Хопфовы абелевы группы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Кайгородов, Евгений Владимирович

• Кайгородов, Евгений Владимирович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Кайгородов, Евгений Владимирович

Оглавление

Список обозначений

Введение

Глава 1. Генезис и развитие понятия хопфовости

§1. Проблема Хопфа и комбинаторная теория групп

§2. Обзор современных исследований

Глава 2. Общие свойства хопфовых абелевых групп

§3. Общие результаты о хопфовых абелевых группах

§4. Хопфовы делимые группы

§5. Хоифовость прямых сумм циклических групп

Глава 3. Некоторые классы хопфовых абелевых групп

§6. Случай алгебраически компактных групп

§7. Вполне разложимые группы без кручения

§8. Хопфовы 5Р-группы

§9. Хопфовость аддитивных групп некоторых колец

Литература

Список обозначений

IN — множество натуральных чисел

Z — кольцо (группа) целых чисел

Q — поле (группа) рациональных чисел

Z(т) — циклическая группа порядка т

Z(p°°) — квазициклическая группа

Q* — кольцо целых р-адических чисел

Jp — группа целых р-адических чисел

Нот (А, В) — группа гомоморфизмов из группы А в группу В

End А — группа эндоморфизмов группы А

Е(А) — кольцо эндоморфизмов группы А

Ker ip — ядро гомоморфизма <р

1т (р — образ гомоморфизма (р

(р\л — ограничение гомоморфизма (р на подгруппу А

id,A — тождественное отображение А А

R+ — аддитивная группа кольца R

1д — единица кольца R

.хч»

А — р-адическое пополнение группы А

А® В, ф Лг — прямая сумма групп (модулей) ш

]~] Ai — прямое произведение групп (модулей) Ш

г (А) — ранг группы А

го (Л) — ранг без кручения группы А

гр(А) — р-ранг группы А

Т(А) — периодическая часть группы А

(М) — подгруппа, порожденная множеством М

{М)* — подгруппа, сервантно порожденная множеством М

о(а) — порядок элемента а

А[п] — подмножество {а € А \ па = 0} группы А

U(M) — первый ульмовский подмодуль модуля М

Q(A) — множество типов ненулевых однородных компонент вполне разложимой группы без кручения А

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Хопфовы абелевы группы»

Введение

Актуальность темы. Одной из главных задач алгебры является изучение различных алгебраических систем. Важную роль при этом играют отображения таких систем. Понятие отображения является настолько общим, что, вообще говоря, любое алгебраическое построение в явной или неявной форме основывается на понятии отображения. Поэтому любое исследование ио алгебре в той или иной степени посвящено изучению определенных отображений множеств.

Отображения алгебраических систем позволяют строить новые системы различного рода, называемые производными алгебраическими системами. Сюда относятся группы автоморфизмов, полугруппы полных и частичных эндоморфизмов, различные алгебры эндоморфизмов (например, кольца эндоморфизмов абелевых групп, кольца преобразований векторных пространств и др.). Наряду с группами автоморфизмов алгебраических систем, которые изучены довольно подробно, внимание привлекают и другие множества отображений, в частности полугруппы полных и частичных эндоморфизмов [1].

Не вызывает сомнений, что среди отображений алгебраических систем самое заметное место занимают гомоморфизмы и эндоморфизмы. Достаточно упомянуть, что понятие эндоморфизма алгебраической системы, как и вообще математической структуры, позволяет уточнить смысл «одинаковости» поведения двух элементов системы; а также, что свойства эндоморфизмов алгебраической

системы во многом определяют свойства самой системы. В связи с этим представляется весьма интересным изучение алгебраических систем, эндоморфизмы которых удовлетворяют определенным условиям.

Одним из таких условий является свойство хопфовости. Относящееся изначально к группам, оно допускает распространение на кольца, модули, упорядоченные алгебраические системы, топологические и функциональные пространства, решетки и другие типы алгебраических систем. Стоит также заметить, что число алгебраических систем в настоящее время неуклонно растет — некоторые из них зарождаются в самой алгебре, а некоторые возникают из других разделов математики, в частности, в связи с нуждами геометрии или математической логики; нередко новые алгебраические системы приходят из физики, кибернетики и техники.

В последние годы интерес к хопфовым алгебраическим системам все более возрастает. К настоящему времени уже накопилось достаточно много публикаций, посвященных этой тематике. Однако исследования по хопфовым абелевым группам представлены лишь единичными работами (см. подробнее §2 диссертации). Естественно поэтому, что существует довольно много интересных и важных, но до сих пор открытых вопросов, связанных с хопфовыми абелевыми группами. Один из таких вопросов касается описания хопфовых групп в конкретных классах абелевых групп. Поэтому изучение хопфовых абелевых групп и их свойств представляет особый интерес.

Цели работы. Целями диссертационной работы являются изучение общих свойств хопфовых групп и описание хопфовых групп в конкретных классах абелевых групп.

Методы исследований. В диссертации используются методы теорий абе-

левых групп, колец, модулей, некоторые теоретико-множественные и топологические идеи. Техника доказательств представляет тесное переплетение всех этих методов.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. К ним можно отнести следующие.

• Найдены некоторые общие свойства хопфовых абелевых групп, в частности, связанные с прямыми разложениями.

• Получено описание хопфовых делимых групп. На основе этого описания исследование хопфовости произвольных абелевых групп сведено к исследованию хопфовости редуцированных абелевых групп.

• Описаны прямые суммы циклических групп, являющиеся хопфовыми группами.

• Найдено одно достаточное условие хопфовости вполне разложимой группы без кручения и указаны примеры нехонфовых вполне разложимых групп без кручения.

• Получен критерий хопфовости алгебраически компактных абелевых групп и построен пример нехонфовой алгебраически компактной группы.

• Хопфовость 5Р-грунп сведена к хопфовости их примарных компонент.

• Описаны хопфовы аддитивные группы артиновых колец. Показано, что аддитивная группа любого Е'-кольца хопфова.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут быть полезны

специалистам, работающим в различных областях теории групп, теорий абеле-вых групп, колец и модулей. Материалы диссертации могут найти применение в учебном процессе при чтении специальных курсов студентам старших курсов математических направлений университетов и аспирантам.

Апробация результатов. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре Томского государственного университета (руководитель — профессор П. А. Крылов), на научно-методическом семинаре физико-математического факультета Горно-Алтайского государственного университета (руководитель — доцент В. Ф. Пуркина), на международной конференции «Алгебра и математическая логика», посвященной столетию со дня рождения профессора В. В. Морозова (Казань, 2011 г.), на Всероссийском симпозиуме «Абелевы группы» (Бийск, 2012 г.). Они были представлены на III Всероссийской молодежной научной конференции «Современные проблемы математики и механики» (Томск, 2012 г.), на Международной алгебраической конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2012 г.). По теме диссертации опубликовано восемь работ [133]—[140], из них три в рецензируемых изданиях из списка ВАК [135], [139], [140].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из списка обозначений, введения, трех глав и списка литературы. Первая глава содержит два параграфа, вторая — три параграфа и третья — четыре параграфа. Работа изложена на 83 страницах. Список литературы содержит 140 наименований.

Содержание работы. Результаты диссертации группируются вокруг вопросов характеризации свойств хопфовых абелевых групп и описания хопфовых групп в важнейших классах абелевых групп.

Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации (глубже ак-

туальность темы раскрывается в §2), формулировку целей исследования, а также тезисное изложение узловых результатов.

Первая глава является вводной. В ней представляются краткий исторический очерк развития понятия хопфовой группы и обозрение известных результатов о хопфовых алгебраических системах. В первом параграфе основное внимание уделяется происхождению понятия хопфовой группы. Установлено, что понятие хопфовой группы зародилось внутри комбинаторной теории групп и идеи этой теории весьма плодотворно влияли на ход исследований по хоифовым группам. Во втором параграфе производится аналитический срез состояния современных исследований по хопфовым группам, абелевым группам, кольцам, модулям и решеткам.

Вторая глава носит подготовительный характер и необходима для общего знакомства с хопфовыми абелевыми группами и их свойствами. В §3 двумя разными способами вводится основной объект диссертационного исследования — хопфовы абелевы группы (определения 3.1 и 3.2). Там же приведены общие свойства хопфовых абелевых групп, в частности, связанные с прямыми разложениями. Теорема 3.4 и следствие 3.5 устанавливают, что прямое слагаемое хопфовой группы есть хопфова группа. Этот факт очень важен и будет многократно применяться при доказательстве других теорем. В теореме 3. 7 указано одно условие, при котором теорема 3.4 допускает обращение. В последней теореме параграфа (теорема 3.9) утверждается, что группа без кручения конечного ранга хопфова.

В §4 рассматриваются хопфовы делимые группы. С помощью лемм 4.1 и 4.2 доказывается главный результат параграфа — теорема 4.3, дающая полное описание хопфовых делимых групп. На основе этого описания исследование

хопфовости произвольных абелевых групп сводится к исследованию хопфовости редуцированных групп (следствие 4.4).

В единственной теореме §5 (теорема 5.1) дана характеризация прямых сумм циклических групп, являющихся хоифовыми группами. Данная теорема будет использоваться в дальнейшем при исследовании хопфовых алгебраически компактных групп и хопфовых аддитивных групп артиновых колец.

Третья глава является основной в диссертации и опирается на вторую главу. Результаты третьей главы концентрируются вокруг проблемы описания хопфовых групп в таких классах абелевых групп, как алгебраически компактные группы (§6), вполне разложимые группы без кручения (§7), а также 5Р-группы (§8), образующие один замечательный класс смешанных абелевых групп, и аддитивные группы некоторых колец (§9). Наиболее полные результаты получены для алгебраически компактных групп и ¿>Р-групп. В §6 отвечаем на вопрос: когда алгебраически компактная абелева группа хопфова (теоремы 6.1, 6.3 и, окончательно, теорема 6.4)? Завершает параграф пример нехопфовой алгебраически компактной группы. В §7 получен результат, обозначивший одно условие хопфовости вполне разложимой группы без кручения (теорема 7.1) и построены примеры нехопфовых вполне разложимых групп без кручения.

Основным результатом §8 является теорема 8.2. Она показывает, что хопфо-вость 5Р-группы эквивалентна хопфовости каждой из ее р-компонент. Цель §9 — привести некоторые примеры колец, аддитивные группы которых хопфо-вы. А именно, рассматриваются аддитивные группы Е-колец и артиновых колец. Теорема 9.1 утверждает, что аддитивная группа любого ^-кольца хопфова. Наконец, получается удовлетворительное описание хопфовых аддитивных групп артиновых колец (теорема 9.3).

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору П. А. Крылову за постановку задач, внимание к работе и помощь в оформлении научных статей и диссертации; искренне благодарит профессоров С. Я. Гриншпона, А. Р. Чехлова, доцентов В. М. Мисякова, Е. А. Тимошенко за полезные замечания, сделанные во время его выступлений на алгебраическом семинаре Томского государственного университета, а также доцентов Горно-Алтайского государственного университета В. Ф. Пуркину, H.A. Пахаеву и Е. А. Самылкину (Раенко) за неоценимую всестороннюю помощь при написании диссертации.

Глава 1

Генезис и развитие понятия хопфовости

Глава состоит из двух параграфов. В §1 исследуются истоки понятия хопфо-вой группы. Проводится анализ одной из работ датского математика Якоба Нильсена, в которой впервые (правда, в неявном виде) появляются хопфовы группы. Далее выясняется, что изучение хопфовых групп было тесно связано с задачами топологии и проводилось продолжительное время с использованием методов комбинаторной теории групп.

В §2 представляется развернутая картина исследований по хопфовым алгебраическим системам, при этом главный акцент делается на хопфовых абелевых группах. Подробнее рассматриваются некоторые крупные результаты, полученные специалистами за последние полвека, и намечаются ключевые вопросы, которые не решены до сих пор.

§1. Проблема Хопфа и комбинаторная теория групп

На рубеже XIX и XX столетий алгебра претерпела важное качественное изменение, которое можно назвать переходом к изучению абстрактных систем объектов. До этого момента основное внимание в алгебре уделялось конкретным системам, таким как различные числовые системы, системы матриц, перестановок и т. п. Новый этап в развитии алгебры охарактеризовался полным отвлечением от природы и способов построения объектов системы, и единственным предметом изучения стали отношения между этими объектами. Алгебра стала иметь дело просто с системами объектов, для которых определены некоторые операции и отношения, удовлетворяющие тем или иным требованиям; что именно стоит за объектами системы — матрицы, уравнения, числа и т. д. — для алгебры безразлично, важно только, чтобы заданные операции и отношения были определены и заданные требования для этих операций и отношений выполнялись [2].

Первым и одновременно важнейшим примером такой системы является группа. И именно в рассматриваемый период изучение групп, без каких бы то ни было предположений о природе их элементов, оформилось в отдельную область алгебры. Выдающуюся роль в создании отечественной школы по теории групп сыграл известный отечественный математик О. Ю. Шмидт. Его фундаментальный труд «Абстрактная теория групп» послужил отправной точкой работ многих алгебраистов в дальнейшем.

Примерно в то же время внутри только что зародившейся теории групп возникает направление исследований, предметом которых стали группы, заданные множествами образующих элементов и соответствующих определяющих соотношений. Способ задания группы с помощью образующих и определяющих соотно-

шений уходит корнями в топологию: он применялся вначале для фундаментальных групп многообразий. Такое задание группы имеет свои не очень приятные особенности — по нему, как правило, мало что можно сказать об абстрактном строении группы, и даже вопрос, не задают ли два множества определяющих соотношений одну и ту же группу, часто оказывается безнадежно трудным. Однако полвека исследований не прошли даром — из этого круга вопросов выросла новая теория с оригинальными методами и интересными результатами — комбинаторная теория групп.

Истоки комбинаторной теории групп находятся в работах Шварца, Клейна, Фукса, Пуанкаре и Шоттки, в которых группы возникали как дискретные группы геометрических преобразований. Продолжительное время комбинаторная теория групп развивалась под влиянием топологии, геометрии, ряда классических разделов алгебры и дифференциальных уравнений. Многие вопросы, рассматриваемые в комбинаторной теории групп, имеют топологические аналоги. Это относится к алгоритмическим проблемам, теоремам о вложении, свободным конструкциям и т. д.

Решающим пунктом в становлении комбинаторной теории групп как самостоятельной науки со своей проблематикой является статья Дэна 1911 года, где сформулированы основные алгоритмические проблемы теории групп: проблема распознавания равенства (эквивалентности) слов, проблема сопряженности и проблема изоморфизма. Решение этих проблем было получено позднее, благодаря проникновению в комбинаторную теорию групп идей и методов математической логики. Глубокая связь комбинаторной теории груни с математической логикой обусловлена тем, что задание алгебраических систем с помощью определяющих соотношений есть не что иное, как аксиоматическое описание этих

систем посредством исчислений специального вида, родственных логическим исчислениям.

Исключительно значимой вехой в развитии комбинаторной теории групп являются статьи Якоба Нильсена 1917-1924 годов [104]—[108]. Результаты этих статей ознаменовали расцвет комбинаторной теории групп как дисциплины, имеющей свои собственные методы и задачи.

Остановимся подробно на статье Нильсена «О вычислениях с некоммутиру-ющими сомножителями и приложениях к теории групп» [106], вышедшей в норвежском математическом журнале в 1921 году. В ней Нильсен совершенствует развитые в его более ранних работах методы, чтобы исследовать конечно порожденные подгруппы свободных групп; здесь он впервые использует этот термин (введенный Дэном) в опубликованной работе. Вкратце результаты Нильсена из [106] можно резюмировать следующим образом:

Пусть — свободная группа со свободными порождающими (образующими) аг, г = 1, 2, ..., п. Пусть д8, в — 1, 2, ..., т, — любые га элементов из заданные как свободно несократимые слова в алфавите из букв аг. Слова д8 порождают подгруппу С группы Можно получить для группы О новую систему порождающих, применяя конечное число раз преобразования слов д8: которые Нильсен использовал при построении автоморфизмов свободной группы, т. е. перестановки слов д8 или замены одного из д8 на обратное или на д3дг, где £ ф 5. Такие преобразования называются элементарными преобразованиями Нильсена, а общие преобразования Нильсена — это композиции конечного числа элементарных преобразований. Пусть N — полное число вхождений символов а^1 в слова д3 из данного множества. Тогда N называется длиной этого множества.

Нильсен дает простой алгоритм, отдельные шаги которого состоят из элементарных преобразований Нильсена и последующих свободных сокращений. Шаги эти выбираются так, что ни один из них не увеличивает длину рассматриваемого множества слов, и после конечного числа таких шагов приходим к множеству слов д'а, имеющему минимальную длину. Это множество удовлетворяет некоторым эффективно проверяемым условиям, в современной терминологии — оно нильсеновски приведенное. Некоторые из элементов д'я могут быть пустыми словами, т. е. единицей группы. Остальные элементы, как показал Нильсен, будут «независимы», т. е. они будут свободными порождающими свободной группы.

Из этих результатов вытекают два следствия. Одно из них состоит в том, что конечно порожденная подгруппа свободной группы также свободна. Другое, главное следствие результатов Нильсена состоит в том, что конечно порожденная свободная группа не может быть изоморфна никакой своей собственной факторгруппе, т. е. любой эпиморфизм группы всегда имеет тривиальное ядро.

Действительно, если эндоморфизм </? отображает порождающие аг на элементы дг группы то множество всех слов дг с помощью преобразований Нильсена можно перевести в нильсеновски приведенное множество. Число элементов в этом множестве снова должно быть п, поскольку, факторизуя но коммутанту, можно показать, что изоморфный образ группы Рп не может иметь меньше п порождающих.

С другой стороны, Нильсен показал, что элементы д'г из приведенного множества не могут удовлетворять никакому нетривиальному соотношению, т. е. что слово \У(д'), составленное из элементов д'г, может быть равно пустому слову в Рп, только если оно может быть переведено в 1 сокращениями подслов д'гд'~1 и

д'~1д'г. Это доказывает, что группа не может быть изоморфна никакой своей собственной факторгруппе. Последнее свойство осмыслено для любой группы и в настоящее время называется хопфовостъю в честь швейцарского математика Хайнца Хопфа (1894 - 1971). Основание для этого следующее.

В двух статьях, [88] и [89], Хопф исследовал отображения одного двумерного многообразия в другое. Эти отображения индуцируют также гомоморфизмы фундаментальной группы первого многообразия на фундаментальную группу его образа, и Хопф топологическими методами показал, что эти группы в самом деле не могут быть изоморфны никакой своей собственной факторгруппе. Простейший случай — это тот, в котором рассматриваемая фундаментальная группа свободна и имеет конечный ранг. Удивительно, что в течение тридцати лет никто (по-видимому, даже сам Нильсен) не заметил, что Нильсен уже дал чисто алгебраическое (и более простое, чем топологическое доказательство Хопфа) доказательство того факта, что свободные группы конечного ранга хопфовы, за десять лет до того, как Хопф обозначил свою проблему.

Как отмечают Чандлер и Магнус в книге [20], Хопф предполагал, что его проблема имеет общую природу, и в разговорах спрашивал, существует ли конечно порожденная группа, которая может быть изоморфна некоторой своей собственной факторгруппе (для бесконечно порожденных групп такие примеры найти легко). Б. Нейман сообщил об этом вопросе Магнусу, и Магнус в [98] для случая свободных групп дал алгебраическое доказательство, сильно отличавшееся от доказательства Нильсена. Это, вероятно, первый случай, когда задача Хопфа была явно сформулирована в печати. Позднее Федерер и Йонссон в [55] привели еще одно доказательство хопфовости любой конечно порожденной свободной группы.

Первым общим результатом по проблеме Хопфа явилась теорема А. И. Мальцева, утверждающая хопфовость произвольной конечно порожденной финитно аппроксимируемой группы [15].

Первые примеры конечно порожденных нехопфовых групп построил Б. Нейман [103]. Его группы требуют бесконечного множества определяющих соотношений. Нехопфовы группы с тремя образующими и двумя определяющими соотношениями были найдены Г. Хигмэном [75]. Самый простой пример конечно порожденной нехопфовой группы принадлежит Баумслагу и Солитэру [35]. Именно, группа с двумя образующими а, 6 и одним определяющим соотношением

а~1Ь2а = Ъъ

не является хоифовой. В этой же работе указывается, что группа с двумя образующими a, b и определяющим соотношением

a-Va = Ь18

является хопфовой, но содержит нехопфову нормальную подгруппу конечного индекса.

Баумслаг [33] доказал большое число теорем, относящихся к вопросам финитной аппроксимируемости. В частности, из результатов Баумслага вытекает, что фундаментальные группы замкнутых двумерных ориентированных поверхностей аппроксимируются свободными группами конечного ранга и, следовательно, являются хопфовыми. Спустя год этот же факт был получен Фредериком [57], использовавшим совершенно другие методы.

Анализируя вышеперечисленные работы Нильсена, Хопфа, Магнуса, Баумслага, легко усмотреть, что изучение хопфовых групп было тесно сопряжено с исследованиями, проводимыми в геометрии и топологии. Этот факт вовсе

не случаен. Как известно, геометрия и топология занимают особое место в математике благодаря наглядности многих образов, с которыми они имеют дело. В то же время эта наглядность успешно подвергается формализации и далеко идущему абстрагированию, что обусловило замечательные успехи, достигнутые топологической наукой и ее многочисленными приложениями не только в разделах самой математики, но и физике, биологии, химии и других областях естествознания.

Д. Гильберт писал в 1932 году: «Что касается геометрии, то в ней тенденция к абстракции привела к грандиозным систематическим построениям алгебраической геометрии, римановой геометрии и топологии, в которых находят широкое применение методы абстрактных рассуждений, символики и анализа. Тем не менее и ныне наглядное понимание играет первенствующую роль в геометрии, и притом не только как обладающее большой доказательной силой при исследовании, но и для понимания и оценки результатов исследования» [3]. Проецируя слова Гильберта на комбинаторную теорию групп и проблему Хопфа, поставленную внутри этой теории на самом раннем этапе ее зарождения, можно сказать, что хопфовы группы возникли в комбинаторной теории групп, причем возникли как продукт совместного использования и наложения алгебраических и геометрических методов для решения конкретной топологической задачи — описания фундаментальных групп замкнутых двумерных ориентированных поверхностей.

Это важное обстоятельство в большой степени определило черты первичной характеризации хопфовых групп, поскольку топологическим задачам часто удается придать более простую интерпретацию, переложив их на язык групп, заданных порождающими и определяющими соотношениями. Естественно по-

этому, что методы и приемы комбинаторной теории групп послужили базовыми инструментами для первых попыток описания свойств хопфовых групп и связей хопфовых групп с другими классами групп, в частности, с группами, удовлетворяющими тем или иным условиям конечности.

§2. Обзор современных исследований

В предыдущем параграфе рассматривалось происхождение понятия хопфо-вости и затрагивалось хопфово свойство в группах. Были названы работы, которые дали старт дальнейшим обширным исследованиям по хопфовым группам и другим алгебраическим системам. Здесь же предпринимаем попытку сделать обзор существующих и доступных на настоящий момент работ, в которых прямо или косвенно затрагивается тематика хопфовости.

Этот обзор ни в коей степени не претендует на полноту. Выбор материала неизбежно несколько субъективен. Главный упор делается на хопфовы абеле-вы группы, должное место отводится хопфовым кольцам и модулям. Излагая какой-либо вопрос или формулируя теорему, приводим ссылки на источник, из которого они берутся. Главная цель параграфа — это, используя минимум техники, изложить ряд результатов, дающих представление о характере современных исследований по хопфовым алгебраическим системам.

Выше отмечалось, что вопросы, касающиеся отображений алгебраических систем и их подсистем, а также связей отображений со свойствами самих систем, имеют важное, если не первостепенное значение при описании рассматриваемых алгебраических систем, т. е. при построении соответствующей структурной теории. Неудивительно поэтому, что во второй половине XX — начале XXI века, когда получают интенсивное развитие такие важнейшие разделы современной алгебры, как теории групп, абелевых групп, колец, модулей, решеток, направление исследований, связанное с хопфовым свойством в перечисленных алгебраических системах и смежными вопросами, приобретает все большую актуальность.

Так, изучению хопфовых и кохопфовых1 (некоммутативных) групп посвящены работы Грюна [72], Карраса и Солитэра [94], Дэя и Неймана [48], [49], Коллинза [42], Хиршона [78]-[85], Миллера и Шуппа [101], Сексенбаева [17], Бернса [41], Джонса [92], Бруннера [40], Дэо и Варадараджана [47], Зелы [112], Делзанта и Потягайло [46], Эндимиони [51].

Начало систематическому изучению хопфовых групп было, по-видимому, положено работами Хиршона, в которых найдено много достаточных признаков хопфовости прямого произведения двух групп и поставлены нерешенные проблемы. В работе [78] приводятся примеры суперхопфовых2 групп. Дэй и Нейман [49] доказали, что свободное произведение конечного числа конечно порожденных свободно неразложимых групп хопфово. Сексенбаев [17] изучал сплетения групп и указал два случая, когда сплетение циклической и хопфовой группы является хопфовой группой. Зела [112] показал, что любая гиперболическая группа без кручения хопфова, и пополнил перечень примеров хопфовых групп.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кайгородов, Евгений Владимирович, 2013 год

Литература

[1] Валуцэ И. И. Отображения. Алгебраические аспекты теории. — Кишинев: Штиинца, 1976. - 140 с.

[2] Варпаховский Ф. Л., Солодовников А. С., Стеллецкий И. В. Алгебра. Группы, кольца, поля. Векторные и евклидовы пространства. Линейные отображения. — М.: Просвещение, 1978. — 144 с.

[3] Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. — М.: Наука, 1981. — 344 с.

[4] Гретцер Г. Общая теория решеток: Пер. с англ. / Под редакцией Д. М. Смирнова. — М.: Мир, 1981. — 456 с.

[5] Гриншпон С. Я., Никольская (Савинкова) М. М. /Р-группы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. — 2010. - № 1(9). - С. 5-14.

[6] Гриншпон С. Я., Никольская (Савинкова) М. М. Примарные 1Р-группы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2011. - № 3(15). — С. 25-31.

[7] Гриншпон С. Я., Никольская (Савинкова) М. М. Собственные вполне характеристические подгруппы групп без кручения, изоморфные самой

группе // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2012. - № 1(17). - С. 25-30.

[8] Гришин А. В., Царев А. В. ^-замкнутые группы и модули // Фунд. и прикл. матем. - 2011/2012. - Т. 17, № 2. - С. 97-106.

[9] Каш Ф. Модули и кольца. — М.: Мир, 1981. — 368 с.

[10] Крылов П. А., Михалев А. В., Туганбаев А. А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. — М.: Факториал Пресс, 2006. — 512 с. — (Advanced Studies in Mathematics and Mechanics; Вып. 2).

[11] Крылов П. А., Пахомова E. Г., Подберезина Е. И. Об одном классе смешанных абелевых групп // Вестник Томского государственного университета. - 2001. - Ш 269. - С. 46-50.

[12] Крылов П. А., Туганбаев А. А. Модули над областями дискретного нормирования. — М.: Факториал Пресс, 2007. — 384 с. — (Advanced Studies in Mathematics and Mechanics; Вып. 3).

[13] Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — М.: Наука, 1973. — 400 с.

[14] Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967. — 648 с.

[15] Мальцев А. И. Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами // Матем. сб. - 1940. - Т. 4. - С. 405-422.

[16] Микаелян В. Г. О конечно порожденных разрешимых нехопфовых группах // Фунд. и прикл. матем. - 2008. — Т. 14, № 8. - Р. 185-202.

[17] Сексенбаев К. С. О хопфовости сплетения двух групп // Докл. АН КазССР. - 1971. - № 3. - С. 50-54.

[18] Фукс JI. Бесконечные абелевы группы: в 2 т. — М.: Мир, 1974. — Т. 1. — 336 с.

[19] Фукс Л. Бесконечные абелевы группы: в 2 т. — М.: Мир, 1977. — Т. 2. — 417 с.

[20] Чандлер Б., Магнус В. Развитие комбинаторной теории групп. — М.: Мир, 1985. - 255 с.

[21] Чехлов А. Р. Об абелевых CS-груипах без кручения // Изв. вузов. Матем. - 1990. - № 3. - С. 84-87.

[22] Чехлов А. Р. О прямых произведениях и прямых суммах абелевых QCPl-rpynn без кручения // Изв. вузов. Матем. — 1990. — № 4. — С. 58-67.

[23] Adams М. Е. and Sichler J. F-free products of Hopfian lattices // Math. Z. — 1976. - Vol. 151. - P. 259-262.

[24] Adams M. E. and Sichler J. A note on finitely generated Hopfian lattices // Algebra Univ. - 1978. - Vol. 8. - P. 381-383.

[25] Albrecht U. F., Goeters H. P. and Wickless W. The flat dimension of mixed Abelian groups as ^-modules // Rocky Mountain J. Math. — 1995. — Vol. 25, № 2. - P. 569-590.

[26] Arnold D. M. Finite rank torsion free Abelian groups and rings. Lecture Notes in Mathematics. — Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1982. — 198 p.

[27] Asgari Sh., Haghany A. and Vedadi M. R. Quasi co-Hopfian modules and applications // Comm. Algebra. - 2008. - Vol. 36, № 5. - P. 1801-1816.

[28] Asgari Sh. and Haghany A. Densely co-Hopfian modules // J. Algebra Appl. - 2010. - Vol. 09, № 6. - P. 989-1000.

[29] Aydogdu P. and Ozcan A. Q. Semi co-Hopfian and semi Hopfian modules // East-West J. Math. - 2008. - Vol. 10, № 1. - P. 57-72.

[30] Baumslag G. A non-Hopfian group // Bull. Amer. Math. Soc. — 1962. — Vol. 68. - P. 196-198.

[31] Baumslag G. Hopficity and Abelian groups // Topics in Abelian groups, Proceedings of the New Mexico Symposium on Abelian Groups. — Scott-Foresman-Chicago: New Mexico State Univ., 1962. — P. 331-335.

[32] Baumslag G. On Abelian Hopfian groups. I. // Math. Z. — 1962. — Vol. 78, № 1. - P. 53-54.

[33] Baumslag G. On generalized free products // Math. Z. — 1962. - Vol. 78. — P. 423-438.

[34] Baumslag G. Products of Abelian Hopfian groups //J. Austral. Math. Soc. — 1968. - Vol. 8. - P. 322-326.

[35] Baumslag G. and Solitar D. Some two-generator one-relator non-Hopfian groups // Bull. Amer. Math. Soc. - 1962. - Vol. 68. - P. 199-201.

[36] Beaumont R. A. Groups with isomorphic proper subgroups // Bull. Amer. Math. Soc. - 1945. - Vol. 51. - P. 381-387.

[37] Beaumont R. A. and Pierce R. S. Partly transitive modules and modules with proper isomorphic submodules // Trans. Amer. Math. Soc. — 1959. — Vol. 91. - P. 209-219.

[38] Beaumont R. A. and Pierce R. S. Isomorphic direct summands of Abelian groups // Math. Annal. - 1964. - Vol. 153. - P. 21-37.

[39] Birkenmeier G. F. On the cancellation of quasi-injective modules // Comm. Algebra. - 1976. - Vol. 4. - P. 101-109.

[40] Brunner A. M. On a class of one-relator group // Canad. J. Math. — 1980. — Vol. 32, № 2. - P. 414-420.

[41] Burns R. G. On the question of the Hopficity of the direct product of a Hopfian with an infinite cyclic group // Arch. Math (Basel). — 1973. — Vol. 24. — P. 579-581.

[42] Collins D. J. On recognizing Hopf groups // Arch. Math (Basel). — 1969. — Vol. 20. - P. 235-240.

[43] Corner A. L. S. Three examples on Hopficity in torsion-free Abelian groups // Acta math. Acad. Sci. Hung. - 1965. - Vol. 16, № 3-4. - P. 303-310.

[44] de Cornulier Y. Finitely presentable, non-Hopfian groups with Kazhdan's Property (T) and infinite outer automorphism group // Proc. Amer. Math. Soc. - 2007. - Vol. 135, № 4. - P. 951-959.

[45] Crawley P. An infinite primary Abelian group without proper isomorphic subgroups // Bull. Amer. Math. Soc. - 1962. - Vol. 68. - P. 463-467.

[46] Delzant T. and Potyagailo L. Endomorphisms of Kleinian groups // Geom. Funct. Anal. - 2003. - Vol. 13, № 2. - P. 396-436.

[47] Deo S. and Varadarajan K. Hopfian and co-Hopfian groups // Bull. Austral. Math. Soc. - 1997. - Vol. 56, № 1. - P. 17-24.

[48] Dey I. M. S. Free products of Hopf groups 11 Math. Z. - 1964. - Vol. 85. -P. 274-284.

[49] Dey I. M. S. and Neumann H. The Hopf property of free products // Math. Z. - 1970. - Vol. 117. - P. 325-339.

[50] Divaani-Aazar K. and Mafi A. Hopfian and co-Hopfian modules over commutative rings // Vietnam J. Math. — 2007. — Vol. 35, № 3. — P. 275-283.

[51] Endimioni G. Hopficity and co-Hopficity in soluble groups // Ukr. Math. J. — 2004. - Vol. 56, № 10. - P. 1594-1601.

[52] Evans T. Finitely presented loops, lattices, etc. are Hopfian //J. London Math. Soc. - 1969. - Vol. 44. - P. 551-552.

[53] Evans T. and Hong D. Y. The free modular lattice on four generators is not finitely presentable // Algebra Univ. - 1972. - Vol. 2. - P. 284-285.

[54] Fan Y. and Liu Z. Co-Hopfian modules of generalized inverse polynomials // Acta Math. Sin (Engl. Ser.). - 2001. - Vol. 17, № 3. - P. 431-436.

[55] Federer H. and Jonsson B. Some properties of free groups // Trans. Amer. Math. Soc. - 1950. - Vol. 68, II.2. - P. 1-27.

[56] Feigelstock S. Additive groups of rings. — Boston-London-Melbourne: Pitman Advanced Publishing Program, 1983. — 113 p.

[57] Frederick K. Hopfian property of a class of fundamental groups // Comm. Pure and Appl. Math. - 1963. - Vol. 16. - P. 1-8.

[58] Fuchs L. and Rangaswamy K. V. On generalized regular rings // Math. Z. — 1968. - Vol. 107. - P. 71-81.

[59] Gang Y. and Liu Z. On Hopfian and co-Hopfian modules // Vietnam J. Math. - 2007. - Vol. 35, № 1. - P. 73-80.

[60] Gang Y. and Liu Z. On generalizations of Fitting modules // Indian J. Math. - 2009. - Vol. 51, № 1. - P. 85-99.

[61] Gang Y. and Liu Z. Notes on generalized Hopfian and weakly co-Hopfian modules // Comm. Algebra. - 2010. - Vol. 38. - P. 3556-3566.

[62] Ghorbani A. and Haghany A. Generalized Hopfian modules //J. Algebra. — 2002. - Vol. 255. - P. 324-341.

[63] Ghorbani A. and Haghany A. Duality for weakly co-Hopfian and generalized Hopfian modules // Comm. Algebra. - 2003. - Vol. 31. - P. 2811-2817.

[64] Glaz S. and Wickless W. Regular and principal projective endomorphism rings of mixed Abelian groups // Comm. Algebra. — 1994. — Vol. 22, № 4. — P. 1161-1176.

[65] Goldsmith B. and Gong K. On super and hereditarily Hopfian and co-Hopfian Abelian groups // Arch. Math. - 2012. - Vol. 99, № 1. — P. 1-8.

[66] Goldsmith B. and Gong K. On adjoint entropy of Abelian groups // Comm. Algebra. - 2012. - Vol. 40. - P. 972-987.

[67] Goldsmith B. and Gong K. A note on Hopfian and co-Hopfian Abelian groups. — Dublin: AMS forthcoming, 2012. — P. 1-9.

[68] Goldsmith B. and Gong K. On some generalizations of Hopfian and co-Hopfian Abelian groups // Acta Math. Hung. - 2013. - Vol. 139, № 4. - P. 393-398.

[69] Goldsmith B., Ohogain S. and Wallutis S. Quasi-minimal groups // Proc. Amer. Math. Soc. - 2004. - Vol. 132, № 8. - P. 2185-2195.

[70] Goodearl K. R. Surjective endomorphisms of finitely generated modules // Comm. Algebra. - 1987. - Vol. 15, № 3. - P. 589-609.

[71] Grätzer G. and Sichler J. Free products of Hopfian lattices //J. Austral. Math. Soc. - 1974. - Vol. 17. - P. 234-245.

[72] Grün O. Automorphismen von Gruppen und Endoisomorphismen freier Gruppen // 111. J. Math. - 1958. - Vol. 2. - P. 759-763.

[73] Haghany A. Hopficity and co-Hopficity for Morita contexts // Comm. Algebra. - 1999. - Vol. 27. - P. 477-492.

[74] Haghany A. and Vedadi M. R. Modules whose injective endomorphisms are essential // J. Algebra. - 2001. - Vol. 243. - P. 765-779.

[75] Higman G. A finitely related group with an isomorphic proper factor group // J. London Math. Soc. - 1951. - Vol. 26. - P. 59-61.

[76] Hill P. and Megibben Ch. On primary groups with countable basic subgroups // Trans. Amer. Math. Soc. - 1966. - Vol. 124, № 1. — P. 49-59.

[77] Hiremath V. A. Hopfian rings and Hopfian modules // Indian J. Pure and Appl. Math. - 1986. - Vol. 17, № 7. - P. 895-900.

[78] Hirshon R. Some theorems on Hopficity // Trans. Amer. Math. Soc. — 1969. - Vol. 141. - P. 229-244.

[79] Hirshon R. On Hopfian groups // Pacific J. Math. - 1970. - Vol. 32. -P. 753-766.

[80] Hirshon R. A conjecture on Hopficity and related results // Arch. Math (Basel). - 1971. - Vol. 22. - R 449-455.

[81] Hirshon R. The center and the commutator subgroup in Hopfian groups // Ark. Mat. - 1971. - Vol. 9. - R 181-192.

[82] Hirshon R. The direct product of Hopfian group with a group with cyclic center // Ark. Mat. - 1972. - Vol. 10. - P. 231-234.

[83] Hirshon R. The direct product of a Hopfian group with p-group // Arch. Math (Basel). - 1975. - Vol. 26, № 5. - P. 470-479.

[84] Hirshon R. Some properties of endomorphisms in residually finite groups //J. Austral. Math. Soc. Ser. A. - 1977. - Vol. 24, № 1. - P. 117-120.

[85] Hirshon R. Misbehaved direct products // Expo. Math. - 2002. — Vol. 20, № 4. - P. 365-374.

[86] Hizem S. Formal power series over strongly Hopfian rings // Comm. Algebra. - 2010. - Vol. 39, № 1. - P. 279-291.

[87] Hmaimou A., Kaidi A. and Campos E. S. Generalized Fitting modules and rings //J. Algebra. - 2007. - Vol. 308. - P. 199-214.

[88] Hopf H. Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten //J. Reine und Angew. Math. - 1930. - Vol. 163, II.2. - P. 71-88.

[89] Hopf H. Beiträge zur Theorie der Flächenabbildungen // J. Reine und Angew. Math. - 1931. - Vol. 165, II.2. - P. 225-226.

[90] Irwin J. M. and Takashi J. A quasi-decomposable Abelian group without proper isomorphic quotient groups and proper isomorphic subgroups // Pacif. J. Math. - 1969. - Vol. 29, № 1. - P. 151-160.

[91] Jiao Y. J. Semi Hopfian and semi co-Hopfan modules over generalized power series rings // Int. J. Algebra. - 2012. - Vol. 6, № 5-8. - P. 209-218.

[92] Jones J. M. T. Direct products and Hopf property //J. Austral. Math. Soc. - 1974. - Vol. 17. - P. 174-196.

[93] Kaplansky I. Infinite Abelian groups. — Ann. Arbor: Univ. of Michigan Press, 1954. - 91 p.

[94] Karrass A. and Solitar D. On free products // Proc. Amer. Math. Soc. — 1958. - Vol. 9. - P. 217-221.

[95] Lakser H. Simple sublattices of free product of lattices // Notices Amer. Math. Soc. - 1972. - Vol. 19. A 509.

[96] Leroy A. and Matczuk J. Ring endomorphisms with large images // Glasgow Math. J. - 2013. - Vol. 55, № 2. - P. 381-390.

[97] Liu Z. A note on Hopfian modules // Comm. Algebra. - 2000. — Vol. 28, № 6. - P. 3031-3040.

[98] Magnus W. Beziehungen zwischen Gruppen und Idealen in einem speziellen Ring // Math. Annal. - 1935. - Vol. Ill, II.2, 5, 6, 7. - P. 259-280.

[99] Meier D. Non-Hopfian groups // J. London Math. Soc. — 1982. - Vol. 26, № 2. - P. 265-270.

[100] Mikaelian V. H. On finitely generated soluble non-Hopfian groups, an application to a problem of Neumann // Int. J. Algebra Comput. — 2007. - Vol. 17, № 5-6. - P. 1107-1113.

[101] Miller C. F. and Schupp P. E. Embeddings into Hopfian groups // J. Algebra. - 1971. - Vol. 17. - P. 171-176.

[102] Monk G. S. Abelian p-groups without proper isomorphic pure dense subgroups // 111. J. Math. - 1970. - Vol. 14, № 1. - P. 164-177.

[103] Neumann В. H. A two-generator group isomorphic to a proper factor group // J. London Math. Soc. - 1950. - Vol. 25. - P. 247-248.

[104] Nielsen J. Die Isomorphismengruppe der allgemeinen unendlichen Gruppe mit zwei Erzeugenden // Math. Annal. - 1917. - Vol. 78, II.2. - P. 385-397.

[105] Nielsen J. Uber die Isomorphismen unendlicher Gruppen ohne Relation // Math. Annal. - 1918. - Vol. 79, II.2. - P. 269-272.

[106] Nielsen J. Om Regning med ikke kommutative Faktorer og dens Anvendelse i Gruppeteorien // Matematisk Tidsskrift B, 1921. Англ. пер.: Math. Scientist. - 1981. - Vol. 6, I.6.D, II, 2, 5, 7. - P. 73-85.

[107] Nielsen J. Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen // Math. Annal. — 1924. - Vol. 91, № 14. I.6.A., II.2. - P. 169-209.

[108] Nielsen J. Die Gruppe der dreidimensionalen Gittertransformationen // Det. Kgl. Danske Videnskabernes Selskab. Math.-Fys. Meddelelser. — 1924. — Vol. 5, № 12. I.6.A., II.2. - P. 1-29.

[109] Ribenboim P. Rings and modules. — New York: Interscience Publ., 1969. — 162 p.

[110] Schultz P. The endomorphism ring of the additive group of a ring //J. Austral. Math. Soc. - 1973. - Vol. 15. - P. 60-69.

[111] Schupp P. E. A note on non-Hopfian groups //J. London Math. Soc. — 1977. - Vol. 16, № 2. - P. 235-236.

[112] Sela Z. Endomorphisms of hyperbolic groups // Topology. — 1999. — Vol. 38, № 2. - P. 301-321.

[113] Sichler J. Non-constant endomorphisms of lattices // Proc. Amer. Math. Soc. - 1972. - Vol. 34. - P. 67-70.

[114] Sichler J. Note on free products of Hopfian lattices // Algebra Univ. — 1975. - Vol. 5. - P. 145-146.

[115] Takashi J. and Irwin J. M. A quasi-decomposable Abelian group without proper isomorphic quotient groups and proper isomorphic subgroups, 2 // J. Fac. Sci. Hokkaido Univ. - 1969. - Vol. 20, № 4. - P. 194-203.

[116] Tripathi S. P. On the Hopficity of the polynomial rings // Proc. Indian Acad. Sci. - 1998. - Vol. 108, № 2. - P. 133-136.

[117] Varadarajan K. Hopficity of cyclic modules // National Acad. Sci. Letters. — 1992. - Vol. 15, № 7. - P. 217-221.

[118] Varadarajan K. Hopfian and co-Hopfian objects // Publ. Math. — 1992. — Vol. 36. - P. 293-317.

[119] Varadarajan K. A note on the Hopficity of M[X] or M[[X]) // National Acad. Sci. Letters. - 1992. - Vol. 15. - P. 53-56.

[120] Varadarajan K. Residual finiteness in rings and modules //J. Ramanujan Math. Soc. - 1993. - Vol. 18. - R 29-48.

[121] Varadarajan K. On Hopfian rings // Acta Math. Hungar. — 1999. — Vol. 83, № 1-2. - R 17-26.

[122] Varadarajan K. Rings with all modules residually finite // Proc. Indian Acad. Sci. - 1999. - Vol. 109, № 4. - P. 345-351.

[123] Varadarajan K. Study of Hopficity in certain classes of rings // Comm. Algebra. - 2000. - Vol. 28, № 2. - P. 771-783.

[124] Varadarajan K. Some recent results on Hopficity, co-Hopficity and related properties // International Symposium on Ring Theory. — Birkháuser-Boston: Trends in Math., 2002. - P. 371-392.

[125] Varadarajan K. Anti Hopfian and anti co-Hopfian modules // Contemporary Mathemathics. - 2008. - Vol. 456. - P. 205-218.

[126] Vasconcelos W. On finitely generated fiat modules // Trans. Amer. Math. Soc. - 1969. - Vol. 138. - P. 505-512.

[127] Vasconcelos W. Injective endomorphisms of finitely generated modules // Proc. Amer. Math. Soc. - 1970. - Vol. 25. - P. 900-901.

[128] Vinsonhaler C. and Wickless W. Realizations of finite dimensional algebras over the rationals // Rocky Mountain J. Math. — 1994. — Vol. 24, № 4. — P. 1553-1565.

[129] Wang Y. Generalizations of Hopfian and co-Hopfian modules // Int. J. Math. Sci. - 2005. - Vol. 9. - P. 1455-1460.

[130] Wille R. An example of a finitely generated non-Hopfian lattice // Algebra Univ. - 1975. - Vol. 5. - R 101-103.

[131] Xue W. Hopfian modules and co-Hopfian modules // Comm. Algebra. — 1995. - Vol. 23, № 4. - P. 1219-1229.

[132] Yan X. F. and Liu Z. Extensions of generalized Fitting modules //J. Math. Res. Exp. - 2010. - Vol. 30, № 3. - P. 407-414.

Работы автора по теме диссертации

[133] Кайгородов Е. В. О хопфовых абелевых группах // Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В. В. Морозова, и молодежной школы-конференции «Современные проблемы алгебры и математической логики», 25-30 сентября 2011 г. - Казань: КФУ, 2011. - С. 98-100.

[134] Кайгородов Е. В. О некоторых классах хопфовых абелевых групп // Фунд. и прикл. матем. - 2011-2012. - Т. 17, № 8. - С. 59-61.

[135] Кайгородов Е. В. Хопфовы абелевы группы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. — 2012. — № 2(18). — С. 5-12.

[136] Кайгородов Е. В. О хопфовости аддитивных групп некоторых колец // Современные проблемы математики и механики. III Всероссийская молодежная научная конференция: сборник трудов конференции, 23-25 апреля 2012 г. — Томск: Томский государственный университет, 2012. — С. 19-22.

[137] Кайгородов Е. В. О некоторых классах хоифовых абелевых групп // Абелевы группы: материалы Всероссийского симпозиума, 20-25 августа 2012 г. - Бийск: АГАО им. В. М. Шукшина, 2012. — С. 25-27.

[138] Кайгородов Е. В. Некоторые примеры хопфовых абелевых групп // Международная конференция «Мальцевские чтения», посвященная 80-летию со дня рождения В. П. Шункова: тезисы докладов. — Новосибирск: Институт математики им. С. JI. Соболева СО РАН, 2012. [Электронный ресурс] — URL: http://www.math.nsc.ru/conference/malmeet/12/ malmeet_2012.pdf (дата обращения: 12.08.2013).

[139] Кайгородов Е. В. О двух классах хопфовых абелевых групп // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. — 2013. - № 2(22). - С. 22-33.

[140] Хопфовы вполне разложимые группы без кручения // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. — 2013. — № 4(24). - С. 24-28.