Обобщенные пространства Степанова и дробные интегралы Бесселя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Костин, Алексей Владимирович

• Костин, Алексей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Костин, Алексей Владимирович

Введение

Глава I. Обобщенные пространства Степанова.

§1.1. Некоторые необходимые определения и обозначения.

§1.2. Векторнозначные пространства Степанова.

§1.3. Обобщенные пространства Степанова.

§1.4. Пространства с экспоненциальным весом.

Глава II. Интегралы дробного порядка.

§2.1. Интегралы Римана-Лиувиля.

§2.2. Операторы дробного интегрирования Ж. Адамара.

§2.3. Операторы Бесселя.

§2.4. Операторы Гельдера.

§2.5. О дробном интеграле Бесселя в одной математической моделе динамического процесса с запаздыванием.

Глава III. Приложение к эволюционным уравнениям

§3.1 Задача Коши.

§3.2. Уравнения на всей оси.

Глава IV. Мультипликативные неравенства в нормах обобщенных пространств Степанова-Соболева.

§4.1. Некоторые свойства пространств Зрп.

§4.2. Доказательство основных неравенств.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенные пространства Степанова и дробные интегралы Бесселя»

Пусть ^и II- метрические пространства с соответствующими метриками рр и рц. Согласно Адамару [16] задача определения решения и Е II уравнения где / Е .Р задано, называется корректно поставленной на пространствах (.Р, и), если выполняются условия: а) для всякого / Е -Р существует и Е II- решение уравнения б) решение определяется однозначно, в) задача устойчива на пространствах (.Р, С/), то есть для любого £ > 0 можно указать такое 6 > 0, что из неравенства М/ъ/г) < следует ри(иъи2) < е.

Важно отметить, что устойчивость задачи (1) зависит от вы-браных топологий в II и .Р и, вообще говоря, подходящим выбором топологий можно формально добится непрерывности оператора -А-1, существования которого обеспечивают условия а) и б). Так в случае линейного взаимно-однозначного соответствия оператора А и нормированых пространств II и .Р, устойчивость будет иметь место, если простанство .Р наделить нормой

Аи = /,

1)

1)

А~11\\и =

Щ\и, и тогда

А"1

Однако, обычно топологии навязываются постановкой задачи и не могут выбираться произвольно.

В связи с этим возникает следующая проблема, связанная с выбором топологий в пространствах начальных данных F и решений U:

1. С одной стороны желательно, чтобы эти топологии не зависели от оператора А. Например, в случае когда А = -А(А)-оператор зависящий от некоторого параметра Л, важно, чтобы область определения обратного оператора А-1 (Л) (в частности резольвенты R(А) = (А — А/)-1) была независящей от А.

2. С другой стороны, желательно иметь наиболее широкие пространства начальных данных F при которых решение задачи остается в некотором "достаточно хорошем" пространстве U.

Так наиболее часто используемые в прикладных задачах топологии, это топологии нормированных пространств функций /(ж), х е О с R1,

Lp(Sl) = {/О) : ||/||р = [/п |f(x)\4x]Kp > 1}.

С(Г2)- пространство непрерывных и ограниченных в функций с нормой

H/||c = sup|/(®)|. xGft пространство непрерывных, вместе со своими производными до порядка Z, функций

С<'>(П) = {/(®) : /<*>(*) е С(П),\\f\\i = £ ||/<*>||с, / = 1,2,.} к=О

Wp- пространства С.JI. Соболева. w' = {¡(х) : /(ц(ж) е -МП), ||/||г,р = ¿ ||/(i)||p}. к=О

В зависимости от задачи, наряду с этим используются также и весовые пространства.

LPtP(Sl) = {f(x) : p(x)f(x) е Lp(ü), H/IU = [Jnp(x)\f(x)\4x]l. Cp{ü) = {/(*) : p(x)f(x) € C(Í2), ||/||p = sup \p(x)f(x)\}. xett

Например, рассмотрим задачу Коши для простейшего дифференциального уравнения гф) - f(x), х е [О, Т), f{x) G С([0, Т)) (2) м(0) - 0. (3)

Требуется найти и(х) G C^QO, Т))- удовлетворяющую (2)-(3). Таким образом в этом случае F = C([0,T)), U = С(1)([0,Г)). Очевидно, что решение этой задачи единственное и имеет вид u(x) = joXf(s)ds, (4) и если 0 < Т < оо, то из (2) и (4) следует

IMIt/ = IHIc + IMIc < (1 + T)\\f\\c = (1 + T)\\f\\F.

Таким образом задача (2)-(3) корректна по Адамару в пространствах (С, Сесли Т < оо.

Однако при Т = оо это не так. Поэтому возникает вопрос о пространствах в которых задача (2)-(3) корректна. В связи с этим рассматриваются, например, весовые пространства Ср(0) с весом р(х) = е~ах, (а > 0).

Для этих пространств имеем ф)| < Ге^е—1/(5)|^< вир \е-ах/(х)\ Г еаЧз

1/0 хе[о,оо) -70 еах еах и*ис,р < -—11/11 с,ра а

Отсюда получаем оценку юн!

И, следовательно, для пространств V = {и(х) : и'(х) £ ^([0, оо)), и € Ср([0,оо))}, ^ = {/(ж) : / £ Ср[0, оо)} задача корректна, при Т = оо.

Аналогично этому простейшему случаю, в общей ситуации, при исследовании корректой разрешимости различных задач для абстрактных интегро-дифференциальных уравнений приходится изучать возникающие здесь интегральные операторы и вводить соответствующие пространства, в которых эти операторы ограниченно действуют.

В связи с этим, с целью изучения корректной разрешимости начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, где ядра соответствующих интегральных операторов имеют особенность, в диссертации вводятся и изучаются классы пространств векторно-значных функций f(x) (х Е Я1 = (—оо, оо) или = [0, оо) со значениями в банаховом пространстве Е, обобщающие известные пространства Степанова Бр ([4],[5]),(см. также [19],[31]. Как известно 5Р пространства введены в связи с изучением почти-периодических функций. Норма в Sp- пространствах Степанова имеет вид: f\k = supy[/W|f(x)\>dx]ï (р > 1,1 > 0). (5) teR1 t Jt

При различных l > 0 эти нормы эквивалентны.

Пусть Е- банахово пространство и Д- одно из множеств R1 = (—оо, оо), или В}+ = [0, оо). Через 5+7 и 5~7 (р > 1,7 > 0 будем обозначать пространства векторно-значных функций /(£), со значениями в Е, при каждом i G А, локально интегрируемых по Бохнеру и для которых конечны нормы

11/11+,,, = eupyljf^i -fT'Il/MII^, (6)

Il/Il",,, = supy[/i+'(i + l - «y-'ll/WMi, (7) te A t 1

Очевидно, что если = il1, 7 = 1, то нормы (6) и (7) совпадают с нормами Sp- пространств Степанова (5).

В диссертации устанавливаются следующие свойства пространств

1) || * ||p i эквивалентны при различных / > 0 и будем обозначать ИХ || * ||р)Г

2) Одним из интересных, и несколько неожиданных свойств пространств <S^7, отличающих их от обычных весовых пространств, является то, что и при 7 > 1 они совпадают с Sp-пространствами Степанова.

3) Если 0 < 7 < 1, то нормы || * ||+ и || * ||~ не эквивалентны, даже когда Е = R1. Одно существенное отличие пространств от Sp- пространств связано с тем, что, если последовательность чисел такая, что о < /1 < гп+1 -гп< 12, (8) то норма эквивалентны норме (5), в то время как в случае 0 < 7 < 1 нормы гЬ„ и ги, п Лп

Р, и

11/11 ;,Ъп = зир[Л+1(^+1 - ау-чнзущк ^ С г,. не эквивалентны нормам || * .

Таким образом каждой последовательности удовлетворяющей условию (8), в случае 0 < 7 < 1 соответствует некоторое пространство причем имеет место вложение с± г С± г о

Р,1 Р, 1,п

Кроме того нормы (6), (7) инвариантны относительно сдвига, то есть ||/(£)|| = ||/(ж + т)||, при любом г € Л1, в то время как нормы ||/||^7)П этим свойством не обладают.

В диссертации доказывается, что нормы (6) и (7) эквивалентны, соответственно нормам ил йл = вир - «у-'н/оон"*]* = гед1 н 8МГе-^-1\\Ц1 + т)\\Чт}^ (9)

Ш ^и

11/11", = зир[/ е"<"-'>(< - ^"'Н/МН'А»]* = ел17"00 8ир[Ге-^-1\\Цг-т)\\Чт]кР (10) ьея1

Аналогичный факт справедлив и для t Е А = R\.

Заметим, что нормы (9) и (10) эквивалентны при различных fJL> 0.

Представление норм в пространствах Sв виде (9), (10) подсказывает естественность изучения в этих пространствах операторов дробного интегрирования Бесселя ([1], [6]).

I С 00

G±J{t) = гЩ /о е"8а~1№ * s)ds (*е Rl)• (п)

Г(о;)- гамма функция Эйлера, а > 0.

G°/(i) = f(a)ret"is-tr~lf^ds = ТЩГ^1^^

12)

G"m = fR /о' e>"'(i - 'Г1'«* = тщ Г - r)dr,

13) если £ Е R\.

Обычно, операторы G± изучаются в пространствах L^R1) или Lp(Rl), р > 1, в связи с дифференциальным уравнением дробного порядка

A /±^)<=4i) = /(t), (*) где i Е -R1, a /(£)- локально интегрируемая функция.

Вопрос заключается в том, что необходимо указать максимально широкий класс F не зависящих от Л функций, чтобы для всех / Е F уравнение (*) имело ограниченное решение.

В диссертации доказывается, что из эквивалентности норм (9), (10) соответственно нормам (6) и (7) следует

Теорема 2.3.0. Пусть F- функциональная банахова структура функций (f(t), t Е R1, <p(t) Е R1, тогда для того чтобы выполнялось неравенство

Ga±\\Loo<k\M\F, где к константа не зависящая от необходимо и достаточно, чтобы (р €

Таким образом, этот класс для функциональных банаховых структур является наиболее широким.

Наряду с этими пространствами здесь вводятся и изучаются обобщенные пространства Степанова с экспоненциальным весом, определяемые нормой

WfWtw = SUP /' - x)a~leX~lf {x)dx■> teR1 00

Для интегралов Бесселя доказаны следующие теоремы

Теорема 2.3.2. Если 0<а< 1 и + а >0иг>р> 1, р < то операторы GJ действуют из пространств в и справедливо неравенство

Ga±f\\s^ <С\|/||5р±7р, где к- константа не зависящая от /.

Теорема 2.3.3. Если а > 0, р > то операторы G± ограниа-2 ченно действуют из в Н± р, ft\t + h)-ft\t)\

Hi = №+ sup t£R\\h\<i | h\c где Л = т + а, га-целая часть Л, = (/ ± ¿)т/ : £?±т/.

С бесселевым дробным интегрированием тесно связаны следующие интегралы дробного порядка и соответствующие им операторы дробного дифференцирования

1. Интегралы Римана-Лиувилля (t € Rl,a > 0) hf = fJ(x)dx

1 rt I roo

IZf = щ Ijt - x)a~1f(x)dx /q r^f(t - r)dr ~ (-Г/, w J' = f f(x)dx = 1°° fit + x)ds - -jtS

1 ГОО 1 POO

V dt} J' таким образом

Соответствующая операция дробного дифференцирования имеет вид: па -Р ^ г1—а

V±í - d¿2±

2. Интегралы Ж. Адамара приспособленные к полуоси R\:

F+í = i* mdx м (4)л

JO х у dt' rr¡ ~ (4)"/,

Г (a) JQ x x dt

3. Интегралы Бесселя

G+f = e^/M^ = /о°° e"7(í - r)dr ~ (/ +

11

3+/ = гг-- [* ех"7(х)йх = —— Г е~тта~1!и - тЫ +'1 Г(а)^-оо м ' Г(а)л) м ;

Г(а)

Связь интеграла Ж. Адамара с интегралами Риммана-Лиувилля и Бесселя А;1^ А+/; (А+/Х*) = /(еж); (А;7)М = /(М

С«/ = е~*1°е7; = е'/?е7 7 ±а А;1/

В [19] рассмотрены так называемые гельдеровы усреднения порядка а > 0, которые имеют вид и являются дробными степенями оператора усреднения а +

Г^/о1(г^Г1/(ж)<гж(4>0) (14)

Т+/ = Ь /о' /(*)<&

15) им соответствует операция дробного дифференцирования )а/.

Из очевидного соотношения = I + tимеем соответствие

Tí/ <->(' + = (/ + F+)af = (jttff.

Кроме того справедливо равенство

ТУ = A~lGa+A+f (16)

По аналогии с этим в диссертации вводятся следующие три дробных интеграла и соответствующие им операции дробного дифференцирования

1 fOO Ú

Т/ = -1 }{x)dx (--i)/ = -(1 + F+)f = (F+ - /)/, r-f = T^)filnir~lf{x)dx " (-JttTS =(F" "irf' (17)

Tí/ = A-'e-^'G'íe-'A+f = A~1e-2tGae2tA+f (18) та/=ffe i^b"'1^ м ^í -I)af=(F+ -I)af +raf = fR = ^G%e-2'A+f (19)

-Tf = tff-^dx~(I-tft)f = (I-F-)f

Ta/ = AZlG%Af = A~lGaA+f (20)

Кроме того, если обозначим A*f(x) = то

Та/0) = A*Ta+A*f

Таким образом, приведенные соотношения позволяют судить о важности дробного интегрирования по Бесселю в общей теории дробного интегрирования и дифференцирования.

В тоже время к дробным интегралам Бесселя мы приходим при исследовании корректной разрешимости начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Пример 1. В соответствии с [10] рассмотрим неоднородное уравнение = Au(t) + f(t), (21) с непрерывной функцией /(£).

При выяснении условий существования ограниченного на всей оси R1 решений уравнения (21) важную роль играет

Теорема ([9], стр.119). Для того чтобы любой ограниченной на всей оси непрерывной вектор-функции f(t) соответствовало одно и только одно ограниченное на всей оси решение уравнения (21), необходимо и достаточно, чтобы спектр сг(А) не пересекался с мнимой осью.

Это решение дается формулой

00 oQKA(t-s)f(s)ds, (22) где Ка(Ъ)~ так называемая главная функция Грина уравнения (4.1). Для нее справедлива оценка

KA(t)\\<Me-v^ из которой следует оценка для решения уравнения (22) u(i)||<Af Ге-»1М||/(4)||Л =

J ~ (J<J Ml/^e""«-) ms)\\d,+fe"<-^ms)m = M(G+(\\f\ |)+G(II/I

Пример 2. Решение задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения йи . , ч „, ч — = Аи(г) + /(*), и(х0) = и0 представимо в виде [10, 11] и(г) = и(г - х0)и0 + [*' и {г

-/.То где А- производящий оператор аналитической полугруппы имеющий особенность в нуле, то есть справедлива оценка иШ<цГае~и (ш>0)

Это приводит к оценке решения и изучению его свойств с использованием свойств дробного интеграла Бесселя.

К подобного сорта проблемам мы приходим и в уравнениях, где ядра соответствующих интегральных операторов содержат выражения вида Ла[/(£), где Аа- дробная степень оператора А, который является генератором полугруппы £/"(£) (см.[10], [11]).

Отметим также, что дифференциальные уравнения в банаховом пространстве с полугруппами имеющими особенность, стали предметом исследования в докторской диссертации Ю. Т. Силь-ченко (см. [20]), где приводится большое количество примеров.

Наконец, отметим приложения бесселевых интегралов в математических моделях процессов с запаздыванием.

Например, в экономике. Если J(т) объём инвестиций, сделанных в момент г, а У(1)~ объем фондов введенных в момент t > т, то в случае когда инвестиции осваиваются согласно гамма-распределению p(t) = л > 0, > 0, то имеет место представление v[t) = щ ~ T)a~lf[T)dT■ (23)

Для а — 1, то есть для экспоненциального распределения эта формула приводится в [13].

Однако, естественность введения гамма-распределения очевидна, так как оно описывает распределение суммы независимых случайных величин, каждая из которых распределена по экспоненциальному закону с одинаковым параметром Л: PXi = \е~ХХг, (хг > 0). [см. 7]

Зависимость (2.3) между V(t) и здесь записывается впервые.

В диссертации дробные интегралы Бесселя исследуются в обобщенных пространствах Степанова

Доказываются теоремы об их ограниченности в этих пространствах.

В русле этих исследований здесь обобщается на случай этих пространств известная теорема Харди-Литтлвуда о действии дробного интеграла Риммана-Лиувиля в Ьр- пространствах.

Результаты применяются к изучению свойств ослабленного решения задачи Коши для дифференциального уравнения (22). В связи с этим в диссертации доказаны следующие теоремы:

Теорема 3.1.1. Если ß > ±, f(t) Е S±Jp(E), и ^ - ^ + 2 - ^ > 0 тогда ослабленное решение задачи Коши для уравнения 3.1.4 принадлежит пространству 5ГЛг и справедлива оценка

Ф)\УПГ <С15||/||5р±7р.

Теорема 3.2.1. Пусть А- производящий оператор Со- полугруппы, имеющей отрицательный тип, т.е. и(Щ < Ме'^ (со > 0), (3.2.2) и пусть <и(£) решение задачи (1*), тогда справедливо представление и(Ь) = ¡Ь и{Ь - й)/^)^, (3.2.3.) если /(а) 6

Теорема 3.2.2. Пусть А сильно позитивный оператор полугруппы £/(£) удовлетворяющий условию (3.1.7) при к = 0 и функция /(¿) € 5х)7 и удовлетворяет условию Гельдера

-/(г)||<С|*-т|*, 0 < 5 < 1 тогда, если 7 + | < 2 то задача (1*) имеет решение.

Теорема 3.2.3. Пусть А из теоремы 3.2.2, (3 > /(¿) € 5Р;7 П где ^<2 — д, 2 + <5 — |>0, тогда решение задачи (1*) существует, единственно, для него справедливо представление и(Ь) = ¡г и (г - з)/(з)с1з. (3.2.11.) из которого следует оценка и(г)\\ < м [* - 5)1-^||/(5)||^. —00

Кроме того и(Ь) € 5Г)7г и справедливо неравенство

3-2.12)

Теорема 3.2.4. Если в условиях теоремы 3.2.3. 3 — | > то для всякого решения задачи (1*) справедливо неравенство

1Н011я3 2 * <С||/1К7, (3-2-13-) р Р

С целью дальнейших возможных приложений пространств, в Главе IV вводятся обобщенные пространства Соболева-Степанова \¥рв±'у, где нормы даются равенством

Доказывается, что эти пространства являются банаховыми и для них устанавливаются аддитивные неравенства вида и\\2 < С^Мг + С2Н6*\\и\\3, где 0 < к < /¿о, <$ъ ¿2? С\, С2- положительные числа, и тесно связанные с ними мультипликативные неравенства

1Н|2<Сз||и||ПН|^(0<7<1)

Наряду с теоремами вложения, эти неравенства играют важную роль в теории дифференциальных уравнений. В частности при изучении дробных степеней дифференциальных операторов, а также в теории возмущенных уравнений, где подчиненность неограниченных операторов определяется в терминах аналогичных неравенств.

Для пространств Соболева \У1р такие неравенства получены Л. Ниренбергом, В.П. Ильиным [17].

Для пространств Ис весом неравенства такого вида получены С.Г. Крейном и В.П. Глушко [18].

В связи с этим в четвертой главе доказаны следующие теоремы

Лемма 4.1.1. Если р < г и А = выполняется неравенство

1р 1г р Г 0, то 5г,7г С £р,7р и

Р,Ъ А ч!-1 ^- ) т р г — р

Т-Пт

Лемма 4.2.2. Если д < р < г и

А =

1 1 1

1р Ъ р д г

О, то справедливо неравенство р,7Р — Н/Нд^И^И^лг'

6 = д{р - д) р(г - д)'

Через обозначим обобщенные пространства функций

Степанова- Соболева для которых конечна норма

1,Р,Ъ

Р,Ъ

Р,ъ

Теорема 4.1. Если 0<а1<1и0<а2<1 такие, что ^ — + «1 >0, ^-На2>0,ип<т</,д> тах(р, г), тогда д р х ' д г имеет место неравенство б п,р,ъ

1-6 1,г, 7г' где 8 = 1-гп-а2 (ч абсолютная константа.

-п+ах-аг' А

Теорема 4.2. Пусть п < т < I, 0 < (3 < 1 ж

1/ГЫ -/1т)Ы1

3 = вир |/(ж)| + вир хбД1 |в1-в2|<1 1^2 1

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Костин, Алексей Владимирович, 2002 год

1. Хилле Э. Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Издательство иностранной литературы. 1962, 829с.

2. Иосида К. Функциональный анализ, М.: "Мир", 1967, 624 с.

3. Функциональный анализ (под редакцией С.Г. Крейна), "Наука", М.: 1972, 544с.

4. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.: Гостехиз-дат, 1953, 396с.

5. Левитан Б.М. Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. Издательство МГУ, 1978, 204с.

6. Самко С.Г. Килбас A.A. Маричев О.М. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника. 1987, 698с.

7. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, М.: "Мир", 1967, т. 2, 752с.

8. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л. 1950.

9. Далецкий Ю.Л. Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М: "Наука", 1970, 534 с.

10. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М: "Наука", 1967, 464 с.

11. Красносельский М.А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М: "Наука", 1966, 499 с.

12. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М: "Наука", 1967, 223с.

13. Колемаев В.А. Математическая экономика, М: "ЮНИТИ", 1998, 239 с.

14. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения, М.: "Наука", 1975, 480 с.

15. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики, "Наука", Сиб.отд. Новосибирск, 1982, 56 с.

16. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирский гос.университет, Новосибирск, 1973, 72 с.

17. Ильин В. П. Некоторые функциональные неравенства типа теорем вложения. ДАН СССР, 123, N6 (1958), 967-970.

18. Глушко В.П. Крейн С.Г. Неравенство для норм производных в пространствах Ьр с весом. Сибирский математический журнал, т.1, N3, 1960, с.343-382.

19. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. "Мир",1970, 456 с.

20. ЗайцеваМ.И., Репников В.Д. Некоторые полугрупповые свойства Гельдеровых усреднений. ДАН, 1998, т.359, N4, с. 442-444.

21. Сильченко Ю.Т. Линейные дифференциальные уравнения с неплотно заданными операторными коэффициентами и связанные с ними краевые задачи. Диссертация на соискание доктора физ.-мат. наук. Минск, 1999.

22. Костин В.А. Неравенства для норм производных в пространствах Математические заметки, т.6, N4, 1969.

23. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М: "Мир", 1985г., 372 с.

24. Гальярдо Э. Свойства некоторых классов функций многих переменных. М: Издательство иностранной литературы, сборник "Математика", июль-август 1961, с. 87-116.

25. Миранда К. Уравнения с частными производными глиптического типа. Госиноиздат, 1957, 256 с.

26. Трибель X. Теория функциональных пространств. М.: "Мир" 1986, 447 с.

27. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства и дифференциальные операторы. М.: "Мир", 1980, 660 с.

28. Скубачевский A.JI. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы. Мат. сб. 1986. т. 129, N2, с. 279-302.

29. Скубачевский A.JI. О некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов. ДАН СССР, 1989. т. 307, N 2, с. 287291.

30. Крейн С.Г. Петунин Ю.И. Семенов Е.М. Шкалы банаховых структур измеримых функций. Труды Московского математического общества, т.17, 1967, с. 294-322.

31. Zaidman S. Functional Analysis and differentional eqations in abstract spaces. 1999 Chapman к Hall/CRC. 226 p.

32. Костин A.B. Обобщенные пространства Степанова и дробные интегралы Бесселя. Труды XXIII конференции молодых ученых мех-мат, факультета МГУ (9-14 апреля 2001г.), Москва, 2001, с. 206-209.

33. Костин A.B. Дробные интегралы Бесселя и обобщенные пространства Степанова. Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам. "Ломоносов", изд-во МГУ, вып. 6, 2001 г. (Тез.докл.), с. 247-248.

34. Костин A.B. О пространствах инвариантных относительно дробного интегрирования. Сб. трудов молодых ученых Воронежского государственного университета, Воронеж, 2001, изд-во ВГУ, с. 102-108.

35. Костин A.B. Весовые пространства Степанова и дробные интегралы Лиувилля. Пятая Крымская Международная Математическая Школа. МФЛ-2000, тез.докл., Симферополь, с. 84.

36. Костин A.B. Мультипликативные неравенства для норм производных в обобщенных пространствах Степанова-Соболева. Воронежская Зимняя Математическая Школа, Воронеж, 2002, 25-30 января 2002 г., тез.докл., с.41-42.

37. Костин A.B. Обобщенные пространства Степанова и эволюционные уравнения на R1. Труды математического ф-та, N5, 2001 г.

38. Костин A.B. О дробном интегрировании по Бесселю. Международная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели", Челябинский государственный университет, Челябинск, 4-9 февраля 2002 г., тез.докл.

39. Костин A.B. Lp- пространства с разностным весом и операторы дробного интегрирования. Современные методы теории функций и смежные проблемы. Воронежская зимняя математическая школа, 27 января- 4 марта 2001г., тез.докл. стр. 149-150.