Решение задачи о распаде произвольного стационарного разрыва тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Кожемякин, Алексей Олегович

• Кожемякин, Алексей Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кожемякин, Алексей Олегович

Основные условные обозначения.

Введение

1. Анализ задачи на плоскости интенсивностей волн

1.1. Газодинамические разрывы.

1.2. Ударно-волновые структуры.

1.3. Анализ сердцевидных кривых.

1.4. Постановка задачи нулевого порядка об интерференции газодинамических разрывов.

1.5. Постановка задачи о распаде произвольного стационарного разрыва.

1.6. Решение задачи на плоскости интенсивности волн.

1.7. Выводы по главе 1.

2. Точное определение типа исходящего разрыва и границ существования решения

2.1. Область существования решения для (5q > /Зг(/о)

2.2. Область существования решения для /3/(Jo) <

А) < /ЗД)

2.3. Область существования решения для Д) < /3/(Jo)

2.4. Параметрический анализ областей существования решения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение задачи о распаде произвольного стационарного разрыва»

Задача о наклонном взаимодействии двух плоских сверхзвуковых потоков, встречающихся под произвольным углом, именуемая иногда задачей о распаде произвольного стационарного разрыва, является наиболее общей из задач об интерференции волн. Поставленная впервые Л.Д.Ландау [5], она до сих пор привлекает к себе внимание исследователей [6]—[10]. В работах [3, 4, 6, 7, 8] исследованы частные случаи данной задачи — взаимодействия догоняющих и встречных скачков. В монографии [10], где анализировалась общая задача, получено ее приближенное решение. При условии сверхзвукового течения за разрывами, образующимися при взаимодействии потоков, задача часто используется в численных методах расчета сверхзвуковых стационарных течений [3, 9, 10].

Проведем краткий обзор развития проблемы интерференции волн и, в частности, задачи о распаде произвольного стационарного разрыва.

В конце сороковых годов появилась группа работ, посвященных исследованию взаимодействия газодинамических разрывов между собой и с твердой поверхностью, и, в первую очередь, ма-ховского отражения ударной волны. Интерес к этой проблеме был обусловлен появлением взрывных устройств большой мощности [34]. Правда, в акустической постановке задача об отражении волны от стенки была решена значительно раньше (А. Зоммер-фельд, 1901 г.), а тройные конфигурации ударных волн наблюдались еще Э.Махом, однако эти исследования не носили систематического характера.

Первые комплексные (экспериментальные и теоретические) исследования отражения ударных волн от твердой поверхности выполнены Г.Эгинком (1943 г.), Л.Смитом (1945 г.), А.Таубом (1946 г.) [32, 34]. Теория "разветвленных" скачков уплотнения, первоначально предназначенная для объяснения эффектов взаимодействия скачка с пограничным слоем на стенке, разработана А.Вейзе, Г.Эгинком и Ф.Веккеном (1943 г.) [15]. По совету Тол

О * Г" и /—' «» мина в новой форме, более простои и удобной в применении на практике, эту теорию представил В.Вуст [16]. Для анализа течения в точке ветвления скачков он ввел "сердцевидные" кривые на плоскости Л = ln(pi/p),(3 {(3 - угол поворота потока на косом скачке уплотнения) и использовал соотношение Ф.Шуберта для описания параметров за скачком.

Основополагающие теоретические и экспериментальные исследования нерегулярного (маховского) отражения нестационарной ударной волны от твердой поверхности были выполнены примерно в эти же годы Дж.Нейманом [41], Л.Д.Ландау [22], Л.Смитом, Ф.Веккеном [15]. Теория Неймана, известная под названием "треху-дарной", получила дальнейшее развитие и с успехом используети * и ся для исследования тройных конфигурации ударных волн как в стационарных, так и в нестационарных потоках. Наиболее полно достижения теории ударных волн, полученные в 40-е -50-е годы, изложены в работах Р.Куранта и К.Фридрихса (1950 г.) [21], а также Л.Д.Ландау (1953 г.) [22]. Последний разработал некоторые основные принципы образования всевозможных ударно-волновых конфигураций и первый сформулировал задачу о наклонном взаимодействии сверхзвуковых потоков.

В 60-е годы теория интерференции разрывов получила наибольшее развитие в работах Л.Хендерсона [35, 36, 37]. Среди работ отечественных авторов в это время следует отметить исследования Г.Г.Черного [30], Л.Б.Зельдовича [20]. Результаты целого ряда исследований взаимодействия ударных волн, появившихся в это время, стали классическими [28, 29, 25, 18, ?].

При разработке численного метода задача о взаимодействии двух равномерных сверхзвуковых потоков исследовалась С.К.Годуновым, М.Я.Ивановым и А.Н.Крайко [10]. В получе-ных алгоритмах решения задачи для связи угла разворота потока и интенсивнсти скачка уплотнения использовались зависимости аналогичные зависимостям для волн разрежения. Таким образом, задача рассматривалась только при малых различиях параметров взаимодействующих потоков.

В основу данного исследования легли соотношения на скачке уплотнения и в волне Прандтля-Майера, полученные в 70-е - 80-е годы В.Н.Усковым [3, 4, ?] при решении задач интерференции стационарных газодинамических разрывов. В качестве основной независимой переменной он предложил использовать интенсивность волны, представляющую собой отношение статических давлений за волной и до нее. Им же впервые был проведен подробный анализ изомах на плоскости А, /3 интенсивностей волн [4], отображающих возможные значения интенсивности одиночной волны, а также угла поворота потока на ней при фиксированном значении числа Маха набегающего потока. Анализ изомах на плоскости интенсивностей волн позволил В.Н.Ускову найти решения задач интерференции стационарных газодинамических разрывов, свести все эти задачи к задаче о распаде произвольного стационарного разрыва, получить аналитическое решение этой задачи в случае слабых разрывов. Для ряда задач интерференции стационарных газодинамических разрывов, В.Н.Усковым впервые были получены критерии смены типа отраженных разрывов [4].

Целью настоящей работы являлось решение задачи о распаде произвольного стационарного разрыва в его полной постановке, в рамках традиционных условий динамической совместности на исходящем тангенциальном разрыве, а, также формулирование приближенных решений, используемых при решении целого ряда задач интерференции газодинамических разрывов и в вычислительных методах [3, 9, 10].

В главе 1 проводится анализ задачи о наклонном взаимодействии сверхзвуковых потоков на плоскости интенсивностей волн

В главе 2 формулируется метод рассмотрения задачи о наклонном взаимодействии сверхзвуковых потоков. На основе анализа изомах записываются точные критерии смены разрыва в потоке с меньшим статическим давлением, определяются критерии существования решения задачи. По полученным результатам строятся точные области существования решения для различных параметров задачи. Проводится параметрический анализ особых чисел Маха задачи и вида областей существования решения. Приводится алгоритм решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва и практические рекомендации по решению нелинейных систем уравнений, задающих границы области существования решения. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [1].

В главе 3 формулируется задача о наклонном взаимодействии сверхзвуковых потоков при ограничении, наложенном на интенсивности скачков уплотнения. Показывается, что в такой постановке задача может использоваться для определения областей регулярной интерференции разрывов. На основе анализа изомах записываются приближенные критерии смены разрыва в потоке с меньшим статическим давлением и критерии существования решения задачи. По полученным результатам строятся области существования решения. Проводится параметрический анализ задачи. Доказывается, что области существования решения в приближенной постановке находятся строго внутри областей существования решения задачи в точной постановке. Проводится оценка точности приближенного решения. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [2].

В главе 4 формулируется задача о распаде произвольного стационарного разрыва при условии сверхзвукового течения за ним. Именно в такой постановке задача используется в вычислительных методах [10]. На основе анализа изомах записываются критерии смены разрыва в потоке с меньшим статическим давлением и критерии существования решения задачи. По полученным результатам строятся области существования решения для параметров задачи. Проводится параметрический анализ критериев смены разрыва и областей существования решения. Приводятся практические рекомендации и алгоритм решения задачи.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Методика решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва, как обобщающей задачи об интерференции стационарных разрывов.

2. Аналитическое решение задачи о распаде произвольного стационарного разрыва в точной постановке, в рамках традиционных условий динамической совместности на исходящем тангенциальном разрыве.

3. Аналитическое решение задачи о распаде произвольного стационарного разрыва в приближенной постановке, при ограничении интенсивностей скачков уплотнения.

4. Аналитическое решение задачи о распаде произвольного стационарного разрыва, при сверхзвуковом течении за разрывами, исходящими из точки взаимодействия.

5. Алгоритмы решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва при различных ограничениях на интенсивности скачков уплотнения исходящих из точки разрыва.

В работе получены следующие новые научные результаты:

1. Сформулированы критерии, позволяющие по заданным значениям параметров, встречающихся под произвольным углом потоков, определять тип отраженного разрыва в потоке с меньшим статическим давлением.

2. Получены точные аналитические зависимости, отвечающие на вопрос о существовании решения задачи. На основе этих зависимостей определены области существования решения. Проведен их параметрический анализ.

3. Получены приближенные зависимости, отвечающие на вопрос о существовании решения задачи. На основе этих зависимостей определены области существования решения. Доказано, что области существования решения, полученные приближенным методом, находятся строго внутри областей существования решения. Проведен их сравнительный анализ.

4. Получены аналитические зависимости, отвечающие на вопрос о существовании решения задачи при условии сверхзвукового течения за разрывом. На основе этих зависимостей определены области существования решения при этом ограничении.

5. Сформулированы алгоритмы решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва при различных ограничениях на интенсивности скачков уплотнения исходящих из точки разрыва.

Практическая ценность работы заключается в том, что на основе проведенных исследований впервые получены явные аналитические решения, позволяющие решать задачу о распаде произвольного стационарного разрыва, а так же задачи об интерференции стационарных разрывов путем сведения к задаче о распаде произвольного стационарного разрыва. Сформулировано аналитическое решение задачи при ограничении, используемом в ряде численных методов. Предложен алгоритм решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва.

Результаты диссертационного исследования представлены в 12 научных трудах.

Основные результаты работы доложены и обсуждены на XVI Всероссийском семинаре "Струйные и нестационарные течения в газовой динамике" (Новосибирск, 1995); IV, V и VI научных конференциях ученых России, Белоруссии и Украины "Прикладные проблемы механики жидкости и газа" (Севастополь, 1996, 1998); Всероссийской научной конференции "Первые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 1997); Всероссийских молодежных научных конференциях "XXIII Гагаринские чтения" и "XXIV Гагарин-ские чтения" (Москва, 1997, 1998); XVII Всероссийском семинаре "Течения газа и плазмы в соплах, струях и следах" (Санкт-Петербург, 1997); II Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Санкт-Петербург, 1998); XII Международном симпозиуме по газовым и химическим лазерам; научном семинаре кафедры Плазмогазодинамических импульсных систем БГТУ под руководством проф. В.Н. Ускова (Санкт-Петербург, 2000).

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Кожемякин, Алексей Олегович

4.7. Выводы по главе 4

В отличие от решений, приведенных в двух предыдущих главах, решение с ограничением интенсивностей исходящих скачков уплотнения J < Js гарантирует сверхзвуковое течение за исхо

В«> о силу простоты вычислении предложенный алгоритм может быть использован в расчетной схеме по модернизированному методу С.К.Годунова, М.Я.Иванова, А.Н.Крайко [10] для решения задачи распада произвольного стационарного разрыва между соседними ячейками расчетной сетки.

Заключение

В настоящей работе впервые для задачи о распаде произвольного стационарного разрыва в рамках традиционных условий динамической совместности на исходящем тангенциальном разрыве получено точное аналитическое решение, позволяющее определить тип исходящего из точки взаимодействия разрыва, а так же границы области существования решения. Проведен полный параметрический анализ задачи. Определен вид характерных областей для параметров задачи. Для описания областей существования решения задачи получены особые числа Маха. Проанализировано влияние показателей адиабаты на приведенные решения.

Точное решение, полученное во второй главе, требует решения нелинейной системы уравнений, сопряженного с большими сложностями. Для приближенной оценки границ существования решения приводится приближенное решение, описанное в третьей главе. Особо следует подчеркнуть тот факт, что область существования приближенного решения всегда находится строго внутри области существования задачи в полной постановке. В ряде задач (например при определенных условиях отражения скачка уплотнения от твердой стенки) приведенное приближенное решение можно использовать как критерий перехода от регулярного к маховскому взаимодействию разрывов.

Найдено решение с ограничением интенсивностей исходящих скачков уплотнения J < Js, которое гарантирует сверхзвуковое течение за исходящими разрывами. В силу простоты вычислений предложенный алгоритм может быть использован в расчетной схеме по модернизированному методу С.К.Годунова, М.Я.Иванова и А.Н.Крайко для решения задачи распада произвольного стационарного разрыва между соседними ячейками расчетной сетки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кожемякин, Алексей Олегович, 2000 год

1. Коэ1семякин А.О., Омелъченко А.В., Усков В.Н. Наклонное взаимодействие свехзвуковых потоков. / / И з в . АН СССР. М Ж Г . 1999. №4. 116-124.

2. Коэюемякин А.О., Омелъченко А.В., Усков В.Н. Решение задачи о распаде произвольного стационарного разрыва. / / Новосибирск: 1999.

3. Адрианов А.Л., Старых А.Л., Усков В.Н. Интерференция стационарных газодинамических разрывов. Новосибирск: Наука, 1995. 180 с.

4. Усков В.Н. Ударные волны и их взаимодействие. Л.: Изд-во ЛМИ, 1980. 88 с.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М.:Наука, 1988. 736 с.

6. Росляков Г.С. Взаимодействие плоских скачков одного направления. / /Численные методы в газовой динамике. М.:Изд-во МГУ, 1965. Вып.4. 28-51.

7. Росляков Г.С, Старых А.Л., Усков В.Н. Интерференция стационарных скачков уплотнения одного направления. / / И з в . АН СССР. МЖГ. 1987. №4. 143-152.

8. Адрианов А.Л., Старых А.Л., Усков В.Н. Интерференция стационарных газодинамических разрывов. Новосибирск: Наука, 1995. 178 с.

9. Киреев В.И., Войновский А.С. Численное моделирование газодинамических течений. М.:Изд-во МАИ, 1991. 253 с.

10. Годунов К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.:Наука, 1976. 400 с.

11. Омелъченко А. В., У сков В.Н. Оптимальные ударно-волновые системы / / И з в . РАН. МЖГ. 1995. .^"-6. 118-126.

12. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.

13. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. В 2 ч. Ч.1 М.: Наука, 1991. 600 с.

14. Арутюнян Г.М., Карчевский Л.В. Отраженные ударные волны. М.: Машиностроение, 1973. 376 с.

15. Веккен Ф. Предельные положения вилкообразных скачков уплотнения. / В сб. переводов "Механика", 1950, 4. 24-34.

16. Вюст В. К теории развлетвленных скачков уплотнения. / В сб. статей "Газовая динамика". М.:ИЛ, 1950. 131-143.

17. Герман Р. Сверхзвуковые входные диффузоры. М.: Физмат- гиз, 1960. 290 с.

18. Гинзбург И.П. Аэрогазодинамика. М.: Высшая школа, 1966. 403 с.

19. Глазнев В.Н., Желтухин Н.А. Отражение акустической волны от ударной в канале переменного сечения. / / И з в . СО АН СССР. Серия техн. наук, 1972. 8. Вып.2. 61-66.

20. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных явлений. М.: Физматгиз, 1963.

21. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Иностр. лит-ра, 1950. 420 с.

22. Ландау Л.Д., Лифшмц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

23. Петров Г.И. Избранные труды. Аэромеханика больших скоростей и космические исследования. М.: Наука, 1992. 306 с.

24. Подлубный В.В. К задаче взаимодействия трех ударных волн. / / У ч . зап. ЦАГИ, 1978. Т.9. 4. 102-106.

25. Полачек X., Зигер Р.И. Взаимодействие ударных волн. / /Основы газовой динамики: Под редакцией Г.Эммонса. М.: Иностранная лит-ра, 1963. 702 с.

26. Райхенбах Г. Ударные волны в газах / /Физика быстропроте- кающих процессов. Т.З. М.: Мир, 1971. 56-102.

27. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. М.: Мир, 1972. 240 с.

28. Хейз У.Л. Основы теории газодинамических разрывов. / /Основы газовой динамики: Нод редакцией Г.Эммонса. М.: Иностранная лит-ра, 1963. 702 с.

29. Хейз У.Д., Пробстип Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. М.: Иностранная лит-ра, 1950. 426 с.

30. Черный Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959. 220 с.

31. Щепановский В.А., Гутов Б.И. Газодинамическое конструирование сверхзвуковых воздухозаборников. Новосибирск: Наука, 1993. 228 с.

32. Bleakney W., ГаиЬ Л.Я. Interaction of shock waves//Rev of modern phys., 1949. V.21. P.548-605.

33. Cabannes Н. Lois dee la reflection des ondes de chock dans. Les ecoulements planes non-stationaires. / /Onera Publication, 1955. 8. P.1-36.

34. Griffith W.C. Shock waves / / J . fluid mech., 1981. V.106. P.81-108.

35. Henderson L.F. On a class of multishock interactions in a perfect gas. //Aeron. quart., 1966. V.17. P.1-20.

36. Henderson L.F. On the confluence of three shock waves in a perfect gas. //Aeron. quart., 1964. V.15. P.181-197.

37. Henderson L.F. The reflection of a shock wave at a rigit wall in the presence of a boundary layer. / / J . fluid mech., 1967. V.30. 4. P.699.

38. Henderson L.F., Lozzi A. Experiments on transition of Mach reflection / / J . Fluid Mech., 1975. V. 68. Part 1. P.P.139-155.

39. Henderson L.F., Lozzi A. Further experiments on transition of Mach reflection / / J . Fluid Mech., 1979. V. 94. Part 3. P.P.541-559.

40. Hornung H.G., Robinson M.L. Transition from regular to Mach reflection of shock waves. Part 2. The steady-flow criterion / / J . Fluid Mech., 1982. V. 123. P.P. 155-164.

41. Neuman J. Collected лvorks. Oxford: Pergamon press, 1963. V.6. P.239-299. РСССИ'ЛС>'А^'