Особенности генерации повреждений при разрушении хрупких гетерогенных материалов и формирование блочных структур на мезоуровне: Исследование методом подвижных клеточных автоматов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Моисеенко, Дмитрий Давидович

• Моисеенко, Дмитрий Давидович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Моисеенко, Дмитрий Давидович

Оглавление

Введение

I. Методы теоретического изучения и моделирования

особенностей разрушения гетерогенных материалов

1) Методология физической мезомеханики материалов и проблема численного исследования особенностей разрушения гетерогенных материалов

2) Подходы на основе механики сплошной среды к описанию деформируемого материала

3) Моделирование на основе классического метода клеточных автоматов

4) Метод подвижных клеточных автоматов

II. Изучение особенностей разрушения хрупких покрытий

при механическом нагружении

1) Исследование характера распространения возмущений на границе раздела при формировании трещины в покрытии

2) Формирование блочных структур на границе раздела хрупкого покрытия с подложкой при одноосном растяжении

3) Распространение волны сдвига по границе раздела хрупкое покрытие-подложка

4) Изучение влияния механических и геометрических параметров зоны контакта покрытие-подложка на характер квазипериодического растрескивания покрытия

III. Моделирование и анализ особенностей разрушения сложных, многосвязных структур

1) Построение алгоритма генерации сложных структур

на основе подхода клеточных автоматов

2) Формирование блоков и отклик гетерогенного материала при механическом нагружении

3) Моделирование отклика сложных многосвязных структур и зависимость их прочности от пористости

IV. Моделирование процесса генерации и накопления повреждений при разрушении пористых материалов

1) Генерация повреждений различных масштабов и их влияние на развитие разрушения

2) Изучение влияния поверхностных свойств пористых структур на их отклик и прочность

3) Изучение влияния блокировки концентраторов напряжений различных масштабов на характер разрушения

Основные результаты и выводы Литература

110

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности генерации повреждений при разрушении хрупких гетерогенных материалов и формирование блочных структур на мезоуровне: Исследование методом подвижных клеточных автоматов»

Введение

Проблема прочности и надежности изделий с керамическими покрытиями является весьма общей и касается самых разнообразных приложений физики деформируемого твердого тела. В процессе работы, деталь с упрочненным поверхностным слоем, даже в условиях довольно простого (например, -одноосного и квазистатического) нагружения, претерпевает деформирование весьма сложного характера, в результате которого упругие напряжения внутри детали распределяются далеко не тривиальным образом. Так, например, вследствие различия упругих модулей покрытия и подложки на поверхности покрытого изделия в процессе приложения одноосной нагрузки образуется характерный гофр, который в дальнейшем влечет за собой растрескивание и отслаивание покрытия. Эти эффекты были экспериментально обнаружены и исследованы в работах [1-7].

Очевидно, что такой комплексный механизм разрушения покрытия влечет за собой определенные трудности при экспериментальном изучении разрушения и прогнозировании ресурса работы подобных изделий. В определенной степени решение данной проблемы облегчается применением оптико-телевизионных комплексов, позволяющих с большим разрешением изучать эволюцию полей смещений образца непосредственно в процессе его нагружения - начиная от первых стадий квазиоднородного деформирования и кончая формированием макроконцентратора напряжений и полным разрушением образца [8-11]. При этом всегда существует возможность полностью восстановить эволюцию поля смещений каждого участка.

Развитие методов изучения механических свойств сложных неоднородных систем, в том числе материалов со сложной многосвязной структурой, является важным для различных приложений механики твердого тела. В частности, для механики гетерогенных материалов [1213], геомеханики [14-15], биомеханики [16-18] и т.д. При этом весьма полезным может оказаться компьютерное моделирование вышеупомянутых процессов. При моделировании механического отклика гетерогенных сред, а также при компьютерной оптимизации прочностных характеристик образца как целого существенным является учет механизмов формирования концентраторов напряжений различного масштаба, локального нарушения сплошности материала и перераспределения упругой энергии в образце на всех стадиях разрушения. Исследуемые среды являются существенно неоднородными, и возникновение концентраторов напряжений определяет их отклик и прочность. Поведение таких систем в процессе нагружения с точки зрения физической мезомеханики материалов представляет собой сложный самоорганизующийся процесс, протекающий на различных масштабных и структурных уровнях [3,4,6,7] и включающий в себя нелинейные эффекты, генерацию и накопление повреждений, эффекты перемешивания масс и разрушение, как последнюю стадию процесса. При этом, перераспределение упругой энергии по локальным областям на конечных стадиях процесса разрушения, как правило, приводит к сложной картине генерации и распределения повреждений, которую часто трудно однозначно интерпретировать.

Экспериментальное исследование прочности гетерогенных образцов и сложных конструкций требует значительных усилий и материальных затрат, а также связано с трудностями при изучении развития разрушения. Сложность детального исследования процесса разрушения приводит к искажению информации о влиянии топологических особенностей внутренней структуры на эксплуатационные характеристики. Более того, наличие границ раздела в материале является источником формирования концентраторов напряжений различного масштаба, определяющих поведение всей системы как целого. В особенности, учет данных процессов важен при изучении отклика высокопористых и гетерогенных материалов со сложной внутренней структурой и выраженными границами раздела в процессе нагружения (на всех стадиях), а также для выявления слабых мест сложных деталей, узлов, конструкций.

Следует отметить, что для описания прочности гетерогенных материалов важным является учет локальных процессов нарушения сплошности материала, приводящий к глобальному перераспределению упруго-напряженного состояния моделируемого объекта. В этом случае использование сеточных методов механики сплошной среды встречает определенные трудности [19]. Подобные проблемы могут быть преодолены в рамках дискретного подхода. Одним из наиболее перспективных и активно развивающихся в последние годы подходов является метод подвижных клеточных автоматов.

В связи с вышесказанным, целью диссертационной работы является исследование особенностей формирования блочных структур на

мезоуровне, генерации и развития повреждений в пористых и гетерогенных материалах и в материалах с границами раздела хрупкое покрытие-подложка при механическом нагружении на основе метода подвижных клеточных автоматов.

В соответствии с целью данной работы были сформулированы следующие конкретные задачи:

1. Исследовать закономерности распространения возмущений и процессов формирования блочных деформационных структур в материалах с хрупким покрытием при механическом нагружении.

2. Проанализировать влияние механических и геометрических параметров зоны контакта хрупкое покрытие-подложка на характер квазипериодического растрескивания покрытия

3. Разработать метод генерации сложных многосвязных структур для моделирования поведения пористых и гетерот енных материалов.

4. Исследовать закономерности формирования и перестройки блочных структур и генерации повреждений в пористых гетерогенных образцах при механическом нагружении.

5. Провести анализ возможных способов блокировки концентраторов напряжений путем введения дискретных включений.

Научная и практическая ценность. В настоящей работе метод подвижных клеточных автоматов применен для моделирования поведения хрупких покрытий на эластичной подложке на различных этапах

разрушения. Продемонстрированы возможности данного подхода для исследования закономерностей разрушения композиций «покрытие-подложка» с различными механическими и геометрическими характеристиками зоны контакта.

Результаты исследования распространения сдвиговых возмущений при генерации несплошностеи в границе раздела позволяют вскрыть определенные закономерности образования квазипериодического растрескивания и расширить представления о механизмах генерации повреждений в хрупких покрытиях в условиях динамического нагружения.

Разработанный на базе метода клеточных автоматов алгоритм стохастической генерации образцов со сложной многосвязной внутренней геометрией позволяет осуществлять компьютерное построение внутренней структуры высокопористого и гетерогенного материала с каркасной структурой. Это существенным образом расширяет возможности компьютерных экспериментов широкого спектра применений (от догзайна сложных конструкций до задач просачивания и имитации роста кристаллов с учетом ярко выраженной неоднородности окружающей среды и анизотропии роста материала).

Проведенные численные эксперименты по механическому нагружению керамических каркасных структур показали корректность применения метода подвижных клеточных автоматов для проведения компьютерных исследований влияния внутренней структуры образца на специфику генерации повреждений и отклик высокопористых материалов легковесных конструкций. Это дает возможность создания экспертных

компьютерных систем для оценки прочностных и деформационных характеристик хрупких материалов и структур широкого диапазона применений.

1. Формирование блочных структур при генерации повреждений в хрупких керамических покрытиях, обусловленное деформированием элементов среды по схеме сдвиг+поворот.

2. Динамические эффекты, вызванные формированием несплошностей в зоне контакта покрытия и подложки и приводящие к генерации вторичных повреждений, а также к осцилляции деформаций на границе раздела.

3. Создание алгоритма стохастической генерации внутренней структуры высокопористых материалов с многосвязной топологией для проведения компьютерных экспериментов по моделированию отклика и разрушения сложных структур.

4. Закономерности генерации повреждений и их связь с формированием концентраторов напряжений различного масштаба в сложных структурах.

Научная новизна работы.

Проведен анализ процессов формирования блочных структур и распространения волны сдвига при разрушении хрупкого керамического покрытия на эластичной подложке' и исследованы особенности формирования областей локализации деформации, распространяющихся от повреждений на границе раздела покрытие-подложка.

Показано, что метод подвижных клеточных автоматов может быть использован для количественного анализа влияния формирования повреждений различного масштаба на отклик моделируемой структуры вплоть до потери ее несущей способности, что позволяет направленным образом локально изменять структуру хрупких гетерогенных материалов, с целью повышения их служебных характеристик.

Обоснованность и достоверность результатов и выводов, сформулированных в диссертации, обеспечивается проведением тестовых расчетов, сопоставлением с опубликованными результатами других авторов, а также качественным и количественным согласием с экспериментальными данными.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на следующих Международных и Всесоюзных конференциях и семинарах:

1. На международной конференции "Mesofracture-98" (Tel Aviv, Israel, 1998)

2. На международной конференции "Computer-Aided Design of Advanced Materials and Technologies - С AD AMT" (Байкальск, Россия 1997)

3. На международной 12th Engineering Mechanics Conference "Engineering Mechanics - A Force for the 21st Century" (San Diego Marriott La Jolla, La Jolla, California, USA, 1998)

4. На конференции молодых ученых «Физическая мезомеханика материалов» (Томск, 1998).

5. На международной конференции «Movable cellular automata method: Foundation and Application» (Ljubljana, Slovenia, 1997).

6. На специализированной выставке в Швейцарии «Hi-Tech from Russia» (Zurich, Switzerland, 1997).

Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах, включая 6 статей и 5 тезисов докладов. Перечень их наименований частично представлен в списке цитируемой литературы (номера 97,98,99,100).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы; содержит 31 рисунок, 2 таблицы, библиографический список из 110 наименований - всего 125 страниц.

Во введении обоснована актуальность исследуемой, проблемы, сформулированы цели и задачи работы, раскрыта практическая и научная ценность полученных результатов, представлены положения, выносимые на защиту и описана структура диссертации.

Первая глава носит обзорный характер. В ней описаны основные подходы теоретического изучения механики разрушения твердого тела. В первом параграфе рассматриваются основные положения нового направления физики деформируемого твердого тела - физической мезомеханики материалов, излагается краткая классификация различных масштабных уровней деформации, а также существующие представления о задачах компьютерного конструирования материалов. Во втором параграфе проводится краткий обзор некоторых существующих методов

механики сплошной среды, а также численных подходов к решению дифференциальных уравнений. Два следующих параграфа посвящены изложению подходов к моделированию разрушения твердого тела на основе классических и подвижных клеточных автоматов. Показывается, что при решении большого числа задач существует возможность упрощенного представления сложных физических процессов, в целом дающая хорошее качественное и количественное описание поведения объекта.

Вторая глава настоящей работы посвящена исследованию поведения структур, состоящих из эластичной подложки и хрупкого керамического покрытия, при внешнем механическом нагружении. Исследовалось разрушение «слоистых» структур при двух типах нагрузки: изгиб и растяжение, с постоянной скоростью деформации. Изучалось распространение возмущений при генерации повреждений на границе раздела и формирование упругих волн в покрытии. Результаты данной части исследований свидетельствуют о том, что формирование блочной структуры и квазипериодическое растрескивание хрупкого покрытия имеют природу самоорганизованного коллективного переключения конгломератов элементов среды. Проведено сравнение полученных результатов с известными экспериментальными данными и существующими теоретическими представлениями о природе таких процессов. Показывается, что метод подвижных клеточных автоматов с достаточной степенью надежности может быть применим к описанию процессов разрушения хрупких покрытий на мезоуровне.

В третьей главе изложен стохастический алгоритм генерации сложных многосвязных каркасных структур с управляемой среднестатистической топологией. На основе созданной ранее процедуры генерации пористых структур проводится исследование закономерностей их разрушения. Для этого генерировались каркасные структуры на основе циркониевой керамики и моделировалось их поведение при сжатии вплоть до полного разрушения. Под полным разрушением здесь понимается потеря несущей способности моделируемой конструкции. На основе метода подвижных клеточных автоматов анализируются процессы формирования блочных деформационных структур в гетерогенном образце с керамическим каркасом. Исследуется зависимость отклика каркасных структур в зависимости от их пористости. Показано, что метод подвижных клеточных автоматов вполне корректно описывает как качественный характер поведения гетерогенной структуры при внешнем механическом нагружении, так и количественные зависимости прочности от пористости.

Четвертая глава диссертации посвящена изучению процессов генерации и накопления повреждений в образцах различной пористости при одноосном сжатии. Дается описание возможностей «размытия» концентраторов напряжений различных масштабов путем введения заполнителя в открытые (выходящие на поверхность) поры. Далее, анализируются возможности метода подвижных клеточных автоматов для прямых задач компьютерного конструирования каркасных структур с целью повышения их прочностных и деформационных характеристик

путем локализованной блокировки концентраторов дискретными упрочняющими включениями.

В заключении диссертации приводятся основные результаты и выводы.

Данная диссертационная работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники гражданского назначения" по проекту 07.08.00600.М.

Автор считает необходимым выразить благодарность своему научному руководителю С.Г. Псахье за огромную поддержку, целеустремленность в проведении исследований и постановку части задач, выполненных в данной работе. Также хотелось бы поблагодарить академика В.Е. Панина за постановку задачи по разрушению керамических покрытий, весьма полезное участие в обсуждениях и дискуссиях относительно полученных результатов, а также за предоставленные экспериментальные данные. Написание данной работы было бы невозможным без их неоценимой поддержки и опыта.

Хочется также поблагодарить моих коллег и товарищей Е.В. Шилько, А.Ю. Смолина, Е.М. Татаринцева, С.Ю. Гриняева, А.И. Дмитриева и С.Ю. Коростелева за весьма полезные дискуссии, поддержку и помощь в работе.

I. Методы теоретического изучения и моделирования

особенностей разрушения гетерогенных материалов

§1.1. Методология физической мезомеханики материалов и проблема численного исследования особенностей разрушения гетерогенных материалов.

Исторически сложилось, что долгое время описание деформации и разрушения твердого тела традиционно базировалось на двух концепциях -подхода механики сплошной среды и теории дислокаций.

Методы механики сплошной среды хорошо зарекомендовали себя и успешно применяются в многочисленных инженерных расчетах. Однако эти подходы нацелены исключительно на расчет и анализ интегральных усредненных характеристик нагружаемого объекта. При этом данные подходы пригодны только для описания свойств макрооднородной среды [4].

Теория дислокаций нацелена на описание поведения нагружаемого объекта на микроуровне. При этом элементарный акт пластической деформации на микроуровне рассматривался как трансляционное движение деформационного дефекта (например - кристаллографический сдвиг). Теория дислокаций достигла больших успехов в сфере описания поведения дислокационных ансамблей и дала физическую интерпретацию закономерностям механики сплошной среды [4,20-33].

Несмотря на большие успехи двух обозначенных направлений, многочисленные попытки их объединить оказались безуспешными. Как

правило, трудности такого объединения прежде всего связывали с недостаточной проработанностью математического аппарата, неспособного дать статистическое описание поведения дислокационных ансамблей. Однако, безуспешность этих попыток на самом деле кроется в неверном представлении элементарного акта пластической деформации и некорректной формулировке критериев потери сплошности [4,6,7].

В последние десятилетия в ИФПМ СО РАН академиком В.Е. Паниным был предложен новый подход органичного соединения механики сплошной среды и теории дислокаций, давший начало новому перспективному направлению - физической мезомеханике материалов. В основу этого направления была положена концепция взаимосвязи структурных уровней деформации твердого тела [3,4,6,7,20].

Известно, что существует множество механизмов деформации и разрушения твердого тела. Тем не менее, все многообразие процессов в твердом теле при его механическом нагружении может быть сведено к трем видам сдвигов:

- сдвиг с нестесненным материальным поворотом;

- сдвиг со стесненным материальным поворотом;

- сдвиг со стесненным кристаллографическим поворотом структурного элемента деформации;

На основе данной классификации можно представить себе схему механизмов деформации (таблица 1.1) [6], в которой отражена иерархия масштабных уровней пластической деформации, позволяющая представить эволюцию пластического течения твердого тела на основании

возникновения, развития и взаимодействия элементов масштабных уровней, каждый йз которых характеризуется своим механизмом деформации.

На масштабном уровне микро-1 происходит одиночное скольжение дислокаций с нестесненным материальным поворотом. Масштаб микро-П характеризуется множественным скольжением дислокаций со стесненным материальным поворотом.

На стадии перехода от микро- к мезомасштабному уровню во внутренней структуре деформируемого материала происходит возникновение диссипативной мезосубструктуры, обеспечивающей возможность протекания деформации по схеме "сдвиг+поворот". Этот масштабный уровень был назван мезо-1, который характеризуется кристаллографическими поворотами элементов субструктуры.

При формировании элементов мезо-П в деформируемом материале происходит возникновение фрагментированных структур, а также движение фрагментов как целого, отражающее потерю сдвиговой устойчивости образца как целого.

На макроуровне движение участков образца происходит в направлении внешней приложенной силы. Внутри этих участков точки смещаются в различных направлениях, однако их усреднение по большим площадкам показывает, что направление смещений параллельно оси нагружения. На данном масштабном уровне формируются макроконцентраторы напряжений, которые инициируют релаксацию нормальных приложенных напряжений.

Таким образом, в основе главной концепции физической мезомеханики материалов леж:ат следующие принципиально новые положения [4]:

1) пластическая деформация твердого тела самоорганизованно развивается на всех масштабных уровнях - микро, мезо и макро. Описание механизмов развития деформации и разрушения на всех масштабных уровнях подчиняется принципу масштабной инвариантности.

2) Пластическая деформация и разрушение твердых тел связаны прежде всего с потерей сдвиговой устойчивости элементов объема на различных масштабных уровнях, и поведение этих объемов имеет сугубо синергетическую природу [3,4,6,7].

Основные задачи моделирования процессов деформации и разрушения в рамках физической мезомеханики материалов можно разделить на два класса [6,7]: 1. Моделирование и теоретическое описание физических механизмов пластической деформации и разрушения. 2. Решение прикладных задач о нагружении элементов конструкций.

При этом необходимо отметить, что весьма важным при решение этих задач является учет эволюции внутренней структуры материала, а также учет влияния динамики этой эволюции на служебные характеристики материалов и конструкций. Наряду с учетом специфики граничных условий реальной конструкции, принципиальное значение здесь играет учет процессов на внутренних границах раздела структурных элементов.

Как уже было отмечено выше, ни континуальное макроскопическое описание само по себе, ни подходы, основанные на теории дислокаций не способны дать полного описания реальных механизмов пластической деформации и разрушения гетерогенного материала. И причина этого

кроется в том, что две эти теории сами по себе нуждаются в привлечении дополнительной информации о поведении и взаимодействии отдельных структурных элементов среды, а также о поведении границ раздела между этими структурными элементами [7-9].

Ключевые моменты компьютерного конструирования были сформулированы в работе В.Е. Панина, А.Д. Коротаева, П.В. Макарова и В.М. Кузнецова [7]:

1. Формулировка обратной задачи.

2. Построение алгоритма модели физической мезомеханики.

3. Реализация модели в терминах иерархии структурных уровней деформации

4. Выбор компьютерных технологий.

5. Адаптация компьютерных технологий к модели задачи.

6. Решение прямых задач в рамках выбранных моделей.

7. Сопоставление с экспериментом.

8. Оптимизация параметров конструируемого материала в рамках обратной задачи.

В соответствии с этим необходимо отметить, что в настоящее время существующая совокупность методов физической мезомеханики позволяет подойти к решению отдельных видов обратных задач. Однако подавляющее большинство исследований в сфере численного моделирования наделено на разработку пп.5-7, и лишь некоторые из них учитывают иерархию структурных уровней деформации (п.З).

Таблица 1.1.

Общепри-нято Классификация в мезомеханике Механизм Деформации Стадии при растяжении Сдвиго-неустойчивый материал Сварное соединение Усталостное разрушение

Микро-уровень Теория дислокаций Микроуровень с Д в и г МИКРОI Одиночное скольжение дислокаций Легкое скольжение (стадия I)

МИКРОII Множественное скольжение дислокаций Линейное упрочнение (стадия И)

Мезоуровень с д в и г + п о в о р о т МЕЗОI Вихревое движение дислокаций Параболическое упрочнение (стадия III)

Макро Уровень Механика сплошной среды МЕЗОII Мезополосовые структуры Слабое линейное Упрочнение (стадия IV) Стадия I Стадия I

Стадия II Стадия III Стадия II

Макроуровень МАКРОI Локализован-ные мезополосы Бегающая шейка Бегающая шейка

МАКРО II Фрагментация в шейке Локализованная шейка Локализованная шейка

Механика Разрушения Физическая мезомеханика разрушения Мезотрещины В мезополосах Разрушение на мезоуровне Разрушение на мезоуровне Усталостная трещина

Распространение макротре-щины Разрушение на Макроуровне Разрушение на макроуровне Усталостное разрушение

§1.2. Подходы на основе механики сплошной среды.

В рамках континуальных подходов механики моделируемый материал представляется как непрерывная сплошная среда. Понятие непрерывности в данном случае, как правило, проясняется через представление элементарного, неделимого и бесконечно малого объема ёУ, который содержит в себе «достаточно большое» количество частиц реального вещества. Причем «достаточность» этого количества не имеет под собой четких численных критериев. При этом этот элементарный объем по своим свойствам должен быть совершенно идентичен макроэлементу объема реального тела.

В рамках данного подхода, в описание состояния элемента объема вводятся две основные характеристики - его напряжение и деформация. Эти величины имеют тензорную природу.

Уравнения движения элемента сплошной среды, как правило, записываются в дифференциальном виде. При этом данные уравнения проистекают из второго закона Ньютона, а суммарная сила, действующая на элемент объема, вычисляется как совокупность дивергенций составляющих напряжений на элементарных площадках [34-36].

Между тензором напряжений и тензором деформаций вводятся отношения, определяющие их взаимозависимость. Наиболее простая из этих зависимостей - линейная - была предложена Гуком.

Далее, при описании поведения материала в условиях механического нагружения, для уравнений движения формулируются определенные граничные условия.

В записи уравнений движения используется два подхода, различных по отношению к выбору системы координат [35]:

1. запись Лагранжа, в которой система координат следует за движением выделенной точки среды, при этом рассматривается относительное движение элементов и область решения уравнений в процессе расчета меняется;

2. запись в координатах Эйлера, когда движение среды рассматривается относительно неподвижной «лабораторной» координатной системы.

Выбор одного из этих двух подходов определяется, разумеется, постановкой конкретной задачи, а также, в случае численного решения уравнений, простотой и быстродействием численной схемы в каждом конкретном случае.

При решении дифференциальных уравнений численными методами задача определения функции в заданной области сводится к решению алгебраической системы уравнений для вычисления значений этой функции на определенном конечном множестве точек. Это множество точек образует, как правило, локально регулярную сеть. Выбор сети (прямоугольная, треугольная и т.д.) определяется исходя из внутренней структуры материала и специфики граничных условий. Для сведения системы дифференциальных уравнений к алгебраическим используются

различные методы. Среди таких методов в первую очередь можно назвать методы сеток и вариационные подходы.

В методе сеток дифференциальные операторы уравнений заменяются разностными аналогами [37-39]. Для этих целей часто используется метод замены, основанный на замене каждого члена уравнения в отдельности [37], т. е. когда каждая производная уравнения представляется г. виде конечной разности. Такой метод замены дифференциального уравнения сеточным прост и удобен, однако он требует выполнения условий прямоугольности и равномерности сетки. Прямоугольные разностные сетки с постоянным шагом чаще всего используются в эйлеровом подходе для решения задач газо- и гидродинамики. Если же сетка таким условиям не удовлетворяет, то удобным представляется другой метод - замена дифференциального оператора уравнения как целого.

Одним из существенных достоинств сеточных методов (наряду с их простотой) является детальная разработанность математического аппарата. Сформулированы теоремы о разрешимости системы сеточных уравнений, правила для оценки погрешностей и теоремы о сходимости метода сеток [37].

Вариационные методы конечных элементов, являющиеся более поздней модификацией конечно-разностных схем, достигли больших успехов в решении широкого спектра задач, связанных с решением дифференциальных уравнений в частных производных вообще [37]. В рамках данного подхода при помощи существующих четко сформулированных теорем исходя из линейного дифференциального

оператора уравнения находится функционал, минимизация которого приводит к решению исходного дифференциального уравнения.

Вариационные методы требуют разбиения расчетной области на совокупность конечных элементов произвольной формы, а распределение искомого параметра внутри элемента принимается заданным по какой-либо аппроксимационной 'формуле с неизвестными коэффициентами. Причем эта формула, вообще говоря, зависит от симметрии задачи, типа координатной системы и формы элемента. Определение вышеупомянутых неизвестных коэффициентов осуществляется следующим образом. В общее выражение функционала подставляется аппроксимация локального решения в элементе, производится суммирование выражений функционала по всем элементам. Минимизация полного функционала осуществляется путем его дифференцирования и приравнивания к нулю. Далее решается полученная система обычных алгебраических уравнений, в которой неизвестными величинами являются значения искомого решения в узлах сетки [40].

Несмотря на признанные успехи численных методов механики сплошных сред, эти методы содержат в себе ряд существенных самоограничений. Непроясняемость понятия континуальности среды (понятия, не имеющего однозначной интерпретации в таких процессах, как зарождение дефектов в кристаллах, интенсивное перемешивание при порошковом компактировайии и т.д.), а также необходимость задавать тензор напряжений на любой границе структурного элемента (в том числе на внутренней границе раздела в материале), приводят к потере

информационных связей между структурными элементами различных масштабных уровней [19].

При решении задач физической мезомеханики требуется не только явно учитывать внутреннюю структуру материала путем задания различных свойств у отдельных элементов (как это традиционно делается в численных методах механики сплошных сред), но и учитывать специфику взаимодействия между различными структурными элементами.

Так, в последнее время развивается метод, базирующийся на представлениях о пластической деформации как сугубо релаксационном процессе, причем каждому элементарному акту пластической деформации ставится в соответствие элементарный акт релаксации напряжений в выделенной области. Это - метод элементов релаксации [41].

В рамках данного метода элементарный акт релаксации напряжений описывается так называемым «тензором релаксации» и величина пластической деформации принимается однозначно зависимой от величины срелаксировавшего («исчезнувшего») напряжения. Далее, считается, что каждый элемент релаксации является неким дефектом со своим полем напряжений, возникающим при приложении внешней нагрузки. При этом считается, что на всем протяжении сферы действия таких дефектов выполняется принцип суперпозиции полей напряжений.

Вследствие выполнения принципа суперпозиции в рамках данного подхода считается, что процесс формирования мезополосы пластической деформации происходит в результате последовательного включения в пластическую деформацию перекрывающихся элементов объема.

Математически этот процесс описывается при помощи операции интегрирования полей напряжений от элементов релаксации, сдвинутых друг относительно друга на бесконечно малую величину <11 [41].

В тесном симбиозе с методом клеточных автоматов данный метод позволил качественно описать процессы формирования зон локализованной пластической деформации в поликристаллах, а также исследовать зависимость этой локализации от пористости [42].

Большинство численных методов механики сплошных сред при описании зарождения и дальнейшего роста повреждений используют специфические искусственные приемы, базирующиеся на удалении элементов и раздвоении узлов сетки, что в свою очередь требует не только перестройки расчетной сетки, но и переопределения граничных и начальных условий решаемых уравнений. Очевидно, что конечный результат решения при таких перестройках системы не всегда может быть принят за вполне корректный. Таким образом, в заключение следует отметить, что континуальный подход, наряду с преимуществами, имеет ряд существенных ограничений, связанных с моделированием процессов потери сплошности: образование микроповреждений, перемешивание масс, фрагментация, структурная деградация материала и его разрушение.

§1.3. Моделирование на основе классического метода клеточных автоматов

В последнее десятилетие, благодаря бурному развитию компьютерной техники, метод клеточных автоматов существенно расширяет область своих применений и успешно используется для решения широкого спектра задач - от газодинамики до проблем роста костной ткани, взаимодействия клеток организма, кинетики распространения волн горения и образования дендритных структур при кристаллизации [43-95].

Метод клеточных автоматов представляет собой дискретную модель, в которой среда представляется совокупностью элементов, обладающих определенными свойствами. Наиболее характерное для клеточного автомата свойство - это способность дискретно переключать свое состояние. В рамках данного подхода каждый элемент среды наделен совокупностью состояний и правилами переключения по этим состояниям; правила переключения включают в себя условия на состояния соседей данного элемента.

К достоинствам подходов данного класса, несомненно, относятся возможность рассмотрения задачи в общем виде и простота компьютерного эксперимента [86,87]. Реальная динамика всевозможных процессов может рассматриваться как предельный случай дискретного описания при стремления' количества состояний к бесконечности [88]. Однако, в подавляющем большинстве случаев можно ограничиться конечным (и, как правило, небольшим) количеством состояний. Также как

и в сеточных методах, начальные и граничные условия задачи определяются из специфики последней.

Методы дискретного моделирования применительно к проблемам физики прочности развиты в работах Овчинского и др. [89-92] и были названы подходами структурно-имитационного моделирования [92]. Применительно к задачам' механики прочности и разрушения твердого тела, структурно-имитационное моделирование позволяет имитировать такие процессы, как накопление микроповреждений, рост локальных очагов пластической деформации, формирование дефектных ансамблей и дальнейший переход к полному разрушению материала.

В методах, основанных на представлении о среде как о поле автоматов, численное моделирование осуществляется, как правило, согласно следующим этапам:

1) задание внешних размеров образца и определение граничных условий;

2) формирование геометрии внутренней структуры образца;

3) задание распределения локальных свойств материала для каждого автомата по всему объему (например - разброс прочности, упругих модулей, скорости деградации материала и т.п.);.

4) задание связей между автоматами;

5) задание множества возможных состояний автоматов и формулировка правйл их переключения;

6) численная реализация перераспределения и динамики распространения возмущений между автоматами в результате внешних воздействий.

К отличительным чертам применения данного подхода к решению задач разрушения твердого тела можно отнести введение понятия элементарных актов, процесса разрушения [93-95]. При использовании моделей данного класса становится возможным описание процесса накопления повреждений (и дальнейшей деградации материала) с учетом перераспределения напряжений.

Недостатками подобных методов является сложность перевода дискретных состояний в непрерывные величины физических параметров и наличие навязанной анизотропии передачи информации от одного автомата к другому (особенно в задачах газо- и гидродинамики). Данная проблема может быть решена путем развития концепции клеточных автоматов как целого и введением способности автоматов изменять свое пространственное положение. Это было сделано в работах [43,96-98] и развитый метод получил название метода подвижных клеточных автоматов (английская аббревиатура - МСА).

§1.4 Метод подвижных клеточных автоматов

В рамках подхода подвижных клеточных автоматов моделируемый объект рассматривается как набор элементов. Эти элементы и называются подвижными клеточными автоматами. В данном методе элементы среды (автоматы) обладают способностью менять не только свои состояния (подобно классическим автоматам), но также и свои положения и ориентации. Таким образом в рассмотрение необходимо ввести следующие новые параметры автомата: R1 — радиус-вектор, V' — трансляционная скорость, ¿3' —угловая скорость, в' —угол разворота, т' — масса, J1 — момент инерции.

Новая концепция метода МСА основана на введении в рассмотрение состояния пары автоматов (отношения взаимодействующих пар автоматов) дополнительно к обычному— состоянию отдельного автомата. Заметим, что совместное рассмотрение этих состояний позволяет перейти от концепции сеток к концепции соседей. В результате автоматы имеют возможность менять своих соседей путём переключения состояний (отношений) пар.

Подчеркнём, что метод МСА имеет все преимущества обычного подхода клеточных автоматов.

Введение нового типа состояний приводит к новому параметру для

определения критерия переключений межавтоматных отношений —

*

параметру межавтоматного перекрытия:

hU = fJJ _rjj\

Здесь ^ — расстояние между центрами соседних элементов, a rJJ определяется как rJJ = (dl + dJ )/2, где dJ — размер автомата.

В соответствии с концепцией бистабильных автоматов, существует два типа состояний пар (отношений):

связанные Н] < hiJmax {HJi = 0)

несвязанные ' hi} > h1]max (hij3 е (h'JmaXl +00)).

В простейшем случае: связанные — это пары автоматов, между которыми имеется химическая связь, а несвязанные — пары, между которыми нет химической связи.

Таким образом, изменение состояния отношения пары определяется относительным движением автоматов и среда, образованная такими парами может рассматриваться как бистабильная. Начальная структура формируется путём задания определённых отношений каждой паре соседствующих элементов.

Следуя модели Винера-Розенблюта, распределённая бистабильная активная среда может быть описана уравнением:

= /М + I C(/y, ik)I{hlk) + £ C{ij, jl)I(h *), At v ' кФj м

где C(ij,ik(jl)) — коэффициенты, связанные с переносом параметра

перекрытия h от одной пары автоматов к другой; I(hlk(]l)) — явная функция

hlk(,l), которая определяет перераспределение hlk(jl) между парами ij, ik и jl.

Функция состояния пары * f(h']) имеет' смысл относительной скорости

автомата j ( V]n).

В линейном приближении функция I(hlkfjl)) может быть записана как

где у/(0Су\цс()1)) определяется взаимным расположением (ориентацией) пар автоматов у , /к и Д — некоторый параметр взаимной ориентации.

Эволюция среды подвижных клеточных автоматов будет описываться следующими уравненями движения для трансляционной составляющей:

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Моисеенко, Дмитрий Давидович

Основные результаты, полученные в настоящей работе, и выводы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Анализ численных экспериментов, проведенных на основе метода подвижных клеточных автоматов, показал, что в процессе нагружения композита, состоящего из хрупкого покрытия и эластичной подложки, в упругой области формируется блочная структура, каждый элемент которой деформируется по схеме сдвиг+поворот.

2. Показано, что при возникновении несплошностей в зоне контакта хрупкого покрытия и эластичной подложки имеет место локализация упругой деформации и формирование волны сдвига, распространяющейся по границе раздела.

3. Полученные результаты позволили сделать вывод о том, что изменение геометрии зоны контакта покрытие-подложка позволяет направленно изменять динамику генерации повреждений и отклик образца как целого.

4. Разработанный на основе метода клеточных автоматов алгоритм генерации внутреннего строения высокопористых образцов со сложной многосвязной структурой позволяет осуществлять построение пористых образцов с заданными среднестатистическими топологическими параметрами.

5. Применение метода подвижных клеточных автоматов к исследованию особенностей отклика хрупких пористых сред показало, что данный подход достаточно корректно описывает разрушение и с большой степенью достоверности дает возможность прогнозировать прочность материалов данного класса.

6. Проведённые исследования показали,, что на начальной стадии разрушения сложных многосвязных структур "первичные" повреждения генерируются в зонах, которые могут быть интерпретированы как зоны мезоконцентраторов напряжений. Развитие таких повреждений не сказывается катастрофически на несущей способности моделируемых структур. Потеря несущей способности конструкции происходит в результате формирования макроконцентратора напряжений. Развитие трещины в этой области приводит к потере несущей способности конструкции.

7. Проведенные расчеты показали, что знание областей формирования реальных макро-концентраторов позволяет направленным образом локально изменять структуру моделируемой конструкции, повышая тем самым её служебные свойства (при этом не всегда необходимо менять свойства самого материала).

8. Полученные результаты позволили сделать вывод о том, что метод подвижных клеточных автоматов может быть использован для решения задач компьютерного конструирования и оптимизации внутренней структуры керамических покрытий и пористых керамических материалов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Моисеенко, Дмитрий Давидович, 1999 год

Список используемой литературы

1. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Макаров П.В. и др. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2 т. — Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995, —Т. 1, — 298 с.

2. Панин В.Е., Макаров П.В., Псахье С.Г. и др. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2 т. — Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995. — Т. 2.

— 320 с.

3. Physical Mesomechanics of Materials Ed. by V.E Panin Cambridge Interscience Publishing, 1998. -450p.

4. Панин B.E. Основы физической мезомеханики // Физическая мезомеханика. — 1998. — Т. 1, №1. — С. 5-22.

5. Панин В.Е., Плешанов B.C., Гриняев С.Ю. и др.формирование периодических мезополосовых структур . при растяжении поликристаллов с протяженными границами раздела// ПМиТФ —1998— т.39 - №4 - с.141-148

6. Панин В.Е. Методология физической мезомеханики как основа построения моделей в компьютерном конструировании материалов// Известия ВУЗов. Физика. — 1995. — №11. — С.6-26.

7. Панин В.Е., Коротаев А.Д., Макаров П.В., Кузнецов В.М. Физическая мезомеханика материалов // Известия ВУЗов. Физика. — 1998. — №9.

— С.8-37.

8. Панин В. Е., Сырямкин В. И., Парфенов А. В., Панин С. В., Кириков А. А. Новый класс оптико-телевизионных измерительных приборов неразрушающего контроля. Тезисы 2-ой Международной конференции "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии": РОАИ-2-95, Ульяновск, 27 августа - 2 сентября 1995 г. Изд. УГТУ, 1995.

9. Панин В. Е., Сырямкин В. И., Дерюгин Е. Е., Кириков А. А., Кузнецов П. В., НерушГ. И., Панин С. В., Парфенов А. В. Неразрушающий метод контроля материалов на основе методик измерения фрактальных характеристик. Тезисы докладов XIV Международной конференции "Физика прочности и пластичности материалов". Самара, 27 - 29 июня 1995 г. - С. 6-7.

Ю.Кориков А. М., Сырямкин В. И., Титов В. С. Корреляционные зрительные системы роботов. Томск: Радио и связь. Томское отделение, 1990.-264 с.

11.Сырямкин В. И., Панин В. Е., Парфенов А. В., Панин С. В. и др. В кн. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов. Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - С. 176-194.

12.Proc. of FRAMCOS-2, edited by F.H.Wittmann, AEDIFCATIO Publ., D-79104 Freiburg (1995) - Vol. I-III.

13.Мержанов А.Г., Блошекко B.H., Бокий B.A. и др., Пористые СВС-материалы на основе карбида титана, Доклады Академии наук, 1992, -т. 324-№ 5.

14.Родионов В.Н., Сизов И.А., Цветков В.М. Основы геомеханики.- М., 1986.

^.Экспериментальная тектоника: (Методы, результаты, перспективы) .М., 1989

16.Rubin P.J., Rakotomanana L.R., Leyvraz P.F., Zysset P.K., Curnier A., HeegaardJ.H. Frictional' interface micromotions and anisotropic stress distribution in a femoral total hip component // Journal of Biomechanics, 1993,-v. 26 -pp. 725-739.

17.Rakotomanana L.R., Terrier A., Leyvraz P.F., Anisotropic bone adaptation models: application to orthopedic implants.// Reports of LGM-EPFL, Hopital Orthopedique de la Suisse Romande, Lausanne, 1994.

18.Terrier A., Rakotomanana R, Raminaraka N., and Leyvraz P. Adaptation models of anisotropic bone, Computer Methods in Biomechanical and Biomedical Engineering, 1997, - Vol.1 - pp. 47-59.

19.Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Конев A.A., Фомин В.М. Физическая мезомеханика и молекулярно-динамическое моделирование.// Физическая мезомеханика. - 1998. - Т. 1, №2. - С. 21-34.

20.Панин В. Е., Лихачев В. А., ГриняевЮ. В. Структурные уровни деформации твердых тел.- Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1985. -229с.

21.Панин В. Е. Современные проблемы прочности твердых тел. Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук, 1987. - Вып. 3. - С. 87-97.

22.Конева Н. А., Лычагин Д. В., Жуковский С. П. и др. Эволюция дислокационной структуры и стадии пластического течения железо-никелевого сплава. ФММ, 1985. - Вып. 60. №1. - С. 171-179.

23.Панин В. Е., ЕлсуковаТ. Ф. Деформация и разрушение поликристаллов при знакопеременном нагружении как диссипативный процесс// Синергетика и усталостное разрушение металлов. М.: Наука, 1989. - С. 113-138.

24.Розенберг В. М. Ползучесть металлов. -М.: Металлургия, 1967. -267 с.

25.Панин В. Е., ГриняевЮ. В., ЕлсуковаТ. Ф. Неоднородность распределения напряжений и движение зерен как целого в деформируемом поликристалле. Доклады АН СССР, 1989. - Т. 309. -№2. - С. 356-359.

26.Панин В. Е., Егорушкин В. Е., Елсукова Т. Ф., Веселова О. В. Трансляционно-ротационные вихри, дисклинационная субструктура и механизм усталостного разрушения поликристаллов. // Докл. АН СССР, 1989. - Т. 316. - №5. - С. 1130-1132.

27.Ж. Фридель. Дислокации. Пер. с англ. М.:Мир. 1967.-643 с.

28.КеллиА., Гровс Г. Кристаллография и дефекты в кристаллах. М.:Мир, 1974.-215 с.

29.Н. А. Конева, Э. В. Козлов. В кн. Структурные уровни пластической деформации и разрушения. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. С. 123-186.

30.Бэлл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. М.: Наука, 1984. Ч. 2. -431 с.

31. Накопление дефектов, • запасенная упругая энергия и самоорганизация субструктуры. Конева Н. А., Лычагин Д. В., Тришкина JI. И., Козлов Э. В.// Физические аспекты прогнозирования разрушения и формирования гетерогенных материалов,- Л.: ФТИ им. А.Ф.Иоффе, 1987.-С. 20-36.

32.Конева Н. А. Эволюция дислокационной структуры, стадийность деформации и напряжение течения моно- и поликристаллов ГЦК однофазных сплавов. Дисс. ... докт. физ.- мат. наук. Томск, 1987. 620 с.

33. Развороты кристаллической решетки и стадии пластической деформации. Конева Н. А., Лычагин Д. В., Теплякова Л. А. и др.//Теоретическое и экспериментальное исследование дисклинаций. .Л.: ФТИ им. А. Ф. Иоффе, 1984. - С. 161-167.

34. Седов Л. И. Механика сплошной среды. - В 2-х~т. Т.1.- М.: Наука, 1973,-536 с.

35.Годунов С. К. Элементы механики сплошной среды,- М.: Наука, 1978,-304 с.

36.Христианович С.А. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1981, 483 с.

37.Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы высшей математики. В 2 тт. Минск, 1975.

38.Волков Е.А. Численные методы. М., 1987

39.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., 1980.

40.0ден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред,-М.: Мир, 1976,- 464с.

41. Дерюгин Е.Е. Метод элементов релаксации. Новосибирск, 1998.

42.Deryugin Ye.Ye., Moiseenko D.D., Lasko G.V.. Effect of pore concentration on localized plastic deformation in polycrystals.// Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 1998 - v. 29 - pp. 93-98.

43.Псахье С.Г., Хори Я., Коростелев С.Ю., Смолин А.Ю., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Алексеев С.В. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент для моделирования в рамках физической мезомеханики // Известия ВУЗов. Физика. 1995 - №11 - с.58-69.

44.Кушниренко А.Е., Псахье С.Г., Глузман С.М., Панин В.Е. О формировании устойчивых структур из элементов процесса разрушения // Изв. Вузов. Физика, 1987,- N7,- С.46-49.

45.0вчинский А.С. Процессы разрушения композиционных материалов. Имитация микро- и макромеханизмов на ЭВМ. М. 1988.

46.Зайцев М.Г. Статистическое моделирование кластеризации стабильных микротрещин в твердых телах.// ФТТД985 - Т.27. - №2

47.Gardner М., Mathematical games.// Scientific America, 1972, v. 226 -January-p. 104.

48.Burks A.W., Essays on Cellular Automata, University of Illinois, Urbana, 1970.

49.Codd E.F.:, Cellular Automata, Academic, New York, 1968.

50.Nicolis G. and Prigogine I., Self-Organization in Nonequilibrium Systems, Wiley, New York, 1977.

51.Salem J., Wolfram S. Theory and applications of cellular automata: World Scientific edited by Wolfram S., 1986,- PP.362-366.

52.Фон Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов,- М.:Мир, 1971.-212с.

53.Тоффоли Т., Марголус Н. Машины клеточных автоматов,- М.: Мир, 1985,-280с.

54.Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. - М.: Наука, 1990,- 272с.

55.Weimar J.R., Tyson J.J., Watson L.T. Third generation excitable automation for modeling excitable media // Physica D, 1992- Vol.55.- N3-4-pp.328-329.

56.Компьютерное моделирование в физике: в 2т. Гулд X., Тобочник Я.. -М.: Мир, 1990,-Т.2.-С.167-171.

57.Беркович С.Я. Клеточные автоматы как модель реальности: поиски новых представлений физических и информационных процессов,- М.: Изд-воМГУ, 1993,- 112с.

58.Wolfram S. Statistical mechanics of cellular automata // Rev. Mod. Phys., 1983 - V.55 - N6 - pp.601-644.

59.Wolfram S. Computation theory of cellular automata // Commun. Math. Phys., 1984,- V.96.- pp.15-57.

60.Winning Ways: in 2V. Berlekamp E.R., Conway J.H., Guy R.K.- N.Y.: Academic Press, 1982,-V.2.-137p.

61.Gardner M. Wheels Life and other mathematical amusements.- San Francisco: Freeman, 1982-209p.

62.Винер H., Розенбтот А. Проведение импульсов в сердечной мышце. Математическая формулировка проблемы проведения импульсов в сети связанных возбудимых элементов, в частности в сердечной мышце // Кибернетический сборник. М.: Иностр. лит., 1961,-N3 - С.3-56.

63.Hartman Н., Tamayo P. Reversible cellular automata and chemical turbulence // Physica D, 1990,- Vol.45.-N3,- pp.293-306.

64.Chinarov V.A., Gaididei Y.B., Kharkyanen V.N., Sit'ko S.P. Ion pores in biological membranes as self-organized bistable systems // Phys. Rev. A, 1992,-V.46.-N8,-pp. 5232-5241.

65.Kohring G. On the problems of neural networks with multi-state neurons // J. Phys. Sec.l, 1992 - V.2.-N8 -pp. 1549-1552.

66.Малинецкий Г.Г., Шакаева M.C. О клеточном автомате, моделирующем колебательные химические реакции на поверхности // Докл. АН России, 1992,- Т.325- N4,- С.716-723.

67.Nagel К., Schreckenberg М. A cellular automation model for freeway traffic // J. Phys. Sec.l, 1992,- V.2.-N12.-pp.2221-2229.

68.Кушниренко A.E., 'Псахье С.Г., Глузман C.M., Панин В.Е. О формировании устойчивых структур из элементов процесса разрушения // Изв. Вузов. Физика, 1987- N7 - С.46-49.

69.Kushnirenko A.E., Astapenko A.V., Psakhie S.G. Computer imitation modelling of microdamage accumulation under puise loading // Proc. of X International conf. "High energy rate fabrication".- Ljubliana, Yugoslavia, 1989 - pp.819-830.

70.Астапенко A.B., Кушниренко A.E., Псахье С.Г. Влияние теплоотвода на распределение температуры при моделировании горения гомогенной твердофазной смеси. Формирование структуры // Труды Межд. конф. По новым методам в физике и механике деформируемого твердого тела. Томск: Изд-во ТГУ, 1990,-Ч.1.- С.287-291.

71.Псахье С.Г., Шилько Е.В., Негрескул С.И. Об описании движения фронта экзотермической реакции в порошковой среде // Письма в ЖТФ, 1994,- Т.20- Вып.2- С.35-39.

72.Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединённой с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюлл. МГУ. Серия А, 1937,-N6,- С.1-26.

73.Полак JI.C., Михайлов А.С. Самоорганизация в неравновесных физико-химических системах,- М.: Наука, 1983 - 286с.

74.Белинцев Б.Н., Лившиц М.А., Волькенштейн М.В. // Биофизика, 1978-Т.23- N8 - С.864-869.

75.Kuramoto Y. Chemical oscillations, waves, and turbulence.- Berlin: Springer, 1984,-424p.

76. Зельдович Я.Б., Маломед Б. А. Сложные волновые режимы в распределенных динамических системах (Обзор) // Радиофизика, 1982-Т.25- N6 - С.591-618.

77.Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. - М.: Наука, 1980 - 478с.

78.Франк-Каменецкйй Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике - М.: Наука, 1987 - 494с.

79.Мержанов А.Г., Руманов Э.Н. Нелинейные эффекты в макроскопической кинетике // Успехи физических наук, 1987 - Т.151-вып.4 - С.553-593.

80.Langer J.S., Instabilities and pattern formation in crystal growth.// Rev. Mod. Phys., 1980-Vol. 52-pp. 1.

81.Levy Y.E., Some remarks about computer studies of dynamical systems.// Phys. Lett., 1982 - Ser. A - v. 88 - pp 1.

82.LifshitzE.M. and Pitaevskii L.P., Physical Kinetics, Pergamon, New York, 1981.

83.Miller J.C.P., Periodic forests of stunted trees// Philos. Trans. R. Soc. London, 1980 - Ser. A -v. 293 -pp. 48.

84.Baer R.M. and Martinez H.M.// Automata and biology, Ann. Rev. Biophys., 1974 - No. 3 - pp. 255.

85.Willson S., Cellular automata can generate fractals, Iowa State University, Department of Mathematics, preprint, 1982.

86.Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы в распределенных кинетических системах. // УФН, 1979 - т. 128 - №4 -с.625-666.

87.Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. М., 1987.

88.Псахье С.Г. Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук.— Томск, 1989. 89.0вчинский A.C., Гусев Ю.С. Моделирование на ЭВМ процессов

образования, роста и слияния микродефектов в структурно-неоднородных материалах // Механика композитных материалов. 1982 -№4 - с. 585-592

90.Гусев Ю.С., Овчинский A.C. Моделирование на ЭВМ процессов разрушения волокнистых композиционных материалов при постоянно действующей нагрузке .// Механика композитных материалов. 1984 -№2 - с. 263-270

91.Овчинский A.C., Гусев Ю.С. Моделирование ползучести и прогнозирование прочности металлических композитных материалов // Механика композитных материалов. 1981 - №4 - с. 714-718 92.Овчинский A.C. Процессы разрушения композиционных материалов. Имитация микро- и макромеханизмов на ЭВМ. М., 1988

93.Владимиров В.И. Физическая природа разрушения металлов. М., 1984

94.Журков С.Н. Дилатонный механизм прочности твердых тел // ФТТ, -т.25-№11-с. 3114-3123

95.Петров В.А. Дилатонная модель термофлуктуационного зарождения трещин// ФТТ, т.25 - №11 - с. 3124-3127.

96.Смолин А.Ю. Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук.— Томск, 1998.

97.Псахье С.Г., Коростелев С.Ю., Смолин А.Ю., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Моисеенко Д.Д., Татаринцев Е.М.', Алексеев С.В. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент физической мезомеханики материалов// Физическая мезомеханика. — 1998. — Т. 1, №1. — С. 520.

98.Psakhie S.G., Korostelev S.Yu, SmolinA.Yu., Dmitriev A.I., ShilkoE.V., Moiseyenko D.D. Movable Cellular Automata Method as a New Tool of Engineering Mechanics.// Proc. of an ASCE int. specialty conference "Engineering mechanics: a force for 21st century", May 17-20 1998, La Jolla, California.

99.Физические величины// M., Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

100. Псахье С.Г., Моисеенко Д.Д., Дмитриев А.И. и др. О возможности компьютерного конструирования материалов с высокопористой и каркасной структурой на основе метода подвижных клеточных автоматов // письма в ЖТФ - 1998 - т 24. - №10 - С. 71-76

101. Psakhie S.G., Moiseyenko D.D, SmolinA.Yu., Dmitriev A.I., Shilko E.V., Korostelev S.Yu Computer aided Expertise of Carcass-like Materials and Structures, Movable Cellular Automata approach.// Proc. of an

ASCE int. specialty conference "Engineering mechanics: a force for 21st century", May 17-20 1998, La Jolla, California.

102. Панин В.E., Слосман А.И., Колесова H.A. Закономерности пластической деформации и разрушения на мезоуровне поверхностно упрочненных образцов при статическом растяжении. ФММ, 1996 - Т. 82 - вып. 2,- С. 129-136.

103. Шилько Е.В. Изучение отклика твердого тела на мезоуровне на основе развития подхода клеточных автоматов с явным учетом эффектов массопереноса. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Томск, 1997.

104. Коваль A.B., Панин С.В., Трусова Г.В. Влияние поверхностного слоя, упрочненного методом борирования, на характер пластической, деформации на мезоуровне стали 15НЗМА, // тез. Докл. На конф. Молодых ученых «Физическая мезомеханика материалов». 1-3 декабря 1998-с. 17-18

105. Моисеенко Д.Д., Татаринцев Е.М., Псахье С.Г. О возможностях компьютерного конструирования материалов с покрытиями на основе метода подвижных клеточных автоматов, тез. Докл. На конф. Молодых ученых «Физическая мезомеханика материалов». 1-3 декабря 1998 - с.40-41

106. Черемской П.Г., Сл'езов В.В., Бетехтин В.И. Поры в твердом теле. М., 1990