Полугруппы с особенностями и абстрактные операторы Бесселя в обобщенных пространствах Степанова тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Писарева, Светлана Вячеславовна

• Писарева, Светлана Вячеславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Писарева, Светлана Вячеславовна

Введение

Глава I. Полугруппы с особенностями

§1.1 Вектор-функции и некоторые их свойства

§ 1.2 Оператор-функции и полугруппы

§ 1.3 Задача Коши для дифференциальных уравнений 32 первого порядка

Глава II. Обобщенные пространства Степанова 38 и абстрактные операторы Бесселя

§ 2.1 Пространства Степанова

§ 2.2 Обобщенные пространства Степанова

§ 2.3 Эквивалентные нормировки в обобщенных 52 пространствах Степанова

§ 2.4 Полунормы Вейля

§ 2.5 Пространства S*^

§ 2.6 Об оптимальности пространств S*k в функциональных решетках (структурах)

§ 2.7 Абстрактные интегралы дробного порядка Бесселя

Глава III. Приложение к эволюционным уравнениям

§ 3.1 Эволюционные уравнения с особенностями на действительной оси

§ 3.2 Задача Коши для дифференциального уравнения с 83 особенностью

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полугруппы с особенностями и абстрактные операторы Бесселя в обобщенных пространствах Степанова»

Пусть F и U - метрические пространства с соответствующими метриками рр и ри. Согласно Адамару [1] задача определения решения и Е U уравнения

Аи = /, (1) где / 6 F задано, называется корректно поставленной на пространствах (F, U), если выполняются условия: а) для всякого / Е F существует и EU - решение уравнения (1); б) решение определяется однозначно; в) задача устойчива на пространствах (F, £/), то есть для любого е > 0 можно указать такое 5 > 0, что из неравенства pfUu /2) < следует ри(щ,и2) < £■

Важно отметить, что устойчивость задачи (1) зависит от выбранных топологий в U и F и, вообще говоря, подходящим выбором топологий можно формально добиться непрерывности оператора Л-1, существования которого обеспечивают условия а) и б). Так в случае линейного взаимно-однозначного соответствия А и нормированных пространств U и F (см. [21]), устойчивость будет иметь место, если пространство F наделить нормой = WA-'fh = Ну, и тогда

1И-Ц = sup = ,

0 II/IIf

Однако, обычно топологии навязываются постановкой задачи и не могут выбираться произвольно.

В связи с этим возникает следующая проблема, связанная с выбором топологий в пространствах данных задачи F и решения U:

1. С одной стороны желательно, чтобы эти топологии не зави-сили от оператора А. Например, в случае когда А = Л(А) - оператор, зависящий от некоторого параметра А, важно, чтобы область определения обратного оператора А-1 (Л) (например, резольвенты R(X,A) = (А — А/)-1) была независящей от Л.

2. С другой стороны, желательно иметь наиболее широкие пространства данных задачи F, при которых решение задачи остается в некотором "достаточно хорошем "пространстве U.

Наиболее часто используемые в прикладных задачах топологии, это топологии нормированных пространств функций f(x), х С Rn

Lp(Q) = {/(*) : \\f\\Lp = [ [ | f(x)\>dx]L,, p > 1};

Jn

C(Q) -пространство непрерывных и ограниченных в CI функций с нормой с = sup \f(x)\]

C^(fi) - пространство непрерывных, вместе со своими прозводными до порядка I, функций

С«(П) = {f(x) : fW(x) Е С(П), Щеп) = £ Wf{k)Wc,l = 1,2,.}; k=0

Wp(Q,) - пространства C.Jl. Соболева

И?(П) = {/(*): / W(«) 6 ll/llw} = E \\fm\K'1 = 1.2. -}• a;=0

В зависимости от задачи, наряду с этим используются также и весовые пространства

LPtP[Q) = {f(x) : p(x)f(x) е LP(Q), \\f\\Lp<p = [ [ p(x)\f(x)\4x]K P > 1},

Jn

CP(Q) = {f(x) : p(x)f(x) £ C(Q), \\f\\Cp = sup \p(x)f(x)\.

Например, рассмотрим задачу Коши для простейшего дифференциального уравнения и(х) = f(x),x G [0,г), f(x) е С([0,т)) (2)

0) = 0. (3)

Требуется найти функцию и(х) G С^([0,г)) - удовлетворяющую (2)-(3). Таким образом, в этом случае F = С([0, r)),U = C^QO, г)). Очевидно, что решение этой задачи единственное и имеет вид и(х)= Г f(s)ds, (4)

Jo и если 0 < т < оо, то из (2) и (4) следует

IN* = ||U lie + Не < (1 + т)||/||а = (1 + r)H/||F.

Таким образом, задача (2)-(3) корректна по Адамару в пространствах (С, С^), если г < оо.

Однако при т = оо это не так. Поэтому возникает вопрос о пространствах, в которых задача (2)-(3) корректна. В связи с этим рассматриваются, например, весовые пространства Ср{0) с весом р(х) = е~ах, (а > 0).

Для этих пространств имеем Г ease~a3\f{s)\ds < sup \e~asf (s)\ Г easds = Jo se[0,oo) Jo pCLX 1 pax f\\c<—\\f\\Cl a - ~ a " " "

Отсюда получаем оценку ц < " " р а

И, следовательно, для пространств U = : и £ СД[0, оо)),и €

Ср([0, оо))}, F = {f{x) : f(x) е СДр, оо))} задача корректна при т = оо.

При исследовании корректной разрешимости различных задач для абстрактных интегро-дифференциальных уравнений приходится изучать возникающие здесь интегральные операторы и вводить соответствующие пространства, в которых эти операторы ограниченно действуют, и являются в некотором смысле "оптимальны-ми"(см. §2.6).

В связи с этим, с целью изучения корректной разрешимости нений в банаховых пространствах, где ядра соответсвующих интегральных операторов имеют особенность, во второй главе диссертации вводятся и изучаются новые классы пространств векторнознач-ных функций f(x)(x £ R1) со значениями в банаховом пространстве Е, обобщающие известные Spj пространства Степанова [9,22], норма в которых имеет вид

При различных I эти нормы эквивалентны.

Однако желание расширения классов функциональных пространств с нормами, инвариантными относительно сдвига, и рассмотрения в этих пространствах корректной разрешимости соответствующих задач привело к некоторым обобщениям пространств Степанова и их изучению.

Пусть Е - банахово пространство. Через Splk(E) (р > 1,1 > 0) будем обозначать пространства векторнозначных функций f(x), со значениями в Е при каждом х £ R1, локально интегрируемых по Бохнеру, и для которых конечны нормы начально-краевых задач для интегрально-дифференциальных уравр в)

ИЛЬ- = sup у / fc(t-s)ll/(s)UP<k ' teR1 J Jt-i sup teR1

7)

Jo едилг-^г^Г, где k(s) > 0 - некоторая непрерывно дифференцируемая на (0, оо) функция, суммируемая в нуле. Отметим, что случай k(s) = sa1 (О < а < 1) рассматривался в [16].

В диссертации устанавливаются следующие свойства пространств sp,iAe

1. Если к (х) > 0 на интервале (0, +оо), то нормы ||/||5± эквивалентны норме Степанова ||/||sP)/, и? вообще говоря, не эквивалентны ей, если к'(х) < 0.

2. Если к'(х) < 0 на интервале (0, +оо), то нормы ||/||s±jjt эквивалентны при различных I (поэтому в дальнейшем полагаем / = 1).

3. Если к'(х) < 0 на интервале (0,+оо), то нормы ||/|(s+fc и с- , вообще говоря, не эквивалентны. р,к

4. Если ki(x) и к2(х) функции, эквивалентные на (0, +оо), тогда нормы ||/||5±fc и ||jf||s±fe эквивалентны.

5. Если к\(х), к2(х) суммируемые на (0,/](/ > 0) функции и для всех х £ (0,1) выполнено неравенство к'2(х) < к'^х) < 0, тогда справедливо вложение S*k2 С S^ki.

6. Если р < г и выполняется неравенство

Jo 1 г-р ds = М < оо,

Ж8). то верно вложение S^kr С S^kp и справедливо неравенство

IVp мН

7. Если для пространств Spo>ko l и S*^ выполнено равенство

1 0 1-в - = - +-,

Р Ро Pi то верно мультипликативное неравенство

10 imii < IUils± lWJ\\s± t

P 0.*0>' Pi,If I,I где ад = кУтr"(t), а г =

Р1

8. Множество ограниченных на R1 функций не плотно вложено

Отметим одно важное отличие S^k{E) пространств от SP(E) Оно заключается в том, что если ввести нормы s± р,к,п sup nez

Гедид

J о n±s)\\pds то эти нормы не эквивалентны S^k{E) нормам.

В пространствах Степанова S^k можно ввести эквивалентные нормировки,которые наряду с интервалом интегрирования (О, I) позволяют рассматривать и полуось (0,+оо).

Обозначим Spkp(E) пространства функций определяемых нормами ll/lk+ =sup tzR1 г+оо 1 р j p(s-t)k(s-t)\\f(s)\\4s = sup teR1 ll/lk"- = SUP sup teR1 r+OO p(8)k(s)\\f(t + 8Wds .Jo f p(t e)fc(t в)||/{в)|]»>Л,

J —00 p+co p(8)k(s)\\f(t - sWda Jo

8)

9) гДер > 1; k(x) > 0 является непрерывной монотонно-убывающей на (О, +оо) функцией, суммируемой в нуле; р(х) > 0 является непрерывной монотонно-убывающей и сумируемой на [0, +оо) функцией. Нормы ll/Hs^ и ||/||5±fc эквивалентны.

В частности, если взять в качестве р(х) = к(х) = ха~1 мы 2 получаем вес Лаггера, если взять р(х) = е~их - вес Эрмита.

Рассмотрим обобщенные пространства Степанова с экспоненциальным весом Враи(Е) , определяемые нормами п± = sup teR1 r+co

Jo e-uasp-l\\f{t±s)\\*d8

10) где p < 1,0 < a < 1, w > 0.

Нормы ||/||я± и нормы ||/||с± (k(s) = sa1) эквивалентны, еле

PiOiiUJ Рук довательно, нормы ||/||£±аш, соответствующие различным ш, эквивалентны, и в дальнейшем будем считать ш = 1.

Частным случаем пространств, рассмотренных в [5], являются пространства Вр>а функций, заданных на всей оси R1 следующей нормой вР,а = sup teR1 оо е"~'г'|т|а-1||/(£ — T)\\pdr оо

И)

Пространства BPja совпадают с пересечением пространств Вр а и В+а, причем норма ||/||вр>а эквивалентна норме ия,а = tii/ik,+н/ikj

Верна следующая теорема, обобщающую теорему 5.3.2 [22]. Теорема. Если последовательности чисел {А*;} и {ак} таковы,что

М ■ ы

00 00 > -L-:ij——-< оо, то суммы п

Sn(s) = ^ аке iXkS к=—п в2,а ~ сходятся.

В связи с желанием обобщения теории почти - периодических функций Вей ля на почти - периодические функции, связанные с нормами Spk, можно ввести функционалы где kQ(l) = fgk(s)ds.

При этом, как и для SPti - норм (см.[22], стр.221), справедливо утверждение, что если функция f(t) б Spi k, то предел (12) существует.

Отмечая также, что пространство C{Rl) непрерывных й ограниченных на R1 функций неплотно вложено в пространства Spk (см. лемму 2.2.8), в диссертации вводятся классы S^k С для которых Spk - нормы обладают свойством непрерывности, то есть для f(t) G Ё*, limJf(t + h) + f(t)\\sf =0. В диссертации доказывается, что пространства являются бана

РуК ховыми и вложение C{Rl) С - плотно.

Другим объектом, который вводится и изучается в диссертации, являются абстрактные интегралы дробного порядка Бесселя.

Исследование многих задач для дифференциальных уравнений вида

J - Au(t)=т, (is) где А - линейный и, вообще говоря, неограниченный в некотором банаховом пространстве Е оператор, приводит к необходимости введения и исследования абстрактных интегралов дробного порядка Бесселя

1 Г00

Gimm = щ1 ^ м*в1/(* т s)dS, (и) где U(t) полугруппа линейных и ограниченных в Е операторов.

В диссертации исследуется абстрактный интеграл Бесселя (14) в том случае, когда U(t) сильно непрерывная полугруппа при t > О, удовлетворяющая в нуле оценке

U(t)|| < e-VW, (15) где oj > 0 и ip(t) - непрерывно дифференцируемая при t > 0 функция.

Как известно ([27], с.254), в скалярном случае интегралы дробного порядка Бесселя при t е R1 имеют вид

G?/)(<) = щ f e°~'(t - s)°-if(s)ds = 1 f°° гГТ / е~'*а1/(*" (16)

1 W ./о 1

G~m) = щ I et~S{s" = rr/o + (17)

Эти операторы определены на функциях из обобщенных пространств Степанова где k(s) = sa-1,0 < а < 1, и изучались в этих пространствах.

Так как для операторов G± имеют место формулы дифференцирования вида ± j^Gl = Gl~n, ДеА > п, где I - единичный оператор, то операторы G± реализуют отрицательные дробные степени дифференциальных операторов

Операторы бесселевского дробного интегрирования, в отличие, например, от дробных интегралов Римана-Лиувилля, рассматриваемых на действительной оси или полуоси, обладают многими интересными и важными свойствами при решении ряда вопросов, на* пример, при построении соболевских классов дифференцируемых функций дробной гладкости.

Так в автоматическом регулировании (см. [13], с.56) оператор Бесселя представляет собой так называемое "инерционное звено", когда в моделируемом процессе скорость "выхода"продукта ^ пропорциональна разности "входа" x{t) и "выхода" у it). В этом случае

В демографии известно интегральное уравнение воспроизводства населения (см. [25]) где функция u(t) означает плотность рождений во время t, v(x) - функция дожития, равная вероятности дожития до возраста х, ц>(х) - функция плодовитости, т.е. плотность повозрастного распределения рождений у женщин.

Основным результатом третьей главы диссертации является приложение результатов, полученных во второй главе, к исследованию корректной разрешимости уравнения где f(t)~ векторнозначная функция со значениями в Е при всех t <Е R\ А- линейный оператор с плотной в банаховом пространстве Е областью определения D(A), являющийся производящим оператором сильно непрерывной при t > 0 полугруппы U(t) класса (1, Л)и, удовлетворяющей условию где ш > 0, tp(t) - непрерывная при t > 0 функция такая, что y(t) = (Gx)(t).

18)

U{t)\\<e-»l-4>(t),

19)

Решением уравнения (18) будем называть функцию u(t), удовлетворяющую условиям:

1. u(t) е D(A) при всех t б R1;

2. —сjp-,Au(t) непрерывны в R

3. u(t) удовлетворяет исходному уравнению;

4. u(t) ограничена на R1.

Верна следующая

Теорема. Пусть А - производящий оператор полугруппы U(t) класса (1 ,А)и, удовлетворяющей условиям (19)-(20), u(t) решение уравнения (18) и f(t) - непрерывная вектор-функция со значениями в D{A) при t Е R1, Af(t) непрерывна и f(t) G тогда справедливо представление u(t)= ( U(t — s)f(s)ds. (21)

J —со

Следующая теорема дает условия существования решения уравнения (18).

Теорема. Если А - производящий оператор полугруппы U(t) класса (1 ,А)и, выполнены условия предыдущей теоремы и f(t) удовлетворяет условию Гельдера sup -j--—Гё- < ОО ti-ta|<l 1*1 " 2I с некоторым S € (0,1), таким, что jJ1 ф(т)т5~1<1т —> 0 при h —> 0, то функция u(t), представимая (21), является решением уравнения (18).

Пусть А - линейный замкнутый оператор с плотной в Е областью определения D(A), имееющий резольвенту, определенную в полуплоскости ReX > —ш, где ш > 0, причем справедливо неравенство

R{\, А)|| < М(1 + \Im\\)~P при некотором /3 G (0,1). В соответствии с [19], при этом условии оператор А является производящим оператором бесконечно дифференцируемой при t > 0 полугруппы U(t), для которой справедлива оценка ll^ll < (22)

В этих условиях, если для уравнения (18) существует ослабленное решение, удовлетворяющее начальному условию и(0) = 0, (23) то оно представимо в виде u(t)= [ U(t — s)f(s)ds.

Jo

Таким образом, из оценки (22) следует неравенство

Щ\<Сг fe-^it-sy-HmWds, Jo используя которое, доказываются следующие теоремы.

0-1 )р

Теорема. Если f3 > \ и функция k(t) такая, что e~ut ■ t^p-v ■ А;13?^) £ Ь\[о, оо), и / £ Spk(p > 1), то решение задачи (18), (23) ограничено при t > 0 и справедлива оценка u(t)\\E<M(u,/3,p)\\f\\s;y

Теорема. Если < ~ и / принадлежит пространству Степанова Sp, то решение задачи (18), (23) принадлежит пространству Spk и справедливо неравенство u\U <M(u,p,P)\\f\\Sp.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Писарева, Светлана Вячеславовна, 2006 год

1. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар- М.:Наука, 1978.-951с.

2. Барбашин, Е.А. Введение в теорию устойчивости / Е.А. Барбашин М.гНаука, 1967. -223с.

3. Баскаков, А.Г. О генераторах полугрупп операторов / А.Г.Баскаков // Доклады РАН, 2006. Т. 406, № 6.

4. Бесов, О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О.В. Бесов, В.П. Ильин, С.М. Никольский .- 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1996 479с.

5. Глушко, В.П. Неравенства для норм производных в пространствах Lp с весом / В.П. Глушко И Сиб.мат.журн., 1960. -Т. 1, № 3. С.343-382.

6. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г.Крейн. М.: Наука, 1970 .- 534 с.

7. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы/ Г.Б. Двайт; пер. с англ. Н.В.Леви; под ред. К.А.Семендяева.— Изд. 4-е .—М.: Наука, 1973 .— 228с.

8. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости/ Б.П. Демидович.— М.: Наука, 1967 .— 472с.

9. Жиков, В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения/ В.В. Жиков, Б.М Левитан .- Издательство МГУ, 1978. -204с.

10. Забрейко, П.П. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций/ М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник, П.Е. Соболевский .- М.: Наука, 1966 .- 499 с.

11. Забрейко, П.П. Об одном классе полугрупп / П.П. Забрейко, А.В.Зафиевский // Докл. АН СССР, 1969.- Б.м. Т. 189, N 5 С.934-937.

12. Иосида, К. Функциональный анализ: Учебник / К. Иосида; пер. с англ. В.М. Волосова .- М.: Изд-во "Мир", 1967 624с.

13. Колемаев, В.А. Математическая экономика: Учеб. для студ. вузов, обуч. по экон. специальностям/ В.А. Колемаев.- М.: Изд. об-ние "ЮНИТИ", 1998 .- 240с.

14. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа: Учебное пособие для студ. мат. специальностей ун-тов / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин .- 2-е изд., перераб. и доп. -М.:Наука, 1968 .- 496с.

15. Костин, А.В. О пространствах инвариантных относительно дробного интегрирования / А.В. Костин // Сб. тр. молодых ученых мат. фак. Воронеж, гос. ун-та. Б.м., 2001— С. 102-108.

16. Костин, А.В. Обобщенные пространства Степанова и дробные интегралы Бесселя: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук/ А.В.Костин.- Воронеж: Б.и., 2002 19с.

17. Костин, А.В. Обобщенные пространства Степанова и эволюционные уравнения/ А.В. Костин// Диф.уравнения, 2003. -Т.39,№3-С.421-422.

18. Костин, В.А. Неравенства для норм производных в пространствах Lp / В.А. Костин // Мат. заметки .- Б.м., 1969 .- Т.6, №4 .-С. 463-473.

19. Крейн, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн .- М.: Изд-во"Наука". Глав. ред. физмат, лит-ры, 1967 .- 464с.

20. Крейн, С.Г. Функциональный анализ / Н.Я. Виленкин, Е.А.Горин, А.Г. Костюченко и др.; Под ред. Крейна С.Г. М.: Наука, 1964 424 с.

21. Лаврентьев, М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений./ М.М. Лаврентьев Новосибирский гос. университет. Новосибирск, 1973. 72 с.

22. Левитан, Б.М. Почти- периодические функции / Б.М. Левитан .М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1953 .- 396 с.

23. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа/ Л.А.Люстерник, В.И. Соболев.- М.: Наука, 1965 519с.

24. Масера, X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства/ X. Масера, Х.Шеффер М.:Мир, 1970.-456 с.

25. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии / А.М.Нахушев Москва: Высшая школа, 1995. - 302с.

26. Перов, А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов — Воронеж: изд.ВГУ, 1981. 196с.

27. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И.Маричев. Минск: Наука и техника, 1987 .- 687с.

28. Сильченко, Ю.Т. Линейные дифференциальные уравнения с неплотно заданными операторными коэффициентами и связанные с ними краевые задачи Диссертация на соискание доктора физ.-мат. наук. / Ю.Т. Сильченко. Минск, 1999. - На правах рукописи

29. Соболев, С .Л. О почти-периодичности решений волнового уравнения./ С.Л. Соболев // Докл. АН СССР 1945 .- Б.м.-T.XLVIII, N 8 .- С. 570-573

30. Соболевский, П.Е. О полугруппах роста а / П.Е. Соболевский // Докл. АН СССР 1971 Б.м. Т. 196, N 5 С. 535-537

31. Соболевский, П.Е. Полугруппы линейных ограниченных операторов/ П.Е. Соболевский, Ю.Т. Сильченко// Математика сьогодш 93: Науково-метод.зб1рник. Б.М. - 1991. - Вып.8. -С.34-63

32. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения/B.Феллер М.: «Мир», 1967, т.2 - 752 с.

33. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы/ Э. Хилле, Р.Филлипс М.: Издательство иностранной литературы, 1962 -829с.

34. Скубачевский, A.JI. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения / А.Л.Скубачевский, Р.В. Шамин // Математические заметки. — 1999.-Т. 66, № 1 -С. 145-153.

35. Шамин, Р.В. О пространствах начальных данных для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве / Р.В. Шамин// Математический сборник. 2003. - Т. 194. - Вып. 9.-С. 1411-1426.

36. Костин, В.А. О суммируемости тригонометрических рядов в обобщенных пространствах Степанова / В.А. Костин, С.В.Писарева// Труды математического факультета .- Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 2004 .- Вып. 8 .- С. 75-79.

37. Костин, А.В. Абстрактные интегралы Бесселя дробного порядка/ А.В. Костин, В.А. Костин, С.В. Писарева // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. школы «Понтрягинские чтения 16», 3-9 мая 2005 г. - Воронеж, 2005 -С.87-88.

38. Писарева, С.В. Некоторые свойства обобщенных пространств Степанова/ С.В. Писарева// Математические модели и операторные уравнения. Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 2005. -Т.З. - С.65-72.

39. Писарева, С.В. Эволюционные уравнения с особенностями в обобщенных пространствах Степанова/ С.В. Писарева// Математические модели и операторные уравнения. Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 2005. - Т.З. - С.73-77.

40. Писарева, С.В. Полугруппы с особенностями/ С.В. Писарева // Труды молодых ученых Воронежского государственного унверситета. Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 2005. - Вып. 1. -С.32-35.

41. Писарева, С.В. Обобщенные пространства Степанова и эволюционные уравнения с особенностями/ С.В. Писарева // Межвузовский сборник трудов семинара по фундаментальному и прикладному анализу. Ст.Оскол, 2005. - С.3-19.

42. Писарева, С.В. Абстрактные интегралы Бесселя в обобщенных пространствах Степанова / С.В. Писарева// Межвузовский сборник трудов семинара по фундаментальному и прикладному анализу. Ст.Оскол, 2005. - С.20-32.