Нелинейные экстремальные задачи газовой динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Омельченко, Александр Владимирович

• Омельченко, Александр Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Омельченко, Александр Владимирович

Основные условные обозначения

Введение

1 Сильные разрывы и ударно-волновые структуры в газовой динамике

1.1. Основные соотношения на двумерном нестационарном газодинамическом разрыве.

1.2. Особые интенсивности и скорости распространения косой ударной волны.

1.3. Основные соотношения на скачке уплотнения. Плоскость интенсивностей волн.

1.4. Основные соотношения в волнах Прандтля - Майера.

1.5. Основные соотношения на ударной волне и в волне Ри-мана.

1.6. Ударно-волновые структуры и их отображения на плоскости интенсивностей волн.

1.7. Постановка задачи о взаимодействии двух плоских сверхзвуковых равномерных потоков, встречающихся под некоторым углом.1 »

1.8. Анализ задачи на плоскости интенсивностей волн.

1.9. Решения задачи при больших значениях угла /?0.

1.10. Решение задачи в случае, когда точка О принадлежит области, ограниченной огибающей и предельной кривой.

1.11. Решение задачи в случае, когда точка О расположена внутри области, ограниченной огибающей.

1.12. Постановка задачи о распаде центрированной волны сжатия.

1.13. Решение задачи о распаде центрированной волны.

1.14. Обращение движения в задачах о движении нестационарной косой ударной волны.

1.15. Регулярное отражение плоской ударной волны от клина.

1.16. Нестационарная ударно-волновая конфигурация, образующаяся при движении ветвящейся ударной волны в тройной конфигурации ударных волн.

2 Взаимодействие сильных и слабых разрывов

2.1. Постановка задачи о связи производных на сильном разрыве.

2.2. Связь производных на сильном разрыве в случае неособой матрицы А.

2.3. Связь производных на сильном разрыве в случае особой матрицы А.

2.4. Основные уравнения, описывающие стационарные сверхзвуковые течения совершенного невязкого газа.

2.5. Связь производных на криволинейном скачке уплотнения.

• 2.6. Основные уравнения, описывающие нестационарное одномерное течение совершенного невязкого газа.

2.7. Связь производных на нестационарной одномерной ударной волне.

2.8. Соотношения на слабых разрывах. Продолженные системы. Транспортные уравнения.

2.9. Слабые разрывы в стационарном сверхзвуковом потоке.

2.10. Слабые разрывы в нестационарном одномерном потоке.

2.11. Взаимодействие сильного и слабого разрывов.

2.12. Обобщенный инвариант Честера - Уизема.

2.13. Взаимодействие скачка уплотнения со слабыми разрывами.

2.14. Особые интенсивности скачка уплотнения.

2.15. Взаимодействие нестационарной ударной волны со слабым разрывом.

2.16. Кривизна скачка уплотнения в перерасширенной струе, истекающей из источника.

Взаимодействие простых волн между собой

3.1. Простые волны индекса к.в.

3.2. Простые волны в сверхзвуковой стационарной газовой динамике.

3.3. Простые волны в нестационарной одномерной газовой динамике.

3.4. Взаимодействие простых волн между собой.

3.5. Схема взаимодействия простой волны Прандтля - Майера со сдвиговым слоем.

3.6. Слой со слабой завихренностью.

3.7. Построение равномерно пригодного разложения методом деформируемых координат.

3.8. Построение решения в области за замыкающей характеристикой волны.

3.9. Образование скачка уплотнения в отраженной от стенки волне.

3.10. Взаимодействие вихревого слоя с простой волной, разворачивающей поток на малый угол. Разложение по параметру.

3.11. Взаимодействие вихревого слоя с простой волной, разворачивающей поток на малый угол. Разложение по координате.

3.12. Взаимодействие простой волны со встречной простой волной, кривизна линий тока в которой мала.

Взаимодействие простых волн с сильными разрывами

4.1. Общая схема взаимодействия сильного разрыва со встречной простой волной.

4.2. Приближенные аналитические методы решения задач взаимодействия сильного разрыва со встречной слабой волной.

4.3. Схема взаимодействия скачка уплотнения со встречной волной разрежения.

4.4. Анализ результатов численных расчетов поля течения в области взаимодействия.

4.5. Построение решения в случае малой ширины падающей волны.

4.6. Построение решения в случае малой завихренности потока в области за скачком.

4.7. Приближенные интегральные соотношения, описывающие поведение газодинамических переменных на выходе из области взаимодействия.

4.8. Взаимодействие волны разрежения с догоняющим скачком уплотнения.

4.9. Критерии типа отраженной волны.

4.10. Приближенная аналитическая модель течения в первой бочке перерасширенной струи.

5 Простейшие задачи дискретного оптимального управления в газовой динамике

5.1. Ударно-волновые системы в стационарном двумерном потоке.

5.2. Оптимальные ударно-волновые системы. Связь с теорией дискретного оптимального управления.

5.3. Оптимальные системы с простыми волнами.

5.4. Формулировка основных результатов в задаче о максимизации статического давления.

5.5. Вспомогательные предложения.

5.6. Оптимальные двухскачковые системы.

5.7. Оптимальные трехскачковые системы.

5.8. Оптимальные п-скачковые системы.

5.9. Свойства экстремального значения целевой функции.

5.10. Системы, оптимальные для плотности, скоростного напора и акустического импеданса.

5.11. Системы, оптимальные для восстановления полного давления.

5.12. Оптимальные волны Прандтля - Майера как предель---ный случай оптимальных многоскачковых систем.

5.13. Ударно-волновые системы в нестационарном одномерном потоке.

5.14. Оптимальные нестационарные ударно-волновые системы.

6 Оптимальные ударно-волновые системы с дополнительными ограничениями-равенствами

6.1. Оптимальные ударно-волновые системы при дополнительных ограничениях на суммарный угол поворота потока.

6.2. Ударно-волновая система, состоящая из двух косых скачков уплотнения.

6.3. Поведение статического давления в системе из двух скачков.

6.4. Особые интенсивности и числа Маха в системе из двух скачков.

6.5. Связь двухскачковой системы с волной сжатия.}

6.6. Физический смысл отраженного разрыва в задаче о взаимодействии догоняющих скачков уплотнения.

6.7. Ударно-волновая система "волна разрежения - скачок уплотнения".

6.8. Поведение статического давления в системе "волна разрежения - скачок уплотнения".

6.9. Поведение температуры в системе "волна разрежения -скачок уплотнения".

6.10. Ударно-волновая система "скачок уплотнения - волна разрежения".

6.11. Замечание о связи с задачами взаимодействия волн.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные экстремальные задачи газовой динамики»

В широком классе задач проектирования устройств топливно-энергетического комплекса и ракетно-космической техники, создания новых наукоемких технологий в химической промышленности и металлургии необходимы эффективные методы расчета и управления параметрами газодинамических течений. Под управлением понимается получение таких параметров, или режимов, течения, при которых конкретное газодинамическое устройство, как рабочий инструмент, наиболее эффективно выполняет свои функции для рассматриваемой прикладной задачи.

Традиционно для решения такого рода экстремальных задач в газовой динамике используются вариационные методы [34, 35, 47, 85, 97]. Помимо'несомненных достоинств, указанные методы обладают рядом ограничений. Точные аналитические решения вариационных задач можно получить в исключительных случаях. Как правило, такие решения получаются методом контрольного контура, необходимым условием применимости которого является отсутствие у искомых оптимальных образующих внутренних изломов [47, 97]. Непосредственное применение прямых методов вариационного исчисления требует больших вычислительных ресурсов - в процессе решения необходим многократный расчет обтекания семейства образующих, ни одна из которых не является оптимальной.

Для снижения вычислительных затрат необходим предварительный анализ структуры оптимальной конфигурации с выявлением ее характерных особенностей [35]. Как правило, такой анализ основан на применении упрощенных моделей. Наиболее популярными являются т.н. локальные модели, позволяющие связать давление в любой точке поверхности тела с углом наклона между нормалью к поверхности и вектором скорости набегающего потока. Основной их недостаток -ограниченные диапазоны чисел Маха, при которых применимы полученные на основе локальных моделей формулы. В представленной ра боте предлагается альтернативный подход к рассматриваемой проблеме, основанный на генерации в потоке оптимальных ударно-волновых систем и структур, обладающих особыми свойствами в отношении отдельных параметров течения. Задачи построения такого рода систем относятся к дискретным задачам оптимального управления, трудоемкость решения которых много меньше трудоемкости аналогичных задач прямыми методами вариационного исчисления.

Впервые понятие оптимальных ударно-волновых систем возникло в сороковых годах прошлого века в связи с проблемой торможения сверхзвукового потока до дозвуковых скоростей с минимальными потерями полного давления [18, 68]. В России данной проблемой занимался Г. И. Петров, в Германии - К. Осватич. В их исследованиях было установлено, что потери полного давления в системе из нескольких косых и замыкающего прямого скачков уплотнения всегда меньше потерь полного давления на одиночном прямом скачке. При этом для заданного числа скачков всегда можно подобрать их интенсивности так, чтобы потери полного давления были минимальными. Г. И. Петров в своих работах исследовал также поведение статического давления в системе из нескольких косых и замыкающего прямого скачков уплотнения. Он показал, что при некоторых числах Маха набегающего потока справедлив аналогичный результат - такие системы оказываются эффективнее одного прямого скачка.

Интенсивности косых скачков в оптимальных системах в работах Г. И. Петрова определялись численно. Из результатов расчетов следовало, что эти интенсивности должны быть примерно равны между собой. К. Осватич решал задачу об оптимальном восстановлении полного давления аналитически. Он показал, что в точке, подозрительной на экстремум, интенсивности косых скачков должны быть равны между собой. Однако явный вид решения в его работах получен не был. Это было обусловлено, прежде всего, отсутствием простых и удобных для проведения аналитических выкладок соотношений, связывающих значения газодинамических параметров как на отдельной волне, так и в ударно-волновой системе.

В современном, удобном для практики виде соотношения на косом скачке уплотнения получил Ф. Шуберт в 1943 г. Однако до начала исследований, связанных с взаимодействием ударных волн, результаты Ф. Шуберта широкую известность не получили. В конце сороковых годов появилась группа работ, посвященных исследованию взаимодействия газодинамических разрывов между собой и с твердой поверхностью, и, в первую очередь, маховского отражения ударной волны. Первые комплексные (экспериментальные и теоретические) исследования отражения ударных волн от твердой поверхности были выполнены Г. Эгинком, Л. Смитом, В. Бликнеем и А. Таубом [103, 107]. Теория "разветвленных" скачков уплотнения, первоначально предназначенная для объяснения эффектов взаимодействия скачка с пограничным слоем на стенке, была разработана А. Вейзе, Г. Эгинком и Ф. Веккеном [16]. По совету Толмина в новой форме, более простой и удобной в применении на практике, эту теорию представил В. Вуст [17]. Для анализа течения в точке ветвления скачков он ввел "сердцевидные" кривые на плоскости А = 1п(рх/р),/3 ((3 — угол поворота потока на косом скачке уплотнения) и использовал соотношение Ф. Шуберта для описания параметров за скачком.

В наиболее удобной для практики форме соотношения на косом скачке уплотнения были записаны В. Н. Усковым [4, 78, 88]. В качестве основной независимой переменной им было предложено использовать интенсивность волны, представляющую собой отношение статических давлений за волной и до нее. Анализ изомах на плоскости А,/3 интенсивностей волн позволил В. Н. Ускову найти аналитическое решение задачи построения оптимальной для полного или статического давления системы, состоящей из косого и замыкающего прямого скачков уплотнения. Полученные результаты в начале 80-х годов прошлого века были доложены на семинаре у Г. И. Петрова, который предложил получить аналитическое решение задачи в общем случае п-скачковой системы.

Такое решение было предъявлено в работе [52], опубликованной в 1995 году. В ней наряду с системами, оптимизирующими статическое или полное давление, были исследованы системы, максимизирующие плотность или скоростной напор. В работах [24, 56] список газодинамических переменных, для которых существуют оптимальные ударно-волновые системы, был расширен, а в [55] была исследована геометрия таких систем. В работе [42] было отмечено, что рассматриваемые задачи относятся к задачам нелинейного программирования с нелинейными ограничениями-неравенствами. Для системы, оптимизирующей полное давление, были проверены достаточные условия локальной оптимальности в точке, подозрительной на экстремум. Однако вопрос о глобальной оптимальности и единственности полученного решения оставался открытым.

Наряду с одиночными волнами в ударно-волновую систему могут входить и более сложные ударно-волновые конфигурации, образующиеся при взаимодействии двух или нескольких волн. Простейшие ударно-волновые структуры образуются в результате взаимодействия сильных разрывов. Пересечение этих разрывов происходит в точке, из которой наряду с отраженными волнами исходит тангенциальный или контактный разрыв. Условия динамической совместности на этом разрыве позволяют свести задачу определения газодинамики в окрестности точки взаимодействия к решению алгебраической системы уравнений. Наиболее просто такая система решается в случае взаимодействия нестационарных одномерных ударных волн [8, 26,83,126]. Особенностью взаимодействия стационарных разрывов являются отсутствие решения при определенных значениях входных параметров, возможность смены типа исходящих волн, а также переход от регулярного к нерегулярному взаимодействию газодинамических разрывов [38, 40, 44, 66, 92]. Полученные в работах [4, 7, 66, 70, 74, 77, 78, 88], [107]—[113] результаты легли в основу современной теории интерференции сильных разрывов.

В случае регулярного взаимодействия любая задача об интерференции сильных разрывов может быть сведена к более общей задаче о распаде произвольного разрыва [76]. В случае изотермического газа задача о распаде нестационарного одномерного разрыва была впервые поставлена и решена Б. Риманом [75]. Качественное исследование этой задачи для политропных газов было проведено Н. Б. Кочиным [33], а для нормальных газов - Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем [40]. Похожая задача о распаде разрыва на скачке сечения в полной постановке была решена В. Г. Дуловым [23] и И. К. Яушевым [101], а в линейной постановке - У. Честером [96]. Частные случаи задачи о распаде произвольного стационарного разрыва рассматривались в монографиях [20, 30] и в статье [57]. Качественный анализ задачи в общем случае проведен в работах [31, 32].

Более сложными являются задачи взаимодействия простых волн между собой и с сильными разрывами. Количество задач, допускающих точное аналитическое решение, сравнительно невелико. Как правило, эти решения получаются на основе группового анализа дифференциальных уравнений [11, 27, 48, 49, 50, 51, 80] или метода дифференциальных связей [76, 82]. Классическим примером такого рода является решение задачи взаимодействия изэнтропических волн Ри-мана [49, 76, 94]. Однако уже в случае взаимодействия простых волн Прандтля - Майера аналитическое решение задачи получить не удается. Аналогичная ситуация имеет место в задачах взаимодействия простых волн с сильными разрывами и с вихревыми слоями. Во всех этих примерах возможность получения аналитических решений связана, в основном, с наличием малого параметра. Если постановка задачи такие параметры содержит, решение можно строить на основе асимптотических разложений искомых функций в ряды по малому параметру [15, 45, 46].

Среди работ российских исследователей на эту тему следует прежде всего отметить монографию Г. Г. Черного [92], в которой на основе метода малых возмущений была решена задача об обтекании тела, близкого к клину, сверхзвуковым потоком газа. За рубежом аналогичные задачи рассматривались в [122, 130]. В этих работах было замечено, что строящееся асимптотическое разложение является неравномерным и оказывается непригодным вдали от профиля. М. Лайтхилл разработал общий метод устранения неоднород-ностей [121], применимый к широкому классу задач, описывающихся системами дифференциальных уравнений гиперболического типа [116, 117,123,124,127,130,131], — метод деформируемых коориднат [15] или метод Пуанкаре - Лайтхилла - Го [91].

Отмеченные выше методы оказываются эффективными при решении задач взаимодействия простых волн между собой, а также простых волн с сильными разрывами в случае, когда интенсивности взаимодействующих волн малы. При больших интенсивностях входящих в ударно-волновую систему волн обычно используются т.н. иррациональные приближения [15]. Характерным примером таких приближений является обобщенный метод волн разрежения [90, 92, 98], впервые использованный в задаче определения давления на криволинейном контуре, обтекаемом сверхзвуковым потоком. В основе метода лежит предположение о малости отраженных от скачка уплотнения возмущений. Пренебрегая этими возмущениями, можно приближенно определить форму ударной волны, а также поле течения за ним. Аналогичные идеи были реализованы в задаче о распространении нестационарной ударной волны по каналу переменного сечения [104, 105, 132], а также в задаче взаимодействия скачка уплотнения со сдвиговым слоем [5, 125].

В основу метода волн разрежения и его обобщений положены результаты решения задач о взаимодействии сильного и слабого разрывов. Расчет такого рода взаимодействий, а также изучение течений за искривленными ударными волнами привели к необходимости получения соотношений, связывающих такие характеристики сильных разрывов, как кривизна скачка уплотнения, ускорение ударной волны, с производными газодинамических переменных по обе стороны от сильного разрыва. Первые результаты в этой области, полученные в [92, 119, 129] еще в конце 40-х годов прошлого века, касались частного случая плоского или осесимметричного стационарного искривленного скачка уплотнения. Несколько позднее эти результаты были обобщены авторами работ [12, 29, 79, 120] на случай задач с большей размерностью. Удобные для практики соотношения для случая плоского или осесимметричного искривленного скачка уплотнения были получены в работах В.Н.Ускова (см., например, монографию [4]). Однако большинство соотношений, связывающих производные по обе стороны сильного разрыва, по-прежнему имеет довольно громоздкий вид.

Одновременно с решением конкретных газодинамических-задач в 50-60 годах появился целый ряд работ, касающихся теории сильных разрывов и волн в магнитной газодинамике [9,13, 36], теории детонации и горения [93, 94], а также обобщения полученных результатов на случай произвольных систем квазилинейных уравнений. Среди них особое место занимают монографии [39, 76]. Современное состояние рассматриваемых вопросов представлено в недавно вышедшей работе [37].

Уникальным объектом для исследований зарождения, развития и взаимодействия газодинамических разрывов является сверхзвуковая нерасчетная струя [2]-[4]. Скачки уплотнения возникают в сопле [69], в первой и последующей бочках затопленной струи. Отражение скачков от оси симметрии происходит нерегулярно, с образованием тройных конфигураций ударных волн. Неравномерность течения в струе вызывает искривление скачков уплотнения. Еще более сложная система волн образуется, если в поле течения струи имеется преграда [81]. Взаимодействие отошедшего от преграды скачка уплотнения с разрывами в затопленной струе приводит к новым ударно-волновым структурам. Неустойчивость к малым возмущениям является причиной возникновения нестационарных режимов течения. Введение в методики расчета струйных течений задач об оптимальном управлении параметрами течения существенно усложняет используемый математический аппарат. В связи с этим особую актуальность приобретают методы, основанные на генерации оптимальных ударно-волновых систем и структур.

Целью настоящей работы является создание единой методологии проектирования и расчета ударно-волновых систем и структур, обеспечивающих экстремальные значения газодинамических параметров за ними.

В главе 1 в рамках модели совершенного невязкого газа проводится анализ одиночных ударных и простых волн, а также ударно-волновых конфигураций, образующихся при взаимодействии ударных волн. С точки зрения рассматриваемых в работе задач дискретного оптимального управления указанные газодинамические объекты выступают в качестве основных управляющих воздействий на поток. Решается задача о распаде произвольного стационарного разрыва.

Основные результаты этой главы опубликованы в работах [19, 31, 57, 63, 64]. В монографии [19] автором работы совместно с А.О.Кожемякиным и В.Н.Усковым подготовлена вторая глава. В„Н.Усков принимал участие в написании введения к главе и в постановке задачи, а А.О.Кожемякин - в формулировке численного алгоритма решения задачи о распаде разрыва. В статьях [31, 57, 63, 64] В.Н.Усков принимал участие в постановке рассматриваемых задач. В работе [31] А.О.Кожемякин провел численный расчет областей существования решения задачи о распаде. В статье [64] численные расчеты провел Тао Ган.

В главе 2 выводится связь производных на сильном разрыве для общего случая системы квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными, приводящейся к нормальной форме. Приводятся решения задач взаимодействия сильного разрыва со встречными и догоняющими слабыми разрывами. В случае взаимодействия сильного разрыва со встречным слабым разрывом выводится инвариант, остающийся неизменным в процессе взаимодействия. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [60, 61, 62].

В главе 3 проводятся исследования ударно-волновых структур, образующихся при взаимодействии простых волн между собой. Анализируется возможность получения аналитических решений данной задачи, базирующаяся, в основном, на асимптотических разложениях искомых функций в ряды по малым параметрам исходной задачи в случае, если постановка задачи такие параметры содержит. В качестве примера подробно разбирается задача о взаимодействии волны Прандтля — Майера со сдвиговым слоем, часто возникающая в сверхзвуковой стационарной газовой динамике. Основные результаты этой главы опубликованы в работе [65].

В главе 4 проводятся исследования ударно-волновых структур, образующихся при взаимодействии простых волн с сильными разрывами. Описывается общая схема расчета поля течения в области взаимодействия сильного разрыва с простой волной. Обсуждаются простые аналитические модели, описывающие такие взаимодействия. В качестве примера подробно разбирается задача расчета поля течения в области взаимодействия скачка уплотнения со встречной волной разрежения. Основные результаты этой главы опубликованы в работе [43]. В этой работе В.Н.Усков принял участие в постановке задачи, а В.Р.Мешков провел численные расчеты.

В главе 5 рассматриваются простейшие оптимальные ударно-волновые системы, состоящие из п скачков уплотнения. Показывается, что задачи построения оптимальных систем являются дискретными задачами оптимального управления. Используя метод динамического программирования, определяются точки, подозрительные на экстремум, а затем доказывается глобальная оптимальность и единственность полученных решений. Исследуются предельные свойства экстремального значения целевой функции как функции параметров задачи.

Основные результаты этой главы опубликованы в работах [24, 42, 52, 55, 56]. В статьях [24, 42, 55, 56] В.Н.Усков принимал участие в постановке задачи. В работе [52] ему также принадлежат результаты, связанные с построением одно- и двухскачковых оптимальных систем. В.К.Ерофеев исследовал в статье [24] поведение акустического импеданса на тангенциальном разрыве. В.Н.Малоземов в работе [42] принял участие в доказательстве строгой локальной оптимальности полученного решения, а также в исследовании асимптотического поведения решения.

Заключительная, шестая глава посвящена важному с практической точки зрения подклассу дискретных оптимальных задач газовой динамики — задач с дополнительными ограничениями - равенствами, например, задач, имеющих ограничения на суммарный угол поворота потока. Последовательно исследуются на оптимальность ударно-волновая система, состоящая из двух стационарных косых скачков уплотнения, система "скачок уплотнения и последующая волна разрежения", а также система "волна разрежения - скачок уплотнения". Анализ областей немонотонного поведения статического давления в рассматриваемых системах показывает, что границы этих областей совпадают с границами областей смены типа отраженных разрывов, образующихся при взаимодействии входящих в эти системы волн. Указанное наблюдение позволяет дать простое обьяснение возникновению отраженной волны, исходящей из области взаимодействия догоняющих волн. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [53, 54, 59]. В этих работах В.Н.Усков принял участие в постановке задачи, а также в физической интерпретации полученных результатов.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Основы теории построения оптимальных ударно-волновых систем и структур, обладающих особыми свойствами в отношении отдельных параметров течения.

2. Аналитические решения, описывающие ударно-волновые структуры, образующиеся при взаимодействии нестационарных косых ударных волн.

3. Аналитические критерии, определяющие тип исходящих из точки распада произвольного стационарного разрыва отраженных волн, а также соотношения, описывающие границы областей исходных параметров, в которых существует решение задачи распада.

4. Теоремы о связи производных на сильном разрыве для общего случая системы квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными. Дифференциальный инвариант, остающийся неизменным в процессе взаимодействия сильного разрыва со встречным слабым разрывом.

5. Аналитические решения задачи о взаимодействии простых волн между собой и с вихревыми слоями в случае, когда интенсивность одной из приходящих волн является малым параметром задачи.

6. Аналитические модели, описывающие поведение газодинамических переменных в области взаимодействия сильного разрыва с простой волной.

7. Аналитические решения задач построения оптимальных ударно-волновых систем, состоящих из произвольного числа косых скачков уплотнения, а также ударно-волновых систем с дополнительными ограничениями на суммарный угол поворота потока.

В работе получены следующие новые научные результаты:

1. Установлены основные особенности поведения газодинамических переменных за нестационарной косой ударной волной, а также за ударно-волновыми структурами, образующимися при взаимодействии таких волн между собой.

2. Решена задача о взаимодействии двух плоских сверхзвуковых равномерных потоков совершенного невязкого газа, встречающихся под углом /?о (задача о распаде произвольного стационарного разрыва).

3. Получена связь производных на сильном разрыве для общего случая системы квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными.

4. Решена задача о взаимодействии волны Прандтля - Майера со сдвиговым слоем в случае, когда малы завихренность потока в сдвиговом слое или угол поворота потока в волне. Показано, что рассматриваемая задача относится к классу сингулярно возмущенных задач вихревой газовой динамики. С использованием метода деформируемых координат получено равномерно пригодное первое приближение.

5. Проведен численный и аналитический анализ задач взаимодействия скачков уплотнения и простых волн Прандтля - Майера. Доказан факт неравномерности течения за исходящими из области взаимодействия волнами. Предложены и обоснованы простые аналитические модели, описывающие течение в области взаимодействия. Результаты исследования использованы при построении простой аналитической модели течения в первой бочке плоской перерасширенной струи. а

6. С использованием метода динамического программирования найдены глобально оптимальные и единственные решения некоторого класса дискретных задач оптимального управления, возникающих в сверхзвуковой газовой динамике. Приведен анализ предельных свойств полученных решений.

7. Исследованы на оптимальность системы, имеющие ограничения на суммарный угол поворота потока. На основе анализа оптимальных для статического давления систем установлена связь задач построения оптимальных систем при наличии геометрических ограничений с задачами интерференции скачков уплотнения и простых волн.

Практическая ценность работы заключается в том, что на основе проведенных исследований получены простые аналитические решения, позволяющие для заданной газодинамической переменной проектировать оптимальные ударно-волновые системы, состоящие из произвольного числа волн. Анализ ряда конкретных газодинамических задач позволил обобщить полученные результаты на случай систем квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными.

Основные результаты работы доложены и обсуждены на Международной конференции "Фундаментальные исследования в аэрокосмической науке" (Москва, ЦАГИ, 1994); XVI Всероссийском семинаре "Струйные и нестационарные течения в газовой динамике" (Новосибирск, 1995); IV, V, VI, VII, VIII и X научных конференциях ученых России, Белоруссии и Украины "Прикладные проблемы механики жидкости и газа" (Севастополь, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2001); XVII, XVIII и XIX Всероссийских семинарах "Течения газа и плазмы в соплах, струях и следах" (Санкт-Петербург,

1997, 2000, 2002); V международном конгрессе по звуку и вибрации (Adelaide, South Australia, 1997); Международном симпозиуме "Transport noise and vibration" (Tallinn, 1998); II, III, IV Международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (Санкт-Петербург, 1998; Москва, 2000; Санкт-Петербург, 2002); XII Международном симпозиуме по газовым потокам и химическим лазерам (Санкт-Петербург, 1998); первых и вторых Поляховских чтениях (Санкт-Петербург, 1997, 2000); X Международной конференции "Вычислительная механика и современные прикладные программные системы" (Переславль-Залесский, 1999); школе-семинаре "Аналитические методы в газовой динамике" им. Н.Н.Яненко (Санкт-Петербург, 2000); V Всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы "Фундаментальные исследования в технических университетах" (Санкт-Петербург, 2001); Всероссийской школе - семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (САМГОП-2002) (Снежинск, 2002); X школе - семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Сочи, 2002); научном семинаре кафедры Плазмогазодинамических импульсных систем БГТУ под руководством проф. В.Н. Ускова (Санкт-Петербург); научном семинаре кафедры гидроаэромеханики математико-механического факультета СПбГУ под руководством проф. В.Г. Дулова (Санкт-Петербург).

Полный список научных трудов по теме диссертации содержит 76 наименований, в числе которых 16 статей в российских журналах "Известия РАН. Механика жидкостей и газов", "Прикладная математика и механика", "Прикладная механика и техническая физика", "Журнал вычислительной математики и математической физики", "Журнал технической физики", "Письма в журнал технической физики", "Акустический журнал", "Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1", "Инженерно-физический журнал". Часть полученных в работе результатов опубликована в монографии [19].

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Омельченко, Александр Владимирович

Основные результаты и выводы диссертационного исследования состоят в следующем.

1. В общем виде получены соотношения, определяющие поведение газодинамических переменных за нестационарным двумерным разрывом, и проведен их параметрический анализ.

2. В результате решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва аналитически определены области существования решения задачи, а также критерии смены типа исходящих волн.

3. Получена связь основных неравномерностей потока по обе стороны криволинейного скачка уплотнения и нестационарной ударной волны. Произведено обобщение на случай квазилинейных гиперболических систем как с неособенной, так и особенной матрицей.

4. Детально исследовано взаимодействие слабых и сильных разрывов. Найден инвариант, остающийся неизменным в процессе взаимодействия.

5. Исследованы особенности взаимодействия простых волн между собой, с сильными разрывами и с вихревыми слоями. Доказано, что в случае малой интенсивности одной из приходящих волн задача является сингулярно возмущенной. С использованием метода деформируемых координат построено равномерно пригодное решение.

6. Решена задача о построении оптимальных ударно-волновых систем, доставляющих экстремальные значения газодинамических переменных за последней волной в системе. Изучено поведение оптимальной системы при увеличении числа волн до бесконечности.

7. Найдены оптимальные ударно-волновые системы, имеющие ограничения на суммарный угол поворота потока. Установлена связь таких систем с ударно-волновыми структурами, образующимися при взаимодействии ударных волн.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Омельченко, Александр Владимирович, 2002 год

1. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. В 2 ч. 4.1 М.: Наука, 1991.

2. Авдуевский B.C., Ашратов Э.А., Пирумов У.Г. Сверхзвуковые неизобарические струи газа. М.: Машиностроение, 1985.

3. Аверенкова Г.И., Ашратов Э.А., Волконская Т.Г. и др. Сверхзвуковые струи идеального газа. 4.2. М.: Изд-во МГУ, 1971.

4. Адрианов А.Л., Старых А.Л., Усков В.Н. Интерференция стационарных газодинамических разрывов. Новосибирск: Наука, 1995.

5. Адрианов А.Л. О модельной кривизне скачка уплотнения в неравномерном потоке //Вычислительные технологии, 2000. Т.5. №6. С.3-14.

6. Арсенин В.Я., Яненко H.H. О взаимодействии бегущей и ударной волн в изотермическом газе. ДАН. 1956. Т.109. №4.

7. Арутюнян Г.М., Карчевский Л.В. Отраженные ударные волны. М.: Машиностроение, 1973.

8. Баженова Т.В., Гвоздева Л.Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн. М.: Наука, 1977.

9. Бай Ши-и Магнитная газодинамика и динамика плазмы. М.: Мир, 1964.

10. Веллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. л-ры, 1960.

11. Виркгоф Г. Гидродинамика. М.: Изд-во иностр. л-ры, 1954.

12. Влохин A.M. Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1986.

13. Влохин A.M., Дружинин И.Ю. Сильные разрывы в магнитной гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1993.

14. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973.

15. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.

16. Веккен Ф. Предельные положения вилкообразных скачков уплотнения. /В сб. переводов "Механика", 1950, №4. С.24-34.

17. Бюст В. К теории развлетвленных скачков уплотнения. /В сб. статей "Газовая динамика". М.:ИЛ, 1950. С.131-143.

18. Герман Р. Сверхзвуковые входные диффузоры. М.: Физматгиз, 1960.

19. Глазнев В.Н., Запрягаев В.И., Усков В.Н., Терехова Н.М., Ерофеев В.К., Григорьев В.В., Кожемякин А.О., Котенок В.А., Омельченко A.B. Струйные и нестационарные течения в газовой динамике. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

20. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

21. Григоренко В.Л., Крайко А.Н. О внутренних скачках уплотнения при сверхзвуковом обтекании идеальным газом конфигураций клин — пластинка и конус — цилиндр //Прикл. математика и механика, 1986. Т.50. Вып.1. С.91-97.

22. Домбровский Г.А. Метод аппроксимации адиабаты в теории плоских течений газа. М.: Наука, 1964.

23. Дулов В.Г. Распад произвольного разрыва параметров газа на скачке площади сечения. //Вестник ЛГУ. Серия математики, механики и астрономии, 1958. № 19. Вып.4. С.76-99.

24. Ерофеев В.К., Омельченко A.B., Усков В.Н. Анализ акустического импеданса в стационарных сверхзвуковых течениях //Инженерно-физический журнал. 1998. Т.71. №4. С.663-668.

25. Жуков А.И. Применение метода характеристик к численному решению одномерных задач газовой динамики. Труды Матем. ин-та1. АН СССР. № 7. i960.

26. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных явлений. М.: Физматгиз, 1963. '

27. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.

28. Кацкова О.Н., Наумова И.Н., Шмыглевский Ю.Д., Шулиншина Н.П. Опыт расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений газа методом характеристик. М.: ВЦ АН СССР, 1961.

29. Кенцер Ч. Дискретизация граничных условий на движущихся разрывах/В сб. "Численные методы в механике жидкостей". М.:Мир, 1973.

30. Киреев В.И., Войновский A.C. Численное моделирование газодинамических течений. М.:Изд-во МАИ, 1991.

31. Кожемякин А. О., Омельченко A.B., У сков В.Н. Наклонное взаимодействие сверхзвуковых потоков //Изв.РАН. Механика жидкости и газа. 1999. №5. С.123-131.

32. Кожемякин А. О. Решение задачи о распаде произвольного стационарного разрыва: Дис. . к-та физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 2000.

33. Кочин Н.Е. К теории разрывов жидкости. Собрание сочинений. Т.2. М.: Гостехиздат, 1948.

34. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979.

35. Крайко А.Н., Пудовиков Д.Е., Якунина Г.Е. Теория аэродинамических форм, близких к оптимальным. М.: Янус-К, 2001.

36. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М.: Физматлит, 1962.

37. Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.

38. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Иностр. лит-ра, 1950.

39. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.

40. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

41. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

42. Малоземов В.Н., Омельченко A.B., Усков В.Н. О минимизации потерь полного давления при торможении сверхзвукового потока //Прикладная математика и механика. Т.62. Вып.6, 1998. С.1015-1021.

43. Мешков В.Р., Омельченко A.B., Усков В.Н. Взаимодействие скачка уплотнения со встречной волной разрежения // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер.1. 2002. Вып.2 (№ 9). С.99-106.

44. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.: Изд-во иностр. л-ры, 1961.

45. Найфэ А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

46. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984.

47. Никольский A.A. О телах вращения с протоком, обладающих наименьшим волновым сопротивлением в сверхзвуковом потоке. Жуковский: Труды ЦАГИ, 1950.

48. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

49. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

50. Овсянников Л.В., Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ дифференциальных уравнений механики //Итоги науки и техники: Общая механика. М.-.ВИНИТИ, 1975. Т.2. С.5-52.

51. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.

52. Омельченко A.B., Усков В.Н. Оптимальные ударно-волновые системы //Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1995. №6. С.118-126.

53. Омельченко A.B., Усков В.Н. Оптимальные ударно-волновые системы при ограничениях на суммарный угол поворота потока //Изв.РАН. Механика жидкости и газа. 1996. №4. С.142-150.

54. Омельченко A.B., Усков В.Н. Экстремальная система 'волна разрежения скачок уплотнения* в стационарном потоке газа //Прикладная математика и техническая физика. 1997. Т.38. №2. С.40-47.

55. Омельченко A.B., Усков В.Н. Геометрия оптимальных ударно-волновых систем //Прикладная механика и техническая физика. 1997. Т.38. N5. С.29-35.

56. Омельченко A.B., Усков В.Н. Максимальные углы поворота сверхзвукового потока в ударно-волновых системах //Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1998. № 3. С.148-156.

57. Омельченко A.B., Усков В.Н. Распад центрированной волны сжатия Прандтля Майера в стационарном потоке газа //Прикладная механика и техническая физика. 1998. Т.39. № 3. С.1-10.

58. Омельченко A.B. Оптимальные ударно-волновые системы: Дис. . к-та физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 1998.

59. Омельченко A.B., Усков В.Н. Оптимальные догоняющие скачки уплотнения с ограничениями на суммарный угол поворота потока //Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т.40. №4. С.99-108.

60. Омельченко A.B. Обобщенный инвариант Честера Уизема //Письма в ЖТФ. 2001. Т.27. № 21. С.6-12.

61. Омельченко A.B. Дифференциальные характеристики потока за ударной волной //Журнал технической физики. 2002. Т.72. № 1. С.20-27.

62. Омельченко A.B. О связи производных на сильном разрыве //Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. Т.42. №8. С.1246-1257.

63. Омельченко A.B., Усков В.Н. Интерференция нестационарных косых ударных волн //Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. № 12. С.5-12.

64. Омельченко A.B., Тао Ган, Усков В.Н. О поведении газодинамических переменных за косой ударной волной /В сб. статей "Современные проблемы неравновесной газо- и термодинамики". СПб.: Изд-во БГТУ, 2002. С.179-191.

65. Омельченко A.B. Взаимодействие простой волны Прандтля Май-ера со слабо завихренным слоем //Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. №.20. С.87-94.

66. Основы газовой динамики /Под ред. Г.Эммонса. М.: Изд-во иностр. л-ры, 1963.

67. Панов Д.Ю. Численное решение квазилинейных гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Гостехиздат, 1957.

68. Петров Г.И. Избранные труды. Аэромеханика больших скоростей и космические исследования. М.: Наука, 1992.

69. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Газовая динамика сопел. М.: Наука, 1990.

70. Подлубный В.В. К задаче взаимодействия трех ударных волн. //Уч. зап. ЦАГИ, 1978. Т.9. №4. С.102-106.

71. Полубояринов А.К. Метод характеристик и ударные волны. Д.: Изд-во ЛМИ, 1983.

72. Полубояринов А.К. Расчет обтекания тел вращения методом характеристик. Л.: Изд-во ЛМИ, 1987.

73. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973.

74. Райхенбах Г. Ударные волны в газах //Физика быстропротекаю-щих процессов. Т.З. М.: Мир, 1971. С.56-102.

75. Роман Б. О распространении плоских волн конечной амплитуды. Сочинения. М.: Гостехиздат, 1948.г»

76. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1968.

77. Росляков Г. С. Взаимодействие плоских скачков одного направления. //Численные методы в газовой динамике. М.: Изд-во МГУ, 1965. С. 28-51.

78. Росляков Г.С., Старых А.Л., Усков В.Н. Интерференция стационарных скачков уплотнения одного направления. //Изв. АН СССР. МЖГ, 1985. №4. С.143-152.

79. Русанов В.В. Производные газодинамических функций за искривленной ударной волной. Москва, 1973 (Препр. Ин-т прикл. мат. АН СССР; №18).

80. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Гостехиздат, 1957.

81. Семилетенко Б.Г., Собколов Б.Н., Усков В.Н. Приближенный расчет амплитудно-частотных характеристик неустойчивого взаимодействия сверхзвуковой струи с нормально расположенной плоской преградой //Известия СО АН СССР. Техническая серия. 1975. №13.

82. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.

83. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Гостехиздат, 1955.

84. Тао Ган Тройные конфигурации скачков уплотнения в неравномерных сверхзвуковых потоках: Дис. . к-та физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 2001.

85. Теория оптимальных аэродинамических форм /Под ред. А.Миеле. М.: Мир, 1969.

86. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

87. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

88. У сков В.Н. Ударные волны и их взаимодействие. Л.: Изд-во Л МИ, 1980.

89. Усков В.Н. Бегущие одномерные волны. СПб.: Изд-во БГТУ, 2000.

90. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. М.: Иностранная лит-ра, 1962.

91. Цянъ Суэ-Сэнь Метод Пуанкаре Лайтхилла - Го. /Сб. статей "Проблемы механики". Вып.И. М.:ИЛ, 1959. С.7-62.

92. Черный Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959.

93. Черный Г.Г. Автомодельные задачи обтекания тел горючей смесью газов // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1966. №6. С.10-21.

94. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988.

95. Чернышов М.В. Взаимодействие элементов ударно-волновых систем между собой и с различными поверхностями: Дис. . к-та физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 2002.

96. Честер У. Распространение ударных волн в каналах переменной ширины. /Сб. "Механика". Вып.6, 1954. С.76-87.

97. Шмыглевский Ю.Д. Аналитические исследования динамики газа и жидкости. М: Эдиториал УРСС, 1999.

98. Эггерс А.у Савин Р., Сайверстон С. Обобщенный метод применения теории скачков уплотнения и теории течения разрежения к обтеканию тел, движущихся с большими сверхзвуковыми скоростями. /В сб. переводов "Механика", 1956. №3 (37). С.3-16.

99. Элерс Ф.Э. Метод характеристик для изоэнергетических сверхзвуковых течений, приспособленный к быстродействующим цифровым вычислительным машинам. /В сб. переводов "Механика", 1960, №1. С.3-16.

100. Яненко Н.Н. Бегущие волны системы квазилинейных уравнений. //ДАН СССР, 1956. Т.109. №1. С.44-47.

101. Яушев И.К. Распад произвольного разрыва в канале со скачком площади сечения. //Изв. СО АН СССР. Серия техн. наук, 1967. №8. Вып.2. С.109-120.

102. Azevedo D.J., Liu C.S. Engineering approach to the prediction of shock patterns in bounded high-speed flows //AIAA J. 1993. V.31. №1. P.P.83-90.

103. Bleakney W., Taub A.H. Interaction of shock waves //Rev of modern phys. 1949. V.21. P.P.548-605.

104. Chisnell R.F. The motion of a shock wave in a channel, with applications to cylindrical and spherical shock waves //J. Fluid Mech., 1957. V.2. P.286.

105. Chisnell R.F. The normal motion of a shock wave through a nonuniform onedimentional medium //Proc. Roy. Soc., 1955. V.232. P.350.

106. Courant R, Lax P. On nonlinear partial differential equations with two independent variables //Communs Pure and Appl. Math., 1949. V.2. P.P.255-273.

107. Griffith W.C. Shock waves //J. Fluid Mech., 1981. V.106. P.P.81-108.

108. Henderson L.F. On a class of multishock interactions in a perfect gas. //Aeron. quart., 1966. V.17. P.P.1-20.

109. Henderson L.F. On the confluence of three shock waves in a perfect gas. //Aeron. quart., 1964. V.15. P.P.181-197.

110. Henderson L.F. The reflection of a shock wave at a rigit wall in the presence of a boundary layer. //J. fluid mech., 1967. V.30. №4.1. P.699.

111. Henderson L.F., Lozzi A. Experiments on transition of Mach reflection //J. Fluid Mech., 1975. V. 68. Part 1. P.P.139-155.

112. Henderson L.F.f Lozzi A. Further experiments on transition of Mach reflection //J. Fluid Mech., 1979. V. 94. Part 3. P.P.541-559.

113. Homung H.G., Robinson M.L. Transition from regular to Mach reflection of shock waves. Part 2. The steady-flow criterion //J. Fluid Mech., 1982. V.123. P.P.155-164.

114. Emanuel G., Yi T.H. Unsteady obliquue shock waves //Shock Waves, 2000. № 10. P.P.113-117.

115. Lax P.D. Giperbolic systems of conservation laws //Communs Pure and Appl. Math., 1957. V.10. P.P.537-566.

116. Legras J. Application de la methode de Lighthill a un ecoulement plan supersonique //Compt. Rend., 233, 1951. P.P.1005-1008.

117. Lee D.H., Sheppard L.M. Fn approximate second-order wing theory //AIAA Journal, 1966. V.4. P.P.1828-1830.

118. Li H.f Ben-Dor G. Oblique shock-expansion fan interaction analitical solution. //AIAA Journal, 1996. V. 34. №2. P.P.418-421.

119. Lighthill M.J. The flow behind a stationary shock. //Phil. Mag., 40, 1949. P.P.214-220.

120. Lighthill M.J. Dynamics of dissotiating gas. Part I. //J. Fluid Mech., 1957. V.2. P.P.1-32.

121. Lighthill M.J. A technique for rendering approximate solutions to physical problems uniformly valid //Phil. Mag., 40, 1949. P.P.1179-1201.

122. Lighthill M.J. The shock strength in supersonic "conocal fields" //Phil. Mag., 40, 1949. P.P.1202-1223.

123. Lighthill M.J. A technique for rendering approximate solutions to physical problems uniformly valid //Z. Flugwiss., 9, 1961. P.P.267

124. Lin C. C. On a perturbation theory based on the method of characteristic //J. Math, and Phys., 33, 1954. P.P.117-134.

125. Moeckel W.E. Interaction of oblique shock waves with regions of variable pressure, entropy and energy //Tech. Note NACA № 2725, 1952.

126. Neuman J. Collected works. Oxford: Pergamon press, 1963. V.6. P.P.239-299.

127. Rao P.S. Supersonic bangs //Aeron. Quart., 1956. №7. P.P.135-155.

128. Taub A.H. Interaction of progressive rarefaction waves //Ann. Math., 1947. №.4. P.P.811-828.

129. Truesdell C. On curved shocks in steady plane flow of an ideal fluid //J. Aeronaut. Sci., 1952. V.19. P.P.826-828.

130. Witham G.B. The flow pattern of a supersonic projectile //Comm. Pure Appl. Math., 5, 1952. P.P.301-348.

131. Witham G.B. The propogation of weak spherical shocks in stars //Comm. Pure Appl. Math., 6, 1953. P.P.397-414.

132. Witham G.B. On the propogation of a shock wave through regions of non-uniform area of flow //J. Fluid Mech., 1958. V.4. P.337.