Пространства Степанова и Вейля в Rn и дифференциальные уравнения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Шихаб Ахмед Вади

• Шихаб Ахмед Вади
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шихаб Ахмед Вади

Введение

Глава I. Задача Коши для абстрактных диференциальных 16 уравнений первого порядка и полугруппы

§1.1 Вектор-функции со значениями в банаховом пространстве

§1.2 Оператор—функции и полугруппы

Глава II. Пространства Степанова и Вейля в И"

§2.1 Пространства Степанова в К"

§2.2 Яр1 - пространства Степанова

§2.3 Пространства Вейля

§2.4 Шкала пространств 5л/

Глава III. Полугруппы Гаусса-Вейерштрасса и Пуассона.

Оценка решения задачи Коши

§3.1 Операторы типа свертки

§3.2 Полугруппа Гаусса-Вейерштрасса

§3.3 Полугруппа Пуассона

§3.4 Интегралы дробнго порядка Бесселя

§3.5 Параболические потенциалы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пространства Степанова и Вейля в Rn и дифференциальные уравнения»

Так как задачи математической физики описывают реальные физические процессы, то математическая постановка этих задач должна удовлетворять следующим требованиям: ( см. [2], стр. G8) а) Решение должно существовать в каком-то классе функций А4\. б) Решение должно быть единственным в некотором классе функций

М2. в) Решение должно непрерывно зависеть от данных.задачи ( начальных и граничных данных, свободного члена, коэффициентов уравнения и т.д.).

Задача, удовлетворяющая требованиям а)- в) называется корректна поставленной, а соответствующее множество функций ЛЛ \ Г\М.г классом корректности.

При этом требование в) носит название устойчивости задачи и означает, что для любого е > 0 можно указать такое 5 > 0, что из неравенства PMxUbh) < <5, следует рМ2(щ,и2) < б, где рМх и рМз- некоторые метрики bMi и М.2 соответственно.

Здесь важно отметить, что устойчивость задачи зависит от выбора, топологий в М\ и М.\.

Например, пусть задача приводится к уравнению

Au = f, где А- линейный оператор, переводящий М в ЛЛ где A4 и ЛЛ линейный нормированные пространства.

В этом случае непрерывная зависимость решения и от свободного члена / будет обеспечена, если оператор А~х существует и ограничен из N в М. Однако подходящим выбором топологий можно формально добиться непрерывности оператора А-1. Так устойчивость будет иметь место, если пространство N наделить нормой

И/1к = И"1/1Ы = 1НЫ, и тогда р-ЧНзирМ-^!. \\f\W

Однако, обычно топологии диктуются постановкой задачи и не могут выбираться произвольно.

В связи с этим возникает следующая проблема, связанная с выбором топологий в пространствах данных задачи N и решений М.

1. С одной стороны желательно, чтобы эти топологии пе зависили от оператора А. Например, в случае когда А = А(Х)~ оператор зависящий от некоторого параметра Л, важно, чтобы область определения обратного оператора А-1(А) (например, резольвенты Щ\,А) = (А — Л/)-1) была не зависящей от Л.

2. С другой стороны, желательно иметь наиболее широкие пространства данных задачи Р при которых решение задачи остается в некотором "достаточно хорошем "пространстве Л4.

Так, наиболее часто используемые в прикладных задачах топологии, это топологии нормированных функций /(х), х € С Нп (£1- ограниценная или неограниченная в R7' область с гладкой границей).

LP(Q) = {/(*) : ||/||р = {jQ\f(x)\»dx]f>, р> 1}. пространство непрерывных и ограниченных в Q функций с нормой c = sup'|/(®)|. жеП

C^(ii)- пространство функций f(xi,., хп), определенных на множестве Q, непрерывных и ограниченных вместе со всеми производными до порядка г (г > 0) включительно с нормой

9*7

1Ып)= «ф |/|+ ■£ Е SUP к^кг+.-.+^к П дх{ . дх^1 р(0)- пространства Соболева функций f(xl.xTl), определенных на множестве О и суммируемых на этом множестве со степенью р > 1 вместе со всеми производными до порядка г включительно, с нормой w;(ü)

Qkf дх\1 . dxfy dtt к=1 ki +.+кп=к где интегралы понимаются в смысле Лебега, а производные - в обобщенном смысле Соболева-Шварца (см. [15], стр. 95).

В зависимости от задачи, наряду с этим используются также и весовые пространства:

ЬРАП) = {/(4: р(*)/М е Lp(ii), II/IU - [¡np(x)\f(xWdx)"P},

СР(П) = {/(ar) : P(x)f(x) 6 C(i2), ||/||р = sup \p(x)f(x)\}. В диссертации изучается корректная разрешимость задачи Коти и(0, х) = <р(х)

1) для дифференциальных уравнений ди({,х) " д2и^,х) и ди(Ь, х) т

3) в пространствах 5Р1г(Яп) локально интегрируемых функций /(ж), ж € Яп, введенных здесь с помощью норм,

I/„!/(» + .№

4) где /С/ С Я.п- п-мерный куб: 0 < Х{ < I (г = 1, 2,., п), I > 0.

Так как в случае п = 1 они совпадают с известными пространствами Степанова (см. [13], [14]), для которых норма имеет вид

ЗрЛД1) = ^Р хЕ(~оо,оо)

1 гх+1

71х 1/М1'лвир х£{-оо,оо) у/о 1/(1 +в) то пространства 5Р)/(-йп) мы будем называть п- мерными пространствами Степанова.

Как известно, пространства Степанова вводились с целью изучения почти-периодических функций.

Позже рассматривались их обобщения. Так в [13], [14], [17] почти-периодичность по Степанову была обобщена на случай векторно-значных функций со значениями в банаховом пространстве Е. Также для векторно-значных функций в [7]. [8], были введены и изучены пространства локально интегрируемых по Бохнеру на [0,оо) функций /(х), х £ [0,оо)

5) для которых конечна норма

-'/>. т-. Е вир х<Е[0,оо)

0'МГ* р> 1) где скалярная функция <р(х) удовлетворяет условиям <р(х) > 0. <р(0) = 0. ср'{х) > 0, (р"(х) < 0.

В дальнейшем, с целью изучения корректной разрешимости начально краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, где ядра соответствующих интегральных операторов имеют особенность, в [6] введены и изучены классы пространств векторно-значных функций /(х) (х € Я1) для которых конечна одна из норм

11/(1^ = вир

I /х

5- ^вир

- зу-ч/шы*

Особенностью этих пространств является то, что при 7 > 1 нормы и 5~7)г эквивалентны между собой и эквивалентны нормам Степанова (5).

В тоже время при 0 < 7 < 1 нормы и не эквивалентны и определяют различные пространства.

Отметим следующие известные свойства пространств ¿^./(Я1), дока.-зательства которых можно найти в [6], [13], [14], [17].

1. Пространства 5Р)г(Л1)- банаховы.

2. Имеют место вложения: причем справедливы неравенства

3. Если р < г, то Sr,i{R}) С SpjiR1) и ll/lk, < ll/lk,, (7)

4. Для r\ < р < г2 имеют место мультипликативные неравенства

Il/Ils, < \\f\\5snJ ■ II/II&. (8)

W S =

5. При различных 1\ и ¿2 нормы || • j[s и |[ • ||spi2 эквивалентны.

6. Если / G ЗрДД1), то всегда существует конечный предел lim H/Us,,, = ?(/), (9).

В связи со свойством (9), для функций / Е 5РД.Я1), <?(/) будем называть в соответствии с [13], функционалом Вейля.

Через Vp(B}) будем обозначать множество функций / G Vp(Rl) для которых q(f) = 0.

Заметим, что ¿„(Ä1) С ^(Д1).

Как сказано выше, здесь мы впервые исследуем п- мерные пространства Степанова SP)i(Rn), в связи с корректной разрешимостью задачи (1)- (2) и изучением в этих пространствах соответствующих этим задачам следующих полугрупп:

1. Для оператора Ах = Ах- полугруппа Гаусса- Вейерштрасса тш*) = /й„ e-^V(s)ds, (10) здесь \х — s\2 = £ (х{ — Sj)2, t > 0. i-1

2. Для оператора Ах — — (—Д)з- полугруппа Пуассона

Р(Шх) = спг [ ^М

У \ ¡V)\ ) П }кп

П) р/ где Сп — ■ \г+1', Г(£)- гамма функция Эйлера.

1 7Г 5

Здесь мы исследуем вопросы:

1. Являются ли полугруппы Гаусса- Вейрштрасса и Пуассона полугруппами класса Со в пространствах 5^/(7?™), что гарантирует равномерно корректную разрешимость соответствующей задачи Коши, в силу классической теоремы Хилле, Филлипса, Иосиды, Феллера, Миадеры.

2. Как будут вести себя решения этих задач при £ —оо?

Как известно (см. [4], [21]), в случае пространств Ьр{1{п) и С(Д") (где С(Яп)- пространство равномерно непрерывных и ограниченных в К" функций) ответ на первый вопрос является положительным для Ах = Д и, в силу теоремы Балакришнана (см. [4}, стр. 362, теорема 1), отсюда следует положительный ответ для полугруппы Пуассона. Более того, эта полугруппа является и голоморфной в некотором секторе комплексной плоскости.

Отметим, что при доказательстве справедливости этих фактов ключевую роль играет свойство непрерывности норм в пространствах Ьр(К") и С (К"), которая заключается в том, что равномерно по всем х £ Яп. Это свойство позволяет получать соответствующие критерии компактности в этих пространствах.

12)

Что же касается Spj(Rn)- норм, то они, к сожалению, этим свойством не обладают.

Кроме того, в Lp(Rn) имеет место плотное вложение множества, гладких функций Lp{Rn) f]C^(Rn). В то время как для пространств SPyi{Rn) вложения вида (6), (7) не являются плотными.

В связи с этим, подобно тому как в пространстве непрерывных и ограниченных функций в Rn вводится подпространство равномерно непрерывных функций, в диссертации вводится подпространство Spj(RTl) равномерно непрерывных и ограниченных в смысле Spj(Rn) норм функций.

То есть / G SPti(Rn), если

Km\\f(x + h)-f(x)\\Spil = 0. (13)

Оказывается, что пространство таких функций является банаховым с нормой Sp,i(Rn). В него плотно вложено пространство C(R") и но параметру р > 1 семейство Spj(Rn) образует нормальную банахову шкалу (см. §2.4). Отметим, что этот результат является новым даже в случае

77. — 1.

Для полугруппы Гаусса- Вейерштрасса в этих пространствах доказывается теорема 3.2.3 о том, что полугруппа W(t)<p является сильно непрерывной и сжимающей в пространствах SP)i(Rn).

Отсюда, в силу упомянутой выше теоремы Балакришнана, полугруппа Пуассона P(t)<p также является сильно непрерывной и, кроме того. голоморфной в пространствах Spj(Rn). Таким образом по теореме ХФИФМ задачи (1) и (2) являются равномерно корректными в пространствах 5Р)/. И мы получаем ответ на первый поставленный вопрос.

Что касается вопроса о поведении решения задачи Коши при t —» со. то он также является весьма актуальным.

По выражению С.Г. Крейна (см. [23], стр. 274), уже для ограниченных операторов А, когда вопросы существования и единственности решении задачи Коши, непрерывной зависимости его от начальных данных всегда решались положительно и поэтому основное внимание уделялось поведению решений при ^ —У оо, то для неограниченных операторов эти вопросы также являются центральными.

Этим вопросом посвящены многочисленные исследования связанные с теорией устойчивости решений. Отметим, например исследования С. Агмона и Л. Ниренберга [26] по изучению поведения решений уравнения г^ + Аи = 0 при £ оо.

В русле этих исследований также лежит теория стабилизации решения задачи Коши для параболических и гиперболических однородных уравнений, развитая в работах В.Д. Репникова [3],[18|, [19], где результаты формулируются в терминах равномерного предельного среднего начальных данных Коши где У^- произвольный куб со стороной, равной , и центром в точке г] = (т71,.77„).

В соответствии с [19] вектор- функция и(Ь,х) равномерно стабилизируется к I = (¿1,. , ¿п), если для любого е > 0 можно указать такое Тц(е), не зависящее от х, что при £ > То х) — 1\ < е.

По В.Д. Репникову (см. [19]), для равномерной стабилизации решения 1

14) задачи (1)-(2) при А = Д представляемой интегралом Гаусса Вейер-штрасса (10), необходимо и достаточно, чтобы начальная вектор-функция <р(х) имела равномерно предельное среднее (14).

В диссертации оценка поведения решения задачи Коши (1) (2) содержится в теореме 3.2.4, где показывается, что если <р Е Si,/, то для решения u(t, х) представленного интегралом Гаусса- Вейерпгграсса спра-Iiiiiíf) неравенство sup \u(t,x)\ < М||(/?||5 (15) где константа М не зависит от / и t. Отсюда следует, что если

IMkv¡ = (16) то Ит u(t, х) = 0 равномерно по всем х Е Rn.

То есть условие (15) является достаточным для стабилизации решения задачи Коши при I = О.

Нетрудно показать, что для <р(х) > 0 это условие является и необходимым.

Например для п = 1 имеем

1 [X+N 1 rx+N

0 < шLn *(x)dx á Ñ A v{s)ds =

В другую сторону. Если ^ ¡x-n <p(s)ds стремится к нулю при N -» оо, то есть для произвольного е > 0 найдется такое No, что при всех N > Nq имеет место равномерная по всем х £ R1 оценка

1 rx+N 0 < — p{s)ds < £.

Это значит, что для всех N > Nq ||</?||sli2Ar < Таким образом lim |M|si N = 0.

М-¥ оо

Эквивалентность доказана.

В тоже время оценка (15) позволяет судить о порядке сходимости интеграла W(t)ip к нулю при t —> оо.

Например, если <р(х) = (1+|r|)o (ск > 0), то (1 - а)уД(1 + уД)а~1 ~ (уД)°.

И, следовательно для решения u(t, х) справедлива оценка сверху \u(t,x)\ при t оо.

Кроме того, в этом случае из неравенства (2.1.9) для у?(.т) > 0 следует и оценка снизу jj^ < u(t, х). Таким образом мы получаем ассимптотику u(t, х) « равномерную по х € Rn.

Аналогичные результаты получены в диссертации и для потенциала Пуассона P(t)ip. Заметим, что потенциал P(t)ip с этой точки зрения раньше не изучался.

Диссертация состоит из введения, трех глав и двенадцати параграфов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шихаб Ахмед Вади, 2005 год

1. Бесов O.B. Интегральные представления функций и теоремы вложения/ О.В. Бесов, В.П. Ильин, С.М. Никольский.- М.: Наука, 1975.- 480 с.

2. Владимиров B.C. Уравнения математической физики/ B.C. Владимиров .- M.: Наука, 1967.- 435 с.

3. Глушак A.B. О стабилизации решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве / A.B. Глушак .- ДАН.- Т.326, № 2, 1992.- С.224-226.

4. Иосида К. Функциональный анализ /К. Иосида.- М: Мир, 1967.- 624 с.

5. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин.- М.: Наука, 1972.- 496 с.

6. Костин A.B. Обобщенные пространства Степанова и дробные интегралы Бесселя. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук.- Воронеж, 2003.- 75 с.

7. Костин В.А. Пространства Lpv и эволюционные уравнения/ В.А.Костин .- Диф. ур-ия, № 9, 1969.- С. 1615-1623.

8. Костин В.А. Неравенства для норм производных в пространствах lpjВ.А. Костин.- Матем. Заметки.-Т. 6, № 4, 1969.- С.463-473.

9. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве/ С.Г. Крейн.- M.: Наука, 1967,- 464 с.

10. Красносельский М.А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций/ М.А. Красносельский и др.-М.: Наука, 1966.-499 с.

11. Крейн С.Г. Шкалы банаховых пространств/ С.Г. Крейн, Ю.И. Петунин.- УМН, 21:2 (1966).- С.89-168.

12. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения / H.H. Лебедев.-Ф.М., 1966.-350 с.

13. З.Левитан Б.М. Почти-периодические функции/ Б.М. Левитан.-Гостехиздат, 1953.- 204 с.

14. Левитан Б.М. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения/ Б.М. Левитан, В.В. Жиков.- Изд-во МГУ, 1978.- 204 с.

15. Люстерник А.А. Элементы функционального анализа/ А.А. Люстерник, В.И. Соболев,- М.: Наука, 1965.- 517 с.

16. Массера X. Линейные дифференциальные уравнения/ X. Массера.- М.: Мир, 1970.- 456 с.

17. Панков А.А. Ограниченные и почти-периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений/ А.А. Панков.- Киев: «Наука думка», 1985.- 181 с.

18. Репников В.Д. Некоторые теоремы о стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений / В.Д. Репников.- ДАН СССР.-Т.157, №3, 1963.- С.527-530.

19. Репников В.Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений / В.Д. Репников.- ДАН СССР.- Т.157, №3, 1964.- С.532-535.

20. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения/ С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.М. Маричев.- Минск: Наука и техника, 1987.- 698 с.

21. Соболевский П.Е. Эллиптические и параболические операторы в С/ П.Е. Соболевский.- ДАН СССР, № 4, 1988.- С.815-819.

22. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.- М.: ФМ, Т.З, 1963.- 656 с.

23. Функциональный анализ/ под редакцией С.Г. Крейна.- М.: Наука, 1979.-418 с.

24. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы/ Э. Хилле, Р. Филлипс.- М.: Изд-во иностранной литературы, 1962.- 829 с.

25. Эйдельман С.Д. Параболические системы.- М.: Наука, 1964.- 443 с.

26. Agmon S. Properties of solutions of ordinary differential équations in Banach spaces/ S. Agmon, L. Nirenberg.- Comm. P. Appl. Math, 16(1963), p. 121-239.

27. Шихаб A.B. О поведении решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространствах Степанова и Вейля/ A.B. Шихаб, A.B. Костин// Седьмая Крымская Международная мат. школа МФЛ-2004.- Крым, Алушта.- тез.докл., 2004.- С. 78.

28. Шихаб A.B. О решении задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространствах Степанова и Вейля/ A.B. Шихаб// Труды Воронежской зимней мат. школы- 2004.- Воронеж, 2004.- С.116-122.

29. Шихаб A.B. Пространства Степанова в R" и дробные интегралы Бесселя/ A.B. Шихаб, A.B. Костин// Воронежская зимняя математическая школа. Современные методы теории функций и смежные вопросы, Воронеж 2005, Материалы конференции, с. 126— 127.