Определяемость абелевых групп группами эндоморфизмов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Коленова, Елена Михайловна

• Коленова, Елена Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коленова, Елена Михайловна

ВВЕДЕНИЕ.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ

ИЗВЕСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

ГЛАВА 1.

ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ СВОЕЙ ГРУППЕ

ЭНДОМОРФИЗМОВ.

§ 1. Е+-группы в некоторых классах абелевых групп.

§ 2. EndE+-группы в некоторых классах абелевых групп.

§ 3. End-группы в некоторых классах абелевых групп.

ГЛАВА 2.

ОБ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ EndE'-ГРУПП СВОИМИ ГРУППАМИ

ЭНДОМОРФИЗМОВ.

§ 1. Об определяемости периодической EndE+-rpynnbi своей группой эндоморфизмов.

§ 2. Об определяемости нередуцированной EndE+-rpynm>i своей группой эндоморфизмов.

§ 3. Об определяемости EndE+-rpyim без кручения своими группами эндоморфизмов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Определяемость абелевых групп группами эндоморфизмов»

Теория абелевых групп является одним из важных направлений современной алгебры. Все возрастающий интерес к абелевым группам понятен: теория абелевых групп тесно переплетается с теориями модулей, колец, множеств, чисел. С одной стороны, теория абелевых групп, являясь частью теории модулей, использует ее идеи и методы, с другой стороны, она - один из основных побудителей новых исследований в теории модулей (см. [18]).

Начало теории абелевых групп положили работы JI.C. Понтрягина [24], А.И.Мальцева [16], А.Г. Куроша [15], Д.Дэрри [40], Л.Я.Куликова [5]—[13] и др. На становление современной теории абелевых групп решающее влияние оказала монография JI. Фукса [41]. Являясь своеобразной энциклопедией этой теории, эта книга, кроме того, содержит большое число проблем, с решением которых связана деятельность многих специалистов и по сей день. Бурное развитие теории модулей и проникновение в математику теоретико-категорного мышления, последовавшие за появлением монографии Фукса, нашли глубокое отражение в теории абелевых групп. Эта тенденция привела к появлению, по существу, новой книги JI. Фукса [36], [37]. Из современных монографий следует отметить книгу П.А. Крылова, А.В. Михалева и А.А. Туганбаева [4], в которой представлены все основные направления теории колец эндоморфизмов и отражены как ранние, так и полученные в последние годы результаты о связях между абелевой группой и ее кольцом эндоморфизмов.

Именно поиск точных соотношений между свойствами группы и свойствами ее групп гомоморфизмов, группы и кольца эндоморфизмов явился, своего рода, катализатором в развитии современной теории абелевых групп. Тот факт, что две периодические абелевы группы с изоморфными кольцами эндоморфизмов изоморфны, был установлен Бэром в 1943 году [38] в случае ограниченных групп и доказан Капланским в 1952 году [42] в общем случае. Этот результат Бэра-Капланского послужил началом многочисленных исследований в этом направлении.

Выяснение условий, при которых группа (кольцо) всех эндоморфизмов данной абелевой группы определяет ее строение, является важной задачей современной теории абелевых групп (см. [41], проблемы 41,43; [36], проблема 31). Одним из аналогов этих известных проблем, поставленных JI. Фуксом, является задача определяемое™ абелевой группы группами гомоморфизмов, группой (кольцом) эндоморфизмов. Здесь и далее будем придерживаться определения из обзора А.В. Михалева, и А.П. Мишиной [17, с.347]: говорят, что группа Л определяется своей группой (кольцом) эндоморфизмов в классе групп X, если из End(A)= End(B) (Е(А)=Е(В)), где ВеХ, следует, что А=В. Если АиВ - р-группы с изоморфными группами эндоморфизмов, то А и В могут быть не изоморфными [14, §Д.34]. Армстронг [18, с.41] указал условия, при которых изоморфизм групп эндоморфизмов End(A) и End(B) влечет изоморфизм групп А и В, но только для случая, когда А иВ- прямые суммы циклическихр-групп. С.Я. Гриншпон [1] при предположении о том, что справедлива обобщенная гипотеза континуума, получил необходимые и достаточные условия, при которых изоморфизм групп эндоморфизмов End(A) и End(B) влечет изоморфизм групп А и В, для произвольных р-групп А, В (если А -редуцированная /7-группа, то можно заранее не требовать, чтобы группа В была /нгруппой). См. также [2]. A.M. Себельдин нашел ряд условий, при которых в некоторых классах абелевых групп существуют неизоморфные абелевы группы с изоморфными группами эндоморфизмов [25], [28]—[32]. Корнер [18] показал, что существуют группы без кручения, группы эндоморфизмов которых изоморфны, а кольца эндоморфизмов не изоморфны. Нужно отметить, что при решении вопроса об определяемости абелевой группы группами гомоморфизмов (эндоморфизмов) важно знать строение группы гомоморфизмов одной абелевой группы в другую.

Алгебраическое строение группы гомоморфизмов представляет как самостоятельный интерес, так и позволяет решать задачи теории групп, колец, модулей. Однако точное строение группы гомоморфизмов известно лишь в некоторых случаях (см. [36], §43, §46, §47). Строение группы Нот(А,В) для некоторых частных случаев выясняется в работах Пирса [43], Гроссе [19, с. 115116], ван Ливена [19, с.183], Мадера [20, с.291], Шульца [20, с.344], Уорфилда [20, с.375], Эды [21,с.196], Крандика [22,с.301], Крылова П.А. [3].

Задача о строении группы гомоморфизмов Нот(А,В) ставилась в самых различных видах. Рассматривался вопрос о том, когда заданная группа изоморфна некоторой группе Нот(А,В) [19, с.282]. В частности, ставился вопрос о том, какому классу групп принадлежит группа Нот(А,В), если А и В взяты из заданных классов групп, или когда группа Нот(А,В) изоморфна группе А (группе В). В такой постановке задача рассматривалась в работах [19, с. 114], [20, с.121], [26], [27], [34], [35], [45].

При определении строения группы эндоморфизмов абелевой группы важной задачей является изучение связей между абелевой группой и ее группой эндоморфизмов. Естественным образом возникает вопрос, при каких условиях абелева группа А и группа всех ее эндоморфизмов End(A) изоморфны (см. [36], проблема 31; [41], проблемы 40,45). Для некоторых классов абелевых групп эта задача решена A.M. Себельдиным [26], [27] и Ф. Шульцем [44].

Настоящая работа посвящена изучению связей между абелевой группой и ее группой эндоморфизмов, а также близким вопросам.

Целью работы является исследование вопросов об изоморфизме абелевой группы своей группе эндоморфизмов, об изоморфизме абелевых групп с изоморфными группами эндоморфизмов для некоторых известных классов абелевых групп.

Научная новизна и практическая ценность: все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие:

1. Решена задача об изоморфизме между абелевой группой А и ее группой эндоморфизмов End(A) (такую группу будем называть Е*-группой) в некоторых классах абелевых групп.

2. Получены необходимые и достаточные условия на абелеву группу А, при которых изоморфны группы End(A) и End(End(A)) (такую группу будем называть EndE*-группой).

3. В некоторых известных классах абелевых групп найдены такие абелевы группы А, что группы End(A) и End(End(A)) изоморфны, а группы А и End(A) не изоморфны (такие группы будем называть End-группами).

4. Решена задача определяемое™ абелевой EndE*-группы своей группой эндоморфизмов в некоторых классах абелевых групп.

Работа имеет теоретическое значение. Результаты данной работы могут быть использованы при изучении групп гомоморфизмов, групп эндоморфизмов абелевых групп и модулей, могут применяться при решении аналогичных задач в теории групп, колец, модулей.

Основные результаты диссертации докладывались на VIII, IX, X Нижегородских сессиях молодых ученых (г. Саров, 2003г, 2004г, 2005г); на алгебраических семинарах НГПУ, ННГУ, МПГУ, на Всероссийском симпозиуме «Абелевы группы» (г. Бийск, 2005г, 2006г) и содержатся в работах [46]-[53].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, Анатолию Михайловичу Себельдину, за внимание к работе, советы и указания.

Содержание диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, включающих шесть параграфов, и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коленова, Елена Михайловна, 2006 год

1. Гриншпон С.Я. Примарные абелевы группы с изоморфными группами эндоморфизмов//Математ. заметки. -1973. -Т.14. -вып.5. -С. 733-741

2. Гриншпон С.Я., Себельдин A.M. Определяемость периодических абелевых групп своими группами эндоморфизмов//Матем. заметки. -1995. -Т.57. -N.5. -С. 663

3. Крылов П.А. Группа гомоморфизмов в группу без кручения ранга 1// Абелевы группы и модули. -Томск. -1979. -С.104-121

4. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов. -Томск. -2002

5. Куликов Л.Я. Группы расширений абелевых групп// Труды 4-го Всесоюзного математического съезда. -1961. -Т.2. -С. 9-11

6. Куликов Л.Я. К теории абелевых групп произвольной мощности// Математич. сб. -1941. -Т.9. -С. 165-182

7. Куликов Л.Я. К теории абелевых групп произвольной мощности// Математич. сб. -1945. Т. 16. -С. 129-162

8. Куликов Л.Я. О прямых разложениях групп//Украинский математический журнал. -1952. -Т.4. -С. 230-275

9. Куликов Л.Я. Обобщенные примарные группы//Труды Моск. Математич. общества. -1952. -Т.1. -С. 247-326

10. Куликов JI.Я. Обобщенные примарные группы//Труды Моск. Математич. общества. -1953. -Т.2. -С. 85-176

11. Куликов Л.Я. Строение группы абелевых расширений произвольной абелевой группы с помощью периодической// УМН. -1964. Т. 19. -№2. -С. 228

12. Куликов Л.Я. Универсально полные абелевы групп//Труды 3-го Всесоюзного математического съезда. -1956. -Т.1. -С. 26-28

13. Куликов Л.Я. Условия расщепляемости смешанных абелевых групп// УМН. -1958. -Т. 13. -№3. -С. 247

14. Курош А.Г. Теория групп, 3-е издание. М.: Наука. -1967

15. Курош А.Г. Primitive torsionfreie abelschen Gruppen vom endlichen Range// Ann. of Math. -1937. -V.38. -P. 175-203

16. Мальцев А.И. Абелевы группы конечного ранга без кручения// Математич. сб. -1938. -Т.4. -№4. -С. 45-68

17. Михалев А.В., Мишина А.П. Бесконечные абелевы группы: методы и результаты// Фундаментальная и прикладная математика. -1995. -1. -№2. -С. 319-375

18. Мишина А.П. Абелевы группы//Алгебра. Топология. Геометрия. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). -М. -1967. -С. 9-44

19. Мишина А.П. Абелевы группы//Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 10 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР).-М. -1972. -С. 5-45

20. Мишина А.П. Абелевы группы//Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 17 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР).-М. -1979. -С. 3-63

21. Мишина А.П. Абелевы группы//Алгебра. Топология. Геометрия. Т.23 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР).-М. -1985.-С. 51-118

22. Мишина А.П. Абелевы группы// Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Т. 10. Алгебра-2. -М. -ВИНИТИ

23. Мишина А.П., Скорняков JI.А. Абелевы группы и модули. -М. -1969

24. Понтрягин JI.C. The theory of topological commutative groups//Ann. of Math. -1934. -V.35. -P. 361-388

25. Себельдин A.M. Вполне разложимые абелевы группы без кручения с изоморфными группами эндоморфизмов// Сборник аспирантских работ. -Томск. -1976. -С. 78-85

26. Себельдин A.M. Группы гомоморфизмов вполне разложимых абелевых групп без кручения// Известия вузов. Математика. -1973. -№7(134). -С. 77-84

27. Себельдин A.M. О группах гомоморфизмов абелевых групп без кручения// Группы и модули. -Томск. -1976. -С. 70-77.

28. Себельдин A.M. Об определяемости абелевых групп без кручения своими кольцами и группами эндоморфизмов//Группы и модули. -Томск. -1976. -С. 7886

29. Себельдин A.M. Определяемость алгебраически компактной абелевой группы без кручения своей группой эндоморфизмов//Материалы пятой научной конференции по математике и механике. -Томск: -1975. -С. 84-85

30. Себельдин A.M. Определяемость нередуцированных абелевых групп без кручения своими группами эндоморфизмов// Абелевы группы и модули. -Томск. -1980. -С. 102-108

31. Себельдин A.M. Определяемость редуцированных абелевых групп без кручения своими кольцами и группами эндоморфизмов// Вестник Моск. ун-та. -1974. -Т.6. -С. 134

32. Себельдин A.M. Полные прямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1 и изоморфными группами или кольцами эндоморфизмов// Абелевы группы и модули. -Томск. -1979. -С. 159-164

33. Себельдин A.M. Isomorphisme naturel des groupes des homomorphismes des groupes abeliens// Ann. de L'IPGANC. -Conakry. -1982. -V.VIII, Ser.A. -P. 155-158.

34. Себельдин A.M., Антонова Н.Ю. Об изоморфизме группы гомоморфизмов двух абелевых групп без кручения одной из этих групп// Известия вузов. Математика. -1995. -№.2(393). -С. 53-59

35. Себельдин A.M., Антонова Н.Ю. Об условиях изоморфизма Нот(А,В)=ВП Абелевы группы и модули. -Томск. -1994. -С. 204-208

36. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы. -М. -1974. -Т. 1

37. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы. -М. -1974. -Т.2

38. BaerR. Automorphism rings of primary abelian operator groups// Ann. Math. -44(1943). -P. 192-227

39. Baer R. Types of elements and characteristic subgroups of abelian groups// Proc. London Math. Soc. -39. -1935. P. 481514

40. DerryD. Uber eine Klasse von abelschen Gruppen// Proc. London Math. Soc. -1937. -V.43. -P. 490-506

41. Fuchs L. Abelian groups. Budapest, -1958

42. Kaplansky I. Some results on abelian groups// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. -38(1952). -P. 538-540

43. Pierce R.S. Homomorphisms of primary abelian groups// Topics in Abelian Groups. -Chicago, Illinois. -1963. P. 215-310

44. Schultz P. Periodic Homomorphism Sequences of Abelian Groups//Arch. Math. -V.XXI. -1970. -P. 132-135

45. Warfield R.B.Jr. Homomorphism and duality for torsion-free groups// Math.Z. -V.107. №3. -1968. -P. 189-200

46. Коленова E.M. Об изоморфизме абелевой группы своей группе эндоморфизмов// Математические науки: Тезисы докладов на VIII Нижегородской сессии молодых ученых. -Саров. -2003. -С. 29-30

47. Коленова Е.М. Условия, при которых абелева группа изоморфна своей группе эндоморфизмов//Математические науки: Тезисы докладов на IX Нижегородской сессии молодых ученых. -Саров. -2004. -С. 46

48. Коленова Е.М. Условия изоморфизма абелевой группы и ее группы эндоморфизмов// Математика в высшем образовании: Тезисы докладов 12-й международной конференции. -Чебоксары. -2004. -С. 144

49. Коленова Е.М. Абелевы ZsW-группы// Математические науки: Тезисы докладов на X Нижегородской сессии молодых ученых. -Саров. -2005. -С. 18-19

50. Коленова Е.М. Критерии изоморфизма абелевой группы и ее группы эндоморфизмов//Математика в образовании: 200 лет высшему математическому образованию России: сборник статей. -Чебоксары. -2005. -С. 211-216

51. Коленова Е.М. К проблеме 31 J1.Фукса//Абелевы группы: Труды всероссийского симпозиума-Бийск. -2005. -С. 2526

52. Коленова Е.М. Об определяемости абелевых EndE?-групп своими группами эндоморфизмов!I Абелевы группы: Труды всероссийского симпозиума-Бийск. —2006. — С. 28-29

53. Коленова Е.М., Себельдин A.M. Об изоморфности абелевой группы своей группе эндоморфизмов!! Математ. заметки. -2006. Т. 80-вып. 4- С. 536-545