Эндоморфизмы и близкие им отображения абелевых групп и модулей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Чистяков, Денис Сергеевич

• Чистяков, Денис Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чистяков, Денис Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ

ИЗВЕСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

ГЛАВА I. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ КАК ЭНДОМОРФНЫЕ МОДУЛИ

НАД СВОИМ КОЛЬЦОМ ЭНДОМОРФИЗМОВ

§1. Периодические абелевы группы и сепарабельные абелевьт группы без кручения как эндоморфные модули над своим кольцом эндоморфизмов

§2. Неприводимые эндоморфные абелевы группы без кручения конечного ранга.

§3. Эндоморфные абелевьт группы без кручения ранга

§4. Эндоморфные абелевьт группы без кручения ранга

§5. Об эндоморфньтх абелевьтх группах, обладающих некоторым эндосвойством

ГЛАВА II. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ КАК МОДУЛИ

С ОДНОЗНАЧНЫМ СЛОЖЕНИЕМ.

§1. Абелевы группы как f/A-модули над кольцом Z

§2. Абелевы группы как [/А-модули над своим кольцом эндоморфизмов

§3. Почти вполне разложимые абелевы группы без кручения с [/А-кольца,ми эндоморфизмов

ГЛАВА III. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕСЯ ЦЕНТРОМ

СВОЕГО КОЛЬЦА ЭНДОМОРФИЗМОВ.

§1. Определяемостъ периодических абелевьтх групп центром своего кольца эндоморфизмов

§2. Определяемостъ сепарабельньтх абелевьтх групп без кручения центром своего кольца эндоморфизмов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эндоморфизмы и близкие им отображения абелевых групп и модулей»

Абелевы группы составляют один из важнейших классов групп, и их теория достаточно хорошо разработана. Глубокие структурные результаты были получены Пргофером, Улъмом. Куликовым для периодических абелевых групп, что позволяет решать многие задачи для этого т<ла,сса абелевых групп. Иное положение для а,белевьтх групп без кручения. Даже для групп без кручения конечного ранга не известно никакой удобной полной системы инвариантов. Начало теории абелевых групп без кручения положили работы Понтрягина [12], Мальцева [10], Куроттта [7], Куликова [6], Дэрри [33].

Серьезное влияние на развитие теории абелевых групп оказала монография Л. Фукса [26] — [27]. Результаты последних лет, касающиеся связей абелевых групп и их колеи, эндоморфизмов, можно найти в книге Крылова П.А., Михалева А.В., Туганбаева А.А. [5].

Важнейшей задачей теории абелевых групп является поиск точных соотношений между абелевой группой и ее кольцом эндоморфизмов, в частности, какое влияние оказывает кольцевая структура кольца эндоморфизмов на соответствующие группы. Имеется ряд классов колеи,, строение которых достаточно хорошо изучено. Можно было бы исследовать их роль как колен; эндоморфизмов. Эта программа была предложена Селе [41] и послужила началом многочисленных исследований в этом направлении. Значительных успехов в рассмотрении связей между свойствами группы и свойствами ее кольца эндоморфизмов достигли Шульц, Альбрехт, Рангсвами, Ива,нов, Крылов и другие авторы (см. [5], [26], [27]).

Представляет интерес вопрос о вза/имоотноптении а,белевой группы и центра ее кольца эндоморфизмов. Ясно, что центр кольца эндоморфизмов дает, вообтце говоря, меньше сведений о группе, чем ее кольцо эндоморфизмов. Несмотря на этот факт в данном направлении также получен ряд интересных результатов.

Например, центр кольца эндоморфизмов абелевой р-группы состоит из умножений на целые р-адические числа или на вьтчетьт по модулю рк в зависимости от того, является ли эта группа неограниченной или рк служит наименьшей верхней гранью порядков ее элементов [27].

Оказывается, что для большинства абелевьтх групп факт принадлежности некоторого отображения группы в себя центру кольца эндоморфизмов следует из перестановочности данного отображения со всеми эндоморфизмами группы. При этом абелева группа рассматривается как левый модуль над своим кольцом эндоморфизмов. Абелевьт группы, обладающие этим свойством, будем называть эндоморфньтми. Изучению эндоморфньтх модулей над произвольным кольцом посвящены работы [34] — [36].

К изучению центра кольца эндоморфизмов абелевьтх групп можно подойти с другой стороны.

Известный результат Бэра и Капланского [27, теорема 108.1.] об определяемости периодических абелевьтх групп своим кольцом эндоморфизмов в классе периодических групп положил начало многочисленным исследованиям в этом направлении. Классы абелевых групп, в которых имеет место теорема Бэра — Капланского, A.M. Себель-дин называет ^/-классами и описывает один достаточно тттирокий EI-класс. Заметим, что класс всех групп без кручения таковым не является. Об определяемости групп их кольцами эндоморфизмов см. также [15] - [19].

Такой же вопрос, как для кольца эндоморфизмов Е(А) группы А, стоит для его мультипликативной полугруппы Е'(А)) называемой по-лугрупной эндоморфизмов группы А. Проблему определяемости абелевых групп их мультипликативными полугруппами рассматривали Пуусемп ([13], [14]) и Себельдин (см., например, [20]). В связи с вышеуказанным представляется естественным изучать вопрос определяемости а,белевьтх групп центром их кольца эндоморфизмов.

А.В. Михалев указал на важную роль мультипликативных свойств в структурной теории колен, (т.е. свойств, выразимых в языке мультипликативной полугруппы кольца). С этой точки зрения особый интерес представляет вопрос о том, когда все мультипликативные изоморфизмы кольца являются кольцевыми изоморфизмами [И]. Такие кольца называются кольцами с однозначным сложением, или кратко [/А-кольцами (см. [И], [37], [42]).

Обобщением понятия [М-кольца служит понятие UA-модуля или модуля с однозначным сложением. Для такого модуля все взаимно однозначные отображения, коммутирующие с элементами кольца, в любой другой модуль над этим же кольцом являются изоморфизмами модулей. Основные результаты по данной теме можно найти в работе [38]. Согласно определению, на аддитивной группе UA-модуля невозможно задать новое сложение, не изменяя при этом правила умножения элементов кольца на элементы группы. Результаты работы выявляют тесную связь между эндоморфньтми и [М-модулями в случае, когда группа рассматривается как левый модуль над своим кольцом эндоморфизмов.

Работа посвящена поиску эндоморфньтх групп в некоторых известных классах абелевьтх групп, описанию групп, которые являются UА-модулями над кольцом целых чисел и кольцом эндоморфизмов, а также решению близких вопросов.

Цель работы: исследовать абелевьт группы, которые являются [/А-модулями над своим кольцом эндоморфизмов, кольцом целых чисел, описать эндоморфньте абелевьт группы, рассмотреть вопрос опре-деляемости абелевой группы центром ее кольца эндоморфизмов в некоторых классах абелевьтх групп.

Научная новизна и практическая ценность: все результаты диссертации являются новыми. В работе:

1. Найдены все абелевьт группы, которые являются UA-модулями над кольцом целых чисел.

2. Описаны все эндоморфньте абелевьт группы без кручения ранга 2 и 3, показано, что любая периодическая группа, а также любая сепарабельная группа без кручения является эндоморфной.

3. Исследуется вопрос определяемое™ абелевьтх групп центром своего кольца эндоморфизмов в различных классах абелевьтх групп.

Работа имеет теоретическое значение. Результаты работы могут быть использованы при изучении взаимосвязей абелевой группы и ее кольца эндоморфизмов, центра кольца эндоморфизмов.

Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции „Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2004 г.), на симпозиуме по теории абелевьтх групп (Бийск, 2005, 2006 г.), на алгебраических семинарах МПГУ (март, 2005 г.), ТГУ (май, 2005 г., октябрь, 2006 г.), НПГУ, на Нижегородской сессии молодых ученых (Саров, 2003 - 2006 гг.) и содержатся в работах [44] — [50].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, Себельдину Анатолию Михайловичу, а также Лтобимцеву Олегу Владимировичу за внимание к работе, поддержку, ценные указания и советы.

Содержание диссертации

Далее под словом „группа" понимается „абелева группа". Все кольца, рассматриваемые в работе, — ассоциативные с 1.

Во введении обосновывается актуальность выбранного направления исследования, приводится краткий обзор работ по теме диссертации и смежным вопросам, а также кра,тт<о излагаются полученные в диссертации результаты.

Первая глава посвящена, эндоморфньтм группам.

В первом параграфе доказывается, что всякая периодическая группа, а также любая сепарабельная группа без кручения являются эндо-морфньтми. В доказательстве этого существенно используется лемма 10, которая, в первом случае позволяет перейти к примарньтм компонентам группы, а во втором — к прямым слагаемым ранга 1. Стоит отметить, что при доказательстве самой леммы 10 решающую роль играет наличие в кольце эндоморфизмов группы, являющейся прямой суммой эндоморфньтх групп, полной ортогональной системы идемпо-тентов (проекций на прямые слагаемые) и тот факт, что всякое однородное отображение переводит прямое слагаемое группы в себя. Вообще говоря, лемма 10 служит достаточно сильным инструментом при доказательстве многих утверждений диссертации. Например, из данной леммы и теорем 1.1. и 1.2. сразу следует, что абелева группа является эндоморфной, если ее редуцированная часть эндоморфна. Или, расщепляющаяся абелева группа эндоморфна, если ее часть без кручения эндоморфна (следствия 1.3. и 1.4.).

Второй параграф целиком посвятцен группам без кручения конечного ранга. Здесь доказываются общие утверждения для групп данного класса. Например, свойство эндоморфности группы сохраняется при переходе к квазиравной группе. Более того, квазиравные группы имеют квазиравт-тьте почтикольца Е-однородных отображений (теорема 1.5.). Из этого факта, а также теоремы 1.1. следует, что почти вполне разложимые группы без кручения эндоморфньт. Особый интерес здесь вызывает теорема 1.7., поскольку она охватывает достаточно больтттой класс групп — сильно неразложимых абелевьтх групп без кручения конечного ранга, совпадающих со своим обобщенным псевдоцоколем, и позволяет описать еще больтттий класс — класс неприводимых групп конечного ранга.

В третьем параграфе описываются эндоморфньте группы без кручения ранга 2. При этом существенно используется описание таких групп и их колетт, квазиэндоморфизмов, полученное Арнольдом [31]. Оказывается, что жесткие группы без кручения ранга 2 не являются эндоморфньтми, и только они (теорема 1.12.). Более того, любая жесткая группа ранга болытте 1 не является эндоморфной. Лемма 1.11., приведенная в начале параграфа, облегчает доказательство основных утверждений данного, а так же следующего параграфов.

В четвертом параграфе исследованию подвергаются группы без кручения ранга 3 (теорема 1.14., предложения 1.16. — 1.21.). Доказательство основных утверждений данного параграфа опирается на описание колетт, квазиэндоморфизмов абелевьтх групп без кручения ранга

3, полученное Чередниковой [28] — [30]. Далее заметим, что результаты параграфов 3 и 4 позволяют провести аналогию со свойством чистоты модулей, понимаемой по П. Кону (следствия 1.13., 1.15.). Изучением свойства эндочистоты в абелевых группах занимался М.А. Турманов (см. [21], [22]).

Пятый параграф посвящен описанию эндоморфных групп, обладающих некоторым эндосвойством.

Во второй главе получено описание абелевьтх групп, являющихся L/A-модулями над кольцом целых чисел, кольцом эндоморфизмов, а также рассматриваются почти вполне разложимые End— UA-группы.

В первом параграфе решается задача отыскания UA-модулей над кольцом целых чисел (теоремы 2.1. — 2.3.). Во втором параграфе уделено внимание более общей задаче описания тех абелевых групп, которые являются модулями с однозначным сложением над своим кольцом эндоморфизмов. Предложения 2.4. и 2.5. позволяют сделать вывод о том, что [/А-модулями являются все эндоморфные модули, описанные выпте. Такой вывод следует из того факта, что при доказательстве всех утверждений об эндоморфг-тьтх группах образ рассматриваемой группы при однородном отображении не играет существенной роли. В третьем параграфе речь идет о почти вполне разложимых End — UA-труппах без кручения конечного ранга (теорема 2.7.). Описание получено на языке полной системы инвариантов этих групп. End — f/A-группьт в различных классах абелевых групп изучал Любимцев О.В. (см., например, [8], [9]).

В третьей главе рассматривается проблема определяемости абеле-вой группы центром ее кольца эндоморфизмов. Показано, что а,беле-ва, группа не определяется центром своего кольца эндоморфизмов в классе всех абелевьтх групп. Аналогичный ответ получен для классов сепара,бельньтх групп без кручения, периодических групп, вполне разложимых групп без кручения (следствие 3.2.). Однако почти делимая вполне разложимая группа без кручения конечного ранга п, типы прямых слагаемых ранга 1 которой попарно несравнимы, определяется центром своего кольца эндоморфизмов в классе вполне разложимых групп без кручения ранга п. Ясно, что таковой является и делимая группа конечного ранга п (предложение 3.9., следствие З.Ю.).

Список основных обозначений

Er(G) — кольцо эндоморфизмов Д-модуля G, E(G) — кольцо эндоморфизмов группы G,

Z(E(G)), Cen{E{G)) — центр кольца эндоморфизмов группы G,

Aut(G) — группа автоморфизмов группы G,

Нот(А,В) — группа гомоморфизмов группы А в группу В,

Z — кольцо целых чисел,

N — множество натуральных чисел,

Q — кольцо рациональных чисел,

Z(n) — группа вычетов по модулю п,

Ъ{п) — кольцо вычетов по модулю п, тт,иклическая группа порядка рк, Z(jpk) — кольцо вычетов по модулю рк, Ъ (р00) — квазип,иклическая группа, Q* — кольцо целых р-адических чисел, t(G), t(G) — тип однородной группы без кручения G, IT(G) — внутренний тип группы G, OT(G) — внетттний тип группы G) Q(G) — множество типов группы G, ф — знак прямой суммы, знак прямого произведения, 0 — знак тензорного произведения, F(G) — часть без кручения группы Gr,

T(G) — периодическая часть группы С,

R(G) — редуцированная часть группы G,

Р ((?) — делимая часть группы G, r(G) — ранг группы G, ro(G) — ранг без кручения группы G,

1\ — мощность множества /,

J(.R) — радикал Джекобсона, кольца Д.

Основные определения и некоторые известные результаты

Пусть R — ассоциативное кольцо с единицей и V, W — унитарные левые R-модули. Множество

Mr(V,W) = {/ : У W\f(rx) = rf{x),r eR,xeV} является почтикольцом относительно операций сложения и композиции отображений.

Элементы множества Mr(V, W) называются R-однородпыми от,об-ражему,ями. Если V = W, то вместо Мд(У, У) будем писать Мд(У).

Ясно, нто множество Мд(У) содержит кольцо Er(V) всех эндоморфизмов R-модуля У.

Д-модуль V эндоморфен, если

MR(V) = ER(V)([35)),

Абелева группа называется эндоморфной, если она является эндо-морфным модулем над своим кольцом эндоморфизмов. Понятно, что в этом случае

ME{G){G) = Z(E(G)).

Элемент z кольца R называется центральным, если rz = zr для любого г £ R. Совокупность всех центральных элементов кольца R является подкольцом, которое называется центром кольца R.

Непустое подмножество А левого Д-модуля У называется сильно R-сервантным, если 0 ^ rv £ А влечет v & А для всех г € R, v € У.

Кроме того, множество А называется сильно R-замкнутым, если для любых г е R, а е А следует, что га е А ([35]).

Перечислим основные результаты, касающиеся эндоморфньтх модулей, на которые будем ссылаться в дальнейшем.

Пусть R — ассоциативное кольцо с единицей. Л-модуль М называется ,локально циклическим,, если для любых х,у £ М существует a £ М такой, что ж, у £ Ra.

Теорема 1. ([35]) 1) Любой локально циклический модуль эндо-морфен.

2) Если X — .локально циклический R-модуль и

Лемма 2. ([35]) Пусть X — подмножество R-модуля М, которое сильно R-замкнутю и сильно R-сервантно, и пусть ip : X М — R-однородное отображение. Отображение f-.X^M

R-однородное отображение, то f £ Нотц(Х, М). f : М М, определяемое по правилу:

О, а £ М\Х; является R-однородным.

Теорема 3. ([35]) Пусть М — модуль без кручения над областью целостности R. Тогда, Mr(M) = Er(M) тогда и только тогда, когда r(M) = 1.

Теорема 4. ([35]) Прямое слагаемое эндоморфного модуля эндо-морфно.

Далее приведем те утверждения о UA-модулях, которые часто будут использованы в работе.

Пусть R — ассоциативное кольцо с единицей, V — унитарный левый Д-модуль.

Модуль V называется модулем с однозначным сложением, (UA-модулем), если невозможно задать новое сложение на множестве V, не изменяя при этом действия кольца R на V.

Основные результаты, касающиеся UA-модулей, могут быть найдены в статье [38].

Предложение 5. ([38]) Пусть V uW — левые R-моду ли и G MR(V, W) R-одиородная биещия. Тогда новое сложение +/ на множестве V можно задат,ь следующим образом:

Следствие 6. ([38]) R-модуль V является модулем с однозначным сложением, тогда и только тогда, когда все взаимно однозначные отображения из Mr(V,W) являются изоморфизмами модулей V и W, для любого R-модуля W.

Лемма 7. ([38]) Для кольца R и следующих условий:

1) MR(V) = Er{V) для всех R-модулей V,

2) V — UА-модуль для всех R-модулей V,

3) V — UА-модулъ для всех свободных R-модулей V,

4) R — кольцо с однозначным сложением, справедливы импликации 1) => 2) =Ф- 3) =Ф- 4).

Напомним, что кольцо R называется кольцом, с однозначным, сложением, ([/Л-кольдом), если на его мультипликативной полугруппе (.R, *) можно задать единственную бинарную операцию +, превра,тн;а-ютцую ее в кольцо (R, +).

Теорема 8. ([38]) Пусть R — область целостности такая, что О и 1 не единственные идемпотенты в R, и пусть V — R-модуль без кручения. Тогда следующие условия эквивалентны:

1)Mr(V) = ER{V).

2) V может быть вложен в поле частных кольца R.

3) V - UА-модулъ.

Приведем также известную теорему Шарля, которая описывает строение центра кольца эндоморфизмов периодических р-групп.

Теорема 9. ([4]) Центр кольца эндоморфизмов р-группы Т состоит, из умножений на целые р-адические числа ил,и на вычеты по модулю рк в зависим,ости от того, является ли группа Т неограниченной или рк служит, наименьшей верхней, гранью порядков ее элементов.

Следующая лемма будет часто использоваться при доказательстве теорем первой главы.

Лемма 10. Пусть G = G% — абелева группа и все слагаемые Gi (г 6 I) эндоморфны. Тогда группа G эндоморфна. Доказательство.

Пусть / е Me(g){G) и Gj — прямое слагаемое группы G (j £ I). Тогда f(<j - fejGj — (ijfC'j ^ Gj, где ej : G —»■ Gj — соответствующая проекция.

Далее, всякий эндоморфизм Lpj е E{Gj) можно продолжить до эндоморфизма ip группы G.

Рассмотрим fti) — ограничение / на Gj. Тогда fim) = V/fe) = Vjf{j){9j),9j е Gj. Следовательно, Е ME(Gj)(Gj)• Откуда + y) = /(z) + /(y), для всех ж,у Е Gj, / £ Me{g){G).

Далее достаточно провести доказательство для случая |/| = 2. Пусть теперь G = Сп.Ф<?2> ж е Gi, у е и t\ : G —>• Gi, 62 : G —> Gz — соответствующие проекции. Тогда

О + у) = (ei + е2)/(ж + у) = ei/(z + у) + е2/0 + у) =

- /(ei(® + У)) + /feOc + у)) - f(x) + /(у), для всех / е ME(G){G). Лемма доказана.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чистяков, Денис Сергеевич, 2006 год

1. Айерленд К., Роузен М., Классическое введение в современную теорию чисел, М.: Мир, 1987.

2. Глускин Л.М., Полугруппы и кольца эндоморфизмов линейных пространств // Изв. АН СССР, Сер. Матем., 1959, т. 23, с. 841 -870

3. Глускин Л.М., Об эндоморфизмах модулей // Алгебра и математическая логика, Киев: КГУ, 1966, с. 3 20.

4. Крылов П.А., Классен Е.Д. Центр кольца эндоморфизмов расщепляющейся сметанной абелевой группы // Сиб. ма/гем. журнал, 1999, т. 40, №5, с, 1074 1085.

5. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А., Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов, Томск, ун-т, 2002.

6. Куликов Л.Я. Подпрямые разложения счетных абелевых групп без кручения // X Всесоюзный алгебр, коллоквиум., Резюме со-обтц. и докл., Новосибирск, 1969, т. 1, с. 18 19.

7. Куроттт А.Г. Primitive torsionfreie abelsche Gruppen vom endlichen Range // Ann. of Math., 1937, V. 38, P. 175 203.

8. Любимцев О,В. Сепарабельные абелевьт группы без кручения с /А-кольцами эндоморфизмов // Фундамент, и прикл. мат., 1998, т. 4, № 4, с. 1419 1422.

9. Любимцев О.В. Периодические абелевы группы с /А-кольцами эндоморфизмов // Матем. заметки, 2001, т. 70, вып. 5, с. 736 -741.

10. Мальцев А.И., Абелевы группы конечного ранга без кручения // Матем. сб., 1938, т. 4, с, 45 68.

11. Михалев А.В., Мультипликативная классификация ассоциативных колец // Мат. сб., 1988, т. 135 (177), №2, с. 210 224.

12. Понтрягит-т Л.С., The theory of topological commutative groups // Ann. Math. 1934, V. 35, P. 361 388.

13. Пуусемп П. Об определяемости периодической абелевой группы своей полугруппой эндоморфизмов в классе всех периодических абелевьтх групп // Изв. АН Эст. ССР, Физ. Мат., 1980, т. 29, № 3, с. 246 253.

14. Пуусемп П. Об определяемости периодической абелевой группы своей полугруппой эндоморфизмов в классе всех групп // Изв. АН Эст. ССР, Физ. Мат., 1980, т. 29, № 3, с. 241 245.

15. Себельдин A.M., Условия изоморфизма вполне разложимых абелевьтх групп без кручения с изоморфными кольцами эндоморфизмов // Матем. заметки, 1972, т. И, № 4, с. 403 408.

16. Себельдин A.M., Полные прямые суммы абелевьтх групп без кручения ранга 1 с изоморфными группами или кольцами эндоморфизмов, I // Матем. заметки, 1973, т. 14, № б, с. 867 878.

17. Себелъдин A.M., Полные прямые суммы а,беленых групп без кручения ранга 1 с изоморфными группами или кольцами эндоморфизмов, II // Абелевьт группы и модули, Томск, ун-т, 1979, с. 151 156.

18. Себельдин A.M., Абелевы группы без кручения с изоморфными кольцами эндоморфизмов // Абелевы группы и модули, Томск, ун-т, 1979, с. 157 162.

19. Себельдин A.M., Определяемость абелевьтх групп своими кольцами эндоморфизмов // Абелевьт группы и модули, Томск, ун-т, 1989, с. 113 123.

20. Себельдин A.M., Определяемость абелевьтх групп своими полугруппами эндоморфизмов // Абелевьт группы и модули, Томск, ун-т, 1991, с. 125 133.

21. Тараканов Е.В., Эндодистрибутивньте модули над дедекиндовьтми кольцами // Абелевьт группы и модули, Томск, ун-т, 1990, с. 83 -107.

22. Турманов М.А., Эндочистьте подмодули абелевьтх групп без кручения ранга 2 // Абелевьт группы и модули, Томск, ун-т, 1990, с. 119- 124.

23. Турманов М.А., О чистоте в абелевьтх группах // Фундамент, и прикл. математика, 2004, т. 10, № 2, с. 225 238.

24. Фомин А.А., Абелевьт группы без кручения ранга 3 // Матем. сб., 1989, т. 180, № 9, с. 1155 1170.

25. Фомин А.А., Абелевы группы с одним т-адическим соотношением // Алгебра и логика, 1989, т. 28, № 1, с. 83 104.

26. Фукс Л., Бесконечные абелевы группы, т. 1, М.: Мир, 1974.

27. Фукс J1., Бесконечные абелевы группы, т. 2, М.: Мир, 1977.

28. Чередникова А.В. Кольца квазиэндоморфизмов абелевых почти вполне разложимых групп без кручения ранга 3 // Абелевы группы и модули, Томск, ун-т, 1996, с. 237 242.

29. Чередникова А.В. Кольца квазиэндоморфизмов квазиразложи-мьтх абелевых групп без кручения ранга 3 // Абелевы группы и модули, Томск, ун-т, 1996, с. 224 236.

30. Чередникова А.В. Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3 // Матем. заметки, т. 63, вып. 5, 1998, с. 763 773.

31. Arnold D.M. Finite rank torsion free abelian groups and rings. Lecture Notes in Math. V. 931. Berlin: Springer, 1982.

32. Bazzoni S., Metelli C., On abelian torsion free separable groups and their enclomorphism rings // Symp. math. 1st. Naz. Alt a mat., Fran Severi. 1979, V. 23., Roma, p. 259 285.

33. Derry D., Uber eine Klasse von abelschen Gruppen j j Proc. London. Math. Soc,, 1937, V. 43, p. 490 506.

34. Fuchs P., Maxson C.J. and Pilz G., On rings for which homogeneous maps are linear // Proc. Amer. Math. Soc., 1991, V. 112, № 1, p. 1 -7.

35. Hansen J. and Johnson J.A. Centralizer near-rings that are rings // J. Austr. Math. Soc., 1995, V. 59., p. 173-183.

36. Maxson C.J. and van der Walt A.P.J. Centralizer near-rings over free ring modules // J. Austr. Math. Soc. (Series A), 1991, V. 50., p. 279-296.

37. Nelius Chr. F., Ringe mit eindentiger Addition, Padeborn, 1974.38. van der Merwe B. Unique addition modules // Communications in algebra, 1999, V. 27, №9, p. 4103-4115.

38. Reid J.D. On the ring of quasi-endomorphisms of a torsion free group // Topics in abelian groups, Chicago, 1963, p. 51 68.

39. Reid J.D., On quasidecompositions of torsion free abelian groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1962, V. 13, p. 550 554.

40. Szele Т., Gruppentheoretische Beziehungen der Primkorper // Mat. Aineiden Aikakauskirja, 1949, V. 13, p. 80 85.

41. Stephenson W. Unique addition rings // Can. J. Math., V. 21, 6, p. 1455 1461.

42. Warfield R. Homomorphisms and duality for torsion free groups // Math. Z., 1968, V. 107, p. 189 200.

43. Чистяков Д.С. Абелевы группы как эндоморфньте модули над кольцом E(G) // IIIV Нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки: Тезисы докладов. — Н.Н.: Изд. Гладкова О.В. 2003 - с. 31 - 32.

44. Чистяков Д.С. Определяемость абелевой группы центром ее кольца эндоморфизмов //IX Нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки: Тезисы докладов. — Н.Н.: Изд. Гладкова О.В. 2004 - с. 9-10.

45. Любимцев О.В., Чистяков Д.С. Модули с однозначным сложением над кольцом Ъ // Абелевьт группы: Труды Всероссийского симпозиума Бийстс РИО ВИГУ - 2005 - с, 28 - 29.

46. Чистяков Д.С., Любимцев О.В. Абелевы группы как эндоморфньте модули над своим кольцом эндоморфизмов // Абелевьт группы: Труды Всероссийского симпозиума — Бийск: РИО БПГУ — 2005 с. 54 - 55.

47. Себельдин A.M., Чистяков Д.С. Абелевьт группы, определяющиеся центром своего кольца эндоморфизмов // Абелевьт группы: Труды Всероссийского симпозиума — Бийск: РИО БПГУ — 2006 с. 34 - 36.

48. Чистяков Д.С. Эндоморфньте абелевьт группы без кручения ранга 3 // Абелевы группы: Трудьт Всероссийского симпозиума — Бийск: РИО БПГУ 2006 - с. 49 - 50.

49. Чистяков Д.С., Любимцев О.В. Абелевы группы как эндоморфные модули над своим кольцом эндоморфизмов // Фундамент, и прикл. мат., 2006, т. 12, № 7, с, 536 540.