Определение механических характеристик хрупких пористых материалов на основе численного моделирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Зимина Валентина Алексеевна

• Зимина Валентина Алексеевна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Зимина Валентина Алексеевна

Введение

Глава 1 Хрупкие пористые материалы: современное состояние исследований

1.1 Характеристика хрупких пористых материалов. Основные свойства и методы исследования пористых структур

1.2 Описание неупругой деформации и разрушения пористых хрупких материалов: подходы и модели

1.3 Методы и подходы для прогнозирования эффективных характеристик пористых материалов

1.4 Заключение по первой главе

Глава 2 Математическая постановка и метод численного моделирования

2.1 Система уравнений с начальными и граничными условиями

2.2 Численный метод решения

2.3 Верификация компьютерных моделей. Тестовые расчеты

2.4 Методика расчета усредненных модулей упругости

2.5 Заключение по второй главе

Глава 3 Экспериментальные и численные исследования механического поведения пористой корундовой керамики

3.1 Экспериментальное исследование структуры и свойств пористой корундовой керамики

3.2 Моделирование механического поведения керамики с применением модели упруго-хрупкой повреждаемой среды

3.3 Метод экспериментально-численного расчета механических характеристик хрупких пористых материалов

3.4 Многоуровневое моделирование механического поведения керамики с применением модели упругопластической среды Друкера-Прагера

3.5 Заключение по третьей главе

Заключение

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Определение механических характеристик хрупких пористых материалов на основе численного моделирования»

Актуальность темы исследования

В настоящее время, благодаря своим свойствам хрупкие пористые материалы, такие как горные породы, бетоны и керамики, находят широкое применение практически во всех сферах деятельности человека. Особый интерес из этого класса хрупких материалов вызывают керамические материалы, которые отличаются привлекательными свойствами, включая механическую прочность, химическую стабильность, высокую проницаемость, низкую теплопроводность, малый вес и т.п. За последние десятилетия значимость пористых керамик возросла, благодаря их многочисленным применениям в химической, автомобильной, авиакосмической, медицинской и других отраслях промышленности.

Свойства этих материалов определяются их внутренней структурой, важнейшей составляющей которой является пористость, которая играет важную роль в практических приложениях керамических изделий. В зависимости от сферы применения и условий эксплуатации она может оказывать как положительное, так и отрицательное влияние на свойства и особенности механического поведения пористых материалов. Например, наличие пористости в структуре керамики позволяет уменьшить ее вес, повысить трещиностойкость и термостойкость, улучшить ее фильтрационные свойства. С другой стороны рост пористости приводит к потере прочности и нежелательному поглощению жидкости. Поэтому изучение влияния внутренней структуры хрупких пористых материалов на их физико-механические свойства является актуальной задачей для исследователей и инженеров.

Одной из важнейших задач механики деформируемого твердого тела является разработка методов прогнозирования механических свойств материалов и их механического поведения в широких условиях воздействий. В случае пористых материалов такой прогноз необходимо производить с учетом особенностей их поровой структуры. Для решения этой задачи применяются

аналитические, численные и комплексные экспериментально-численные исследования. Перспективным подходом для прогнозирования механического поведения хрупких пористых материалов с учетом их структуры в широких диапазонах внешних воздействий является многоуровневое компьютерное моделирование. Решение этой задачи позволит определять упругие и прочностные характеристики пористых материалов в зависимости от особенностей их поровой структуры без проведения испытаний на разрушение, и использовать эти данные в дальнейшем для инженерных расчетов изделий и конструкций из таких материалов, создавать изделия с оптимальными прочностными свойствами.

Степень разработанности темы исследования

Изучением процессов деформирования и разрушения, а также эффективных механических свойств хрупких пористых материалов, в частности керамик, занимаются во многих научных группах. В этих направлениях можно отметить вклад следующих исследователей: Кульков С. Н., Буякова С. П., Смолин А. Ю., Смолин И. Ю., Макаров П. В., Скрипняк В. А., Балохонов Р. Р., Романова В. А., Комлев В. С., Хасанов О. Л., Качанов М. Л., Севостьянов И. Б., Giraud A., Meille S., Ohji T., Pabst W., Bruno G., Garboczi E., Le Corre V., Sadowski T. и др. Причем, можно отметить, что в последнее время растет доля численных исследований в этом направлении, что обусловлено не только возросшими возможностями вычислительной техники, но и совершенствованием математических моделей для описания процессов деформирования и разрушения хрупких материалов.

Для моделирования механического поведения хрупких пористых материалов одной из важных задач является проблема формулировки определяющих (физических) соотношений. Формулировка связи напряжений с деформациями в области упругости для хрупких пористых материалов не вызывает трудностей в силу небольших значений упругих деформаций. Она является линейной, но сложной задачей является определение упругих модулей, которые зависят не только от степени пористости, но и от других параметров

поровой структуры (размер, форма пор, расстояние между порами и т. д.). Что касается описания неупругой (необратимой) деформации и разрушения, то здесь можно отметить множество различных моделей. Можно выделить модели, основанные на теории пластического течения (разработка двух и трехпараметрических, а также эволюционных функций текучести и пластических потенциалов) и модели континуальной механики повреждений. Однако, несмотря на большое количество моделей, при численном решении прикладных задач по изучению поведения хрупких пористых материалов в сложных условиях нагружения, остается проблема выбора модели, наиболее точно описывающей неупругое поведение этих материалов. При практическом применении разработанных моделей важной задачей является определение их параметров. Для этого используются как экспериментальные методы, так и многоуровневое моделирование.

В последние десятилетия одним из бурно развивающихся направлений современного материаловедения и вычислительной механики в области исследования поведения перспективных конструкционных и функциональных материалов является многоуровневый подход. В становлении и развитии этого направления огромный вклад внесли представители томской научной школы академика В. Е. Панина, чьи работы в области физической мезомеханики материалов широко известны в России и за рубежом.

Изучение особенностей деформирования и разрушения материалов с иерархической структурой на мезоуровне позволяет глубже понять физические механизмы прочности таких материалов и управлять свойствами вновь создаваемых материалов. Для хрупких пористых материалов процессы деформирования и разрушения на мезоуровне недостаточно подробно изучены.

Развитие моделей, методов и подходов многоуровневого моделирования процессов деформации и разрушения для иерархически организованных материалов, в том числе пористых, а также методов расчета или прогноза их эффективных механических характеристик представляет актуальную задачу механики деформируемого твердого тела.

Цель и задачи

В связи с вышеизложенным была сформулирована цель настоящей работы: разработать экспериментально-численный метод расчета эффективных механических характеристик хрупких пористых материалов и исследовать закономерности их механического поведения на примере пористой керамики.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1) Разработать численные модели хрупких пористых материалов, включающие компьютерные геометрические модели поровой структуры, физико-математические модели среды и их компьютерную реализацию.

2) На основе численного моделирования механического поведения мезообъемов пористой керамики при одноосном растяжении и сжатии установить закономерности ее деформирования и разрушения.

3) Разработать метод расчета эффективных механических характеристик хрупких пористых материалов на основе экспериментальных данных об их поровой структуре и численных исследований их механического поведения.

4) Апробировать разработанный метод на пористой керамике, используя РЭМ-изображения ее структуры, результаты численного моделирования одноосного растяжения и сжатия ее мезообъемов, моделирования трехточечного изгиба образца керамики и результаты экспериментальных исследований.

Научная новизна диссертации заключается в следующем: 1) предложен новый вариант определяющих соотношений повреждаемых сред для описания особенностей разрушения упруго-хрупких материалов в зависимости от вида напряженного состояния; 2) разработан и апробирован новый метод расчета эффективных механических характеристик изотропных хрупких пористых материалов на основе экспериментальных данных об их поровой структуре и моделирования механического отклика мезообъемов для случая плоского деформированного состояния в условиях одноосного растяжения и сжатия; 3) определены эффективные механические характеристики для корундовой керамики, исследуемой в диссертационной работе; 4) установлены

закономерности изменения статистического распределения параметров напряженного состояния в процессе деформирования и разрушения мезообъемов пористых корундовых керамик.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации имеют фундаментальный характер и могут быть использованы для дальнейших исследований хрупких пористых материалов. Теоретическую значимость имеют разработанные метод и модели, которые могут найти применение в дальнейшем исследовании пористых керамик и других изотропных хрупких пористых материалов. Полученные результаты могут быть использованы при практическом конструировании и инженерных расчетах изделий из таких материалов. Полученные в ходе выполнения диссертационной работы результаты могут использоваться в специальных курсах по механике деформируемого твердого тела и вычислительной механике при подготовке магистрантов по направлению 15.04.03 - Прикладная механика в Томском государственном университете и других вузах.

Результаты работы получены в рамках проектов Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук Российской Федерации на 2013-2020 годы: проект Ш.23.2.3. «Разработка научных основ синтеза и исследование свойств иерархически организованных хрупких пористых материалов (2016 г.)», проект Ш.23.2.3. «Разработка научных основ синтеза и исследование свойств материалов с иерархически организованной внутренней структурой на основе оксидов, боридов, карбидов (2017-2020 гг.)», проект Ш.23.2.12. «Многокомпонентные материалы и структуры, в том числе синтезируемые аддитивными методами: разработка связанных термо-механо-химических моделей, изучение функциональных свойств и особенностей механического поведения при интенсивных внешних воздействиях (20182020 гг.)»; в рамках Программы повышения конкурентоспособности Национального исследовательского Томского государственного университета (ведущих университетов Российской Федерации), проект № 8.2.12.2017 «Развитие моделей и методов многоуровневого динамического моделирования материалов и

элементов конструкций с учетом структуры материалов и контактных взаимодействий».

Методология и методы исследования. В соответствии с поставленными задачами в работе использовался комплекс экспериментальных и компьютерных методов исследований. Выполнение экспериментальных исследований механического поведения керамических образцов в условиях трехточечного изгиба было произведено на испытательной машине «Instron-1185». Для исследования внутренней структуры образцов был использован электронный сканирующий микроскоп Vega 3 LMU. Для анализа и обработки изображений внутренней структуры образцов, а также для составления их компьютерных геометрических моделей на мезоуровне использовалась программа с открытым исходным кодом ImageJ.

Численное исследование деформирования и разрушения керамических материалов на мезоуровне и макроуровне выполнено с использованием конечно-разностного метода М.Л. Уилкинса. Для обработки результатов моделирования применялись следующие свободно распространяемые программы ParaView, Visit, Gnuplot и GNU Image Manipulation Program (GIMP).

На защиту выносятся следующие положения: 1) Модель упруго-хрупкой повреждаемой среды, отличающаяся тем, что позволяет учесть влияние вида напряженного состояния на накопление повреждений и деградацию упругих свойств с накоплением повреждений при моделировании механического поведения хрупких пористых материалов;

2) Метод расчета эффективных механических характеристик (упругих модулей, пределов прочности при растяжении и сжатии, параметров модели Друкера-Прагера) изотропных хрупких пористых материалов по результатам численного моделирования одноосного растяжения и сжатия в условиях плоского деформированного состояния их мезообъемов на основе реальных изображений их поровой структуры;

3) Результаты экспериментально-численных исследований на основе разработанного метода расчета эффективных механических характеристик для

изотропных хрупких пористых материалов, позволившие определить эффективные значения модуля Юнга корундовой керамики с точностью до 8 % и предела прочности при изгибе с точностью до 1,5 %.

Степень достоверности результатов. Достоверность полученных результатов обеспечивается применением проверенного современного оборудования и экспериментальных методов, использованием апробированных численных методов, математической корректностью постановки задачи, проведением тестовых расчетов для верификации моделей и компьютерной программы, согласованностью полученных численных результатов с результатами экспериментальных исследований, а также с результатами, опубликованными в научных источниках.

Апробация результатов. Основные результаты и положения диссертационной работы были представлены на следующих научных конференциях и семинарах: Международной научной молодежной конференции «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики» (г. Томск, 2017 г., 2018 г.), Международной научно-технической молодежной конференции "Перспективные материалы конструкционного и медицинского назначения" (г. Томск, 2018 г.), Международной конференции «Перспективные материалы с иерархической структурой для новых технологий и надежных конструкций» (г. Томск, 2018 г., 2020 г.), Международной научной конференции студентов и молодых ученых «Молодежь, наука, технологии: новые идеи и перспективы» (г. Томск, 2017 г.), Международной конференции «Механика, ресурс и диагностика материалов и конструкций» (г. Екатеринбург, 2018 г.), International Conference on Competitive Materials and Technology Processes (Miskolc-Lillafüred, Hungary, 2018 г.), Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, Крым, 2019 г.), International Conference on Rheology and Modeling of Materials (Miskolc-Lillafüred, Hungary, 2019 г.), International scientific Workshop «Functional ceramic composite materials» (Miskolc, Hungary, 2019 г.),

Международной конференции по Прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли (г. Алушта, Крым, 2020 г.).

Публикации по теме диссертации. Результаты диссертационной работы отражены в 8 публикациях в изданиях, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (из них 2 статьи в российском научном журнале из Перечня ВАК, 1 статья в зарубежном научном журнале, входящем в Scopus и Web of Science, 5 статей в сборниках материалов конференций, опубликованных в научных изданиях, входящих в Scopus и Web of Science).

Личный вклад автора. Личный вклад автора состоит в написании литературного обзора по теме диссертации, модификации расчетной программы, участии в проведении экспериментов, самостоятельной обработке результатов экспериментов, составлении компьютерных моделей мезообъемов образцов, проведении численных расчётов, анализе полученных результатов, в написании статей по теме диссертации. Постановка цели и задач исследования, а также формулировка выводов и положений, выносимых на защиту, проводились совместно с научным руководителем. Все результаты, представленные в диссертации, получены либо самим автором, либо при его непосредственном участии.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 141 странице, в том числе содержит 39 иллюстраций, 8 таблиц, список литературы представлен 180 источниками.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы и степень ее разработанности, сформулированы цель и задачи работы, показана научная новизна результатов, теоретическая и практическая значимость работы, связь с научными направлениями, перечислены методы исследования, сформулированы основные положения, выносимые на защиту. Приведена информация о степени достоверности и об апробации результатов, о личном

вкладе автора. Представлено краткое изложение диссертационной работы по главам.

Первая глава имеет обзорный характер. В ней рассмотрены основные свойства хрупких пористых материалов, сферы их применения, а также основные характеристики пористой структуры. Описаны основные экспериментальные методы исследования пористых структур и способы их количественного описания. Также в ней содержится обзор как классических, так и современных моделей неупругого деформирования и процессов разрушения хрупких материалов, в том числе и пористых керамик. Представлено современное состояние исследований, посвященных проблемам описания механического поведения пористых хрупких материалов (неупругое деформирование, накопление повреждений, разрушение), а также описаны методы и подходы для прогнозирования их эффективных свойств.

Во второй главе представлена общая математическая постановка, сформулированы применяемые конститутивные модели, описан численный метод решения и приведены тестовые расчеты для верификации используемого программного комплекса и реализации используемых моделей в нем. В конце главы представлена методика усреднения упругих модулей для случая одноосного нагружения в условиях плоской деформации.

Третья глава содержит описание предложенного метода экспериментально-численного расчета механических характеристик хрупких пористых материалов, а также результаты экспериментальных и численных исследований структуры, свойств и механического поведения хрупких пористых керамик.

В диссертации принята двойная нумерация рисунков и формул. Первая цифра показывает номер главы, вторая - порядковый номер рисунка, формулы.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. Смолину Игорю Юрьевичу за полезные советы и обсуждение результатов, постоянную поддержку и внимание к работе, помощь в написании диссертации; сотрудникам лаборатории механики структурно-неоднородных сред

ИФПМ СО РАН к.ф.-м.н. Кулькову Алексею Сергеевичу за важные экспериментальные данные, использованные в работе и к.ф.-м.н. Еремину Михаилу Олеговичу за проведение совместных численных исследований.

ГЛАВА 1 ХРУПКИЕ ПОРИСТЫЕ МАТЕРИАЛЫ: СОВРЕМЕННОЕ

СОСТОЯНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

1.1 Характеристика хрупких пористых материалов. Основные свойства и методы исследования пористых структур

В настоящее время хрупкие пористые материалы находят широкое применение практически во всех сферах деятельности человека. К таким сферам можно отнести промышленное строительство, машиностроение, химическую промышленность (фильтры, катализаторы) и, конечно же, медицину (протезы и импланты). Хрупкие пористые материалы можно встретить как в природе (геоматериалы), так и искусственно создать (биомедицинская керамика). Среди хрупких материалов можно выделить керамические материалы, которые обладают рядом преимуществ перед другими хрупкими материалами, благодаря своим уникальным свойствам [1-6]. В зависимости от способа изготовления и последующего применения керамические изделия обладают различными свойствами. Среди них можно отметить цвет, прозрачность, прочность, термостойкость, химическая стойкость, электропроводимость, плотность, коэффициент термического расширения, пьезоэлектрические, магнитные и сверхпроводящие свойства и т.д.

Соответственно в зависимости от свойств керамику используют в различных сферах применения. Так, например, изделия из пористой керамики считаются хорошими теплоизоляторами. В электро- и радиотехнике керамические материалы используются в качестве подложек электронных микросхем, изоляторов, изоляционных трубок и подложек каркасов нагревателей радиоламп. Благодаря своим высоким механическим свойствам, изделия из керамических материалов успешно применяются в качестве режущих инструментов для обработки металлов. В машиностроении используют детали станков и машин, изготовленные из керамических материалов, а также поршни насосов. В авиакосмической и автомобильной промышленностях керамические материалы

часто используется в качестве сенсорных мембран, сварочных штифтов, подшипников, уплотнительных керамических колец для крутящихся валов автомобилей [3-5].

В химической промышленности из пористой керамики изготавливают катализаторы, фильтры. Керамические фильтры в настоящее время широко используются в дизельных двигателях для улавливания твердых частиц в потоке выхлопных газов, а также они применяются в качестве фильтров для очистки воды и удаления бактерий и суспензии из сточных вод [6-13]. Биосовместимая конструкционная керамика применяется для изготовления эндопротезов (тазобедренных и коленных суставов) и зубных имплантов [7, 14-16].

В последние десятилетия огромные усилия исследователей направлены на получение пористых керамик с определенными размерами, количеством, формами, расположением и связностью пор, которые привели бы к улучшенным или уникальным свойствам и функциям пористой керамики [6-11]. В настоящее время наиболее распространенными считаются такие способы получения пористых керамик как: метод выгорающих добавок, метод вспенивания, метод химического порообразования [11, 17]. В зависимости от способа получения керамики, в ней могут присутствовать поры различных размеров и морфологии (форма, расположение, связи между собой).

Характеристики пористой структуры

При моделировании механического поведения пористых материалов важно как можно точнее и в полной мере описать их пористую структуру, а именно ее особенности, которые выражаются ее основными характеристиками. Пористую структуру можно охарактеризовать несколькими параметрами. Кроме общей пористости можно выделить разные типы пор, например, открытые и закрытые, различать поры по их геометрии, охарактеризовать удельную поверхность пористой структуры и законы распределения пор по размерам и др.

Под пористостью следует понимать долю объёма пор в общем объёме пористого тела. Поры в свою очередь являются несплошностями в объеме материала. Различают открытую и закрытую пористость. Открытая пористость

обусловлена порами, которые могут сообщаться с поверхностью пористого тела. Закрытая пористость - это пористость, содержащая в себе поры, не сообщающиеся с поверхностью пористого тела, она определяется как разность между общей и открытой пористостью. Открытые поры разделяют на тупиковые, сквозные и сообщающиеся. Под тупиковыми порами следует понимать поры, которые соединяются лишь с одной поверхностью пористого тела. Сквозные поры соединяются с двумя наружными поверхностями пористого тела. В КО 10308 сквозные поры в покрытиях классифицируют на вертикальные, наклонные, искривлённые и разветвлённые. Поры, которые соединяются между собой или с внешней поверхностью называются сообщающимися порами.

Количественно пористость П определяется через суммарный объем занимаемый порами ¥п и общий объем пористого тела V с помощью следующего выражения:

П = VJV (1.1)

Также значение пористости можно определить, если известны масса и

объем пористого тела, а также плотность плотного (беспористого) тела по следующей формуле:

П = 100%---— х 100%, (1.2)

Рплотн

где П - пористость исследуемого тела, %; р = т / V - плотность пористого тела; т - масса пористого тела; V - объем пористого тела; Рплотн - плотность беспористого тела.

Общая пористость (П) состоит из суммы пористостей открытых, тупиковых и закрытых пор. Если значение пористости П < 50 %, то среда является малопористой, при П > 50 % - высокопористой.

Согласно геометрическому признаку, различают регулярную и нерегулярную пористость. Регулярные пористые структуры состоят из правильно чередующихся пор, которые могут соединяться также регулярно чередующимися каналами. Нерегулярные пористые структуры имеют случайный характер распределения пор по размерам, взаимному их расположению и связи между ними. В нерегулярных структурах присутствуют поры, которые отличаются не только размером, но и формой, расположением в пространстве, происхождением, а также типом связности. Для проведения геометрического моделирования пористых структур необходимо учитывать эти особенности геометрии и пространственного расположения пор.

Важной характеристикой внутренней поверхности пористых тел является удельная поверхность, которая образуется поверхностью раздела скелета и пор. Эту характеристику определяют как отношение общей площади поверхности пористого тела £ к его массе т (1.3) или объёму V (1.4) [18]:

= £ / т, (1.3)

= £/ V . (1.4)

Для статистического описания пористой структуры применяют такую характеристику поровой структуры, как плотность распределения пор по размерам. В случае если все поры являются сферическими или предполагаются таковыми можно ввести функцию или плотность распределения по радиусам пор. Для определения плотности распределения пор по размерам используется нормированная функция:

ад

\ / (г )Сг = 1, (1.5)

0

где ./(г)Сг - вероятность нахождения пор с размером от г до г+Сг в единичном объеме тела.

Значительный интерес с точки зрения наиболее точного описания неоднородной структуры реальных пористых тел вызывают функция распределения объёма пор по радиусам У(г) и плотность распределения пор по радиусам ф(г). Связь между ними записывается в следующем виде:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зимина Валентина Алексеевна, 2021 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шаталин, А. С. Керамика - материал XXI века / А. С. Шаталин, А. Г. Ромашин // Наука производству. - 1999. - № 9. - С. 4-7.

2. Митрошин, А. Н. Керамика как материал выбора в эндопротезировании коленного сустава / А. Н. Митрошин, Д. А. Космынин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Медицинские науки. - 2016. - №. 1 (37). - С. 98-110.

3. Лукин, Е. С. Пористая проницаемая керамика из оксида алюминия / Е. С. Лукин, А. Л. Кутейникова, Н. А. Попова // Стекло и керамика. - 2003. -№ 3. - С. 17-18.

4. Оксидная керамика нового поколения и области ее применения / Е. С. Лукин [и др.] // Стекло и керамика. - 2008. - № 10. - С. 27-31.

5. Красный, Б. Л. Изделия из пористой проницаемой керамики новые возможности для технологического прорыва в основных отраслях промышленности / Б. Л. Красный, В. П. Тарасовский, А. Б. Красный // Новые огнеупоры. - 2008. - № 11. - С. 28-30.

6. Pyzik, A. J. New design of a ceramic filter for diesel emission control applications / A. J. Pyzik, Ch. G. Li // International Journal of Applied Ceramic Technology. -2005. - Vol. 2, Iss. 6. - P. 440-451.

7. Liu, P. S. General introduction to porous materials / P. S. Liu, G. F. Chen // Porous Materials: Processing and Applications. - Oxford; Waltham: ButterworthHeinemann, 2014. - P. 1-20.

8. Ohji, T. Porous ceramic materials / T. Ohji // Handbook of Advanced Ceramics: Materials, Applications, Processing, and Properties. - Waltham; Oxford; Amsterdam: Academic Press, 2013. - P. 1131-1148.

9. Greil, P. Advanced engineering ceramics / P. Greil // Advanced Materials. - 2002. - Vol. 14 (10). - P. 709-716.

10. Colombo, P. Fabrication of ceramic components with hierarchical porosity / P. Colombo, C. Vakifahmetoglu, S. Costacurta // Journal of Materials Science. -2010. - Vol. 45. - P. 5425-5455.

11. Processing routes to macroporous ceramics: a review / A. R. Studart [et al.] // Journal of the American Ceramic Society. - 2006. - Vol. 89 (6). - P. 1771-1789.

12. Андреева, Ж. В. Пористая керамика с регулярной структурой / Ж. В. Андреева, А. И. Захаров // Успехи в химии и химической технологии. -2012. - Т. XXVI. - № 6 (135). - С. 11-13.

13. Porous ceramics based on the ZrO2(Y2O3)-Al2O3 system for filtration membranes / L. V. Morozova [et al.] // Glass Physics and Chemistry. - 2016. - Vol. 42 (4). -P. 408-413.

14. Aligned porous alumina ceramics with high compressive strengths for bone tissue engineering / B. H. Yoon [et al.] // Scripta Materialia. - 2008. - Vol. 58 (7). -P. 537-540.

15. Li, R. W. Ceramic dental biomaterials and CAD/CAM technology: state of the art / R. W. Li, T. W. Chow, J. P. Matinlinna // Journal of Prosthodontic Research. -2014. - Vol. 58 (4). - P. 208-216.

16. Development and characterization of zirconia-alumina composites for orthopedic implants / S. Sequeira [et al.] // Ceramics International. - 2017. - Vol. 43 (1). -P. 693-703.

17. The effect of wet foam stability on the microstructure and strength of porous ceramics / J. Zhao [et al.] // Ceramics International. - 2018. - Vol. 44. -P.269-274.

18. Плаченов, Т. Г. Порометрия / Т. Г. Плаченов, С. Д. Колосенцев. - Л.: Химия, 1988. - 175 с.

19. Пористые проницаемые материалы: Справочное издание / Под ред. С. В. Белова. - М.: Металлургия, 1987. - 335 с.

20. Черемской, П. Г. Методы исследования пористости твердых тел / П. Г. Черемской; ред. Л. С. Палатник. - Москва: Энергоатомиздат, 1985. -112 с.

21. Дубинин, М. М. Адсорбенты, их получение, свойства и применение / М. М. Дубинин. - Л.: Наука, 1978. - 238 с.

22. Плохов, А. В. Физические и механические свойства материалов. Часть 1. Теоретическая / А. В. Плохов, А. И. Попелюх, Н. В. Плотникова. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2017. - 392 с.

23. Фандеев, В. П. Методы исследования пористых структур [Электронный ресурс] / В. П. Фандеев, К. С. Самохина // Интернет-журнал «Науковедение». - 2015. - Т. 7, № 4. - С. 34ТВН415-1-34ТВН415-21. - Режим доступа: https ://naukovedenie.ru/PDF/34TVN415.pdf.

24. Разина, И. С. Применение микротомографии для исследования новых материалов. Обзор / И. С. Разина [и др.] // Вестник Казанского государственного технологического университета. - Казань: Изд-во Казан. гос. технол. ун-та. - 2013. - Т. 16, № 19. - С. 163-169.

25. Спивак, Ю. М. Определение параметров пористой структуры в por-Si и por-A12O3 путем компьютерной обработки данных растровой и атомно-силовой микроскопии / Ю. М. Спивак // Молодой ученый. - 2012. - № 5. - С. 1-4.

26. Красный, Б. Л. Количественный анализ поровой структуры керамики с помощью компьютерного анализа РЭМ-изображения / Б. Л. Красный [и др.] // Новые огнеупоры. - 2013. - Т. 1, № 8. - С. 40-44.

27. Прусов, Е. С. Компьютерная томография для задач трехмерного материаловедения [Электронный ресурс] / Е. С. Прусов // Фундаментальные исследования. - 2015. - № 5-2. - С. 318-323. - Режим доступа: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=38215.

28. Cohan, L. H., Hysteresis and the capillary theory of adsorption of vapours / L. H. Cohan // Journal of the American Chemical Society. - 1944. - Vol. 66. -P. 98-105.

29. Foster, A. G. The sorption of condensible vapours by porous solids. Part I. The applicability of the capillary theory / A. G. Foster // Transactions of the Faraday Society - 1932. - Vol. 28 - P. 645-657.

30. McBain, J. W. An explanation of hysteresis in the hydration and dehydration of gels / J. W. McBain // Journal of the American Chemical Society - 1935. -Vol. 57 (4). - P. 699-700.

31. Schneider, C. A. NIH Image to ImageJ: 25 years of image analysis / C. A. Schneider, W. S. Rasband, K. W. Eliceiri // Nature methods. - 2012. - Vol. 9 (7). - P. 671-675.

32. Мошников, В. А Формирование и анализ структур на основе пористого оксида алюминия / В. А. Мошников, Е. Н. Соколова, Ю. М. Спивак // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». - 2011. - Вып. 2. - С. 13-19.

33. Исследование однородности структурных параметров пористых оксидных наносистем, полученных методом электрохимического травления / Ю. М. Канагеева [и др.] // Физика диэлектриков (диэлектрики-2008), Материалы XI международной конференции Санкт-Петербург, 3-7 июня 2008 г: РГПУ им. А.И. Герцена. - С. 238-240.

34. Карсанина, М. В. Моделирование и реконструкция структуры и свойств пористых сред с помощью корреляционных функций: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 25.00.10 / Карсанина Марина Владимировна. - М., 2016. - 137 с.

35. Romanova, V. A method of step-by-step packing and its application in generating 3D microstructures of polycrystalline and composite materials / V. Romanova, R. Balokhonov // Engineering with Computers. - 2021. - Vol. 37, Iss. 1. -P. 241-250.

36. Roberts, A. Elastic properties of model porous ceramics / A. Roberts, E. Garboczi // Journal of the American Ceramic Society. - 2000. - Vol. 83, №. 12. -P. 3041-3048.

37. Смолин, И. Ю. Численное моделирование механического поведения модельных хрупких пористых материалов на мезоуровне / И. Ю. Смолин [и др.] // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2013. - № 5 (25). - С. 78-90.

38. Richter, H. Mote 3D: an open-source toolbox for modelling periodic random particulate microstructures / H. Richter // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. - 2017. - Vol. 25. - P. 035011-1-035011-16.

39. Torquato, S. Random heterogeneous media: Microstructure and improved bounds on effective properties / S. Torquato // Applied Mechanics Reviews. - 1991. -Vol. 44. - P. 37-76.

40. Gommes, C. J. Microstructural degeneracy associated with a two-point correlation function and its information content / C. J. Gommes, Y. Jiao, S. Torquato // Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. - 2012. -Vol. 85(5). - P. 051140.

41. Thovert, J. F. Grain reconstruction of porous media: Application to a Bentheim sandstone / J. F. Thovert, P. M. Adler // Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. - 2011. - Vol. 83(5). - P. 056116.

42. Schluter, S. Soil-structure development including seasonal dynamics in along-term fertilization experiment / S. Schluter, U. Weller, H. J. Vogel // Journal of Soil Science and Plant Nutrition. - 2011. - Vol. 174(3). - P. 395-403.

43. Vogel, H. J., Quantification of soil structure based on Minkowski functions / H. J. Vogel, U. Weller, S. Schluter // Computers and Geosciences. - 2010. -Vol. 36(10). - P. 1236-1245.

44. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов в 2 т. / Под ред. В. Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с.

45. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: в 2 т. / под ред. В. Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 2. - 320 с.

46. Панин, В. Е. Физические основы мезомеханики среды со структурой / В. Е. Панин // Известия вузов. Физика. - 1992. - Т. 35, № 4. - С. 5-18.

47. Panin, V. E. Overview on mesomechanics of plastic deformation and fracture of solids / V. E. Panin // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. - 1998. -Vol. 30, № 1. - P. 1-11.

48. Панин, В. Е. Физическая мезомеханика - новая парадигма на стыке физики и механики деформируемого твердого тела / В. Е. Панин, Ю. В. Гриняев // Физическая мезомеханика. - 2003. - Т. 6, № 4. - С. 9-36.

49. Филоненко-Бородич, М. М. Механические теории прочности: Курс лекций / М. М. Филоненко-Бородич. - М.: Изд-во МГУ, 1961. - 91 с.

50. Филин, А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела: В 3 т. Т. 1. Сопротивление материалов с элементами теории сплошных сред и строительной механики / А. П. Филин. - М.: Наука, 1975. - 832 с.

51. Потапова, Л. Б. Механика материалов при сложном напряженном состоянии. Как прогнозируют предельные напряжения? / Л. Б. Потапова, В. П. Ярцев. -М.: «Издательство Машиностроение-1», 2005. - 244 с.

52. Drucker, D. C. Soil mechanics and plastic analysis for limit design / D. C. Drucker, W. Prager // Quarterly of Applied Mathematics. - 1952. - №. 2. - P. 157-165.

53. Пространственный деформационный нелинейный расчет железобетонных изгибаемых конструкций методом конечных элементов [Электронный ресурс] / А. А. Попов [и др.] // Интернет-журнал «Науковедение». - 2013. - № 5. -С. 107ТВН513-1-107ТВН513-11. - Режим доступа: https ://naukovedenie.ru/PDF/ 107tvn513.pdf.

54. Willam, K. J. Constitutive model for the triaxial behavior of concrete / K. J. Willam, E. P. Warnke // International Assoc. for Bridge and Structural Engineering Seminar on "Concrete structures subjected to triaxial stresses", 17-19 May 1974, Bergamo (Italy), IABSE reports of the working commissions. -1974. - Vol. 19, Paper III-1. - P. 1-30.

55. Bazant, Z. P. Fracture mechanics of reinforced concrete / Z. P. Bazant, L. Cedolin // Journal of the Engineering Mechanics Division ASCE. - 1980. - Vol. 106. -P. 1287-1306.

56. Kolupaev, V. A. Equivalent stress concept for limit state analysis / V. A. Kolupaev. - Berlin: Springer, 2018. - 365 p.

57. Баландин, П. П. К вопросу о гипотезах прочности / П. П. Баландин // Вестник инженеров и техников. - 1937. - № 1. - С. 37 - 41.

58. Драгон, А. Континуальная модель пластически хрупкого поведения скальных пород и бетона / А. Драгон, 3. Мруз // Механика деформируемых твердых тел. Направления развития. - М.: Мир, 1983. - С. 163-188.

59. Качанов, Л. М. О времени до разрушения в условиях ползучести / Л. М. Качанов // Известия академии наук СССР. Отделение технических наук. - 1958. - № 8. - С. 26-31.

60. Работнов, Ю. Н. Механизм длительного разрушения / Ю. Н. Работнов // Вопросы прочности материалов и конструкций. - М.: Изд-во АН СССР, 1959. - С. 5-7.

61. Работнов, Ю. Н. Избранные труды. Проблемы механики деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работнов. - М.: Наука, 1991. - 196 с.

62. Работнов, Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю. Н. Работнов. - М.: Наука, 1966. - 753 с.

63. Chaboche, J. L. Continuum damage mechanics. Pt 1 / J. L. Chaboche // Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. - 1988. - Vol. 55. - P. 59-64.

64. Lemaitre, J. Local approach of fracture / J. Lemaitre // Engineering Fracture Mechanics. - 1986. - V. 25, №5/6. - P. 523-537.

65. Krajcinovic, D. The continuous damage theory: why, how and where? / D. Krajcinovic // Spominski zbornik Antona Kuhlja. - Ljubljana: S. n., 1982. -P. 95-109.

66. Ахмадеев, Н. Х. Динамическое разрушение твердых тел в волнах напряжений / Н. Х. Ахмадеев. - Уфа: БФАН СССР, 1988. - 168 с.

67. Гриднева, В. А. Численный расчет напряженного состояния и разрушения плиты конечной толщины при ударе бойками различной формы / В. А. Гриднева, А. И Корнеев, В. Г. Трушков // Известия Академии Наук СССР. Механика твердого тела. - 1977. - № 1. - С. 146-157.

68. Гриднева, В. А. Численный расчет поведения материала образца с трещиной при одноосном растяжении / В. А. Гриднева, М. М. Немирович-Данченко // Механика деформируемого твердого тела. - Томск: Изд-во Томского ун-та, 1985. - С. 59-63.

69. Радаев, Ю. Н. Континуальные модели поврежденности твердых тел: ддо. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.02.04 / Радаев Юрий Николаевич. - М., 1999. - 380 с.

70. Krajcinovic, D. Damage mechanics / D. Krajcinovic. - Amsterdam: Elsevier Science B.V., 1996. - 762 pp.

71. Voyiadjis, G. Z. Handbook of damage mechanics. Nano to macro scale for materials and structures / G. Z. Voyiadjis. - Dordrecht: Springer, 2014.

72. Астафьев, В. И. Нелинейная механика разрушения / В. И. Астафьев, Ю. Н. Радаев, Л. В. Степанова. - Самара: Сам. гос. ун-т, 2001. - 562 с.

73. Craggs, J. W. Characteristic surfaces in ideal plasticity in three dimensions / J. W. Craggs // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics publishes original. - 1945. - V. 7, № 1. - P. 35-31.

74. Cocks, A. C. F. The growth of dominant crack in a creeping material / A. C. F. Cocks, M. F. Ashby // Scripta Metallurg. - 1982. - Vol. - 16. -P. 109-114.

75. Астафьев, В. И. Влияние поврежденности материала на напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины при ползучести / В. И. Астафьев, Т. В. Григорова, В. А. Пастухов // Физико-химическая механика материалов. - 1992. - Т. 28, №. 1. - С. 5-11.

76. Макаров, П. В. Эволюционная природа деструкции твердых тел и сред / П. В. Макаров // Физическая мезомеханика. - 2007. - Т. 10, № 3. - С. 23-38.

77. Макаров, П. В. Математическая теория эволюции нагружаемых твердых тел и сред / П. В. Макаров // Физическая мезомеханика. - 2008. - Т. 11, № 3. -С. 19-35.

78. О разрушении хрупких тел с трещиной при сжатии / Ю. А. Костандов [и др.] // Прикладная механика. - 2013. - Т. 49, № 1. - С. 124-132.

79. Макаров, П. В. Модель разрушения хрупких и квазихрупких материалов и геосред / П. В. Макаров, М. О. Еремин // Физическая мезомеханика. - 2013. -Т. 16, № 1. - С. 5-26.

80. Возможности применения эволюционного подхода при моделировании поведения геосреды / П. В. Макаров [и др.] // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2009. - № 12. - C. 259-276.

81. Еремин, М. О. Применение метода механической аналогии для численного моделирования разрушения керамических композитов ZrO2-Al2O3 в трехмерной постановке / М. О. Еремин // Физическая мезомеханика. - 2015. -Т. 18, № 3. - С. 105-112.

82. Режимы с обострением при разрушении образцов горных пород и элементов земной коры / И. Ю. Смолин [и др.] // Физическая мезомеханика. - 2016. -Т. 19, № 6. - С. 77-85.

83. Voigt, W. Lehrbuch der Kristallphysik / W. Voigt. - Berlin: Teubner, 1928. -962 pp.

84. Reuss, A. Berechung der fliessgrenze von mischkristallen auf grund der plastizitatsbedingund für einkristalle / A. Reuss // ZAMM - Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. - 1929. - Vol. 9 (1). - P. 49-58.

85. Hashin, Z. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials / Z. Hashin, S. A. Shtrikman // Journal of applied physics. - 1962. - Vol. 33. - P. 3125.

86. Зайцев, А. В. Эффективные модули объемного сжатия дисперсно-упрочненных композитов со сплошными и полыми анизотропными сферическими включениями / А. В. Зайцев, А. А. Фукалов // Вестник Пермского государственного технического университета. Механика. - 2010. -№ 4. - С. 46-54.

87. An approach to the computation of effective strength characteristics of porous materials / V. A. Levin [et. al.] // Letters on materials. - 2017. - Vol. 7, № 4. -P. 452-454.

88. Vershinin, A. V. Software for estimation of second order effective material properties of porous samples with geometrical and physical nonlinearity accounted for / A. V. Vershinin [et. al.] // Advances in Engineering Software. - 2015. -Vol. 86. - P. 80-84.

89. Maxwell, J. C. A treatise on electricity and magnetism / J. C. Maxwell. - Oxford: Clarendon Press., 1873. - 577 pp.

90. Sevostianov, I. Generalization of Maxwell homogenization scheme for elastic material containing inhomogeneities of diverse shape / I. Sevostianov, A. Giraud // International Journal of Engineering Science. - 2013. - Vol. 64. - P. 23-36.

91. Numerical evaluation of the Eshelby tensor for a concave superspherical inclusion / F. Chen [et al.] // International Journal of Engineering Science. - 2015. - Vol. 93. -P. 51-58.

92. Combined effect of pores concavity and aspect ratio on the elastic properties of a porous material / F. Chen [et al.] // International Journal of Solids and Structures. -2018. - Vol. 134. - P. 161-172.

93. Compliance and resistivity contribution tensors of axisymmetric concave pores / I. Sevostianov [et al.] // International Journal of Engineering Science. - 2016. -Vol. 101. - P. 14-28.

94. On the bounds of applicability of two-step homogenization technique for porous materials / A. Trofimov [et al.] // International Journal of Engineering Science. -2018. - Vol. 123. - P. 117-126.

95. Computational simulations for the assessment of the mechanical properties of glass with controlled porosity Journal of porous materials / V. Cannillo [et al.] // Journal of Porous Materials. - 2003. - Vol. 10. - P. 189-200.

96. Sadowski, T. Prediction of the mechanical behaviour of porous ceramics using mesomechanical modeling / T. Sadowski, S. Samborski // Computational Materials Science. - 2003. - Vol. 28, Iss 3-4. - P 512-517.

97. Sadowski, T. On the different behaviour of porous ceramic polycrystalline materials under tension and compression stress state / T. Sadowski, S. Samborski // Computational Fluid and Solid Mechanics; Ed.: K. J. Bathe. - Amsterdam [et al.]: Elsevier, 2003. - P. 615-618.

98. Pabst, W. Effective properties of suspensions, composites and porous materials / W. Pabst, E. Gregorova, G. Ticha J// Journal of the European Ceramic Society. -2007. - Vol. 27. - P. 479-482.

99. Pabst, W. Young's modulus of isotropic porous materials with spheroidal pores / W. Pabst, E. Gregorova // Journal of the European Ceramic Society. - 2014. -Vol. 34. - P. 3195-3207.

100.Knudsen, F. P. Effect of Porosity on Young's Modulus of Alumina / F. P. Knudsen // Journal of the European Ceramic Society. - 1962. - Vol. 45, Iss. 2. - P. 94-95.

101.Dean, E. A. Empirical Dependence of Elastic Moduli on Porosity for Ceramic Materials / E. A. Dean, J. A. Lopez // Journal of the European Ceramic Society. -1983. - Vol. 66, Iss. 5. - P. 366-370.

102.Munro, R. G. Effective Medium Theory of the Porosity Dependence of Bulk Moduli / R. G. Munro // Journal of the European Ceramic Society. - 2001. -Vol. 84, Iss. 5. - P. 1190-1192.

103.Connecting the macro- and microstrain responses in technical porous ceramics: modeling and experimental validations / G. Bruno [et al.] // Journal of Materials Science. - 2011. - Vol. 46. - P. 161-173.

104.Pabst, W. Critical assessment 18: elastic and thermal properties of porous materials - rigorous bounds and cross-property relations / W. Pabst, E. Gregorova // Materials Science and Technology. - 2015. - Vol. 31 (15). - P. 1801-1808.

105.Pabst, W. A generalized cross-property relation between the elastic moduli and conductivity of isotropic porous materials with spheroidal pores / W. Pabst, E. Gregorova // Ceramics Silikaty. - 2017. - Vol. 61 (1). - P. 74-80.

106.Коробейников, С. Н. Нелинейное деформирование твердых тел / С. Н. Коробейников. - Новосибирск: Издательство СО РАН, 2000. - 262 с.

107.Седов, Л. И. Механика сплошной среды: в 2 т. / Л. И. Седов. - СПб.: Издательство "Лань", 2004.

108. Вильдеман, В. Э. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов / В. Э. Вильдеман, Ю. В. Соколкин, А. А. Ташкинов. - М.: Наука. Физматлит, 1997. - 288 с.

109.Krajcinovic, D. Continuum damage mechanics / D. Krajcinovic // Applied Mechanics Reviews. - 1984. - Vol. 37. - P. 1-6.

110.Качанов, Л. М. Основы механики разрушения / Л. М. Качанов. - М.: Наука, 1974. - 312 с.

111.Murakami, S. Continuum damage mechanics / S. Murakami // Solid Mechanics and its Applications. - 2012. - Vol. 185. - P. 1-431.

112.Нелинейная механика геоматериалов и геосред / П. В Макаров [и др.]. -Новосибирск: Академическое издательство «Гео», 2007. - 235 с.

113.Николаевский, В. Н. Определяющие уравнения пластического деформирования сыпучей среды / В. Н. Николаевский // Прикладная математика и механика. - 1971. - Т. 35, Вып. 6. - С. 1017-1029.

114.Стефанов, Ю. П. Некоторые особенности численного моделирования поведения упругохрупкопластичных материалов / Ю. П. Стефанов // Физическая мезомеханика. - 2005. - Т. 8, № 3. - С. 129-142.

115.Mikushina, V. A. Simulation of mesoscopic fracture of ceramics with hierarchical porosity / V. A. Mikushina, I. Yu. Smolin // AIP Conference Proceedings. - 2018. - Vol. 2053. - P. 030041-4-030041-4.

116.Уилкинс, М. Л. Расчёт упруго-пластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике / М. Л. Уилкинс; под ред. Б. Олдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. - М.: Мир, 1967. - С. 212-263.

117.Гулидов, А. И. Организация вычислительного процесса и структуры данных при численном решении динамических задач механики деформируемых сред / А. И. Гулидов // Моделирование в механике. - 1991. - Т. 5, Вып. 3. -С. 127-141.

118.Садырин, А. И. Применение треугольных сеток к решению динамических упругопластических задач / А. И. Садырин // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Статика и динамика деформируемых систем. -Горький: Горьк. ун-т, 1983. - С. 39-46.

119.Немирович-Данченко, М. М. Применение конечно-разностного метода в переменных Лагранжа для расчёта волновых полей в сложнопостроенных средах / М. М. Немирович-Данченко, Ю. П. Стефанов // Геология и геофизика. - 1995. - Т. 36, № 11. - С. 96-105.

120.Wilkins, M. L. Computer Simulation of Dynamic Phenomena / M. L. Wilkins. -Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1999. - 246 p.

121.Баженов, В. Г. Численное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических конструкций методом конечного элемента / В. Г. Баженов, А. И. Кибец // Известия РАН. Механика твердого тела. - 1994. - №1. - С. 52-59

122.Wilkins, M. L. Use of artificial viscosity in multidimensional fluid dynamic calculations / M. L. Wilkins // Journal of Computational Physics. - 1980. - Vol. 36, № 3. - P. 281-303.

123.Стефанов, Ю. П. Локализация деформации и разрушение в геоматериалах. Численное моделирование / Ю. П. Стефанов // Физическая мезомеханика. -2002. - Т. 5, № 5. - С. 107-118.

124.Демидов, С. П. Теория упругости / С. П. Демидов. - М.: Высшая школа, 1979. - 431 с.

125.Рекач, В. Г. Руководство к решению задач по теории упругости / В. Г. Рекач. - М.: Высшая школа, 1966. - 228 с.

126.Тимошенко, С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. - М.: Наука, 1979. - 576 с.

127.Моделирование деформации и разрушения материала с пористым керамическим покрытием на основе полисилазана / Р. Р. Балохонов [и др.] // Физическая мезомеханика. - 2015. - Т. 18, №2. - С. 60-71.

128.Numerical simulation of deformation and fracture in a coated material using curvilinear regular meshes / A. Zinoviev [et al.] // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2015. - Vol. 71. - P. 012072.

129.Сидоренко, Ю. Н. Прогнозирование механических свойств стохастических композиционных материалов: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.04 / Сидоренко Юрий Николаевич. - Томск, 2004. - 142 с.

130. Советова, Ю. В. Моделирование механического поведения стохастически армированных композитов с учетом накопления повреждений в условиях

квазистатического нагружения: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.04 / Советова Юлия Валерьевна. - Томск, 2014. - 114 с.

131.Советова, Ю. В. Многоуровневый подход к определению эффективных свойств композита с учетом повреждаемости / Ю. В. Советова, Ю. Н. Сидоренко, В. А. Скрипняк // Физическая мезомеханика. - 2013. -Т. 16, № 5. - С. 59-65.

132.О решении квазистатических задач микро- и мезомеханики в динамической постановке / В. А. Романова [и др.] // Физическая мезомеханика. - 2018. -Т. 21, № 2. - С. 68-79.

133.3D simulation of dependence of mechanical properties of porous ceramics on porosity / A. Yu. Smolin [et al.] // Engineering Fracture Mechanics. - 2014. -Vol. 130. - P. 53-64.

134.Deformation behavior of zirconia-based porous ceramics / E. S. Kalatur [et al.] // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2013. - Vol. 47. -P. 012004.

135.Деформация и разрушение пористых хрупких материалов при различных схемах нагружения / Н. Л. Савченко [и др.] // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2015. - Т. 58, № 11.- С. 56-60.

136.Ohji, T. Macro-porous ceramics: processing and properties / T. Ohji, M. Fukushima // International Materials Reviews. - 2012. - Vol. 57. - P. 115-131.

137.The influence of porosity on the elasticity and strength of alumina and zirconia ceramics / N. L. Savchenko [et al.] // AIP Conference Proceedings. - 2014. -Vol. 1623. - P. 547-550.

138. Неупругое поведение при сжатии керамики с иерархической поровой структурой / М. В. Григорьев [и др.] // Письма в ЖТФ. - 2017. - Т. - 43, Вып. 15. - С. 79-86.

139.Le Corre, V. Numerical modeling of the effective ductile damage of macroporous alumina / V. Le Corre, N. Brusselle-Dupend, M. Moreaud // Mechanics of Materials. - 2017. - Vol. 114. - P. 161-171.

140.Mechanical properties of porous ceramics in compression: On the transition between elastic, brittle, and cellular behavior / S. Meille [et al.] // Journal of the European Ceramic Society. - 2012. - Vol. 32. - P. 3959-3967.

141.Numerical simulation of mesomechanical behavior of porous brittle materials / I. Yu. Smolin [et al.] // Procedia Structural Integrity. - 2016. - Vol. 2. -P. 3353-3360.

142.Смолин, А. Ю. Зависимости механических свойств керамики с бимодальным распределением пор по размерам от пористости на разных масштабных уровнях / А. Ю. Смолин, Г. М. Еремина, С. Ю. Коростелев // Известия вузов. Физика. - 2019. - Т. 62, № 8. - С. 128-136.

143.Mesomechanical analysis of the elasto-plastic behavior of a 3D composite-structure under tension / V. A. Romanova [et al.] // Computational Mechanics. - 2005. -Vol. 36. - P. 475-483.

144.Коноваленко, Иг. С. Многоуровневое моделирование деформации и разрушения хрупких пористых материалов на основе метода подвижных клеточных автоматов / Иг. С. Коноваленко, С. Г. Псахье, А. Ю. Смолин // Физическая мезомеханика. - 2009. -Т. 12, № 5. - С.29-36.

145. Компьютерное исследование зависимости механических свойств хрупкого материала от парциальной концентрации пор разного размера в его структуре / Иг. С. Коноваленко [и др.] // Вестник ТГУ. Математика и механика. - 2013. - № 6 (26). - С. 79-87.

146.Романова, В. А. 3D-анализ напряженного состояния пористой керамики на основе диоксида циркония на начальной стадии сжатия / В. А. Романова, Р. Р. Балохонов // Физическая мезомеханика. - 2007. - Т. 10, № 2. - С. 63-67.

147.Multiscale simulation of porous quasi-brittle ceramics fracture / V. V. Skripnyak [et al.] // Applied Mechanics and Materials. - 2015. - Vol. 756. - P. 196-204.

148.Влияние поровой структуры хрупкой керамики на разрушение при динамическом нагружении / В. А. Скрипняк [и др.] // Известия Томского политех. ун-та. - 2009. - Т.315, № 2. - С. 113-117.

149.Моделирование высокоскоростной деформации и динамики разрушения керамических материалов, полученных по аддитивным технологиям / В. А. Скрипняк [и др.] // XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник докладов, Казань, 20-24 августа 2015 г. - Казань: Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2015 - С. 3492-3494.

150.Bruno, G. Porous microcracked ceramics under compression: Micromechanical model of non-linear behavior / G. Bruno, M. Kachanov // Journal of the European Ceramic Society. - 2013. - Vol. 33. - P. 2073-2085.

151.Pabst, W. Elasticity of porous ceramics—A critical study of modulus-porosity relations / W. Pabst, E. Gregorova, G. Ticha // Journal of the European Ceramic Society. - 2006. - Vol. 26. - P. 10851097.

152.Identification of a damage criterion of a highly porous alumina ceramic / D. Staub [et al.] // Acta Materialia. -2016. - Vol. 107. - P. 261-272.

153.Mechanical characterization of meso-porous alumina by micro- and nano-indentation / M. Moula [et al.] // Materials Today Communications. - 2020. -Vol. 25. - P.101315.

154.Banda, M. Effects of porosity and strain rate on the uniaxial compressive response of ice-templated sintered macroporous alumina / M. Banda, D. Ghosh // Acta Materialia. 2018. - Vol. 149. - P. 179-192.

155.Nanoscaled grain boundaries and pores, microstructure and mechanical properties of translucent Yb:[LuxY(i-X)O3] ceramics / O. Khasanov [et al.] // Journal of Alloys and Compounds. - 2011. - Vol. 509(Suppl. 1). - P. S338-S342.

156.Lower sintering temperature of nanostructured dense ceramics compacted from dry nanopowders using powerful ultrasonic action / O. Khasanov [et al.] // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2011. - Vol. 18. -P. 082004.

157.Deformation and Fracture of Corundum Ceramics with a Multilevel Pore Structure / M. V. Grigor'ev [et al.] // Technical Physics Letters. - 2019. - Vol. 64(12). -P. 1803-1807.

158.Inelastic behavior of ceramics with hierarchical pore structure under compression / M. V. Grigor'ev [et al.] // Technical Physics Letters. - 2017. - Vol. 43(8). -P. 723-726.

159. Buyakova, S. P. Mechanical instability of a porous material / S. P. Buyakova, V. I. Maslovskii, D. S. Nikitin // Technical Physics Letters. - 2001. - Том 27, Вып. 12. - P. 981-983.

160.Buyakova, S. Porosity and mechanical properties of zirconium ceramics / S. Buyakova, T. Sablina, S. Kulkov // AIP Conference Proceedings. - 2015. -Vol. 1688. - P. 030009.

161.Komlev, V. Osteotransductive Octacalcium phosphate ceramics as functional bone graft: from materials science to clinical applications / V. Komlev [et al.] // Journal of tissue engineering and regenerative medicine. - 2014. - Vol. 8. - P. 236-236.

162.Properties: Alumina - Aluminium Oxide - Al2O3 - A Refractory Ceramic Oxide [Electronic resource] // AZoM - The A to Z of Materials. - Manchester: AZoNetwork UK Ltd., 2001. - Mode of access: https://www.azom.com/properties.aspx?ArticleID=52.

163.ГОСТ Р 57749-2017 (ИСО 17138:2014) Композиты керамические. Метод испытания на изгиб при нормальной температуре. - М.: Стандартинформ, 2017. - 11 с.

164.ASTM C1161-13 Standard Test Method for Flexural Strength of Advanced Ceramics at Ambient Temperature. - West Conshohocken: ASTM International, 2013.

165.Стефанов, Ю. П. Некоторые нелинейные эффекты поведения горных пород / Ю. П. Стефанов // Физическая мезомеханика - 2016. - Т. 19, № 6. - С. 54-61.

166.Mechanics of Materials (4th ed.) / F.P. Beer [et al.]. - USA: McGraw-Hill Higher Education, 2006. - 779 p.

167.Weibull, W. A statistical distribution function of wide applicability / W. Weibull // Journal of Applied Mechanics. - 1951. - Vol. 18. - P. 293-305.

168.Flexural strength of alumina ceramics: Weibull analysis / L. Curkovic [et al.] // Transactions of Famena. - 2010. - V. 34(1). - P. 13-19.

169.Зимина, В. А. Экспериментальное исследование структуры, упругих и прочностных характеристик пористой корундовой керамики / В. А. Зимина // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. -2020. - №. 67. - С. 117-126.

170.Kulkov, A. S. Investigation of mechanical response of Al2O3 ceramic specimens to loading with consideration for their structural features / A. S. Kulkov, I. Yu. Smolin, V. A. Mikushina // AIP Conference Proceedings. - 2018. -Vol. 2051. - P. 020162-1-020162-4.

171.Салтыков, С. А. Стереометрическая металлография / С.А. Салтыков. - М: Металлургия, 1976. - 142 с.

172.Rodrigues, J. A. The relation between porosity and elastic moduli of gelcast ceramic foams / J. A. Rodrigues [et al.] // Ceramica. - 2004. - Vol. 50. -P. 209-216.

173.Микушина, В. А. Численное моделирование деформирования и разрушения пористой алюмооксидной керамики на мезоуровне / В. А. Микушина, И. Ю. Смолин // Вестник Томского государственного ун-та. Математика и механика. - 2019. - №. 58. - С. 99-108.

174.Mikushina, V. A. Investigation of mechanical properties of porous alumina ceramics: experiment and simulation / V. A. Mikushina, I. Yu. Smolin, A. S. Kulkov // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. -2019. - Vol. 613, Article 012026. - P. 1-4.

175.Mikushina, V. A. Numerical analysis of the stress state and fracture of porous ceramics at the mesolevel / V. A. Mikushina, I. Yu. Smolin // Journal of Physics: Conf. Series. - 2019. - Vol. 1214. - P. 012016-1-012016-8.

176. Гольденблат, И. И. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов / И. И. Гольденблат, В. А Копнов. - М.: Машиностроение, 1968. -192 с.

177.Литвинский, Г. Г. Аналитическая теория прочности горных пород и массивов / Г. Г. Литвинский. - Донецк: Норд-Пресс, 2008. - 207 с.

178.Демешкин, А. Г. Об изломе траекторий трещин при обобщенном напряженном состоянии / А. Г. Демешкин, В. М. Корнев // Прикладная механика и техническая физика. - 2009. - Т. 50, №3. - С. 205-213.

179. Experimental and numerical investigation of mechanical behavior of porous ceramic materials in three-point bending / V. A. Mikushina [et al.] // AIP Conference Proceedings. - 2018. - Vol. 2051. - P. 020192-1-020192-4.

180.Eremin, M. Investigation of failure mechanism of Al2O3 specimens subjected to three-point bending test / M. Eremin, A. Kulkov, I. Smolin, V. Mikushina // Frattura ed Integrita Strutturale. - 2019. - Vol. 13, №. 50. - P. 38-45.