Определяемость абелевых групп группами гомоморфизмов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Береговая, Татьяна Александровна

• Береговая, Татьяна Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Береговая, Татьяна Александровна

ВВЕДЕНИЕ.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ИЗВЕСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

ГЛАВА I. ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ ГРУППАМИ t ГОМОМОРФИЗМОВ.

§1. Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения А группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения.

§2. Определяемость некоторых классов абелевых групп без it кручения А группами гомоморфизмов Нот(С, А), где

С — векторная группа.

ГЛАВА И. ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ СВОИМИ КОЛЬЦАМИ (ПОЛУГРУППАМИ) ЭНДОМОРФИЗМОВ И ГРУППАМИ ГОМОМОРФИЗМОВ.

§1. Определяемость некоторых классов вполне разложимых абелевых групп без кручения А своими кольцами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения.

§2. Определяемость некоторых классов абелевых групп без кручения А своими кольцами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — векторная группа.

§3. Определяемость некоторых классов вполне разложимых абелевых групп без кручения А своими полугруппами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов Нот(С, А), где С — вполне разложимая абелева группа без кручения.

ГЛАВА III. ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП СВОИМИ ГРУППАМИ ЭНДОМОРФИЗМОВ И ГРУППАМИ ГОМОМОРФИЗМОВ.

§1. Предварительные результаты.

§2. сН- и с-Е+Я-определяемость некоторых классов периодических групп своими группами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Определяемость абелевых групп группами гомоморфизмов»

Абелевы группы составляют один из важнейших классов групп. Теория абелевых групп тесно связана с теориями модулей, колец, множеств, категорий, чисел. Начало теории абелевых групп положили работы Понтрягина [1], Мальцева [2], Куроша [3], Дэрри [4], Прюфера, Ульма, Куликова и др.

Глубокая структурная теория периодических абелевых групп позволяет решать многие задачи для этого класса абелевых групп. Для абелевых групп без кручения положение иное: даже для групп без кручения конечного ранга неизвестно никакой удобной полной системы инвариантов [5].

Важной задачей теории абелевых групп является установление связей между свойствами группы и свойствами групп гомоморфизмов и колец (полугрупп) эндоморфизмов. Вышеуказанная тематика рассматривалась многими авторами. Для классов периодических групп, вполне разложимых абелевых групп без кручения, векторных групп Гриншпон [б], [7] и Себельдин [8], [9], [10] дали полный ответ на вопрос, когда из изоморфизма групп эндоморфизмов двух групп из одного из рассматриваемых классов следует изоморфизм самих групп (проблема 42 [11]).

В тех случаях, когда для определяемости абелевой группы А изоморфизма групп эндоморфизмов недостаточно, естественно возникает необходимость рассмотреть связи между группами А и В вида Нот(С, А) = Нот(С, В) для некоторых абелевых групп С. Задачи такого типа решались рядом авторов (см. [12], [13], [14]). В частности, будем говорить, что абелева группа А из некоторого класса

X абелевых групп сН-определяется в классе X для некоторой абе-левой группы С, если для всякой группы В G X из изоморфизма Нот(С, А) = Нот(С, В) следует изоморфизм А = В. Вопрос существования такой группы С решается положительно, так как для любой группы А существует естественный изоморфизм Hom(Z,A) = А, то есть любая абелева группа А является группой гомоморфизмов #ora(Z, А).

Настоящая работа посвящена поиску вышеуказанных абелевых групп С в различных классах абелевых групп, а также изучению близких вопросов.

Цель работы: исследовать вопрос об изоморфизме абелевых групп с изоморфными группами гомоморфизмов; группами гомоморфизмов и кольцами (полугруппами) эндоморфизмов в некоторых известных классах абелевых групп.

Научная новизна и практическая ценность: все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие:

1. Найдены необходимые и достаточные условия на абелеву группу С, где С берется из класса вполне разложимых абелевых групп без кручения, класса векторных абелевых групп, класса Тр при-марных абелевых групп, класса Т периодических абелевых групп, чтобы всякий раз из изоморфизма групп гомоморфизмов Ногп(С, А) = = Нот{С, В) для абелевых групп А и В из хорошо известных классов абелевых групп следовал бы изоморфизм самих групп А и В.

2. Найдены необходимые и достаточные условия на абелеву группу С, где С берется из класса вполне разложимых абелевых групп без кручения, класса векторных абелевых групп, чтобы всякий раз из изоморфизмов Нат{С,А) ^ Нот(С,В) и Е(А) * Е(В) (Е'(А) = = Е*{В)) для абелевых групп А, В из некоторых известных классов абелевых групп следовал бы изоморфизм А = В.

3. Описаны необходимые и достаточные условия на примарную абелеву группу С, чтобы всякий раз из изоморфизмов Нот(С, А) = = Нот(С, В) и Е+(А) = Е+(В) для примарных абелевых групп Л, В следовал бы изоморфизм А = В.

Работа имеет теоретическое значение. Результаты данной работы могут быть использованы при изучении групп гомоморфизмов абелевых групп и модулей, могут применяться при решении аналогичных задач в теории групп и модулей.

Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Математика. Экономика. Экология. Тендерные проблемы." (г. Воронеж, 2000 г.), IV Нижегородской сессии молодых учёных (г. Саров, 2002 г.), на алгебраических семинарах МГУ, МПГУ, НПГУ и содержатся в работах [44]-[54].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, Себельдину Анатолию Михайловичу, а также Любимцеву Олегу Владимировичу за внимание к работе, советы и указания.

Содержание диссертации

Далее под словом "группа" понимается "абелева группа".

Во введении приводится краткий обзор литературы по теме диссертации, обосновывается актуальность решаемых в диссертации задач, а также кратко излагаются полученные в диссертации результаты.

В I главе рассматривается вопрос об определяемости групп без кручения группами гомоморфизмов.

Пусть С — абелева группа. Обозначим класс групп, сН-определяющихся в некотором классе X абелевых групп (см. введение), через Х{сН). Если X = Х{сН), то класс X назовем сН-клвссом. В §1 настоящей главы найдены условия на группу С £ чтобы класс $>cd являлся с#-классом (теорема 1.1). Кроме этого, данная задача рассматривается для различных подклассов класса класса вполне разложимых групп без кручения конечного ранга (теорема 2.1); класса вполне разложимых групп без кручения, где каждое прямое слагаемое ранга 1 почти делимо (теорема 3.1); класса Si групп без кручения ранга 1 (теорема 4.1) и других (теоремы 5.1, 6.1, 7.1).

В §2 решена аналогичная задача, если С £ ^ (теоремы 8.1, 9.1, 10.1, 11.1).

Во второй главе получен ряд результатов об определяемости различных классов групп без кручения своими кольцами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов. В начале главы (§1) описаны группы С в различных подклассах вполне разложимых групп без кручения такие, что из Е(А) = Е(В) и Нот(С,А) = Нот(С,В) следует

А = В, где А, В из класса S абелевых групп без кручения (здесь С € Si, см. теорему 1.2); класса Si (С € $>cd, теорема 2.2); класса (с € 3W, теорема 3.2) и т.д.

В §2 рассматривается аналогичная задача при условии, что С — векторная группа.

В §3 рассматривается вопрос об определяемости вполне разложимых абелевых групп без кручения своими полугруппами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов. Найдены группы С из такие, что классы Si, и другие были сЕ*классами (теоремы 10.2, 11.2, 12.2, 13.2, 14.2).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Береговая, Татьяна Александровна, 2003 год

1. Понтрягин J1. С. The theory of topological commutative groups// Ann. Math. - 1934.- V. 35.- P. 361-388

2. Мальцев А. И. Абелевы группы конечного ранга без кручения// Матем. сб. 1938.- Т. 4.- No 4.- С. 45-68

3. Курош А. Г. Primitive torsionfreie abelschen Gruppen vom endlichen Range// Ann. of Math. 1937. - V. 38. - P. 175-203

4. Derry D. Uber eine Klasse von abelschen Gruppen// Proc. London Math. Soc. 1937. - V.43. - P. 490-506

5. Яковлев А. В. К проблеме классификации абелевых групп без кручения конечного ранга// Зап. Науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1976. - Т. 57. - С. 171-175

6. Гриншпон С. Я. Примарные абелевы группы с изоморфными группами эндоморфизмов// Матем. заметки. 1973. - Т. 14. -Вып. 5. - С. 733-741

7. Гриншпон С. Я., Себельдин А. М. Определяемость периодических абелевых групп своими группами эндоморфизмов// Матем. заметки. 1995. - Т. 57. - Вып 5. - С. 663-669

8. Себельдин А. М. Вполне разложимые абелевы группы без кручения с изоморфными группами эндоморфизмов// Сборник аспирантских работ по математике. Томск. 1974. - С.28-34

9. Себельдин А. М. Об определяемости абелевых групп без кручения своими кольцами и группами эндоморфизмов// Группы и модули. Томск: изд-во ТГУ. 1976. - С. 78-85

10. Себельдин А. М. Полные прямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1 с изоморфными группами или кольцами эндоморфизмов// Абелевы группы и модули. Томск: изд-во ТГУ. 1979. -С. 159-164

11. Fuchs L. Abelian groups. Budapest, 1958.

12. Власова JI. И. Об определяемости групп группами гомоморфизмов// Вестник Моск. ун-та. Серия 1. Математика, механика. -1979. No 5. - С. 52-55

13. Себельдин А. М., Антонова Н. Ю. Об изоморфизме группы гомоморфизмов двух абелевых групп без кручения одной из этих групп// Известия ВУЗов. Математика. 1995. - 2(393). - С. 53-59

14. Гриншпон С. Я., Глазырина Е. Д. Тестовые группы для групп гомоморфизмов. //Сб-к "Абелевы группы и модули", Томск: изд-во ТГУ. 1996. - Вып. 13, 14. - С. 63-66

15. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. - Т.1

16. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. - Т.2

17. Sebeldin А. М. Isomorphisme naturel des groupes des homomor-phismes des groupes abeliens// Ann. de L'IPGANG, Conakry. 1982. - V.VII. - Serie A. - P. 155-158

18. Baer R. Types of elements and characteristic subgroups of abelian groups// Proc. London Math. Soc. 39, 1935. - P. 481-514

19. Pierce R. S. Homomorphisms of primary abelian groups// Topics in Abelian groups, Chicago, Illinois. 1963. - P. 215-310

20. Себельдин A.M. Группы гомоморфизмов вполне разложимых абелевых групп без кручения // Известия ВУЗов. Математика, 1973. No 7.

21. Warfield R.B. Jr. Homomorphisms and duality for torsion free groups// Math.Z. 1968. - V. 107. - No 3. - P. 189-200

22. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.

23. Sasiada Е. Proof that every countable and reduced torsion-free abelian group is slender// Bull. Acad. Polon. Sci. 1959. - 7. -P. 143-144

24. Fuchs L. Abelian groups// Publ. House of the Hungar. Acad. Sci., Budapest. 1958.

25. R. Baer. Automorphism rings of primary Abelian operator groups// Ann. Math. 1943. - 44. - P. 192-227

26. I. Kaplansky. Some results on Abelian groups// Proc. Nat. Acad. m Sci. USA. 1952. - 38. - P. 538-540

27. I. Kaplansky. Infinite Abelian Groups. Univ. of Michigan Press. 1954; rev.ed.

28. Мишина А.П. Абелевы группы// Итоги науки и техники. Серия: Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. Т. 10. Алгебра-2.М.: ВИНИТИ. 1969.

29. Мишина А.П. Абелевы группы// Итоги науки и техники. Алге-Ф бра. Топология. Геометрия. Т. 10. М.: ВИНИТИ АН СССР. 1972.- С. 5-45

30. W. May and Е. Toubassi. End-sms of Abelian groups and the theorem of Baer and Kaplansky// J. Algebra 43. 1976. No 1. - P. 1-13

31. W. May and E. Toubassi. A result on problem 87 of L. Fuchs// Lecture Notes in Math. 616. 1977. P. 354-367

32. Себельдин A. M. Абелевы группы без кручения с изоморфными кольцами эндоморфизмов// Абелевы группы и модули, Томск: изд-во ТГУ. 1979. - С. 165-170

33. Себельдин А. М. Определяемость абелевых групп своими кольцами эндоморфизмов// Абелевы группы и модули, Томск: изд-во ТГУ 1 ряд с 11 г.] 93JL к/ * */ K-J«/ » * JL С/ -Х- '--J

34. С. J. Hauptfleisch. Torsion-free Abelian. groups with isomorphicendomorphism rings//' Arch. Math (Basel) 24. 1973. P. 269-273

35. W. May. Endomorthism rings of mixed abelian group// Contemp, Math. 1989. - No 87. - P. 61-74

36. Пуусемп П. Об определяемости периодических абелевых групп своей полугруппой эндоморфизмов в классе всех периодических абелевых групп// Изв. АН Эст СОР, Физ. Мат. 1980. - Т. 29. - No 3.- О. 246-2ьЗ

37. Пуусемп II. Об одном теореме1 Мэя// Изв. АН Эст ССР, Физ. Мат. 1989. - Т. 38. - No 2. - С. 139-145

38. Себельдин А. М. Определяемость векторных групп полугруппами эндоморфизмов// Алгебра и логика. 1994. - Т. 33. - No 4. -С 422-428

39. Себельдин А. М. Абелевы группы с изоморфными полугруппами эндоморфизмов// Успехи мат. наук. 1994. - Т. 49. - No 6. - С. 211-212

40. Себельдин А. М. Определяемость сепарабельных абелевых групп полугруппами, эндоморфизмов// Алгебра и логика. 1995. - Т. 34.- No 5. С. 523-530

41. Себельдин А. М. Условия изоморфизма вполне разложимых абелевых групп без кручения с изоморфными кольцами эндоморфизмов/ / Матем. заметки. 1972. - Т.Н. - Вып. 4. - С.403-408

42. Любимцев О. В. Сепарабельные абелевы группы без кручения сUА— кольцами эндоморфизмов// Фундам. и приклад, математика. 1998. - Т. 4. - No 4. - С. 1419-1422

43. Пуусемп П. Идемпотенты полугрупп эндоморфизмов групп// Уч. зап. Тартуск. ун-та. 1975. - No 366. - С. 76-104

44. Береговая Т. А. Вполне разложимые А-тестовые слева абелевы группы// г. Ростов-на-Дону, 1999, VII Международная конференция "Математика. Экономика. Экология. Образование.". Тезисы докладов. С. 79-80

45. Береговая Т. А., Себельдин А. М. Е-тестовые слева абелевы группы// г. Санкт-Петербург, 1999, II Международная конференция "Полугруппы: теория и приложения". Тезисы докладов. - С. 70

46. Beregovaya Т. A., S.L.Fofana, A.M.Sebeldine. Groupes des homo-morphismes des groupes abeliens sans torsion// Conacry, 1999, Revue des sciences. Serie Math-Phys. No 2. - P. 17-19

47. Береговая Т. А. А-тестовые слева абелевы группы// г. Н.Новгород, 2000, IV Нижегородская сессия молодых ученых. Математическиеи гуманитарные науки. Тезисы докладов. - С. 70-71

48. Береговая Т. А. Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения группами гомоморфизмов// г. Воронеж, Международная конференция "Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы." Тезисы докладов. 2000. - Т. 1. - С. 53-54

49. Береговая Т. А. Об определяемости некоторых классов абелевых группп без кручения своими кольцами эндоморфизмов и группами гомоморфизмов// г. Екатеринбург, Международный семинар по теории групп. Тезисы докладов. 2001. - С. 39-40

50. Береговая Т. А. Векторные Н-тестовые группы для некоторых классов абелевых групп без кручения// г. Ростов-на-Дону, X Международная конференция "Математика. Экономика. Образование."- Тезисы докладов. 2002. - С. 117

51. Береговая Т.А. Векторные ЕН-тестовые группы для некоторых классов абелевых групп без кручения// г. Саров, VII Нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки. Тезисы докладов. - 2002.- С. 38-39

52. Береговая Т. А., Себельдин А. М. Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения группами гомоморфизмов// Матем. заметки. 2003. - Т. 73. - Вып. 5. - С. 643-648