Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов типа Бесселя и типа Рисса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Гусельникова, Ольга Михайловна

• Гусельникова, Ольга Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гусельникова, Ольга Михайловна

Содержание

Введение

1 Основные понятия и обозначения

1.1 Банаховы функциональные пространства (БФП)

1.2 Ассоциированное пространство

1.3 Функции распределения и убывающие перестановки

1.4 Максимальная функция

1.5 Перестановочно инвариантные пространства (ПИП)

1.6 Фундаментальная функция

1.7 Сферическая перестановка

2 Эквивалентные описания конусов перестановок

2.1 Пространство потенциалов и конусы убывающих перестановок

2.2 Два типа условий на ядра представления

2.3 Эквивалентные описания конусов перестановок

2.4 Интегральные свойства потенциалов

3 Доказательства основных результатов главы 2

3.1 Доказательство теоремы 2.19

3.2 Доказательство теоремы 2.21

3.3 Доказательство теоремы 2.24

3.4 Доказательство теоремы 2.25

3.5 Оптимальное ПИП для конусов убывающих функций

3.6 Доказательство теоремы 2.27 для обобщенных потенциалов Рисса

3.7 Доказательство теоремы 2.27 для обобщенных потенциалов Бесселя

4 Необходимое условие вложения пространства потенциалов в перестановочно инвариантное пространство

4.1 Множество функций с ограниченным спектром

4.2 О вложении пространства функций с ограниченным спектром в пространство потенциалов

4.3 Необходимое условие вложения пространства потенциалов в ПИП

4.4 Задача об оптимальности вложения Н^(МП) в ПИП Х(МП) для ядер Се^ПЯ'

5 Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и типа Рисса

5.1 Потенциалы типа Бесселя и типа Рисса. Следствия общих теорем

5.2 Оптимальные вложение при р = 1

5.3 Оптимальные вложение при 1<р<оо

5.4 Критерии вложения в весовые пространства Лоренца при 1 < р < оо

6 Доказательства основных результатов главы 5

6.1 Доказательство теоремы 5.6

6.2 Доказательство теоремы 5.10 для потенциалов типа Рисса

6.3 Обоснование оптимального вложения потенциалов типа Бесселя

6.3.1 Вспомогательные результаты о сужениях БФП

6.3.2 Доказательство теоремы 5.10 для потенциалов типа Бесселя

6.3.3 Доказательство замечания 5.12

6.4 Доказательство теоремы 5.15

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов типа Бесселя и типа Рисса»

Введение.

Хорошо известна фундаментальная роль, которую играют классические потенциалы Бесселя в теории функциональных пространств и в ее приложениях в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Определения и свойства Бесселевых потенциалов изложены в книге С.М.Никольского [1]. Большую роль играют Лиувиллевские классы Пр(Шп), построенные на основе классических ядер Бесселя-Макдональда. При целых показателях гладкости г пространство Лиувилля совпадают с пространствами Соболева а при

дробных показателях гладкости являются наиболее естественным продолжением классов

Развитию теории этих пространств и их приложениям посвящены исследования многих выдающихся специалистов в области математического анализа и теории уравнений в частных производных в нашей стране и за рубежом. Отметим здесь работы таких исследователей как С. Л. Соболев, С. М. Никольский, О. В. Бесов, В. И. Буренков, Л. Д. Кудрявцев, П. И. Лизоркин, Ю. Г. Решетняк, П. Л. Ульянов, Л. Хермандер, И. Стейн, В. Г. Мазья [4], X. Брезис и многие другие. В работах этих исследователей для пространств классических потенциалов построена полная теория вложения.

В последние десятилетия эти исследования дополнены развитием теории пространств обобщенной гладкости.Отметим здесь работы В. И. Буренкова, А. В. Бухвалова, М. Л. Гольдмана, Г. А. Калябина, В. И. Коляды, Ю. В. Нетрусова, А. Гогатишвили, Х.-Г. Леопольда и др.

В данной работе строится обобщение классической теории потенциалов, рассматриваются более общие ядра и базовые пространства. Классические ядра отвечают операциям дробного интегрирования, а наше обобщение охватывает более общие функции оператора дифференцирования не обязательно степенного типа. Такие обобщения дают большую гибкость в описании дифференциальных свойств функции и позволяют получать содержательные результаты и теоремы вложения в тех ситуациях, когда классические потенциалы Рисса не дают результатов. Использование общих перестановочно инвариантных пространств в качестве базовых пространств расширяет классы дифференциальных уравнений, для которых применимы построения решений в виде потенциалов.

В работе изучаются пространства потенциалов на п— мерном евклидовом пространстве. Они построены на основе перестановочно инвариантных пространств

(ПИП) с помощью сверток с ядрами общего вида. В рассмотрение включены как пространства классических потенциалов Бесселя и Рисса, так и пространства обобщенных потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Исследованы интегральные свойства потенциалов. Для них установлены критерии вложений в ПИП и получены описания оптимальных ПИП для этих вложений.

В первой главе кратко даны основные понятия и известные результаты, используемые в данной работе.

Во второй главе изучается пространство потенциалов Н^(МП) на n-мерном евклидовом пространстве:

где Е(Шп) - перестановочно инвариантное пространство (кратко: ПИП). Мы используем здесь аксиоматику, развитую в книге К. Беннетта и Р. Шарпли. Ядро свертки называется допустимым, если G Е Li(Rn) + Е'(Шп). Здесь E'(Rn) означает ассоциированное ПИП для ПИП E(Rn).

Пусть X(Rn),E(Rn) есть ПИП, Е'(Шп) - ассоциированное ПИП, а Ё{Ш+),Ё'{Ш+) - их представления Люксембурга, т.е. такие ПИП, что

\\ f \\е=\\ Г \\ё, \\9\\е' = \\9*\\е> ■

Убывающей перестановкой мы будем называть функцию /*, определенную на [О, оо] следующим образом:

/*(i) = inf{A : fJif(X) <t}, t> О,

где A) = ц{х E Rn : |/(ж)| > A}, A > 0 - функция распределения.

Сферической перестановкой функции / называется:

f*(p) = r(vnpn),

где Vn— объем шара единичного радиуса в Rn.

Определим класс 3П(Я) монотонных функций для R Е (0, оо] следующим образом:

Функция Ф : (О, R) —» принадлежит классу если выполнены следующие

условия:

1) Ф убывает и непрерывна на (О, Я);

2) существует постоянная с € такая что

г

! Ф{р)рп-1йр ^ сФ{г)гп, Г е (О, Я). о

Сформулируем условия первого типа на ядра:

Пусть Ф е Зп(оо)- Считаем, что <3 € б'оо(Ф), если

р=\х\еШ+.

Считаем, что О е , если

С(р)^Ф(р), р=\х\е М+.

Для т € (0,Т) обозначим

^(г) = Ф ((г/Уп)1/") еЛх(Т), /ф(<,г)=тшЫ£)^(г)}.

В предположении: Ф е Зп(оо); /ф(4; •) € £'(К+)> £ М+); С € ¿^(Ф), получаем что, ядра (7 являются допустимыми и потенциалы, построенные с помощью ядер этого типа Нд(Кп) назовем обобщенными потенциалами типа Рисса. Классические ядра Рисса получим при (7(х) = ра~п, р = \х\ £ а <Е (0, п).

Для них Ф(р) = ра'п е 3„(оо), в € 5^(Ф) и

/ф(4; •) 6 Ё'(ж+) г"/"-1 е £'(г,оо), при (< € М+).

Сформулируем условия второго типа на ядра С.

Для Я € определим

Вя = {х £ К+ : \х\ < Я} ; С°к = СХвк, С1К = СХцп\Вн■

Пусть Я е М+, Ф б 3П(Я); X = Х(КП) есть ПИП. Считаем, что (7 € Ф; X), если

(^)#(р)-Ф(р), ре (О,Я); С^ХГ).

Считаем, что (3 € 5д(Ф;Х), если

С°(*) = Ф(р), р=|а;|е(0,Я); £

Тогда обобщенные потенциалы Бесселя строятся при помощи ядер

Е'); ! 0.

К"

Ядра классических потенциалов Бесселя имеют вид:

С(х) = с(а, п)р~рКи(р), р=\х\е М+, а е (0,п], и = (п - а)/2,

где Ки - функция Макдональда (функция Бесселя мнимого аргумента). Классические потенциалы Бесселя охватываются этой схемой при Ф (р) = ра~п и любом ПИП Е(Шп).

При исследовании вопроса о нахождении критерия вложения пространства потенциалов в перестановочно инвариантное пространство, ключевую роль играет оператор типа Харди, определенный на положительной полуоси. Использование убывающих перестановок потенциалов позволяет редуцировать проблему вложения потенциалов к задаче об ограниченности оператора Харди и использовать разработанную для операторов этого типа теорию.

Оператор типа Харди:

: Ё0 Х(0,Т), Те( 0,оо]

т

9ЧтШ= / Ш,т)д{т)йт, деЁ0(0,Т) Jo

Здесь при Те!+ через Е(0,Т) обозначим сужение Е(Ж+) на (О;^)1

II 9 Ь(0,Т)=11 9° Ь(«+); д0№ = яШ<= (0,Т); д\£) = 0,0 Г; Ё0(0,Т) = {д е Ё(0,Т) : 0^д1 д(Ь + 0) = дЦ), *е(0,Т).} Сформулированы и доказаны следующие критерии вложения.

Теорема.

Для обобщенных потенциалов Рисса вложение Н^(КП) С Х(М") эквивалентно ограниченности оператора 91ф100. В частности, для £ € К+,

/ф№.) е Ё'(ш+) & н|(кп) с ь^ш1) + ¿оо(кп).

Теорема.

В случае обобщенных потенциалов Весселя, каждое из следующих двух условий необходимо, а их совокупность достаточна для вложения С Х(КП) :

(а) оператор 9ЯФ)т ограничен, где Т = V

(Я/2)"

(Ь) справедливо вложение Е(Шп) П Ь^Ш71) С X(Rn).

Оболочкой локального роста пространства потенциалов называется функция:

A H(t) = sup {u*(í) :иЕ H|, \\и\\н% ^ l} .

Рассмотрение этой функции содержательно в том случае, когда пространство потенциалов не вложено в C(Rn).

Теорема.

Справедлива двусторонняя оценка

Ая(*) = ||/Ф(*;-)1Ь'(0,Т), t е (0,т).

Далее в этой главе для вложения С было получено описание

оптимального ПИП (перестановочно инвариантная оболочка, минимальное ПИП, в которое вложено пространство потенциалов).

Теорема.

1. Если R = оо , то оптимальное ПИП Хо = Xo(Rn) в случае обобщенных потенциалов Рисса имеет эквивалентную норму

У\\х0{0,т) = sup [I f*9*dt : g е L0(0,T); ||$ПФ,Г(<?*; í)||F(0iT) < l|

cT = оо

2. Если R 6 R+ , mo оптимальное ПИП Хо = Хо(Мп) в случае обобщенных потенциалов Бесселя имеет эквивалентную норму

11/11х0(»+) = 11/11хо(0,Т) + ll/lb(K+) •

В процессе доказательства задача нахождения оптимальных ПИП будет сведена к задаче о построении оптимального ПИП для вложения конуса убывающих

перестановок. Одним из важных методов исследования в данной работе является использование конусов убывающих перестановок для потенциалов, построение и эквивалентное описание данных конусов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гусельникова, Ольга Михайловна, 2011 год

Список литературы

[1] С. Bennett and R. Sharpley. Interpolation of Operators

Pure and Applied Mathematics 129. Academic Press, Boston, MA, 1988.

[2] С. M. Никольский. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

[3] И. М. Стейн. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

[4] В. Г. Мазъя. Пространства Соболева. Изд-во ЛГУ, 1985.

[5] R. О' Neil. Convolution operators and spaces. Duke Math. J. V.30 (1963), 129-142.

[6] M. Л. Гольдман. Перестановочно инвариантные оболочки обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса. Доклады РАН. Т. 423, №1 (2008), 151-155.

[7] М. Л. Гольдман. Интегральные свойства обобщенных бесселевых потенциалов. Доклады РАН. Т. 414, №2 (2007), 159-164.

[8] М. Л. Гольдман. Конус перестановок для обобщенных бесселевых потенциалов. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. Т. 260 (2008), 144-156.

[9] Ю. В. Нетрусов. Теоремы вложения в пространствах Лизоркина- Трибеля. Записки научных семин. ЛОМИ. Т. 159 (1987), 103-112.

[10] Ю. В. Нетрусов. Теоремы вложения пространств Бесова в идеальные пространства. Записки научных семин. ЛОМИ. Т. 159 (1987), 69-82.

[11] A. Gogatishvili, J. S. Neves, and В. Opitz. Optimality of embeddings of Bessel-potential-type spaces, Function spaces, differential operators and nonlinear analysis: Proc. Conf., Milovy, Czech Republic., May 28-June 2, Prague: Math. Inst. Acad. Sci. Czech Republic (2005), 97-102.

[12] M. Л. Гольдман, Ф. Энрикес. Описание перестановочно инвариантной оболочки анизотропного пространства Кальдерона. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. Т. 248 (2005), 89-100.

[13] М. 3. Берколайко, В. И. Овчинников. Неравенства для целых функций экспоненциального типа в нормах симметричных пространств. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 161 (1983), 3-17.

[14] D. Adams. A shapr inequality of J. Moser for higher order derivatives. Ann Math., II Ser. 128 (1988), no. 2, 385-398.

[15] О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. Интегральное представление функций и теоремы вложения.Наука, Москва, (1996).

[16] Н. Brezis and W. Wainger. A note on limiting cases of Sobolev embeddings and convolution inequalities. Commun. Partial Differ. Equations 5 (1980), 773-789.

[17] Ю. А. Брудный, В. К. Шалашов. Липшицевы функциональные пространтсва. Вопросы метрики в теории функций и отображений. Наукова Думка, Киев, (1973), 3-60.

[18] V. I. Burenkov. Sobolev spaces on domains. Teubner-Texte zur Mathematik, vol. 137, Teubner, Stattgard, Leipzig (1998).

[19] A. Caetano and S. Moura. Local growth envelopes of spaces of generalized smoothness: the subcritical case. Math. Nachr. 273 (2004), 43-57.

[20] A. Caetano and S. Moura. Local growth envelopes of spaces of generalized smoothness: the subcritical case, Math. Inequal. Appl. 7 (2004), no. 4, 573-606.

[21] M. Carro, J. Raposo and J. Soria. Recent developments in the theory of Lorentz spaces weighted inequalities. Memoirs of the American Mathematical Society (to appear) (ArXiv preprint math. CA/0010010, 2000).

[22] A. Cianchi. A sharp embedding theorem for Orlicz-Sobolev spaces, Indiana Univ. Math. J. 45 (1996), no. 1, 39-65.

[23] A. Cianchi, L. Pick. Sobolev embeddings into BMO, VMO, and Loo, Ark. Mat. 36 (1998), no. 2, 317-340.

[24] M. Cwikel, E. Pustylnik. Sobolev type embeddings in the limiting case, J. Fourier Anal. Appl. 4 (1998), no. 4-5, 433-446.

[25] A. Gogatishvili, L. Pick Discretization and abti-discretization of rearrangement-invariant norms. Publ. Mat., Bare. 47 (2003), no. 2, 311-358.

[26] M. Л. Гольдман О вложении конструктивных и структцрных пространств Липшица в симметрические пространства. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 173 (1987), 93-118.

[27] М. Л. Гольдман Вложения различных метрик в ространства Кальдерона. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 181 (1989), 75-101.

[28] G. A. Kalyabin A characterization of spaces of Besov-Lizorkin-Triebel type with the help of generalized differences, Proc. Steklov Inst. Math. 181 (1989), 103-125.

[29] G. A. Kalyabin and P. I. Lizorkin Spaces of functions of generalized smoothness, Math. Nachr. 133 (1987), 7-32.

[30] Гольдман М.Л., Гусельникова O.M. Оптимальные вложения потенциалов типа Весселя и типа Рисса. Часть 1. Вестник РУДН, серия математика, информатика, физика, № 3, 2011, с.4-16.

[31] Goldman M.L., Guselnikova O.M. Some general properties of operators in Morrey type spaces. Международный семинар "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения, 22-28 апреля 2011 года, Ростов-на-Дону, тезисы докладов, с. 7

[32] Goldman M.L., Guselnikova O.M. Local Morrey type spaces on the base of RIS and BFS. Intern Workshop "Operators in Morrey type spaces and Applications OMTSA - 2011, May 20-27, 2011, Kirsehir, Turkey, Book of Abstracts, 20.

[33] Goldman M.L., Guselnikova O.M. Morrey type spaces on the base of RIS and BFS. 8-th International Conference on Function Spaces, Differental Operators and Nonlinear Analysis, Tabarz, Thur, Germany, September 18-24, 2011, Book of Abstracts, 19.

[34] Голъдман M.JI., Гусельникова O.M. Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Часть 2. Вестник РУДН, серия математика, информатика, физика, (принято в печать).

[35] Гусельникова О.М. Необходимое условие вложения пространство потенциалов в перестановочно инвариантное пространство. XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, 21-25 апреля 2008 года, Москва, тезисы докладов секции математики и информатики, с. 5.

[36] Гусельникова О.М. Необходимое условие вложения пространство потенциалов в перестановочно инвариантное пространство. Вестник Тамбовского университета. Серия: Ест. и техн. науки, т. 16, вып. 3, 2011, с. 738-741.