Мультипликативные свойства колец и модулей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Любимцев Олег Владимирович

• Любимцев Олег Владимирович
• доктор наук
• 2023

Оглавление диссертации доктор наук Любимцев Олег Владимирович

1.3 Смешанные абелевы группы с иА-кольцами эндоморфизмов

1.4 О модулях с иА-кольцами эндоморфизмов

2 Определяемость абелевых групп своими полугруппами эндоморфизмов

2.1 Определяемость периодических частей абелевых групп полугруппами эндоморфизмов

2.2 Об определяемости смешанных абелевых групп своими полугруппами эндоморфизмов

3 Мультипликативные свойства абелевых групп как модулей над своими кольцами эндоморфизмов

3.1 Абелевы группы как эндоморфные модули над своими

кольцами эндоморфизмов

3.2 Обобщенно эндоморфные абелевы группы

3.3 Абелевы группы как ИЛ-модули над кольцом Ъ

4 Центрально существенные кольца

4.1 Абелевы группы с центрально существенными кольцами эндоморфизмов

4.2 Локальные центрально существенные подалгебры треугольных матричных алгебр

4.3 Центрально существенные кольца без кручения конечного ранга

4.4 Центрально существенные групповые алгебры и классические кольца частных

4.5 Центрально существенные полукольца

4.6 Центрально существенные полугрупповые алгебры полугрупп с сокращениями

4.7 Идеалы центрально существенных колец

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мультипликативные свойства колец и модулей»

Введение

Актуальность темы и степень ее разработанности. Как было отмечено А.В. Михалевым в работе [15], в структурной теории колец заметную роль играют мультипликативные свойства (т.е. свойства, выразимые в языке мультипликативной полугруппы кольца). На полугрупповом языке может быть отражена важная информация о строении кольца. При этом особый интерес представляет вопрос о том, когда все мультипликативные изоморфизмы кольца являются кольцевыми изоморфизмами. Кольца, обладающие указанным свойством, называются кольцами с однозначным сложением или иА-кольцами. иА-кольца в теории колец изучаются довольно давно. Достаточные условия для сохранения сложения мультипликативным изоморфизмом впервые были предложены Риккартом в 1948 году в работе [94], где было доказано, что всякое булево кольцо является иА-кольцом. Впоследствии иА-кольца изучались в работах [15], [66], [70], [89], [97] и других.

В статье [97] доказано, что полное кольцо матриц порядка п > 1 над кольцом с 1 является иА-кольцом. Кроме этого, кольцами с однозначным сложением являются первичные кольца, имеющие нетривиальные идемпотен-ты. Замечено, что если кольцо Я имеет классическое правое кольцо частных Яс\(Яг), которое является иА-кольцом, то и само кольцо Я есть иА-кольцо. В связи с этим возник вопрос о справедливости аналога этого утверждения для колец Я с нулевым сингулярным идеалом и для полных правых колец частных ^(Я). Отрицательный ответ на этот вопрос дан в [16]. А.В. Миха-

лев в работе [15] доказал, что первичное кольцо, множество левых аннуля-торов элементов которого не является линейно упорядоченным относительно включения, является UA-кольцом. Как следствие, были получены некоторые результаты из [97]. Полупервичное кольцо R, содержащее такое множество П минимальных первичных идеалов, что ПрЕпP = 0 и R/P есть UA-кольцо для всех P Е П, также является UA-кольцом. Если R - полупервичное PI кольцо с Ir(L) = 0, где L - идеал кольца, порожденный всеми нильпотентны-ми элементами, то R - UA-кольцо. В упомянутой статье А.В. Михалева были найдены все UA-кольца в классе регулярных колец. В частности, если R -строго регулярное кольцо, то R является UA-кольцом тогда и только тогда, когда в R выполнено полиномиальное тождество x(x + 1)(x2 + x + 1) = 0. Откуда следует, что поле F является UA-кольцом в точности тогда, когда |F| < 4; см. также [89]. Некоторые авторы исследовали свойство однозначности сложения в других алгебраических структурах. Так, И.И. Артамонова рассматривала UA-полукольца [2], И.В. Аржанцев - UA-алгебры Ли [1].

В 1994 году А.В. Михалевым поставлена задача описания в известных классах абелевых групп подклассов групп, имеющих UA-кольца эндоморфизмов. Эту задачу можно рассматривать как одно из направлений программы Селе [98], который предложил исследовать роль колец, строение которых достаточно хорошо изучено, как колец эндоморфизмов абелевых групп, в частности установить, какие из них служат кольцами эндоморфизмов.

Важной задачей теории модулей является изучение связей между модулем и его кольцом (полугруппой) эндоморфизмов. Одной из центральных проблем о кольцах (полугруппах) эндоморфизмов является вопрос о том, насколько кольцо (полугруппа) эндоморфизмов определяет абелеву группу или модуль (проблема Бэра-Капланского). Отметим решение проблемы Бэ-ра-Капланского об описании изоморфизмов и антиизоморфизмов колец и по-

лугрупп эндоморфизмов модулей, близких к свободным, А.В. Михалевым в середине 60-х годов; см. [13], [14].

Хорошо известно, что изоморфизм колец эндоморфизмов двух периодических абелевых групп влечет за собой изоморфизм самих этих групп (теорема Бэра-Капланского). Более того, всякий изоморфизм между кольцами эндоморфизмов индуцируется некоторым групповым изоморфизмом; см. [29, Т.2, §108]. Для абелевых групп без кручения ситуация иная. Так, А.М. Себель-дин в своей работе [19] доказал, что вполне разложимая абелева группа без кручения определяется своим кольцом эндоморфизмов в классе вполне разложимых групп без кручения в точности тогда, когда каждое прямое слагаемое ранга 1 этой группы почти делимо. В статье [20] вопрос об определяемости абелевой группы без кручения своим кольцом эндоморфизмов в классе всех абелевых групп сведен к этому же вопросу в классе всех абелевых групп без кручения. П.А. Крылов и А.М. Себельдин в работе [10] доказали, что редуцированная алгебраически компактная абелева группа без кручения определяется своим кольцом эндоморфизмов в классе абелевых групп без кручения тогда и только тогда, когда она почти делима. Мэй и Тубасси выяснили свойства абелевых групп с неизоморфными периодическими частями, но с изоморфными кольцами эндоморфизмов; см. [71].

В книге [12, Проблема 30] поставлена проблема исследования изоморфизмов полугрупп эндоморфизмов абелевых групп из различных классов абеле-вых групп. Отметим, что эта проблема является аналогом известной проблемы 43 монографии Л. Фукса [53]. Полугруппа эндоморфизмов в ряде случаев хорошо характеризует абелеву группу. Например, конечная абелева группа определяется своей полугруппой эндоморфизмов в классе всех групп; см. [17]. В работе [18] доказано, что уже из изоморфизма полугрупп эндоморфизмов двух периодических абелевых групп следует изоморфизм самих групп. Отметим при этом, что оставался открытым вопрос: для каких групп всякий

изоморфизм между полугруппами эндоморфизмов индуцируется некоторым групповым изоморфизмом? Ответ на него был получен автором только после того, как были найдены периодические абелевы группы, имеющие UA-кольца эндоморфизмов.

В тоже время, из абелевых групп без кручения ранга 1 только делимые группы определяются своей полугруппой эндоморфизмов в каком-либо классе абелевых групп, содержащем класс групп без кручения ранга 1; см. [21]. Задача определяемости абелевых групп своей полугруппой эндоморфизмов в различных классах абелевых групп рассматривалась также и в других работах А.М. Себельдина; см. [22], [23], [24]. В статьях [22] и [24] были описаны сепарабельные и векторные абелевы группы без кручения, определяющиеся полугруппами эндоморфизмов в своих классах. В работе [23, Теорема 3] доказано, что периодическая абелева группа определяется своим кольцом эндоморфизмов в классе всех абелевых групп в точности тогда, когда она определяется своей полугруппой эндоморфизмов в этом же классе.

Проблема определяемости смешанных абелевых групп своими полугруппами эндоморфизмов систематически не изучалась: не было известно ни одного класса смешанных абелевых групп, которые определялись бы своей полугруппой эндоморфизмов в некотором классе абелевых групп. Важным примером смешанных абелевых групп является класс факторно делимых групп, построенный Уиклессом и А.А. Фоминым в работе [50] как обобщение факторно делимых групп без кручения конечного ранга, введенных Бьюмонтом и Пирсом; см. [39]. Отметим, что класс факторно делимых групп достаточно мало изучен. Исследование групп из этого класса, определяющихся своими полугруппами эндоморфизмов в своем классе, дает новую информацию о факторно делимых группах. Результаты исследований абелевых групп с UA-кольцами эндоморфизмов в значительной степени способствовали решению вышеуказанной проблемы.

Хорошо известно, что множество ) всех отображений Я-модуля V

в себя, сохраняющих модульное умножение и называемых Я-однородными отображениями на V, является почти-кольцом относительно операций сложения и композиции отображений и содержит кольцо Ед^) эндоморфизмов модуля V (основополагающие результаты теории почти-колец изложены в [92]). Структура Мд(V) исследовалась Максоном и его соавторами в статьях [81], [82], [83], [84] и других. Так, в работах [81], [82], [83] изучалась структура почти-кольца Мд^) при условии конечности кольца Я и уни-тального Я-модуля V. В статье [81, Теорема 1] авторы доказали, что если Я - конечное простое кольцо и V - конечный унитальный Я-модуль, то Мд(V) является простым почти-кольцом. Позднее, в [82, Предложение] этот результат был распространен на полупростые кольца. В статье [83, Теорема 3.2] были получены необходимые и достаточные условия локальности Мд^). В работе [83] изучались почти-кольца ), где V - свободный Я-модуль.

В частности, было доказано, что если Я - простое кольцо, то Мд(Я2) -простое почти-кольцо; см. [83, Теорема 2.8]. Для случая, когда Я - кольцо главных идеалов или поле, описаны максимальные и минимальные идеалы почти-кольца Мд(Я2) (Теоремы 3.6 и Следствие 3.4).

Целью работы [56] являлось изучение класса V колец, для которых почти-кольцо Мд^) является кольцом для всех Я-модулей V. Было доказано, что Я £ ^ тогда и только тогда, когда Мд(V) = ) для каждого Я-модуля

V. Авторы установили, что все кольца из класса V некоммутативны и имеют ненулевые нильпотентные элементы. Кольцо п х п матриц над любым кольцом Я при п > 2 принадлежит классу V. Было получено описание полусовершенных колец из V. Именно, если Я - полусовершенное кольцо, то Я £ ^ в точности тогда, когда Я^(Я) £ V, где J(Я) - радикал Джекобсона кольца Я. Кроме этого, Я^(Я) есть прямое произведение п х п^ матричных колец над телами Di с п^ > 2 для каждого г.

Другое направление исследований Я-однородных отображений на модуле

V связано со следующими проблемами: для каких Я-модулей V при фиксированном кольце Я почти-кольцо Мд(V) является кольцом; совпадает с кольцом Ед^)? В статье [58] Хаусен и Джонсона такие Я-модули называются полуэндоморфными и эндоморфными, соответственно. Особый интерес представляет задача описания колец, над которыми существуют полуэндо-морфные модули, которые не являются эндоморфными. В упомянутой работе [58] поставленные задачи рассматривались для модулей над областями целостности, дедекиндовыми областями и над областями главных идеалов. Из результатов статьи [58] отметим описание полуэндоморфных и эндоморф-ных модулей без кручения над областями целостности. Для периодических модулей над дедекиндовыми областями было установлено, что классы полу-эндоморфных и эндоморфных модулей совпадают. Доказано существование полуэндоморфных модулей над областями главных идеалов, которые не являются эндоморфными.

В статье [35] Хаусен и Альбрехт изучали такие несингулярные Я-модули

V над полупервичными правыми кольцами Голди, что каждое Я-однородное отображение из модуля V в несингулярный Я-модуль W аддитивно. В частности, были описаны несингулярные эндоморфные модули над указанными кольцами. Эндоморфные конечно порожденные модули над коммутативными нетеровыми кольцами найдены в работе [88]. Описание эндоморфных как Ъ-модули абелевых групп было получено в [57]. Абелевы группы А с тем свойством, что Ап являются эндоморфными модулями над своими кольцами эндоморфизмов, мы называем обобщенно эндоморфными. В [34, Теорема 15] доказано, что такие группы совпадают с так называемыми обобщенно эндо-примальными группами; подробнее см. [34, Определение 3].

С эндоморфными модулями связаны модули с однозначным сложением (иА-модули), которые определил Ван Дер Мерве в своей работе [87] как мо-

дули, аддитивная структура которых полностью определяется модульным умножением. Именно, если все модули над кольцом R эндоморфны (т.е. R £ R, см. выше), то каждый R-модуль является UA-модулем. Заметим также, что само кольцо R в этом случае является UA-кольцом.

В книге [12, Введение к главе 2] замечено, что многие задачи приводят к необходимости рассмотрения абелевой группы как модуля над своим кольцом эндоморфизмов. Отмечается, что "изучение этого модуля дает содержательную информацию и о самой группе; оно позволяет выделить интересные классы абелевых групп и связи между ними". В связи с вышесказанным, представляет интерес задача изучения эндоморфных абелевых групп как модулей над своим кольцом эндоморфизмов. Эта задача является аналогом проблем 5-8, поставленных в [12].

К мультипликативным свойствам колец с ненулевой единицей также относится введенное В.Т. Марковым и А.А. Туганбаевым свойство центральной существенности мультипликативного моноида. В цикле совместных работ они исследовали интересный и важный класс центрально существенных колец, определяемых как ассоциативные кольца, которые таковы, что в них любой нецентральный элемент после домножения на центральный элемент превращается в ненулевой центральный элемент; см. [72], [73], [74], [75], [76], [77], [78], [79], [80]. Оказалось, что класс центрально существенных колец гораздо шире класса всех коммутативных колец, хотя каждое центрально существенное полупервичное кольцо коммутативно; см. [72, Предложение 3.3]. Поэтому при изучении центрально существенных колец интерес представляют только некоммутативные неполупервичные центрально существенные кольца. В работе [79] построено такое центрально существенное кольцо R, что фактор-кольцо R/J(R) по радикалу Джекобсона не является PI кольцом. В частности, кольца R/J(R) и R некоммутативны. Там же доказано, что если S -

центрально существенная алгебра и A - коммутативная алгебра, то A 0 R является центрально существенной алгеброй. Если S - такое подкольцо кольца R, что существует базис модуля Rs, содержащийся в центре кольца R, то из центральной существенности S следует, что кольцо R - центрально существенное кольцо.

В [73] доказано, что внешняя алгебра трехмерного векторного пространства над полем из трех элементов является конечным некоммутативным центрально существенным кольцом. В общем случае, внешняя алгебра A(V) конечномерного векторного пространства V над полем K характеристики 0 или р = 2 является центрально существенным кольцом тогда и только тогда, когда dimxV является нечетным числом; см. [73, Теорема 1(2)]. Если R - центрально существенное кольцо, то для любого коммутативного моноида G моноидное кольцо RG центрально существенно. В частности, кольца R[x] and R[x,x-1] центрально существенны; см. [72, Лемма 2.2]. В [79] доказано, что если R - конечномерная центрально существенная алгебра, то кольца формальных степенных рядов R[[x]] и рядов Лорана R((x)) центрально существенны, причем обратное тоже верно.

Центрально существенные групповые алгебры изучались в [72]. Было замечено, что если F - поле нулевой характеристики, то центрально существенная групповая алгебра FG коммутативна для любой группы G. Там же приведены примеры некоммутативных центрально существенные групповых алгебр над полями. Так, если Qg - группа кватернионов порядка 8, то ее групповая алгебра над полем порядка 2 является конечным локальным некоммутативным центрально существенным кольцом порядка 256. Было установлено, что если группа G конечна, то FG - центрально существенное кольцо в точности тогда, когда G = P х H, где P - единственная силовская р-подгруппа в G, группа H коммутативна, и кольцо FP центрально существенно; см. [72, Предложение 2.5]. В работе [80] доказано, что дистрибутивное справа, нетеро-

во справа или слева кольцо является центрально существенным в точности тогда, когда оно является прямым произведением конечного числа коммутативных дедекиндовых областей и цепных артиновых колец. В статье [76] рассматривались полусовершенные центрально существенные кольца. Было установлено, что если R - полусовершенное центрально существенное кольцо, то R/J(R) - конечное прямое произведение полей; в частности, кольцо R/J(R) коммутативно. Кроме этого, R - прямое произведение центрально существенных локальных колец. Центрально существенные кольца, которые не обязательно унитальны или ассоциативны, изучались в [75]. Основные результаты о центрально существенных кольцах изложены в обзорной статье А.А. Туганбаева [99]. Кроме этого, в этом обзоре сформулирован ряд проблем, часть из которых были решены в данной диссертации.

Цели и задачи диссертации. Основная цель работы заключается в развитии методов исследования мультипликативных свойств колец и модулей на случай колец эндоморфизмов абелевых групп. Главными задачами диссертации являются:

1. развивая методы теории колец с однозначным сложением, получить описание абелевых групп с UA-кольцами эндоморфизмов в ряде известных классов абелевых групп;

2. используя полученные результаты для абелевых групп с UA-кольцами эндоморфизмов, решить задачу определяемости полугруппами эндоморфизмов для некоторых классов смешанных абелевых групп;

3. в известных классах абелевых групп получить описание эндоморфных абелевых групп как групп, у которых почти-кольцо однородных отображений над кольцом эндоморфизмов совпадает с центром кольца эндоморфизмов;

4. в различных классах абелевых групп выделить группы с центрально существенными кольцами эндоморфизмов, привести примеры некоммутатив-

ных центрально существенных колец, являющихся кольцами эндоморфизмов абелевых групп;

5. изучить центрально существенные кольца и полукольца в различных классах колец, алгебр и полуколец: как подалгебры треугольных матричных алгебр, групповые и полугрупповые алгебры, кольца без кручения конечного ранга, аддитивно сократимые полукольца, исследовать идеалы центрально существенных колец.

Основные методы исследования. В работе используются классические методы теории абелевых групп, теории колец и модулей, теории множеств, методы линейной алгебры и теории чисел.

Выносимые на защиту положения. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми и состоят в следующем:

1) установлена структура абелевых групп с иА-кольцами эндоморфизмов в следующих классах абелевых групп: нередуцированных группах, алгебраически компактных группах, вполне разложимых факторно делимых группах;

2) доказано, что кольцо эндоморфизмов абелевой группы без кручения является иА-кольцом в точности тогда, когда ее кольцо квазиэндоморфизмов есть иА-кольцо. Как следствие, получено описание некоторых классов абелевых групп без кручения конечного ранга с иА-кольцами эндоморфизмов. Полученные результаты распространены на некоторые классы модулей над коммутативными областями целостности;

3) получено описание абелевых групп с неизоморфными периодическими частями, но с изоморфными полугруппами эндоморфизмов, что дополняет известную теорему Мэя и Тубасси об определяемости периодических частей абелевых групп с изоморфными кольцами эндоморфизмов в классе всех групп;

4) выделение из класса вполне разложимых факторно делимых абе-

левых групп подкласса групп, определяющихся своими полугруппами эндоморфизмов в классе что является решением проблемы книги [12, Проблема 30] для этого класса групп;

5) задача описания широкого класса эндоморфных смешанных абелевых групп сводится к аналогичной задаче для групп без кручения. Найдена структура абелевых групп со свойством эндоморфности в классе сильно неразложимых абелевых групп без кручения конечного ранга и абелевых групп без кручения конечного ранга, совпадающих со своим псевдоцоколем.

6) описаны обобщенно эндоморфные абелевы группы в ряде известных классов абелевых групп и установлена их связь с абелевыми группами, имеющих иА-кольца эндоморфизмов;

7) приведены примеры некоммутативных центрально существенных колец, которые могут быть реализованы как кольца эндоморфизмов абелевых групп. Доказано, что центрально существенные кольца, аддитивные группы которых являются группами без кручения конечного ранга, квазиинвариант-ны, но не обязательно инвариантны. Абелевы группы без кручения конечного ранга с центрально существенными кольцами эндоморфизмов являются точными;

8) В терминах центральной существенности получено достаточное условие того, что все минимальные правые идеалы лежат в центре кольца. Алгебры верхнетреугольных матриц порядков 3 и 4 имеют только коммутативные локальные центрально существенные подалгебры, однако в каждой алгебре верхнетреугольных матриц порядка выше 6 существует некоммутативная локальная центрально существенная подалгебра. Построены примеры некоммутативных центрально существенных полуколец и изучены свойства аддитивно сократимых центрально существенных полуколец;

9) установлено, что центрально существенная групповая алгебра над любым полем имеет двустороннее классическое кольцо частных. Групповая ал-

гебра над полем является центрально существенной в точности тогда, когда ее классическое правое кольцо частных является центрально существенным кольцом.

Публикации. Все основные результаты диссертационного исследования опубликованы в 17 статьях, из которых работы [102] - [113] опубликованы в изданиях из перечня, рекомендованного ВАК, работы [114] - [118] в изданиях, входящих в международные реферативные базы цитирования Web of Science и Scopus. Основные результаты 1), 4), 5), 6) получены автором лично, см. [103], [105], [107], [108], [110] - [113], за исключением теоремы 2.2.1, доказанной совместно с Д.С. Чистяковым и В.К. Вильдановым при равном участии авторов в работе [109]; результат 2) получен в неразрывном сотрудничестве с Д.С. Чистяковым, см. [104], [106]; результат 3) сформулирован и первоначально доказан автором, окончательный вариант доказательства получен в неразрывном сотрудничестве с Д.С. Чистяковым, см. [102]; результаты 7) -9) получены в неразрывном сотрудничестве с научным консультантом А.А. Туганбаевым, см. [114] - [118].

Апробация результатов. Результаты диссертационного исследования по мере их получения были доложены автором на следующих конференциях и семинарах:

I. Конференции:

1. Международная конференция «Алгебра и математическая логика; теория и приложения», г. Казань, КФУ, 2-7 июня 2014 г.;

2. Международный симпозиум «Абелевы группы», посвященный 100-летию со дня рождения Л.Я. Куликова, г. Москва, МПГУ, 2-6 ноября 2014 г.;

3. Международная алгебраическая конференция, посвященная 110-летию со дня рождения профессора А.Г. Куроша, г. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 22-26 мая 2018 г.;

4. Международная конференция «Алгебра и математическая логика: теория и приложения», г. Казань, КФУ, 24-28 июня 2019 г;

5. Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии, г. Казань, КФУ, 22-28 августа 2021 г;

6. Международная конференция «Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии», г. Нижний Новгород, ННГУ, 22-23 ноября

2021 г;

7. Международная конференция «Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии», г. Нижний Новгород, ННГУ, 14-17 ноября

2022 г;

8. Международный воркшоп по Кольцам, модулям и абелевым группам -2022, 28 ноября - 2 декабря 2022, Казань, НОМЦ ПФО.

II. Семинары:

1. научно-исследовательский семинар кафедры высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова;

2. семинар по теории абелевых групп кафедры алгебры Московского педагогического государственного университета (неоднократно);

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в работе результаты могут найти свое применение в теории абелевых групп, теории колец и модулей. В частности, установленные в ней связи между абелевыми группами и их полугруппами эндоморфизмов расширяют представление о мультипликативных структурах колец эндоморфизмов. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при написании учебных пособий и монографий, а также при чтении спецкурсов по теории абелевых групп, теории колец и модулей.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация вклю-

чает в себя введение, четыре главы, разбитых на параграфы, заключение и список литературы, содержащий 138 наименований, включая список работ, опубликованных автором по теме диссертации. Общий объем диссертации -234 страницы.

Краткое содержание работы. В первых трех главах изучаются связи между абелевыми группами и мультипликативными свойствами их колец эндоморфизмов.

В Главе 1 исследуются абелевы группы с иА-кольцами эндоморфизмов.

В § 1.1 доказан ряд общих результатов об иА-кольцах; см. теоремы 1.1.2, 1.1.3, предложения 1.1.1, 1.1.2 и лемму 1.1.2. На основе этих результатов в последующих параграфах этой главы получено описание абелевых групп, обладающих иА-кольцами эндоморфизмов (Еп^-иА-групп), в ряде известных классов абелевых групп. Кроме этого, приведены некоторые известные факты об иА-кольцах, которые используются в первой главе, и ранее полученные автором результаты об Еп^-иА-группах.

В § 1.2 В теореме 1.2.1 доказано, что кольцо эндоморфизмов абелевой группы без кручения является иА-кольцом в точности тогда, когда ее кольцо квазиэндоморфизмов есть иА-кольцо. Как следствие, получено описание почти вполне разложимых Еп^-иА-групп и Еп^-иА-групп без кручения конечного ранга с кольцами эндоморфизмов, имеющих нулевой верхний нильрадикал; см. предложения 1.2.1 и 1.2.4.

В § 1.3 изучаются смешанные абелевы группы с иА-кольцами эндоморфизмов. В теореме 1.3.1 получено строение нередуцированных Еп^-иА-групп, а в теореме 1.3.3 описаны все вполне разложимые факторно делимые Еп^-иА-группы. В теореме 1.3.6 найдены редуцированные алгебраически компактные Еп^-иА-группы. Нередуцированные алгебраически компактные Еп^-иА-группы описаны в теоремах 1.3.7 - 1.3.10 в зависимости от свойств

их делимых частей.

В § 1.4 получено описание сепарабельных модулей без кручения над коммутативными областями целостности с иА-кольцами эндоморфизмов; см. теорему 1.4.1.

Глава 2 посвящена решению проблемы 30 книги [12]: исследовать изоморфизмы полугрупп эндоморфизмов абелевых групп в различных классах абелевых групп.

В § 2.1 описаны абелевы группы с неизоморфными периодическими частями, но с изоморфными полугруппами эндоморфизмов (теорема 2.1.1), что является продолжением известной теоремы Мэя и Тубасси на случай полугрупп.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Любимцев Олег Владимирович, 2023 год

Литература

[1] Аржанцев И.В. Однозначность сложения в полупростых алгебрах Ли // Успехи Матем. Наук. - 2001. - Т. 56. - № 3. - С. 155-156.

[2] Артамонова И.И. Об однозначности сложения в полукольцах // Фундаментальная и прикладная математика. - 1997. - Т. 3. - № 4. - С. 10931100.

[3] Гриншпон С.Я. О равенстве нулю групп гомоморфизмов абелевой группы // Изв. вузов. Математика. - 1998. - № 9. - С. 42-46.

[4] Давыдова О.И. Факторно делимые группы ранга 1 // Фундаментальная и прикладная математика. - 2007. - Т. 13. - № 3. - С. 25-33.

[5] Давыдова О.И. Гомоморфизмы факторно делимых групп ранга 1 // Фундаментальная и прикладная математика. - 2015. - Т. 20. - № 5. - С. 57-60.

[6] Дрозд Ю.А., Кириченко В.В. Конечномерные алгебры. - Киев: Вища школа, 1980.

[7] Дубровин Н.И. Некоммутативные кольца нормирования // Труды Моск. Матем. Общества. - 1982. - Т. 45. - С. 265-280.

[8] Елизаров В.П. О теоремах Голди // Сибирский математический журнал. - 1969. - Т. 10. - № 1. - С. 58-63.

[9] Злыднев Д.В. Кольца частных колец с большим центром // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. - 2014. - № 2. - С. 25-30.

[10] Крылов П.А., Себельдин А.М. Об определяемости абелевой группы без кручения своим кольцом эндоморфизмов // Материалы 4-й научной конференции по математике и механике. - 1974. - Т. 1. - Томск. Изд-во Томск. ун-та. - С. 117.

[11] Крылов П.А., Туганбаев А.А. Модули над областями дискретного нормирования. - М.: Факториал Пресс, 2007.

[12] Крылов П.А., Михалев А.В, Туганбаев А.А. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов. - Томск: Томский государственный университет, 2002.

[13] Михалев А.В. Изоморфизмы полугрупп эндоморфизмов модулей // Алгебра и логика. Семинар. - 1966. - Т. 5. - № 5. - С. 59-67.

[14] Михалев А.В. Изоморфизмы полугрупп эндоморфизмов модулей II // Алгебра и логика. Семинар. - 1967. - Т. 6. - № 2. - С. 35-47.

[15] Михалев А.В. Мультипликативная классификация ассоциативных колец // Математический сборник. - 1988. - Т. 135. - № 2. - С. 210-224.

[16] Михалёв А.В. Продолжение мультипликативных изоморфизмов полупервичных колец на их ортогональные пополнения // Теория Галуа, кольца, алгебраические группы и их приложения. - Сборник статей. -Тр. МИАН СССР. - 1990. - Т. 183. - Наука: Ленинградское отд., Л. - С. 145-148.

[17] Пуусемп П. Об определяемости периодической абелевой группы своей полугруппой эндоморфизмов в классе всех групп // Изв. АН Эст. ССР, Физ. Мат. - 1980. - Т. 29. - № 3. - С. 241-245.

[18] Пуусемп П. Об определяемости периодической абелевой группы своей полугруппой эндоморфизмов в классе всех периодических абелевых групп // Изв. АН Эст. ССР, Физ. Мат. - 1980. - Т. 29. - № 3. - С. 246-253.

[19] Себельдин А.М. Условия изоморфизма вполне разложимых абелевых групп без кручения с изоморфными кольцами эндоморфизмов // Математические заметки. - 1972. - Т. 11. - № 4. - С. 403-408.

[20] Себельдин А.М. Абелевы группы без кручения с изоморфными кольцами эндоморфизмов // Абелевы группы и модули. Томск. Изд-во Томск. унта. - 1979. - С. 165-170.

[21] Себельдин А.М. Об определяемости абелевых групп своими полугруппами эндоморфизмов // Абелевы группы и модули. Томск. Изд-во Томск. ун-та. - 1991. - С. 125-134.

[22] Себельдин А.М. Определяемость векторных групп полугруппами эндоморфизмов // Алгебра и логика. - 1994. - Т. 33. - № 4. - С. 422-428.

[23] Себельдин А.М. Абелевы группы с изоморфными полугруппами эндоморфизмов // Успехи Матем. Наук. - 1994. - Т. 49. - № 6. - С. 211-212.

[24] Себельдин А.М. Определяемость сепарабельных абелевых групп полугруппами эндоморфизмов // Алгебра и логика. - 1995. - Т. 34. - № 5. -С. 523-530.

[25] Супруненко Д.А., Тышкевич Р.И. Перестановочные матрицы. - Минск: Наука и техника, 1966.

[26] Туганбаев А.А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. - М.: МЦНМО, 2009.

[27] Турманов М.А. Эндочистые подмодули абелевых групп без кручения ранга 2 // Абелевы группы и модули. Томск. Изд-во Томск. ун-та.- 1990.

- С. 119-124.

[28] Фомин А.А. К теории факторно делимых групп I // Фундаментальная и прикладная математика - 2012. - Т. 17. - № 8. - С. 153-167.

[29] Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. - М.: Мир, Т. 1, 2, 1977.

[30] Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. - М.: Мир, 1974.

[31] Чередникова А.В. Кольца квазиэндоморфизмов квазиразложимых абелевых групп без кручения ранга 3 // Абелевы группы и модули. Томск. Изд-во Томск. ун-та. - 1996. - С. 224-236.

[32] Чередникова А.В. Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3 // Математические заметки. - 1998.

- Т. 63. - Вып. 5. - С. 763-773.

[33] Чермных В.В. Пучковые представления полуколец // Успехи математических наук. - 1993. - Т. 48. - Вып. 5. - С. 185-186.

[34] Albrecht, U., Breaz, S., Wickless, W. Generalized endoprimal abelian groups // Journal of Algebra and Its Applications. - 2006. - Vol.5. - № 1. - P. 1-17.

[35] Albrecht, U., Hausen, J. Nonsingular modules and R-homogeneous maps // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1995. - Vol. 123. - № 8. - P. 2381-2389.

[36] Arnold, D. Finite Rank and Torsion-free Abelian Groups and Rings. - Lecture Notes in Mathematics, Vol. 931 (Springer-Verlag, New York), 1982.

[37] Arnold, D., Murley, C. Abelian groups A such that Hom(A,-) preserves direct sums of copies of A // Pacific Journal of Mathematics. - 1975. - Vol. 56. -№ 1. - P. 7-20.

[38] Bazzoni, S., Metelli, C. On abelian torsion-free separable groups and their endomorphism rings // Symposia Mathematica. 1st. Naz. Alta Mat. - 1979.

- Francesco Severi, Roma. - P. 259-285.

[39] Beaumont, R., Pierce, R. Torsion-free rings // Illinois Journal of Mathematics. - 1961. - Vol. 5. - P. 61-98.

[40] Brown, K.A. Quotient rings of groups rings // Compositio Mathematica. -1978. - Vol. 36. - № 3. - P. 243-254.

[41] Clifford, A.H., Prieston, G.B. The Algebraic Theory of Semigroups, vol. 1. -AMS Survey No. 7, Providence, 1961.

[42] Corner, A.L.S. Every countable reduced torsion-free ring is an endomorphism ring // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1963. - Vol. 13.

- P. 687-710.

[43] Corner, A.L.S., Gobel, R. Prescribing endomorphism algebras, a unified treatmend // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1985. -Vol. 50. - № 3. - P. 447-479.

[44] Garzon, M., Zalstein, Y. On permutation properties in groups and semigroups // Semigroup Forum. - 1987. - Vol. 35. - P. 337-351.

[45] Dugas, M., Gobel, R. Every cotorsion-free algebra is an endomorphism algebra // Mathematische Zeitschrift. - 1982. - Vol. 184. - P. 451-470.

[46] Erdos, J. The theory of groups with finite classes of conjugate elements // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. - 1954. - Vol. 5. - P. 45-58.

[47] Goodearl, K.R. Ring theory: Nonsingular rings and modules. - Pure and Applied Mathematics Journal, Vol. 33, Marcel Dekker, New York, 1976.

[48] Faticoni, T. On the lattice of right ideals of the endomorphism ring of an Abelian group // Bulletin of the Australian Mathematical Society. - 1988. -Vol. 38. - № 2. - P. 273-291.

[49] Faticoni, T. Direct Sum Decompositions of Torsion-Free Finite Rank Groups.

- Taylor&Francis Group, 2007.

[50] Fomin, A.A., Wickless, W. Quotient divisible abelian groups // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1998. - Vol. 126. - № 1. - P. 45-52.

[51] Fomin, A.A. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Abelian Groups and Modules, Trends in Math., Birkhaeuser, Basel. - 1999. - P. 87-100.

[52] Fomin, A.A. Quotient divisible mixed groups // Contemporary Mathematics.

- 2001. - Vol. 273. - P. 117-128.

[53] Fuchs, L. Abelian groups. - Budapest, 1958.

[54] Fuchs, L., Salce, L. Modules over non-Noetherian domains - Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 84, 2001.

[55] Fuchs, L. Abelian groups. - Switz.: Springer International Publishing, 2015.

[56] Fuchs, P., Maxson, C.J., Pilz, G. On rings for which homogeneous maps are linear // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1991. - Vol. 112. - № 1. - P. 1-7.

[57] Hausen, J. Abelian groups whose semi-endomorphisms form a ring // Abelian groups (Curacao 1991). - New York: Dekker. - 1991. - P. 175-180.

[58] Hausen, J., Johnson, J.A. Centralizer near-rings that are rings // Journal of the Australian Mathematical Society. - 1995. - Vol. 59. - № 2. - P. 173-183.

[59] Glaz, S., Wickless, W. Regular and principal projective endomorphisms rings // Communications in Algebra. - 1994. - Vol. 2. - № 4. - P. 1161-1176.

[60] Golan, J.S. Semirings and their applications. - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht; Boston; London, 1999.

[61] Hall, M. The Theory of Groups. - Macmillan, New York, 1959.

[62] Hebisch, U., Weinert, H.J. Semirings. Algebraic theory and applications in computer science. - World Scientific Publishing. Singapore, 1998.

[63] Herstein, N., Small, L.W. Rings of quotients of group algebras // Journal of Algebra. - 1971. - Vol. 19. - № 2. - P. 153-155.

[64] Huh, C., Jang, S.H, Kim, C.O and Lee, Y. Rings whose maximal one-sided ideals are two-sided // Bull. Korean Math. Soc. - 2002. - Vol. 39. - no. 3. -P. 411-422.

[65] Jelisiejew, J. On commutativity of ideal extensions// Communications in Algebra. - Vol. 44. - № 5. - 2016. - P. 1931-1940.

[66] Johnson, R.E. Rings with unique addition // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1958. - Vol. 9. - № 1. - P. 57-61.

[67] Gobel, R., Kaarli, K., Marki, L., Wallutis, S.L. Endoprimal torsion-free separable abelian groups // Journal of Algebra and Its Applications. - 2004. -Vol. 3. - № 1. - P. 61-73.

[68] I. Kaplansky, Modules over Dedekind rings and valuation rings// Transactions of the American Mathematical Society. - 1952. - Vol. 72. -327-340.

[69] Kreuzer, A., Maxson, C.J. E-locally cyclic abelian groups and maximal near-rings of mappings // Forum Mathematicum. - 2006. - Vol. 18. - P. 107-114.

[70] Martindale, W.S. III. When are multiplicative mappings additive? // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1969. - Vol. 21. - № 3. - P. 695-698.

[71] May, W., Toubassi, E. Endomorphisms of Abelian groups and the theorem of Baer and Kaplansky // Journal of Algebra. - 1976. - Vol. 43. - № 1. - P. 1-13.

[72] Markov, V.T., Tuganbaev, A.A. Centrally essential group algebras // Journal of Algebra. - 2018. - Vol. 512. - № 15. - P. 109-118.

[73] Markov, V.T., Tuganbaev, A.A. Centrally essential rings // Discrete Mathematics and Applications. - 2019. - Vol. 29. - № 3. - P. 189-194.

[74] Markov, V.T., Tuganbaev, A.A. Rings with Polynomial Identity and Centrally Essential Rings // Beitrage zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry. - 2019. - Vol. 60. - № 4. - P. 657-661.

[75] Markov, V.T., Tuganbaev, A.A. Centrally essential rings which are not necessarily unital or associative // Discrete Mathematics and Applications. - 2019. - Vol. 29. - № 4. - P. 215-218.

[76] Markov, V.T., Tuganbaev, A.A. Rings essential over their centers // Communications in Algebra. - 2019. - Vol. 47. - № 4. - P. 1642-1649.

[77] Markov, V.T., Tuganbaev, A.A. Uniserial Artinian Centrally Essential Rings // Beitrage zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry. - 2020. - Vol. 61. - № 1. - P. 23-33.

[78] Markov, V.T., Tuganbaev, A.A. Uniserial Noetherian Centrally Essential Rings // Communications in Algebra. - 2020. - Vol. 48. - № 1. - P. 149-53.

[79] Markov, V.T., Tuganbaev, A.A. Constructions of Centrally Essential Rings // Communications in Algebra. - 2020. - Vol. 48. - № 1. - P. 198-203.

[80] Markov, V.T., Tuganbaev, A.A. Distributive noetherian centrally essential rings // Journal of Algebra and Its Applications (in press); arXiv: 1908.10034.

[81] Maxson, C.J., Smith, K.C. Simple near-ring centralizers of finite rings // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1979. - Vol. 75. - № 1. - P. 8-12.

[82] Maxson, C.J., Smith, K.C. Centralizer near-rings that are endomorphism rings // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1980. - Vol. 80. - № 2. - P. 189-195.

[83] Maxson, C.J., Smith, K.C. Centralizer near-rings determined by local rings // Houston Journal of Mathematics. - 1985. - Vol. 11. - № 3. - P. 355-366.

[84] Maxson, C.J., van der Walt, A.P.J. Centralizer near-rings over free ring modules // Journal of the Australian Mathematical Society Ser. A. - 1991. - Vol. 50. - № 2. - P. 279-296.

[85] Maxson, C.J. Homogeneous functions of modules over local rings, II // Results in Mathematics. - 1994. - Vol. 525. - 103-119.

[86] Meldrum, J.D.P. Near-rings and their links with groups. - Pitman Research Notes in Mathematics Series, Vol. 134, 1985.

[87] Van der Merwe, B. Unique addition modules // Communications in Algebra.

- 1999. - Vol. 27. - № 9. - P. 4103-4115.

[88] Van der Merwe, B. Modules for which Homogeneous Maps are Linear // Rocky Mountain Journal of Mathematics. - 1999. - Vol. 29. - № 4. - P. 1521-1530.

[89] Nelius, Chr.-F. Ringe mit eindentiger Addition. - Padeborn, 1974.

[90] Okninski J. Semigroup Algebras. - Dekker, New York and Basel, 1991.

[91] Passman, D.S. The Algebraic Structure of Group Rings. - John Wiley and Sons, New York, 1977.

[92] Pilz, G. Near-rings. - Amsterdam: American Elsevier, 1983.

[93] Pierce, R.S., Vinsonhaler, C. Realizing central division algebras // Pacific Journal of Mathematics. - 1983. - Vol. 109. - № 1. - P. 165-177.

[94] Rickart, C.E. One-to-one mappings of rings and lattices // Bulletin of the American Mathematical Society. - 1948. - Vol. 54. - № 8. - P. 758-764.

[95] Rowen, L.H. Ring Theory I. - Academic Press, New York, 1988.

[96] Sehgal, K. S. Nilpotent elements in group rings // manuscripta mathematica.

- 1975. - Vol. 15 - № 1. - P. 6-80.

[97] Stephenson, W. Unique addition rings // Canadian Journal of Mathematics.

- 1969. - Vol. 21. - № 6. - P. 1455-1463.

[98] Szele, T. Gruppentheoretische Beziehungen der Primkörper // Mat. Ainenden Airararauskirja. - 1949. - Vol. 188. - P. 167-192.

[99] Tuganbaev, A.A. Centrally Essential Rings // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2020. - Vol. 41. - № 2. - P. 136-144.

[100] Warfield, R.B. Homomorphisms and duality for torsion-free groups // Mathematische Zeitschrift. - 1968. - Vol. 107. - № 3. - P. 189-200.

[101] Zassenhaus, H. Orders as endomorphism rings of modules of the same rank// Journal of the London Mathematical Society. - 1967. - Vol. 42. -№ 1. - P. 180-182.

Работы автора по теме диссертации

[102] Любимцев, О.В. Смешанные абелевы группы с изоморфными полугруппами эндоморфизмов / О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков // Математические заметки. - 2015. - Т. 97. - № 4. - С. 556-565.

[103] Любимцев, О.В. Вполне разложимые факторно делимые абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов / О.В. Любимцев // Математические заметки. - 2015. - Т. 98. - № 1. - С. 125-133.

[104] Любимцев, О.В. Модули без кручения с UA-кольцами эндоморфизмов / О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков // Математические заметки. - 2015. -Т. 98. - № 6. - С. 898-906.

[105] Любимцев, О.В. Алгебраически компактные абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов / О.В. Любимцев // Фундаментальная и прикладная математика. - 2015. - Т. 20. - № 5. - С. 121-129.

[106] Любимцев, О.В. UA-свойства модулей над коммутативными нетеровы-ми кольцами / О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков // Изв. вузов. Математика. - 2016. - № 11. - C. 42-52.

[107] Любимцев, О.В. Нередуцированные абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов / О.В. Любимцев // Математические заметки. - 2017. - Т. 101. - № 3. - С. 425-429.

[108] Любимцев, О.В. Об определяемости вполне разложимых факторно делимых абелевых групп своими полугруппами эндоморфизмов / О.В. Любимцев // Известия вузов. Математика. - 2017. - № 10. - C. 78-82.

[109] Любимцев, О.В. Об определяемости смешанных абелевых групп своими полугруппами эндоморфизмов / О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков, В.К. Вильданов // Математические заметки. - 2018. - Т. 103. - № 3. - С. 364-371.

[110] Любимцев, О.В. Нередуцированные обобщенно эндопримальные абелевы группы / О.В. Любимцев // Известия вузов. Математика. - 2019. -№ 11. - C. 32-38.

[111] Любимцев, О.В. Об одном классе факторно делимых абелевых групп с изоморфными полугруппами эндоморфизмов / О.В. Любимцев // Фундаментальная и прикладная математика. - 2019. - Т. 22. - № 5. - С. 121-130.

[112] Любимцев, О.В. Вполне разложимые факторно делимые абелевы группы с изоморфными полугруппами эндоморфизмов / О.В. Любимцев // Математические заметки. - 2020. - Т. 108. - № 2. - С. 224-235.

[113] Любимцев, О.В. Эндоморфность абелевых групп как модулей над своими кольцами эндоморфизмов / О.В. Любимцев // Математические заметки. - 2021. - Т. 109. - № 6. - С. 872-883.

[114] Lyubimtsev, O.V. Centrally essential endomorphism rings of abelian groups / O.V. Lyubimtsev, A.A. Tuganbaev // Communications in Algebra. - 2020. - Vol. 48. - № 3. - P. 1249-1256.

[115] Lyubimtsev, O.V. Centrally essential torsion-free rings of finite rank / O.V. Lyubimtsev, A.A. Tuganbaev // Beiträge zur Algebra und Geometrie /

Contributions to Algebra and Geometry. - 2021. - Vol. 62. - № 3. - P. 615-622.

[116] Lyubimtsev, O.V. Centrally essential group algebras and classical rings of fractions / O.V. Lyubimtsev, A.A. Tuganbaev // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2021. - Vol. 42. - №. 12. - P. 2890—2894.

[117] Lyubimtsev, O.V. Centrally Essential Semirings / O.V. Lyubimtsev, A.A. Tuganbaev // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2022. - Vol. 43. - № 3. - P. 653-658.

[118] Lyubimtsev, O.V. Local Centrally Essential Subalgebras of Triangular Algebras / O.V. Lyubimtsev, A.A. Tuganbaev // Linear and Multilinear Algebra. - 2022. - Vol. 70. - № 13. - P. 2415-2424.

Прочие публикации

[119] Любимцев, О.В. Сепарабельные абелевы группы без кручения с UA-кольцами эндоморфизмов / О.В. Любимцев // Фундаментальная и прикладная математика. - 1998. - Т. 4. - № 4. - С. 1425-1428.

[120] Любимцев, О.В. Периодические абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов / О.В. Любимцев // Математические заметки. - 2001. - Т. 70. - № 5. - С. 736-741.

[121] Любимцев, О.В. Модули с однозначным сложением над кольцом Z / О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков // Абелевы группы: Труды Всероссийского симпозиума, Бийск: РИО БПГУ, 2005. - С. 28-29.

[122] Любимцев, О.В. Абелевы группы как эндоморфные модули над своим кольцом эндоморфизмов / О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков // Абелевы

группы: Труды Всероссийского симпозиума, Бийск: РИО БПГУ, 2005. -С. 54-55.

[123] Любимцев, О.В. Абелевы группы как эндоморфные модули над своим кольцом эндоморфизмов / О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков // Фундаментальная и прикладная математика. - 2007. - Т. 13. - № 1. - С. 229-233.

[124] Любимцев, О.В. Абелевы группы как UA-модули над кольцом Z / О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков // Математические заметки. - 2010. - Т. 87. -№ 3. - С. 412-416.

[125] Любимцев, О.В. Об абелевых группах без кручения с UA-кольцами эндоморфизмов / О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2011. - Т. 14. -№ 2. - С. 55-58.

[126] Любимцев, О.В. Смешанные абелевы группы с изоморфными полугруппами эндоморфизмов / О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков // Абелевы группы: материалы Всероссийского симпозиума Бийск: ФГБОУ ВПО «АГАО», 2012. - С. 38.

[127] Любимцев, О.В. Вполне разложимые факторно делимые абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов / О.В. Любимцев // Сборник тезисов международной конференции «Алгебра и математическая логика; теория и приложения». - Казань: изд-во Казан. ун-та, 2014. - С. 100-101.

[128] Любимцев, О.В. Алгебраически компактные абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов / О.В. Любимцев // Материалы Международного симпозиума «Абелевы группы», посвященного 100-летию со дня рождения Л.Я. Куликова (Москва. 2-6 ноября 2014 г.) / Отв. ред. А.В. Царев / Москва: МПГУ, 2014. - С. 49-51.

[129] Любимцев, О.В. UA-свойства модулей над коммутативными нетеровы-ми кольцами / О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков // Материалы Международного симпозиума «Абелевы группы», посвященного 100-летию со дня рождения Л.Я. Куликова (Москва. 2-6 ноября 2014 г.) / Отв. ред. А.В. Царев / Москва: МПГУ, 2014. - С. 51-53.

[130] Любимцев, О.В. Смешанные абелевы группы с изоморфными полугруппами эндоморфизмов / О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков // Материалы Международного симпозиума «Абелевы группы», посвященного 100-летию со дня рождения Л.Я. Куликова (Москва. 2-6 ноября 2014 г.) / Отв. ред. А.В. Царев / Москва: МПГУ, 2014. - С. 53-55.

[131] Любимцев, О.В. Об определяемости вполне разложимых факторно делимых абелевых групп своими полугруппами эндоморфизмов / О.В. Любимцев // Математика и информатика: Материалы Международной конференции (Москва. 14 - 18 марта 2016 г.) /Отв. ред. Крупицын Е.С./ -Москва: МПГУ, 2016. - С. 42-45.

[132] Любимцев, О.В. Нередуцированные обобщенно эндопримальные абелевы группы / О.В. Любимцев // Международная алгебраическая конференция, посвященная 110-летию со дня рождения профессора А.Г. Ку-роша. Тезисы докладов. М: Издательство МГУ, 2018. - С. 128-129.

[133] Любимцев, О.В. Определяемость смешанных абелевых групп своими полугруппами эндоморфизмов / О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков, В.К. Вильданов // Международная алгебраическая конференция, посвященная 110-летию со дня рождения профессора А.Г. Куроша. Тезисы докладов. М: Издательство МГУ, 2018. - С. 60-61.

[134] Любимцев, О.В. Определяемость вполне разложимых факторно делимых абелевых групп своими полугруппами эндоморфизмов / О.В. Лю-

бимцев // Материалы конференции "Алгебра и математическая логика: теория и приложения"(г. Казань, 24-28 июня 2019 г.). - Казань: КФУ. -С. 139-141.

[135] Любимцев, О.В. О центрально существенных кольцах / О.В. Любимцев, А.А. Туганбаев // Сборник трудов международной конференции по алгебре, анализу и геометрии (г. Казань, 22-28 августа 2021 г.). - Казань: КФУ. - С. 95-97.

[136] Любимцев, О.В. О центрально существенных полукольцах / О.В. Любимцев, А.А. Туганбаев // Сборник трудов международной конференции «Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии» (г. Нижний Новгород, ННГУ, 22-23 ноября 2021 г.)- Нижний Новгород: НН-ГУ. - С. 212-216.

[137] Любимцев, О.В. Центрально существенные полугрупповые алгебры / О.В. Любимцев, А.А. Туганбаев // Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: современные проблемы, приложения и проблемы истории: материалы XXI Международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения А. А Карацубы (г. Тула, 17-21 мая 2022 г.) - Тула: Тул. гос. пед. ун-т им. Л. Н. Толстого. - С. 133-135.

[138] Любимцев, О.В. Об идеалах центрально существенных колец / О.В. Любимцев, А.А. Туганбаев // Труды XXII международной конференции «Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии» (г. Нижний Новгород, ННГУ, 14-17 ноября 2022 г.)- Нижний Новгород: ННГУ. - С. 67-68.