Обучение функциональной линии на уроках математики в 7 - 11 классах на основе метаметодического подхода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат наук Иванова, Ольга Александровна

• Иванова, Ольга Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Иванова, Ольга Александровна

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава I. Теоретические основы обучения математике на основе

метаметодического подхода

§ 1. Метаметодический подход к обучению математике

§2. Межпредметные понятия и особенности их формирования на

уроках математики

§3. Функциональная линия в школьном курсе математики

§4. История развития понятия «функция» в математике

§5. Анализ учебников математики с целью выявления особенностей

изучения функции и ее частных видов

Глава II. Организация процесса обучения функциональной линии

на уроках математики в 7-11 классах

§6. Этапы формирования понятия «функция» на уроках алгебры в

классе

§7. Требования к введению частных видов функций

§8. Организация и основные итоги экспериментальной работы

Заключение

Библиографический список

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обучение функциональной линии на уроках математики в 7 - 11 классах на основе метаметодического подхода»

ВВЕДЕНИЕ

В современной науке процессы интеграции занимают ведущие позиции по отношению к процессам дифференциации: для исследования проблем одной научной области всё чаще привлекаются знания из других наук, появляются новые науки на стыке существующих. Происходящие изменения в науке влекут за собой ускорение темпов развития общества, которое в связи с лавинообразным ростом информации характеризуется как информационное. Человек, живущий в современном информационном обществе, должен ориентироваться в различных областях знаний, быть мобильным, способным применять свои знания в различных ситуациях, адаптироваться в условиях роста информации и быстро меняющегося мира.

В связи с описанными изменениями поменялись требования и к школьному образованию, процессы интеграции нашли отражение в Федеральных государственных образовательных стандартах (ФГОС) второго поколения. С интеграционными процессами, происходящими в науке, связан появившейся в новых стандартах блок метапредметных результатов, который включает:

- формирование у учащихся межпредметных понятий;

- овладение учащимися способами деятельности, применимыми не только в рамках образовательного процесса, но и при решении проблем в других предметных областях и в реальных жизненных ситуациях, так называемых универсальных учебных действий (УУД).

Решение проблемы организации процесса обучения математике, который будет направлен на достижение метапредметных образовательных результатов, предполагает изменения в содержании изучаемого материала. Любая наука представляет собой систему понятий, а значит, понятие является основным элементом содержания материала, изучаемого на уроках, в том числе и на математике. В ФГОС второго поколения рассматриваются предметные и межпредметные понятия, усвоение последних является

базовым условием достижения метапредметных результатов. Проблемой формирования понятий у учащихся занимались следующие учёные: Выготский JI.C., Лященко Е.И., Менчинская H.A., Подходова Н.С. и др. В области методики обучения математике проблемой формирования межпредметных понятий занимались Василенко О. А., Подходова Н. С., которыми был разработан механизм отбора межпредметных понятий, выделены этапы формирования понятий, сводимых к межпредметным понятиям. Под сводимыми к межпредметным понятиями понимались предметные понятия, подчинённые межпредметным. Исследований, посвящённых формированию именно межпредметных понятий в основной и старшей школе, нами не выделено.

Другим направлением достижения метапредметных образовательных результатов является овладение учащимися УУД, которые связаны с применением учащимися знаний, полученных в рамках изучения одного или нескольких учебных предметов, в жизненных ситуациях и при решении задач других учебных предметов. Исследования, проведённые на международном уровне (PISA 2000, 2003, 2006, 2009), показали низкий уровень сформированности умений российских школьников применять полученные на уроках математики знания во внеучебных ситуациях. Исследований, посвящённых формированию у учащихся УУД при обучении математике в основной школе, нами не обнаружено. Возникает необходимость разработки содержания и организации процесса обучения математике, который будет способствовать развитию у учащихся умения применять полученные знания не только в рамках одного предмета, но и на других учебных предметах, и в жизненных ситуациях.

Но усвоение информации невозможно без мотивации и

содержательной связи с опытом ученика как субъекта деятельности.

Усвоению новой для учащихся информации будет способствовать раскрытие

содержания субъектного опыта учащихся по изучаемой теме и установление

связи субъектного опыта с вводимыми научными знаниями. Любую

4

I »

1 VI .

информацию человек переводит на свой язык, и другого пути формирования знаний нет (Якиманская И.С.). То есть, поступающую информацию человек пропускает через свой субъектный опыт, после чего она превращается в индивидуальное знание или отбрасывается. Субъектный опыт учащиеся обретают как в процессе жизнедеятельности, так и при обучении. Несмотря на то, что математика является абстрактной наукой, существует очень немного математических понятий, термин которых не знаком ребёнку, а значит, у ребёнка сформирован определённый субъектный опыт, связанный с этими понятиями. Поэтому, для прочного усвоения знаний необходимо создать на уроке условия, при которых новый учебный материал будет вводиться на основе установления связи с субъектным опытом учащегося. Предоставление учащемуся возможности использовать в процессе обучения имеющийся у него субъектный опыт является необходимым направлением индивидуализации образования, характеризующейся тем, что на первый план выходит личность человека с её индивидуальными особенностями, его сознание, мышление. Индивидуализация является ещё одной тенденцией развития современного информационного общества. Индивидуализация образования нашла отражение в ФГОС второго поколения, в которых появился блок личностных результатов, в частности, такое личностное УУД как смыслообразование.

Анализ научно-педагогической, методической литературы, результатов международных исследований позволил выделить ряд противоречий:

- между современными тенденциями развития науки и общества и исключительным приоритетом внутрипредметной направленности процесса обучения математике в 7-11 классах;

- между образовательными результатами, выделенными в ФГОС второго поколения и результатами, полученными при обучении математике в рамках преобладающей в настоящее время в школе методики обучения математике.

Таким образом, возникает необходимость разработки методики обучения математике, соответствующей современным тенденциям развития науки и общества, отражённых в образовательных стандартах, а именно способствующей достижению метапредметных и личностных образовательных результатов. Такая методика должна быть направлена на установление связи предметных и внепредметных (связанных с другими учебными предметами и жизненными ситуациями) знаний и умений, и построена на основе связи с субъектным опытом ребёнка.

Проблема диссертационного исследования заключается в поиске путей и средств обучения математике, способствующих достижению учащимися в процессе обучения математике метапредметных и личностных образовательных результатов и повышению эффективности усвоения ими математических знаний и умений.

Нами были проанализированы различные интеграционные процессы в образовании и методы обучения математике, основанные на идее интеграции в образовательном процессе: установление межпредметных связей (Зверев И.Д., Коротов М. Н., Скаткин М.Н. и др.), внутрипредметные связи (Коменский Я. А., Ананьев Б.Г., Гальперин П.Я. и др.), преемственность (Годник С.М., Истомина М.Б. и др.), системный подход к обучению (Беспалько В.П., Сластёнин В.А. и др.), реализация принципа целостности (Зинченко В.П., Маслова Н.В. и др.), укрупнение дидактических единиц (Эрдниев П.М.), метод проектов (Блонский П.П., Шацкий С.Т. и др.), идеи фузионизма (Александров А.Д., Глейзер Г.Д., Гусев В.А. и др.) и другие.

Чтобы определить, какое из перечисленных направлений целесообразно выбрать для решения проблемы нашего исследования, необходимо учитывать роль математики в системе наук. Поэтому мы обратились к исследованиям, связанным со спецификой математики, ролью математики в познании мира (Рузавин Г.И., Нысанбаев А.Н., Сухотин А.К. и ДР-)-

Одна из основных ролей математики для остальных наук заключается в описании структуры мысли, формул, на основе которых можно решать определённые проблемы других наук, требующие высокого уровня обобщения и абстракции. Это связано с особенностью математики описывать не свойства вещей, а свойства свойств. Математические объекты являются «абстракцией от абстракции» (Сухотин А.К.), поэтому специфика математики заключается в том, что природа изучаемых объектов несущественна для математики, ей важны отношения между объектами (Сухотин А.К., Клини С., Бурбаки Н., Фейнман Р). Школьная математика, являясь проекцией соответствующей науки, сохраняет эту абстрактность, оторванность от жизни, что вызывает у учащихся сложности в усвоении данного учебного предмета. В целях повышения у учащихся 7-11 классов уровня усвоения математики и развития умения применять полученные на уроках математики знания при решении задач других учебных предметов и в жизненных ситуациях, учителю необходимо устанавливать связь математики с содержанием других учебных предметов. А так как понятие является основным элементом содержания учебного материала, то при установлении такой связи проявится многозначность понятий, которая заключается в наличии у понятий различных учебных предметов, термин или часть термина которых совпадает, как общих, так и специфических свойств. Ввиду абстрактности математики, в субъектном опыте ребёнка смысл понятий, рассматриваемых вне математики, преобладает над смыслом математических понятий, имеющих одинаковый термин. Например, усвоение математического понятия «отношение» вызывает трудности у учащихся, связанные с тем, что с данным термином учащиеся чаще всего встречаются в жизненных ситуациях, и под отношением понимают определенную связь между людьми. На уроках связь между многозначными понятиями не устанавливается, поэтому учащиеся могут перенести специфику понятия одной предметной области на понятие другого учебного предмета. Многозначность понятий проявляется и внутри математики, например, на

уроках алгебры учащиеся знакомятся с понятиями «корень уравнения» и «арифметический квадратный корень», с отношениями, используемыми в разных смыслах, но сравнительному анализу таких понятий не уделяется должного внимания, что приводит к ошибкам в применении учащимися этих понятий. Поэтому возникает необходимость выделения общих и специфических свойств понятий, термин или часть термина которых совпадает на различных учебных предметах.

Рассмотренные выше интеграционные процессы и методы обучения математике раскрывают возможности интеграции содержания различных предметов, но предполагают, что изучение каждого предмета строится в логике соответствующей науки. Обособленность предметных методик приводит к тому, что знания, полученные на одном учебном предмете, не всегда учитываются в ходе изучения другого предмета. Достижение метапредметных результатов на уроках математики предполагает установление связи между содержанием различных учебных предметов, за содержание отвечает методика обучения конкретному предмету, поэтому установление связи на уровне содержания различных учебных предметов требует интеграции методик обучения данным предметам.

С целью осуществления интеграции предметных методик группой учёных (Валицкой А.П., Воюшиной М.П. Подходовой Н.С., Титовой И.М., и др.) разработан метаметодический подход к образовательному процессу. Метаметодика реализует интеграцию в двух направлениях: 1) общественно-исторического опыта, реализуемого в разных учебных предметах, с сохранением особенностей методики каждого; 2) общественно-исторического опыта и субъектного опыта учащихся.

Интеграция в этих направлениях фактически позволяет решить

проблему построения методики обучения математике, соответствующей

современным тенденциям развития науки и общества, отражённых в ФГОС

второго поколения для средней школы. То есть реализация

метаметодического подхода при обучении математике способствует

8

решению проблемы нашего исследования. Поэтому в качестве основного подхода в нашем исследовании был выбран метаметодический подход.

Необходимая для реализации метаметодического подхода связь между содержанием различных учебных предметов достигается, в первую очередь, на основе установления связи между понятиями, так как понятие является базовым элементом содержания изучаемого материала. К межпредметным понятиям, встречающимся в математике, относятся такие понятия, как: «система», «функция», «координаты», «угол», «линия», «круг», «отношение», «пропорция» и другие.

Одним из основных понятий математики является понятие «функция», а функциональная линия, являясь одной из основных содержательных линий школьного курса математики, выделена отдельным блоком в ФГОС второго поколения и является сложной в усвоении учащимися. Результаты исследования PISA показывают, что у учащихся возникают затруднения при применении знаний о функции в конкретных ситуациях, при решении задач других учебных предметов (Ковалева Г.С.). В заданиях, которые предлагались учащимся, необходимо было на основе информации об изменении значений некоторых величин, сделать вывод о свойствах других величин, связанных с ними определённой зависимостью. Учащиеся в этих исследованиях показали наличие узкого объёма понятия «функция», неумение распознавать функциональные зависимости в реальных процессах.

Вышесказанное определяет актуальность разработки методики обучения функциональной линии на основе метаметодического подхода, которая позволит устанавливать связи между зависимостями, рассматриваемыми на разных учебных предметах и встречающихся в жизни, а значит, будет способствовать достижению метапредметных результатов. На различных учебных предметах учащиеся знакомятся с понятиями, соподчинёнными математическому понятию «функция»: «функция пищеварения», «функция растений», «функция денег», «функция государства». Понятия «зависимость», «соответствие» являются родовыми

для математического понятия «функция», и на различных учебных предметах учащиеся часто встречаются с зависимостями и соответствиями, что позволяет установить содержательную связь между учебными предметами при изучении этого понятия.

Объектом исследования выступает процесс обучения функциональной линии на уроках математики в 7-11 классах.

Предметом исследования является методика обучения функциональной линии на уроках математики в 7-11 классах, способствующая достижению метапредметных результатов.

Цель исследования - разработка методики обучения функциональной линии на уроках математики в 7-11 классах на основе метаметодического подхода.

В области методики обучения математике исследований, посвященных изучению функциональной линии в 7-11 классах на основе метаметодического подхода, нами не обнаружено. Вопрос о разработке методики формирования межпредметных и подчинённых им понятий в 7-11 классах, выделении требований к введению частных видов функций на основе метаметодического подхода рассматривается впервые.

Все вышесказанное позволяет сделать вывод об актуальности и новизне темы исследования.

Нами были разработаны основные положения реализации метаметодического подхода к изучению функциональной линии, которые кратко могут быть сформулированы следующим образом:

1) понятие «числовая функция числового аргумента» вводится на основе выделенных в рамках исследования этапов формирования межпредметных и подчинённых им предметных понятий;

2) частные виды функциональных зависимостей вводятся на основе выделенных требований к введению частных видов функций, которые направлены на развитие у учащихся умения выделять функциональные

зависимости среди зависимостей, изучаемых на различных учебных предметах, и описывать реальные процессы с помощью функции.

Гипотеза исследования: если организовать процесс обучения функциональной линии на уроках математики в 7-11 классах на основе метаметодического подхода, то это будет способствовать:

1) достижению метапредметных результатов, а именно:

• овладению учащимися межпредметными понятиями;

• формированию у учащихся логических УУД, связанных с формированием понятий;

• формированию у учащихся умений применять знания, полученные при изучении функциональной линии, в конкретных ситуациях.

2) повышению эффективности усвоения учащимися функциональной линии;

Для достижения поставленной цели и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо решить следующие задачи исследования:

1. На основе анализа психолого-педагогической и методической литературы, констатирующего эксперимента обосновать необходимость разработки методики формирования межпредметных и подчинённых им предметных понятий.

2. На основе анализа школьных учебников алгебры, алгебры и начал математического анализа 7-11 классов и констатирующего эксперимента, обосновать необходимость разработки методики введения частных видов функций.

3. Дать определение межпредметному понятию и установить связи между межпредметными и предметными понятиями.

4. Выделить этапы формирования межпредметных и подчинённых им понятий и требования к введению частных видов функций.

5. На основе выделенных требований и этапов разработать методику обучения частным видам функциональных зависимостей в основной и старшей школе.

6. Осуществить экспериментальную проверку разработанных материалов.

При решении поставленных задач нами использовалась следующая методологическая основа исследования:

• Логическая трактовка понятия и его основные характеристики (Фреге Г.).

• Теоретические разработки в области формирования понятий в сознании человека, методики формирования понятий (Веккер Л.М., Выготский Л.С., Менчинская H.A., Лященко Е.И., Подходова Н.С.).

• Исследования по проблеме реализации процессов интеграции в обучении (Данилюк А. Я., Дик Ю. И., Кириллова Г.К., Колесникова И.А., Коложвари И., Комаров Б.А., Хуторской A.B.).

• Исследования по проблеме метаметодического подхода в образовательном процессе (Валицкая Н.П., Подходова Н.С., Титова И.М.).

• Использование субъектного опыта учащихся в образовательном процессе (Выготский Л.С., Осницкий А.К., Подходова Н.С., Тихомиров O.K., Якиманская И.С.).

Помимо этого в ходе исследования учитывался собственный опыт работы учителем в школе.

В ходе исследования использовались следующие группы методов:

• теоретический анализ научной литературы по теме исследования;

• диагностические методы (опросы);

• констатирующий, поисковый и формирующий педагогические эксперименты;

• математические методы обработки результатов исследования. Основные этапы и организация исследования.

{

Исследование проводилось на кафедре методики обучения математике в РГПУ им А.И. Герцена с 2009 по 2013 год и включало три этапа.

На первом этапе (2009-2010 гг.) осуществлялся анализ литературы по теме исследования, были определены проблема, объект, предмет, цель исследования, сформулирована гипотеза исследования.

На втором этапе (2011-2012 гг.) была уточнена формулировка межпредметных и подчинённых им понятиям, разработаны этапы формирования межпредметных и подчинённых им понятий, выделены требования к введению частных видов функций, разработана методика изучения тем «Линейная функция» в 7 классе, «Квадратичная функция» в 8 классе, «Показательная функция» в 10 классе, «Логарифмическая функция» в 11 классе, проведён поисковый эксперимент.

На третьем этапе (2012-2013 гг.) проведён формирующий эксперимент по разработанным методикам, осуществлена количественная и качественная обработка материалов апробации, сформулированы общие выводы и заключение по проведённому исследованию.

На защиту выносятся следующие положения:

1. В целях достижения метапредметных результатов процесс обучения математике целесообразно строить на основе метаметодического подхода. Это обусловлено тенденциями развития науки и общества на современном этапе, которые нашли отражение в ФГОС второго поколения в блоке метапредметных и личностных образовательных результатов, направленностью метаметодического подхода и спецификой математики.

2. Содержание межпредметного понятия составляют общие свойства

понятий, подчинённых межпредметному. Объём межпредметного понятия

состоит из всех значений подчинённых ему понятий, которые являются

соподчинёнными между собой. В процессе обучения математике

необходимо устанавливать связь между: а) межпредметным и

подчинёнными ему предметными понятиями; б) соподчинёнными

понятиями, изучаемыми на разных учебных предметах. Эту связь

13

1 , 1 • ' ■ > , >

> ( <

К В 11Н1 I I ИНКИ И!..................г

целесообразно устанавливать на уровне обобщённого представления (предпонятия по Выготскому Л.С.) о межпредметном понятии. Обобщённое представление включает в себя набор свойств, существенных для понятия, и образы (восприятия и памяти), адекватные понятию.

3. Математическое понятие «функция» и функции, рассматриваемые вне математики, являются соподчинёнными понятиями. Установление связи между различными смыслами (объективными и субъективными) понятия «функция» целесообразно с точки зрения достижения метапредметных и личностных результатов, а также предметных результатов в силу абстрактности математических понятий. Установление такой связи не противоречит математической трактовке понятия «функция» и обосновано с точки зрения логики, семантики и истории развития понятия «функция» в математике.

4. Методика формирования межпредметных и подчинённых им понятий строится в соответствии с этапами, которые должны учитывать формирование понятий в сознании человека и связь с субъектным опытом учащихся. Этапы объединены в два блока, этапы первого блока учитель выполняет при подготовке к уроку, второй блок реализует непосредственно на уроке. При подготовке к уроку учителю необходимо выполнить логико-предметный анализ соподчинённых понятий и сконструировать обобщённое представление о межпредметном понятии.

5. Методика обучения функциональной линии должна строиться на основе требований к введению частных видов функций, которые отражают направления реализации метаметодического подхода. Эти требования включают группы требований к: 1) этапам урока; 2) задачному материалу; 3) организации урока.

6. Обучение функциональной линии на уроках математики в 7-11 классах на основе метаметодического подхода способствует повышению эффективности усвоения знаний учащимися и достижению ими метапредметных результатов, а именно формированию межпредметных

понятий и овладению учащимися познавательными УУД, в частности, умением выделять свойства, существенные для понятия, определять понятия и относить объект к понятию.

Научная новизна исследования заключается: в постановке проблемы обучения функциональной линии на уроках математики на основе метаметодического подхода; в выделении объёма и содержания межпредметного понятия; в раскрытии связи между предметными понятиями и межпредметными, обосновании необходимости формирования обобщённого представления о межпредметном понятии;

в разработке методики формирования математического понятия «числовая функция числового аргумента», как подчинённого межпредметному понятию «функция»; 1

в разработанной методике обучения частным видам функций на основе метаметодического подхода.

Теоретическая значимость исследования заключается в следующем: обоснована целесообразность использования метаметодического подхода при обучении математике в целях реализации ФГОС второго поколения; разработана трактовка межпредметного понятия;

обоснована необходимость формирования обобщённого представления о межпредметном понятии на уроках математики;

обоснована и описана связь между межпредметными и предметными понятиями;

обоснована с логической и исторической точки зрения возможность установления связи между различными смыслами межпредметного понятия «функция», встречающихся как на уроках математики, так и на других учебных предметах;

выделены этапы формирования межпредметных и подчинённых им понятий;

• выделены требования к введению частных видов функций на основе метаметодического подхода.

Практическая значимость исследования состоит в:

• разработке методики формирования понятия «функция» на уроках алгебры на основе выделенных этапов формирования межпредметных и подчинённых им понятий;

• разработке учебного материала, который можно использовать для обучения функциональной линии на основе метаметодического подхода;

• разработке методики введения таких частных видов функций, как линейная функция, квадратичная функция, показательная функция и логарифмическая функция;

• возможности применения основных положений реализации метаметодического подхода не только к понятиям функциональной линии, но и к другим понятиям школьного курса алгебры, алгебры и начал анализа.

Рекомендации об использовании результатов диссертационного исследования: разработанная методика и учебный материал могут быть использованы учителями математики общеобразовательных школ в процессе работы, кафедрами методики обучения математике при подготовке учителей

г

математики, структурами системы повышения квалификации учителей математики. •

Обоснованность и достоверность полученных выводов основывается на анализе научной литературы по проблеме исследования, проведении констатирующего и формирующего экспериментов, в которых участвовало 505 учащихся, применении методов исследования, адекватных предмету, целям, задачам исследования, апробацией результатов опытной работы в школах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Иванова, Ольга Александровна, 2013 год

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.] - 18-е изд. - М.: Просвещение, 2012. - 464 с.

2. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [С. М. Никольский, М.К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - 8-е изд. - М.: Просвещение. 2009. - 430с.

3. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович. - 10-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 399 с.

4. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [С. М. Никольский, М.К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - 8-е изд. - М.: Просвещение. 2009. - 464с.

5. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. 13-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2009. - 160 с.

6. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.] - 18-е изд. - М.: Просвещение, 2011. -224 с.

7. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. - 18-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 240 с.

8. Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. - 15-е изд. -М.: Просвещение, 2007. - 271 с.

9. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. 12-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2010. - 215 с.

10. Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.] - 17-е изд. - М.: Просвещение,

2010.-255 с.

11. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович., П. В. Семенов. 12-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2010. - 224 с.

12. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.] - 16-е изд. - М.: Просвещение,

2011.-287 с.

13. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 271 с.

14. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [С. М. Никольский, М.К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - 8-е изд. - М.: Просвещение. 2010. - 285 с.

15. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [С. М. Никольский, М.К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - 6-е изд. - М.: Просвещение. 2010. - 287 с.

16. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.]. - 18-е изд. - М.: Просвещение, 2011. -255 с.

17. Алгебра: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / [С. М. Никольский, М.К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - 6-е изд. - М.: Просвещение. 2010. - 255с.

18. Александров А. Д. О геометрии // Математика в школе. 1980. № 3. С. 56-62.

19. Ананьев Б.Г. Теория ощущений. Л.: ЛГУ, 1961. - 116 с.

150

20. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. - 3-е изд., стереотип. -М.: МЦНМО, 2011. - 32 с.

21. Арнольд В.И. Математическое понимание природы: Очерки удивительных физических явлений и их понимания математиками (с рисунками автора). - 2-е изд., исправл. - М.: МЦНМО, 2010.- 144 с.

22. Барабанов В. В., Баранова Е.В., Елизарова И.К., Подходова Н.С., Роговая О.Г., Симонова И. В., Соболева О.Б. Интеграция научной, прикладной, социокультурной составляющих подготовки студентов естественнонаучных и математических специальностей средствами гуманитарных технологий: Методическое пособие. - СПб.: ООО «Книжный дом», 2007. - 268 с.

23. Батоврин В.К. Толковый словарь по системной и программной инженерии. - М.:ДМК Пресс. - 2012. - 280 с.

24. Беспалько В.П. О возможности системного подхода в педагогике / В.П.Беспалько // Педагогика. - 1990. - № 7. - с. 7-13.

25. Блонский П.П. Избранные педагогические и психологические сочинения в 2-х томах. Т.1./ П.П. Блонский. М.: Педагогика, 1979. - 304с.

26. Блох А. Я., Гусев В. А., Дорофеев Г. В. и др. Сост. В. И. Мишин. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. М.: Просвещение, 1987.— 416 с.

27. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д., Черкасов P.C. К вопросу о перестройке общего математического образования. //Повышение эффективности обучения математике в школе. Книга для учителя. Сост. Г.Д. Глейзер. -М.: Просвещение, 1989. - с. 231-238.

28. Большой психологический словарь / Сост. Б. Г. Мещеряков ; В. П. Зинченко. - СПб. : Олма-Пресс ; М. : Прайм-еврознак, 2004. - 666 с.

29. Большой энциклопедический словарь. -2-е изд., перераб. и доп. - М.: Большая Российская энциклопедия. СПб.: Норинт, 2000. - 1453 с.

30. Валицкая А.П. Метаметодический подход: конфликт интерпретаций // Метаметодика какперспективное направление развития частных методик: (Материалы II Всерос. науч.-практ. конф.). СПб., 2005. - с. 29-32.

31. Василенко O.A. Формирование межпредметных понятий при обучении математике в основной школе [Текст] : дис. канд. пед. наук; 13.00.02; защищена 24.05.07 / O.A. Василенко; науч. рук. докт. пед. наук, проф. Н.С.Подходова; РГПУ. - СПб., 2007. - 134 с.

32. Веккер JI.M. Психические процессы В 2-х т. Т. 1: Изд-во ЛГУ, 1974. -334 с.

33. Веккер Л.М. Психические процессы В 2-х т. Т. 2: Изд-во ЛГУ, 1974. -342 с.

34. Вернадский В. И., Научная мысль как планетарное явление. М., 1991. -270 с.

35. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклас .чтения IX - X классы. - 2-е изд., испр. - М.: Просвещение, 1985 - 192 с.

36. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся / под ред. И.С.Якиманской; науч.-исслед. ин-т общей и педагогической психологии Академии пед. наук СССР. М. : Педагогика. -1989.-224 с.

37. Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе: Сб. статей / Сост. Е.Г. Глаголева, О.С. Ивашев-Мусатов. - М.: Просвещение, 1980.-256 с.

38. Выготский Л. С., Сахаров Л. С. Исследование образования понятий: Методика двойной стимуляции // Хрестоматия по общей психологии. - М. : Издательство Московского университета, 1981. -с. 194-204.

39. Выготский Л.С. Лекции по педологии 1933 - 1934. - Ижевск: Изд-во Удмурт, ун-та, 1996. - 295 с.

40. Г. Фреге. Логика и логическая семантика. - М.: Аспект Пресс, 2000. -512 с.

41. Гайнулова Ф. Межпредметные связи на уроках математики // Учитель. — 2007.-№4.-с.11-13.

42. География: Материки и океаны: в 2 ч. 4.1. Планета, на которой мы живём. Африка. Австралия: учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений / Е.М. Домогацких, Н.И. Алексеевский. - М.: ООО «Русское слово - учебник», 2012. - 280 с.

43. Гнеденко Б. В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математики. - М.: Просвещение, 1982. - 116 с.

44. Гнеденко Б.В. Математика в современном мире: Кн. Для внеклассного чтения 8-10 классов. - М.: Просвещение, 1980. - 128 с.

45. Годник С.М. Проблемы изучения преемственности высшей и средней школы // Советская педагогика. 1980. № 9. с. 52-56

46. Данилюк А. Я Теория интеграции образования. Ростов - на - Дону, 2000. -201 с.

47. Данилюк А. Я. Теория интеграции образования. Издательство Ростовского педагогического университета, 2000. - 251 с.

48. Дик, Ю.И. Интеграция учебных предметов / Ю.И. Дик //Современная педагогика. - 2008. - № 9. - с. 42-47

49. Дорофеев Г.В. Понятие функции в математике и в школе // Математика в школе. - 1978. - №2. - с. 27-29.

50. Зверев И.Д., Максимова В.Н. Межпредметные связи в современной школе. -М.: Педагогика, 1981. - 160 с.

51. Зимняя И. А. Педагогическая психология. - М. : Издательская корпорация «Логос», 1999. - 384 с.

52. Зимняя И. А. Ключевые компетентности как результативно-целевая основа компетентностного подхода в образовании. Авторская серия. Москва: Исследовательский центр проблем качества подготовки специалистов, 2004. -42 с.

53. Зинченко В. П. Психологические основы педагогики. М.: Гардарики, 2002. —431 с.

54. Изучение алгебры в 7-9 классах: Кн. для учителя / Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М.В. Ткачева и др. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2004. - 286 с.

55. Истомина Н.Б. Преемственность при изучении чисел в начальной и основной школе. - М.:МПСИ, 2003. - 143с.

56. Как мозг осваивает математику. Практические советы учителю / Дэвид Соуза. - М.: Ломоносовъ, 2010. - 240 с.

57. Как научить ребенка думать / Ю. Г. Тамберг. - Ростов н/Д: Феникс, 2007. - 445 с.

58. Келбакиани В.Н. Межпредметные связи в естественно-математической и педагогической подготовке учителей. - Тбилиси, 1987. - 291 с.

59. Кириллова Г.Д. Процесс развивающего обучения как целостная система. -СПб.: Образование.- 1996.- с. 6-7.

60. Колесникова И.А. Педагогические проблемы интеграции в образовании. Проблемы интеграции в естественнонаучном образовании. Ч. 2СП6., 1994, с. 5-9

__V

61. Коложвари И., Сеченникова Л. Как организовать интегрированный урок. // Народное образование. -1996г.- №1. - с.87-89.

62. Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л., Мокрушин Е. Л. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М., «Просвещение», 1977. - 480 с.

63. Колягин Ю.М., Оганесян В.А., Саннинский В.Я., Луканин Г.Л. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. — М.: Просвещение, 1975. — 462 с.

64. Комаров Б. А. Теория и практика согласованного обучения. Спб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2006. - 289 с.

65. Коменский Я.А. Сочинения. - М.: Наука, 1997. - 476 с.

66. Коротов В.М. Межпредметные связи в учебно-воспитательном процессе / В.М. Коротов // Народное образование. - 1976. - №4. - с. 38-42.

67. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Е.И. Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф. Кириченко и др.; Под ред. Е.И. Лященко. - М.: Просвещение, 1988. - 224 с.

68. Ляпин С.Е. (ред) Методика преподавания математики в 8-летней школе.

- М., Просвещение, 1965. - 745 с.

69. Лященко Е.И. Изучение функций в курсе математики восьмилетней школы. Мн., «Нар. Асвета», 1970. - 176 с.

70. Мадер В.В. Введение в методологию математики. Гносеологические, методологические и мировоззренческие аспекты математики. Математика и теория познания. М.: - Интерпракс, 1994. - 448 с.

71. Маркова А.К. Формирование мотивации учения в школьном- возрасте. -М.: Просвещение, 1983. - 96 с.

72. Маслова Н.В. Ноосферное образование. Научные основы. Концепция. Методология, технология. - М.: Институт "Холодинамики", 2002. - 338 с.

73. Математические действия / Я. И. Перельман. - М.: ACT: Астрель; Владимир: ВКТ, 2008. - 89 с.

74. Математический энциклопедический словарь. /Гл. ред. Ю.В. Прохоров;

- М.: Сов. Энциклопедия, 1988. - 847 с.

75. Межпредметные связи естественно-математических дисциплин (Под редакцией В.Н. Федоровой) -М.: Просвещение, 1980. - 88 с.

76. Межпредметные связи естественно-математических дисциплин: Пособие для учителей: Сб. статей / Под ред. В. Н. Федоровой. - М.: Просвещение, 1980. - 86 с.

77. Межпредметные связи: формирование познавательной активности школьников / Н. А. Провоторова. - М.: Издательство Московского психолого-педагогического социального института; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 2007. - 272 с.

78. Менчинская Н. А. Мышление в процессе обучения // Исследования

мышления в советской психологии. - М., 1966. - с. 349-387

155

79. Менчинская Н. А. Проблемы учения и умственного развития школьника. - М.: Педагогика, 1989.-218с.

80. Менчинская H.A. О концепции формирования умственных действий //Вопросы психологии. - 1960. -№ 1.-е. 157-164.

81. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под научн. ред. Н. JI. Стефановой, Н.С. Подходовой. - 2-е изд, испр. -М.: Дрофа, 2008.-415 с.

82. Методика и технология обучения математике. Лабораторный практикум: учеб. пособие для студентов матем. факультетов пед. университетов / под науч. ред. В.В. Орлова. - М.: Дрофа, 2007. - 320 с.

83. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведение / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина.; Под ред. В.А. Гусева. - М.: Издательский центр «Академия». 2004. - 368 с.

84. Мышление и речь: сборник / Лев Выготский. - М.: ACT: Астрель, 2011. -637 с.

85. Новый словарь русского языка. Толково-словообразовательный / Т. Ф. Ефремова. - Москва : Рус. яз.Т.2 : П-Я. - 2000. - 1088 с.

86. Общая биология: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учреждений. Вертьянова С.Ю. (под ред. Алтухова Ю.П.) М.:Дрофа, 2012. -352 с.

87. Обществознание: человек, право, экономика: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / под ред. Л.Н. Боголюбова, Л.Ф. Ивановой. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 175 с.

88. Ожегов С.И., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка. М.: Аз; Издание 3-е, стер., 1996. - 928 с.

89. Осницкий А. К. Структура, содержание и функции регуляторного опыта человека. М., 2001. - 370 с.

90. Основные результаты международного исследования образовательных достижений учащихся PISA-2009: аналитический отчет / под науч. ред. Г.С. Ковалевой. - М.: МАКС Пресс, 2012.-173 с.

156

91. Основы личностно ориентированного образования / И.С. Якиманская. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. - 220 с.

92. Петров В.А. Прикладные задачи на уроках математики: Книга для учителя математики и студентов математических факультетов педвузов. -Смоленск, 2001. - 272 с.

93. Подходова Н. С. Взаимодействие общественно-исторического и субъектного опыта учащихся в рамках метаметодической модели культуротворческой школы. Метаметодика как перспективное направление интеграции предметных методик обучения: Сб. научных статей. СПб.: Сударыня, 2009. - с. 32-39.

94. Подходова Н. С. Метаметодическая модель школы (в контексте образовательных стандартов второго поколения). // Письма в Эмиссия.Оффлайн (The Emissia.Offline Letters): электронный научный журнал. Май 2010, ART 1416, - СПб., 2010г. - URL: http://www.emissia.org/offline/2010/1416.htm . - Гос.рег. 0421000031. - ISSN 1997-8588. - [дата обращения 26.09.2013]

95. Подходова Н.С. МЕТАМЕТОДИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМУ ПРОЦЕССУ // Современные наукоемкие технологии. - 2004. - № 6 - стр. 14-16 URL: www.rae.ru/snt/?section:=content&op=show_article&article_id=3644 (дата обращения: 29.09.2013)

96. Подходова Н.С., Аранова C.B., Комаров Б.А., Леонтьева О.В., Суворова Е.П. Метапредметные задания как средство достижения образовательных результатов. Учебно-методическое пособие (5-11 классы). Выпуск 1. - СПб.: издательство ООО «Фора-принт», 2012.-185 с.

97. Подходова Н.С., Ложкина Е.М. Введение в моделирование. Математические модели в естествознании (биология, химия, экология): Учебное пособие. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2009. - 177 с.

98. Подходова. H. С. Методика формирования междисциплинарных понятий (на примере обучения математике). Учеб.-метод, пособие. Доп. УМО по напр. пед. обр. - СПб, Изд-во РГПУ, 2006. - 176 с.

99. Примерные программы по учебным предметам. Математика. 5-9 классы: проект. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 67 с.

100. Примерные программы среднего (полного) общего образования: математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: 10 -11 классы / Е.А. Седова, C.B. Пчелинцев, Т.М. Мищенко и др.; под общ. ред М.В. Рыжакова. - М.: Вентана-Граф, 2012. - 136 с.

101. Психологические проблемы формирования научного мировоззрения школьников / ред. Н. А. Менчинская. - М. : Просвещение, 1968. - 240 с.

102. Родионов М. А. Мотивация учения математике и пути её формирования. - Саранск: Изд-во МГПИ им. M. Е. Евсевьева, 2001. - 252 с.

103. Ромашкова Е. В. Функции и графики в 8-11 классах. - М.: ИЛЕКСА, 2011.-171 с.

104. Рузавин Г.И. О природе математического знания. (Очерки по методологии математики) М.: Мысль, 1968. - 302 с.

105. Рыбников К. А, История математики, в 2-х томах. М.: Изд-во Московского университета. Том II - 1963, - 336 с.

С. Ю. Вертьянов, под ред. Ю. П. Алтухова. М.: Свято-Троицкая Сергиева Лавра, 2012. — 352 с.

106. Саранцев Г.И. Как сделать обучение математике интересным: кн. для учителя / Г. И. Саранцев. - М.: Просвещение, 2011. - 160 с.

107. Скаткин И.Н. Батурина Г.И. Межпредметные связи, их роль и место в процессе обучения - В кн.: Межпредметные связи в процессе преподавания основ наук в средней школе. Тезисы Всесоюзной конференции, ч. 1, М., -1973.-28 с.

108. Сластенин В. А., Исаев И. Ф. и др. - Педагогика: Учебное пособие для студентов педагогических учебных заведений , М.: Школа-Пресс, 1977. -512 с.

109. Столяр А.А. Методы обучения математике. - Минск, Высшая школа, 1966.- 191 с.

110. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. Пер. с нем. - 5-е изд., испр - М.: Наука. Гл. ред. Физ.мат. лит., 1990. - 256 с.

111. Сухотин А.К. Философия в математическом познании. — Томск, 1977. -160 с.

112. Теплов Б. М. Способности и одарённость. // Психология индивидуальных различий. Тексты. М.: изд-во Моск. Ун-та, 1982. - 134 с.

113. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: Кн. для учителя / О.Б. Епишева. - М.: Просвещение, 2003. - 223 с.

114. Титова И.М. Метаметодическая интерпретация модели культуротворческой школы. // Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена. СПб., 2002. - N 2(3) серия Психолого-педагогические науки - с. 176-184.

115. Тихомиров O.K. Психология мышления. М.: МГУ, 1984,- 271 с.

116. Турчанинова Е.В. Формирование понятий "функция" и "функциональная зависимость величин" у учащихся основной школы в условиях реализации межпредметных связей физики с математикой: Дис. канд. пед. наук. Челябинск. 2005. - 161 с.

117. Упражнения в обучении математике / Г. И. Саранцев. - 2-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 2005. - 255 с.

118. ФГОС - Глоссарий - М-П - Метапредметные результаты образовательной деятельности [Электронный ресурс]. URL: http://standart.edu.ru/catalog.aspx7CatalogIcN824 (дата обращения: 26.09.2013)

119. Физика. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений. Базовый и профил. уровни. / Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, В. М. Чуругин, под редакцией В. И. Николаева и Н. А. Парфеновой. - 19-е изд. М.: Просвещение, 2010.-399 с.

120. Физика. 7кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений /А. В. Перышкин. — М.: Дрофа, 2012. - 181 с.

159

121. Федорец Г. Ф. Проблема интеграции в теории и практике обучения. — СПб.: РГПУ, 1989.-94 с.

122. Фоминых Ю.Ф. прикладные задачи по алгебре 7-9 классов: Книга для учителя. - М., 1999. - 112 с.

123. Фридман JI.M. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. - М., 1983.- 160 с.

124. Химия. 11 класс. Базовый уровень: учеб. для. общеобразоват. учреждений / О.С. Габриелян. - 2-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2007. - 218 с.

125. Хинчин А. Я. Основные понятия математики и математические определения в средней школе. Изд. 2-е. - М.: Издательство ЛКИ, 2008. - 56 с.

126. Хуторской A.B. Метапредметный подход в обучении: Научно-методическое пособие. — М. : Издательство «Эйдос»; Издательство Института образования человека, 2012. — 50 с.

127. Шацкий С. Г. Избранные педагогические сочинения. — М.: Учпедгиз, 1958. —432 с.

128. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. - Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. Книга для учителя . М.: Просвещение 1986. - 257 с.

129. Яглом И. М. Математика и реальный мир. Изд. 3-е., стереотипное. - М.: КомКнига, 2007. - 64 с.

130. Якиманская И. С. Разработки технологии личностно ориентированного обучения. // Вопросы психологии. 1989. № 6. с. 3-29.

131. Яков Перельман Живая математика. Математические рассказы и головоломки. Издательство: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, Москва, 2007. - 272 с.

1. что такое функция?

2. выпишите для каждого номера функции:

I. Обратная пропорциональность;

II. Логарифмическая функция;

III. Линейная функция;

IV. Показательная функция соответствующие описания этой функции:

1) При изменении х на одно и то же число, значение у изменяется в одном и том же отношении;

2) если абсцисса изменяется на какое-то число, то значение функции изменяется пропорционально изменению абсциссы;

3) если переменная увеличивается или уменьшается в одном и том же отношении, то значение функции увеличивается на одно и то же число;

4) если х увеличивается (уменьшается) в какое-то число раз, то у уменьшается (увеличивается) в такое же число раз;

5) если аргумент изменяется на какое-то число, то значение функции увеличивается на квадрат этого числа;

6) у = 1х+т;

7) У=а

9)у = 1оё*х

3. какие функции вы будете использовать при решении следующих задач?

1) Ученик пришел в школу с новостью. В течение первой минуты он рассказал новость ещё одному ученику. Каждую следующую минуту новость узнавали вдвое больше людей, чем в предыдущую. Через сколько минут новость будут знать ученики всей школы? (в школе 300 учеников).

2) В 2010 году в заповеднике находится 19 зубров. Известно, что при данных условиях обитания количество зубров с каждым годом будет увеличиваться на 3. сколько зубров будет через пять лет? (будем считать, что зубры в течение этого времени не будут умирать).

3) Известно, что некая колония микроорганизмов размножается прямо пропорционально их первоначальному количеству. В начальный момент 1=0 имелось 120 бактерий, а в течение 4 часов их число удвоилось. В какой момент времени будет 15360 бактерий, достаточных для заражения человека?

4. вспомните ситуацию, для описания которой можно использовать:

а) показательную функцию;

б) логарифмическую функцию.

Урок 1. Квадратичная функция

Тема урока: функция вида у = х2

Название урока: почему среди нас нет Дюймовочек?

Ход урока

I. Организационный момент II. Учебная доминанта

И вслед раздался голос шумный: «Куда ты, витязь неразумный? ...

И вот лист кувшинки поплыл по течению. Течение было сильное, и лист плыл очень быстро...

- Укажите авторов и названия произведений, фрагменты которых вы видите.

- Что отличает жертву Черномора и Дюймовочки от обычных людей? (Размеры, гигант и карлик.)

- Почему нет людей таких размеров, как вы думаете?

- Поможет ответить на этот вопрос новый вид функциональной зависимости.

- На рисунке вы видите, как выглядел бы человек, если бы он был великаном. В конце урока мы поймём, почему именно так.

III. Выявление субъектного опыта

Выпишите номера функциональных зависимостей между множеством X и множеством Y.

Россия Италия

Испания

Беларусь

Украина

Голландия

X: мноожество государств У: множество флагов

X: множество тумб на рисунке У: множество слонов на рисунке

3)

6) у = 8х - 15

4) 7)^ = 2

5)

► х

8 )х = 5

IV. Актуализация знаний

1) Бочонки лото расставлены в такой последовательности: на первом месте - бочонок с номером 1, на втором - с номером 4, на третьем - с номером 9 и т.д. Бочонок с каким номером будет стоять на 5 месте?

2) Установите соответствие между функцией и её аналитическим заданием с помощью стрелочек:

Линейная функция

Прямая пропорциональность

Обратная пропорциональность

у = кх

у = -

у = кх + Ь

V. Формирование объёма понятия

Задача 1.

Проводится конкурс ландшафтных дизайнеров. На первом этапе надо украсить цветами квадратную клумбу, с длиной стороны 1 метр, на втором этапе - квадратную клумбу, с длиной стороны 3 метра, на третьем этапе - с длиной стороны 6 метров. А победителю конкурса предоставляется возможность показывать мастер-класс по украшению клумбы, в 1,5 раза большей, чем на 3 этапе. Заполните таблицу и ответьте на вопросы.

а, м 1 3 6 9

Б.м2

1) Найдите: а2 : а], аз : а], а3 : а2, а4 : а;/

2) Вычислите: £2 : 5/, Яз : $3 : ^ : б1/;

3) Чем являются числа, полученные в задании 2 по отношению к числам, полученным в задании 1 ? (Квадратами.)

Задача 2.

В каком цирке арена больше - в Московском цирке на цветном бульваре или в Санкт-Петербургском цирке на Фонтанке? Диаметр цирковой арены одинаков во всём мире - 13 метров. Почему? Так сложилось исторически, потому что циркачи люди мигрирующие. Они дают представления в разных городах и поселениях. Люди ещё могут привыкнуть к разным подмосткам, а вот животные нет. Именно поэтому цирковая арена с начала XIX века обрела фиксированный размер - 13 метров в диаметре.

1) Найдите площадь цирковой арены.

2) Какие ещё артисты или спортсмены выступает на участке в форме круга? (Борцы.)

3) Борцы самбо борются на татами (ковре для борьбы) диаметром 9 м. Найдите площадь этого ковра.

4) Во сколько раз радиус цирковой арены больше радиуса татами? (В 13/9.)

5) Во сколько раз площадь цирковой арены больше площади татами? (В 169/81.)

6) Возведите 13/9 в квадрат. Какое отношение показывает получившееся число?

Задача 3.

Известно, что И - прочность кости человека, ш - масса, которую может выдержать кость, в - площадь поперечного сечения кости. Известно, что прочность кости человека 170 Н/мм2. Чтобы найти массу, которую может выдержать кость, надо прочность умножить на площадь и разделить на % = 9,8 Н/кг). Кость голени человека имеет площадь поперечного сечения 2,8 см . Какую массу может выдержать данная плечевая кость? (4760 кг).

165

Оказывается, кость прочнее гранита и бетона. Причиной высокой прочности кости является сочетание эластичности и твёрдости: кость состоит из эластичного коллагена и кристаллов гидроксиапатита кальция. Задача 4.

Радиус поперечного сечения берцовой кости человека 15 мм. Вычислите площадь поперечного сечения, если считать что поперечное сечение является кругом. Задача 5.

Нагрузка на кость голени может быть принята как масса всего человека, так как он может стоять на одной ноге. Кость голени в вертикальном положении может выдерживать до 600 кг. Если увеличить радиус поперечного сечения этой кости в 10 раз, то, во сколько увеличится масса, которую она может выдержать? А если в 100 раз?

Чтобы ответить на этот вопрос, подумайте, во сколько раз при этом будет увеличиваться площадь поперечного сечения. Заполните пропуски:

1) При увеличении длины стороны квадрата в 2 раза, площадь увеличивается в ... раза. Число... является квадратом числа ....

2) Если длину стороны квадрата уменьшить в 1,5 раза, то площадь уменьшится в ... раза. Число ... является ... числа ....

Постройте график зависимости площади квадрата от длины его стороны. Как можно назвать эту зависимость? {Квадратичной.) Вернёмся к примеру с Дюймовочкой и великаном.

Допустим, есть человек массой 90 кг. И мы увеличиваем его массу в 10 раз. При увеличении роста и сохранении пропорций вес тела увеличивается пропорционально объему тела, который возрастает в кубической зависимости от линейных размеров тела. Что касается прочности кости, то она увеличивается пропорционально площади ее поперечного сечения, которая, как мы выяснили, от линейных размеров зависит квадратично. Так при увеличении роста человека в 10 раз, его вес увеличится в тысячу раз. А площадь поперечного сечения кости голени только в сто. То есть прочность кости станет в десять раз меньше. Гигант просто не сможет стоять на ногах, они сломаются.

Чтобы не сломались, площадь их поперечного сечения нужно увеличить в десять раз. Как будет выглядеть такой человек, вы видели на рисунке в

166 (

И 11( ' ' . ч , »л , ¡Л1' ' о «•

начале урока. Аналогичные рассуждения можно привести и по отношению к Дюймовочке. Попробуйте нарисовать, как будет выглядеть Дюймовочка. Ответ:

VI. Запись определения в алгоритмизированном виде

2 2

Мы рассмотрели функции вида S = а , S = ш .

2 2

В общем виде можно записать так: у = х , у = ах . опр: функция называется квадратичной, если: 1) она имеет вид у = ах2; 2 )афО.

Особенность процессов, описываемых квадратичной функцией: при увеличении (уменьшении) зависимой переменной в какое-то число раз, зависимая переменная увеличивается (уменьшается) в квадрат раз этого числа.

Характеристическое свойство квадратичной функции: — -

VII. Задания на распознавание

Предложить выбрать среди записанных на доске формул, графиков, характеристических свойств, особенностей процессов те, которые задают квадратичную функцию.

1)y= ;

2) при уменьшении независимой переменной в 3 раза, зависимая переменная уменьшается в 6 раз;

3) у = 2х3;

5) при увеличении х в 4 раза, у увеличивается в 16 раз; 1

5=

6)

VIII. Подведение итогов урока

1) Придумайте задачу, которая решается с помощью формулы 8 = тгг".

2) Составьте таблицу значений Б и X. С помощью стрелок покажите на этой таблице особенность процесса.

3) Постройте график функции, описывающий эту задачу, и покажите на нём характеристическое свойство.

1. Что такое функция?

2. Выпишите номера объектов, которые являются функциями:

\)х=18;

5)

1

у

1 г

1

.X

б)у = 1,5436 х

18

3)

7) у = 1оё2х + 34

4)

У1 1

/ \

( 1

1

В)

X 35 35 37

У 16 17 20

3. Выпишите для каждого номера функции:

I. Обратная пропорциональность;

II. Логарифмическая функция;

III. Линейная функция;

IV. Показательная функция соответствующие описания этой функции:

1) При изменении х на одно и то же число, значение у изменяется в одном и том же отношении;

2) если абсцисса изменяется на какое-то число, то значение функции изменяется пропорционально изменению абсциссы;

3) если переменная увеличивается или уменьшается в одном и том же отношении, то значение функции увеличивается на одно и то же число;

4) если х увеличивается (уменьшается) в какое-то число раз, то у уменьшается (увеличивается) в такое же число раз;

5) если аргумент изменяется на какое-то число, то значение функции увеличивается на квадрат этого числа;

6) у = 1х+т;

1)у = ах

8 )у = -

9 )у =

4. Придумайте задачу на процесс, который описывается с помощью линейной функции.

5. В настоящее время мы переживаем информационный бум. Примем количество информации в 2012 году за единицу. Тогда количество

информации через х лет можно вычислить по формуле у =

1) Найдите значение/(х), если х = 1, 6, 8.

2) Объясните, какую величину вы нашли с точки зрения реального процесса.

12)

13)

X * 1 г«'—г

3) Найдите значение л:, если/(х) принимает значение 32; 64; 128.

4) Объясните, что вы искали?

5) Охарактеризуйте информационный бум, за какой временной промежуток количество информации удваивается?

6. Известно, что при изменении громкости шума (выражается в белах) на одну единицу, физическая сила шума увеличивается в 10 раз. Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, а шум Ниагарского водопада в 9 бел. Во сколько раз физическая сила шума Ниагарского водопада больше физической силы шума тихого шелеста листьев. Составьте формулу, с помощью которой, зная физическую силу шума, можно найти громкость шума.

7. Сила ощущения человеком света пропорциональная логарифму интенсивности светового потока лампочки. Представьте, что вы находитесь в помещении, которое освещено лампой накаливания 60Вт. Интенсивность светового потока такой лампы составляет 710 лм. На сколько единиц увеличится сила ощущения света вами, если в этом помещении включить ещё 2 такие же лампочки?

8. В таблицу занесены данные о массе дрожжей в процессе дрожжевания:

время, ч масса дрожжей, г

0 1

1 1,2

2 1,44

3 1,728

4 2,0736

3) Определите с помощью таблицы массу дрожжей через 3 часа после начала дрожжевания;

4) Составьте формулу, с помощью которой можно определить массу дрожжей в любой момент дрожжевания.