авторов в это время следует отметить исследования Г.Г.Черного [38], Л.Б.Зельдовича [10]. Результаты целого Vх ряда исследований взаимодействия ударных волн, появившихся в это время, стали классическими [36, 37, 26, 7, 28].

В основу данного исследования легли соотношения на скачке уплотнения и в волне Прандтля - Майера, полученные в 70-е - 80-е годы В.Н.Усковым [2, 29, 30] при решении задач интерференции стационарных газодинамических разрывов. В качестве основной независимой переменной он предложил использовать интенсивность волны, представляющую собой отношение статических давлений за волной и до нее. Им же впервые был проведен подробный анализ изомах на плоскости А, /3 интенсивностей волн [30], отображающих возможные значения интенсивности одиночной волны, а также угла поворота потока на ней при фиксированном значении числа Маха набегающего потока. Анализ изомах на плоскости интенсивностей волн позволил В.Н.Ускову найти

ряд простейших оптимальных ударно-волновых систем и использовать полученные результаты в задачах взаимодействия струи с преградой.

Целью настоящей работы являлось создание единой методологии проектирования и расчета ударно-волновых систем и структур, обеспечивающих экстремальные значения газодинамических параметров за ними.

В главе 1 на основе соотношений для отдельной волны получена связь газодинамических переменных в системе, состоящей из произвольного числа скачков уплотнения и волн Прандтля -Майера. Проведен анализ изомах на плоскости интенсивностей волн, получен ряд особых интенсивностей, а также соответствующих им углов поворота, играющих важную роль при рассмотрении оптимальных ударно-волновых систем и структур в последующих главах. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [14, 31, 32].

В главе 2 изложена методология построения газодинамически обусловленных оптимальных ударно-волновых систем 5П1<Т, интенсивность Ja замыкающего скачка в которых является некоторой заданной функцией числа Маха Мп перед замыкающим скачком. Получены аналитические решения, позволяющие определить интенсивности волн в оптимальных системах. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [9, 14, 18, 19, 34].

В главе 3 классическая задача газовой динамики, связанная с минимизацией потерь полного давления при торможении сверхзвукового потока до дозвуковых скоростей в системе 5п+1 из п+1-го скачка уплотнения, сводится к задаче нелинейного программирования с нелинейными ограничениями - неравенствами. Определяется точка, подозрительная на экстремум, и доказывается, что она является точкой строгого локального минимума. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [13, 21].

В главе 4 исследуется геометрия оптимальных ударно-волновых систем, а также рассматриваются системы, обеспечивающие максимальный угол поворота сверхзвукового потока. Основные

результаты этой главы опубликованы в работах [15, 16, 23, 33].

В главе 5 анализируются особенности оптимизации ударно-волновых структур. Подробно исследуются на оптимальность ударно-волновые структуры, образующиеся при распаде центрированной волны сжатия и при регулярном отражении скачка уплотнения от стенки (плоскости симметрии). Основные результаты этой главы опубликованы в работах [17, 20, 22, 51].

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Аналитические решения, описывающие ударно-волновые системы, оптимальные для полного и статического давлений, плотности, скоростного напора, акустического импеданса, угла поворота потока.

2. Методика сведения рассматриваемых задач к задачам нелинейного программирования с нелинейными ограничениями -неравенствами и проверки полученных решений на строгую локальную оптимальность.

3. Методика учета взаимодействия волн, образующих оптимальные ударно-волновые системы, а также расчета оптимальных ударно-волновых структур.

В работе получены следующие новые научные результаты:

1. Получены аналитические зависимости, позволяющие по заданным значениям числа Маха невозмущенного потока, показателя адиабаты и интенсивностей входящих в систему волн рассчитать значение любой газодинамической переменной за системой. На основе этих зависимостей найдены аналитические решения в задачах построения ударно-волновых систем, оптимальных для полного и статического давлений, плотности, скоростного напора, акустического импеданса, угла поворота потока.

2. На примере задачи минимизации потерь полного давления в системе, тормозящей поток до дозвуковых скоростей, показано, что рассматриваемые задачи являются задачами нелинейного программирования с нелинейными ограничениями - неравенствами. Проведен параметрический анализ таких задач, доказана строгая локальная оптимальность.

3. Исследована геометрия тел, генерирующих ударно-волновые системы. Доказана принципиальная возможность использования таких систем при гиперзвуковых скоростях.

4. На примерах центрированной волны сжатия и регулярного отражения скачка уплотнения от стенки (плоскости симметрии) проанализирована возможность оптимизации ударно-волновых структур. Получены аналитические решения, обеспечивающие экстремальные значения газодинамических переменных за исходящими из области взаимодействия волнами.

Практическая ценность работы заключается в том, что на основе проведенных исследований получены явные аналитические решения, позволяющие для заданной газодинамической переменной проектировать оптимальные ударно-волновые системы, состоящие из произвольного числа волн. Параметрическое исследование оптимальных ударно-волновых систем и структур позволило углубить знания о закономерностях сверхзвуковых течений. Анализ геометрии оптимальных ударно-волновых систем, а также учет взаимодействия входящих в систему волн позволил в ряде случаев указать границы применимости рассматриваемых способов управления сверхзвуковым потоком. Материалы диссертационного исследования использованы в БГТУ при подготовке учебного пособия по курсу "Теория ударно-волновых систем и процессов".

По материалам диссертационного исследования опубликовано 6 статей в журналах "Прикладная математика и механика", "Известия РАН. Механика жидкости и газа", "Прикладная меха-

ника и техническая физика", "Инженерно-физический журнал".

Основные результаты работы доложены и обсуждены на Международной конференции "Фундаментальные исследования в аэрокосмической науке" (Москва, ЦАГИ, 1994); XVI Всероссийском семинаре "Струйные и нестационарные течения в газовой динамике" (Новосибирск, 1995); IV, V и VI научных конференциях ученых России, Белоруссии и Украины "Прикладные проблемы механики жидкости и газа" (Севастополь, 1995, 1996, 1998); научном семинаре кафедры Плазмогазодинамических импульсных систем БГТУ под руководством проф. В.Н. Ускова (Санкт-Петербург, 1996); Всероссийской научной конференции "Первые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 1997); Всероссийских молодежных научных конференциях "XXIII Гагаринские чтения" и "XXIV Гагарин-ские чтения" (Москва, 1997, 1998); XVII Всероссийском семинаре "Течения газа и плазмы в соплах, струях и следах" (Санкт-Петербург, 1997); II Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Сантк-Петербург, 1998); XII Международном симпозиуме по газовым и химическим лазерам; научном семинаре кафедры гидроаэромеханики математико-механического факультета СПбГУ под руководством проф. В.Г. Дулова (Санкт-Петербург, 1998).

Тема диссертационного исследования представлена в 17 научных трудах.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Омельченко, Александр Владимирович

Основные результаты и выводы диссертационного исследования состоят в следующем.

1. Получены основные соотношения в ударно-волновых системах, позволяющие по заданным значениям числа Маха набегающего потока, показателя адиабаты и интенсивностям входящих в систему волн однозначно определить все газодинамические параметры за последней волной в системе.

2. Исследованы на оптимальность газодинамически обусловленные системы, интенсивность замыкающего скачка в которых является некоторой заданной функцией от числа Маха перед ним. Для каждой из газодинамических переменных на основе анализа элементарных ударно-волновых систем определен вид этой функции. Получены аналитические решения, позволяющие определить интенсивности волн в системах, оптимальных для статического давления, плотности, скоростного напора, акустического импеданса.

3. Задача минимизации потерь полного давления при торможении потока до дозвуковых скоростей сведена к задаче нелинейного программирования с нелинейными ограничениями -неравенствами. Определена точка, подозрительная на экстремум и доказано, что она является точкой строгого локального минимума. Установлена связь полученного решения с оптимальной для полного давления изоэнтропной волной.

4. Исследована геометрия тел, реализующих оптимальные ударно-волновые системы. Проанализирована возможность использования различных оптимальных систем в реальных технических устройствах.

5. Рассмотрены системы, разворачивающие сверхзвуковой поток на максимально возможный угол. Получены аналитические зависимости, позволяющие точно рассчитать такие системы. Доказана эффективность использования систем как с замыкающим скачком уплотнения, так и с замыкающей волной разрежения.

6. Проведен анализ основных особенностей оптимизации ударно-волновых структур. Решена задача о распаде центрированной волны сжатия в сингулярной точке волны. Результаты решения использованы для оптимизации газодинамических параметров за исходящими из точки взаимодействия волнами. Исследована на оптимальность ударно-волновая структура, образующаяся при регулярном отражении скачка уплотнения от стенки (плоскости симметрии).

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Омельченко, Александр Владимирович, 1998 год

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. В 2 ч. 4.1 М.: Наука, 1991. 600 с.

2. Адрианов А.Л., Старых А.Л., Усков В.Н. Интерференция стационарных газодинамических разрывов. Новосибирск: Наука, 1995. 180 с.

3. Арутюнян Г.М., Карчевский JI.B. Отраженные ударные волны. М.: Машиностроение, 1973. 376 с.

4. Веккен Ф. Предельные положения вилкообразных скачков уплотнения. /В сб. переводов "Механика", 1950, 4. С.24-34.

5. Вюст В. К теории развлетвленных скачков уплотнения. /В сб. статей "Газовая динамика". М.:ИЛ, 1950. С.131-143.

6. Герман Р. Сверхзвуковые входные диффузоры. М.: Физмат-гиз, 1960. 290 с.

7. Гинзбург И.П. Аэрогазодинамика. М.: Высшая школа, 1966. 403 с.

8. Глазнев В.Н., Желтухин H.A. Отражение акустической волны от ударной в канале переменного сечения. //Изв. СО АН СССР. Серия техн. наук, 1972. 8. Вып.2. С.61-66.

9. Ерофеев В.К., Омелъченко A.B., Усков В.Н. Анализ акустического импеданса в стационарных сверхзвуковых течениях //Инженерно-физический журнал. 1998. Т.71. N4. С.663-668.

10. Зельдович Я.В., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных явлений. М.: Физматгиз, 1963.

11. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Иностр. лит-ра, 1950. 420 с.

12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

13. Малоземов В.Н., Омелъченко A.B., Усков В.Н. О минимизации потерь полного давления при торможении сверхзвукового потока //Прикладная математика и механика. Т.62. Вып.6, 1998. С.1015-1021.

14. Омелъченко A.B., Усков В.Н. Оптимальные ударно-волновые системы //Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1995. 6. С.118-126.

15. Омелъченко A.B., Усков В.Н. Геометрия оптимальных ударно-волновых систем //Прикладная механика и техническая физика. 1997. Т.38. N5. С.29-35.

16. Омелъченко A.B., Усков В.Н. Максимальные углы поворота сверхзвукового потока в ударно-волновых системах //Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1998. N3. С.148-156.

17. Омелъченко A.B., Усков В.Н. Распад центрированной волны сжатия Прандтля - Майера в стационарном потоке газа //Прикладная механика и техническая физика. 1998. Т.39. N3. С.1-10.

18. Омелъченко A.B., Усков В.Н. Управление сверхзвуковым потоком //К 90-летию со дня рождения профессора H.H. Поля-хова /Под ред. П.Е.Товстика. СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та. 1997. СЛ83-184. (Прикладная механика. Вып. 10).

19. Омелъченко A.B. Оптимальные ударно-волновые системы и их обобщения //Тезисы докладов молодежной научной конференции "XXIII Гагаринские чтения". М.: РГТУ-МАТИ. 1997. Часть 4. С.13-14.

20. Омелъченко A.B., Усков В.Н. Принципы оптимизации сверхзвуковых струйных течений //Тезисы докладов XVII Всероссийского семинара "Течения газа и плазмы в соплах, струях и следах". СПб. 1997. С.54.

21. Омелъченко A.B. Минимизация потерь полного давления//Тезисы докладов XXIV Всероссийской молодежной научной конференции " Гагаринские чтения". М.: МГАТИ. 1998. Часть 3. С.7-8.

22. Омелъченко A.B., Усков В.Н. Оптимальные ударно-волновые структуры, возникающие при взаимодействии сверхзвуковой нерасчетной струи с преградой //Тезисы докладов II Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. СПб. 22-26 июня 1998 г. С.122.

23. Омелъченко A.B., Усков В.Н. Нелинейная оптимизация газодинамических процессов в струйных течениях //Материалы VII международной науно-технической конференции ученых Украины, России, Белоруссии "Прикладные проблемы механики жидкости и газа". Севастополь. 1998. С.21-22.

24. Петров Г.И. Избранные труды. Аэромеханика больших скоростей и космические исследования. М.: Наука, 1992. 306 с.

25. Подлубный В.В. К задаче взаимодействия трех ударных волн. //Уч. зап. ЦАГИ, 1978. Т.9. 4. С.102-106.

26. Полачек X., Зигер Р.И. Взаимодействие ударных волн. //Основы газовой динамики: Под редакцией Г.Эммонса. М.: Иностранная лит-ра, 1963. 702 с.

27. Райхенбах Г. Ударные волны в газах //Физика быстропроте-кающих процессов. Т.З. М.: Мир, 1971. С.56-102.

28. Росляков Г. С. Взаимодействие плоских скачков одного направления. //Численные методы в газовой динамике. М.: Изд-во МГУ, 1965. С. 28-51.

29. Росляков Г.С., Старых А.Л., Усков В.Н. Интерференция стационарных скачков уплотнения одного направления. //Изв. АН СССР. МЖГ, 1985. 4. С.143-152.

30. Усков В.Н. Ударные волны и их взаимодействие. Л.: Изд-во ЛМИ, 1980. 88 с.

31. Усков В.Е., Омельченко A.B. Оптимальные ударно-волновые структуры //Тезисы международной конференции " Фундаментальные исследования в аэрокосмической науке". ЦАГИ. 1994. Книга 3. С. 68-70.

32. Усков В.Н., Омельченко A.B. Газодинамически и геометрически обусловленные оптимальные ударно-волновые системы //Материалы IV научной конференции ученых России, Белоруссии и Украины "Прикладные проблемы механики жидкости и газа". Севастополь. 1995. С.55.

33. Усков В.Н., Омельченко A.B. Газодинамически и геометрически обусловленные оптимальные ударно-волновые системы в сверхзвуковых струйных течениях //Тезисы докладов XVI Всероссийского семинара "Струйные и нестационарные течения в газовой динамике". Новосибирск. 1995. С.56.

34. Усков В.Н., Омельченко A.B. Управление сверхзвуковыми течениями //Материалы V науной конференции ученых России, Белоруссии и Украины "Прикладные проблемы механики жидкости и газа". Севастополь. 1996. С.62.

35. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. М.: Мир, 1972. 240 с.

36. ХейзУ.Д. Основы теории газодинамических разрывов. //Основы газовой динамики: Под редакцией Г.Эммонса. М.: Иностранная лит-ра, 1963. 702 с.

37. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. М.: Иностранная лит-ра, 1950. 426 с.

38. Черный Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959. 220 с.

39. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.

40. Щепановский В.А., Гутов Б.И. Газодинамическое конструирование сверхзвуковых воздухозаборников. Новосибирск: Наука, 1993. 228 с.

41. Bleakney W., Taub A.H. Interaction of shock waves //Rev of modern phys., 1949. V.21. P.548-605.

42. Cabannes H. Lois dee la reflection des ondes de chock dans. Les ecoulements planes non-stationaires. //Onera Publication, 1955. 8. P.l-36.

43. Griffith W.C. Shock waves //J. fluid mech., 1981. V.106. P.81-108.

44. Henderson L.F. On a class of multishock interactions in a perfect gas. //Aeron. quart., 1966. V.17. P. 1-20.

45. Henderson L.F. On the confluence of three shock waves in a perfect gas. //Aeron. quart., 1964. V.15. P. 181-197.

46. Henderson L.F. The reflection of a shock wave at a rigit wall in the presence of a boundary layer. //J. fluid mech., 1967. V.30. 4. P.699.

47. Henderson L.F., Lozzi A. Experiments on transition of Mach reflection //J. Fluid Mech., 1975. V. 68. Part 1. P.P.139-155.

48. Henderson L.F., Lozzi A. Further experiments on transition of Mach reflection //J. Fluid Mech., 1979. V. 94. Part 3. P.P.541-559.

49. Hornung H.G., Robinson M.L. Transition from regular to Mach reflection of shock waves. Part 2. The steady-flow criterion //J. Fluid Mech., 1982. V. 123. P.P. 155-164.

50. Neuman J. Collected works. Oxford: Pergamon press, 1963. V.6. P.239-299.

51. Omelchenko A.V., Uskov V.N. Principles of shock-wave systems optimisation under design of gasdynamical lasers //Proceeding of the XII International Symposium on Gas Flow and Chemical Lasers. St. Petersburg, Russia. 31 August - 5 September 1998. P. 52.