О корректной разрешимости некоторых задач для эволюционных уравнений в обобщенных пространствах Степанова тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Горлов, Владимир Александрович

• Горлов, Владимир Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Горлов, Владимир Александрович

Оглавление

Введение

1 Полугруппы операторов и корректная разрешимость

1.1 Вектор-функции и некоторые их свойства

1.2 Оператор-функции

1.3 Полугруппы класса С0

1.4 Производящий оператор полугруппы класса Со

1.5 Аналитические полугруппы

1.6 Уравнения первого порядка

1.6.1 Задача Коши

1.6.2 Равномерно корректная задача Коши

1.6.3 Ослабленная задача Коши

1.6.4 Возмущенное уравнение

2 Корректная разрешимость некоторых нестационарных задач в функциональных пространствах с надэкспоненциально растущими и подэкспоненциально убывающими весами

2.1 Надэкспоненциально растущие и подэкспоненциально убывающие классы весовых функций

2.2 Интегралы дробного порядка и весовые функции

2.3 Операторы дробного интегрирования в пространствах Степанова с надэкспоненциально растущими и подэкспоненциально убывающими весами

2.4 Корректная разрешимость некоторых

нестационарных задач

3 Корректная разрешимость задачи Коши в анизотропных пространствах Степанова

3.1 Анизотропные пространства Степанова

3.1.1 Эквивалентные нормировки

в пространствах

3.1.2 Двойственность пространств у и Ьр(кп)

3.2 Анизотропные пространства Степанова

класса 5р-г(Мп)

3.3 Корректность задачи Коши в анизотропных пространствах Степанова

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О корректной разрешимости некоторых задач для эволюционных уравнений в обобщенных пространствах Степанова»

Введение

Понятие корректной постановки задач математической физики было введено Ж. Адам аром в связи с желанием выяснить, какие типы граничных условий наиболее естественны для различных типов дифференциальных уравнений.

Пусть ^ и 11 - метрические пространства с соответствующими метриками рр и ри- Согласно Адамару, задача определения решения и £ 17 уравнения

Ап = /, (1)

где / € ^ задано, называется корректно поставленной на паре метрических пространств (Р,17) , если выполняются условия:

1) для всякого / е ^ существует и е 17 решение уравнения (1);

2) решение определяется однозначно;

3) задача устойчива на пространствах (-Р, £/)> если для любого е > О можно указать такое £(б) > 0, что из неравенства ь/2) < следует ри(щ,и2) < е.

Задачи, не удовлетворяющие перечисленным требованиям, называются некорректно поставленными.

Следует отметить, что определение некорректно поставленной задачи относится к данной паре метрических пространств 17), так как в других метриках та же задача может быть корректно поставленной. Вообще говоря, подходящим выбором метрики можно формально добиться непрерывности оператора А-1, существование которого обеспечивают условия 1) и 2). Так, в случае линейного взаимнооднозначного соответствия оператора А и нормированных пространств 17 и ^ устойчивость

будет иметь место, если пространство F наделить нормой

ll/llF = ||A-1/|| = IHk (2)

и тогда

II /4"1 fil

Р_1||= sup iL-/l = l. feFjï о IIЛ If

Однако обычно топологии определяются постановкой задачи и не могут выбираться произвольно.

В связи с этим возникает следующая проблема, связанная с выбором топологий в пространствах данных задачи F и решений U:

а) с одной стороны, желательно, чтобы эти топологии не зависели от оператора А. Например, в случае, когда А = А(А) - оператор зависящий от некоторого параметра А, важно, чтобы область определения обратного оператора Л_1(А) ( например, резольвенты R(X,A) = [А — А/)"1) была не зависящей от параметра А;

б) с другой стороны, хотелось бы иметь наиболее широкие пространства данной задачи F, при которых решение задачи остается в некотором "достаточно хорошем "классе U.

Вообще, как замечено в [см. 37, с. 16], если F класс исходных данных выбран "естественно"для рассматриваемой задачи, то условия 1) и 2) характеризуют ее математическую определенность. Условие 3) связывается с физической детерминированностью задачи, а также с возможностью применения численных методов ее решения по приближенным исходным данным.

В диссертации рассматривается только тот случай, когда оператор А линейный, а пространства U и F банаховы. В этом случае, как известно, (см. [29], с.507) справедлива следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы линейная задача (1) была корректной в паре банаховых пространств (£/, F) необходимо и достаточно, чтобы существовал оператор R = А-1, действующий из F в U, причем область определения оператора D(R) совпадает с F и оператор R был ограниченным из F в U.

Следует отметить, что абстрактная теория полугрупп операторов была построена с целью изучения корректной разрешимости задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве

= (3)

и(0) = щ, (4)

где А линейный оператор, имеющий всюду плотную в Е область определения D(A).

В соответствии с определением 1.6.1.1 гл. 1 решение этой задачи и ее корректной разрешимости, определенной в гл. 1, на D(Á) определено семейство операторов U(t), (t > 0) (см. [21], с. 39), ставящий в соответствие элементу х0 G D(Á) значение решения x(t) задачи Коши (3)-(4) и обладающее свойствами

U{t1 + t2) = U{tl)U(t2). (5)

Оказывается, что если задача (3)-(4) корректна, то ее решение задается формулой

x(t) = U(t)xo (х0 е D(A)),

где U (t) - сильно непрерывная при t > 0 полугруппа.

Отметим, что при этом вопрос о поведении полугруппы при t 0 остается открытым.

Решению проблем связанных с этим фактом посвящены многочисленные работы таких математиков как:

А.Г. Баскаков - теория отношений [4];

Федоров В.Е., Свиридюк Г.А. - задача Коши для дифференциального уравнения неразрешенного относительного производной Ьи' = Аи. [35, 36, 38, 39];

Ю.Т. Сильченко - уравнения с неплотно определенным оператором А.

Однако свойства (5) обеспечивают экспоненциальный рост решения, а, следовательно, и полугруппы £/(£) при £ —оо, что позволяет к их исследованию применять преобразование Лапласа.

Обобщение задачи (3)-(4) является задача Коши

-Л± = Аи(г\ (¿еД+) (6)

ик{0) = 1рк, А; = 0,1,..., п — 1. (7)

Эта задача называется корректной, если

а) существует плотное подпространство В С Е такое, что задача (6)-(7) имеет единственное решение для ср№ е I);

б) когда {(р^ : А: = 0,1,...,п — 1} является последовательностью начальных данных, стремящихся к нулю, то соответствующие решения

стремятся к нулю для каждого Ь £ равномерно по £ в граничных интервалах.

Оказывается, что при п > 3 задача Коши (6)-(7) корректна тогда и только тогда когда оператор А - ограничен (см. [8], с. 185).

В связи с этим в работах П.А. Киричука [12] рассматривается корректная разрешимость задачи (6)-(7), когда в определение решения входит и условие экспоненциальной ограниченности. При этом аналогом полугруппы в соответствующей теории является операторнозначная функция

типа Миттага-Леффлера.

Однако, если расширить понятие решения, то задача Коши может иметь помимо полугруппового и другие решения. Например, уравнение теплопроводности

= (8)

удовлетворяющее условию

и{0, ж) = ф). (х е R) (9)

(/9(а:)-равномерно непрерывная и ограниченная на R функция, помимо полугруппового решения

роо

= 7Г7=7 / e~^~(p(s)ds = U{t)<p(s)

¿y TTt J-oo

имеет и другое решение этой задачи, которое имеет вид

00 9¡u

X

v{t,x)^u(t)x) + Yjg\t)—v

где g{t) =

При этом важно отметить, что v(t7x) растет не медленнее, чем ех2 при х —> ±оодля фиксированного t > 0.

То есть в этом случае мы имеем неединственное решение задачи Коши. Таким образом, метод полугрупп сужает классы исследуемых решений.

Другие классы некорректной постановки имеют место в случае нестационарных задач.

Например, уравнение (8) при любых бесконечно дифференцируемых функциях g(t), h(t) при t > 0, х > 0 имеет решения представимые в виде (см. [31], с. 24)

оо 2 п

2 п!

71=0

00 и(п) 2п ( \ ^ t u{t, X) — X

О (2п + 1)!"

п—О 4 '

Заметим, что первое решение удовлетворяет граничному условию первого рода

и(р,г)=д(г)

а второе - граничному условию второго рода

ди^, х)

дх = h®-

В силу произвольности функций g(t) и h(t) следует, что решение уравнения (8) при t —> оо могут расти как угодно быстро и, в частности, быстрее экспоненты.

Именно такой характер роста решения уравнения еще в 19 веке интересовал Вейерштрасса (см. [24], с. 70). Он ставил своей ученице C.B. Ковалевской следующую задачу:

Рассматривается дифференциальное уравнение с частными производными

дер д2р dt дх2

имеет частный интеграл

(р = (tit)-" F (и), и = ~ Л)>

где Л, V обозначают произвольные постоянные, a F (и) должно удовлетворять дифференциальному уравнению

F"(u) + \iivF\u) + iivF{u) = 0.

LJ

При Ц = 1,V = ^ можно взять

Каково общее решение этого уравнения?

1

2

F(u) = f( A)e"i. 9

Тогда из частного интеграла

/(А)

J Vх4) 1 I У-ь-*!2, •

ш = ——-е 41 4 уД

получается общий интеграл

•У-оо лЛ

Однако, если при бесконечно больших значениях Л/(Л) становится в

\ 2

большей степени бесконечным, чем функция е при сколь угодно малой постоянной, то предыдущее выражение не имеет смысла. Можно ли в этом случае получить более пригодное выражение, применяя общую функцию Г (и), удовлетворяющую построенному дифференциальному уравнению при других значениях постоянных /х, и? Или же произвольная функция необходимо связана с ограничением, что при Л = ±оо обязательно

1оё|/(Л)1

Л2

В рассмотренном выше примере задача не корректна поскольку нет обратного оператора.

В тоже время существуют примеры корректности задачи Коши, в которых существование обратного оператора не гарантирует корректность задачи (см. Пример 1 гл.2).

Рассматривается задача о прогреве полу бесконечной области, находящейся в начальный момент при нулевой температуре ди(Ь,х) д2и{Ь,х)

дЬ дх2

0<:г<оо, 0 < £ < оо; (14)

ди, . ч

= </(*); (15)

Нт х) ■= 0; (16)

х-^-оо

и(0, х) = 0. (17)

Требуется определить температуру поверхности 0).

Как известно, (см. [3], с. 18) решение этой задачи записывается через правый интеграл дробного порядка а = \ Римана-Лиувилля

„((.О)* Г (18)

V71 ¿0 \ft-S

Таким образом, вопрос об устойчивости по начальным данным решения задачи (14)-(17), а, следовательно, о ее корректной разрешимости сводится к указанию пространств функций, в которых оператор дробного интегрирования (18) является ограниченным.

Отметим, что изучению и приложениям таких операторов посвящены многочисленные исследования.

С этой же точки зрения важны исследования и левого интеграла дробного интегрирования

1 С°°

(1-№) = -у- (з-^-^Шз^х). (19)

1 (а) Л

Интересные приложения этого интеграла указаны Л.Н. Ляховым при исследовании интегрального преобразования Родона(см. [27]).

И здесь важно отметить, что операторы заданные выражениями (18) и (19) и определенные в классических пространствах Ьр>р(0, ос) и Ср[0, оо] со степенными весами р{Ь) = (1+£)°; не являются ограниченными (см.[34] с. 94). И, следовательно, задача (14)-(17) в этих пространствах не является корректной.

В [34] указаны только пространства с экспоненциальными весами, в которых приведенные операторы ограничены.

Возникла задача поиска класса функциональных пространств отличных от экспоненциально-весовых. И, в частности, включающих в себя функции растущие или убывающие быстрее экспоненты.

Так в [17] операторы (18) рассмотрены в так называемых пространствах с нормой

гф(г+1)

11/1к, = 8Щ>[/ Ш\Щ>{р>0), (20)

где функция ф(Ь) такая, что: 1) ^(0) = 0,

2) ф'Ц) > 0,

3) ф"^) < 0.

Однако некоторая неестественность введения веса в (20) приводит к неоправданным техническим трудностям и громоздкость вычислений не позволяет

удовлетворительно решить поставленную задачу.

В настоящей диссертации вводятся и изучаются весовые пространства естественным образом обобщающие и включающие классические пространства 1/р, С^^^о], 5Р[0, оо), в которых операторы (18) и (19) ограничены. Что позволяет показать корректную разрешимость задачи (14)-(17) в этих пространствах.

Как известно, исследование многих математических моделей в теории тепломассопереноса часто сводится к решению нестационарных задач для дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа.

Например (см. [3]), при х ^ 0, £ ^ 0 ищется ограниченное решение уравнения

ди(^,х) д2и(1,х) дЬ дх2

удовлетворяющее начально-краевым условиям

= 0,

(21) (22)

u(i,0) = g(t).

(23)

При этом важным является вопрос о вычислении производной характеризующий поток на границе раздела сред.

Задачам такого рода посвящены многочисленные исследования Ю.И. Бабенко [3], A.B. Лыкова, В.П. Маслова, В.Г. Данилова, К.А. Волосо-ва. Для некоторых частных случаев в монографии А.Д. Полянина, A.B. Вязьмина, А.И. Журова, Д.А. Казенина (см.[31]) выписываются точные их решения в случае, когда А некоторый дифференциальный оператор. В [3] для решения подобных задач используется метод дробного интегро-дифференцирования. Здесь соответствующее решение ищется в виде рядов по дробным производным и интегралам граничной функции g(t).

Однако эти исследования дают ответ на вопрос существования и представления решений, но не рассматривают в рамках корректной разрешимости задач по Адамару вопросов их устойчивости по начальным данным, которые являются основными, например, при численной реализации

соответствующих алгоритмов.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы из 51 наименования.

Первая глава содержит необходимые сведения из теории полугрупп операторов и дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с использованием результатов, изложенных в [11],[21],[22],[23].

В §1.6 приводится понятие решения задачи Коши

(24)

x(to) = D(A) 13

понятие корректности постановки задачи Коши, а также, что решение корректно поставленной задачи Коши (24)-(25) задается

x(t) = U{t)x0(x0 е D{A)), (26)

где U(t) - сильно непрерывная полугруппа операторов.

В §1.6.2 рассматривается понятие равномерной корректной задачи Коши, приводится теорема ХФИФМ о необходимом и достаточном условии равномерной корректности задачи Коши с замкнутым оператором А и выполняется оценка

\\Rn(K А)\\ < (ДвЛМ^)п(ДеЛ >ш)(п = 1,2,...),

где М не зависит от п.

Также в этом параграфе представлена теорема о равномерной корректности задачи

^ = Ax + f(t), (27)

ж(0) = (28)

и о представлении решения этой задачи

х(t) = U(t)x0 + í U(t- s)f(s)ds. (29)

Jo

В §1.6.3 изучается понятие ослабленного решения уравнения

dx

— = Ах. dt

Так как для многих приложений приходится расширять понятия решения задачи Коши.

Основные результаты содержатся главах 2 и 3. Вторая глава посвящена исследованию корректной разрешимости нестационарных задач в функциональных пространствах с надэкспонен-циально растущими и подэкспоненциально убывающими весами.

В §2.1 вводятся классы весовых функций Ф+ и Ф , которые определяются как:

Через Ф+(0, оо) = Ф+ обозначается множество положительных, монотонно возрастающих и дифференцируемых функций p+(t),t G (0, оо), таких, что:

а)/?(0) = 1,

б) р'{0) > 0

и для которых выполняется соотношение

p+(t)p+(s)<p+(t + s). (30)

Через Ф™ обозначается множество положительных, дифференцируемых и монотонно убывающих функций p~(t), t 6 (0, оо) таких, что

а)р(0) = 1;

б)//(0) < 0;

в) для которых выполняется соотношение

p-(t)p-(s)>p-{t + s){t,s> 0). (31)

А также получены оценки на интегралы дробного порядка Римана-Лиувилля

(h№) = -Ц At - sr-'f^ds, (32)

1 ка) J о

1 Г°°

= (s-tr^ftfds, (33)

где f(s) функции из классов Ф+ и Ф .

В §2.3 для таким образом определенных весов вводятся соответствующие классы функций, содержащие классические пространства Степанова:

Через обозначается множество локально интегрируемых по Лебегу функций f(t) на [0, ос), для которых конечна норма

ll/lk+.P = SUP[ Î e^-^lf (s) fds}K (34)

i>0 Jo p+{s)

где p+ G Ф+,p G [1, oo).

Через S~u обозначается множество локально интегрируемых по Лебегу функций f(t) на [0, оо), для которых конечна норма

ЛОО 1

||/||s_ = sup[yi ^-)—\f(s)rds]ï, (35)

где р- G Ф~,р G [1, оо).

Для введенных таким образом пространств доказывается теорема об ограниченности в этих пространствах операторов дробного интегрирования, заданных выражениями

= At-sr-1f(s)ds, (36)

1 \а) J о

1 f°°

= (s - t)a-1f(s)ds (37)

1 И Jt

В §2.4 эти результаты используются при исследовании корректной разрешимости некоторой нестационарной задачи. При этом вводятся более общие классы пространств:

Через Sp^ обозначается множество локально интегрируемых по Лебегу функций fit) на (0, оо), для которых конечна норма

Il fil Г [ГЧ"+1) УМ)

/U -sup / ——-—-/(s)^ р,

где р+ G Ф+,р G [1, оо), ip(s) = r_1(s).

Через S~ф обозначается множество локально интегрируемых по Лебегу функций f(t) на (0, оо), для которых конечна норма

лГЧ/я-1) (ti'(s)) 1

ii/iu- =sup[/ -vtt^I

щер-ЕФ ,р е [l,oo),^(s) = т \s).

И рассматривается задача о корректной разрешимости при t > 0, х > О следующего уравнения:

d2u{t, х) du(t,x)

= (38)

где a(i) непрерывная при t > 0 положительная функция, которая может стремится к нулю или бесконечности как при t —» 0, так и при t оо, х > 0.

Отметим, что подобная задача изучалась В.П. Глушко, но в ней на решение задачи накладывается условие гладкости данного решения при t = 0.

В настоящей диссертации рассматривается задача, в котором условие гладкости решения не требуется.

Ставится задача о нахождении значения решения уравнения (38) на границе раздела сред х = 0, т.е. u(t. 0), при выполнении следующих условий

Ц0,ж) = 0; (39)

lim u(t, х) = 0; (40)

х^-оо

ди. , ч

^ U = (41)

0 < х < оо, t > 0,a(t) > 0.

И каким условиям должна удовлетворять функция q(t) , чтобы эта задача была равномерно корректна в смысле однозначной разрешимости и устойчивости по исходным данным.

На этот вопрос отвечают сформулированные и доказанные теоремы о равномерно корректной разрешимости задачи (38), (39)-(41) в классах функций, определенных выше и получены оценки на решение задачи.

Теорема Если q{t) е S, то задача

р,Ф,р>

d2u(t,x) , чdu(t,x) . .

= (42)

и(0,х) = 0; , (43)

lim u(t, х) = 0; (44)

\x=o = q(t)i (45) 0 < х < oo,t > 0,a(t) > 0.

х-±оо

du дх

равномерно корректна и ее решение представимо в виде

1 Ст 1

u(r, 0) = — / (г - (46)

7Г ./о

вде T(t) = /„' J)^(r) = e(i(r)).

При этом справедлива оценка

Теорема Если q(t) 6 , то задача

дх* "а W ^ > (48)

«(0, ж) = 0; (49)

lim ж) = 0; (50)

Я—»-00 4 '

ди.

= q(t); (51)

0 < х < оо, t > 0, а(£) > 0.

равномерно корректна и ее решение представимо в виде

1 f°°

и(т, 0) = — / (5 - T)-*(p(s)ds, (52)

где r(t) = Г Jj.^M = «№-))•

При этом справедлива оценка

MU- IklU- • (53)

Третья глава посвящена изучению равномерной корректной разрешимости задачи Коши в анизотропных пространствах Степанова, введенных в данной главе с использованием подхода С.М. Никольского и результатов, полученных В.А. Костиным для пространств Spj(Rn).

В §3.3 доказывается теорема о сильной непрерывности полугруппы Гаусса-Вейерштрасса в анизотропных пространствах Степанова.

С целью показать, что оператор А, заданный дифференциальным выражением

Д u(t,x) = ±^

i=l 1

является генератором полугруппы класса Со вводится и исследуется новый класс пространств W^Sp j(Rn) - анизотропные пространства Соболева-Степанова-Никольского - множество локально суммируемых в Rn функций и(х) вместе со всеми производными до порядка I включительно и для которых конечна норма

И\wusPJm = sup \\Tau\\wv{K ) = sup \\u\\w(l)[K у (54)

аевп p к ' аевп Р у п, J

После чего доказывается теорема о том, что оператор А, определенный в анизотропных пространствах Соболева-Степанова-Никольского является генератором Co-полугруппы Гаусса-Вейерштрасса.

Из полученных результатов формулируется теорема о корректной разрешимости задачи Коши:

Теорема Задача Коши

duit.x)

ут J=AXu(t,x),

?2(0, х) = (р(х),

равномерно корректна в пространствах и ее решение представи-

мо в виде

При этом справедлива оценка

К^)11%(к«) < 1М1%(к»)- (55)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Горлов, Владимир Александрович, 2012 год

Литература

[1] Абунавас М.Х. Весовые пространства Степанова и точные оценки решений эволюционных уравнений. / Диссертация на соискание уч. ст. канд. физ-мат. наук. - Воронеж, ВГУ, 2004.

[2] Абунавас М.Х. О точной оценке поведения решений эволюционных уравнений на полуоси. / Сборник трудов молодых ученых. - Воронеж, ВГУ, 2003, с.1-12.

[3] Бабенко Ю.И. Тепломассообмен, методы расчета тепловых и диффузионных потоков. JT.: Химия, 1986— 144 с.

[4] Баскаков А.Г. Линейные отношения как генераторы полугруппы операторов // А.Г. Баскаков - Математические заметки. - Т.84, № 2, 2008, с. 175-192

[5] Бесов О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О.В. Бесов, В.П. Ильин, С.М. Никольский,— Глав. ред. физ.-мат. литер. "Наука 1975— 480 с.

[6] Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. // Г.Н. Ватсон. - М.: ИЛ, 1949.

[7] Владимиров B.C. Уравнения математической физики // B.C. Владимиров. - М.: Наука, 1967— 435 с.

[8] Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения// Дж. Голдстейн. - Киев: Высшая школы, 1989— 347 с.

[9] Глушко В.П. О вырождающихся линейных дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве/ В.П. Глушко, С.Г. Крейн.-ДАН СССР, т. 181, N 4, 1968, стр. 784-787.

[10] Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве./ Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн,— Физмат. лит., 1970. 534 с.

[11] Иосида К. Функциональный анализ: Учебник/ К. Иосида, пер. с анг. В.М. Волосова.- М.: Мир, 1967-624 с.

[12] Киричук П.А. Корректность абстрактной задачи Коши и оператор-нозначная функция типа Миттаг-Леффелра / П.А. Киричук.-ДАН УССР, сер. А. физ-мат. и тех. науки, N 12, 1989, стр. 10—12.

[13] Костин В.А. О равномерно корректной разрешимости краевых задач для абстрактных уравнений с оператором Келдыша-Феллера. // В.А. Костин. - Дифференциальные уравнения. - Т.7, 31, №8. с.1419 — 1425.

[14] Костин В. А. Неравенства для норм производных в пространствах Ьш/ В.А. Костин, мат. заметки, 1969. т.6. N4. с. 472—473.

[15] Костин В.А., К теореме Соломяка-Иосиды для аналитических полугрупп, Алгебра и анализ, Т.1, вып.1, 1999, 118—140.

[16] Костин A.B., Костин В.А. ¿"-весовые пространства Степанова и некоторые модели тепломассопереноса./ А.В.Костин, В.А.Костин -Воронеж:2009. 35 с.

[17] Костин A.B. К теории функциональных пространств Степанова/ A.B. Костин, В.А. Костин - Воронеж: Издательско полиграфический центр ВГУ, 2007. 259 с.

[18] Костин А.В.,Костин A.B., Ярцева H.A. Пространства Соболева-Степанова в Rn и оператор Лапласа / Костин А.В.,Костин A.B., Ярцева H.A..- Математические модели и операторные уравнения. Сборник научных статей под редакцией В.А. Костина и Ю.И. Сапронова, Воронеж: Издательско полиграфический центр ВГУ, 2011. с. 48-57, 192 с.

[19] Красносельский М. А., Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М., Наука, 1966, 499 с.

[20] Крейн М. Г., О спектре якобиевой формы в связи с теорией крутильных колебаний валов, Мат. сб., 40, 1933, No 4, 455—465.

[21] Крейн С. Г., Хазан М. И., Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Итоги науки и техники. Мат. анализ, Т.21 130—264.

[22] Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве/ С.Г. Крейн - М.: Наука, 1967.—464 с.

[23] Функциональный анализ/ под редакцией С.Г Крейна.М.: Наука, 1979, 418 с.

[24] Кочина П.Я. Софья Васильевна Ковалевская/ П.Я. Кочина.-М.: Наука, 1981.-312 с.

[25] Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного/ М.А. Лаврентьев, Б.П. Шабат.-М.: Наука, 1973.—736 с.

[26] Левитан Б.М. Почти-периодические функции/ Б.М. Левитан.—М.: Тех-лит, 1953. 396 с.

[27] Ляхов Л.Н. Д/Су-преобразование с 7 € (0; 2] весовых сферических средних функций. Соотношение Асгейрссона /Л.Н. Ляхов. // Доклады Академии Наук. - М., 2011. - Т.439 , ном. 5. - С. 589-592.

[28] Маслов В.П. Математическое моделирование процессов тепломассо-переноса/ В.П. Маслов, В.Г. Данилов, К.А. Волосов, М.:Наука, 1987. 352 с.

[29] Михлин С.Г. Курс математической физики / С.Г. Михлин.-Санкт-Петербург: "Лань 2002. 576 с.

[30] Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С.М. Никольский.— М.: "Наука 1977— 454 с.

[31] Полянин А.Д. Справочник по точным решениям уравнений теп-ломассопереноса, А.Д. Полянин, A.B. Вязьмин, А.И. Журов, Д.А. Казенин.— М.: Факториал, 1998. 368 с.

[32] Репников В.Д. Некоторые теоремы о стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений / В.Д. Репников.— ДАН СССР - Т. 157, ном. 3, 1963. С. 527-530.

[33] Репников В.Д. О равномерной стабилизации дробного решения задачи Коши для параболических уравнений / В.Д. Репников,— ДАН СССР - Т.157, ном. 3, 1964. С. 532-535.

[34] Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения/ С.Г. Самко, A.A. Килбас, О.И. Маричев - Минск: Наука и техника, 1987, 687 с.

[35] Свиридюк Г.А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Г.А. Свиридюк, H.A. Манакова.- Изв. вузов. Математика. -2003. - N 9,стр. 36—41.

[36] Свиридюк Г.А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева.- Сиб. мат. журн.,т. 31, N 5, 1990, стр. 109-119.

[37] Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин,- М.: "Наука 1986, 287 с.

[38] Федоров В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространствах: дис. д-рафиз.-мат. наук / В.Е. Федоров,- Челябинск, 2005.271 с.

[39] Федоров В.Е. Обобщение теоремы Хилле-Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров,- Сиб. мат. журн.,т. 46, N 2, 2005, стр. 426—428.

[40] Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс,- М.: Из-во иностр. литер., 1962— 829 с.

[41] Шихаб A.B. О поведении решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространствах Степанова и Вейля / A.B. Шихаб, A.B. Костин // Седьмая Крымская Международная мат. школа МФЛ -2004,— Крым. Алушта. - тез. докл., 2004, с. 78.

[42] Шихаб A.B. О решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространствах Степанова и Вейля / A.B. Шихаб // Труды Воронежской зимней мат. школы - 2004 — Воронеж, 2004, с. 116-122.

[43] Шихаб A.B. Пространства Степанова в Rn и дробные интегралы Бесселя / A.B. Шихаб, A.B. Костин // Воронежская зимняя математическая школа. Совеременные методы теории функций и смежные вопросы. — Воронеж. - Материалы конференции, 2005, с. 126-127.

[44] Горлов В.А. Интегралы дробного порядка в LP>P+(LP1P_) / В.А. Горлов // Материалы Воронежской весенней математической школы: Современные методы в теории краевых задач " Понтрягинские чтения -XII Воронеж : ВГУ, 2011, с. 54.

[45] Горлов В.А. Пространства Spm\R) / В.А. Костин, В.А. Горлов // Математические модели и операторные уравнения. Сборник статей под ред. В.А. Костина и Ю.И. Сапронова. Т. 6. Воронеж: ВорГУ, 2009, с. 59-62.

[46] Горлов В.А. Анизотропные пространства Степанова класса Spj(Rn) / В.А. Горлов // Семинар по глобальному и стохастическому анализу (сборник научных статей). - Воронеж : ВорГУ, 2010. - Вып. 5, с. 37-42.

[47] Горлов В.А. Итерационные пространства Степанова в R1 и полугруппа Гаусса-Вейерштрасса / В.А. Горлов // Воронежская зимняя математическая школа-2010. - Воронеж : ВорГУ, - 2010, с. 46.

[48] Горлов В.А. Пространства Spj(Rn) и их полнота / В.А. Горлов // Воронежская зимняя математическая школа-2011. - Воронеж : ВорГУ, - 2011, с. 92-93.

[49] Горлов В.А. Корректность задачи Коши в анизотропных пространствах Степанова класса Spj(Rn) / В.А. Горлов // Математические модели и операторные уравнения. Сборник статей под ред. В.А. Костина и Ю.И. Сапронова. Т. 7. Воронеж: ВорГУ, 2011, с. 28-30.

[50] Горлов В.А. О двойственности анизотропных пространств Степанова и Никольского / В.А. Костин, A.B. Костин, В.А. Горлов // Доклады Академии Наук. - М., 2010. - Т. 435, ном. б. - С. 736-739.

[51] Горлов В.А. Корректная разрешимость некоторых нестационарных задач в 5-весовых пространствах Степанова с надэкспоненциально растущими и подэкспоненциально убывающими весами. Препринт №40 НИИМ ВГУ. Воронеж: изд-во ВорГУ. 2011. 13 с.