Определяемость абелевых групп своими голоморфами и подобие абелевых групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Гриншпон, Ирина Эдуардовна

• Гриншпон, Ирина Эдуардовна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гриншпон, Ирина Эдуардовна

Список обозначений

Введение

§1. Основные определения и известные результаты

I Подобие р-групп и однородно разложимых групп

§2. Подобие абелевых р-групп.

§3. Подобие однородно разложимых групп.

II Почти голоморфно изоморфные абелевы группы без кручения. Определяемость абелевых групп без кручения с периодической группой автоморфизмов своим голоморфом

§4. Нормальные подгруппы голоморфов абелевых групп и почти голоморфный изоморфизм.

§5. Определяемость абелевых групп без кручения с периодической группой автоморфизмов своим голоморфом. Почти голоморфный изоморфизм вполне разложимых групп с конечной группой автоморфизмов

III Определяемость векторных групп своими голоморфами и подобие почти голоморфно изоморфных групп

§6. Определяемость векторных групп своими голоморфами

§7. Связи между типами элементов почти голоморфно изоморфных групп без кручения.

§8. Подобие почти голоморфно изоморфных прямых произведений однородных групп.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Определяемость абелевых групп своими голоморфами и подобие абелевых групп»

Актуальность темы. Известно, что множество всех автоморфизмов алгебраической системы образует группу относительно операции умножения (композиции) автоморфизмов. Вопросы, связанные с изучением групп автоморфизмов алгебраических систем, занимают видное место в алгебре. В работах, посвященных этим вопросам, изучаются структурные свойства группы автоморфизмов, связь между группой автоморфизмов алгебраической системы и самой системой, а также конструкции, в которых используются группы автоморфизмов.

При исследовании свойств группы С и ее группы автоморфизмов Аи^С) удобно рассматривать такую алгебраическую систему, в которую изоморфно вкладывались бы как сама группа (7, так и группа ее автоморфизмов Аи1(С). Одной из таких систем является голоморф группы (2 — полупрямое расширение группы С с помощью группы ее автоморфизмов Аи^С). Структурные свойства голоморфа, поведение групп (2 и Аи^С) в голоморфе дают информацию о свойствах группы и ее группы автоморфизмов. Известно, например, что группа (7 тогда и только тогда характеристически проста, когда группа ее автоморфизмов Аи^С) является максимальной подгруппой в голоморфе [26, с. 412].

В исследованиях по теории голоморфов абелевых групп сформулированы и решаются задачи, связанные как со свойствами самого голоморфа группы, так и со свойствами его подгрупп.

Совершенность голоморфов абелевых групп исследовалась в работах Д. Харви [46], В. Переманс [55], Ю. А. Гольфанда [10]. И. X. Беккер в работах [1] и [2] нашел необходимые и достаточные условия совершенности голоморфа в некоторых классах абелевых групп.

Свойства голоморфов групп изучали Г. Миллер [51], В. Миллс [52], [53], Л. Редей [57], Д. Харви [46], Дж. Клей [41], Ху Нао [47], [48], М. Д. Кузенний [22], А. В. Ягжев [37] и другие. Связь примитивных групп подстановок и голоморфов групп изучалась Р. И. Тышкевич [29]. Голоморфы полугрупп рассматривались в [17].

Среди вопросов, связанных с голоморфами абелевых групп, важное место занимает вопрос об определяемости групп своим голоморфом. Две группы называются голоморфно изоморфными, если голоморфы этих групп изоморфны. Говорят, что группа А определяется своим голоморфом в некотором классе групп 21, если любая, группа В из этого класса, голоморфно изоморфная группе А, изоморфна группе А. Известны примеры неизоморфных конечных некоммутативных групп, голоморфы которых изоморфны [51]. Однако ситуация меняется при переходе к абелевым группам. В [52] В. Миллс показал, что всякая конечно порожденная абелева группа определяется своим голоморфом в классе всех конечно порожденных абелевых групп. Ряд интересных результатов о свойствах голоморфов абелевых групп и об определяемости абелевых групп своими голоморфами получен И. X. Беккером [1] - [5].

Обзор некоторых результатов о голоморфах абелевых групп и определяемости абелевых групп своими относительными голоморфами приведен в [7]. В [8] доказано, что всякая смешанная

-разложимая абелева группа с периодической группой автоморфизмов определяется своим голоморфом. Связь между определя-емостыо абелевой группы своим голоморфом и ее разложением в прямую сумму групп, индуцированным изоморфизмом голоморфов, установлена И. X. Беккером в [5].

Пусть А и В — абелевы группы. В [9] гомоморфизм группы В в группу Нот(Нош(5, А), А) вида Ь —> 5ь, где 6ь<р = ц>Ъ (Ь е В, ср 6 Нот (В, А)) называется естественным гомоморфизмом. В [9] показывается, что задача об определяемости абелевой группы (У своим голоморфом в некотором достаточно широком классе абеле-вых групп тесно связана с задачей о поиске для группы С? таких прямых разложений С? = А © В, для которых Нот(у1, В) = О, Нот(Д Нот(Б, А)) = 0 и В = Нот(Нот(В, А), А), причем изоморфизм естественный.

Обобщением понятия голоморфного изоморфизма является понятие почти голоморфного изоморфизма. Группы А и В называются почти голоморфно изоморфными, если каждая из них изоморфна нормальной подгруппе голоморфа другой группы. Понятно, что если две группы являются голоморфно изоморфными, то они почти голоморфно изоморфны. Обратное, вообще говоря, неверно. Почти голоморфно изоморфные конечно порожденные абелевы группы исследовались в работе В. Миллса [52]. Почти голоморфно изоморфные абелевы р-группы изучались в работах [6] и [11].

Так как всякая вполне характеристическая подгруппа группы С? является нормальной подгруппой голоморфа Г (С), то задача об изоморфизме почти голоморфно изоморфных групп является обобщением задачи об изоморфизме групп, почти изоморфных по вполне характеристическим подгруппам. Напомним, что две группы называются почти изоморфными по подгруппам с некоторым свойством, если каждая из них изоморфна подгруппе другой группы, обладающей этим свойством.

Задача об изоморфизме почти изоморфных абелевых групп привлекала внимание многих алгебраистов. В одной из тестовых проблем Капланского [50] ставится вопрос об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по прямым слагаемым. Для счетных редуцированных р-групп эта проблема имеет положительное решение [50]. Однако в работе П. Кроули [43] приведен пример неизоморфных р-групп, каждая из которых изоморфна прямому слагаемому другой группы. Для групп без кручения примеры такого рода были построены А. Корнером [42] и Е. Сонсядой [60]. Изоморфизм абелевых групп, почти изоморфных по сервантным и вполне характеристическим подгруппам, исследуется в работах де Гроота [45], И. А. Приходько [27], С. К. Росошека [28], С. Я. Гриншпона [12], [15], А. И. Шерстневой [35], [36].

В ряде классов абелевых групп удобно ввести понятие подобия групп. Такое понятие целесообразно вводить в тех классах групп, для которых имеется некоторая естественная система инвариантов (в общем случае не являющаяся полной). Задача о подобии почти изоморфных абелевых групп представляет самостоятельный интерес и позволяет решить задачу об изоморфизме почти изоморфных групп в тех подклассах исследуемых классов, где рассматриваемая система инвариантов является полной.

Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение голоморфно изоморфных и почти голоморфно изоморфных абелевых групп в связи с задачей определяемости абелевых групп своим голоморфом и исследование подобия почти изоморфных абелевых групп в некоторых классах р-групп и групп без кручения.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы теории абелевых групп, теории голоморфов групп, а также некоторые теоретико-множественные идеи. В работе используется также понятие транзитивной абелевой группы без кручения, введенное П. А. Крыловым.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие.

• Найдены достаточные условия подобия абелевых р-групп, почти изоморфных по широким и вполне характеристическим подгруппам.

• Выделены классы однородно разложимых групп без кручения, в которых из почти изоморфизма групп по вполне характеристическим подгруппам следует подобие этих групп.

• Исследованы свойства нормальных подгрупп голоморфов абелевых групп.

• Доказано, что всякая абелева группа без кручения с периодической группой автоморфизмов определяется своим голоморфом в классе всех абелевых групп.

• Доказано, что почти голоморфно изоморфные абелевы группы без кручения с конечными группами автоморфизмов изоморфны.

• Найдены необходимые и достаточные условия определяемости векторных групп своим голоморфом.

• Доказано, что любая группа из класса групп, состоящего из всех прямых произведений однородных групп с попарно несравнимыми типами, где каждая однородная компонента является вполне разложимой, определяется своим голоморфом в этом классе.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов для студентов старших курсов и аспирантов.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции "Алгебра и ее приложения", посвященной 70-летию профессора В. П. Шункова и 75-летию профессора В. М. Бусаркина (Красноярск, 2002), на Международной конференции по математике и механике, посвященной 125-летию Томского государственного университета и 55-летию механико-математического факультета (Томск, 2003), на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения "(Тула, 2003), на Международной конференции "Алгебра, логика и кибернетика", посвященной 75-летию со дня рождения профессора А. И. Кокорина (Иркутск, 2004), на Всероссийских симпозиумах "Абелевы группы" (Бийск, 2005, 2006, 2010), на Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию профессора В. Е. Воскресенского (Самара, 2007), на Международной конференции "Алгебра и ее приложения", посвященной 75-летию профессора В. П. Шункова (Красноярск, 2007), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора А. Г. Куроша (Москва, 2008), на Всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 130-летию Томского государственного университета и 60-летию механико-математического факультета (Томск, 2008). Основные результаты докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета.

По теме диссертации-опубликовано 19 работ ([61]-[79]).

Структура и объем работы. Представленная диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 91 странице. Библиография содержит 79 наименований.

Содержание работы. Работа состоит из вводного параграфа и трех глав. Первая и вторая главы состоят из двух параграфов, третья — из трех.

В первой главе рассматривается подобие абелевых групп из некоторых классов. Во второй главе рассматриваются голоморфы абелевых групп и вопросы, связанные с определяемостью абелевых групп без кручения с конечными и периодическими группами автоморфизмов своим голоморфом. В третьей главе рассматриваются голоморфы векторных групп. Даются ответы на вопросы, связанные с определяемостью векторных групп своими голоморфами. Рассматриваются почти изоморфизм и подобие прямых произведений абелевых групп без кручения.

Первый параграф содержит основные определения и результаты, используемые в диссертации.

Во втором параграфе изучается связь между почти изоморфизмом (почти подобием) и подобием абелевых р-групп.

Известна важная роль инвариантов Ульма-Капланского в теории абелевых р-групп. В ряде классов абелевых р-групп они образуют полную и независимую систему инвариантов.

Абелевы р-группы Ля В назовем подобными, если для всякого целого неотрицательного-числа п их инварианты Ульма-Капланского /А{п) и /в(п) равны.

При исследовании абелевых р-групп большое значение имеют широкие подгруппы, которые определяются следующим образом: подгруппа Ь абелевой р-группы А называется широкой подгруппой, если L — вполне характеристическая подгруппа группы А и L + B — А для любой базисной подгруппы В группы А ([31, С. 18]).

Заметим, что всякая вполне характеристическая подгруппа ограниченной р-группы является широкой ([31, С. 18]), так как в ограниченной р-группе базисная подгруппа совпадает с самой группой.

Абелевы р-группы назовем почти подобными по широким подгруппам, если каждая из них подобна широкой подгруппе другой группы.

Последовательность ао, ai,., au,. кардинальных чисел называется сильно зависимой, если существует возрастающая последовательность целых неотрицательных чисел г'о, . , гп,., отличная от последовательности всех целых неотрицательных чисел, расположенных в естественном порядке, такая что при к = 0, 1, 2,. ik+1-1 выполняются равенства: = ^ аг-, причем, если го = 0 и m — i=ik наименьшее натуральное число, не являющееся членом последовательности ¿о, ¿1,., in,., то при выполнении условия ат ^ Щ в последовательности am, am+i, ат+2,. должна существовать хотя бы одна пара не равных между собой чисел ([15]).

Основным результатом второго параграфа является теорема.

Теорема 2.1. Пусть G — абелева р-группа, удовлетворяющая одному из трех условий:

1 ) редуцированная часть группы G ограничена;

2) существует такое бесконечное кардинальное число а, что /с(г) = а для всякого целого неотрицательного числа г;

3) последовательность /g(0), /g( 1), • • •, • • • не является сильно зависимой.

Тогда всякая абелева р-группа H, почти подобная группе G по широким подгруппам, подобна группе G.

С помощью теоремы 2.1 устанавливаются такие результаты.

Следствие 2.2. Пусть С — абелева р-группа, удовлетворяющая одному из трех условий 1), 2), 3) теоремы 2.1. Тогда всякая абелева р-группа Н, почти изоморфная группе по широким подгруппам, подобна группе С?.

Следствие 2.3. Пусть С — сепарабельная р-группа, удовлетворяющая одному из трех условий 1), 2), 3) теоремы 2.1. Тогда всякая абелева р-группа Н, почти изоморфная группе (7 по вполне характеристическим подгруппам, подобна группе (7.

В третьем параграфе рассматривается подобие почти изоморфных однородно разложимых абелевых групп без кручения. При этом используются определения отмеченного множества типов и отмеченного отображения.

При изучении абелевых групп без кручения большое значения имеют понятия характеристики и типа элемента. Напомним эти понятия.

Пусть А — абелева группа, а £ А. Наибольшее неотрицательное число к, для которого уравнение ркх = а имеет решение, называется р-высотой элемента а в группе А. Если уравнение ркх — а имеет решение при любом к, то а называется элементом бесконечной р-высоты, то есть = оо. Если понятно, о какой группе идет речь, будем просто писать кр(а).

Пусть X — множество всех последовательностей вида у = (кг, ■ ■ •, кг,.), где к^ — целое неотрицательное число или символ оо (г е М). Такие последовательности будем называть характеристиками.

В множестве X естественным образом вводится частичный порядок, а именно (к^\ \ ., кп \ ■ ■ •) ^ > • • ■ > \ • ■ ■) тогда и только тогда, когда для каждого г £ N выполняется условие к^ ^ Л<2>. Относительно этого частичного порядка множество ЗС является полной решеткой.

Пусть Р = (Р1,Р2, ■ ■ ■ ,Рп, ■ ■ •) — множество всех простых чисел, занумерованных в порядке возрастания. Если А — абелева группа без кручения и а Е А, то характеристикаХл(а) элемента а в группе А — это такая характеристика х = • • •, кп, .), в которой каждое есть рг-высота ¡г£\а) элемента а в группе А ([31, с. 129]). Заметим, что, согласно определению, характеристика нулевого элемента — это последовательность (сю,., оо,.). Так как характеристика элемента а зависит от группы А, иногда пишут хА(а)> чтобы подчеркнуть роль группы А.

Две характеристики - г>1 = (/с^, ., кп \ • • •) и 1)2 — ., кп \ • • ■) считаются эквивалентными в том и только в том случае, когда множество М = {п £ кп^ ф кп^} конечно, причем, если кп ^ ф кп \ то к^ оо и к$ ф оо.

Класс эквивалентности в множестве характеристик называется типом. Если характеристика элемента а абелевой группы без кручения А принадлежит типу 1;, то говорят, что элемент а имеет тип 1 (что записывается следующим образом: Ьд(а) = t или 1;(а) = если понятно о какой группе идет речь).

Множество типов будем рассматривать как частично упорядоченное множество относительно естественного отношения порядка (то есть ^ ^ t2 тогда и только тогда, когда существуют характеристики VI и V2, принадлежащие типам и t2 соответственно, такие, что ^г)- Частично упорядоченное множество всех типов является полной решеткой.

Пусть ^ и t2 — два типа, VI — (А;^, ., кп \ . ■ ■) и

V2 — ., kn \ ■ ■ •) — характеристики, принадлежащие соответственно типам ti и t2.

Сумма типов ti + определяется как тип, содержащий характеристику vi + v2 = (к^ + kf\ к^ + kf\ ., кп^ + kS\ .), где оо + к = оо для всякого к. Если ti ^ t2, то разность типов ti — ti2 определяется как тип, содержащий характеристику v\ — V2 = (к^ - -kf \ ., к^ ~kS\ ■. -), где ы е tb v2 € t2, v\ ^ v2, и полагаем оо — к = оо для всякого к.

Заметим, что в [31, с. 133] для рассмотренных операций над типами применяется мультипликативная запись, для наших целей удобнее пользоваться аддитивной записью.

Тип t называется рп-делимым (рп G Р), если для всякой характеристики % = (ki, к2, . -., кп, ■ ■ ■), принадлежащей типу t имеем кп = оо.

Условимся считать, что нулевой группе соответствует тип t<°> (несобственный тип), который обладает следующими свойствами:

1) t^ < t для всякого типа t, отличного от

2) t ± t^ = для всякого типа t.

Пусть множество типов М содержит несобственный тип и каждому типу t, отличному от поставлено в соответствие некоторое кардинальное число пм(^). Такое множество типов вместе с указанным соответствием называется отмеченным множеством типов.

Пусть Mi и М2 — два отмеченных множества типов. Говорят, что сюръективное отображение tp : М\ —> М2 является отмеченным отображением, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1) ip(t) ^ t для всякого t G Mi;

2) если t^(t) то ip сохраняет символы оо (то есть в характеристиках типов 1 и <р(\>) символы оо стоят на одних и тех же местах);

3) если (р(Ь2) ф t(0) и ^ > 12 € Мх), то </з(1ц) > <р$2) и - (р(Ь2) ^ ^ - Ь2]

4) пм2(Ь) = £ пм№) для всякого t € М2 \

Абелева группа без кручения, все ненулевые элементы которой имеют один и тот же тип 1;, называется однородной ([31, с. 130-131]). Чтобы подчеркнуть, что все ненулевые элементы однородной группы А имеют фиксированный тип Ь, будем говорить, что А — однородная группа типа t и записывать это так: 1(Л) = Очевидно, что всякая группа без кручения ранга 1 является однородной. Прямая сумма однородных групп называется однородно разложимой группой.

В теории однородно разложимых групп показывается, что если

А — однородно разложимая группа, А = ф (Т — некоторое t ет множество типов), Аь — однородная группа типа -Ь, то указанное разложение единственно с точностью до изоморфизма и такое разложение часто называют каноническим.

Пусть А и В — однородно разложимые группы, А = ф Аь, teт

В = ф Вь, где Т и Т\ — некоторые множества типов, А\, и — teTl однородные компоненты типа 1 групп А и В соответственно. Группы А и В назовем подобными, если Г = Т\ и г(Аь) = г(В^ для всякого типа t € Т.

Семейство групп без кручения {Аг}^ называется вполне транзитивным, если для любых двух групп А^ и А^ (¿1 может совпадать с г2), принадлежащих этому семейству, из того, что хА. (а) ^ ХА (Ь), где а € 6 6 Д;2, следует существование гомоморфизма

7] G Hom(A^, A{2) такого, что 7y(a) = b ([16]).

Абелева группа без кручения А называется вполне транзитивной, если семейство {А} — вполне транзитивно, то есть для любых двух элементов а и Ъ группы А таких, что х(а) ^ х(Ь) существует эндоморфизм г] группы А, для которого rj(a) = 6. Вполне транзитивные группы, как группы "насыщенные" эндоморфизмами, играют большую роль в теории абелевых групп ([16], [19], [20], [21], [32], [33], [34], [38], [44], [56]).

Однородно разложимая группа А = ф At называется вполне t €Т транзитивно разложимой, если семейство групп {At}teT вполне транзитивно ([16]).

Заметим, что согласно определению, всякое прямое слагаемое At вполне транзитивно разложимой группы А является вполне транзитивной группой.

Класс вполне транзитивно разложимых групп достаточно широк. Он содержит все вполне разложимые абелевы группы без кручения, все прямые суммы однородных сепарабельных или однородных алгебраически компактных абелевых групп без кручения, все абелевы группы без кручения вида А = 0 ф 0 Д, где Ср — прямая pePi ter сумма абелевых групп без кручения, полных в своей р-адической топологии, Dt — однородная сепарабельная группа типа t (Pi — некоторое множество простых чисел, Т — некоторое множество типов), 3r,n{t(Cp)}pep1 = 0 (t(Ср) — тип группы Ср) и другие группы.

Пусть G — вполне транзитивно разложимая группа и G = ф Gt ter ее каноническое разложение. Обозначим через Т* множество TU {t^}. Будем рассматривать Т* как отмеченное множество типов, где Пт*(t) при t Е Т* — это ранг группы Gt

Основными результатами третьего параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 3.2. Пусть G = ф Gt — вполне транзитивно разло

16Г жимая группа и верна следующая импликация: если М — отмеченное множество типов, для которого найдется пара отмеченных отображений ip : Т* М и ф : М Т*, mo М — Т* и пм(t) = пт* (t) для всякого t G Т.

Тогда, если группа А почти изоморфна группе G по вполне характеристическим подгруппам, то А — однородно разложимая группа, подобная группе G.

Пусть P(t) = {рп G Р| тип t рп-делим}. С помощью теоремы 3.2 получены следующие результаты.

Теорема 3.3 Пусть G — ф Gt — вполне транзитивно разteT ложимая группа и для всякой возрастающей последовательности ti < t2 <.'< tn < . типов из Т, у которой P(ti) = Pfo) = . = P(tn) = .выполняется по крайней мере одно из двух условий:

1) r(Gtj < r(Gti+1) для некоторого г 6 N;

2) 2t;+i < 11 +1{+2 для некоторого I £ N.

Если группа А почти изоморфна группе G по вполне характеристическим подгруппам, то А — однородно разложимая группа, подобная группе G.

Из этой теоремы вытекают такие результаты. Для всякого типа t обозначим через Mt следующее множество типов: Mt = {t' G Т\ t' > t, P(t') = P(t), r(Gv) = r(Gt)}.

Следствие 3.4. Пусть G = ф Gt — вполне транзитивно разлоt ет жимая группа, Mt — конечное множество для всякого типа t G Т. Если группа А почти изоморфна группе G по вполне характеристическим подгруппам, то А — однородно разложимая группа, подобная группе (2.

Следствие 3.5. Пусть (7 — вполне транзитивно разложимая группа конечного ранга. Если группа А почти изоморфна группе С по вполне характеристическим подгруппам, то А — однородно разложимая группа конечного ранга, подобная группе О.

Следствие 3.6. Пусть — вполне разложимая группа без кручения конечного ранга. Всякая группа А, почти изоморфная группе Ст по вполне характеристическим подгруппам, изоморфна группе

Голоморфом Г (О) группы С? называется полупрямое расширение' группы С? с помощью группы ее автоморфизмов Аи^С). Группу Г((?) можно рассматривать как множество всех упорядоченных пар^ (д, ср), где д € (7, ср £ Аи1з((?) с групповой операцией определенной по правилу: (д, (р) 4- (/г, ф) = срф) для любых элементов (д, </?), (/г, ф) Е Г(£) (хотя в общем случае голоморф абелевой группы является некоммутативной группой для задач, рассматриваемых в диссертационной работе, удобна аддитивная запись операции в голоморфе). Нейтральным элементом в Г(С?) является элемент (0, е) (е — тождественный автоморфизм группы С), а элементом, противоположным элементу (д, <р) — элемент (—Элементы вида (д,,е) образуют в голоморфе Г(£) нормальную подгруппу, изоморфную группе С?, а элементы вида (0, <р) — подгруппу, изоморфную группе Аи!^). Будем отождествлять эти подгруппы с группами <2 и А^(Сг)соответственно, и часто вместо записи элементов группы Г((?) в виде (д, е) и (0, ф) будем просто писать д и ср соответственно.

В четвертом параграфе рассматриваются нормальные подгруппы голоморфов абелевых групп, исследуются их свойства. Эти свойства используются при доказательстве такого результата.

Теорема 4.8. Если две абелевы группы почти голоморфно изоморфны и одна из них без кручения, то делимые части этих групп изоморфны.

Из этой теоремы вытекают

Следствие 4.9. Если две абелевы группы почти голоморфно изоморфны и одна из них делимая группа без кручения, то эти группы изоморфны.

Следствие 4.10. Всякая делимая абелева группа без кручения определяется своим голоморфом в классе всех абелевых групп.

Учитывая полученные результаты, в дальнейшем при исследовании голоморфного изоморфизма (почти голоморфного изоморфизма) абелевых групп без кручения будем рассматривать только редуцированные группы.

В пятом параграфе рассматриваются голоморфно изоморфные и почти голоморфно изоморфные абелевы группы без кручения, группы автоморфизмов которых периодические (в частности, конечные). Исследуются нормальные подгруппы голоморфов таких групп.

Нетрудно показать, что всякая периодическая абелева группа с периодической группой автоморфизмов является конечной группой. Применяя основной результат работы [52], получаем, что всякая периодическая абелева группа с периодической группой автоморфизмов определяется своим голоморфом в классе всех абелевых групп. Для некоторых смешанных абелевых групп с периодической группой автоморфизмов, так называемых /¿-групп, был получен аналогичный результат ([7]). Для абелевых групп без кручения с периодической группой автоморфизмов вопрос об их определяемости своим голоморфом оставался открытым.

В пятом параграфе для таких групп вопрос об их определяемое™ своим голоморфом решен положительно.

Теорема 5.4 Всякая абелева группа без кручения с периодической группой автоморфизмов определяется своим голоморфом в классе всех абелевых групп.

Следствие 5.5 Всякая абелева группа без кручения с конечной группой автоморфизмов определяется своим голоморфом в классе всех абелевых групп.

Получено описание вполне разложимых групп с периодическими (конечными) группами автоморфизмов.

Предложение 5.8. Пусть б? = ф где каждая — группа гб/ без кручения ранга 1. Группа Аи^С?) автоморфизмов группы (? периодична тогда и только тогда, когда выполнены условия:'

1) для всякого простого числа р группы (г Е I) не являются р-делимыми;

2) тип ^С^) не сравним с типом 1 (Сг-2) для всякой пары индексов гх, ¿2 £ I, Ч Ф

Следствие 5.9. Пусть С? = фСгг, где каоюдая — группа без гб/ кручения ранга 1. Группа Аи^С?) автоморфизмов группы С? конечна тогда и только тогда, когда выполнены условия предложения 5.8 и множество I конечно.

Доказана теорема об изоморфизме почти голоморфно изоморфных вполне разложимых групп без кручения с конечными группами автоморфизмов.

Теорема 5.10. Пусть (3 и Н - почти голоморфно изоморфные вполне разложимые группы без кручения. Если группы Аи^С?) и АхЖ(Н) конечны, то группы С? и Н изоморфны.

В шестом параграфе исследуется вопрос об определяемости векторных групп своими голоморфами. Приводятся определения Г-разложения и полухарактеристического разложения, описываются свойства Г-разложений редуцированной векторной группы.

Пусть голоморфы абелевых групп без кручения С и Н изоморфны и г] : Г(Н) —Г((?) — изоморфное отображение группы Т(Н) на группу Г (С?). Группа Н является максимальной абелевой нормальной подгруппой своего голоморфа. Поэтому С = г]Н — максимальная абелева нормальная подгруппа голоморфа Г((У). Можно показать, что группа С голоморфно разложима, то есть С = 0 Ф, где &ь Ф — соответственно множества всех первых, вторых компонент группы С и подгруппа С?1 выделяется прямым слагаемым в-группе С?, то есть С? = ф G2.

Разложение С = С?! ф С?2 группы (7, индуцированное изоморфизмом голоморфов групп, назовем Г -разложением. Разложение С = А ф В группы £ назовем А-полухарактеристическим (полухарактеристическим), если подгруппа А — характеристическая-подгруппа группы С, а подгруппа В не является характеристической подгруппой группы С?.

Пусть С? = ПФ, где г (С г) = 1 для всякого г 6 /, то есть (? ге / векторная группа, (7 = 0\ ф (72 - некоторое ее Г-разложение, С?! = П °2 = П с/9> гДе Л и /2 = I, Л П /2 = 0. Обозначим {а 6 /х | Нош(С2, <За) ^ 0},

Получено описание свойств Г-разложений векторной группы.

Теорема 6.1. Г -разложение векторной группы (7 = (?х ф С?2; мощность которой неизмерима, обладает свойствами: 1) Нощ(С?1, С?2) = 0;

Нот(Нот(<32, СО, (ЗУ = в2;

3) Множество 1[ — конечно (1[ = {«1, а2, ., о>п});

4) Если г(С2) < ^о (¡2 = {А? Ръ Рт}) , то для любой группы фз £ /2) существует единственная группа Оак (аь & 1[) такая, что Нот(Стд,, Сак) ф 0 и для любого простого числа р группа Сак р -делима тогда и только тогда, когда р -делима группа П

Найдены условия определяемости векторных групп своим голоморфом.

Теорема 6.2. Векторная группа мощность которой неизмерима, определяется своим голоморфом в классе всех абелевых групп тогда и только тогда, когда она удовлетворяет одному из условий:

1) С имеет только тривиальные Г -разложения;

2) для любого нетривиального Г -разложения группы (7 = ® С2 ранг группы (?2 конечен и существует такая биекция г} мнооюества /2 на себя, что Нот(С/з, Са) = С^/з) для некоторого а Е

Следствие 6.3. Векторная группа О, мощность которой неизмерима, определяется своим голоморфом в классе всех абелевых групп, если она удовлетворяет одному из условий: а) группа С не имеет полухарактеристических разложений; б) для любого полухарактеристического разложения (7 = 0 группы С, удовлетворяющего свойствам 1) -4) теоремы 6.1, существует такая биекция 77 мнооюества /2 на себя, что Нот(Суз, Оа) = для некоторого а 6 1[.

В седьмом параграфе исследуются свойства типов элементов нормальных абелевых подгрупп голоморфов абелевых групп без кручения.

Обозначим через T(G) множество типов элементов группы без кручения G.

Получены такие результаты.

Теорема 7.2. Пусть S - нормальная абелева подгруппа голоморфа Г((У) абелевой группы без кручения G и S\ — множество первых компонент элементов группы S. Тогда

1) для любого типа t Е T(S) существует тип t' Е T(S{), такой что t' ^ t.

2) для любого типа t Е T(S) существует тип t" Е T(G П S), такой что t" ^ t.

Теорема 7.3. Пусть G и Н — почти голоморфно изоморфные абелевы группы без кручения, G — однородная группа, а группа Н обладает свойством: для любых элементов &i, Ъ2 £ Н таких, что. t(&i) сравним с t(&2) имеем t(b{) = t(b2). Тогда Н — однородная группа и t (G) = t(Н).

Следствие 7.4. Если G и Н — однородные почти голоморфно изоморфные группы, то t(G) =t (Н).

Теорема 7.5. Пусть G = П Gt, Н = П Ht> Gt и Щ — teTi teT-2 однородные группы типов tut соответственно, Т\ и Т2 — множества, состоящие из попарно несравнимых типов. Если G и Н — почти голоморфно изоморфные группы, то Т\ — Т2.

В восьмом параграфе рассматриваются абелевы группы без кручения, разложимые в прямые произведения однородных транзитивных групп. Устанавливается, когда из почти голоморфного изоморфизма таких групп следует их подобие.

Абелева группа без кручения G называется транзитивной, если для любых двух элементов a,b Е G таких, что х{а) = х(Ь) существует автоморфизм <р Е Aut(Cr) такой, что Ъ = ера.

Основными результатами этого параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 8.1. Пусть С = П ^ Я = П Щ, где Gt (Ь <Е Тг) и ^ (Ь € Т2) — транзитивные однородные группы и множества Т\ и Тч состоят из попарно несравнимых типов. Если группы (7 и Я почти голоморфно изоморфны, то они подобны.

Теорема 8.2. Пусть в = П Я = П НЪ где (I £ Тг) t€Г1 ьет2 и Щ € Т2) — однородные вполне разложимые группы и множества Т\ и Т2 состоят из попарно несравнимых типов. Если группы (7 и Я почти голоморфно изоморфны, то они изоморфны.

Пусть 21 — класс групп, состоящий из всех прямых произведений однородных групп с попарно несравнимыми типами, каждая однородная компонента которых является вполне разложимой.

Следствие 8.3. Всякая группа из класса 21 определяется своим голоморфом в этом классе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гриншпон, Ирина Эдуардовна, 2010 год

1. Беккер И.Х. О голоморфах абелевых групп // Сиб. матем. ж. - 1964. - т. 5. - N 6. - С. 1228-1238.

2. Беккер И.Х. О голоморфах нередуцированных абелевых групп // Изв. Вузов. 1968. - N 8. - С. 3-8.

3. Беккер И.Х. О голоморфах абелевых групп без кручения // Изв. вузов. Математика. 1974. - N 3. - С. 3-13.

4. Беккер И.Х. Абелевы группы с изоморфными голоморфами // Изв. вузов. Математика 1975. - N 3. - С. 97-99.

5. Беккер И.Х. Абелевы голоморфные группы // Межд. конф. Все-сибирские чтения по матем. и мех. Избранные доклады. Т. 1. Математика. Томск: Изд-во ТГУ, 1997. - С. 43-47.

6. Беккер И.Х. Почти голоморфно изоморфные примарные абелевы группы / И.Х. Беккер, С.Я. Гриншпон // Группы и модули. Межвузовский тематический сборник научных трудов 1976. -С. 90-103.

7. Беккер И.Х. Автоморфизмы абелевых групп без кручения. / И.Х. Беккер, С.Ф. Кожухов. Томск: Изд-во ТГУ, 1988. - 167 с.

8. Беккер И.Х. О группах с изоморфными голоморфами / И.Х. Беккер, В.Н. Недов // Матем. заметки 1997. - Т. 62, вып. 3. - С. 343-350.

9. Беккер И.Х. Об определяемое™ абелевой группы своим голоморфом в классе всех абелевых групп / И.Х. Беккер, В.Н. Недов // Фундамент, и прикл. матем. 2002. - Т. 8, вып. 1. - С. 17-25.

10. Гольфанд Ю.А. О группе автоморфизмов голоморфа группы // Матем. сб. 1950. - Т. 27, N 3.- 0. 333-350.

11. Гриншпон С.Я. Почти голоморфно изоморфные абелевы группы // Труды ТГУ. Вопросы математики. 1975. - Т. 220, вып. 3.- С. 78-84.

12. Гриншпон С.Я. Примарные абелевы группы, эквивалентные по вполне характеристическим подгруппам // Абелевы группы и модули. 1979.-С. 29-36.

13. Гриншпон С.Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. Томск. 1982. - С. 56-92.

14. Гриншпон С.Я. Вполне характеристические подгруппы сепара-бельных абелевых групп // Фундамент, и прикл. матем. 1998.- Т. 4, N 4. С. 1281-1307.

15. Гриншпон С.Я. П.-корректные абелевы группы // Успехи матем. наук. 1999. - N 6. - С. 155-156.

16. Гриншпон С.Я. Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность // Фундамент, и прикл. матем. 2002. - Т. 8, вып. 2. - С. 407-473.

17. Закусило А.И. Вшцев1 голоморфи нашвгрупп // Дисс. канд. физ мат. наук. Киевский гос. университет им. Т. Шевченко.- 2008.

18. Кишкина З.М. Эндоморфизмы р-примитивных абелевых групп без кручения // Изв. АН СССР, сер. мат. 1945. - N 9. - С. 201232.

19. Крылов П.А. О вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения // Сб. аспирантских работ по матем. Томск: Томск, ун-т. 1973. - С. 15-20.

20. Крылов П.А. Сильно однородные абелевы группы без кручения // Сиб. матем. ж. 1983. - N 2. - С. 77-84.

21. Крылов П.А. Некоторые примеры квазисервантно инъективных и транзитивных абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. 1988. - вып. 7. - С. 81-99.

22. Кузенний М.Д. О некоторых соотношениях в голоморфах групп порядка р2 и рг // Доповцц АН УРСР. 1973. - А. - N 12. -С. 1079-1083.

23. Куликов Л.Я. К теории абелевых р-групп произвольной мощности // Матем. сб. 1945. - N 9. - С. 165-182.

24. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука. 1967. - 648 с.

25. Мишина А.П. О прямых слагаемых полных прямых сумм абелевых групп без кручения ранга 1 // Сиб. мат. ж. 1962. - Т. 3, N 2.- 0. 244-249.

26. Плоткин Б.И. Группы автоморфизмов алгебраических систем. Наука. 1966. - 603 С.

27. Приходько И.А. .Е-корректные абелевы группы // Абелевы группы и модули. 1984. - С. 90-100.

28. Росошек С.К. Строго чисто корректные абелевы группы без кручения // Абелевы группы и модули. 1979. - С. 143-150.

29. Тышкевич Р.И. О примитивных группах подстановок и голоморфах групп // Известия АН БССР, сер. физ.-мат. наук. -1971. N 1. - С. 14-21.

30. Фукс JL Бесконечные абелевы группы. Т. 1 М.: Мир, 1974. -335 с.

31. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы. Т. 2 М.: Мир, 1977. -416 с.

32. Чехлов А.Р. О разложимых вполне транзитивных группах без кручения // Сиб. матем. ж. 2001. - Т. 42, N 3. - С. 714-719.

33. Чехлов А.Р. Вполне транзитивные группы без кручения конечного р-ранга // Алгебра и логика. 2001. - Т. 40, N 6. - С. 698715.

34. Чехлов А.Р. Об одном классе эндотранзитивных групп // Матем. заметки 2001. - Т. 69, N 6. - С. 944-949.

35. Шерстнева (Ботыгина) А.И. Абелевыр-группы с конечными инвариантами Ульма-Капланского, почти изоморфные по вполне характеристическим подгруппам / А.И. Шерстнева (Ботыгина), С.Я. Гриншпон // Вестник Томского ун-та. N 269. - Январь 2000. - С. 51-55.

36. Шерстнева (Ботыгина) А. И. ¡/-последовательности и почти изоморфизм абелевых р-групп по вполне характеристическим подгруппам // Изв. ВУЗов. Матем. 2001. - N 5. - С. 72-80.

37. Ягжев A.B. О локально нильпотентных подгруппах голоморфа абелевой группы // Матем. заметки. -1989. Т. 46, N 6. - С. 118.

38. Arnold D.M. Strongly homogeneous torsion free abelian groupsof finite rank // Proc. Amer. Math. Soc. 1976. - V. 56. - P. 67-72.

39. Baer R. Abelian groups without elements of finite order // Duke Math. J. -1937. N 3. - P. 68-122.

40. Balcerzyk S. On direct decompositions of complete direct sum of group of rank 1 / S. Balcerzyk, A. Bialynicki-Birula, J. Los // Bull. Acad. Polon. Sci. 1961. - V. 9, N 3. - P. 451-454.

41. Clay James R. Completeness of relative holomorphs of abelian groups // Rocky Mount. J. Math. 1980. - V. 10, N 4. - P. 731-741.

42. Corner A. L. Every countable reduced torsion free ring is an endomorphism ring // Proc. London Math. Soc. 1963. - V. 52. -P. 687-710.

43. Crawly P. Solution of Kaplansky's test problem for primary abelian groups // J. Algebra. 1965. - N 4. - P. 413-431.

44. Yarvey J. Complete holomorphs // Pacif. J. Math. 1961. - V. 11.- P. 961-970.

45. Hsu Nao-chao. The group of automorphisms of the holomorph oh a group // Pacif. J. Math. 1961. - V. 11. - P. 999-1012.

46. Hsu Nao-chao. The holomorphs of free abelian groups of finite rank // Amer. Math. Mount. 1965. - V. 72. - P. 754-756.

47. Jonson B. On direct decomposition of torsion free Abelian groups // Math, scand. 1959. - V. 7, N 2. - P. 361-371.

48. Kaplansky I. Infinite abelian groups. Michigan: Univ. of Michigan Press, Ann. arbor, 1954. - 91 p.

49. Miller G.A. On the multiple holomorph of a group // Math. Ann.- 1908. V. 66. - P. 133-142.

50. Mills W.H. Multiple holomorphs of finitely generated abelian groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1950. - V. 71, N 3. - P. 379-392.

51. Mills W.H. On the non-isomophism of certain holomorphs // Trans. Amer. Math. Soc. 1953. - V. 74. - P. 428-443.

52. O'Neill J.D. Direct summands of vector groups // Acta. Math. Hung. 1990. - V. 55, N 3-4. - P. 207-209.

53. Peremans W. Completeness of holomorphs // Indagationes math.- 1957. V. 19, N 5. - P. 608-619.

54. Reid J.D. Quasi-pure injectivity and quasi-pure projectivity // Lect. Notes Math. 1977. - V. 616. - P. 219-227.

55. Redei L. The Holomorphentheorie fur Gruppen und Ringe // Acta Math. Hung. 1954. - V. 5. - P. 169-195.

56. Sasiada E. On the isomorpism of decomposition of torsion-free abelian groups into complete direct sum of group of rang one // Bull. Acad. Polon. Sci. 1959. - N 3. - P. 145-149.

57. Sasiada E. Proof that every countable and reduced torsion-free abelian groups is slender // Bull. Acad. Polon. Sci. 1959. - N 3 -P. 143-144.

58. Sasiada E. Negative solution of I. Kaplansky first test problem for abelian groups and a problem of K. Borsuk concerning cohomology groups // Bull. Acad. Sci. Math. Aston. Phys. 1961. - N 5. -P. 331-334.Работы автора по теме диссертации

59. Гриншпон И.Э. Полные прямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1 с изоморфными голоморфами. // Материалы 5 научной конф. по мат. и мех. 4.1. Томск. 1975. - С. 75.

60. Гриншпон И.Э. Полные прямые суммы групп без кручения ранга 1 с изоморфными голоморфами. // Группы и модули. Томск.- 1976. С. 103-108.

61. Гриншпон И.Э. Подобие однородно разложимых групп // Меж-дунар. конф. "Алгебра и ее приложения". Тезисы докладов. Красноярск. 2002. - С. 40-41.

62. Гриншпон И.Э. Почти изоморфизм однородно разложимых групп // Тезисы докладов V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Тула. 2003. - С. 84-85.

63. Гриншпон И.Э. Подобные сепарабельные р-группы и почти изоморфизм / И.Э. Гриншпон, С.Я. Гриншпон // Междунар. конф. по математике и механике. Тезисы докладов. Томск. 2003. -С. 39. - (авторский вклад 50 %)

64. Гриншпон И.Э. Подобие абелевых р-групп // Междунар. конф. по математике и механике. Избранные доклады. Томск. 2003.- С. 13-18.

65. Гриншпон И.Э. Подобие однородно разложимых групп // Вестник ТГУ. Серия Математика, Кибернетика, Информатика. -2003. N 280. - С. 24-26.

66. Гриншпон И.Э. Подобие абелевых групп // Материалы междунар. конф "Алгебра, логика и кибернетика". Иркутск. 2004. -С. 27-28.

67. Grinshpon I.E. Almost Isomorphic Torsion Free Abelian Groups and Similarity of Homogeneously Decomposable Groups / S.Ya. Grinshpon, I.E. Grinshpon, A.I. Sherstneva // Acta Appl. Math. 2005. - V. 85. - P. 147-156. - (авторский вклад 40 %)

68. Гриншпон И.Э. Голоморфы вполне разложимых групп без кручения и векторных групп // Абелевы группы. Труды Всероссийского симпозиума. Бийск. 2005. - С. 11-13.

69. Гриншпон И.Э. Голоморфно изоморфные векторные группы // Абелевы группы. Материалы Всероссийского симпозиума. Бийск. 2006. - С. 14-16.

70. Гриншпон И.Э. Голоморфы абелевых групп // Междунар. конф. по алгебре и теории чисел. Тезисы докладов. Самара. -2007. - С. 12-13.

71. Гриншпон И.Э. Определяемость векторных групп своими голоморфами // Вестник Томского гос. ун-та. 2007. - N 298. -С. 111-113.

72. Гриншпон И.Э. Нормальные подгруппы голоморфов абелевых групп и почти голоморфный изоморфизм // Фундамент, и при-кл. матем. 2007. - Т. 13, N 3. - С. 9-16.

73. Гриншпон И.Э. Определяемость абелевых групп без кручения своим голоморфом // Междунар. конф. "Алгебра и ее приложения". Тезисы докладов. Красноярск. 2007. - С. 42-43.

74. Гриншпон И.Э. Об определяемости одного класса групп своим голоморфом // Междунар. алгебр, конф., посвященная 100-летию А. Г. Куроша. МГУ. Тезисы докладов. Москва. 2008. -С. 75-76.

75. Гриншпон И.Э. О подобии почти голоморфно изоморфных прямых произведений групп без кручения // Вестник Томского гос. ун-та. 2008. - N 2(3). - С. 31-38.

76. Гриншпон И.Э. Голоморфы прямых произведений однородных групп // Всероссийская конф. по матем. и мех. Тезисы докладов. Томск. 2008. - С. 38-39.

77. Grinshpon I.E. Normal subgroups of Holomorphs of Abelian groups and almost Holomorphic isomorphism // Journal of Mathematical Sciences. 2008. - V. 154, N 3. - P. 284-289.