Формирование познавательных умений учащихся 7-9 классов при обучении составлению задач в курсе геометрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат наук Алексеева, Елена Евгеньевна

• Алексеева, Елена Евгеньевна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Алексеева, Елена Евгеньевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Глава 1. Теоретические основы составления задач как средства

формирования познавательных умений в обучении геометрии

учащихся 7-9 классов

1.1. Проблема составления задач в теории и практике обучения математике

1.1.1. Понятие задачи в педагогике, психологии и в методике обучения математике

1.1.2. Значение составления задач для умственного развития учащихся подросткового возраста

1.1.3. Отражение проблемы составления задач в диссертационных исследованиях и в методике обучения геометрии

1.2. Корректность геометрических задач как необходимое условие обучения их составлению

1.2.1. Логическая правильность постановки геометрической задачи

1.2.2. Составление геометрических задач и метрическая определённость многоугольников

1.2.3. Доказательство утверждений и составление геометрических задач

1.3. Функции познавательных умений в составлении геометрических задач учащимися

1.3.1. Познавательные действия как составляющая метапредметных результатов в контексте ФГОС основного общего образования 55-58

1.3.2. Взаимосвязь процесса составления задач с познавательными действиями

1.4. Модель формирования познавательных умений учащихся 7-9 классов при обучении составлению задач в курсе геометрии

1.4.1 Планируемые результаты формирования познавательных умений при обучении составлению геометрических задач

1.4.2. Этапы формирования познавательных умений учащихся в обучении составлению геометрических задач

1.4.3. Критерии сформированности познавательных умений при

обучении составлению геометрических задач

Выводы по главе 1

Глава 2. Методика формирования познавательных умений

учащихся 7-9 классов при обучении составлению

геометрических задач

2.1. Включение формирования познавательных умений учащихся при обучении составлению геометрических задач в курс геометрии

2.1.1. Место формирования познавательных умений при обучении учащихся составлению задач в курсе геометрии

2.1.2. Планирование формирования познавательных умений при составлении геометрических задач на уровне учебной темы

2.2 Требования к заданиям для формирования познавательных

умений учащихся при обучении составлению задач

2.3. Методические рекомендации к обучению учащихся составлению геометрических задач

2.3.1. Особенности обучения составлению задач на различных уровнях формирования познавательных умений

2.3.2 Использование метрической определённости фигур для составления задач

2.4. Организация и результаты педагогического эксперимента

2.4.1. Констатирующий этап педагогического эксперимента

2.4.2 Поисковый этап педагогического эксперимента

2.4.3. Обучающий и контролирующий этапы педагогического эксперимента

2.4.4. Статистическая обработка результатов педагогического эксперимента

Выводы по главе 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ТАБЛИЦ

СПИСОК ИЛЛЮСТРАТИВНОГО МАТЕРИАЛА

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приложение 1. Анкеты для проведения эксперимента

Приложение 2. Материалы для разработки карточек помощи в

обучении составлению задач

Приложение 3. Задания диагностических работ

Приложение 4. Предписания для составления геометрических

задач

Приложение 5. Планируемые результаты формирования познавательных умений при обучении составлению геометрических задач в курсе геометрии 7-9 классов

Приложение 6. Планирование формирования познавательных

умений при составлении задач на уровне урока

Приложение 7. Материалы статистической обработки результатов педагогического эксперимента

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формирование познавательных умений учащихся 7-9 классов при обучении составлению задач в курсе геометрии»

ВВЕДЕНИЕ

Модернизация российской школы, связанная с введением ФГОС общего образования, нацелена на создание условий для интеллектуального и субъектного становления обучающихся, что должно найти отражение в обучении каждому учебному предмету. Согласно Концепции развития математического образования в Российской Федерации, изучение математики играет системообразующую роль в образовании, развивая познавательные способности человека, в том числе к логическому мышлению, влияя на обучение другим дисциплинам. Реализация идей ФГОС ООО и Концепции предполагает такую организацию обучения математике, в частности геометрии, которая обеспечит каждого обучающегося познавательной деятельностью, способствующей формированию и развитию универсальных учебных действий (УУД), которые становятся умениями по мере их сформиро-ванности (Д. Н. Богоявленский, Е. Н. Кабанова-Меллер, Н. А. Менчинская). Без познавательных УУД, включающих мыслительные операции, невозможно успешное решение математических задач, и чем осознаннее обучающийся их использует, тем лучший результат он получит.

Согласно результатам ОГЭ, треть учащихся не справляется с решением геометрических задач базового уровня, а к решению геометрических задач второй части КИМов ОГЭ большинство учащихся не приступает. Процесс решения геометрических задач тесно связан с их составлением - особым творческим процессом, отсутствие которого невозможно компенсировать решением задач, что отмечено в исследованиях Н. М. Бескина, В. М. Брадиса, Ю. М. Колягина, В. А. Кру-тецкого, Г. И. Саранцева, А. А. Столяра, Л. М. Фридмана, Р. С. Черкасова и др. Если при решении геометрических задач познавательные действия могут использоваться неосознанно, то при составлении задач они осознаются в полной мере.

Исследованию вопросов, затрагивающих проблему обучения учащихся составлению математических задач, посвящены диссертационные исследования Н. А. Астаховой, Н. Г. Воробьёвой, Т. Ю. Дюминой, Г. П. Недогарок, А. Я. Цукаря, С. А. Чопчиян, А. В. Шатиловой, Е. Л. Шквыри, Л. В. Шоркиной, Э. А. Ясинового и др. Анализ этих работ показал, что: 1) составление задач орга-

низуется на основе данной задачи посредством использования аналогии, конкретизации, обобщения, а также обратных задач; 2) не используется компонентный состав задачи и не рассматриваются ориентиры, позволяющие учащимся осознанно выполнять умственную деятельность, связанную с составлением геометрических задач; 3) отсутствуют работы, исследующие взаимосвязь процессов составления учащимися геометрических задач и формирования познавательных УУД в контексте реализации ФГОС ООО; 4) наблюдается неоднозначное использование терминов, связанных с составлением задач.

Анализ действующих УМК по геометрии для 7-9 классов, проведённый с целью установления отражения в них проблемы составления геометрических задач учащимися, показал наличие в материалах, дополняющих учебники, заданий, которые целесообразно использовать для подготовки учащихся к составлению задач. Учитель, обладая специальной компетенцией, должен уметь организовать обучение учащихся составлению геометрических задач. Однако, как показали результаты констатирующего этапа эксперимента, учителя математики обладают этой компетенцией в незначительной степени.

Таким образом, анализ нормативных документов в сфере модернизации школьного Российского образования, математической, психолого-педагогической и учебно-методической литературы в этой области, анализ теории и практики обучения математике, собственный опыт практической работы, результаты констатирующего этапа эксперимента позволили выявить противоречия между:

- требованиями к планируемым результатам освоения математики, представленными в ФГОС ООО, в примерной основной образовательной программе основного общего образования и реальным состоянием математического, в частности, геометрического образования, зафиксированным в показателях ОГЭ, ЕГЭ;

- необходимостью развития универсальных учебных действий учащихся и недостаточной ориентацией на это существующей системы обучения геометрии;

- образовательным потенциалом процесса составления задач учащимися для достижения предметных и метапредметных результатов освоения математики и отсутствием методики формирования познавательных умений учащихся 7-9

классов при обучении составлению геометрических задач в условиях реализации ФГОС ООО.

Необходимость разрешения указанных противоречий обусловливают актуальность темы исследования «Формирование познавательных умений учащихся 7-9 классов при обучении составлению задач в курсе геометрии». Проблема исследования заключается в поиске ответа на вопрос, какой должна быть методика формирования познавательных умений учащихся 7-9 классов при обучении составлению геометрических задач, чтобы улучшить предметные и метапредмет-ные результаты освоения геометрии?

Объектом исследования является процесс формирования познавательных умений учащихся 7-9 классов в обучении геометрии, а его предметом - методика формирования познавательных умений учащихся 7-9 классов на основе обучения составлению задач в курсе геометрии.

Цель исследования заключается в теоретическом обосновании и разработке методики формирования познавательных умений учащихся 7-9 классов при составлении геометрических задач и её реализации в обучении геометрии.

Гипотеза исследования состоит в предположении о том, что если для формирования познавательных умений учащихся 7-9 классов при обучении составлению задач в курсе геометрии: а) использовать специальные учебные задания для составления геометрических задач; б) выявить познавательные действия, релевантные процессу составления геометрических задач, их состав и выстроить их иерархию; в) обеспечить переход познавательных действий в познавательные умения учащихся в единстве с обучением составлению геометрических задач, то повысится уровень достижения учащимися планируемых предметных и мета-предметных результатов освоения геометрии.

Уровень достижения планируемых предметных и метапредметных результатов освоения геометрии определяется по результатам выполнения учащимися контрольных работ, включающих задания на составление и решение геометрических задач, при выполнении которых необходимо использовать релевантные познавательные умения.

Проблема, объект, предмет, цель и гипотеза исследования позволили поставить следующие задачи исследования.

1. Выявить категориально-понятийный аппарат и теоретико-методологическую базу диссертационного исследования на основе анализа научной и учебно-методической литературы по проблеме исследования.

2. Разработать средства обучения учащихся 7-9 классов составлению геометрических задач, отобрать и систематизировать познавательные действия, релевантные этому процессу.

3. Разработать модель формирования познавательных умений учащихся 7-9 классов при обучении составлению задач в курсе геометрии.

4. В соответствии с созданной моделью разработать методику формирования познавательных умений учащихся 7-9 классов при обучении составлению геометрических задач.

5. Экспериментально проверить эффективность основных положений разработанной методики формирования познавательных умений учащихся 7-9 классов при обучении составлению геометрических задач.

Теоретико-методологическую основу исследования составляют:

- нормативные документы, относящиеся к сфере модернизации школьного, в том числе, математического образования в Российской Федерации;

- системно-деятельностный подход в обучении (Л. С. Выготский, В. В. Давыдов, А. Н. Леонтьев, С. Л. Рубинштейн, Д. Б. Эльконин), основанная на нём концепция формирования универсальных учебных действий (А. Г. Асмолов, Г. В. Бурменская, И. А. Володарская, О. А. Карабанова, Н. Г. Салмина, В. В. Фирсов);

- теоретические основы управления умственным развитием личности (Д. Н. Богоявленский, А. В. Брушлинский, П. Я. Гальперин, Е. Н. Кабанова-Меллер, О. А. Конопкин, В. А. Крутецкий, А. М. Матюшкин, Н. А. Менчинская, Н. Ф. Талызина, М. А. Холодная) и их отражение в обучении математике (Л. И. Боженкова, М. Б. Волович, Г. Ж. Ганеев, Э. Г. Гельфман, Я. И. Груденов, В. А. Гусев, О. Б. Епишева, И. Г. Липатникова, Н. С. Подходова, Р. А. Утеева);

- теории учебных и математических задач (Г. А. Балл, В. М. Брадис, Ю. М. Колягин, В. И. Крупич, Е. И. Лященко, А. А. Столяр, Л. М. Фридман, Р. С. Черкасов) и теоретические основы решения математических задач (Ж. Адамар, А. Адлер, И. И. Александров, Б. И. Аргунов, И. В. Арнольд, М. Б. Балк, Д. С. Людмилов, Д. Пойа, Г. И. Саранцев, И. Л. Тимофеева);

- исследования в области геометрического, в том числе, школьного образования (А. Д. Александров, Л. С. Атанасян, Н. М. Бескин, Л. И. Боженкова, В. Г. Болтянский, В. А. Гусев, В. А. Далингер, М. В. Егупова, А. Н. Колмогоров, В. В. Орлов, Н. С. Подходова, В. А. Смирнов, И. М. Смирнова, Н. Ф. Четверухин, И. Ф. Шарыгин).

Методы исследования: теоретические - анализ нормативных документов по вопросам школьного, в частности, математического образования; научной и учебной литературы, диссертаций по проблеме исследования; обобщение результатов анализа, моделирование процесса обучения; эмпирические - изучение и обобщение педагогического опыта, анкетирование и тестирование учащихся; педагогический эксперимент, статистическая обработка его результатов.

Этапы исследования. Указанные цель и задачи определили ход исследования, которое проводилось поэтапно в 2010 - 2016 гг.

На первом - констатирующем этапе (2010-2011) с целью выявления степени разработанности проблемы исследования в теории и практике обучения геометрии, выполнен анализ научной и учебно-методической литературы, изучена практика обучения составлению геометрических задач, установлено значение этого процесса для умственного развития учащихся и его неразрывная связь с познавательными умениями. В результате обоснована актуальность исследования, определены его характеристики, разработан категориально-понятийный аппарат.

На втором - поисковом этапе (2012-2013) с целью создания методики формирования познавательных умений учащихся при составлении геометрических задач, исследован вопрос корректности математических задач, разработано методическое обеспечение процесса обучения составлению геометрических задач в единстве с формированием познавательных умений. В результате разработана

модель формирования познавательных умений при обучении составлению геометрических задач учащимися 7-9 классов и соответствующая ей методика обучения учащихся составлению геометрических задач в единстве с формированием и развитием их познавательных умений, разработано и опубликовано учебно -методическое пособие.

На обучающем и контролирующем этапах (2013-2016) с целью проверки выдвинутой гипотезы проведена апробация разработанной методики в обучении геометрии учащихся 7-9 классов; осуществлены обработка и обобщение полученных результатов; сформулированы выводы и оформлены результаты диссертационного исследования.

Научная новизна исследования состоит в том, что процесс формирования познавательных умений учащихся 7-9 классов рассмотрен в единстве с обучением составлению геометрических задач на основе использования текстов задачных ситуаций. Отобраны познавательные действия, релевантные процессу составления геометрических задач; выявлен их состав и выстроена иерархия этих действий. Разработана и теоретически обоснована модель формирования познавательных умений учащихся в процессе обучения составлению геометрических задач, базирующаяся на теории умственного развития личности в обучении математике, требованиях ФГОС ООО к предметным и метапредметным результатам освоения геометрии. Разработана соответствующая этой модели методика формирования познавательных умений учащихся при обучении составлению геометрических задач, базирующаяся на целевом, содержательном, организационно-методическом и результативно-оценочном блоках модели.

Теоретическая значимость результатов исследования состоит в том, что они вносят вклад в теорию и методику геометрической подготовки учащихся, заключающийся в следующем:

- сформулированы трёхуровневые планируемые результаты формирования познавательных умений при обучении учащихся составлению геометрических задач на основе использования текстов задачных ситуаций; эти результаты являются, в соответствии с ФГОС ООО, значимой составляющей планируемых предмет-

ных и метапредметных результатов освоения геометрии;

- разработаны наборы заданий для формирования познавательных умений учащихся 7-9 классов при обучении составлению задач, включающие тексты за-дачных ситуаций, базирующиеся на соответствующих схемах, и удовлетворяющие требованиям: целесоответствие, полнота, вариативность, доступность;

- предложен способ диагностики сформированности у учащихся 7-9 классов познавательных умений, релевантных составлению геометрических задач на уровнях: базовом репродуктивном, базовом продуктивном, продвинутом; введён и охарактеризован компенсирующий уровень обучения составлению задач, на котором осуществляется формирование познавательных умений;

- показано, что выполнение требования геометрической задачи обеспечивается существованием математических методов решения, базирующихся на: теории геометрических построений с помощью циркуля и линейки; алгебраическом методе решения задач; аксиоматическом строении геометрии; исследованы возможности их использования при обучении учащихся составлению геометрических задач с помощью познавательных умений, соответственно - на построение, вычисление, доказательство.

Практическая значимость исследования определяется тем, что в нём:

- разработано примерное тематическое планирование формирования познавательных умений при обучении составлению геометрических задач, отражающее последовательность введения познавательных действий, предписаний для составления задач на занятиях основного курса геометрии и дополнительного образовательного модуля;

- разработаны методические рекомендации для обучения составлению геометрических задач, как средства формирования познавательных умений учащихся 7-9 классов, отражённые в созданном учебно-методическом пособии «Составление и решение геометрических задач»;

- сформулированы требования к текстам задачных ситуаций - понятности, доступности, целесообразности, которые могут быть использованы учителем математики для конструирования текстов задачных ситуаций - базы для составле-

ния геометрических задач в обучении геометрии учащихся 7-9 классов;

- отобран учебный материал для рассмотрения вопроса о корректно поставленных геометрических задачах и установлена последовательность его введения в процессе обучения составлению геометрических задач, что необходимо для установления факта: является ли составленная учеником геометрическая задача корректно поставленной.

Достоверность и обоснованность полученных результатов исследования обеспечиваются теоретико-методологической базой исследования, использованием методов исследования, адекватных его цели, задачам, предмету; соответствием полученных результатов требованиям ФГОС ООО.

На защиту выносятся следующие положения.

1) Понятие "геометрическая задача" рассматривается как частный случай понятия "математическая задача" в традиционном смысле (условие и требование указаны); геометрическая задача имеет четырёхкомпонентный состав и характеризуется в соответствии с той предметной областью, на которой она рассматривается.

2) Введённое понятие «схема задачной ситуации» характеризует взаимосвязи между известными и неизвестными компонентами, причём условие и/или требование неизвестны. Наполнение известных компонентов схем задачных ситуаций адекватным геометрическим содержанием позволяет получить текст задачной ситуации, удовлетворяющий требованиям понятности, доступности, целесообразности, и сформулировать учебную задачу: «Составить геометрическую задачу, используя предложенный текст задачной ситуации».

3) Решение учебной задачи выполняется с помощью познавательных действий, релевантных процессу составления геометрических задач. Отбор, конструирование и систематизация познавательных действий, выявление их состава и иерархии, является необходимым условием, обеспечивающим их формирование в неразрывной связи с процессом обучения учащихся 7-9 классов составлению геометрических задач.

4) Дидактическая модель формирования познавательных умений учащихся

при обучении составлению геометрических задач основана на идеологии ФГОС ООО (целевой блок); на теориях умственного развития личности, учебной и математической задач; требованиях к предметным и метапредметным результатам (содержательный блок); на системно-деятельностном подходе в обучении и положениях теории и методики обучения математике, в частности, геометрии (организационно-методический блок). Результативно-оценочный блок включает критерии и показатели сформированности познавательных умений при составлении задач и умений составлять геометрические задачи на уровнях: компенсирующем, базовом репродуктивном, базовом продуктивном, продвинутом.

5) Разработанная методика формирования познавательных умений учащихся 7-9 классов при обучении составлению геометрических задач в соответствии с созданной дидактической моделью, позволяет организовать целенаправленную учебно-познавательную деятельность учащихся, способствующую достижению предметных и метапредметных результатов освоения геометрии, что подтверждается статистической обработкой результатов педагогического эксперимента.

Апробация результатов исследования осуществлялась посредством выступлений: на международных (Ульяновск: 2016; Красноярск: 2016; Москва: 2013-2016; Калуга: 2015; Казань: 2015, 2016; Санкт-Петербург: 2011-2013, 2015, 2016; Zakopane: 2013; Тамбов: 2011, 2012; Plock: 2010); всероссийских (Н. Новгород: 2013; Москва: 2011, 2012; Елабуга: 2011) и региональных (Москва: 20132016; Реутов: 2015) конференциях; на научных сессиях и семинарах математического факультета МПГУ (2012-2014), научно-методическом семинаре (Москва, МПГУ, 2016), а также через участие автора в апробации и внедрении результатов исследования в образовательную практику школ Московской области: проведены семинары и мастер-классы для методистов, специалистов методических служб, учителей математики (Мытищи, Люберцы, Павловский Посад, Раменское: 20122016); осуществлено руководство творческой группой учителей математики МОУ лицей № 1 г. Павловского Посада (2011-2013); научное сопровождение академической площадки кафедры математических дисциплин ГБОУ ВО МО «Академия социального управления» (ГБОУ ВО МО «АСОУ») (2014-2016).

Основные результаты диссертационного исследования отражены в 51 публикации общим объёмом 33,86 п. л. В их числе учебно-методическое пособие, шесть статей, опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации.

Внедрение результатов исследования проводилось на базе образовательных учреждений: МОУ лицей № 1, МОУ СОШ № 9 Павлово-Посадского муниципального района Московской области, ГБОУ ВО МО «АСОУ».

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, основной части (две главы), заключения, списков: условных обозначений, таблиц и иллюстративного материала, литературы и приложения. Общий объём диссертации 233 с. Основная часть составляет 154 с.; список литературы (201 наименование) - 20 с.; семь приложений - 40 с. В диссертации 27 рисунков, в том числе диаграммы; 60 таблиц.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СОСТАВЛЕНИЯ ЗАДАЧ КАК СРЕДСТВА ФОРМИРОВАНИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ УМЕНИЙ В ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ УЧАЩИХСЯ 7-9 КЛАССОВ

В содержании первой главы диссертации отражены психолого-педагогические и математические основы обучения составлению геометрических задач. В этой главе рассмотрено понятие корректности геометрических задач, являющееся необходимым условием обучения их составлению; показан генезис процесса составления геометрических задач; обоснована неразрывная взаимосвязь процессов составления геометрических задач обучающимися и формирования у них познавательных умений. На основе рассмотрения адекватных процессу составления задач компонентов методической системы обучения математике и этапов учебно-познавательной деятельности учащихся представлено описание модели формирования познавательных умений учащихся 7-9 классов при обучении составлению задач в курсе геометрии.

1.1. Проблема составления задач в теории и практике обучения математике

Модернизация школьного образования, связанная с введением ФГОС основного и полного (среднего) общего образования, направлена на формирование у обучающихся готовности и способности к самообразованию, на создание условий для их личностного и познавательного развития средствами каждого учебного предмета. Согласно Концепции развития математического образования в Российской Федерации (Концепция) «изучение математики играет системообразующую роль в образовании, развивая познавательные способности человека, в том числе к логическому мышлению, влияя на преподавание других дисциплин» [86, с. 1]. Реализация идей ФГОС ООО и Концепции предполагает такую организацию обучения математике, которая обеспечит каждого обучающегося развивающей интеллектуальной деятельностью на доступном ему уровне, используя присущую

математике красоту и увлекательность.

Главнейшую функцию в реализации этих идей выполняет организация работы с задачами, которые являются целью и средством обучения математике, служат развитию творческих способностей учащихся.

1.1.1. Понятие задачи в педагогике, психологии и в методике обучения математике. В психолого-педагогической, методической литературе понятие "задача" трактуется неоднозначно. В толковом словаре С. И. Ожегова представлены различные трактовки этого понятия: «Задача - 1) то, что требует исполнения, разрешения; 2) упражнение, которое выполняется посредством умозаключения, вычисления; 3) сложный вопрос, проблема, требующие исследования и разрешения» [131, с. 203]. В педагогической энциклопедии приводится следующий текст, характеризующий это понятие: «Задача (познавательная) - учебное задание, предполагающее поиск новых знаний, способов (умений) и стимуляцию активного использования в обучении связей, отношений, доказательств» [147, с. 317].

В психолого-педагогических исследованиях общее понятие задачи связывается с целями субъекта. Наиболее полно это понятие разработано в психологии, где категория "задача" связана с теорией деятельности (А. Н. Леонтьев, С. Л. Рубинштейн). Задача включается в психологическую структуру деятельности: потребность, мотив, цель и условия достижения цели, соотносимые с ними действия и операции. А. Н. Леонтьев отмечает, что в задаче субъективно даны цели и условия, в которых они достигаются и которые накладывают ограничения на процесс достижения целей. Поэтому задача - совокупность цели субъекта и условий, в которых она должна быть достигнута (Таблица 1). С. Л. Рубинштейном отмечено, что основной формой проявления задачи является её словесная, речевая формулировка [148, с. 64].

Г. А. Балл, анализируя различные трактовки понятия "задача", считает, что этот термин нельзя признать чётко определённым, а употребляется он «для обозначения объектов, относящихся к трём различным категориям»: 1) как категория цели действия субъекта, требования, поставленного перед субъектом; 2) катего-

рия ситуации, включающей наряду с целью условия, в которых она должна быть достигнута; 3) как категория словесной «знаковой» формулировки этой ситуации [17]. В указанных категориях отражаются все трактовки понятия "задача", приведённые в таблице 1: к первой категории можно отнести трактовки А. Н. Леонтьева и С. Л. Рубинштейна; ко второй - трактовку этого понятия, данную А. В. Брушлинским, к третьей - трактовки Ю. Н. Кулюткина, А. М. Матюшкина, Л. М. Фридмана (Таблица 1).

Таблица 1

Трактовки понятия «задача» с психолого-педагогических позиций

Автор Трактовка понятия «задача»

А. Н. Леонтьев [100, с. 10] Задача - цель, данная в определённых условиях, единство цели и условий её достижения

С. Л. Рубинштейн [148] Задача рассматривается как цель познавательной деятельности индивида, соотнесённая с условиями, в которых она задана; результат того, что проблемная ситуация, содержащая какие-то нераскрытые звенья, подвергается анализу со стороны человека

Г. А. Балл [17, с. 32] Задача - это система, обязательными компонентами которой являются: а) предмет задачи, находящийся в исходном состоянии (условие); б) модель требуемого состояния предмета задачи (требование); в) оператор - «совокупность тех действий, которые надо произвести над условием задачи, чтобы выполнить её требование»

А. В. Брушлинский [34, с.59] Задача, проблема в собственном смысле слова, формулируется в результате анализа проблемной ситуации

Ю. Н. Кулюткин [94, с. 15] Задача - модель некоторой реальной проблемной ситуации; модель, в которой представлено требование: снять возникшее «рассогласование», найти способ или средство преодоления противоречия, возникшего на пути к достижению целей

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алексеева, Елена Евгеньевна, 2017 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Адамар, Ж. Элементарная геометрия: Ч. 1. Планиметрия / Ж. Адамар. - М.: Учпедгиз, 1948. - 609 с.

2. Адлер, А. Теория геометрических построений / А. Адлер. - Л.: Учпедгиз, 1940. - 233 с.

3. Александров, А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: учебное пособие. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 672 с.

4. Александров, И. И. Сборник геометрических задач на построение. -Издание восемнадцатое. - М.: Учпедгиз, 1950. - 177 с.

5. Алексеева, Е. Е. Использование метрической определённости многоугольников для составления геометрических задач на построение / Е. Е. Алексеева // Школа будущего. - 2014. - № 6. - С. 124-130. - (0,81 п. л.).

6. Алексеева, Е. Е. Составление задач учащимися, как средство достижения предметных и метапредметных результатов при обучении геометрии / Л. И. Боженкова, Е. Е. Алексеева // Наука и школа. - 2013. - № 5. - С. 103107. - (авторский вклад 40%.). - (0,58 п. л.).

7. Алексеева, Е. Е. Учебный модуль к основному курсу геометрии 7-го класса «Составление и решение геометрических задач»: учебно-методическое пособие / Е. Е. Алексеева // М.: АСОУ, 2015. - 168 с. - (10,5 п. л.).

8. Алексеева, Е. Е. Учим школьников составлять геометрические задачи / Е. Е. Алексеева // Математика в школе. - 2014. - № 5. - С. 25-29. -(0,58 п. л.).

9. Алексеева, Е. Е. Дидактическая модель процесса обучения составлению геометрических задач / Л. И. Боженкова, Е. Е. Алексеева // «Вестник Оренбургского государственного педагогического университета. Электронный научный журнал. - 2016. - № 2 (18). - С. 239-250. -(авторский вклад 40%). - (1,4 п. л.). [Электронный ресурс]: режим доступа: http://www.vestospu.ru/archive/2016/content2.html; http://www.vestospu.ru/.

10. Алексеева, Е. Е. Составление геометрических задач как средство активизации умственной деятельности учащихся / Е.Е. Алексеева // Вестник Брянского государственного университета. Серия Педагогика/ психология. - 2014. - № 1. - С. 272-278. - (0,81 п. л.).

11. Аргунов, Б. И., Балк, М. Б. Геометрические построения на плоскости. Пособие для студентов педагогических институтов. - Издание второе. - М.: Учпедгиз, 1957. - 268 с.

12. Арнольд, И. В. Математика и математическое образование в современном мире / Математика в образовании и воспитании. Сост. В. Б. Филиппов. - М.: ФАЗИС, 2000. - С. 195-205.

13. Асмолов, А. Г., Бурменская, Г. В., Володарская, И. А. и др. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя / под ред. А. Г. Асмолова. - М.: Просвещение, 2011. - 159 с.

14. Астахова, Н. А. Методика обучения будущих учителей математики составлению задач: дисс. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Астахова Наталья Александровна. - Волгоград, 2009. - 278 с.

15. Атанасян, С. Л., Семёнов, А. Л. Формирование математической компетентности в основной школе. - Наука и школа.- М.: Изд-во МПГУ, 2014. - № 5. - С. 7-12.

16. Балаян, Э. Н. Геометрия: задачи на готовых чертежах: 7-9 классы / Э. Н. Балаян. - Ростов на Дону: Феникс, 2009. - 188 с.

17. Балл, Г. А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект / Г. А. Балл. - М.: Педагогика, 1990. - 184 с.

18. Барыбин, К. С. Сборник задач по геометрии. Планиметрия. - М.: Учпедгиз, 1958. - 180 с.

19. Безусова, Т. А. Некорректные задачи как средство развития культуры математического и естественнонаучного мышления школьников: дисс. . канд. пед. наук: 13.00.01 / Безусова Татьяна Алексеевна. - Пермь, 2008. -228 с.

20. Бекмуратов, А. Вопросы методики обучения придумыванию задач геометрии // Формирование математического мышления учащихся / А. Бекмуратов. - Ташкент, 1980. - С. 130-137.

21. Бескин, Н. М. Методика геометрии / Н. М. Бескин. - М.-Л.: Учпедгиз, 1947. - 277 с.

22. Богоявленский, Д. Н. Приёмы умственной деятельности и их формирование у школьников // Вопросы психологии. - 1969. - № 2. - С. 12-18.

23. Боженкова, Л. И. Методика формирования универсальных учебных действий при обучении геометрии / Л. И. Боженкова. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. - 205 с.

24. Боженкова, Л. И. Методическая система обучения геометрии, ориентированная на интеллектуальное воспитание учащихся общеобразовательной школы: дисс. ...докт. пед. наук: 13.00.02 / Боженкова Людмила Ивановна. - М.: МПГУ, 2007. - 424 с.

25. Боженкова, Л. И. Обучение учащихся составлению геометрических задач как средство развития их креативных способностей / Л. И. Боженкова // Сборник материалов Международной научной конференции: ActesduSeminarepedagogique. - Paris: Bulletind'Eurotalent-FIDJIP, 2009. -С. 13-20.

26. Божович, Л. И. Изучение мотивации детей и подростков. - М.: Просвещение, 1972. - 216 с.

27. Болотова, А. К., Макарова, И. В. Прикладная психология: Учебник для вузов. - М.: Аспект Пресс, 2001. - 383 с.

28. Болтянский, В. Г. Анализ-поиск решения задачи // Математика в школе. -1974. № 1. - С. 34-40.

29. Болтянский, В. Г. Элементарная геометрия: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1985. - 320 с.

30. Болтянский, В. Г., Сидоров, Ю. В., Шабунин, М. И. Лекции и задачи по элементарной математике / В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин. - М.: Наука, 1974. - 576 с.

31. Брадис, В. М. Методика преподавания математики в средней школе / В. М. Брадис. - М.: Учпедгиз, 1954. - 504 с.

32. Брадис, В. М., Минковский, В. Л., Харчева, А. И. Ошибки в математических рассуждениях. - Пособие для учителей. Изд. 3. - М.: Просвещение, 1967. -191 с.

33. Брушлинский, А. В. Психология мышления и проблемное обучение / А. В. Брушлинский. - М.: «Знание», 1983. - 96 с.

34. Брушлинский, А. В. Субъект: мышление, учение, воображение /

A. В. Брушлинский. - М.: Изд-во «Институт практической психологии»; Воронеж: НПО «Модэк», 1996. - 392 с.

35. Васильева, М. В. Использование информационных технологий при обучении математике / М. В. Васильева. - М.: АСОУ, 2015. - 132 с.

36. Виленкин, Н. Я., Дуничев, К. И. и др. Современные основы школьной математики: Пособие для студентов пед. ин-тов. / Н. Я. Виленкин, К. И. Дуничев. - М.: Просвещение, 1980. - 236 с.

37. Внеурочная деятельность школьников. Методический конструктор: пособие для учителя / Д. В. Григорьев, П. В. Степанов. - М.: Просвещение, 2011. -223 с. - (Стандарты второго поколения).

38. Возрастные возможности усвоения знаний / Под ред. Д. Б. Эльконина,

B. В. Давыдова. - М.: Институт психологии РАН, 1966. - 443 с.

39. Воробьева, Н. Г. Формирование познавательной активности учащихся в процессе решения геометрических задач (на материале геометрии 6-8 классов): дисс. . канд. пед. наук / Воробьёва Надежда Георгиевна. -Москва, 1989. - 180 с.

40. Волович М. Б. Ключ к пониманию геометрии /7 - 9 классы. - М.: Аквариум, 1997. - 227 с.

41. Выготский, Л. С. Педагогическая психология / Под ред. В. В. Давыдова. -М.: АСТ Астрель Хранитель, 2008. - 671 с.

42. Гальперин, П. Я. Организация умственной деятельности и эффективность учения / Возрастная педагогическая психология // П. Я. Гальперин. - Пермь, 1971. - С. 2-59.

43. Ганеев, Х. Ж. Теоретические основы развивающего обучения математике в средней школе. Автореф. дисс...докт. пед. наук. - СПб., 1997. - 34 с.

44. Гельфман, Э. Г. Конструирование учебных текстов по математике, направленных на интеллектуальное воспитание учащихся основной школы. Автореф. дисс.докт. пед. наук. - М. 2004. - 46 с.

45. Геометрия. 7 -9 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / С. А. Козлова,

A. Г. Рубин, В. А. Гусев. - М.: Баласс, 2013. - 320 с.

46. Геометрия: планиметрия: 7 - 9 классы: Учебник и задачник / А. П. Киселёв, Н. А. Рыбкин. - М.: Дрофа, 1995. - 352 с.

47. Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев. -М.: Просвещение, 2014. - 384 с.

48. Геометрия. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / А. Г. Мерзляк,

B. Б. Полонский, М. С. Якир. - М.: Вентана-Граф, 2014. - 192 с.

49. Геометрия. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / В. Ф. Бутузов,

C. Б. Кадомцев, В. В. Прасолов / Под ред. В. А. Садовничего. -М.: Просвещение, 2014. - 128 с.

50. Геометрия. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик, Т. Г. Ходот. -М.: Просвещение, 2013. - 176 с.

51. Геометрия. 7-9 кл.: учебник / И. Ф. Шарыгин. - М.: Дрофа, 2014. - 462 с.

52. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций /

A. В. Погорелов. - М.: Просвещение, 2014. - 240 с.

53. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М.: Мнемозина, 2013. - 376 с.

54. Геометрия. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / А. Г. Мерзляк,

B. Б. Полонский, М. С. Якир. - М.: Вентана-Граф, 2013, - 208 с.

55. Геометрия. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций /

A. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. - М.: Просвещение, 2014. -176 с.

56. Геометрия. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, В. В. Прасолов / Под ред. В. А. Садовничего. -М.: Просвещение, 2011. - 175 с.

57. Геометрия. 9 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / А. Г. Мерзляк,

B. Б. Полонский, М. С. Якир. - Харьков: Гимназия, 2009. - 272 с.

58. Геометрия. 9 класс: учеб. для общеобразоват. организаций /

A. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. - М.: Просвещение, 2010. -175 с.

59. Геометрия. 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / В. Ф. Бутузов,

C. Б. Кадомцев, В. В. Прасолов / Под ред. В. А. Садовничего. -М.: Просвещение, 2012. - 143 с.

60. Гетманова, А. Д. Логические основы математики / А. Д. Гетманова. -М.: Дрофа, 2007. - 253 с.

61. Глазков, Ю. А., Егупова, М. В. Геометрия 7-9 класс. Практикум по планиметрии. Готовимся к ГИА: [учебное пособие] / Ю. А. Глазков, М. В. Егупова. - М.: «Интеллект - Центр», 2016. - 80 с.

62. Груденов, Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики / Я. И. Груденов. - М.: Педагогика, 1990. - 224 с.

63. Гусев, В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике /

B. А. Гусев. - М.: ООО «Изд-во «Вербум - М», 2003. - 432 с.

64. Давыдов, В. В. Проблемы развивающего обучения / В. В. Давыдов. - Изд-во Директмедиа Паблишинг, 2008. - 613 с.

65. Далингер, В. А. Поисково-исследовательская деятельность учащихся по математике: учебное пособие / В. А. Далингер. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 2005. - 456 с.

66. Далингер, В. А. Учебно-исследовательская деятельность учащихся в процессе изучения математики / В. А. Далингер // Электронный научный

журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета». Выпуск 2007. - [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.omsk.edu.

67. Данилюк, А. Я., Кондаков, А. М., Тишков, В. А. Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России /

A. Я. Данилюк, А. М. Кондаков и др. - М.: Просвещение, 2011. - 23 с.

68. Дзида, Г. А. Развитие у учащихся познавательных умений в процессе решения учебных задач (На материале обучения естественно-математическим дисциплинам): Дис... д-ра пед. наук. / Г. А. Дзида. -Челябинск, 2001. - 296 с.

69. Драбкина, М. Е. Логические упражнения по элементарной математике / М. Е. Драбкина. - Минск: Высшая школа, 1965. - 160 с.

70. Дьяченко, М. И., Кандыбович, Л. А. Краткий психологический словарь / М. И. Дьяченко, Л. А. Кандыбович. - Мн.: «Хэлтон», 1998. - 399 с.

71. Дюмина, Т. Ю. Содержательный компонент методической системы обучения будущих учителей математики конструированию систем задач: Дисс. ... канд. пед. наук. / Т. Ю. Дюмина. - Волгоград, 2006. - 192 с.

72. Егулемова, Н. Н. О типологии упражнений на самостоятельное составление учащимися геометрических задач: труды международной конференции «Современные методы физико-математических наук». Т. 3. Методика преподавания математики / Н. Н. Егулемова. - Орел, 2006. - 367 с. - С. 7980.

73. Егупова, М. В. Составление задач для обучения школьников практическим приложениям математики / Е. Е. Егупова // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на Международную научную конференцию «68 Герценовские чтения»: к 95-летию кафедры методики обучения математике и информатике. / Под ред.

B. В. Орлова. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2015. - С. 211-212.

74. Епишева, О. Б., Крупич, В. И. Учить школьников учиться математике: Формирование приёмов учебной деятельности: Книга для учителя / О. Б. Епишева, В. И. Крупич. - М.: Просвещение, 1990. - 128 с.

75. Иванова, Т. А., Перевощикова, Е. Н., Кузнецова, Л. И., Григорьева, Т. И. Теория и технология обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студентов математических специальностей педагогических вузов / Т. А. Иванова, Е. Н. Перевощикова, Л. И. Кузнецова, Т. И. Григорьева, / Под ред. Т. А. Ивановой. - 2-е изд. - Н. Новгород: НГПУ, 2009. - 355 с.

76. Извольский, Н. Методика геометрии / Н. Извольский. - Петербург: Изд-во Брокгауз - Ефрон, 1924. - 164 с.

77. Кабанихин, С. И. Обратные и некорректные задачи / С. И. Кабанихин. -Новосибирск: Сибирское научное изд-во, 2008. - 460 с.

78. Кабанова-Меллер, Е. Н. Структура и закономерности учебной деятельности в условиях развивающего обучения / Е. Н. Кабанова-Меллер // Структуры познавательной деятельности. - Владимир, 1976. - С. 22-41.

79. Калмыкова, З. И. Продуктивное мышление как основа обучаемости / З. И. Калмыкова. - М.: Педагогика, 1981. - 228 с.

80. Каракозов, С. Д., Печатнова, Н. Б. Об интеллектуальной готовности выпускников школ к обучению в вузе / Вестник Барнаульского педагогического государственного университета: Серия «Психолого-педагогические науки» - № 4, 2003. - С. 109-114.

81. Карпушина, Н. М. Методика составления и использования задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии в основной школе: дисс. ... канд. пед. наук / Карпушина Наталья Михайловна. - Москва, 2004. - 156 с.

82. Колмогоров, А. Н. К обсуждению работы по проблеме «Перспективы развития советской школы на ближайшие тридцать лет» /А. Н. Колмогоров // Математика в образовании и воспитании. Сост. В. Б. Филиппов. - М.: ФАЗИС, 2000. - С. 129-138.

83. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математики. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся: часть 1 / Ю. М. Колягин. - М.: Просвещение, 1977. - 112 с.

84. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математики. Обучение математике через задачи и обучение решению зада: часть II / Ю. М. Колягин. - М.: Просвещение, 1977. - 146 с.

85. Конопкин, О. А. Психическая саморегуляция произвольной активности человека (структурно-функциональный аспект) / Вопросы психологии. 1995. № 1. - С. 5-12.

86. Концепция развития математического образования в Российской Федерации: [концепция утверждена распоряжением Правительства РФ от 24 декабря 2013 г. № 2506-р]. - Министерство образования и науки Российской Федерации. Документы [Электронный ресурс]. - Режим доступа: кйр://хп--80аЬис пЬ^9а.хп--р 1 а1/.

87. Криволапова, Н. А. Внеурочная деятельность: сборник заданий для развития познавательных способностей учащихся. 5-8 классы / Н. А. Криволапова. - М.: Просвещение, 2012. - 222 с.

88. Крупич, В. И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач: дисс. .д-ра пед. наук: 13.00.02 / Крупич Вячеслав Иосифович. - М., 1992. - 345 с.

89. Крутецкий, В. А. Психология математических способностей школьников / Под редакцией Н.И. Чуприковой / В. А. Крутецкий. Изд. 3-е.-М.: Издательство «Институт практической психологии»; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 1998. - 416 с.

90. Крутецкий, В. А., Лукин, Н. С. Психология подростка / В. А. Крутецкий, Н. С. Лукин. - М.: Просвещение, 1965. - 316 с.

91. Крылова, О. Н., Муштавинская, И. В. Новая дидактика современного урока в условиях введения ФГОС ООО: Методическое пособие. - СПб.: КАРО, 2013. - 144 с.

92. Кудрявцев, В. Т. Проблемное обучение: истоки, сущность, перспективы / В. Т. Кудрявцев. - М.: «Знание», 1991. - 80 с.

93. Кудрявцев, Л. Д. Среднее образование. Проблемы раздумья / Л. Д. Кудрявцев. - М.: МГУП, 2003. - 84 с.

94. Кулюткин, Ю. Н., Сухобская, Г. С. Индивидуальные различия мыслительной деятельности учащихся / Ю. Н. Кулюткин, Г. С. Сухобская. -М.: Педагогика, 1975. - 144 с.

95. Кучугурова, Н. Д. Интенсивный курс общей методики преподавания математики: Учебное пособие / Н. Д. Кучугурова. - М.: МИГУ, 2014. -152 с.

96. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Лященко Е. И., Зобкова К. В., Кириченко Т. Ф. и др. / Под ред. Е. И. Лященко. - М.: Просвещение, 1988. - 223 с.

97. Лакатос, И. Доказательства и опровержения (Как доказываются теоремы). Пер. с англ. Изд. 2-е. / И. Лакатос. - М.: Наука, 2007. - 152 с.

98. Лебедев, О. Е., Неупокоева, Н. И. Цели и результаты школьного образования / О. Е. Лебедев, О. Е. Неупокоева. - СПб.: СПГУПМ, 2001. -288 с.

99. Леднев, В. С. Содержание образования: сущность, структура, перспективы / В. С. Леднев. - М.: Педагогика, 1991. - 162 с.

100. Леонтьев, А. Н. Деятельность. Сознание. Личность / А. Н. Леонтьев. - М.: Политиздат, 1975. - 304 с.

101. Лернер, И. Я. Дидактические основы методики обучения / И. Я. Лернер. -М.: Педагогика, 1981. - 186 с.

102. Липатникова, И. Г. Технология рефлексивного подхода к учебно -познавательному процессу с использованием устных упражнений / И. Г. Липатникова // Вестник Томского гос. пед. ун-та (TSPU Bulletin). Вып. 3. - 2006. - С. 19-22.

103. Лурье, М. В. Геометрия. Техника решения задач: Учебное пособие / М. В. Лурье. - М.: УНЦ ДО, 2002. - 244 с.

104. Людмилов, Д. С. Задачи без числовых данных: пособие для учителей / Д. С. Людмилов. - М.: Учпедгиз, 1961. - 240 с.

105. Людмилов, Д. С. Признак определяемости задачи и его применение к составлению и решению текстовых задач в средней школе: дисс. .канд. пед. наук 13.00.02 / Людмилов Д. С. - Пермь, 1969. - 304 с.

106. Ляудис, В. Я. Психологические предпосылки проектирования моделей инновационного обучения в школе / В. Я. Ляудис // Инновационное обучение: стратегия и практика - М.: 1994. - С. 13-32.

107. Лященко, Е. И. Проблемы задач в школьном курсе математики / Е. И. Лященко // В сб.: Задачи как цель и средство обучения математике учащихся средней школы. - Л.: МП РСФСР: 1981. - С. 31-42.

108. Мантуров, О. В., Солнцев, Ю. К. Толковый словарь математических терминов: пособие для учителей / О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев и др. -М.: Просвещение, 1965. - 509 с.

109. Мардахаева, Е. Л. Основные принципы отбора содержания образовательных курсов по математике для предпрофильной подготовки и профильного обучения / Концепция развития математического образования: проблемы и пути реализации. - М.: Изд-во ООО «ТРП», 2015. - 500 с. - С. 104 - 108.

110. Математическая энциклопедия. Т. 1 - М.: «Советская энциклопедия», 1982.

- С. 940-943.

111. Математическая энциклопедия. Т. 3 - М.: «Советская энциклопедия», 1982.

- С. 930.

112. Матюшкин, А. М. Психология мышления. Мышление как разрешение проблемных ситуаций / А. М. Матюшкин. - М.: КДУ, 2009. - 190 с.

113. Махмутов, М. И. Организация проблемного обучения в школе: книга для учителей / М. И. Махмутов. - М.: Просвещение, 1977. - 240 с.

114. Менчинская, Н. А. Проблемы учения и умственное развитие школьника / Н. А. Менчинская. - М.: Педагогика, 1989. - 324 с.

115. Методика и технология обучения математике: курс лекций: пособие для вузов / Под научн. ред. Н. Л. Стефановой, Н. С. Подходовой. - М.: Дрофа, 2008. - 415 с.

116. Методика обучения геометрии: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В. А. Гусев, В. В. Орлов, В. А. Панчищина и др. / Под ред. В. А. Гусева. - М.: Издательский центр «Академия», 2004. - 368 с.

117. Методика обучения математике: методология и теория / Г. И. Саранцев. -Казань: Центр инновационных технологий, 2012. - 292 с.

118. Методика преподавания геометрии. Планиметрия: пособие для учителей средней школы / В. Г. Чичигин. - М.: Учпедгиз, 1959. - 393 с.

119. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, Е. Л. Мокрушин и др. - М.: Просвещение, 1977. - 480 с.

120. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, В. Я. Саннинский. - М.: Просвещение, 1980. - 368 с.

121. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец 2104 «Математика» и 2105 «Физика» / А. Я. Блох, Е. С. Канин, Н. Г. Килина и др. / Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - 336 с.

122. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие: в 2 ч. / Н. М. Рогановский, Е. Н. Рогановская. - Могилев: УО «МГУ им. А. А. Кулешова», 2010. - Ч. 1: Общие основы методики преподавания математики (общая методика). - 312 с.

123. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие: в 2 ч. / Н. М. Рогановский, Е. Н. Рогановская. - Могилев: УО «МГУ им. А. А. Кулешова», 2011. - Ч. 2: Специальные основы методики преподавания математики (частные методики). - 388 с.

124. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А. Я. Блох,

B. А. Гусев, Г. Ф. Дорофеев и др. / Сост. В. И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

125. Михайлычев, Е. А., Механцев, Б. Е. Математические методы в педагогическом исследовании: учеб. пособие / Е. А. Михайлычев, Б. Е. Механцев. - М.: Высш. шк., 2008. - 196 с.

126. Мухина, В. С. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество: Учебник для студ. вузов. - 4-е изд, стереотип. - М.: Издательский центр «Академия», 1999. - 456 с.

127. Муштавинская, И. В. Технология развития критического мышления на уроке и в системе подготовки учителя: Учебно-методическое пособие. - 2-е изд. - СПб.: КАРО, 2013. - 144 с. - (Серия «Петербургский вектор введения ФГОС основного общего образования»).

128. Недогарок, Г. П. Знакомить учащихся с условием задания геометрических фигур / Г. П Недогарок // Математика в школе. - 1986. - № 2. - С. 47-50.

129. Недогарок, Г. П. Составление геометрических задач учащимися как средство формирования и развития общих умений решения задач: дисс. . канд. пед. наук: 13.00.02 / Г. П. Недогарок - Москва, 1989. - 191 с.

130. Новиков, Д. А. Статистические методы в педагогических исследованиях (типовые случаи) / Д. А. Новиков. - М.: МЗ-Пресс, 2004. - 67 с.

131. Ожегов, С. И., Шведова, Н. Ю. Толковый словарь русского языка./ Российская академия наук. Институт русского языка им. В. В. Виноградова /

C.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. - М.: Азбуковник, 1999. - 944 с.

132. Оконь, В. Основы проблемного обучения. Пер. с польск / В. Оконь. - М.: «Просвещение», 1968. - 208 с.

133. Орлов, В. В. Построение основного курса геометрии общеобразовательной школы в концепции личностно-ориентированного обучения: дисс.докт. пед. наук: 13.00.02 / Орлов Владимир Викторович. - СПб, 2000. - 384 с.

134. Особенности обучения и психического развития школьников 13-17 лет / Под. ред. И. В. Дубровиной, Б. С. Круглова. - М.: Педагогика, 1988. - 192 с.

135. Педагогика: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В. А. Сластенин, И. Ф. Исаев, Е. Н. Шиянов / Под ред. В. А. Сластенина. -М.: Издательский центр «Академия», 2002. - 576 с.

136. Перевощикова, Е. Н. Диагностика в процессе обучения математике: монография / Е. Н. Перевощикова. - Н. Новгород: НГПУ, 2010. - 172 с.

137. Персональный сайт И. М. Смирновой и В. А. Смирнова [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.geometry2006.narod.ru/.

138. Пиаже, Ж. Психология интеллекта / Ж. Пиаже [Электронный режим] / Режим доступа: http://royallib.com/book/piage_gan/psihologiya_intellekta.html.

139. Пидкасистый, П. И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении / П. И. Пидкасистый. - М.: Педагогика, 1980, -240 с.

140. Подходова, Н. С. Реализация ФГОС ОО: новые решения в обучении математике: уч. метод. пособ. для высш. уч. заведений / Н. С. Подходова, О. А. Кожокарь, Е. Ф. Фефилова. - Санкт-Петербург - Архангельск: КИРА, 2014. - 255 с.

141. Пойа, Д. Как решать задачу? / Д. Пойа. - Пер. с англ. В. Г. Звонаревой и Д. Н. Белла: Пособие для учителей / Под ред. Ю. М. Гайдука. - 2-е изд. -М.: Учпедгиз, 1961. - 207 с.

142. Поспелов Н. Н., Поспелов И. Н. Формирование мыслительных операций у старшеклассников / Н. Н. Поспелов, И. Н. Поспелов. - М.: Педагогика, 1989. - 152 с.

143. Примерная основная образовательная программа основного общего образования в области «Математика и информатика». - [Электронный ресурс] / Режим доступа: https://www.google.ru.

144. Программа развития и формирования универсальных учебных действий для основного общего образования. - М.: 2008. - 207 с.

145. Психологический словарь / Под ред. В. В. Давыдова, А. В. Запорожца, Б. Ф. Ломова и др. - М.: Педагогика, 1983. - 448 с

146. Рабинович, Е. М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7-9 классы. Геометрия / Е. М. Рабинович - М.: Илекса, 2007. - 60 с.

147. Российская педагогическая энциклопедия: в 2 т. - Т.1. / Гл. ред. В. В. Давыдов. - М.: БРЭ, 1993. - 608 с.

148. Рубинштейн, С. Л. Основы общей психологии / С. Л. Рубинштейн. -СПб.: Изд-во «Питер», 2010. - 713 с.

149. Савенков, А. И. Психологические основы исследовательского подхода к обучению. Учебное пособие / А. И. Савенков. - М.: «Ось 89», 2006. - 480 с.

150. Саранцев, Г. И. Методика обучения математике: методология и теория: учеб. пособие для студентов бакалавриата высших учебных заведений по направлению «Педагогическое образование» (профиль «Математика») / Г. И. Саранцев. - Казань: Центр инновационных технологий, 2012. - 292 с.

151. Саранцев, Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе / Г. И. Саранцев. - М.: Просвещение, 2000. - 173 с.

152. Семенюк, Л. М. Хрестоматия по возрастной психологии: учеб. пособие для студентов / Сост. Л. М. Семенюк / Под ред. Д. И. Фельдштейна. -М.: Институт практической психологии, 1996. - 304 с.

153. Сериков, В. В. Образование и личность: Теория и практика проектирования пед. систем / В. В. Сериков. - М.: Логос, 1999. - 272 с.- М.: 1999. - 214 с.

154. Симонов, В. П., Черненко, Е. Г. Десятибалльные шкалы оценки степени обученности по предметам. Учебно-справочное пособие / В. П. Симонов, Е. Г. Черненко. - М.: «Граф-Пресс», 2000. - 70 с.

155. Смирнов, В. А. , Смирнова, И. М. О новой концепции геометрии /В. А. Смирнов, И. М. Смирнова. - Математика. - N 8. - 2015. - С. 4-7.

156. Смирнова, И. М. Педагогика геометрии: Монография / И. М. Смирнова. -М.: Прометей, 2004. - 336 с.

157. Смирнова, И. М., Смирнов, В. А. Критерии отбора задач для выявления математических способностей школьников // Традиции гуманизации в

образовании - III международная научная конференция памяти Г. В. Дорофеева: сборник материалов. М.: Вентана-Граф, 2014. - С. 77-80.

158. Современные педагогические технологии основной школы в условиях ФГОС / О. Б. Даутова, Е. В. Иваньшина, О. А. Ивашедкина, Т. Б. Казачкова. - СПб.: КАРО, 2013. - 176 с.

159. Столяр, А. А. Педагогика математики / А. А. Столяр. - Минск: Издательство "Вышэйшая школа", 1986. - 414 с.

160. Талызина, Н. Ф. Формирование приёмов математического мышления / Н. Ф. Талызина. - М.: ТОО «Вентана Граф», 1995. - 130 с.

161. Талызина, Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний / Н. Ф. Талызина. -М.: Изд-во МГУ, 1975. - 174 с.

162. Тимофеева, И. Л. Вводный курс математик: учеб. пособие для студентов учреждений высш. пед. проф. образования / И. Л. Тимофеева, И. Е. Сергеева, Е. В. Лукьянова // Под ред. В. Л. Матросова. - М.: Издательский центр «Академия», 2011. - 240 с.

163. Тимофеева, И. Л. Математическая логика. Курс лекций: учебное пособие / И. Л. Тимофеева. - 2-е изд. перераб. - М.: КДУ, 2007. - 304 с.

164. Тимофеева, И. Л. О логических и эвристических средствах построения доказательств / И. Л. Тимофеева // Математика в школе. - 2004. № 10. -С. 42 - 50 с.

165. Тихомиров, О. К. Психология мышления / О. К. Тихомиров. -М.: Издательский центр «Академия», 2002. - 288 с.

166. Тихонов, А. Н., Арсенин, В. Я. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М.: Наука, 1979. - 288 с.

167. Уёмов, А. И. Основы практической логики с задачами и упражнениями / А. И. Уёмов. - Одесса: Одесский государственный университет им. И. И. Мечникова, философское отделение ИСН, 1997. - 388 с.

168. Унт, И. Э. Индивидуализация и дифференциация обучения / И. Э. Унт. -М.: Педагогика, 1990. - 146 с.

169. Усова, А. В. Формирование у учащихся общих учебно-познавательных умений в процессе изучения предметов естественнонаучного цикла: Учебное пособие / А. В. Усова. - Челябинск: Факел, 1997. - 34 с.

170. Успенский, В. А. Простейшие примеры математических доказательств / В. А. Успенский. - Изд. 2-е. - М.: Изд-во МЦНМО, 2012. - 56 с.

171. Утеева, Р. А. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе: Дисс... докт. пед. наук / Р. А. Утеева. - М., 1998. - 344 с.

172. Фарков, А. В. Обучаемость учащихся математике: проблемы диагностики. 5-11 классы / А. В. Фарков. - М.: ВАКО, 2015. - 240 с.

173. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. -М.: Просвещение, 2011. - 48 с.

174. Фридман, Л. М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач / Л. М. Фридман. - М.: Педагогика. - 1974. - 208 с.

175. Фридман, Л. М. Основы проблемологии / Л. М. Фридман. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. - 224 с.

176. Фридман, Л. М. Теоретические основы методики обучения математике: учебное пособие / Л. М. Фридман. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. - 248 с.

177. Фройденталь, Г. Математика как педагогическая задача. Ч. 1. / Г. Фройденталь / Под ред. Н. Я. Виленкина. - М.: Просвещение, 1982. -208 с.

178. Фройденталь, Г. Математика как педагогическая задача. Ч. 2. / Г. Фройденталь / Под ред. Н. Я. Виленкина. - М.: Просвещение, 1983. -192 с.

179. Фундаментальное ядро содержания общего образования / Рос. акад. наук, Рос. акад. образования; под ред. В. В. Козлова, А. М. Кондакова. -М.: Просвещение, 2011. - 79 с.

180. Фуше, А. Педагогика математики / Под ред. И. К. Андронова. -М.: Просвещение, 1969. - 128 с.

181. Хайдаров, Б. Система учебных задач, обладающая свойством структурной полноты, как средство активизации познавательной деятельности учащихся (на материале стереометрии): дисс...канд. пед. наук / Б. Хайдаров. - Москва, 1992. - 229 с.

182. Хинчин, А. Я. Педагогические статьи: Вопросы преподавания математики. Борьба с методическими штампами / А. Я. Хинчин / Под ред. Б.В. Гнеденко.

- М.: КомКнига, 2006. - 208 с.

183. Холодная, М. А., Гельфман, Э. Г. Развивающие учебные тексты как средство интеллектуального воспитания учащихся / М. А. Холодная, Э. Г. Гельфман. - М.: Институт психологии РАН, 2016. - 200 с.

184. Хуторской, А. В. Современная дидактика / А. В. Хуторской.- СПб: Питер, 2001. - 544 с.

185. Цукарь, А. Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследования для 9 класса / А. Я. Цукарь. - М.: Просвещение, 2000. - 65 с.

186. Цукарь, А. Я. Самостоятельная работа учащихся по решению и составлению задач как средство повышения качества знаний по математике (на материале геометрии): дисс. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / А. Я. Цукарь. -Москва, 1984. - 196 с.

187. Четверухин, Н. Ф. Методы геометрических построений / Н. Ф. Четверухин.

- М: Учпедгиз, 1952. - 147 с.

188. Чопчиян, С. А. Конструирование учебных задач учащимися как способ повышения эффективности освоения учебного материала: дисс. . канд. пед. наук: 13.00.02 / Чопчиян Степан Алешович. - Москва, 2005. - 150 с.

189. Шатилова, А. В. Обучение школьников составлению геометрических задач по готовым чертежам: дисс. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Шатилова Алла Валерьевна. - Саранск, 1997. - 205 с.

190. Шатуновский, С. О. Геометрические задачи и их решение с помощью циркуля и линейки / А. Адлер. Теория геометрических построений. -Ленинград: Учпедгиз, 1940. - 232 с. - С. 3-9.

191. Шквыря, Е. Л. Конструирование задач как средство формирования математической компетентности учащихся 5-6 классов: дисс. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Шквыря Елена Леонидовна. - Нижневартовск, 2009. - 169 с.

192. Шкерина, Л. В. Профильное исследование: Задачи исследовательского типа в школьном курсе математики / Л. В. Шкерина, А. Н. Панасенко, Е. В. Сенькина. - Красноярск: КГПУ им. В. П. Астафьева. - 2014. - 205 с. -Электронное издание.- [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.kspu.ru/upload/documents/2015/11/02М3а73сЫе5а46сЬ27ЬЬ305а81 7c32a92/profilnoe-issledovanie-shkerina-lyiv-panasenko-an-ev-senkina-zadachi-issledovate.pdf.

193. Шоркина, Л. В. Конструирование математических задач как средство творческого развития исследовательских способностей учащихся: Дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Л. В. Шоркина. - Орел, 2007. - 250 с.

194. Шуба, М. Ю. Учим творчески мыслить на уроках математики: пособие для учителей общеобразовательных учреждений / М. Ю. Шуба. - М.: Просвещение, 2012. - 218 с.

195. Эльконин, Д. Б. Избранные психологические труды / Д. Б. Эльконин. - М.: Педагогика, 1989. - 565 с.

196. Эрдниев, П. М., Эрдниев, О. П. От задачи к задаче по аналогии / Развитие математического мышления / Под ред. П. М. Эрдниева. - М.: «СТОЛЕТИЕ», 1998. - 288 с.

197. Эсаулов, А. Ф. Психология решения задач / А. Ф. Эсаулов. - М.: Высшая школа, 1972. - 216 с.

198. Якиманская, И. С. Психологические основы математического образования: Учеб. пособие для студ. пед. вузов / И. С. Якиманская. - М.: Издательский центр «Академия», 2004. - 320 с.

199. Яковлева, Е. Л. Психологические условия развития творческого потенциала у детей школьного возраста / Е. Л. Яковлева // Вопросы психологии. 1994, № 5. С. 37 - 42.

200. Яремко, О. Э., Яремко, Н. Н. Математическая корректность: учебное пособие/ О. Э. Яремко, Н. Н. Яремко.- Пенза: Изд-во ПГУ, 2014. - 192 с.

201. Ясиновый, Э. А. Составление математических задач учащимися как средство активизации их познавательной деятельности (на материале 9-10 кл.): дисс. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Ясиновый Эдуард Александрович. -Ярославль, 1974. - 156 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1. Анкеты для проведения эксперимента

1.1. Анкета для учителей (констатирующий этап)

№ Вопросы анкеты

1 В связи с чем ставится задача формирования и развития познавательных действий учащихся 5 - 9 в обучении математике?

2 Ставите ли Вы развивающие цели обучения математике?

3 Укажите несколько развивающих целей

4 Используете ли Вы какие-либо средства помощи учащимся для достижения развивающих целей?

5 Укажите несколько средств помощи учащимся для достижения развивающих целей

6 Из каких источников Вы берёте эти средства?

7 Организуете ли Вы деятельность учащихся, направленную на составление геометрических задач

8 Какие приёмы Вы используете для составления задач?

9 Считаете ли Вы полезной деятельность учащихся, направленную на составление геометрических задач? Почему?

10 Интересен ли Вам процесс составления геометрических задач и организация обучения составлению задач учащихся?

11 Укажите, какая помощь Вам необходима для организации деятельности учащихся, направленной на составление геометрических задач

1.2. Анкета для учащихся (констатирующий этап)

№ Вопросы анкеты и возможные ответы Ответ

1 Нравится ли Вам геометрия как учебный предмет: а) да; б) нет.

2 Вы решаете геометрические задачи, потому что: а) требует учитель; б) Вам интересен процесс решения задачи; в) для получения хорошей оценки.

3 Вы решаете задачи по геометрии: а) самые простые; б) среднего уровня сложности; в) повышенного уровня сложности; г) исследовательские.

4 При решении геометрических задач Вы испытываете затруднения : а) при выделении условия; б) при выявлении требования задачи; в) при выполнении чертежа; г) при поиске решения задачи; д) при обосновании своих рассуждений.

5 Приводите ли Вы свои примеры и составляете ли задачи по алгебре: а) да; б) нет.

6 Интересно ли Вам как можно составить геометрическую задачу : а) да; б) нет.

7 Предлагает ли Вам учитель задания на составление геометрических задач : а) да; б) нет.

Приложение 2. Материалы для разработки карточек помощи в обучении составлению задач: задачи - стационарные системы

7 класс

№ 7.1

Условие: АКТЫ и КЬ - биссектриса, С - середина КЬ, ЛВ^КЬ=С, ЛВ1_КЬ.

АХ 1_ \/

- /\ в Ы

Решение Обоснование

1) Т. к. АКТЫ и КЬ - биссектриса, то ¿ТКЬ=^ЬКЫ или ¿ЛКС=^ВКС 1) Определение биссектрисы треугольника

2) Т. к. С - середина КЬ, то КС=СЬ 2) Определение середины отрезка

3) Т. к. ZKCЛ и ^СВ и ЛВСЬ: ЛВ1КЬ, то ZACK=ZBCK=ZBCЬ 3) Определение перпендикулярных прямых

4) Т. к. АЛКС и АВКС: КС-общая и ZЛCK=ZBCK и ZЛKC=ZBKC, то АЛКС=АВКС 4) Теорема: признак равенства треугольников

5) Т. к. ЛС и ВС: АЛКС=АВКС, то ЛС=ВС 5) Определение равных треугольников

6) Т. к. АЛСК и АВСЬ: КС=СЬ и ЛС=ВС и ZACK=ZBCЬ, то АЛСК=АВСЬ 6) Теорема: признак равенства треугольников

7) Т. к. АЛКС=АВСЬ, то ZCЛK=ZCBЬ, то ZBЛK=ZABЬ 7) Определение равных треугольников

8) Т. к. ЛК, ВЬ - прямые, ЛВ - секущая, ZBЛK и ^4ВЬ -накрест лежащие, ZBЛK=ZЛBЬ, то ЛК \ ВЬ, то КТ \ ВЬ 8) Теорема: признак параллельности прямых

Требование: доказать, что КТ \ ВЬ

№ 7.2

Условие : ВК, БЕ - прямые, ВК \ БЕ, ЕК - секущая,

КЫ - биссектриса и ЕЕ - биссектриса внутренних односторонних углов.

Решение Обоснование

1) Т. к. ZBKE+ZDEK: ZBKE и ZDEK- односторонние углы при пересечении двух параллельных прямых секущей, то ZBKE+ZDEK= 180° 1) Теорема об односторонних углах при секущей двух параллельных прямых

2) Т. к. KN - биссектриса ZBKE, то ZEKN= 1/2ZBKE 2) Определение биссектрисы

3) Т. к. EF - биссектриса ZDEK, то ZFEK=1/2 ZDEK 3) Определение биссектрисы

4) Т. к. ZBKE+ZDEK= 180° и ZEKN=1/2ZBKE и ZFEK= 1/2 ZDEK, то ZEKN+ ZFEK=90° 4) Свойство равенств

5) Т. к. ZEKL и ZLEK: KNHEF=L и ZEKN+ZFEK=90°, то ZEKL+ZLEK=90° 5) Свойство равенств

6) Т. к. AKNE: ZEKL+ZLEK+ZKLE=180° и ZEKL+ZLEK=90°, то ZELK=90° 6) Свойство равенств

7) Т. к. ZELK=90°, то KN1EF 7) Определение перпендикулярных прямых

Требование: доказать, что биссектрисы односторонних углов перпендикулярны

№ 7.3

Условие: ACMN, D и E - середины CN и CM; точки B и A, DgMB, EgAN, D и E - середины BM и AN

в

/ xí^^No /

-1-1--VC M E\ / VA

Решение Обоснование

1) Т. к. ZMDN и ZBDC: ZMDN и ZBDC - вертикальные, то ZMDN= ZBDC; 1) Свойство вертикальных углов

2) Т. к. DN и CD, DM и DB: D - середина CN и BM, то DN=CD, DM=DB 2) Определение середины отрезка

3) Т. к. AMDN и ABDC: DN=CD, DM=DB и ZMDN=ZBDC, то AMDN=ABDC; 3) Теорема: признак равенства треугольников

4) Т. к. ZDNM и ZBCD: AMDN=ABDC, то ZDNM=ZBCD; 4) Определение равных треугольников

5) Т. к. ZMEN и ZAEC: ZMEN и ZAEC - вертикальные, то ZMEN=ZAEC 5) Теорема: свойство вертикальных углов

6) Т. к. EM и CE, AE и EN: E - середина CM и AN, то EM=CE, AE=EN 6) Определение середины отрезка

7) Т. к. AMEN и ACEA: EM=CE, AE=EN и ZMEN=ZAEC, 7) Теорема: признак равенства

то АМЕЫ=АСЕЛ треугольников

8) Т. к. ZЫME и ZЛCE: АМЕЫ=АСЕЛ, то ZЫME=ZCEЛ 8) Определение равных треугольников

9) Т. к. АСМЫ и ZCЫM, ZCMЫ, ZЫCM, то ZCЫM+ZCMЫ+ZЫCM= 180° 9) Теорема: сумма углов треугольника;

10) Т. к. ZACB: ZЛCB=ZBCD+ZCEЛ+ZЫCM и ZDЫM=ZBCD и ZЫME=ZCEЛ и ZCЫM+ZCMЫ+ZЫCM= 180°, то ZACB=180° 10) Свойство равенств

11) Т. к. СЛ, СВ - лучи: ZЛCB= 180°, то СЛ и СВ - дополнительные лучи 11) Определение развернутого угла

12) Т. к. Л, В, С и СЛ и СВ - дополнительные лучи, то Л, В, С - лежат на одной прямой 12) Определение дополнительных лучей

Требование: доказать, что Л, В, С - лежат на одной прямой

8 класс

№ 8.1

Условие: АЛКЫ, ЛКфКЫ, КИ1ЛЫ, КЬ- биссектриса

К 1 \

Л Ь И Ы

Решение Обоснование

1) Т. к. ZAKЫ, ZKAЫ, ZKЫЛ: АЛКЫ, то ZAKЫ+ZKЛЫ+ZKЫЛ=180° 1) Теорема о сумме углов треугольника;

2) Т. к. ZЬKЫ: ZЛKЫ+ZKЛЫ+ZKЫЛ=180°, КЬ - биссектриса, то ZЬKЫ=1/2•(180°-ZKЛЫ-ZKЫЛ) 2) Определение биссектрисы

3) Т. к. ZHKЫ: АКЫН и КИ1ЛЫ и ZHKN+ZHNK=90°, то ZИKЫ=90°-ZИЫK 3) Свойство острых углов прямоугольного треугольника

4) Т. к. ZЬKИ: ZЬKЫ=ZЬKИ+ZHKЫ и ZЬKЫ=1/2•(180°-ZKAЫ-ZKЫЛ) и ZИKЫ=90°-ZИЫK, то ZЬKH=1/2^(ZKЫЛ-ZKЛЫ) 4) Свойство равенств

^ г zkna-zkan Требование: доказать, что АЬКН =---

№ 8.2

Условие : КМЫЬ - параллелограмм, Л и В - середины сторон МЫ и КЬ, МЫ - диагональ

Решение Обоснование

1) Т. к. МЫ и КЬ: КМЫЬ - параллелограмм, то МЫ=КЬ и МЫ 1 КЬ 1) Свойство параллелограмма

2) Т. к. АМ, АЫ, ВК, ВЬ: МЫ=КЬ, А и В - середины сторон МЫ и КЬ, то АМ=АЫ=ВК=ВЬ 2) Определение середины отрезка

3) Т. к. КА и ЫВ: МЫ 1 КЬ и АМ=АЫ=ВК=ВЬ, то АК ЫВ 3) Теорема Фалеса

4) Т. к. МЕ и ЕЕ: АМ=АЫ и АК 1 ЫВ, то МЕ=ЕЕ 4) Теорема Фалеса

5) Т. к. ЕЬ и ЕЕ: ВК=ВЬ и АК ЫВ, то ЕЬ=ЕЕ 5) Теорема Фалеса

6) Т. к. МЕ и ЕЕ и ЕЬ: МЬ=МЕ+ЕЕ+ЕЬ и МЕ=ЕЕ и ЕЬ=ЕЕ, то МЕ=ЕЕ=ЕЬ 6) Свойство равенств

Требование: доказать, что прямые делят диагональ параллелограмма на три равные части

№ 8.3

Условие: МЫКЬ - четырёхугольник, КЬ=5, ЬМ=13, МЫ=9 , ЫК=15 , КМ=12

I 13 У

Решение Обоснование

1) Т. к. ^МЫКЬ: МЫКЬ - четырёхугольник и КМ - диагональ и МЫКЬ=АКШ+АКМЫ, то 8мыкь=£дкьм+£дкмы 1) Свойство площадей

2) Т. к. ДКЬМ: КЬ=5, ЬМ=13, КМ=12, то рдкьм =Р/2=1/2*(КЬ+ЬМ+КМ)=1/2*(5+13+12)=15 2) Формула для полупериметра треугольника

3) Т. к. ^дкьм: КЬ=5, ЬМ=13, КМ=12, рдкьм =15, то 8дкьм^р(р-КЬ)(р- ЬМ)(р- КМ)=^15(15- 5)(15- 13)(15- 12)=30 3) Формула Герона

4) Т. к. ДКЬЫ: МЫ=9 , ЫК=15, КМ=12, то рДКЬЫ =Р/2=1/2*(МЫ+ЫК+КМ)=1/2'(9+15+12)=18 4) Формула для полупериметра треугольника

5) Т. к. £дкмы: МЫ=9 , ЫК=15 , КМ=12, рдкьы =18, то (р- МЫ)(р- ЫК)(р- КМ)=^ 18(18- 9)(18- 15)(18- 12)=54 5) Формула Герона

6) Т. к. $шкь': $МЫКь=$дкьМ+8дкМЫ и £дкьм=30 и £дкмы=54, то ^мыкь=84 6) Свойство площадей

Требование: найти 8МЫКЬ

Построить треугольник по стороне и двум медианам, проведённым к другим сторонам.

Задайте вид треугольника, определите для заданного вида геометрической фигуры число метрической определённости, задайте необходимое количество элементов и сформулируйте задачу. Решите составленную задачу.

Пусть требуется построить остроугольный треугольник ABC. Число метрической определённости остроугольного треугольника кА=3. Зададим элементы, необходимые для построения искомого треугольника, например, c - сторона и ma и mb - медианы, проведённые к двум другим сторонам.

Анализ. Допустим, что AABC - построен, AB - сторона, AN и BK - медианы.

1) Т. к. AABC: AN и BK - медианы AABC и ANflBK=M, то AM: MN = 2 : 1 и BM : KM = 2 : 1 (по свойству медиан треугольника);

2) Т. к. AM и BM: AM : MN = 2 : 1 и BM : KM = 2 : 1, то AM = 2/3MN, BM = 2/3^BK (используем деление отрезка на равные части);

В

C

K

3) Т. к. AABM: AB - сторона и AM = 2/3MN, BM = 2/3^BK, то построим AABM (по трём сторонам);

4) Т. к. AABC: AB - сторона и AN и BK - медианы, то BNO AK = C; искомый треугольник ABC построен.

Задача имеет решение, если 3/2^c < ma+mb т. к.: 1) AABC можно построить, если будет построен AABM, для которого AB < AM + BM (соотношение между сторонами треугольника): 2) т. к. AB < AM + BM и AM = 2/3MN, BM = 2/3^BK, то AB < 2/3^(AN + BK).

_Построение

1) Отрезок AM=2i3» AN; '

2) отрезок BM=2I3*BK;

3) отрезок AB;

4) окружность 1 (A; AM);

5) окружность2 (B; BM): окружность2 (B; BM)Покружность1 (A; AM)=M;

6) луч AM;

7) луч BM;

8) окружность3 (A; AN): окружность3 (A; AN)Плуч AM=N;

9) окружность4 (B; BK): окружность4 (B; BK)Плуч BM=K;

10) луч AK;

11) луч BN: луч BN П луч AK=C.

12) AABC._

Построили: искомый треугольник ABC_

9 класс

№ 9.1

Условие: Окружность (O; R), AB - диаметр; BC и AD - хорды, BC| 1AD

А/ d X C ) B

Решение Обоснование

1) ZABC и ZBAD: т. к. ZABC и ZBAD - накрест лежащие углы при секущей AB прямых BC и AD, то ZABC=ZBAD 1) Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

2) ZACB и ZBDA: т. к. ZACB и ZBDA опираются на AB, AB - диаметр, то ZACB=ZBDA=90° 2) Следствие из теоремы о вписанном угле

3) aABC и aABD: т. к. ZACB=ZBDA=90°, то A ABC и aABD - прямоугольные; 3) Определение прямоугольных треугольников

4) aABC и aABD: т. к. AB - общая и ZABC=ZBAD, то aABC=aABD 4) Теорема: признак равенства прямоугольных треугольников (гипотенуза и острый угол)

5) BC и AD: т. к. aABC=aABD, то BC=AD; 5) Определение равных треугольников

6) ADBC: т. к. BC| | AD и BC=AD и ZACB=ZBDA=90°, то ADBC - прямоугольник 6) Определение прямоугольника

7) AB и CD: т. к. ADBC - прямоугольник, то AB=CD 7) Свойство диагоналей прямоугольника

8) CD: т. к. CDnAB=O и AB - диаметр, то CD - диаметр 8) Свойство диаметров окружности

Требование: доказать, что хорда CD - диаметр окружности

Условие: ЛВСБ - трапеция, ЛЛ¡, ВВу, СС1, ББ: - биссектрисы углов трапеции

В С 1)1

!Л Л

А С7 В! Б

Решение Обоснование

1) Т. к. /БЛВ и ZЛВС: /БЛВ и ZЛВС - односторонние при секущей ЛВ и прямых ЛБ и ВС , ЛБ\ \ ВС, то ZDЛB+ZЛBC= 180° А) 1) Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

2) Т. к. АЛВК: ЛЛ1 и ВВ1 - биссектрисы АБЛВ и АЛВС и 1 1 ^ЛВ+^ВС=180°, то ZA1ЛB+ZB1BЛ=1ZDЛB+1ZABC=90° ' 1 1 2 2 2) Определение биссектрисы угла

3) Т. к. /ЛКВ: МВК и ZAlЛB+ZBlBЛ=90°, то ZAKB=90° 3) Теорема о сумме углов треугольника и свойство равенств

4) Т. к. /ЫКЬ: АМКЬ и АЛКВ - вертикальные и ZAKB=90°, то ZMKL=90° 4) Свойство вертикальных углов

5) Т. к. АЛБС и АВСБ: АЛБС и АВСБ - односторонние при секущей СБ и прямых ЛБ и ВС , ЛБ| \ ВС, то ZADC+ZBCD=180° Б) 5) Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

6) Т. к. АС№: ББ1 и СС1 - биссектрисы ZADC и ZBCD и 1 1 ZADC+ZBCD=180°, то ZDlDC+ZClCD=1ZADC+1ZBCD=90° ' 1 1 2 2 6) Определение биссектрисы угла

7) Т. к. АБЫС: АБЫС и ZD1DC+ZC1CD=90°, то ZDNC=90° 7) Теорема о сумме углов треугольника и свойство равенств

8) Т. к. ZMNL: ZMNL и ZDNC - вертикальные и ZDNC=90°, то ZMNL=90° 8) Свойство вертикальных углов

9) Т. к. ZMKL и ZMNL: ZMKL=90° и ZMNL=90°, то ZMKL+ZMNL=180° В) 9) п. 4 и п. 8

10) Т. к. KMNL: KMNL - выпуклый четырёхугольник, ZMKL и ZMNL - противолежащие и ZMKL+ZMNL=180°, то вокруг КЫ^ можно описать окружность 10) Теорема об описанной окружности около выпуклого четырехугольника

Требование: доказать, что около выпуклого четырёхугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции можно описать окружность

Условие: ААВС - правильный треугольник, вписанный в окр. (Оу; Яу), Я= 3; АСКБ - квадрат, вписанный в окр. (О2; Я2)

___ Г О] 1 ■"Г 1 О2 ------- К ) Б

Решение Обоснование

1) Т. к. АС: ААВС - правильный треугольник, вписанный в окр.(Оу; Я) Я= 3 и а„=2Я5/и180", то АС=а^=2»3»%\„60°=3^Ъ 1) Формула вычисления стороны правильного многоугольника, вписанного в окружность

2) Т. к. АСКБ: АСКБ - квадрат и АС=а&=3^3, то АС=ап=3^3 2) Теорема Пифагора

3) Т. к. Я2: АСКБ - квадрат и а„=2Я?1п-0- и АС=ап=3^3, „ ас э7з п з7в то Я2=-5=--, Я2=— 2 _ . 180 _ . 180 ' 2 2 2яп- 2яп- п 4 3) Формула диаметра окружности в зависимости от её радиуса

Требование: найтиЯ2

№ 9.4

Условие: постройте квадрат АВСБ

В

С

Б

Решение

Обоснование

1) Т. к. АВСБ - правильный четырёхугольник, то пусть АВСБ - квадрат_

1) Определение правильного многоугольника и свойства квадрата_

2) Т. к. АВСБ - квадрат, то к=1