Дробное интегродифференцирование и корректная разрешимость эволюционных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Климентова, Вера Борисовна

  • Климентова, Вера Борисовна
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2003, Воронеж
  • Специальность ВАК РФ01.01.02
  • Количество страниц 78
Климентова, Вера Борисовна. Дробное интегродифференцирование и корректная разрешимость эволюционных уравнений: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения. Воронеж. 2003. 78 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Климентова, Вера Борисовна

Введение

Глава I. Пространства с весом типа потенциала

§1.1 Некоторые необходимые определения и обозначения

§1.2 Пространства Ьрл и их свойства.

Глава II. Дробное интегродифферецирование

§2.1 Интегралы Римана-Лиувилля.

§2.2 Дробные производные Римана-Лиувилля

§2.3 О дробном дифференцировании функциии Ван дер

Вадена

§2.4 Дробные производные Маршо и Грюнвальда-Летникова

§2.5 Видоизмененная производная Грюнвальда-Летникова

Глава III. Приложения к эволюционным уравнениям

§3.1 Задача Коши.

§3.2 Оценка резольвенты оператора дробного дифференцированния.

§3.3 Эволюционные уравнения.

§3.4 Примеры.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дробное интегродифференцирование и корректная разрешимость эволюционных уравнений»

Исследования, проводимые в диссертации посвящены применению методов дробного интегро-дифференцирования к изучению корректной разрешимости задачи Коши для абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве и, связанным с этим, изучением свойств непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций (ННД-функций).

Следует отметить, что в последнее время к таким функциям значительно вырос интерес благодаря их тесной связи с фракталами, играющими важную роль в современных исследованиях в теории динамических систем (см. [1], [2],[3]). Как отмечено в [1] стр.79, одной из заслуг Б. Мандельброта в его работах 1975-1977гг по фракталам является то, что он "указал на досадный пробел в " Началах" Евклида (неявное предположение о гладкости объектов) по которым, не замечая явного упущения, человечество на протяжении почти двух тысячелетий постигало геометрию окружающего мира и училась математической строгости изложения".

В то же время, внимание математиков к ННД-функциям было обращено задолго до Мандельброта. Как известно ([4], стр. 408, [6] стр. 106) первый пример такой функции был найден Б. Больцано в 1830 году в работе "Учение о функции", опубликованной лишь 100 лет спустя.

К. Вейерштрасс в 1871 году также привел пример такой функции

00 f(x) = £ ancos(bn7rx), п=1 где 0 < а < 1, 6-нечетное число, такое что ab > 1 + Щ- (см. [4], стр.

Примерно в то же время Дарбу построил свой пример ННД-функции ~ sin((n + l)!^

71=1 ^

Последующее затем стремление построить по возможности более широкие классы таких функций привело к вопросу о "массивности" (термин из [4], стр.111) множества таких функций в пространстве непрерывных функций, поставленном Штейнгаузом в 1929 году. На этот вопрос независимо ответили С. Банах [7] и С. Мазуркевич [8], доказав, что почти все в смысле категории Бэра непрерывные функции нигде не дифференцируемы. Множество таких функций имеет вторую категорию Бэра в пространстве Срд] всех непрерывных на [0,1] функций с равномерной метрикой (доказательство приведено в [4], п.4.3).

В 1922 году Безиковичем [9] был дан ответ на еще один, более тонкий вопрос. Он построил непрерывную функцию не имеющую ни в одной точке ни конечной, ни бесконечной односторонней производной.

Таким образом к моменту зарождения теории Мандельброта о фракталах аппарат ННД-функций был довольно основательно подготовлен.

Другая основополагающая связь объединяет фракталы с классическим фундаментальным направлением - дробным интегро-дифj ференцированием (ДИД). Этому посвящены многочисленные работы математиков и физиков([10],[11]).

Как известно диффузионные процессы на фрактальных средах А описываются уравнениями с дробными производными. Например, уравнение диффузии на фрактале имеет вид (см. [1], стр. 107). d0u(t,x) dtP где Alu(t, х) (t> 0,х€ Rn), (0.0.1) difi T{l-p)dthK } U^X)as левосторонняя дробная производная по t порядка (3 6 (0,1), xu(t,x) = Е—-лапласиан функции u(t,x).

Учитывая указанные связи: ННД-функции-^фракталы <->ДИД, возникает естественный вопрос об изучении свойств ННД-функций с точки зрения их дробного дифференцирования. Например, этот вопрос исследовался Я.Б.Зельдовичем и Д.Д.Соколовым в [10]. Где в частности приводится формула dim^f = 2 — а, связывающая порядок а дробной производной некоторой функции и фрактальную размерность по Ф.Хаусдорфу ее графика 7.

В диссертации с этой точки зрения исследуется функция Ван дер Вадена, записанная в форме приведенной в [12] оо

10пх}

М = £ "Ч^г1' (*е[о,1]) п-О iU где {ее}- расстояние от точки х до ближайшего целого числа и показывается, что эта функция имеет все производные Римана-Лиувилля дробного порядка a Е (0,1), левосторонние и правосторонние. Это, в частности, позволяет строить примеры фракталов любой наперед заданной размерности.

В связи с этим и дальнейшим использованием аппарата ДИД, приведем некоторые важные этапы его развития.

Дробные производные и интегралы были предметом внимания еще Лейбница и Эйлера. Многие известные математики мирового уровня прошлого и настоящего времени, включая Лиувиля, Абеля, Римана, Летникова, Вейля, Адамара оказали основополагающее влияние на развитие дробного интегро-дифференцирования, ставшего самостоятельным направлением в математическом анализе.

В 1987 году вышел фундаментальный труд С.Г. Самко, А.А. Килбаса, О.И. Маричева [26], посвященный этому направлению с детальным изложением истории каждого рассматриваемого вопроса и подробной библиографией, охватывающей практически все публикации по дробному исчислению и рассмотренным приложениям до 1987г.

Здесь особо подчеркивается прикладное значение ДИД. Этот аппарат используется в самых различных областях - в физике, механике, химии, биологии и др.

Первой известной задачей, при решении которой естественным образом появляются дробные производные была задача Н.Абеля о таутохроне([13]). Задача о нахождении кривой в вертикальной плоскости, по которой точка начав движение без начальной скорости в точке с ординатой х достигает горизонтальной плоскости за заданное время t = f(x). Оказывается, что эта кривая записывается в виде дробной производной от f(x).

Следующие приложения были даны Лиувиллем([14]) к задачам геометрии, физики и механики. Среди них задача Лапласа о влиянии бесконечного прямолинейного проводника на магнит, задача Ампера о взаимодействии двух таких проводников, задачи, связанные с притяжением тел, задача о распределении тепла в шаре, задача Гаусса о приближенных квадратурах и т.д.(см. обзор задач, рассмотренных Лиувиллем, также в работах А.В.Летникова [15], стр. 21-44, 1874г).

В работе А.В.Летникова [16] дано применение ДИД к решению дифференциальных уравнений вида п w Mh n

23 (am + bmx)~—- = 0, m=0 ax на основе конструкции

Daf(x) = lirn^M J v ' h-*о ha где - конечная разность дробного порядка 0 < а < 1.

Кроме того П.А.Некрасов [17]-[19] 1888-1891гг. дал приложения дробных производных в форме f(p)(2) = г^ + р) f f№

J 1 J 9.ТГi JL (t - 7.W+

2тгг JL (t - z)P+l к интегрированию дифференциальных уравнений вида (втп + bmx)xmDmf(x) = 0. тп=О

В 1915г. Г.Харди и М.Рисс [20] применили дробное интегрирование при суммировании расходяцихся рядов. "Нормальные средние Рисса" являются дробным интегралом частичной суммы ряда.

Многочисленные примеры применения ДИД при решении нестандартных задач для уравнений в частных производных указаны в [19].

Например, ([5] стр.521) поток тепла при х = 0 представляется в виде дроОнои производной где u(t, х) является решением следующей задачи и(0,ж) = О, и(*,0) = /(*), u(t,oo) = 0.

Отметим также, что применению аппарата ДИД в математических моделях биологии посвященя монография А.М.Нахушева [21].

Обзор исследований по применению фракталов и связанного с ними аппарата дробного интегродифференцирования в физике за последнее время содержится в [10], [11].

Наконец, операторы дробного интегродифференцирования естественным образом возникают при изучении корректной разрешимости задачи Коши для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. где опреатор А является генератором сильно непрерывной при t > 0 полугруппы U{t) имеющей суммируемую особенность в нуле и удовлетворяет оценке Au(t) + f(t), t> 0

0.0.2) u(0) = 0,

0.0.3)

МешЬ

0,1)).

В этом случае решение задачи (0.0.2)-(0.0.3) пред'ставимо в виде u(t)= J*U(t-s)f(s)ds, при 0 < t < Т удовлетворяет оценке l|u(t)l1 - гЩ - = м/°(11/11). где 1а - интеграл Римана-Лиувилля дробного порядка 0 < а < 1.

Диссертация посвящена исследованию корректной разрешимости таких задач. При этом вводятся и изучаются новые классы банаховых пространств, которые являются оптимальными в нижеприведенном смысле.

Пусть F и U метрические пространства с соответствующими метриками рр и ри. Согласно Адамару задача определения решения и 6 U уравнения

Аи = /, (0.0.4) где / 6 F задано, называется корректно поставленной на пространствах (F, U), если выполняются условия: а) для всякого / Е F существует и G U - решение уравнения (0.0.4), б) решение определяется однозначно, в) задача устойчива на пространствах (F,U), то есть для любого е > 0 можно указать такое 6 > 0, что из неравенства pp(f i, /2) < 6 следует ри{и\-,щ) <

Исследованию этих задач посвящено большое число работ и монографий. В этот раздел математики, большой вклад внесли как зарубежные математики, такие как Ж.Адамар, Э. Хилле, Р. Филлипе, К. Иосида, П. Лаке, Ж. Лионе, так и отечественные математики С.Г. Крейн, М.Г. Крейн, М.З. Соломяк, Ю.Л. Далецкий, Ю.И. Любич, П.Е. Соболевский, В.П.Глушко, а также их воронежские ученики В.П.Орлов, Ю.Т.Сильченко А.В.Глушак и др.

Важно отметить, что устойчивость задачи (0.0.4) зависит от выбранных топологий в U и F и, вообще говоря, подходящим выбором топологий можно формально добиться непрерывности оператора А-1, существование которого обеспечивают условия а) и б). Так в случае линейного взаимно-однозначного соответсвия оператора А и нормированных пространств U и F, устойчивость будет иметь место, если пространство F наделить нормой

II/II.F = |И1/||!7 = IMIu и тогда

11,-1,1 U-'fWu ,

II" SUP —пТн-= 1 WjWF

Однако, обычно топологии "навязываются" постановкой задачи и не могут выбираться произвольно. Так, наиболее часто используемые в прикладных задачах топологии, это топологии нормированных пространств функций /(ж); х £ С Rn,

Lp(Q) = {f(x) : ||/||р = \f(x)\?dx}^,p > 1}.

С (CI) - пространство непрерывных и ограниченных в П функций с нормой c = sup|/(a?)|. xefi

- пространство непрерывных, вместе со своими производными до порядка функций

C<'>(f2) = {f{x) : fM(x). e C(f2), Ц/11, = E ||/W||<7,1 = 1, 2.} k=0

Wl - пространства С.А.Соболева.

И? = {/(*) : /Ww 6 II/H,, = Е ||/<«||Р,г = 1,2.} k=Q

В зависимости от задачи, наряду с этими пространствами, используются также и весовые пространства.

Ьр,р(П) = {/(я) : p(x)f(x) € Lp(£l), Ц/IUp =

Cp(tl) = {f(x) : pW/W G ||/||, = sup \p(x)f(x)\.}

Например, рассмотрим задачу Коши для простейшего дифференциального уравнения и\х) = f(x) X G [О, Т), /(а?) € С([ О, Г)) (0.0.5) w(0) = 0. (0.0.6)

Требуется найти u(rc) € C^QO, Т))-удовлетворяющую (0.0.5)-(0.0.6).

Таким образом в этом случае F = С([0,Т)),£/ = С(1)([0, Г)). Очевидно, что решение этой задачи единственное и имеет вид и(а;)= £f(s)ds. (0.0.7)

Если 0 < Г < оо, то из (0.0.5) и (0.0.7) следует

IMItf = Мс + IMIc < (1 + T)\\f\\c = (1 + T)\\f\\F.

Это дает устойчивость по начальным данным и таким образом задача (0.0.5)-(0.0.6) корректна по Адамару в пространствах (С, С^), если Т < оо. Однако при Т = оо это не так. Поэтому возникает вопрос о пространствах, в которых задача (О.О.б)-(О.О.б) корректна на полуоси (0, оо).

В связи с этим рассмотрим, например, весовые пространства CP(Q) с весом р(х) = е~ах, (а > 0). В этом случае, из (0.0.7) имеем,

Ж1 < Г eias]e(-as)\f{s)\ds < sup Г eQX

J0 5£[0,co) J0 ax ^ g(ax) f\\c,p <—\\f\\c,pa a то дает оценку u\\c,P < M^. (0.0.8) a

Теперь, учитывая неравенство Ци'Цс.р < ||/||с>> следующее из (0.0.5), получим и\\с,р + \\и'\\с,р<

С,р а

И следовательно для пространств

U = (и(ж) : и'(х) € Ср([0, оо)), и G Ср([0, оо))}, F = {f(x):f(x)eCp([0,oo))} задача (0.0.5)-(0.0.6) корректна при Т = оо.

Аналогично этому простейшему случаю, в общей ситуации, при исследовании корректной разрешимости задач для абстрактных интегро-дифференциальных уравнений приходится изучать возникающие интегральные операторы и вводить соответствующие пространства, в которых эти операторы ограниченно действуют.

Приведем еще некоторые примеры банаховых пространств, наиболее часто используемых с этой целью.

1. Пространства Гельдера, нормы в которых вводятся по формуле ял = тах|/(*)|+ sup №i)-/Mi AG (0,1) sen xux2en \XI-X2\A

2. L^p-пространства с мультипликативным весом, норма в которых имеет вид п /п[П \x-xkr\f(x)\4x}^ к=О

3. Важный класс банаховых пространств Wpn при исследовании теорем вложений с нормой

11/11 = sup \х - s\1~1\f(x)\pdx]1/p, зе(од) J0 рассмотренные С.Г.Крейном и В.П.Глушко в [22], [23].

В связи с этим, с целью изучения корректной разрешимости начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, где ядра соответствующих интегральных операторов имеют особенность, в диссертации вводятся и изучаются классы пространств векторнозначных фнкций f{x)(x G [0,1] С R\) со значениями в банаховом пространстве Е, "навязанные" операциями дробного интегродифференцирования и обобщающие известные пространства Lp с нормой ll/lk = [С\f(x)\pdx]1/p, (р > 1). (0.0.9)

Пусть Е - банахово пространство и А - множество [0,1]. Через ЬрЛ и L~ будем обозначать пространства векторнозначных функций f(x) со значениями в банаховом пространстве Е, при каждом t G [0,1], локально интегрируемых по Риману, для которых конечны нормы

Очевидно, что если Е = R1 и 7 = 1, то нормы (0.0.10) и (0.0.11) совпадают с нормами Lp-пространств (0.0.9).

В диссертации устанавливаются следующие свойства пространств

Lp,I

1) При 7 > 1 нормы (0.0.10) и (0.0.11) эквивалентны нормам в Lv с обычными весами:

2) Если 0 < 7 < 1, то нормы и L~ не эквивалентны.

3) Если 7i > 72, то справедливо вложение ЬРП2(0,1) С LP)7l(0,1).

4) Эти пространства банаховы.

5) Гладкие функции в них плотны.

6) Справедливо

0.0.10)

0.0.11)

Lp,7 П Lpn - W?hk.

7) Справедливо мультипликативное неравенство

II / IU<II / н;, r,7;, r>p>q.

1-е

При условии

7r 7V 7q r p q

Лемма 1.2Л.Если'yi > 72, то справедливо вложение Lpn2(од) С (0,1)

Основные результаты диссертации относятся к изучению в этих пространствах :

1) операторов дробного дифференцирования Грюнвальда-Летникова \ а к; и(х - k6n), (0.0.14) где бп = х — а п х — к8п € D(u), Vfc = 0, l.n. и дробного интегродифференцирования Римана-Лиувилля г(д-а) гх Г(—а) Ja

DaaJ{x) = sign(x-a) гх f(t)dt а < Q

М а = 0

0.0.15)

- а)|ёйг^-Н-1/(а;) а > 0

Здесь важен вопрос о том, являются ли эти операторы генераторами сильно непрерывных полугрупп в соответствующих пространствах. С этой целью, в соответствии с теорией Хилла-Филлипса-Иосиды, исследуются резольвенты соответсвующих операторов дробного дифференцирования, в частности операторы D1+a порядка 1 + а {а е (0,1)).

Однако в этом случае формула (0.0.14) имеет вид гл1+а , ч Г ^гп+аи(х) v VVy(x) D + и(х) = lim " v у = lim — " v y ' TJ.—il 4-rv n—wvi V1 -4-rv n—*OQ Al+O!

UTl un

IK и для наших исследований не является удобной, так как приводит к рядам со знакопеременными коэффициентами, оценка которых вызывает непреодолимые технические трудности.

В связи с этим вводится определение дробной производной, которая представляет собой некоторое видоизменение производной Грюнвальда-Летникова.

AV" lim -г-~и(х) = Da+Lu(x). п-н-оо АаН-1 v ' 4 ' ип

Важным отличием нового определения является то, что его использование приводит к рядам со знакопостоянными коэффициентами, что в приложениях в абстрактном случае позволяет получить более простые и точные оценки.

В диссертации устанавливается эквивалентность этих производных и производных Римана-Лиувилля и доказывается, что эти операторы являются производящими операторами сильно непрерывной полугруппы в пространствах С^^^у А именно доказывается

Теорема 3.2.2. Норма резольвенты оператора Da+1 ограничена в С(-.00,00) и справедлива следующая оценка

1+Q-А/)"1!! < 1

Re(Xa+1)'

Отсюда, в силу теоремы Хилле-Филлипса-Иосиды, следует равномерно корректная разрешимость задачи du = Au(t), t>0,u(Q) = u0, (0.0.16)

UjL где оператор А задается дифференциальным выражением D1+a и областью определения D(A) = {и 6 Cf-oo.oo)»Dl+au е С(оо,оо)}

Это, в частности дает равномерно корректную разрешимость задачи (0.0.1) при х G R1, А и = и"(х), а = 2/3-1, | < 7 < 1. 2) Для интегральных операторов Римана-Лиувилля

Iim) = ^-Jt^-t)a-1f(x)dx, х>а,

1 [a) Ja

I-f№ = щ Jt\t - xT~lf{x)dx, X < 6, где а > 0, в частности, устанавливается важное свойство, состоящее в том, что они образуют сильно-непрерывную полугруппу в пространствах суммируемых функций Ьрл(0,1). А именно, справедлива

Теорема 0.0.1 Операторы дробного интегрирования образуют в LPil(0,1) полугруппу сильно-непрерывную для всех а > 0, то есть для любой функции f(t) Е Lpn,t G [0,1] выполняются соотношения

Ia+Pf(t) = IaI^f(t). \\Iaf\\<C\\f\la>0. \\Iaf — /|| —» 0, a —» 0.

Наряду с этим в диссертации обобщаются известные теоремы Харди-Литтлвуда о действии операторов дробного интегрирования Римана-Лиувилля в пространствах Lp(0,1) на случай действия этих операторов в пространствах Lpj.

Теорема 0.0.2 Если 0 < а < 1 а тах{ 1, < р < то оператор дробного интегрирования ограниченно действует из LP:lp в ЬТЛт где 1 < г < и 27f — ^ + a > 0. И справедлива оценка

P?/lk7, <c||/llw

17 где константа С не зависит от /.

Теорема 0.0.3 В случае когда а > 0,р > ограниченно дей

7 1 ствует из Lva в На~р, кроме того I+f(t) = o(ta~p) при t —> О, где sup H^ + ^-^WII. k=О *€[0,l],|fc|<l Щ

И справедлива оценка

Н/г/Нд-л < с||/1к„

Полученные результаты применяются к исследованию оценки решения следующей задачи.

Пусть Е банахово пространство и f(t) £ векторнозначная функция со значениями в Е. Оператор А - генератор сильно непрерывной полугруппы. Рассмотрим в Е задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка. u'(t) = Au(t) + f(t) (0 < t < 1), u(0) = 0 (0.0.17)

Для оценки ослабленного решения задачи (0.0.17) справедливы

Теорема 0.0.4 Если А-генератор полугруппы сильно-непрерывной в Е при t > 0, удовлетворяющий оценке

МешЬ

11)7(4)11 < -1Г> (0.0.18) и f(t) удовлетворяет условию Гёлъдера f(t)-f(r)\\<C\t-T\\ тогда, если ^ — + 1 — (3 > 0 (т > р), то ослабленное решение u(t) задачи (0.0.17) существует и справедлива оценка

1М*)1к17г < с||/1к7р, где костанта С не зависит от /.

Теорема 0.0.5 Если А-генератор полугруппы сильно-непрерывной в Е при t > О, удовлетворяющий оценке

Mewt

1№)Н < (0-0-19) и f{t) удовлетворяет условию Гёлъдера f(t)-f(r)\\<C\t-r\\ тогда, если ^ + (3 — 1 > 0, то ослабленное решение u(t) задачи (0.0.17) существует и справедлива оценка

1М*)||я1„2 < C\\f\\Lpn, где константа С не зависит от /.

Определив функциональную банахову структуру, согласно [24], как вещественное линейное пространство, которое является структурой по отношению частичного упорядочения х < у, удовлетворяющему условиям если х < у, то х + z < у + z] если х < у, то ах < ау или ах > ау при всех а > 0 (соответственно а < 0), отметим, что в классе функциональной банаховой структуры эти оценки являются неулучитаемыми.

В диссертации приведены примеры таких операторов А. Пример 1. Пусть Е = {и е L±vu' е L±vu(0) = u(l) = 0}, оператор А задан дифференциальным выражением Аи — и"(х), х G [0,1] и область

D(A) = {ие L%y е L%,u(0) = «(1) - 0}, тогда D(A) ф D(A) и для полугруппы U(t), генератором которой является оператор А выполняется оценка (0.0.18) с (3 = 1/2(1 + Пример 2. Пусть Е — {и G L*vu(0) = 0, /д1 u(x)dx = 0},

D(A) = {ие g 0) = J\(x)dx}.

Тогда оператор А является генератором полугруппы U(t), для которой оценка (0.0.18) выполняется при (3 = 1/2(1 +

Заметим, что частным случаем приведенных операторов являются операторы рассмотренные Ю.Т.Сильченко в [25] при 7 = 1.

Похожие диссертационные работы по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Климентова, Вера Борисовна, 2003 год

1. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. - М.: Постмаркет, 2001.

2. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. -М.: Постмаркет, 2000.

3. Каток А.Б., Хасселблант Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999.

4. Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, функции распределения. Киев: Наукова думка, 1992.

5. Курант Р. Уравнения в частных производных.т.2. М.: Мир, 1964, 830с.

6. Darboux G. Memoire sur les fonctions discountinues. Ann. Sci. Ecole Norm Super, 1875.

7. Banach C. Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionnen-mengen. Stud. Math., 1931.8} Mazurkiewicz S. Sur les fonctions non derivables. Stud. Math., 1931.

8. Безикович А.С. // Исследование непрерывных функций в связи с вопросом об их дифференцируемости. Мат.сб. N4, 1924 -с.529-556.

9. Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д.// Фрактали, подобие, прмежу-точная ассимптотика. Успехи физ. наук. 1985. - т.146, вып.З.- с.493-505.

10. Соколов И.М. // Размерности и другие геометрические показатели в теории протекания. Успехи физ. наук. 1986. - т.150, вып.2. - с.221-254.

11. Рис Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. 587 с.

12. Abel N.H.// Solution de quelques problemes 'a l'aide d'integrales de'finess. Leipzig: Teubner,1884 - T.l - p.11-27

13. Liouville J. // Memoire sur quelques questions de geometrie et de mecanique, et sur un nauvean genre de caluel pour resoudre ces questions. J.l/Ecoll Roy, Politechn. - 1832, T.13, seet.21. - p.1-69.

14. Летников А.В. // Теория дифференцирования с произвольным указателем. Мат. сб. 1868 - т.З. - с.15-68.

15. Летников А.В. // Об историческом развитии теории дифференцирования с произвольным указателем. Мат. сб. 1868 - т.З- с. 85-112.

16. Некрасов П.А. // Общее дифференцирование. Мат. сб. 1888- т.14, вып.1 с.45-168.

17. Некрасов П.А. // Приложение общего дифференцирования к интегрированию уравнений вида £"=0(as + bsx)xsDsy — 0. Мат. сб. 1888 - т.14, вып.1 - с.344-393.

18. Некрасов П.А. // Приложение общего дифференцирования к задаче о приведении многократных интегралов (в связи с интегрированием уравнения Лапласа). Мат. сб. 1888 - т.14, вып.1- с.410-426.

19. Hardy G.H., Riesz М. // The general theory of Dirichlet's series.- 1915 N18 - p.78.

20. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. M.: Высшая школа, 1995.

21. Глушко В.П., Крейн С.Г.// Неравенства для норм производных в пространствах Lp с весом. Сибирский мат. журнал. 1960- т.1, N3 с.343-382.

22. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.-624с.

23. Сильченко Ю.Т. Линейные дифференциальные уравнения с неплотно заданными операторными коэффициентами и связанне с ними краевые задачи. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Минск. 1999.

24. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.М. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск.: Наука и техника. 1987, 698с.

25. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы.- М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 829с.

26. Функциональный анализ (под редакцией С.Г.Крейна). М.: Наука, 1972. - 544с.

27. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464с.

28. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. т.2. М.: Фазис, 1998, 490с.

29. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М.// Шкалы банаховых структур измеримых функций. Труды Московского математического общества. 1967 - т.17 - с.294-322.

30. Климентова В.Б. Оценка резольвенты оператора дробного дифференцирования.// Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ. Воронеж.2001 - с.80-86.

31. Климентова В.Б. К теореме Харди-Литтлвуда для дробных интегралов.// Труды XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. М.: 2001 - с.154-162.

32. Климентова В.Б., Костин В.А. Об операторвх дробного интегрирования.// Тезисы докладов ВЗМШ-2001. Воронеж.:2001 -с.150-151.

33. Климентова В.Б. Пространства Ьр,7(о, 1) и операторы дробного интегрирования.// Труды математического факультета. -вып.(новая серия), 2001 Воронеж - с.74-88.

34. Климентова В.Б. О дробных интегралах Римана-Лиувилля.// Тезисы докладов ВЗМШ-2002. Воронеж.:2002 - с.37-39.

35. Климентова В.Б. К теореме Харди-Литтлвуда-Полиа для дробных интегралов.// Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов". М.: 2001 - с.247.

36. Климентова В.Б. Пространства с разностным весом и эволюционные уравнения.// Материалы ВЗМШ-2003. Воронеж.: 2003 - с.123-124.

37. Климентова В.Б., Костин А.В., Костин В.А. О дробном дифференцировании функции Ван дер Вадена.// Материалы ВЭМШ-2003 Воронеж.:2003 - с.124-125.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.