Стационарные газодинамические разрывы и ударно-волновые структуры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Булат, Павел Викторович

• Булат, Павел Викторович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Булат, Павел Викторович

Введение 6

Глава 1 Интерференция газодинамических разрывов - история исследований, основные

сведения и методология 19

1.1 Понятие о волнах, газодинамических разрывах и ударно-волновых процессах 19

1.2 Развитие представлений о природе газодинамических разрывов 22

1.3 Условия динамической совместности на разрывах и волнах 24

1.4 Косой скачок уплотнения и ударные поляры 27

1.5 Ударно-волновые структуры и классификация образующих их разрывов 36

1.6 Графический метод ударных поляр 39

1.7 Маховское отражение и маховская интерференция 41

1.8 Тройные конфигурации ударных волн 48

1.9 Дифференциальные условия динамической совместности и слабые разрывы 55

1.10 Метод слабых разрывов 58

1.11 Отражение слабого разрыва от оси и плоскости симметрии 62

1.12 Выводы к главе 1 68 Глава 2 Одиночные газодинамические разрывы 69

2.1 Ударная волна с позиции теории особенностей гладких отображений 69

2.2 Законы сохранения на разрыве, возникающем в простой волне 71

2.3 Уравнение Бюргерса как модель ударной волны в среде с исчезающей вязкостью и связь с "функцией минимума" 75

2.4 Скачок уплотнения в калорически несовершенном невязком газе 78

2.5 Задачи отыскания оптимальных свойств одиночных разрывов 88

2.6 Кривизна скачка уплотнения 90

2.7 Кривизна тангенциального разрыва и линий тока 98

2.8 Зарождение висячего скачка 102

2.9 Фронт горения в сверхзвуковом потоке - газодинамический разрыв 106

2.10 Выводы к главе 2 124

Глава 3 Интерференция встречных разрывов и теория перестроек ударно-волновых

структур 126

3.1 Геометрическая теория трансформации ударных волн 126

3.2 О связи теории особенностей Уитни в задачах с параметром и перестроек ударных волн и ударно-волновых структур 129

3.3 Основные понятия теории особенностей Уитни 132

3.4 Допустимые перестройки ударных волн и ударно-волновых структур 135

3.5 Перестройка УВС при переходе от регулярного отражения косого скачка от стенки к маховскому и обратно в условиях гистерезиса 138

3.6 Область неоднозначности решения при отражении косого скачка от стенки 145

3.7 Переход между регулярной и маховской интерференцией - проверка критериев фон Неймана и Стационарной Маховской Конфигурации методом вычислительного эксперимента 149

3.8 Влияние размытия скачков на ширину зоны гистерезиса 154

3.9 Проверка критериев фон Неймана и Стационарной Маховской Конфигурации методом гидроаналогии 156

3.10 Интенсивность отраженного скачка при отражении косого скачка от стенки 160

3.11 Модель регулярного взаимодействия встречных скачков уплотнения 163

3.12 Модель нерегулярного взаимодействия встречных скачков уплотнения 166

3.13 Изменение качественной картины течения при увеличении интенсивности одного из встречных скачков 169

3.14 Гистерезис при несимметричной интерференции встречных скачков 171

3.15 Нерегулярное отражение скачка уплотнения от оси симметрии с образованием диска Маха 176

3.16 О проектировании оптимальных УВС со встречными скачками 182

3.17 Выводы к главе 3 188 Глава 4 Интерференция разрывов одного направления 190

4.1 Регулярная интерференция догоняющих скачков 192

4.2 Центрированная волна сжатия как предельный случай регулярной интерференции скачков уплотнения одного направления 193

4.3 Анализ областей существования ударно-волновой структуры в центрированной волне сжатия с различными типами отраженного разрыва 200

4.4 Характеристическая УВС при регулярной интерференции двух догоняющих скачков уплотнения 203

4.5 Области существования ударно-волновых структур с различным типом отраженного разрыва, образующихся при регулярной интерференции догоняющих скачков уплотнения 207

4.6 Область оптимального регулирования воздухозаборника внешнего сжатия 219

4.7 Выводы к главе 4 223

Глава 5 Перестройки ударно-волновых структур с тройными точками и их экстремальные свойства 225

5.1 Области существования тройных конфигураций ТК-1, ТК-2, ТК-3 с учетом возможной неоднозначности решения 226

5.2 Оптимальные тройные конфигурации скачков уплотнения 231

5.3 Асимптотические свойства тройных конфигураций 234

5.4 Перестройки УВС с переходом через экстремальную ТК с прямым скачком 237

5.5 Перестройки УВС при нерегулярной интерференции догоняющих скачков 245

5.6 Области существования УВС, образующихся при нерегулярной интерференции догоняющих скачков 250

5.7 УВС с тройными конфигурациями переходного типа, образующиеся при интерференции догоняющих скачков 256

5.8 Выводы к главе 5 259

Глава 6 Метод распада произвольного разрыва и задача построения разностных схем

повышенного порядка точности 262

6.1 О проблеме численного моделирования сверхзвуковых течений с сильными газодинамическими разрывами 262

6.2 История изучения задачи о распаде разрыва и основные понятия 266

6.3 Математическая модель распада произвольного разрыва 267

6.4 Определение областей существования решения 270

6.5 Случай, когда отраженный разрыв - скачок уплотнения 273

6.6 Случай, когда отраженный разрыв - волна разрежения 277

6.7 Численный метод Годунова 281

6.8 Задача Римана как простейшая задача для тестировании численных методов 291

6.9 Типовые задачи для тестирования численных методов 294

6.10 Комплексные задачи для тестирования численных алгоритмов 309

6.11 Демонстрация возможности численного метода - дифракция ударной волны 316

6.12 Демонстрация возможности численного метода - рефракция ударной волны 321

6.13 Выводы к главе 6 325 Заключение 327 Список использованных источников 333

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стационарные газодинамические разрывы и ударно-волновые структуры»

ВВЕДЕНИЕ

Лишь в конце работы мы обычно узна-ем, с чего нужно было её начать.

БлезПаскаль

Полеты сверхзвуковых и гиперзвуковых летательных аппаратов неразрывно связаны с образованием и трансформациями ударно-волновых структур (УВС). Газодинамические разрывы (ГДР), к которым относятся, например, ударные волны, образуются при обтекании внешней поверхности летательного аппарата (ЛА), сжатии воздуха в воздухозаборниках (ВЗ), в результате взаимодействия реактивных струй двигателей. Пересечение разрывов между собой и с преградами называется интерференцией. В результате интерференции разрывов образуются ударно-волновые структуры, состоящих из газодинамических разрывов и волн различного типа.

При плавном изменении одного или нескольких параметров УВС трансформируются. Трансформация УВС - изменение УВС, сопровождающееся увеличением или уменьшением углов наклона ГДР и их интенсивности, при неизменной топологии. При некотором значении одного или нескольких параметров может произойти структурная перестройка УВС, сопровождающаяся сменой топологии, т.е. ветвлением разрывов, входящих в УВС, их появлением или, наоборот, исчезновением. Под перестройками также понимаются объединения двух и более УВС в одну, либо распад УВС на несколько. Значения параметров, при которых происходят структурные перестройки, называются особыми точками или точками бифуркации. Изучению трансформаций и перестроек УВС в особых точках посвящена настоящая работа. Исследование проводится для модели идеального газа, кроме тех случаев, когда это не оговорено отдельно. В работе подробно не рассматриваются такие важные проблемы, как рефракция скачков на тангенциальных и контактных разрывах, т. к. это привело бы к удвоению объема работы.

Актуальность. Теория интерференции газодинамических разрывов активно развивается, начиная с 40-50-х годов XX века в связи с появлением задач исследования сверхзвукового обтекания летательных аппаратов (ЛА), а также сверхзвуковых струй газа. С тех пор проблеме было посвящено тысячи публикаций. Среди зарубежных работ выделяются теоретические исследования научных школ Бена-Дора и Эльперина (G.Ben Dor, T.Elperin, Израиль),

экспериментальные работы Такаямы (K.Takayama, Япония) и Скейза (Beric W.Skews, ЮАР), обобщенные в трехтомнике [1]. В нашей стране наибольший вклад в развитие теории внесли научные школы Г.Г.Черного - А.Н.Крайко - В.А.Левина (ЦИАМ, Институт Механики МГУ), М.С. Иванова (Институт Теоретической и Прикладной Механики Сибирского Отделения Академии наук - ИТПМ) и В.Н.Ускова (Ленинградский Механический институт, ныне это Балтийский Государственный Технический Университет "ВОЕНМЕХ" - БГТУ).

Основные разделы теории интерференции стационарных газодинамических разрывов в современном виде были сформулированы Владимиром Николаевичем Усковым в начале 80-х годов XX века [2, 3], который долгие годы являлся научным руководителем автора, а в дальнейшем соавтором и научным консультантом настоящей работы. В основе теории лежат законы сохранения на газодинамических разрывах, названные В.Н.Усковым условиями динамической совместности (УДС). Теория позволяет производить расчет одиночных разрывов и волн, а также образующихся в результате их интерференции ударно-волновых структур. Для этого необходимо знать газодинамические параметры исходного течения, тип ударно-волновой структуры, а также интенсивности приходящих в эту структуру разрывов. Результатом расчетов являются интенсивности исходящих разрывов и параметры за ударно-волновой структурой. Последовательное изложение теории приведено в монографии [4], написанной В.Н.Усковым совместно с его учениками А.Л.Старыхом и А.Л.Адриановым, которые первыми разработали на основе теории В.Н.Ускова рабочие расчетные методики и выполнили параметрическое исследование самых разнообразных УВС.

Известно, что интерференция может быть регулярной, а также маховской. В последнем случае образуется тройные конфигурации ударных волн (ТК). Для маховской интерференции полная теория отсутствует, но разработана методика расчета отдельных ТК. Учениками В.Н.Ускова Тао Ганом, А.В.Омельченко, М.В.Чернышовым исследованы области существования ТК, их экстремальные свойства. Была предпринята попытка сформулировать задачи проектирования оптимальных УВС, а также управления ими, которая, в прочем, не увенчалась успехом. Дело ограничилось исследованием газодинамических зависимостей за разрывами и УВС на экстремум.

В ряде задач, при определенном сочетании параметров, законы сохранения допускают существование и регулярной, и маховской интерференции. Надежные критерии отбора правильных решений отсутствуют и законы сохранения на разрывах в принципе не позволяют разработать такой критерий.

Ничего не может сказать существующая теория и о направлении трансформации ударно-волновых структур, их перестройках и переходных процессах, при изменении параметров. Таким образом, существующая теория является неполной и "статической".

В 60-е и 70-е годы ХХ века такое положение дел не было серьезным препятствием на пути разработки сверхзвуковых ЛА, т.к. они рассчитывались тогда на узкий диапазон скоростей, а используемые УВС были сравнительно простыми. В 90-е годы начались масштабные исследования гиперзвуковых ЛА, для которых был характерен уже широкий диапазон скоростей полета. Последовательное увеличение скорости полета должно сопровождаться трансформацией УВС в воздухозаборниках и соплах силовых установок, а также, возможно, их перестройками. Теория таких перестроек отсутствовала.

Развернулись также исследования, направленные на создание ЛА принципиально нового типа - волнолетов. Волнолеты имеют специальную аэродинамическую форму, опирающуюся несущими поверхностями на волновые фронты УВС, что приводит к существенному увеличению аэродинамического качества летательного аппарата на больших сверхзвуковых скоростях полета за счет использования повышенного давления за ударными волнами. Если геометрия волнолета остается неизменной, то при изменении скорости полета УВС меняют свою конфигурацию и перестают быть оптимальными для исходной формы волнолета.

В ХХ1 веке в практическое русло перешли работы по созданию детонационных двигателей. Казалось, что теория установившейся детонации (детонации Чепмена-Жуге) хорошо разработана и практическая реализация импульсно-детонационных, ротационных и непрерывно-детонационных двигателей не заставит себя долго ждать. Однако, исследования неожиданно столкнулись с многочисленными сложностями. Выяснилось, что в типичных случаях движущийся детонационный фронт представляет собой не одиночную ударную волну, которая инициирует реакции горения, а совокупность тройных конфигураций ударных волн, которые непрерывно трансформируются и перестраиваются. Следовательно, необходимо изучать эти закономерности.

Таким образом, актуальным является изучение перестроек УВС, особенно, возникающих в результате маховской интерференции, областей существования структур различных типов, разработка алгоритмов отбора верных решений, исследование экстремальных свойств разрывов и УВС, а также путей построения оптимальных УВП.

Существующая теория интерференции стационарных газодинамических разрывов не во всем удовлетворяет потребностям практики на современном этапе. Теория развита в более или менее законченном виде только для идеального газа. Результаты анализа её применения для реального газа пока фрагментарны. Необходимо иметь строгое обоснование применимости используемых теорией интерференции стационарных ГДР законов сохранения в реальных условиях вязкого, теплопроводного, калорически несовершенного газа. Сегодня полностью разработаны методики расчета регулярной интерференции разрывов, а также тройных конфигураций ударных волн. Полная теория нерегулярной (маховской) интерференции в настоящее время отсутствует. Маховская интерференция догоняющих скачков и вовсе не изучена. Нет ясности в вопросах: насколько сложными могут быть УВС, каким образом и в каком направлении осуществляется перестройка УВС. Вообще, на данном этапе развития аэрокосмической техники можно смело утверждать, что вопросы маховской интерференции скачков уплотнения являются важнейшими. Действительно, появляющиеся в сверхзвуковых воздухозаборниках на нерасчетных режимах ножки Маха являются крайне нежелательным явлением, которого нужно избегать или, в крайнем случае, минимизировать его. Напротив, в детонационных двигателях ножка Маха - это полезное явление, ей соответствует пересжатая детонация, обеспечивающая наиболее эффективное быстрое горение, поэтому в данном случае размеры ножки Маха должны быть максимально возможными.

Многим авторами описаны области неоднозначности решений в случае отражения скачка от стенки и интерференции встречных скачков. В этих областях законы сохранения допускают существование как регулярной интерференции, так и маховской. Указывается, что в областях неоднозначности имеет место гистерезис, т.е. то, какое из двух возможных решений реализуется на практике, зависит от направления изменения параметров УВС. Но до сих пор однозначно не определено, когда для перехода между регулярной и маховской интерференцией нужно использовать критерий отсоединения, а когда критерий СМК. До конца так и не объяснено, почему в результатах экспериментов и численных расчетов диапазон неоднозначности уже, чем предсказывается теорией. Не является ли это указанием на тот факт, что законы сохранения, развитые для разрыва в идеальном газе, не могут напрямую применяться для расчета разрывов в реальном вязком и теплопроводном газе? Неоднозначность решения с догоняющими скачками уплотнения вообще до сих пор не описана.

Из экспериментов и численных расчетов известно, что интерференция даже двух скачков может приводить к разнообразным и весьма сложным УВС. Возникает вопрос - существует ли

исчерпывающий перечень таких УВС, каковы их области существования? Перекрываются ли эти области, т.е. существует ли неоднозначность?

Сложность ударно-волновых процессов приводит к определенным трудностям в их численном расчете. Иногда появляются парадоксальные результаты, например, в расчетах с помощью консервативных разностных схем, которые гарантируют соблюдение законов сохранения, в некоторых случаях получается регулярная интерференция там, где она уже должна быть маховской. Часто в решениях присутствуют различные паразитные артефакты, нефизичные осцилляции, энтропийные дорожки и т.п. А некоторые тонкие элементы УВС иногда наоборот теряются. Так было с явлением парадокса Неймана, когда долгое время в численных расчетах не удавалось выявить отраженную волну разрежения. Таким образом, если вид УВС заранее неизвестен, то интерпретировать результаты численных расчетов нужно с определенной долей осторожности. Задачу построения эффективных разностных методов осложняет и то, что в классическом виде условия динамической совместности на разрывах и известные решения задачи о распаде произвольного разрыва весьма неудобны для создания на их основе расчетных методик и нуждаются в доработке под современные требования.

Решению перечисленных выше проблем посвящена настоящая работа.

Научная проблема, на решение которой направлена работа - разработка научных и методологических основ моделирования газодинамических рабочих процессов в аэрокосмической технике с применением оптимальных ударно-волновых структур, с учетом их перестроек, неоднозначности и гистерезиса.

Цель диссертационной работы - развитие теории интерференции газодинамических разрывов в части разделов, связанных с нерегулярной интерференцией ударных волн, определением условий отбора решений в областях многозначности решения, условий перестройки ударно-волновых структур в результате как регулярной, так и маховской интерференции.

Предмет исследования - одиночные газодинамические разрывы и волны, объединенные в ударно-волновые структуры; ударно-волновые процессы, преобразующие одно состояние газодинамической системы в другое.

Задачи исследования. В настоящее время, перед специалистами, работающими над проблемой сверхзвуковой газовой динамики стоят следующие важные для практического применения задачи:

-Изучение УВС, характерных для детонационных двигателей, создание методологии проектирования таких двигателей и оптимальных для них ударно-волновых процессов;

-Проектирование трехмерных неуправляемых воздухозаборников, оптимизированных на скорость полета, соответствующую М=1.4-1.8;

-Оптимизация сверхзвуковой аэродинамики в традиционном для современных сверхзвуковых самолетов диапазоне чисел Маха М=1.8-2.2;

-Разработка и оптимизация воздухозаборников комбинированного сжатия для скорости полета, соответствующей М=3.5-5;

-Разработка и оптимизация аэродинамики интегрированных силовой установки и планера гиперзвукового летательного аппарата, рассчитанного на скорости полета М=6-10.

Исходя из этого, сформулированы задачи настоящей работы:

1. Методически полное изложение основных разделов теории интерференции стационарных плоских газодинамических разрывов за исключением задач рефракции волн и разрывов на тангенциальном и контактном разрыве. Задачи рефракции исключены из рассмотрения исключительно из-за необходимости уложиться в нормативный объем работы.

2. Изучение закономерностей поведения одиночных разрывов в окрестности кромки сопла, отражения скачков от оси симметрии и стенки, дифференциальных свойств скачков в сверхзвуковых струях.

3. Изучение влияния вязкости и калорического несовершенства газа на свойства одиночного скачка уплотнения, а также на параметры отражения скачка от стенки.

4. Изучение фронта горения в сверхзвуковом потоке как газодинамического разрыва.

5. Определение множества допустимых перестроек газодинамических разрывов и обоснование применимости условий динамической совместности, разработанных для идеального газа, к изучению свойств разрывов в реальном газе.

6. Изучение регулярной и маховской интерференции встречных скачков уплотнения, имеющих различную интенсивность, регулярного и маховского отражения косого скачка от стенки и от оси симметрии, проверка и обоснование критериев перехода от регулярного типа интерференции к маховскому типу и назад.

7. Параметрическое исследование зависимости интенсивности исходящих разрывов от параметров приходящих скачков и характеристик течения перед ударно-волновой структурой.

8. Изучение регулярной и нерегулярной интерференции скачков одного направления (догоняющих скачков).

9. Изучение экстремальных и оптимальных ударно-волновых структур, тройных конфигураций ударных волн.

10. Комплексное исследование областей существования различных ударно-волновых структур, возникающих при произвольном взаимодействии двух скачков уплотнения, условий объединения одиночных разрывов, тройных точек в сложные многоскачковые ударно-волновые структуры.

11. Исследование точных и приближенных решений задачи о произвольном взаимодействии двух сверхзвуковых потоков, изучение разностных схем, разработанных на их основе для расчета течений с сильными газодинамическими разрывами.

Новизна. Ряд существенных теоретических и экспериментальных результатов был получен впервые:

1. В общем виде введены законы сохранения на разрыве, непосредственно следующие из геометрической теории ударных волн, каустик и волновых фронтов. Показано, что эти законы для газодинамического разрыва в идеальном газе и ударной волны в уравнении Бюргерса с исчезающей вязкостью одни и те же, т. е. теорией, развитой для разрывов в сверхзвуковом потоке идеального газа, можно пользоваться и для анализа ударных волн в реальном газе. Привлечение теории особенностей гладких отображений, зависящих от параметра, позволило дать исчерпывающий список типов УВС, которые могут возникать, и список их трансформаций и перестроек в УВС других типов.

2. Найден практически исчерпывающий список допустимых УВС, их трансформаций и перестроек, а теория ГДР дополнена исследованием центрированной изоэнтропической волны сжатия.

3. Разработан метод расчета УВС в калорически несовершенном газе и дан анализ влияния калорического несовершенства газа на перестройки УВС при отражении ударной волны от твердой стенки и при интерференции встречных скачков.

4. Дополнена теория интерференции встречных и догоняющих скачков уплотнения, исследованы области существования регулярной и маховской интерференции, несовершенства газа. Обсуждены механизмы гистерезиса. Исследованы УВС, состоящие из двух и трех тройных конфигураций.

5. Проанализированы численные методы, основанные на решении задачи о распаде произвольного разрыва в приближенной и точной постановке. Проведены тесты разностных схем повышенного порядка точности.

6. Построены границы существования различных ударно-волновых структур, образующихся при произвольном взаимодействии двух скачков уплотнения. Найдены зависимости интенсивности отраженного разрыва от числа Маха и интенсивностей приходящих

скачков. Впервые исследована маховская интерференция догоняющих скачков. Исследованы структуры, состоящие из двух и трех тройных точек.

7. Экспериментально исследована возможность обеспечения стабилизации фронта горения в сверхзвуковом потоке.

Достоверность полученных результатов обеспечивается комбинированием аналитических решений с численным и натурным экспериментом, сравнением с результатами других авторов. В качестве теоретической основы использована математическая теория особенностей гладких отображений в приложении к ударным волнам и волновым фронтам.

Научная значимость полученных результатов состоит в том, что с помощью математической теории перестройки волновых фронтов введена исчерпывающая классификация газодинамических разрывов, ударно-волновых структур и ударно-волновых процессов, исследованы области существования оптимальных ударно-волновых структур, доставляющих экстремум заданному функционалу оптимальности, закономерности их трансформации и перестройки структур одного типа в другой, определены типы этих структур, для областей неоднозначности даны однозначные критерии отбора решений. Подробное численное исследование маховской интерференции скачков вплоть до чисел Маха М=7 показало, что переход от регулярной интерференции к маховской осуществляется в соответствии с критерием фон Неймана, а от маховской к регулярной - в соответствии с критерием стационарной маховской конфигурации, известной также, как критерий механического равновесия. Для каждого числа Маха существует предельный угол разворота потока, выше которого интерференция всегда маховская. Эти результаты подтверждены в терминах теории особенностей гладких отображений - критерию фон Неймана соответствует принцип наибольшего промедления, критерию стационарной маховской конфигурации -принцип Максвелла. Показано, что влияние вязкости сужает области неоднозначности, а калорическое несовершенство газа расширяет. Важно, что все эти результаты получены для диапазонов чисел Маха, в которых наиболее выгодно осуществлять сверхзвуковой и гиперзвуковой полет.

Практическая значимость. Большое внимание уделено практическому применению УВС в силовых установках летательных аппаратов, детонационных двигателях, воздухозаборниках и соплах при скоростях полета до М=7. Приведенные в работе примеры анализа воздухозаборников внешнего и комбинированного сжатия, а также воздушно-реактивных двигателей, предназначенных для полетов с большими сверхзвуковыми скоростями, демонстрируют наличие областей скоростей полета, в которых оптимальными будут

внутренние течения с различными УВС. Определены области чисел Маха, в которых оптимальными являются интерференция догоняющих скачков, смешанное сжатие с внутренним переотражением скачка и интерференция встречных скачков. Исследованы области чисел Маха, в которых эти УВС являются структурно устойчивыми.

На защиту выносятся:

1. Развитие теории интерференции стационарных газодинамических разрывов в части отсутствующих в ней разделов, таких как: обоснование критериев перехода от регулярной интерференции к маховской и обратно, анализ центрированной волны сжатия, маховской интерференции догоняющих скачков.

2. Геометрическая теория ударной волны, определение исчерпывающего перечня возможных перестроек волн, волновых фронтов и разрывов, а также типов образующихся в результате их взаимодействия ударно-волновых структур.

3. Теория перестроек УВС, методики проектирования УВС с оптимальными свойствами.

4. Критерии отбора физически реализуемых решений в областях неоднозначности, когда существующая теория допускает два или три различных решения.

5. Результаты экспериментальных исследований.

Апробация работы. Основные результаты исследований, изложенные в диссертации, были представлены в 2014-2016 гг. на семи ведущих международных семинарах, научных конференциях и конгрессах, в том числе:

1. 7th International Symposium on Non-equilibrium Processes, Plasma, Combustion and Atmospheric Phenomena (NEPCAP 2016) October 2-7, 2016; Sochi, Russia. (доклад делал сотрудник лаборатории В.В.Упырев).

2. Пятый научный семинар по горению и взрыву, посвященный памяти профессора Б.Е. Гельфанда, Санкт-Петербург, 4-5 октября 2016.

3. 22nd International Shock Interaction Symposium (ISIS22), 4-8 July 2016, Glasgow, UK [5 ].

4. 3rd IAA Symposium «Space Flight Safety», 4-8 July, 2016, St Petersburg, Russia.

5. 10th International Colloquium on Pulsed and Continuous Detonations. 4-8 July, 2016, St Petersburg, Russia. (доклад делал сотрудник лаборатории. В.В.Упырев).

6. IV Минский международный коллоквиум по физике ударных волн, горения и детонации в Институте тепло- и массообмена имени А.В. Лыкова НАН Беларуси, 9 - 12 ноября 2015 г.

7. 7th European Combustion Meeting. Budapest, Hungary, 30 March - 2 April, 2015 [6].

8. 30th International Symposium on Shock Waves. July 19-24, 2015, Tel-Aviv, Israel [7 ].

9. 12th International Conference on Heat Transfer, Fluid Mechanics and Thermodynamics (HEFAT2016), 11-13 July 2016, Malaga, Costa Del Sol, Spain [8].

Внедрение. Результаты работы нашли применение в 8 патентах на: генераторы ударных волн для технологических установок [9, 10], акустические излучатели [11, 12], станцию зарядки электромобилей с волновым накопителем энергии [13], газотурбинную установку с волновым накопителем энергии [14] и др. [15, 16]. Результаты работы использованы в ходе выполнения ПНИ «Разработка технологии непрерывно-детонационного гиперзвукового воздушно-реактивного двигателя воздушно-космической транспортной системы с управляемым сжиганием топлива в оптимальных структурно-устойчивых тройных конфигурациях ударных волн с долей детонационного горения не менее 85% объема камеры сгорания» (Соглашение № 14.575.21.0057, уникальный идентификатор прикладных научных исследований RFME-FI57514X0057, 2014-2016 г.), а также в ходе выполнения НИР "Разработка технологии энергетических машин с высоким КПД" (внутренний шифр ИТМО 715861).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 123 работах. В том числе, в 6 статьях в ведущих изданиях, индексируемых в Scopus и WoS по аэрокосмической тематике [17, 18], механике [19, 20], вычислительным методам [21, 22]. 5 статей в рецензируемых журналах, рекомендуемых ВАК по направлениям "механика" [23, 24, 25 принята к печати в 2017 г., 26 принята к печати в 2017 г.] и "вычислительные методы" [27]. В зарубежных журналах, индексируемых в Scopus и WoS, опубликована серия из 31 статьи по всем основным разделам работы. Цикл из 17 статей опубликован в журнале "Вестник ИТМО", рекомендованном ВАК по специальностям "физика", "машиностроение", "информатика и управление". Кроме того, под редакцией автора выпущены сборники статей "Ударные волны" [28] и "Донное давление" [29].

Личный вклад. Во всех частях исследования личным вкладом автора является постановка задачи, обработка и интерпретация результатов, разработка теории перестройки ударно-волновых структур, теоретическое обоснование критериев перехода от одной структуры к другой в условиях гистерезиса. Вычислительные и физические эксперименты, параметрическое исследование ударно-волновых структур и областей их существования выполнялись научной группой сотрудников под руководством автора. Исследование численных методов повышенного порядка точности, основанных на решении задачи о распаде произвольного разрыва, выполнено совместно с д.т.н. К.Н.Волковым (Kingston University, London). Результаты нашли отражение в совместных научных статьях. В этих работах личным вкладом автора является разработка математической модели и метода решения задачи о взаимодействии двух полубезграничных сверхзвуковых потоков. К.Н. Волковым выполнена

разработка программы расчета, подбор тестовых задач, а также проведены численные. В работе также использованы результаты д.т.н. М.В.Чернышова (Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого). Опираясь на них, автор работы выполнил комплексное исследование областей существования ударно-волновых структур, возникающих при интерференции двух произвольных скачков уплотнения.

Объем и структура диссертации. В диссертации - 361 стр., 256 иллюстраций, 358 источников. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения.

В первой главе приведены основные положения теории интерференции стационарных газодинамических разрывов в том, виде, как она сложилась к настоящему времени. На примере этапных работ крупнейших специалистов в области газодинамики показано, как развивалась теория и получались экспериментальные результаты, её подтверждающие. Обсуждены вопросы, требующие дальнейшей разработки.

Во второй главе приведена теория одиночного газодинамического разрыва, показана её связь с теорией волн, каустик и волновых фронтов, математической теорией особенностей гладких отображений. Законы сохранения на разрыве выведены непосредственно из представлений о его волновой структуре, доказана их применимость для разрывов в реальном газе. Рассмотрены свойства ударных поляр в идеальном и калорически несовершенном газе. Приведена теория дифференциальных свойств скачка уплотнения, с её помощью решены задачи построения скачка уплотнения в перерасширенной струе идеального газа, определения координат точки зарождения висячего скачка в недорасширенной струе, а также кривизны границы перерасширенной и недорасширенной струи на кромке сопла. Рассмотрен стационарный фронт горения в сверхзвуковом потоке. Выполнены экспериментальные исследования по инициированию детонации и стабилизации сверхзвукового горения.

В третьей главе рассматривается отражение скачков уплотнения от стенки и от оси симметрии, интерференция встречных скачков с разной интенсивностью, математическая модель регулярной и маховской интерференции встречных скачков. На основании теории допустимых перестроек ударно-волновых структур сформулированы критерии выбора решения в областях неоднозначности. Приведено теоретическое обоснование этих критериев, а также критериев переключения от регулярной интерференции к маховской и обратно. Подробно изучаются критерии перехода от одного вида интерференции к другой, области неоднозначности решений и имеющее при этом место явление гистерезиса. Для этого используются аналитические решения, теория трансформации ударных волн и волновых

фронтов, в сочетании с вычислительным экспериментом и экспериментом методом гидроаналогии.

В четвертой главе изучается регулярная интерференция разрывов одного направления. Эта задача на современном этапе является наиболее актуальной для разработки сверхзвуковых воздухозаборников внешнего сжатия. Рассмотрена центрированная волна сжатия, которая сжимает поток без потерь полного давления, и интерференция двух скачков. Изучаются области параметров течения, в которых отраженный исходящий из точки интерференции разрыв является волной разрежения или скачком уплотнения. Главный исходящий разрыв - всегда скачок уплотнения. Оптимальной для применения в воздухозаборниках является характеристическая ударно-волновая структура, которой в четвертой главе уделено особое внимание. Также намечены задачи исследования нерегулярной (маховской) интерференции скачков уплотнения одного направления.

Пятая глава посвящена маховской интерференции, ударно-волновым структурам, тройным конфигурациям ударных волн, их трансформациям и перестройкам при изменении числа Маха набегающего потока, изменении интенсивности одного или двух приходящих скачков уплотнения. Подробно изучаются области существования ударно-волновых структур различного типа, закономерности перехода структур одного типа в другой. Для чисел Маха от 1 до 7 и углов разворота потока на скачках от 0 до 30° построены области всех возможных УВС, которые могут образовываться при интерференции двух косых скачков. Показано, что эти области перекрывают друг друга, т. е. при одних и тех же параметрах допускается существование до трех различных УВС.

Шестая глава посвящена обоснованию современных численных методов расчета сверхзвуковых потоков с сильными ударными волнами и контактными разрывами. В точной и приближенной постановке решается задача о взаимодействии под некоторым углом двух сверхзвуковых потоков - это, так называемая, задача о распаде произвольного разрыва, на решении которой основаны численные методы типа Годунова-Колгана. При этом исходная теория, разработанная В.Н. Усковым, переработана с целью более удобного использования в современных численных методах. С помощью эталонных задач тестируются различные разностные схемы повышенного порядка точности. Выявлено, что в определенных случаях, при числах Маха, стремящихся к единице, применение приближенных решений задачи о распаде произвольного разрыва приводит к "потере" части решения, в этом случае необходимо использовать полную постановку задачи. Определены границы таких областей.

В заключении дано обобщение полученных результатов и намечены направления дальнейших исследований.

Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность Ускову В.Н. за обсуждение структуры работы и плана исследований. Усков В.Н. являлся научным консультантом настоящей работы вплоть его трагической гибели, ему принадлежит перечень задач, которые необходимо решить в первую очередь. Автор также выражает благодарность Константину Николаевичу Волкову за совместное выполнение численных исследований; Михаилу Владимировичу Чернышову за любезно предоставленные им материалы по тройным конфигурациям ударных волн, которые были использованы в исследованиях; сотрудникам лаборатории "Механики и энергетических систем" Университета ИТМО Николаю Васильевичу Продану и Владимиру Владимировичу Упыреву за выполненные ими под руководством автора расчетные исследования; Ольге Сергеевне Смирновой за помощь в редактировании работы.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Булат, Павел Викторович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе приведена полная классификация разрывов, ударно-волновых процессов и ударно-волновых структур. Развита геометрическая теория ударной волны, непосредственно следующая из теории волн и теории особенностей гладких отображений. Это позволило установить, что условия динамической совместности на скачке уплотнения, разработанные для идеального газа, можно применять и для расчета скачков в реальном газе. Нужно только ввести эффективный показатель адиабаты, который учитывает его зависимость от температуры.

Получено асимптотическое соотношение для толщины ударной волны и профиля изменения плотности внутри неё. Показано, что математический разрыв соответствует множеству Максвелла ударной волны и проходит в точности посередине её протяженности. Теория особенностей гладких отображений в приложении к ударным волнам позволила сформулировать исчерпывающий перечень "разрешенных" УВС, а также их возможных трансформаций и перестроек. Оказалось, что в УВС могут существовать только концевые точки, в которых происходит зарождение висячих скачков, регулярные точки, соответствующие простому пересечению скачков между собой, а также с тангенциальными и контактными разрывами и тройные точки, в которых главным скачком является ножка Маха, течение за которой всегда дозвуковое. Все остальные более сложные УВС не являются структурно устойчивыми и при малом возмущении распадаются на перечисленные выше элементы.

Для удобства использования в численных методах условия динамической совместности на скачках записаны автором в форме обобщенной адиабаты. В таком виде они применимы как для расчетов скачков (вместо обобщенной адиабаты подставляется адиабата Рэнкина-Гюгонию), так и изоэнтропических волн (вместо обобщенной адиабаты подставляется адиабата Пуассона). Известно, что обтекание трансзвуковым и сверхзвуковым потоком твердых тел, имеющих разрывы кривизны образующей, может приводить к появлению висячих скачков. В настоящей работе приведены условиях на характеристиках, записанные с учетом основных неравномерностей потока: градиента давления, кривизны линий тока и завихренности. Совместно с ДУДС на газодинамическом разрыве, полученными В.Н.Усковым, это позволяет находить кривизну линий тока или кривизну скачка, если известно поле течения перед разрывом и хотя бы одна неравномерность за ним. С помощью этого метода автором получены решения для кривизны линий тока сверхзвуковой неизобарической струи на кромке сопла, координат точек зарождения висячего скачка и геометрии падающего скачка уплотнения в равномерном течении и течении от источника.

Рассмотрены задачи построения оптимальных ударно-волновых структур. Показано, что для одиночного скачка можно сформулировать различные критерии оптимальности: максимальный скоростной напор (поражающее действие ударной волны), минимальные потери полного давления при отклонении потока на максимальный угол. Остальные критерии формулируются для УВС. Показано, что УВС, оптимальные с точки зрения максимального коэффициента восстановления полного давления, обеспечивают и экстремальное отношение плотностей, температур, скоростей звука и акустических импедансов. Можно также ввести критерии оптимальности по скоростному напору, присоединенной массе газа, увлекаемого ударной волной, и импульсу потока. Последние два критерия используются при проектировании импульсно-детонационных двигателей. СМК являются оптимальными сразу по всем параметрам, т.е. отношение параметров потока, прошедших через ножку Маха и через два косых скачка, принимает экстремальное значение. Исследование СМК при числе Маха и интенсивности первого приходящего скачка, стремящихся к бесконечности, показало, что при этом критерии оптимальности стремятся к конечным значениям.

Приведенные в работе примеры анализа воздухозаборников внешнего и комбинированного сжатия, а также воздушно-реактивных двигателей, предназначенных для полетов с большими сверхзвуковыми скоростями, демонстрируют наличие областей скоростей полета, в которых оптимальным будет сжатие в различных УВС. Так при числах Маха М=1.8-2.2 оптимальным является сжатие потока в двух косых догоняющих скачках с замыкающим прямым скачком. Воздухозаборники с такой УВС называются устройствами внешнего сжатия. При числах Маха М=2.2-2.54 УВС в воздухозаборнике внешнего сжатия происходят достаточно сложные перестройки, поэтому его регулирование затруднено. При еще больших числах Маха поперечные габариты воздухозаборников внешнего сжатия становятся неприемлемыми и необходимо переходить к устройствам другого типа.

УВС, состоящая из регулярного отражения косого скачка от стенки и замыкающего прямого скачка, оптимальна при М>3.5. Использующие такие УВС устройства называются воздухозаборниками смешанного сжатия. На скоростях М=2-2.5 они работают неустойчиво, т.к. оптимальное значение интенсивности первого скачка непосредственно примыкает к границе перехода от регулярного к маховскому отражению от стенки, которое в этом диапазоне скоростей сопровождается скачкообразным изменением интенсивности отраженного разрыва, что в полете может повлечь катастрофические последствия. Таким образом, диапазон скоростей М=2.2-3.5 не является оптимальным для сверхзвуковых полетов из-за сложности регулирования УВС в воздухозаборнике.

При числе Маха М=5 из соображений минимизации потерь пропульсивного КПД двигателя необходимо переходить к организации сверхзвукового горения. Уже при скорости полета М=6 оптимальная скорость топливно - воздушной смеси в камере сгорания составляет М=2. Следовательно, в диапазоне скоростей полета М>5 замыкающий оптимальную УВС в воздухозаборнике скачок должен быть косым.

Важным является также вопрос структурной устойчивости УВС. Для воздухозаборника внешнего сжатия такие УВС должны иметь отраженный разрыв - скачок уплотнения, а не волну разрежения. Создание оптимальных структурно устойчивых УВС, составленных из двух догоняющих скачков, возможно вплоть до М=2.089. При больших числах Маха область с отраженным скачком существует, но в ней при М>2.46 невозможно выполнить критерий оптимальности, заключающийся в равенстве интенсивности двух косых догоняющих скачков.

С помощью специально поставленного численного эксперимента показано, что границы области неоднозначности решения по мере увеличения количества ячеек разностной сетки в точности сходятся к теоретическим границам, соответствующим критериям СМК и фон Неймана. Вязкость газа сужает этот диапазон. В работе вязкость имитировалась введением неопределенности по углу наклона скачка, имеющего конечную, а не нулевую толщину. Известные оценки зависимости толщины ударной волны от вязкости позволяют для заданного числа Рейнольдса определить конкретную величину неопределенности по углу разворота потока, что на плоскости ударных поляр эквивалентно замене тонкой линии, задающей ударную поляру, толстой линией, толщина которой задается известной величиной неопределенности по углу разворота потока. Переключению с регулярной интерференции на маховскую и обратно соответствует касание края "толстой" поляры оси ординат (критерий фон Немана) или пересечение этого края с вершиной первой поляры (критерий СМК). Отсюда и сужение диапазона.

Подробное численное исследование маховской интерференции скачков вплоть до чисел Маха М=7 показало, что переход от регулярной интерференции к маховской осуществляется в соответствии с критерием фон Неймана, а от маховской к регулярной - в соответствии с критерием СМК. Для каждого числа Маха существует предельный угол разворота потока, выше которого интерференция всегда маховская. Эти результаты подтверждены в терминах теории особенностей гладких отображений - критерию фон Неймана соответствует принцип наибольшего промедления, критерию СМК - принцип Максвелла.

Отражение скачка уплотнения от оси симметрии имеет свои особенности. Оно всегда маховское. Влияние осесимметричности приводит к искривлению скачка по мере его

приближения к оси и в условиях регулярного отражения его кривизна на оси обращалась бы в бесконечность. Численные расчеты и теория особенностей гладких отображений позволили установить, что при числе Маха М>Моя (2.204 для воздуха) образование диска Маха происходит в точке скачка, в которой его интенсивность соответствует СМК, т.е. всегда в соответствии с критерием СМК. При меньших числах Маха образование диска Маха происходит в соответствии с критерием фон Неймана в точке, где интенсивность скачка равняется Уд. Диск Маха при этом не плоский, а вогнутый. Сравнение с экспериментом показало хорошее совпадение результатов.

Анализ теории особенностей гладких отображений показал, что в случае, когда время играет роль быстрой переменной, иногда в диссипативных системах происходит затягивание переключения динамической системы из одного устойчивого состояния в другое в соответствии с принципом максимального промедления. В этом случае система на какое-то время оказывается в неустойчивом состоянии и уже из него переключается на устойчивое. Именно этим, как было установлено в результате анализа теории и результатов численных расчетов, объясняется то, что при выполнении расчетов методом установления иногда получаются результаты, соответствующие регулярному отражению, а в соответствии с теорией отражение уже должно быть маховским. В теории особенностей такие решения называются "решениями с утками". Если используется полностью нестационарная постановка задачи, а шаг по времени достаточно мелкий, то такие ошибки не возникают.

Большое внимание автором уделено практическому применению УВС в силовых установках летательных аппаратов. Все полученные результаты анализируются на предмет практического использования при проектировании воздухозаборников и детонационных двигателей.

Детально проработан метод решения задачи Римана как в точной постановке, так и в рамках различных приближений. Определены области, где отраженный разрыв является скачком, волной разрежения или возможны оба решения. Выполнено тестирование различных разностных схем при помощи решения эталонных задач. Это позволило сделать следующие выводы. Стандартные ТУО-схемы, имеющие второй порядок точности вдали от разрывов, хорошо подходят для расчетов сверхзвуковых течений с небольшим числом изолированных ударных волн. Схемы ENO- и WENO-типа позволяют надежно выделять разрывы в течениях с достаточно сложной ударно-волновой структурой. Погрешности, связанные с сильными ударными волнами, не приводят к заметному ухудшению качества решения, полученного при

помощи метода конечных объемов, основанного на приближенном решении задачи Римана. При увеличении числа узлов сетки численное решение сходится к точному решению.

При небольших числах Маха М<1.2 применение приближенных методов решения задачи Римана нередко приводит к потере части решений, поэтому здесь численный метод должен использовать полную модель взаимодействия двух сверхзвуковых потоков. Именно с этим связан тот факт, что долгое время при расчете отражения слабых ударных волн от клина в условиях парадокса Неймана не удавалось обнаружить отраженную слабую волну разрежения.

Многие ведущие ученые считают, что проблема парадокса фон Неймана в настоящее время разрешена. Васильев [148] первым обнаружил, что она состоит в недостаточной точности существующих методов расчета, не способных обнаруживать слабую отраженную волну разрежения. Вклад российских исследователей общепризнан и настолько велик, что, например, Тесдаль в своем итоговом труде [355], называет УВС, характерную для отражения в условиях парадокса фон Неймана, отражением Гудерлея - Васильева. Скейз [3 56] завершил многолетние весьма сложные и изощренные по постановке эксперименты, подтвердил и наличие волны разрежения, и каскада следующих друг за другом сверхзвуковых зон, ограниченных звуковой линией. Однако, изучая результаты работ, которые сами авторы называют итоговыми и финальными, можно отметить ряд вопросов, на которые ответы так и не были даны:

- во всех работах, кроме работы Тесдаля, второй косой скачок называется отраженным, при этом непонятно, как определять его интенсивность, предлагаются различные модели и объяснения, которые никак не обоснованы теоретически и не подтверждены экспериментально;

- отраженная волна разрежения в экспериментах обнаружена, но непонятно, а может ли быть отраженным скачок уплотнения, ведь, например, на профиле крыла в трансзвуковом потоке местная сверхзвуковая зона замыкается именно слабым скачком уплотнения;

- наконец, исследован только случай набегания слабой ударной волны на клин, но похожие течения имеют место в УВС на срезе сопла с небольшим сверхзвуковым числом Маха, при внешнем обтекании выпуклого профиля трасзвуковым потоком.

В настоящей диссертации на эти вопросы были даны однозначные ответы. Никаких особых УВС Гудерлея-Васильева не существует, т.к. они не укладываются в имеющийся перечень "разрешенных" УВС, а имеет место обычное взаимодействие двух приходящих скачков одного направления, подробно рассмотренное в главах 4 и 5. Таким образом, второй скачок является не отраженным, а приходящим, что, кстати, хорошо видно на фото, приведенных в работе Скейза [3 57], посвященной натеканию слабых ударных волн на вогнутую

поверхность. Волны, распространяющиеся от вершины вогнутой поверхности, в данном случае, не накладываются друг на друга, поэтому хорошо видно, что они приходят в точку пересечения с первым скачком, а не исходят из неё. Интенсивность такой волны является заданной и её нетрудно рассчитать. В стационарных случаях второй скачок зарождается или на взбухающем пограничном слое, или на звуковой линии в слое смешения или трансзвуковом потоке. Методика расчета таких скачков основана на околозвуковом приближении и также хорошо известна [358]. При М<1.245 отраженный разрыв всегда является волной разрежения, интенсивность которой отличается от единицы всего на несколько сотых долей. При больших числах Маха отраженный разрыв может быть и скачком уплотнения, интенсивность которого также очень маленькая.

Практическое использование результатов. Результаты работы могут напрямую использоваться при проектировании воздухозаборников, сопел и двигателей воздушно-космических летательных аппаратов. Приведена полная методика расчета УВС, определены границы их существования и критерии оптимальности.

Рекомендации по дальнейшей разработке данного научного направления. Объем и формат диссертационной работы не позволил рассмотреть многие важные с практической и научной точки зрения задачи: взаимодействие ударной волны с ортогональным и наклонным контактным разрывом (актуально для разработки ротационных детонационных двигателей, систем защиты от взрыва), взаимодействие ударных волн с облаком частиц, с акустической волной, маховская рефракция скачка на тангенциальном разрыве (медицинские приложения), переходные процессы при перестройках УВС. Наконец, необходимо разработать общую теорию интерференции нестационарных косых ударных волн. Эта задача эквивалентна рассмотрению интерференции трехмерных скачков уплотнения. В настоящее время такая теория существует только для одномерного случая, основные положения двухмерной теории только намечены.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Булат, Павел Викторович, 2017 год

Список использованных источников

Handbook of Shock Waves, Volumes 1-3. Academic Press, 2012. - 2012 p.

Усков В.Н. Ударные волны и их взаимодействие. - Л.: Ленингр. мех. ин-тут, 1980. - 84с.

Усков В.Н. Интерференция стационарных газодинамических разрывов/ "Сверхзвуковые

Газовые Струи". - Новосибирск: ИТПМ, 1983. - С. 22-46.

Усков В.Н., Адрианов А.Л., Старых, А. Л. Интерференция стационарных

газодинамических разрывов. - Новосибириск: ВО "Наука". Сибирская Издательская

Фирма. - 1995. - С. 180.

Bulat P., Volkov K. Microwave and laser ignition for pulse detonation engines. Proceedings of the 22nd International Shock Interaction Symposium (ISIS22), 4-8 July 2016, Glasgow, UK. Bulat P., Volkov K. Simulation of detonation in particulate systems with applications to pulse detonation engines. Proceedings of the 7th European Combustion Meeting, 31 March - 1 April 2015, Budapest, Hungary. 2015. No. 4252.

Bulat P., Volkov K. Simulation of laser-induced detonation in particulate systems with applications to pulse detonation engines. Proceedings of the 30th International Symposium on Shock Waves (ISSW30), 19-24 July 2015, Tel-Aviv, Israel. 2015. 6 p.

Bulat P., Volkov K. Multi-scale simulation of two-phase flows in energy systems. Proceedings of the 12th International Conference on Heat Transfer, Fluid Mechanics and Thermodynamics (HEFAT2016), 11-13 July 2016, Malaga, Costa Del Sol, Spain. Paper No. 1570235169. Булат П.В., Продан Н.В. Генератор ударных волн//Патент №154734. 10.09.2014. Бюл.№25 Булат П.В., Продан Н.В. Генератор ударных волн//Патент №140420. 15.11.2013. Булат П.В., Засухин О.Н., Продан Н.В. Акустический излучатель//Патент №146440. 10.09.2014.

Булат П.В., Засухин О.Н., Иванов Д. А., Продан Н.В. Акустический излучатель//Патент №152649, 28.11.2014.

Булат П.В., Минин О.П. Станция зарядки автомобилей// Патент №119694. 27.08.2012 г Булат П.В. Газотурбинная установка с накопителем энергии//Патент №120145. 10.09.2012. Бесчастных В.Н., Булат П.В. Газотурбинный двигатель //Патент №156076. 05.10.2015. Булат П.В., Продан Н.В. Гибридная энергетическая установка // Патент №160574. 01.03.2016.

17 Bulat P.V., Ilyina T.E., Volkov K.N., Silnikov M.V., Chernyshov M.V. Interaction of a shock wave with an array of particles and effect of particles on the shock wave weakening. Acta Astronautica. SI:Space Flight Safety-2016. http://dx.doi.org/10.1016/j.actaastro.2016.08.036.

18 Bulat P.V., Zasukhin O.N., Prodan N.V., Upyrev V.V., Silnikov M.V., Chernyshov M.V. Base pressure oscillations and safety of load launching into orbit. Acta Astronautica. SI: Space Flight Safety-2016. http://dx.doi .org/10.1016/j.actaastro.2016.11.042.

19 Булат П.В., Засухин О.Н., Усков В. Н. О классификации режимов течения в канале с внезапным расширением. Теплофизика и аэромеханика, №2, С. 209-222.

Bulat P.V., Zasuhin O.N., Uskov V. N. On classification of flow regimes in a channel with sudden expansion. Thermophysics and Aeromechanics., 2012, Vol. 19 (No. 2), P. 233-246.

20 Булат П.В. , Упырев В.В. Границы области неоднозначности при отражении скачков уплотнения. Письма в ЖТФ, 2016, том 42, вып. 1. С. 33-41.

Bulat P. V. and Upyrev V. V. Boundaries of the Ambiguity Area upon Reflection of Compression Shock Waves. Technical Physics Letters, 2016, Vol. 42, No. 1, pp. 15-18. DOI: 10.1134/ S106378501601003X.

21 Булат П. В., Волков К. Н. Моделирование сверхзвукового течения в канале со ступенькой на неструктурированных сетках при помощи WENO-схем. ИФЖ. 2015. Том 88, No 4, с. 848-855.

Bulat P. V. and Volkov K. N. Simulation of supersonic flow in a channel with a step on nonstruc-tured meshess with use of the WENO scheme. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, Vol. 88, No. 4, July, 2015, pp.877-884.

22 Булат П. В., Волков К. Н. Применение WENO-схем для моделирования взаимодействия отраженной ударной волны с пограничным слоем. ИФЖ. 2015. Том 88, No 5, с.1163-1170.

Volkov K.N., Bulat P.V. Use of Weno Schemes for Simulation of the Reflected Shock Wave-Boundary Layer Interaction. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2015, 88(5): 1163-1170.

23 Булат П.В., Засухин О.Н., Продан Н.В. Особенности применения моделей турбулентности при расчете сверхзвуковых течений в трактах перспективных воздушно-реактивных двигателей. Двигатель. 2012, № 1. С. 22-25.

24 Булат П.В., Продан Н.В., Упырев В.В. Границы областей регулирования сверхзвуковых воздухозаборников. Двигатель, №4, 2016, с.14-17

25 Булат П.В., Продан Н.В., Упырев В.В. Характеристическая интерференция догоняющих скачков. Известия РАРАН. (Принято к печати). 2017.

26 Булат П.В., Засухин О.Н., Продан Н.В. Моделирование колебаний ударно-волновых структур в донной части сопловых блоков. Вопросы оборонной техники// Серия 16. Технические средства противодействия терроризму. (Принято к печати). 2017.

27 Булат П. В., Волков К. Н., Яковчук М. С. Визуализация течений с сильными и слабыми газодинамическими разрывами в вычислительной газовой динамике. Вычислительные методы и программирование. 2016. Т. 17. с.245-257.

28 Ударные волны: сборник научных статей // под ред. Булата П.В. Университет ИТМО.-Краснодар : Издательский дом - Юг, 2015. - 292 с.

29 Донное давление : сборник научных статей // под ред. Булата П.В. Университет ИТМО; БГТУ "ВОЕНМЕХ".-Краснодар : Издательский дом - Юг, 2016. - 196 с.

30 Усков В.Н. Наука о стихиях (исторический очерк становления гидроаэродинамики). Балт. Гос. Ун-Т. - СПб.:БГТУ, 2007. - 140 с.

31 Усков В.Н. Этапы становления аэрогазодинамики/ Аэродинамика// под ред. Р.Н. Митрошина. СПб.:ВВМ, 2006.- С. 153-211.

32 Усков В.Н. Исторический очерк развития исследований газодинамических разрывов/ Аэродинамика// Под ред.Р.Н. Мирошина., 2013.- С. 131-156.

33 Матвеев С.К., Усков В. Н. Исаак Павлович Гинзбург. К 100-летию со дня рождения. // Вестник СПБГУ - 2010 - Сер.1, вып.3 - С. 132-137. http://vestnik.unipress.ru/pdf10/s01/ s01v3_10_S.pdf.

34 Матвеев С.К., Усков В. Н. Виктор Георгиевич Дулов. К 80-летию со дня рождения. // Вестник СПБГУ - 2010 - Сер.1, Вып.3 - С. 138-141. http://vestnik.unipress.ru/pdf10/s01/ s01v3_10_S.pdf.

35 Uskov V. N., Bulat P.V. and Arkhipova L.P. Classification of Gas-dynamic Discontinuities and their Interference Problems. Research Journal of Applied Sciences, Engineering and Technology, 2014, 8(22): 2248-2254.

36 Uskov V.N., Bulat P.V., Arkhipova L.P. Gas-dynamic Discontinuity Conception. Research Journal of Applied Sciences, Engineering and Technology, 2014, Vol. 8 , (22).- p. 2255-2259.

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

48

50

51

Bulat P. V., Bulat M.P. Discontinuity of Gas-dynamic Variables in the Center of the Compression Wave. Research Journal of Applied Sciences, Engineering and Technology, 2014, №8(23), p: 2343-2349.

Bulat M.P., Bulat P. V., The analysis centric isentropic compression waves. World Applied Sciences Journal, 2013, 27(8): 1023-26. http://www.idosi.org/wasj/wasj27(8)13/12.pdf. DOI: 10.5829/idosi.wasj.2013.27.08.13719.

Bulat P.V.. The problem of Interference between Discontinuities of the First Order. IEJME — Mathematics education. 2016, VOL. 11, NO. 5, 1013-1021 Article number: mathedu.2016.091. Bulat P.V., Uskov V.N.. Gas-dynamic Waves and Discontinuities. IEJME — Mathematics education. 2016, VOL. 11, NO. 5, 1101-1111 Article number: mathedu.2016.098. Дейч М.Е. Техническая газодинамика. Изд. 3-е, перераб. М., "Энергия", 1974, 592 с. Mach E., Akad.Wiss.Wien 98, 1310. 1889.

Lagrange, J.L. Mecanique analytique/ Œuvres de Lagrange//Tome douzieme. Paris, 1788. Poisson, S.D. Memoire sur la theorie du son // Journal de l'Ecole Polytechnique, t. VII, cahier 14, 1808.- p. 319-392.

Stokes G.G. On a difficulty in the theory of sound // Philosophical Magazine, Series 3, Vol. 33, November, LIV, 1848.- p. 349-356.

Арнольд, В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000. - 400 с.

Арнольд, В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие для студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений. - М: Издательство 'Наука'. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. - 367 с.

Zeldovich, Ya., B. Gravitational instability: an approximation theory for large density perturbation. Astron. Astrophys. 1970, 5(1), 85-89.

Карман Т., Бюргерс И. Теоретическая аэродинамика идеальных жидкостей. - пер. с англ., М.- Л., 1939, 408 с.

Earnshaw, S. On the Mathematical Theory of Sound // Proceedings of the Royal Society of London, III. - 1858. - p. 590-591.

Earnshaw, S. On the mathematical theory of sound // Philosophical Transactions, Vol. 150. -1860. - №8. - p. 133-148.

52 Bulat P.V., Bulat M.P. Gas-dynamic Variable Relation on Opposite Sides of the Gas-dynamic Discontinuity// Research Journal of Applied Sciences, Engineering and Technology 9(12): 10971104, 2015, ISSN: 2040-7459; e-ISSN: 2040-7467.

53 Усков В.Н., Тао Ган, Омельченко А. В. О поведении газодинамических переменных за косой ударной волной. // Сб. статей под ред. В.Н. Ускова. - 2002 - С. 179-91.

54 Riemann, B. Uber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von end- licher Schwingweite // Abhandlungen der koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, Bd. 8. - 1860.- S. 43.

55 Rankine. On the thermodynamic theory of waves of finite longitudinal disturbance // Proceedings of the Royal Society of London, Vol. XVIII. - 1869 - № 115, III, p. 80-84.

56 Rankine. On the thermodynamic theory of waves of finite longitudinal disturbance // Philosophical Magazine, Series 4, Vol. 39. - 1870.- № CCLXI, p. 306-309.

57 Rankine. On the thermodynamic theory of waves of finite longitudinal disturbance // Philosophical Transactions, Vol. 160, Part II.- 1870.- XV, p. 277-288.

58 Hugoniot H. Propagation du mouvement dans les corps. Chapitre V. Sur les discontinuit es qui se manifestent dans la propagation du mouvement // Journal de l'E cole Polytechnique, cahier LVIII. - 1889. - p. 68-125.

59 Meyer Th. Ueber zweidimensionale Bewegungsvorg ä nge in einem Gas, dasmit Ueber-schallgeschwindigkeit strömt. // Forschungsheft des Vereins deutcher Ingenieure. - 1908 - 62, -С. 31-67.

60 Усков В.Н. Бегущие одномерные волны. Учеб. пособие. СПб.: Изд-во БГТУ «Военмех», 2000. - 224 с.

61 Vieille, P. Sur les discontinuiti es produites par la det ente brusque de gaz comprim es // Comptes Rendus, t. CXXIX. - 1899. - p. 1228-1230.

62 Stodola, A. Beitrag zur Stromung von Gasen und D' ampfen durch Rohre mit veranderlichem Querschnitt // Zeitschrift des Vereins deutcher Ingenieure, Bd. 47. - 1903. - Nr. 49, 5. Dezember. - S. 1787-1788.

63 Усков В.Н., Чернышов М.В. Экстремальные ударно-волновые системы в задачах внешней аэродинамики // Теплофизика и аэромеханика. Т. 21. - 2014. - № 1. - C. 15-31.

Uskov V.N., Chernyshov M.V. Extreme shockwave systems in problems of external supersonic aerodynamics // Thermophysics and Aeromechanics. Vol. 21. - 2014. - No. 1. - p. 15-30.

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

Bulat P.V. Optimal Shock-Wave Structures . IEJME — Mathematics education. 2016, VOL. 11, NO. 5, 1245-1259.

Усков В.Н. Оптимальные бегущие по потоку газа одномерные волны. Доклады на XV сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды. - 2000. - С. 63-78. Усков В.Н., Мостовых П. С. Экстремальные свойства косой ударной волны, бегущей по потоку газа.// Четвертые Поляховские чтения: Избранные труды. - СПб: ВВМ. - 2006. - С. 444-454.

Усков, В.Н. Интерференция газодинамических и тангенциальных разрывов. Изв. АН СССР, МЖГ. - 1979. - № 4, С. 191-197. Schardin H. Physik. Zeits. - 1932. 33, 60.

Bitondo D., Glass I.I., Patterson G.N. One Dimensional Theory of Absorption and Amplification of a Plane Shock Wave by a Gaseous Layer. University of Toronto Institute of Aerophysics (UTIA) -1950. Report №. 5.

Bitondo D. Experiments on the Amplification of a Plane Shock Wave. University of Toronto Institute of Aerophysics (UTIA) - 1950. Report №. 7.

Ford C.A., Glass I.I. An Experimental Study of One-Dimensional Shock Wave Refraction. J. Aero. Sci. - 1956. Vol. 23, № 2, pp. 189-191.

Gould D.G. The Head-On Collision of Two Shock Waves and a Shock and Rarefaction Wave in One-Dimensional Flow. University of Toronto Institute of Aerophysics (UTIA) - 1952. Report №. 17.

Nicholl C.I.H. The Head-On Collision of Shock and RarefactionWaves. University of Toronto Institute of Aerophysics (UTIA) -1951. Report №. 10.

Billington I.I., Glass I.I. On the One-Dimensional Refraction of a Rarefaction Wave at a Contact Surface. University of Toronto Institute of Aerophysics (UTIA) -1955. Report №. 31. Billington I.I. An Experimental Study of One-Dimensional Refraction of a Rarefaction Wave at a Contact Surface. University of Toronto Institute for Aerospace Studies (UTIAS) - 1955. Report №. 32.

Taub A H. Refraction of Plane Shock Waves. Physical Review. 1947. Vol. 72. № 1. July 1. Архипова Л.П., Усков В. Н. Универсальное решение задачи об отражении одномерных бегущих волн от твердой поверхности и их анализ для волн уплотнения." Вестник СПбГУ Серия 1(Вып. 2).- 2013. С. 77-81.

78 Архипова Л.П., Усков В. Н. Отражение центрированной волны разрежения Римана со сверхзвуковым задним фронтом от твердой и гладкой стенки. Вестник СПбГУ. Серия 1 (Вып. 4), -2012. С. 62-67.

79 Uskov V.N., Chernyshov M.V. The Interaction of Prandtl-Meyer Wave with the Oblique Shock of the Same Direction. Journal of Energy and Power Engineering. - 2013. Vol. 4 (№. 6): P. 21.

80 Uskov V.N., Chernyshov M. V. Analytical Solutions for Overtaking Prandtl-Meyer Wave — Oblique Shock. 19th International Shock Interaction Symposium. - 2010. P. 4.

81 Усков В.Н., Мешков В.Р., Омельченко А. В. Взаимодействие скачка уплотнения со встречной волной разрежения. Вестник СПбГУ Сер. 1. - 2002 (Вып. 2).

82 Silnikov M.V., Chernyshov M.V., Uskov V.N. Analytical solutions for Prandtl-Meyer wave -oblique shock overtaking interaction // Acta Astronautica. 2014. Vol. 99. Pp. 175-183.

83 Усков В.Н., Карасев К. А. Критериальные интенсивности при интерференции прямого скачка уплотнения и встречной ударной волны. Сб. "Наука и технологии". - 2003. С. 4-11.

84 Усков В.Н., Омельченко А. В. Интерференция нестационарных косых ударных волн. Письма в ЖТФ. - 2002. - Т. 28. № 12. - С. 5-12.

85 Усков В.Н., Мостовых П. С. Тройные конфигурации бегущих ударных волн в потоках невязкого газа. // Прикладная механика и техническая физика. - 2008 - Т.49, №3 - 3-10 С. http://www.sibran.ru/upload/iblock/b2f/b2fb71f6a2bf21b802f80c7e271fafa0.pdf.

86 Bulat P.V., Chernyshev M.V.. Existence Regions of Shock Wave Triple Configurations. IN International journal of environmental and science education. 2016, VOL. 11, № 11, 4844-4854.

87 Осватич К., Шварценбергер Р. Сборник задач и упражнений по газовой динамике. Перевод с немецкого В. А. Конотопа. М Мир. - 1967. - 271 с.

88 Усков В.Н., Омельченко А. В. Оптимальные ударно-волновые системы. // Изв. РАН. МЖГ. - 1995 - №6 - 126-34 С.

89 Усков В.Н., Омельченко А. В. Управление сверхзвуковым потоком. Доклад к 90-летию со дня рождения профессора Н.Н. Поляхова, 1997.

90 Омельченко А.В., Усков В. Н. Геометрия оптимальных ударно-волновых систем. // Прикладная механика и техническая физика. - 1997 - Т.38, №5 - 29-35 С. http:// www.sibran.ru/upload/iblock/099/099a6502e4cc391eb3a6cba024652a02.pdf.

91 Усков В. Н., Малоземов В.Н., Омельченко А.В. О минимизации потерь полного давления при торможении сверхзвукового потока. // Прикладная математика и механика. - 1998 -Вып.62, №6 - 1014-1021 С.

Uskov V.N., Malozemov V.N., Omelchenko A. V. The Minimization of the Total Presure Loss Acompaying the Breakdown of a Supersonic Flow. J. Appl. Maths. Mech., 1998. 62(6): 939-944.

92 Омельченко А.В., Усков В. Н. Оптимальные ударно-волновые системы при ограничениях на суммарный угол поворота потока. // Изв. РАН. МЖГ. - 1996 - №4 - С. 142-150.

93 Омельченко А.В., Усков В. Н. Максимальные углы поворота сверхзвукового потока в ударно-волновых системах. // Изв. РАН. МЖГ. - 1998 - №3 - С. 148-156. http://mzg.ipm-net.ru/ru/Issues.php?y=1998&n=3&p=148.

94 Усков В.Н., Омельченко А. В. Оптимальные догоняющие скачки уплотнения с ограничениями на суммарный угол поворота потока. // ПМТФ. - 1999 - Т.40, №4 - С. 99-108.

95 Омельченко А.В., Усков В. Н. Экстремальная система волна разрежения - скачок уплотнения в стационарном потоке газа. // Прикладная механика и техническая физика. -1997 - Т.38, №2 - С.40-47. http://www.sibran.ru/upload/iblock 502Z5026aa68547064533b518e44a7e32880.pdf.

96 Uskov V.N., Chernyshov M.V., Erofeev V.K., Genkin P. Optimal Shock-Wave Structures and New Ideas about Supersonic Gas Jet Noise Generation. CD Proceedings of the Thirteenth International Congress on Sound and Vibration (ICSV13), July 2-6, 2006. Vienna, Austria: Vienna University of Technology. ISBN: 3-9501554-5-7. P. 8.

97 Усков В.Н., Чернышов М. В. Теоретический анализ аэродинамических коэффициентов многоугольных профилей в сверхзвуковом потоке. механика и процессы управления. Труды XXXI Уральского семинара - Екатеренбург, 2001 - С. 187-191.

98 Усков В.Н., Чернышев М. В. Анализ Аэродинамических Коэффициентов Многоугольных Профилей В Сверхзвуковом Потоке. // Сб. трудов X Всероссийского семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. - 2002 - С. 322-326.

99 Усков В.Н., Чернышев М. В. Экстремальные нагрузки на элементы конструкций, доставляемые ударно-волновыми системами. // Сб. трудов 8-ой Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы обеспечения взрывобезопасности и противодействия терроризму». - 2013 - С.203-226. http://npo-sm.ru/pdf/conf_blasts8_con-tents.pdf.

100 Усков В.Н., Чернышев М. В. Тройные конфигурации стационарных ударных волн. XII Всероссийская научно-практическая конференция 2009 - С.420-435. http://npo-sm.ru/is-sue12.php.

101 Busemann, A. Verdichtungsstöße in ebenen Gasströmungen. Vorträge aus dem Gebiet der Aerodynamik, Aachen 1929 [Text] / A. Busemann; heraus- gegeben von A. Gilles, L. Hopf und Th. von Karman. - Berlin: Julius Springer, 1930. - S. 162-169.

102 Busemann, A. Gasdynamik, Handbuch der experimentellen Physik [Text] / A. Busemann. -Leipzig: Akademischer Verlag, 1931. - Vol. IV, Part. 1. - 394 p.

103 Busemann, A. Hodographenmethode der Gasdynamik [Text] / A. Busemann // ZAMM. - 1937. -Vol. 17, Issue 2. - P. 73 - 79.

104 Kawamura R., Saito H., 1956. Reflection of Shock Waves-1 Pseudo-Stationary Case. Journal of the Physical Society of Japan, 11(5): 584. http://adsabs.harvard.edu/abs/1956JPSJ...11..584K.

105 Bulat P.V., Uskov V. N. Mach reflection of a shock wave from the symmetry axis of the supersonic nonisobaric jet. // Research Journal of Applied Sciences, Engineering and Technology. -2014 - 8, 1. - 135-42 С. http://maxwellsci.com/print/rjaset/v8-135-142.pdf.

106 Molder S., 1960. Head-on interaction of oblique shock waves. University of Toronto Institute for Aerospace Studies (UTIAS), Technical Note № 38.

107 Булат П.В., Денисенко П.В., Упырев В.В. Несимметричное взаимодействие встречных косых ударных волн // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. Т. 15. № 5. С. 942-949.

108 Булат П.В., Упырев В.В., Денисенко П.В. Отражение косого скачка уплотнения от стенки // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. Том 15. № 2. С. 338-345.

109 Mach E. Uber den verlauf von funkenwellen in der ebene und im raume. Sitzungsbr. Akad. Wiss. Wien, Bd. 78. - 1878. - S. 819-838.

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

Bulat P. V. The History of the Study of Shock Wave's Mach Reflection from the Wedge. IEJME — Mathematics education. 2016, VOL. 11, № 5, 1151-1162.

Neumann J. // Collected works. Oxford-London-N.Y.- Paris: Pergamon Press, 1963. 427 p. Smith L.G. Photographic investigations of the reflection of plane shocks in air. Office of Scientific Research and Development. - 1945. - № 6271.

White D.R. An experimental survey of the Mach reflection of shock waves. Princeton University, Department of Physics, Technical Report II-10, Princeton, N.J., USA. - 1951. Ben-Dor G., Shock Wave Reflection Phenomena. Springer, Berlin, 2007.. http://www.springer.-com/us/book/9783540713814. DOI: 10.1007/978-3-540-71382-1. Старых А.Л. Нерегулярное взаимодействие скачков уплотнения между собой и с тангенциальными разрывами // Численные методы механики сплошной среды. -Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1986. - Т. 17, №6.-С.119-124.

Bulat P.V., Upyrev V.V. Oblique Shock Reflection from the Wall . IEJME — Mathematics education, 2016, VOL. 11, NO. 5, 1205-1214.

Bulat P.V., Silnikov M.V., Chernyshev M.V., Spherical Shock-wave-2D Surface Interaction. Research Journal of Applied Sciences, Engineering and Technology, 2015, 9(6): 428-433.

Усков В.Н., Шахова О. А. К расчету тройной конфигурации ударных волн/сб. "Гидроаэромеханика и теория упругости". - Днепропетровск: ДГУ. 1976- № 217, С. 13-18.

Neumann, J. Oblique reflection of shocks. In: Collected Works, Pergamon, Vol. 6, 1943. Courant, R., Friedrichs, K.O. Supersonic flow and shock waves. - New York. - 1948. Bleakney, W., Fletcher, C.H., Weimer, D.K. The Density Field in Mach Reflection of Shock Waves. Physical Review. Vol. 76. - 1949. - P. 323-324.

Breed, B.R. Impossibility of three confluent shocks in two-dimensional irrotational flow. Physics of Fluids. Vol. 10. - 1967. - P. 21.

Sternberg J. Triple-Shock-Wave Intersections. Physics of Fluids. 1959, Vol. 2. P. 179-206.

Sakurai A. On the problem of weak Mach reflection. Journal of the Physical Society of Japan. 1964. Vol. 19, No. 8, August, p. 1440-1450.

Dulov V.G., Motion of triple configuration of shock waves with formation of wake behind branching point. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1973. 14(6): p.791-797. http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF00853193.

126 Дулов В.Г., Лукьянов Г. А. Газодинамика процессов истечения. - Новосибирск: Наука, 1984.

127 Усков В.Н., Чернышов М. В. Теоретический анализ особенностей тройных конфигураций скачков уплотнения. // Сб. статей под ред. В.Н. Ускова. - 2002 - С.75-99.

128 Росляков Г.С., Старых А.Л., Усков В. Н. Интерференция стационарных скачков уплотнения одного направления. // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1987 - №4 - С. 143-152.

129 Усков В.Н., Старых А. Л. Анализ областей существования решений уравнений интерференции стационарных газодинамических разрывов. // Сб. Нестационарные течения газов с ударными волнами. - 1990 - С.359-372.

130 Усков В.Н., Старых А. Л. Анализ областей существования решений уравнений интерференции стационарных газодинамических разрывов. // Сб. Нестационарные течения газов с ударными волнами. - 1990 - С.359-372.

131 Усков В.Н., Чернышев М. В. Особые и экстремальные тройные конфигурации скачков уплотнения. // Прикладная механика и техническая физика. - 2006 - Т.47, №4 - С.39-53. http://www.sibran.ru/upload/iblock/5d7/5d794887ff9f5d44900f2981c230cd2c.pdf.

132 Усков В.Н., Чернышев М. В. Анализ и оптимизация ударно-волновой структуры сверхзвуковых газовых струй. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике - Нижний Новгород, 2006. http://www.ruscongrmech2006.ru/sek2.php.

133 Усков В.Н., Чернышов М. В. Особые и оптимальные свойства стационарных Маховских конфигураций. // Известия ТулГУ Сер. Проблемы специального машиностроения. - 2001 - Вып.4, Ч.1 - С.216-220.

134 Усков В.Н., Чернышов М. В. Теоретический анализ особенностей тройных конфигураций скачков уплотнения. // Сб. статей под ред. В.Н. Ускова. - 2002 - С.75-99.

135 Усков В.Н., Чернышев М. В. Особые и экстремальные тройные конфигурации скачков уплотнения. // Прикладная механика и техническая физика. - 2006 - Т.47, №4 - С.39-53. http://www.sibran.ru/upload/iblock/5d7/5d794887ff9f5d44900f2981c230cd2c.pdf.

136 Uskov V.N., Mostovykh P.S., Chernyshov M. V. Special and Extreme Structures of Stationary and Non-Stationary Shocks. 18th International Shock Interaction Symposium. 2008, P. 71-74.

137 Uskov V.N., Mostovykh P. S. Triple Configurations of Traveling Shock Waves in Inviscid Gas." Flws-Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2008, Vol. 49 (№.3):P. 347-353.

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

Law C.K. Diffraction of strong shock waves by a sharp compressive corner. University of Toronto Institute for Aerospace Studies (UTIAS). 1970, Technical Note № 150. July. Ben-Dor G. Regions and transitions of nonstationary oblique shock- waves diffractions in perfect and imperfect gases. University of Toronto Institute for Aerospace Studies (UTIAS). 1978, Report №., 232.

Lee J.-H., Glass I. I. Pseudo-stationary oblique-shock-wave reflections in frozen and equilibrium air. Progress in Aerospace Sciences, 1984, 21: 33-80. http://www.sciencedirect.com/science/arti-cle/pii/0376042184900034. DOI: 10.1016/0376-0421(84)90003-4.

Mostovykh P.S., Uskov V. N., Triple-shock-wave configurations: comparison of different thermodynamic models for diatomic gases. Proceedings of 28-th International Symposium on Shock Waves, vol.2 (Springer Berlin Heidelberg), 2012, pp: 945-951. http://link.springer.com/chapter/ 10.1007/978-3-642-25685-1_144. DOI: 10.1007/978-3-642-25685-1_144.

Adhemar R. d', Sur une classe d'équations aux dérivées partielles de second ordre, du type hyperbolique, J. Math. Pures et Appl. Sér. 5, 10, 1904, p.131—207. Lighthill M.J. // Phil. Mag. 1949. Vol. 40. P. 214-220. Truesdell C. // J. Aeronaut. Sci. 1952. Vol. 19. P. 826-828. Lighthill M.J. // J. Fluid Mech. 1957. Vol. 2. P. 1-32.

Дьяков С.П. Взаимодействие ударных волн с малыми возмущениями. I, II. Журнал экспериментальной и теоретической физики. Т. 33, Вып. 4(10), 1957, С. 948-973. Бай Ши-и. Введение в теорию течения сжимаемой жидкости. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

Русанов В.В. Производные газодинамических функций за искривленной ударной волной. Москва, препринт Институт прикладной матема- тики им. М. В. Келдыша АН СССР, 1973, № 18.

Molder S. Flow behind curved shock waves. University of Toronto Institute for Aerospace Studies (UTIAS) Report №No, 1979. p. 217.

Усков В.Н. Анализ ударно-волновых структур в неравномерном стационарном потоке. // Фундаментальные Проблемы Физики Ударных Волн. - 1987 - Т.2 - 166-69 С. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

Адрианов А. Л. О модельной кривизне скачка уплотнения в неравномерном потоке. Вычислительные технологии. Том 5, № 6, 2000, с. 3-14.

153 Омельченко А.В. Дифференциальные характеристики потока за ударной волной. Журнал технической физики, 2002, том 72, вып. 1, с. 20-27.

154 Uskov V.N., Mostovykh P. S., Differential characteristics of shock waves and triple-shock-wave configurations. Proceedings of 20th International Shock Interaction Symposium (Stockholm), 2012, pp: 211-14. http://www.trippus.se/eventus/eventus_cat.asp? EventusCat_ID=24350&Lang=eng&c=

155 Кацкова О. Н., Наумова И. Н., Шмыглевский Ю. Д., Шулиншина Н. П. Опыт расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений газа методом характеристик. М.: ВЦ АН СССР, 1961.

156 Панов Д.Ю. Численное решение квазилинейных гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производных. - М.: Гос. изд. технико-теоретической литер., 1957.- 215 с.

157 Булат П.В., Засухин О.Н., Усков В.Н. Формирование струи при плавном запуске сопла Лаваля.// Ученые записки Санкт-Петербургского государственного университета. Серия математических наук. «Газодинамика и теплообмен». Выпуск 10. Течения газов в каналах и струях. СПб, Изд-во СПУ, 1993.- с. 1-22.

158 Bulat P.V. Reflection of a weak discontinuity of the axis and the plane of symmetry. American Journal of Applied Sciences, 2014, 11(6): 1025-1031, DOI : 10.3844/ajassp.2014.1025.1031.

159 Cole J.D. On a quasilinear parabolic equation occuring in aerodynamics // Quart. Appl. Math. 1951. Vol. 9. P. 225-236.

160 Hopf E. The partial differential equation ut + uux = /uuxx // Comm. Pure Appl. Math. 1950. Vol. 3. P. 201-230.

161 Atkins, P.W. and De Paula, J. Physical Chemistry. — W. H. Freeman, 2010. — Т. 1. — ISBN 9780199593361.

162 D. J. Berthelot Sur Une Méthode Purement Physique Pour La Détermination des Poids Moléculaires des Gaz et des Poids Atomiques de Leurs Éléments, J. Phys., 8 pp. 263—274 (1899).

163 Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — Издание 4-е. — М.: Наука, 1995. — («Теоретическая физика», том V).

164 http://www.ohio.edu/mechanical/thermo/property_tables/air/air_Cp_Cv.html.

165 http://www.engineeringtoolbox.com/specific-heat-ratio-d_602.html.

166 Усков В.Н., Чернышев М. В. Дифференциальные характеристики поля течения плоской перерасширенной струи в окрестности кромки сопла. // Прикладная механика и техническая физика. - 2006 - Т.47, №3. - 72-83 С. http://www.sibran.ru/upload/iblock/a90/ a907683d037937a9953f5d1045a35d56.pdf.

167 Bulat P.V., Volkov K.N., and Ilyina E.Ye.. Model of Interaction of Laser Radiation with a Drop of Liquid. IEJME — Mathematics education. 2016, VOL. 11, №. 8, 3009-3020.

168 Булат П. В., Ильина Е.Е. О проблеме создания детонационного двигателя -термодинамический цикл / П. В. Булат, Е.Е Ильина // Журн. Фундаментальные исследования. - 2013. - №. 10, Ч 10. - С. 2143-2146.

169 Булат П. В., Ильина Е.Е. О проблеме создания детонационного двигателя - современные тенденции в аэрокосмическом двигателестроении / П. В. Булат, Е.Е Ильина // Журн. Фундаментальные исследования - 2013. - №. 10, Ч 10. - С. 2140-2142.

170 Митрофанов В.В. Теория детонации. Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 1982. 91 с.

171 Черный Г.Г. Асимптотический закон распространения плоской детонационной волны // Доклады АН СССР. 1967. Т. 172. № 3. С. 558-560.

172 Марков В.В. Численное моделирование образования многофронтовой структуры детонационной волны // Доклады АН СССР. 1981. Т. 258. № 2. С. 158-163.

173 Левин В. А., Черный Г.Г. Асимптотические законы поведения детонационных волн //

Прикладная математика и механика. 1967. Т. 31. Вып. 3. С. 383-405.

174 Korobeinikov V.P., Levin V.A., Markov V.V., Chernyi G.G. Propagation of blast waves in a combustible gas // Acta Astronautica. 1972. Vol. 17. No. 5-6. P. 529-537.

175 Ting J.M., Bussing T.R.A., Hinkey J.B. Experimental characterization of the detonation properties of hydrocarbon fuels for the development of a pulse detonation engine // AIAA Paper. 1995. No. 95-3154.

176 Булат П.В., Продан Н.В. Обзор проектов детонационных двигателей. Импульсные двигатели. "Фундаментальные исследования", №10 (часть 9), 2013, с. 1951-1954.

177 Булат П.В., Продан Н. В. Обзор проектов детонационных двигателей. Ротационные детонационные двигатели. Журн. Фундаментальные исследования. №10, - 2013, - С.1672-1676.

178 Bulat P.V. About the detonation engine. Am. J. Appl. Sci. - 2014, Vol.11, P. 1357-1364.

179 Wolanski P. Detonative propulsion // Proceedings of the Combustion Institute. 2013. Vol. 34. No. 1. P. 125-158.

180 Волков К.Н., Булат П.В., Ильина Е.Е. Модель взаимодействия лазерного излучения с каплей жидкости // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2016. Т. 16. № 5. С. 764-772. doi: 10.17586/2226- 1494-2016-16-5-764-772.

181 Старов А.В. Определение пределов устойчивого горения при высоких сверхзвуковых скоростях потока в канале. Вестник НГУ Серйи:Физика. 2008. Том 3, выпуск 2. с.47 - 60.

182 Булат П.В., Продан Н.В. О низкочастотных расходных колебаниях донного давления. Фундаментальные исследования. 2013. № 4-3. С. 545-549.

183 Засухин О.Н., Булат П.В., Продан Н. В. История экспериментальных исследований донного давления. // Фундаментальные исследования. - 2011 - №12, Ч.3 - 670-74 С. http:// www.rae.ru/fs/?section=content&op=show_article&article_id=7981793.

184 Zasukhin O.N., Bulat P.V. Self-Oscillation of Shock Wave Structures. EJME — Mathematics education. 2016, VOL. 11, NO. 5, 1023-1032 Article number: mathedu.2016.092.

185 Бычков Д.В., Грачев Л.П., Есаков И.И. Возбуждаемый полем квазиоптического электромагнитного пучка глубоко подкритический СВЧ-разряд в сверхзвуковой струе воздуха //ЖТФ. 2009. том 79. Вып.3. C.39-45.

186 Khodataev K.V. The Nature of Surface MW Discharges //48th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibition. 4-8 January 2010, Orlando, Florida. Paper AIAA 2010-1378.

187 Александров К.В., Грачев Л.П., Есаков И.И., Федоров В.В., Ходатаев К.В. Области реализации различных типов СВЧ-разряда в квазиоптических электромагнитных пучках // ЖТФ. 2006. T.76. Вып.11. C.52-60.

188 Булат П.В., Есаков И.И., Волобуев И. А., Грачев Л.П. О возможности ускорения горения в камерах сгорания перспективных реактивных двигателей при помощи глубоко подкритического СВЧ-разряда // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2016. Т. 16. No 2. С. 382-385. doi: 10.17586/2226-1494-2016-16-2-382-385.

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

Булат П.В., Булат МП., Есаков И.И., Волобуев И. А., Грачев Л.П., Денисенко П.В. Экологически чистый способ сжигания газообразного топлива с применением квазиоптического СВЧ-излучения // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2016. Т. 16. No 3. С. 513-523. doi: 10.17586/2226-1494-2016-16-3-513-523.

Arnold N.I. Wave front evolution and equivariant Morse lemma. Comm. Pure Appl. Math., 1976, 29(6), 557-582.

Арнольд В.И. Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек, группы Вейля Ak, Dk, Ek и лагранжевы особенности. Функциональный анализ и его приложения, 1972, 6(4), с. 3-25.

Guckenheimer J. Catastrophes and partial differential equations. Ann.Inst.Fourier (Grenoble), 1973, 23(2), 31-59.

Weinstein A. Singularities of families of functions. In: Differential Geometrie im Grossen. Ber. Tagung. Math.Forschungsinst (Oberwolfach, 1969), Heft 4. Mannheim: Oberwolfach, Bibliographisches Inst., 1971, p. 232-330.

Whithney H. On singularities of mappings of Euclidean space. I. Mappings of plane into plane. Ann. Math., 1937. 39(1). P. 28-31.

Thom R. Levin H. Stability of differentiable mappings. I. Bornner Math. Schriften, 1959, 6. Особенности дифференцируемых отображений. М.:Мир. 1968, с.198-267. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Том 1. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука, 1982, 304 с., Том 2. Монодромия и асимптотики интегралов. М.: Наука, 1984, 334 с. Богаевский И.А. Перестройки особенностей функций минимума и бифуркации ударных волн уравнений Бюргерса с исчезающей вязкостью. Алгебра и анализ,1989,1(4),с.1-16. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.:ФАЗИС, 1996, 334 с. Арнольд В.И. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: ФАЗИС, 1997, 180 с. Брызгалова Л. Н. Особенности максимума функции, зависящей от параметров // Функцией, анализ и его прил. 1977. Т. 11, вып. 1. С. 59-60.

Брызгалова Л. Н. Особенности максимума семейства функций, зависящих от парамет ров // Функцион. анализ и его прил. 1978. Т. 12, вып. 1. С. 66-67.

203 Гурбатов С. Н., Саичев А. Н. Вероятностные распределения и спектры потенциальной гидродинамической турбулентности // Изв. вузов // Радиофизика. 1984. Т. 27, № 4. С. 456-468.

204 Гурбатов С. Н., Саичев А. И., Шандарин С. Ф. Крупномасштабные структуры Вселенной в рамках модельного уравнения нелинейной диффузии. Препринт № 152. ИПМ им. Келдыша, 1984.

205 Барышников Ю. М. Топология перестроек множеств негладкости функций минимума вариационных задач// Функц. анал. и его прил. — 1990. - 24, № 3. - C. 62-63.

206 Arnol'd V. I., Baryshnikov Yu. M., Bogaevsky I. A. Singularities and bifurcations of potential flows// Gurbatov S. N., Malakhov A. N., Saichev A. I. Nonlinear random waves and turbulence in nondispersive media: waves, rays, particles. — Manchester: Manchester Univ. Press, Manchester, 1991. — C. 290-300.

207 Bogaevsky I. A. Perestroikas of shocks and singularities of minimum functions// Phys. D. — 2002. — 173, № 1-2. — С. 1-28.

208 Morse M. The Critical Points of a Function of n Variables. Trans. Am.Math. Soc. 1931, 33. 72-91.

209 Thom R. Stabilite et Morphogenese, New York, Benjamin, 1972.

210 Богаевский И. А. Перестройки ударных волн в оптимальном управлении. Современная математика и её приложения. Том 7, 2003. С. 3-16.

211 Гурбатов С.Н., Саичев А.И., Якушкин И.Г. Нелинейные волны и одномерная турбулентность в средах без дисперсии. Успехи физических наук, 1983, 141(2), с.221-255.

212 Fomin VM, Hornung HG, Ivanov MS, Kharitonov AM, Klemenkov GP, Kudryavtsev AN, Pavlov AA. The study of transition between regular and Mach reflection of shock waves in different wind tunnels. In: Skews B, editor. Proceedings of the 12th International Mach Reflection Symposium, Pilanesberg, South Africa, 1996. p. 137-51.

213 Ivanov M.S., Ben-Dor G., Elperin T., Kudryavtsev A., Khotyanovsky D., 2001. Flow-Mach-Number-Variation-induced hysteresis in steady shock wave reflections. AIAA Journal, 39(5): 972-974. http://arc.aiaa.org/doi/abs/10.2514/2.1406

214 Ben-Dor G., 2001. Two-dimensional interactions. In: Ben-Dor G, Igra O, Elperin T, editors. Hand- book of shock waves. Boston: Academic Press.

215 Ivanov M.S., Ben-Dor G., Elperin T., Kudryavtsev A.N., Khotyanovsky D. V., 1999. The reflection of asymmetric shock waves in cteady flows. J. Fluid Mech., 390: 25-43.

216 Васильев Е.И. W-модификация метода Годунова и её приложения в моделировании газодинамических течений с ударными волнами. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Волгоград: Волгоградский государственный университет. - 1999 - 213 с.

217 Хотяновский Д.В. Численный анализ сверхзвуковых течений со сложными ударно-волновыми структурами. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Новосибирск: ИТПМ - 2007 - 148 с.

218 Кудрявцев А.Н. Вычислительная аэродинамика сверхзвуковых течений с ударными волнами. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Новосибирск: ИТПМ - 2014 - 336 с.

219 Шоев Г.В. Численное исследование влияния вязкости на процессы взаимодействия и распространения ударных волн. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Новосибирск: ИТПМ - 2013 - 134 с.

220 Булат П.В., Упырев В.В., Денисенко П.В. Отражение косого скачка уплотнения от стенки // Научно- технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. Том 15. № 2. С. 338-345.

221 Булат П.В., Денисенко П.В., Продан Н.В., Упырев В.В. Гистерезис интерференции встречных скачков уплотнения при изменении числа Маха // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. Т. 15. No 5. С. 930-94

222 Булат П.В., Денисенко П.В. Тенденции разработки детонационных двигателей для высокоскоростных воздушно-космических летательных аппаратов и проблема тройных конфигураций ударных волн. Часть II. Исследования встречных ударных волн и тройных ударно-волновых конфигураций // Научно-технический вестник информационных технологий, меха- ники и оптики. 2016. Т. 16. No 2. С. 199-223. doi 10.17586/2226-1494-2016-16-2-199-223.

223 Uskov V.N., Mostovykh P. S. Differential characteristics of shock waves and triple-shock-wave configurations. 20th International Shock Interaction Symposium - Stockholm, 2012.

224 Медведев А.Е., Фомин В.М. Приближенно-аналитический расчет маховской конфигурации стационарных ударных волн в плоском сужающемся канале. Прикладная механика и техническая физика, 1998, т.39, №3.

225 Naidoo K., Skews B. W. Dynamic effects on the transition between two-dimensional regular and Mach reflection of shock waves in an ideal, steady supersonic free stream. J. Fluid Mech. 2011, vol. 676, pp. 432-460.

226 Булат П.В., Денисенко П.В., Продан Н. В. Интерференция встречных скачков уплотнения. // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2015 - Т. 15, №2 - 346-55 С. http://ntv.ifmo.ru/ru/journal/617/journal_617.htm.

227 Мельников Д.А. Отражение скачков уплотнения от оси симметрии. // Изв. АН СССР Механика и машиностроение. - 1962 - №3 - С. 24-30.

228 Рылов А.И. К вопросу о невозможности регулярного отражения стационарной ударной волны от оси симметрии. // Прикладная математика и механика. - 1990 - Т.25, Вып.2 - С. 245-249.

229 Исакова Н.П., Крайко А.Н., Пьянков К.С., Тилляева Н. И. Об усилении слабых ударных волн в осесимметричном сверхзвуковом потоке и их отражений от оси симметрии. // Прикладная математика и механика. - 2012 - Т.76, Вып.4 - 623-645 С. http://pmm.ipm-net.ru/ru/Issues.php?y=2012&n=4&p=623.

230 Bulat P.V., Chernyshev M.V.. Interaction of Adjacent Isentropic Gas Flows in Prandtl-Meyer's Wave and in The Field of Quasi-One-Dimensional Flow. Global Journal of Pure and Applied Mathematics. ISSN 0973-1768 Volume 12, Number 5. - 2016, pp. 4075-4087.

231 Усков В.Н., Чернышев М. В. Сопряжение волны Прандтля-Майера с областью квазиодномерного течения. // Математическое моделирование. - 2003 - Т. 15, №6 - 111-19 С. http://www.mathnet.ru/links/79e836b32dc19620f5733502b9e85e56/mm449.pdf

232 Омельченко А.В., Усков В.Н., Чернышов М.В. Об одной приближенной аналитической модели течения в первой бочке перерасширенной струи. Письма в ЖТФ, 2003, том 29, вып. 6, с.56-62.

233 Медведев А.Е., Фомин В.М. Приближенно-аналитический расчет маховской конфигурации стационарных ударных волн в плоском сужающемся канале. Прикладная механика и техническая физика, 1998, т.39, №3, с.52-58.

234 Isakova N.P., Kraiko A.N., P'yankov K.S., Tillyayeva N.I.. The amplification of weak shock waves in axisymmetric supersonic flow and their reflection from an axis of symmetry. Journal of Applied Mathematics and Mechanics 76 (2012) 451-465.

235 Авдуевский В. С., Ашратов Э.А., Иванов А.В., Пирумов У.Г. Газодинамика сверхзвуковых неизобарических струй. - М.: Машиностроение, 1989. - 320 с.

236 Abbett M.J., Mach Disk in Underexpanded Exhaust Plumes, AIAA Journal, Vol.9, March 1971, pp.512-514.

237 Dash S.M. Thorpe R.D. Shock - Capturing Model of One- and Two- Phase Supersonic Exhaust Flow. - AIAA J., vol. 19, July 1981, pp. 842-851.

238 Dunlap R., Brehm R.L., Nicholls J.A. A preliminary study of the application of steady-state det-onative combustion to a reaction engine // Jet Propulsion. 1958. Vol. 28. P. 451-456.

239 Иванов М.С., Кудрявцев А.Н., Троцюк А.В., Фомин В.М.. Способ организации детонационного режима горения в камере сгорания сверхзвукового прямоточного воздушно-реактивного двигателя. Институт теоретической и прикладной механики СО РАН (ИТПМ СО РАН). Патент РФ 2285143.

240 Булат П.В., Денисенко П.В., Волков К.Н. Тенденции разработки детонационных двигателей для высоко- скоростных воздушно-космических летательных аппаратов и проблема тройных конфигураций ударных волн. Часть I - Исследования детонационных двигателей // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2016. Т. 16. No 1. С. 1-21. doi :10.17586/2226-1494-2016-16-1-1-21.

241 Nichols J.A., Wilkmson H.R., Morrison R.B. Intermittent Detonation as a Trust-Producing Mechanism. Jet Propulsion, 21, 1957. P.534-541.

242 Davidenko, D. Theoretical Performance of Rocket and Turbojet Engines Operating in the Continuous Detonation Mode/ Dmitry Davidenko // 4TH European Conference for Aerospace Sciences (EUCASS). - 2011.

243 Davidenko D.M., Kudryavtsev A.N. Numerical study of the continuous detonation wave rocket engine // AIAA Paper. 2008. - No. 2008-2680.

244 Войцеховский Б.В. Стационарная детонация // Доклады АН СССР. 1959. Т. 129. № 6. С. 1251-1256.

245 Войцеховский Б.В., Митрофанов В.В., Топчиян М.Е. Структура фронта детонации в газах. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1963. 167 с.

246 Lee S.H., Jo D.R., Choi J.Y. Effect of curvature on the detonation wave propagation characteristics in annular channels // AIAA Paper. 2008. No. 2008-0988.

247 Pan Z.H., Fan B.C., Zhang X.D., Gui M.Y., Dong G. Wavelet pattern and self-sustained mechanism of gaseous detonation rotating in a coaxial cylinder // Combustion and Flame. 2011. Vol. 158. No. 11. P. 2220-2228.

248 Nakayama H., Moriya T., Kasahara J., Matsuo A., Sasamoto Y., Funaki I. Stable detonation wave propagation in rectangularcross-section curved channels // Combustion and Flame. 2012. Vol. 159. No. 2. P. 859-869.

249 Bulat P.V. Interference of Same Direction Shocks . IEJME — Mathematics education. 2016, VOL. 11, NO. 5, 1051-1062 Article number: mathedu.2016.094

250 Bulat M.P., Bulat P. V., The analysis centric isentropic compression waves. World Applied Sciences Journal, 2013, 27(8): 1023-26. http://www.idosi.org/wasj/wasj27(8)13/12.pdf. DOI: 10.5829/idosi.wasj.2013.27.08.13719.

251 Булат П.В., Усков В. О задаче проектирования идеального диффузора для сжатия сверхзвукового потока. Фундаментальные исследования, 2012, №6(Ч.1): с. 178-84. http:// www.rae.ru/fs/pdf/2012/6-1/29961.pdf.

252 Вюст В. К теории разветвления скачков уплотнения // Газовая динамика. М.:Изд-во иностр. лит., 1950. С.131-143.

253 Веккен В.К. Предельные положения вилкообразных скачков уплотнения // Механика. 1950. №4. С. 131-143.

254 Bulat P.V. and Volkov K.N. Shock Waves Oscillations in the Interaction of Supersonic Flows with the Head of the Aircraft. International journal of environmental and science education. 2016, VOL. 11, №. 12, 4976-4984.

255 Vasiliev E, Elperin T, Ben-Dor G. Analytical reconsideration of the von Neumann paradox in the reflection of a shock wave over a wedge. Phys Fluids 2008;20:046101.

256 Усков В.Н., Чернышев М. В. Особые и экстремальные тройные конфигурации скачков уплотнения. // Прикладная механика и техническая физика. - 2006 - Т.47, №4. - 39-53 С. http://www.sibran.ru/upload/iblock/5d7/5d794887ff9f5d44900f2981c230cd2c.pdf

257 Аэротермодинамика летательных аппаратов в фотографиях // Составитель Г.Ф.Глотов. Жуковский, ЦАГИ, 2003. -173 с.

258 Bleakney W., Taub A. H., 1949. Interaction of shock waves. Rev.Mod.Phys., 21: 584. http://dx.-doi.org/10.1103/RevModPhys.21.584.

259 Bargmann V., On nearly glancing reflection of shocks. 1945. AMP Report 108.2R NDRC.

260 Lighthill M.J., The diffraction of blast. I. Proc. Roy. Soc. Series A, 1949. 198: 454-470.

261 Ting L., Ludloff H.F. J. Aeronaut. Sci. 1951. Vol. 18. P. 143.

262 Fletcher C.H., Bleakney W. The Mach Reflection of Shock Waves at Nearly Glancing Incidence. Rev.Mod.Phys., 1951. 23: 271-286. http://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys. 23.271. DOI: http://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.23.271.

263 Henderson L.F., Siegenthaler A. Experiments on the Diffraction of Weak Blast Waves: The von Neumann Paradox. The Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1980. 369: 537-555. http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/369/1739/537. DOI: 10.1098/ rspa.1980.0015.

264 Colella P., Henderson L.F. The von Neumann paradox for the diffraction of weak shock waves // J. Fluid Mech. 1990. V. 213. P. 71-94.

265 Adachi Т., Suzuki Т., Kobayashi S. Mach reflection of a weak shock waves // Trans. Japan Soc. Mech. Engng. 1994.V.60. № 575. P.2281-2286.

266 Olim M., Devey J.M. A revised three-shock solution for the Mach reflection of weak shocks // Shock Waves. 1992 - V. 2. - P. 167-176.

267 Guderley K.G. Considerations on the Structure of mixed subsonic supersonic flow patterns, HQ Air Materiel Command, Wright Field, Dayton, Ohio. 1947. Technical Report F-TR-2168-ND.

268 Guderley K.G. The theory of transonic flow. Translated from the German by J.R. Moszynski. Oxford, New York, Pergamon Press, 1962. 344.

269 Васильев Е. И., Крайко А. Н. Численное моделирование дифракции слабых скачков на клине в условиях парадокса Неймана // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1999. Т. 39, № 8. С. 1393-1404.

270 Vasilev E. I. Four-wave scheme of weak Mach shock waves interaction under the von Neumann paradox conditions // Fluid Dynamics.-1999. -V.34.- №3.- p.421.

271 Vasilev E., Olkhovsky M. // 27th ISSW: Book of proceedings. 2009. P. 322.

272 Булат П.В., Денисенко П.В. Интерференция скачков уплотнения одного направления // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. Т. 15. № 3. С. 500-508.

273 Bulat P.V. Comparison of turbulence models in the calculation of supersonic separated flows./ P.V. Bulat, M P. Bulat // World Applied Sciences Journal. - vol. 27, №10. - 2013.

274 Toro E.F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. Berlin: Springer, 2009. 724 p.

275 Kermani M.J., Plett E.G. Modified entropy correction formula for the Roe scheme // AIAA Paper. 2001. №. 2001-0083.

276 Mandal J.C., Panwar V. Robust HLL-type Riemann solver capable of resolving contact discontinuity // Computers and Fluids. 2012. Vol. 63. P. 148 - 164.

277 Волков К.Н. Разностные схемы расчета потоков повышенной разрешающей способности и их применение для решения задач газовой динамики // Вычислительные методы и программирование. 2005. Т. 6. \№1. С. 146--167.

278 Волков К.Н., Дерюгин Ю.Н., Емельянов В.Н., Карпенко А.Г., Козелков А.С., Тетерина И.В. Разностные схемы в задачах газовой динамики на неструктурированных сетках. М.: Физматлит, 2014. 412 с.

279 Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001. 608 с.

280 Wesseling P. Principles of computational fluid dynamics. New York: Springer-Verlag, 2000. 664 p.

281 Wolf W.R., Azevedo J.L.F. High-order ENO and WENO schemes for unstructured grids // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2007. Vol. 55. №. 10. P. 917-943.

282 Castro M., Costa B., Don W.-S. High order weighted essentially non-oscillatory WENO-Z schemes for hyperbolic conservation laws // Journal of Computational Physics. 2011. Vol. 230. №. 5. P. 1766 - 1792.

283 Clain S., Diot S., Loubere R. A high-order finite volume method for hyperbolic systems: multidimensional optimal order detection (MOOD) // Journal of Computational Physics. 2011. Vol. 230. №. 10. P. 4028-4050.

284 Hu G.H., Li R., Tang T. A robust WENO type finite volume solver for steady Euler equations on unstructured grids // Communications in Computational Physics. 2011. Vol. 9. No. 3. P. 627-648.

285 Su X., Sasaki D., Kazuhiro N. Efficient implementation of WENO Scheme on structured meshes // Proceedings of the 25th Computational Fluid Dynamics Symposium, 19--21 December 2011, Osaka, Japan. 2011. №. C01-3. 9 p.

286 Tsoutsanis P., Titarev V. A., Drikakis D. WENO schemes on arbitrary mixed-element unstructured meshes in three space dimensions // Journal of Computational Physics. 2011. Vol. 230. №. 4. P. 1585--1601.

287 Vincent P.E., Castonguay P., Jameson A. A new class of high-order energy stable flux reconstruction schemes // Journal of Scientific Computing. 2011. Vol. 47. №. 1. P. 50 - 72.

288 Pandolfi M., D'Ambrosio D. Numerical instabilities in upwind methods: analysis and cures for the carbuncle phenomenon // Journal of Computational Physics. 2001. Vol. 166. №. 2. P. 271 -301.

289 Svetsov V. Vortical regime of the ow behind the bow shock wave // Shock Waves. 2001. Vol. 11. №. 3. P. 229 - 244.

290 Chauvat Y., Moschetta J.-M., Gressier J. Shock wave numerical structure and the carbuncle phenomenon // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2005. Vol. 47. №. 8--9. P. 903 - 909.

291 Quirk J.J. A contribution to the great Riemann solver debate // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1994. Vol. 18. №. 6. P. 555 - 574.

292 Liska R., Wendroff B. Comparison of several difference schemes on 1D and 2D test problems for the Euler equations // SIAM Journal of Scientific Computing. 2003. Vol. 25. №. 3. P. 995 - 1017.

293 Елизарова Т.Г., Шильников Е.В. Возможности квазигазодинамического алгоритма для численного моделирования течений невязкого газа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49. \№3. С. 549 - 566.

294 Xiong T., Shu C.-W., Zhang M. WENO scheme with subcell resolution for computing noncon-servative Euler equations with applications to one-dimensional compressible two-medium flows// Journal of Scientific Computing. 2012. Vol. 53. №. 1. P. 222 - 24

295 Woodward P.R., Colella P. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks // Journal of Computational Physics. 1984. Vol. 54. №1. P. 115 - 173.

296 Hannappel R., Hauser T., Friedrich R. A comparison of ENO and TVD schemes for the computation of shock-turbulence interaction // Journal of Computational Physics. 1995. Vol. 121. №. 1. P. 176 - 184.

297 Kozhemyakin A.O., Omel'chenko, A.V., Uskov V.N. // Oblique interaction of supersonic flows // Fluid Dynamics. 1999. Vol. 34. Issue 4. Pp. 551-557.

298 Кожемякин А.О., Омельченко А.В., Усков В. Н. Наклонное взаимодействие сверхзвуковых потоков. // Изв. РАН. МЖГ. - 1999 - №4, - 116-24 С.

299 Kochine N., Detetmination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie a la surface de separation de deux liquides de profodeur finie, Mathemat. Annalen, T.98 (1927).

300 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (1953) Механика сплошных сред. См.: Гидро- динамика. Физматлит, Москва. 2003. - 736 с.

301 Кобзева Т. А., Моисеев Н. Я. Метод неопределённых коэффициентов для решения задачи о распаде разрыва // ВАНТ. Сер. Математическое моделирование физических процессов. Научно-технический сборник. - 2003. - Вып. 1.

302 Запрягаев В.И., Усков В.Н. Струйные и нестационарные течения в газовой динамике. -Новосибирск: СО РАН, 2000 ISBN 5-7692-0293-9. http://www.rfbr.ru/rfFi/ru/books/ o_25932#17.

303 Igra О., One-dimensional interactions. Handbook of Shock Waves. V2. Shock wave interactions and propagation. - San Diego, 2001. 792p. pp 1-64.

304 Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический сборник. 1959. Т. 47(89). № 3. С. 271-306.

305 Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я., Крайко А. Н. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.

306 Kulikovskii A.G., Pogorelov N.V., Semenov A.Yu. Mathematical Aspects of Numerical Solution of Hyperbolic Systems. Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2001. 540 p.

242 Волков К.Н. Применение и реализация разностных схем высокой разрешающей

способности для решения задач газовой динамики на неструктурированных сетках // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2014. № 6 (94). С. 153-162.

308 Волков К.Н. Разностные схемы расчета потоков повышенной разрешающей способности и их применение для решений задач газовой динамики. Вычислительные методы и программирование. 2005 г. Том 6, с.146 - 167.

309 Усков, В.Н. "Анализ ударно-волновых структур в неравномерном стационарном потоке." Кн. "Фундаментальные проблемы физики ударных волн". Т.2: - 1987. - С.166-169.

310 Усков В.Н., Старых А. Л. "Анализ областей существования решений уравнений интерференции стационарных газодинамических разрывов." Сб. "Нестационарные течения газов с ударными волнами". 1990. - С. 359-372.

311 Булат П.В., Волков К.Н. Произвольное взаимодействие плоских сверхзвуковых потоков // Научно- технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. Том 15. № 6. С. 1155-1168.

312 Bulat P. V., Bulat M.P. Definition of the Existence Region of the Solution of the Problem of an Arbitrary Gas-dynamic Discontinuity Breakdown at Interaction of Flat Supersonic Jets with Formation of Two Outgoing Compression Shocks. Research Journal of Applied Sciences, Engineering and Technology, 2015, 9(1): 65-70.

313 Osher S., Solomon F. Upwind difference schemes for hyperbolic conservation laws. Mathematics of Computation, 1982, vol. 38, №. 158, pp. 339-374. doi: 10.1090/ S0025-5718-1982-0645656-0.

249 Булат П.В., Волков К.Н. Одномерные задачи газовой динамики и их решение при помощи разностных схем высокой разрешающей способности // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. Том 15. № 4. С. 731-740.

315 Булат П. В., Волков К. Н., Сильников М. В., Чернышев М. В. Анализ разностных схем, основанных на точном и приближенном решении задачи Римана. Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. №1(95). 2015. с.139-148.

316 Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики // Ученые записки ЦАГИ. 1972. 3, № 6. 68-72.

317 Булат П.В., Волков К.Н. Монотонизирующая коррекция производных для расчета сверхзвуковых течений со скачками уплотнения // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. Том 15. № 4. С. 741-747.

318 Bulat P.V. and Volkov K.N. Monotonic Derivative Correction for Calculation of Supersonic Flows. International journal of environmental and science education. 2016, VOL. 11, №. 17, 10365-10374.

319 Рождественский Б. Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука,1978. 668 c.

320 Liska R., Wendroff B. Composite schemes for conservation laws // SIAM Journal of Numerical Analysis. 1998. Vol. 35. №. 6 P. 2250-2271.

321 Liska R., Wendroff B. Composite centered schemes for multidimensional conservation laws // International Series of Numerical Mathematics. 1999. Vol. 130. P. 661- 670.

322 Булат П.В., Волков К.Н. Решение тестовых задач нестационарной одномерной газовой динамики при помощи WENO-схем // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2016. Т. 16. № 1. С. 174-180.

323

324

325

326

327

328

329

330

331

332

333

334

335

336

Sod G. A survey of several finite difference methods for systems of nonlinear hyperbolic conservation laws // Journal of Computational Physics. 1978. Vol. 27.№ 1. P. 1-31. Lax P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1954. Vol. 7. № 1. P. 159--193. Arora M., Roe P.L. A well-behaved TVD limiter for high-resolution calculations of unsteady flow // Journal of Computational Physics. 1997. Vol. 132. №. 1. P. 3-11.

Einfeldt B., Munz C.D., Roe P.L. On Godunov-type methods near low densities // Journal of Computational Physics. 1991. Vol. 92. №. 2. P. 273 - 295.

Sjogreen B., Yee H.C. Variable high order multiblock overlapping grid methods for mixed steady and unsteady multiscale viscous flow.

Kamm J.R., Brock J.S., Brandon S.T., Cotrell D.L., Johnson B., Knupp P., Rider W., Trucano T., Weirs V.G. Enhanced verification test suite for physics simulation codes // LLNL Report. 2009. No. LLNL-TR-411291.

Noh W.F. Errors for calculations of strong shocks using an artificial viscosity and artificial heat flux // Journal of Computational Physics. 1987. Vol. 72. №. 1. P. 78 - 120.

Shu C., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes II // Journal of Computational Physics. 1989. Vol. 83. №. 1. P. 32 - 78. Бреславский П.В., Мажукин В.И. Моделирование взаимодействия ударных волн на динамически адаптирующихся сетках // Математическое моделирование. 2007. Т.19. \№11. С. 83 - 95.

Кудрявцев А.Н., Поплавская Т.В., Хотяновский Д.В. Применение схем повышенного порядка точности при моделировании нестационарных сверхзвуковых течений// Математическое моделирование. 2007. Т.19. \№7. С. 39 - 55.

Takayama K., Inoue O. Shock wave diffraction over a 90 degree sharp corner // Shock Waves. 1991. Vol. 1. №. 4. P. 301-312.

Skews B.W. The perturbed region behind a diffracting shock wave // Journal of Fluid Mechanics. 1967. Vol. 29. P. 705-719.

Gnani F., Lo K.H., Zare-Behtash H., Kontis K. Experimental investigation on shock wave diffraction over sharp and curved splitters // Acta Astronautica. 2014. Vol. 99. P. 143-152.

Hillier R. Computation of shock wave diffraction at a ninety degrees convex edge // Shock Waves. 1991. Vol. 1. №. 2. P. 89-98.

337 Sun M., Takayama J. The formation of a secondary shock wave behind a shock wave diffracting at a convex corner // Shock Waves. 1997. Vol. 7. №. 5. P. 287-295.

338 Bazhenova T.V., Gvozdeva L.G., Nettleton M.G. Unsteady interactions of shock waves // Progress in Aerospace Sciences. 1984. Vol. 21. No. 4. P. 249-331.

339 Тугазаков Р.Я. Влияние нестационарных эффектов на отрыв сверхзвукового потока газа с кормовой кромки обтекаемого тела // Ученые записки ЦАГИ. 2004. Т. 35. № 1-2. С. 21-32.

340 Булат П.В., Волков К.Н. Численное моделирование дифракции ударной волны на прямом угле на неструктурированных сетках // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2016. Т. 16. № 2. С. 354-362. doi: 10.17586/2226-1494-2016-16-2-354-362.

341 Волков К.Н., Дерюгин Ю.Н., Емельянов В.Н., Козелков А.С., Тетерина И.В. Разностные схемы в задачах газовой динамики на неструктурированных сетках. М.: Физматлит, 2015. 416 с.

342 Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир, 1986. 184 с.

343 Liang S.M., Chen H. Flow visualization of numerically simulated blast waves discharging from open-ended duct // AIAA Journal. 2003. Vol. 41. No. 12. P. 2420-2428.

344 Nouragliev R.R., Sushchikh S.Y., Dinh T.N. Theofanous T.G. Shock wave refraction patterns at interfaces // International Journal of Multiphase Flow. 2005. Vol. 31. No. 9. P. 969-995.

345 Bulat P.V., Silnikov M.V., Chernyshov M.V.. Shock Wave Refraction at Gas Media Interface. Indian Journal of Science and Technology. Volume 9, Issue 30, August 2016. р. 1-5. ISSN (Online) : 0974-5645, DOI: http://dx.doi.org/10.17485/ijst%2F2016%2Fv9i30%2F98751.

346 Henderson L.F. On the refraction of shock waves // Journal of Fluid Mechanics. 1989. Vol. 198. P. 365-386.

347 Henderson L.F., Colella P., Puckett E.G. On the refraction of shock waves at a slow-fast gas interface // Journal of Fluid Mechanics. 1991. Vol. 224. P. 1-27.

348 Fang B., Wang Y.-G., Yuan H. Reflection and refraction of shocks on an interface with a reflected rarefaction wave // Journal of Mathematical Physics. 2011. Vol. 52. 073702 (14 pages).

349 Bulat P.V., Volkov K.N. Numerical Simulations of Shock Wave Refraction at Inclined Gas Contact Discontinuity. International journal of environmental and science education. 2016, VOL. 11, № 16, 9026-9038.

350 Abd-El-Fattah A.M., Henderson L.F. Shock waves at a fast-slow gas interface // Journal of Fluid Mechanics. 1978. Vol. 86. P. 15-32.

351 Abd-El-Fattah A.M., Henderson L.F. Shock waves at a slow-fast gas interface // Journal of Fluid Mechanics. 1978. Vol. 89. P. 79-95.

352 Булат П.В., Волков К.Н. Численное моделирование рефракции ударной волны на наклонном контактном разрыве // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2016. Т. 16. № 3. С. 550-558. doi: 10.17586/2226-1494-2016-16-3-550-558.

353 Ворожцов Е. В. Классификация разрывов течения газа как задача распознавания образов // Препринты ИТПМ СО АН СССР. 1986. № 23-86.

354 Schalkoff R.J. Digital image processing and computer vision. New York: John Wiley & Sons, 1988.

355 Allen M. Tesdall, Richard Sanders, Nedyu Popivanov. Further results on Guderley Mach reflection and the triple point paradox. Journal of Scientific Computing (Impact Factor: 1.7). 05/2015; 64(3). DOI: 10.1007/s10915-015-0028-1.

356 A. Cachucho, B. W. Skews. Guderley reflection for higher Mach numbers in a standard shock tube. Shock Waves, 2012, 22:141-149. DOI 10.1007/s00193-011-0349-4.

357 Gruber S., Skews B. Weak shock wave reflection from concave surfaces. Exp Fluids, 2013, 54:1571. DOI 10.1007/s00348-013-1571-x.

358 А.Н.Крайко. Конфигурация скачков, замыкающих местную сверхзвуковую зону. Прикладная Механика и Математика. 1985. Т.49. Вып. 2. С. 236-243.