Дифференциальные свойства обобщённых потенциалов Бесселя–Рисса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Хамадех Альхалиль Нисрин

• Хамадех Альхалиль Нисрин
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Хамадех Альхалиль Нисрин

Введение

Глава 1. Критерии вложений пространства потенциалов в

пространство Кальдерона в случае базовых весовых пространств Лоренца

1.1 Определения и предварительные сведения. Общие свойства потенциалов, построенных на базе весовых пространств Лоренца с общими весами

1.2 Точные по порядку оценки равномерных модулей непрерывности потенциалов в случае вложения пространства потенциалов в пространство непрерывных ограниченных функций

1.3 Оценка сверху модуля непрерывности для классического потенциала Бесселя

1.4 Критерии вложений пространства потенциалов в пространство Кальдерона. Приведена конкретизация этих вложений в случае базовых весовых пространств Лоренца

Глава 2. Точные по порядку оценки равномерных модулей непрерывности потенциалов в случае базовых весовых пространств Лоренца

2.1 Определения и предварительные сведения

2.2 Доказательство результатов об оценке равномерных модулей непрерывности потенциалов в случае базовых весовых пространств Лоренца

Стр.

2.3 Доказаны теоремы об оценке аппроксимативных чисел

оператора вложения пространства потенциалов в пространство непрерывных функций

2.4 Некоторые следствия

Глава 3. Условия локализации у-средиих спектрального разложения обобщенного потенциала Бесселя в случае базовых весовых пространств Лоренца

3.1 Обоснование свойств локализации

3.2 Необходимые и достаточные условия для вложения пространства потенциалов в пространство Ь2(Кп)

3.3 Локализация у-средних спектрального разложения обобщенного потенциала Бесселя в случае базовых

весовых пространств Лоренца

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциальные свойства обобщённых потенциалов Бесселя–Рисса»

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности.

Данная диссертация посвящена изучению дифференциальных свойства сверток функций с ядрами, обобщающими классические ядра Бесселя-Макдональда Ga(x), х е Rn, 0 < а < п. Теория классических потенциалов Бесселя является важным разделом общей теории пространств дифференцируемых функций дробной гладкости и ее приложений в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Свойства классических ядер Бесселя-Макдональда подробно изучены в книгах Беннетта и Шарпли [1], С. М. Никольского [2], В. Г. Мазьи [3]. Условия локализации средних Рисса спектрального разложения подробно изучены в работах V. A. Il'in, Sh. A. Alimov [4]. Условия локализации для более общих у-средних спектральных разложений и разлагаемых функций из пространства обобщенной гладкости рассмотрены в работах M. L. Goldman, T. G. Ayele [5]. Вопросы локализация у-средних спектрального разложения играют важную роль в теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Свойства Бесселевых потенциалов подробно изложены в работе

B. Г. Мазьи [3]. Развитию теории этих пространств и их приложениям посвящены исследования многих выдающихся специалистов в области математического анализа и теории уравнений в частных производных в нашей стране и за рубежом. Отметим здесь работы таких исследователей как

C. Л. Соболев, С. М. Никольский, О. В. Бесов, В. И. Буренков, Л. Д. Кудрявцев, П. И. Лизоркин, Ю. Г. Решетняк, Л. Хермандер, И. Стейн, В. Г. Ма-зья, X. Брезис и многие другие. В работах этих исследователей для про-

странств классических потенциалов построена полная теория вложения. Теория обобщенных бесселевых потенциалов и ее приложения развивались в работах М. Л. Гольдмана, Р. Кермана, Д. Хароске и др. [6—11].

Цель диссертационной работы состоит в исследовании дифференциальных свойств обобщенных потенциалов типа Бесселя.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. исследовать дифференциальные свойства обобщенных потенциалов Бесселя;

2. описать точные по порядку оценки равномерных модулей непрерывности потенциалов в случае вложения пространства потенциалов в пространство непрерывных ограниченных функций

3. исследовать критерии вложений пространства потенциалов в пространство Кальдерона. Привести конкретизацию этих вложений в случае базовых весовых пространств Лоренца;

4. описать точные по порядку оценки равномерных модулей непрерывности потенциалов в случае базовых весовых пространств Лоренца;

5. оценить аппроксимативные числа оператора вложения пространства потенциалов в пространство ограниченных и равномерно непрерывных функций;

6. получить необходимые и достаточные условия для вложения пространства потенциалов в пространство^^");

7. получить условии локализации у-средних спектрального разложения обобщенного потенциала Бесселя в случае базовых весовых пространств Лоренца.

Научная новизна. В данной работе получены следующие новые результаты:

1. получены точные по порядку оценки равномерных модулей непрерывности потенциалов в случае вложения пространства потенциалов в пространство непрерывных ограниченных функций;

2. установлены критерии вложений пространства потенциалов в пространство Кальдерона. Приведена конкретизация этих вложений в случае базовых весовых пространств Лоренца;

3. получены точные по порядку оценки равномерных модулей непрерывности потенциалов в случае базовых весовых пространств Лоренца;

4. получены оценки аппроксимативных чисел оператора вложения пространства потенциалов в пространство ограниченных и равномерно непрерывных функций;

5. даны необходимые и достаточные условия для вложения пространства потенциалов в пространство Ь2(Мп);

6. получены условия локализации у-средних спектрального разложения обобщенного потенциала Бесселя по собственным функциям оператора Лапласа в случае базовых весовых пространств Лоренца.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер.

- установлены критерии вложений пространства потенциалов в пространство Кальдерона. Приведена конкретизация этих вложений в случае базовых весовых пространств Лоренца;

- получены точные по порядку оценки равномерных модулей непрерывности потенциалов в случае базовых весовых пространств Лоренца;

- получены оценки аппроксимативных чисел оператора вложения пространства потенциалов в пространство ограниченных и равномерно непрерывных функций;

- даны необходимые и достаточные условия для вложения пространства потенциалов в пространство Ь2(Мп);

- получены условия локализации у-средних спектрального разложения обобщенного потенциала Бесселя по собственным функциям оператора Лапласа в случае базовых весовых пространств Лоренца.

Методология и методы исследования. Исследования дифференциальных свойств потенциалов опираются на оценки модулей непрерывности сверток функций из весовых пространств Лоренца с ядрами потенциалов. Изучение вопросов локализации спектральных разложений по собственным функциям оператора Лапласа для обобщенных потенциалов Бесселя опирается на оценки модулей непрерывности потенциалов во взаимосвязи их со свойствами функций, определяющих методы суммирования спектральных разложений.

Основные положения, выносимые на защиту: Основные положения, выносимые на защиту:

1. Получены точные по порядку оценки равномерных модулей непрерывности потенциалов в случае вложения пространства потенциалов в пространство непрерывных ограниченных функций.

2. Построены критерии вложений пространства потенциалов в пространство Кальдерона. Приведена конкретизация этих вложений в случае базовых весовых пространств Лоренца.

3. Доказаны теоремы о точных по порядку оценках равномерных модулей непрерывности потенциалов в случае базовых весовых пространств Лоренца.

4. Доказаны теоремы о оценке аппроксимативных чисел оператора вложения пространства потенциалов в пространстве ограниченных и равномерно непрерывных функций.

5. Доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях для вложения пространства потенциалов в пространство Ь2(Мп).

6. Получены условии локализации у-средних спектрального разложения обобщенного потенциала Бесселя в случае базовых весовых пространств Лоренца.

Степень достоверности результатов, полученных в диссертации, обеспечивается строгостью приведенных доказательств, многочисленными выступлениями на семинарах, конференциях и школах, а также имеющимися публикациями в рецензируемых изданиях, которые индексируются международными базами данных.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертационной работе, излагались на научном семинаре Северо-Кавказского центра математических исследований ВНЦ РАН и Южного математического института ВНЦ РАН под руководством д.ф.-м.н., проф. А. Г. Кусраева, к.ф.-м.н. М. А. Плиева; в Российском университете дружбы народов на научном семинаре под руководством профессоров А. В. Арутюнова, В. И. Буренкова и М. Л. Гольдмана, в МГУ им. М. В. Ломоносова

на научном семинаре на механико-математическом факультете под руководством профессоров Г. Г. Магарил-Ильяева и К. Ю. Осипенко, на научном семинаре на факультете вычислительной математики и кибернетики под руководством академика Е. И. Моисеева и профессора И. С. Ломова. По результатам диссертации были сделаны доклады наа Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Ломоносов (Москва, 2019-2020-2021); на Международной научной конференции (Ninth International Scientific Conference "Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis IX". Rostov-on-Don, 2018-2019); на 31-й Крымской Осенней Математической Школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Севастополь, 2020); на 5-й Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования» (Москва, 2018); на Международной научной конференции «Interdisciplinary Research in Science, Engineering and Technology» (Bangalore, India, 2021); на Международн. ой научной конференции «Order Analysis and Related Questions of Mathematical Modelling, XVI» (Vladikavkaz, 2021).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 12 печатных изданиях, 5 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 7 — в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 105 страниц. Список литературы содержит 70 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится краткий обзор наиболее важных публикаций, связанных с темой исследования, и анализ основных результатов диссертации.

Глава 1. Критерии вложений пространства потенциалов в пространство Кальдерона в случае базовых весовых пространств Лоренца. Параграф 1.1. Общие свойства потенциалов, построенных на базе весовых пространств Лоренца с общими весами. (см. Определение 1.1.9 ниже).

В этом параграфе будут представлены общие свойства потенциалов, построенных на базе весовых пространств Лоренца с общими весами. Через (XX,ц) (кратко: (X; ц)) обозначим пространство с а-алгеброй и мерой, которую считаем неотрицательной и а-конечной. Через Ь = Ь(Х; ц) обозначим множество ц-измеримых функций, далее Ь0 = Ь0(Х; ц) есть множество ц-измеримых конечных почти всюду функций, Ь+(Х; ц) = {/ е Ь(Х; ц), / ^ 0}; Ь+(Х; ц) = Ь0(Х; ц) п Ь+(Х; ц).

Определение 1.1.1. Отображение р : Ь+ ^ [0,то] есть идеальная квазинорма (кратко: ИКН), если для всех g, /п е Ь+, п е N выполнены условия:

(р1) р(/) = 0 ^ / = 0, ц-почти всюду (кратко: ц-п.в.);

р(а/) = ар(/), а ^ 0; р(/ + 8) ^ С[р(/)+ р&)], /, g е Ь+; С > 1 (свойство квазинормы); (р2) / ^ g, (ц-п.в.) ^ р(/) ^ р(§) (монотонность нормы); (р3) /п е Ь+, /п | / ^ р(/„) I р(/)(п ^ то) (свойство Фату); (р4) р(/) < то ^ / < то (ц-п.в.).

(p5) 0 < ц,(а) < те ^ р(Хст) < те. Здесь fn f f означает, что fn ^ fn+l, lim fn = f, (v-п.в.).

Понятие ИП шире понятия банахова функционального пространства (кратко: БФП) введенного Беннеттом и Шарпли [1], идеальное квазибанахово пространство со свойством Фату есть идеальная структура в терминологии книги Крейна-Петунина-Семенова [12].

Напомним определения функциональной нормы (кратко: ФН) и порожденного его банахова функционального пространства (кратко: БФП) (см. [1, Гл. 1]).

Определение 1.1.2. Пусть р есть ИКН множество х = х( f) всех функций из L, для которых р(|/|) < те, называется идеальным пространством (кратко: ИП) порожденных ИКН р; при этом для f полагаем \\ f\\x = p(lf\).

Определение 1.1.3. Отображение р : L+ ^ [0,те] есть ФН, если для всех f, g, fn е L+, n Е 14 всех констант а ^ 0 и всех ц,-измеримых подмножеств Е С X выполнены следующие условия:

(р1) р(/) = 0 ^ f = 0, v-п.в.;

р(а f) = ар(f ); р(f + g) ^ р(f ) + р(я);

(p2) 0 ^ g ^ f, v-п.в. ^ р(§) ^ р( f ) (монотонность);

(p3) 0 ^ fn ff v-п.в. ^ р( fn) f р (/) (n ^ те) (свойство Фату);

(р4) v(E) < те ^ JЕ f dv ^ hE р(/) (локальная интегрируемость)

для некоторой hE е R, зависящей от Е и р, но не от f; (р5) v(E) < те ^ р(хе) < те. Замечание 1.1.1. Условие (р1) является усилением условия (p1) из Определения 1.1.1, когда С = 1, то есть квазинорма превращается в норму.

Определение 1.1.4. Пусть р есть ФН. Множество X = X(р) всех функций из К, для которых р(|/|) < то, называется банаховым функциональным пространством (кратко: БФП), порожденным ФН р; при этом для / полагаем

\\/\\х = P(l/I).

Обозначим для / Е L0 ^ Л/(у) = Е S : |/(х)| > у}, у Е [0,то) —Лебегова функция распределения. Через L0 обозначим множество функций / Е L0: Л/(у) не тождественна то.

Для / Е Lо введем невозрастающую перестановку /* как правую обратную функцию к невозрастающей функции Л/, т. е.

/*(t) = inf [у Е [0,то) : Л/(у) ^ t}, t Е = (0,то).

Здесь /* : R+ ^ [0, то] —убывающая перестановка функции / : Rn ^ R, т. е. /* —неотрицательная убывающая непрерывная справа функция на R+ = (0,то), которая является равноизмеримой с /:

V[х Е Un : |/( х)| > у} = е : |/*(01 > у}, УЕ ,

где — п-мерная мера Лебега.

Определение 1.1.5. БФП Е = Е) называется перестановочно инвариантным пространством (кратко: ПИП), если его норма монотонна относительно перестановок, т. е.

Г(0 ^ g*(t), и g Е Е ^ /ЕЕ и \\/\\е ^ Ые-

Примерами ПИП служат пространства Лебега Lp(Rn), пространства Лоренца, Орлича [12, с. 145], [13, с. 7].

Пространство потенциалов Н^ = Н^ ) определяем как множество сверток ядер потенциалов с функциями из базового пространства

Н%(Ки) = [и = G * / : / е Е(Ки)}, (1)

где Е — перестановочно инвариантное пространство, а ядро О — специального вида

\\и\\но = М{\\/\\е : I Е Е(К), О */ = и}. (2)

Здесь свертка О * / определяется как интеграл

(О * /)(х ) = (2п)-2 ! О(х - у)/(у) &у, (3)

К"

(мы ввели здесь множитель (2п)-2 для удобства при использовании преобразования Фурье).

Здесь мы существенно используем результаты работы [14], в которой установлены точные теоремы вложения в ПИП для обобщенных потенциалов Бесселя:

Н% (К") с X (К"). (4)

Для ПИП Е = Е(К") обозначим через Е' = Е'(К") — ассоциированное ПИП, т. е. ПИП, в котором норма задается соотношением

\ы\е' = / |fg| ф" : / Е е; \\/\\е ^ 1 у (5)

где V" — "-мерная мера Лебега, Е = Е?(К+), Е' = Е'(К+) — их представления Люксембурга, т. е. такие ПИП, что

\\1\\е = \\г \Е \\я\е' = \\8*\\е> • (6)

где /, g измеримые функции.

Здесь /* : К+ ^ [0, те] — убывающая перестановка функции / : К" ^ К+, т. е. /* — неотрицательная убывающая непрерывная справа функция на К+ = (0,те), которая является равноизмеримой с /:

V"[х Е К" : |/(х)| > у} = VI{ Е К+ : |га)| > у], у Е К+.

Ядро представления в назовем допустимым, если

в е ь1(ип) + е).

Для Я е введем класс монотонных функций (Я) следующим образом. Функция Ф : (0,Я) ^ принадлежит классу (Я), если

1. Ф убывающая и непрерывная на (0,Я);

2. существует постоянная с е такая, что

! Ф(р)р"-1ёр ^ сФ(р)гп, г е (0,Я). (7)

0

Ф(т) = ф((уУ) е *1(Т),т = упя\

Здесь ¥п — объем п-мерного единичного шара. Свойства ядер обсуждаются в определениях 1.1.6-1.1.8 ниже.

Замечание 1.1.2. Пусть А(х), В(х) — положительные функции на множестве Б С . Мы пишем А(х) = В(х), х е Д если существует постоянная с^ 1 такая, что с-1 ^ ^ с, Ух е Б.

^ В(х) ^

Определение 1.1.6. Пусть Ф е (Я). Считаем, что в е ^(Ф), если

в(х) ^ Ф(М), хеВЯ = [х е : М < я}, Я е (8)

Определение 1.1.7. Пусть Ф е (Я), X) —ПИП. Считаем, что в е 5Я(Ф; X), если

С(х) = С°Я(х) + вЯ(х);

С°Я(х) = С(х)хвя (х); СЯ(х) = С(х)ХвЯ (х), (9)

где ВСЯ дополнение к ВЯ,

С°Я(х) ^ Ф(х), х е ВЯ, вЯ е X).

Определение 1.1.8. Потенциалы и Е Н^ (Ш), Е(Ш) = Лр(и) называются обобщенными потенциалами Бесселя, если

ФЕ (К), в еЯк(Ф;Ь1ПЕ'), [ в ф 0. (10)

А если Ф Е (те), потенциалы и Е Н^Ш) называются обобщенными потенциалами Рисса, если в(х) = Ф(|х|), |х| Е Ш+.

Замечание 1.1.3. Отметим, что классические ядра Бесселя-МакДональ-да имеют вид

Оа(х) = с(*,п)р^К,у(р), р = И Е Ш+, а Е (0,п); у = ^, (11)

где Ку — функция МакДональда, см. [2]. Хорошо известные свойства этих ядер устанавливают, что

(х) £ Ф(М), 0 < |х| < К; Ф(р) = ра-" Е Зи(К);

1 (12) (х)£ |х|-т-2е-|х|, |х| Ж.

Определение 1.1.9. Пространством Лоренца Лр(V), где V > 0 — измеримая функция, называется пространство всех измеримых функций на Ш с конечными (квази) нормами:

лр( V) = <

те

(У Г( г У и( х

0 < р < те,

о (13)

е88 8ир{/*(0 V (0}; р = те.

^ ГЕ(0,те)

Параграф 1.2. Точные по порядку оценки равномерных модулей непрерывности потенциалов в случае вложения пространства потенциалов в пространство непрерывных ограниченных функций. Определение 1.2.1. Пусть С(Ш) пространство ограниченных и равномерно непрерывных функций с нормой \\и\\С = 8ирх ЕШ |и(х)|.

Модуль непрерывности для и Е С(К") в равномерной норме: шкс(и; т) = вир| А\и с : |Н| ^ т|, т Е К+.

Здесь Акни(х) — к-я разность с шагом Н Е К" в точке х Е К". Заметим, что для и Е С(К): шС(и; т) ^ 0, (т ^ +0).

В наших результатах мы использовали Теорему 1.2.1 и Лемму 1.2.1. Теорема 1.2.1. [15] Пусть в Е Ь1(Кп), в ф 0, ф(т) = С(т), т Е К+, и функция / : К" ^ К+, такова, что при некотором Т Е К+

! ф(т)Г(т)ёт < то. (14)

0

Тогда

1. Для свёртки

и(х) = / С(х- у)/(у) &у, х Е К", (15)

7 к

справедлива оценка

вир |и(х)| ^ С0 / ф(т)/*(т)ёт, (16)

0

С0 = 1 + ( / ф(т)<1т)( / Ф(т)ёт^ . (17)

0

2. Пусть, кроме того, в Е Ск(К\{0|), к Е 14 для

вк(х)= ^ |^ав(х)|, х Е К, (18)

|а|= к

при с1 Е К+ имеет место оценка

Юк(х)| ^ с^М), хЕ К, (19)

где

((*)

0 ^ в *(т) (^Г ) + на Ш+, (20)

и выполнены соотношения

в*(т) < т-к\пф(т), т Е (0,Т], (21)

те

! вК(т) ёт < те. (22)

Тогда свёртка и, определенная в (15), непрерывна на Ш и для ? Е

(0, ]

I г ^ т

, / 1 \ / т „

ф(т)Г(т)ёт. (23)

шС( и; X« ) ^ с2

Здесь с2 = ей, где

— к — к т п + ? «

(у вк(т)ё^,

£/ = 1 + гвКао' 1 вк(т) ёт Ь (24)

К

с1 —постоянная из условия (19), с = с(к,п) Е Ш+. Далее рассмотрены некоторые более простые оценки модулей непрерывности при дополнительных ограничениях на ядра потенциалов.

Лемма 1.2.1. [15] Пусть выполнено следующее условие:

! т-п ф(т) ёт ^ В0?1-~п ф(г), X Е (0,Г], (25)

где в0 Е Ш+ не зависит от .

Кроме того, пусть выполнены условия Теоремы 1.2.1. Тогда

шС(и; ^ с3 ! ф(т)/*(т) ёт, г Е (0,Т], (26)

0

где с3 = (1 + В0)с2, с2 — постоянная из (23).

Теорема 1.2.2. Пусть 1 < д < те, - + = 1 и пусть V, ш веса, и Ф0( = ф(т)б?т, F( ^ ) = /0 и(? I, ии(0 = , и пусть выполнены усло-

Фо(

вия леммы 1.2.1 и, кроме того

Фо(х)

А3 : = 8ир ■

х>0

л

Фо( ? ) + Фо( X )

у те /(

\ п

Фо(0

Фо( 0 + Фо( *) Vе1' ( * )

У то ) )

< те,

тогда

и; ?

< ^ПУМ

Ьа (ии)

Л«( у),

(27)

с3 — постоянная из (26). Наилучшая постоянная с в оценке (27)удовлетворяет условию с к А3.

Здесь символ к означает, что отношение левой и правой части находятся между положительными константами, зависящими только от р (а не от и или ^).

Параграф 1.4. Критерии вложений пространства потенциалов в пространство Кальдерона. Приведена конкретизация этих вложений в случае базовых весовых пространств Лоренца.

Определение 1.4.1. Пусть X = X(о,Т) идеальное пространство (см. [1]) и к Е N. Мы вводим пространство Кальдерона Лк (С; X), так

Лк(С;X) = {и Е С) : шС(Е X(о,Т)};

шС( и; X

X(0,т)

(28) (29)

ПиПл^ад = Мс +

Теорема 1.4.1. Пусть выполнены условия леммы 1.2.1, тогда при Iй = Л 9( V), X = (ш) имеет место критерий

Н^(ип) С Лк(С; X) ^ А3 < те,

где

А3 : = 8ир ■

х>0

, то /(

Фо(х)

Фо( г ) + Фо( х )

, то / (

N П

) У*(0 ) )

Фо( * ) + Фо( X V * )

Здесь 1 <д< то, — + - = 1, = .

у Ч Ч Фо( О4

Основные результаты первой главы опубликованы в работе [16] из

списка публикаций автора по теме диссертации.

В Главе 2 установлены точные по порядку оценки равномерных модулей непрерывности потенциалов в случае базовых весовых пространств Лоренца. Затем применяется этот результат для оценки аппроксимативных чисел обобщенных потенциалов Бесселя, когда обобщенные потенциалы Бесселя построены по основному весовому пространству Лоренца. Доказана Теорема 2.2.1.

Параграф 2.1. Определения и предварительные сведения.

Будем рассматривать случай, когда ассоциированное пространство Е) является пространством Лоренца: Е) = Лр(и).

Пусть V > о — измеримая функция на Рассмотрим пространство Лоренца Л^( и) (Определение 1.1.9). Считаем, что

~ П21)"

о < F( г) := / г;(т)ёт < то, хе , и эир

ПО

< то,

(30)

так называемое Д2-условие. В этих предположениях Е) = Лр(и) является (квази) банаховым пространством, которое дает важный пример перестановочно-инвариантного пространства (сокращенно ПИП) из-

за свойства:

£* ^ г, / Е е(Ки) ^ ^ е(Ки), ые ^ м\\е,

о

(К. Беннетт и Р. Шарпли [1]). Е' = Е) является ассоциированным. Е' — это ПИП (5).)

При 1 < < то описание ассоциированного пространства для Е) = Лр(и) было получено Э. Сойером [17]. А именно,

то

/ ^(тЖт)ёт = 8иР -то-1 ~

(7 Н(т)ри(т)«ту

(А (Лч')^)'"')

оо

Замечание 2.1.1. Обратим внимание, что для Е) = Лр(и)

Е'(Кп) ф {о} ^ ЗТ > о : [ —

у т

< то. (32)

уцу

о

Действительно, для Б С (Б) = Т, имеем §(х) = Хб(х) Е Е'(^и),

поскольку £*(т) = Х(о,т)(т) и

Е,

J £*(т)ёт = ^ о

о < £ ^ Т, т, £ > Т;

то / £ \ / ("8"Е')' * С1 /(/^«т) ^^

Г(£У

Г то

Г + , Г < то,

1У П£У 1 У Н£У '

о

где

У К(£У 1 - р'

то ( )1-

^-< то.

£=Г / - 1

то

С другой стороны, если Е Е), g ф 0, тогда существует с > 0 и Т Е такой, что £*(т) ^ с, т Е (0,Т). Тогда

Т / * \ р' т

те > (ИяПе> ^ Д у £*(т)ёт ) ^^ ^ с2ср*

0 \ 0 /

' 2 1 У(£У

0 0 0

Всюду в этой главе мы предполагаем, что выполнено условие (32).

Параграф 2.2. Доказательство результатов об оценке равномерных модулей непрерывности потенциалов в случае базовых весовых пространств Лоренца.

Теорема 2.2.1. Пусть Е) = Лр(и) — пространство Лоренца, см. (13), (5), (30)- (32) и Н^ ) пространство обобщенных бесселевых потенциалов, см. (1);

ф(т) = ф((^т^)")' т Е(0,Г); Т = УпЯп;

ф(т) = С*(т); т >Т. (33)

Кроме того, мы предполагаем, что верна оценка (25), ядро С удовлетворяет предположениям Теоремы 1.2.1 и

Бир < ф(т)ёт > < те, 0 <р ^ 1; (34)

?Е(0'ГЧ У«)> { J

(/(I Щ^У< - 1 <'< - ' = 7-1 ■ (35)

1 ^ ^ ' Р

< те, 1 < Р < те, р = -

Р~ 1

00

Тогда верны следующие утверждения:

1. и Е С(^п);

2. Если 0 < р ^ 1, то существует с3 Е такое, что при 0 <1 <Т

шС(М") ^ съАра)\\и\\нОАР),, (36)

где

Ap(t) = sup i ——-f i Ф(т)ёЛ. (37)

I V(QP { J

3. Если 1 < p < oo, то существует c4 E R+ такое, что при 0 < t < T

и;?") < C4Dp(t)\\u\\Hop^, (38)

где

\ p' / t \pj

я (0 =

/(/ W + (1 «^У FW-'

0 0 0

(39)

0 х0 7 х0 Параграф 2.3. Доказаны теоремы об оценке аппроксимативных чисел оператора вложения пространства потенциалов в пространство непрерывных функций.

Определение 2.3.1. [18] Для (квази)нормированного функционального пространства X на с X ^ С, его оболочкой модулей непрерывности IX : (0,го) ^ (0,го] назовем функцию

^(0= sup ^^Jl, t> 0, (40)

х<1 t

где ш( f,t) = sup sup |( f + h) - f(x)|, t > 0.

|h|<i x ER"

Определение 2.3.2. [18] Мы также можем определить мажорантную функцию

ех(t) = tEX(0= sup ш(/,t), t ^ 0, (41)

\\f\\x <1

неотрицательная, монотонно возрастающая функция. Кроме того, можно также рассмотреть оболочку модулей гладкости, адаптированную к модулям гладкости более высокого порядка,

шк ( f t)

Iх (0 = sup c ' = t~keX(t), t ^ 0, k E N. (42)

' \\Лк <1 tk

В частности, мы обозначаем = ¿X. Мы хотим сосредоточиться на связи между оболочками непрерывности и аппроксимативными числами компактных вложений. Напомним вкратце это понятие.

Определение 2.3.3. [18] Пусть Аь А2 — два банаховых пространства и пусть Т Е Ь(А1,А2) —линейный и непрерывный оператор из А1 в А2. Аппроксимативные числа оператора Т определяются выражением:

ат = м{ ЦТ - 5Ц : 5 Е Ь(А1,А2), гапк5 < т}. (43)

Пусть теперь П с некоторая ограниченная область, X — некоторое функциональное пространство на , а X(П) — сужение X) на П. Предположим, что X(П) ^ С(П). Тогда существует с > 0 такое, что для всех т Е 141, см. [18; 19]

а^й : X(П) ^ С(П)) ^ ст-«^¿(т'«)- (44)

Теорема 2.3.1. Пусть Е = Ар(и) — пространство Лоренца и П с — некоторая ограниченная область. Здесь мы сохраняем введенные выше обозначения и предполагаем, что выполнены условия Теоремы 2.2.1. Тогда, есть следующие оценки.

1. Если 0 < р ^ 1, то существует с0 Е такое, что

ат+1(гй : Я°Е(П) ^ С(П)) ^ ^(т-1); (45)

2. Если 1 < р < те, то существует сх Е такое, что

ат+^1 А : н%(П) ^ С(П)) ^ с^(т-1). (46)

Основные результаты второй главы опубликованы в работах [20; 21] из списка публикаций автора по теме диссертации.

В Главе 3 установлены условия локализации у-средних спектрального разложения обобщенного потенциала Бесселя в случае базовых весовых пространств Лоренца.

В третьей главе исследуются свойства спектральных разложений обобщенных потенциалов Бесселя-Рисса в ряды по собственным функциям оператора Лапласа в произвольных областях многомерного евклидова пространства. Установлен критерий квадратичной суммируемости потенциалов, который необходим для построения разложений. Исследованы условия локализации спектральных разложений. Их выполнение основано на оценках, связывающих установленные ранее свойства равномерных модулей непрерывности потенциалов с функциональными характеристиками метода суммирования спектральных разложений. Рассмотренный метод суммирования существенно обобщает классический метод средних Рисса.

Параграф 3.1. Обоснование свойств локализации.

Пусть мерное евклидово пространство и при 1 ^ р ^ то через Ьр(ип) обозначается пространство Лебега с нормой

ьм»)

/ | ДхЖ ^ ; 1 < то;

е88 8ир{ |/( х )|}; р = то.

(47)

________А

Пусть Т7 с — произвольная область, (-Д) — произвольное самосопряженное неотрицательное расширение оператора Лапласа в п-мерной области Т7, х,? ) — упорядоченное спектральное представление пространства

А

Х2(Т7) относительно (-Д), ёр(0 — соответствующая спектральная мера, а {у1(х,0}™=1 — система собственных функций. Таким образом, при любом

фиксированном ? ^ 0,

у+х) Е Сте(70 П ^(П Ау(х) + г2у(х) = 0, X Е Р. (48)

Здесь т ^ те — кратность представления. Для каждого и Е Т2(Т7) определены преобразования Фурье

и : = {й;(0}т=1,",-(0= / "(*)^№,

и спектральное разложение по системе у(х,0 := {.у;(х,

т

Ц

и ,х) = у и а Ж X ^) ёр( О, Ц > 0, (49)

0

т

иу = 2а

г=1

Пусть ^ > 0 и ф — функция на (0,1] со свойствами: 0 < ф | при (0,1] и ф( I) = ф(т), если I = т. Кроме того, для 5 > 0 положим 50 = 5 если 5 ^ 1; 0 = 1 , если > 1 и потребуем, чтобы

1. ф50(г) = ! т50-1ф(т) ёт < те, 1Е (0,1];

те, X Е (0,1]; (50)

2. ф Е С2(0,1); ф'(т) < сф(т)т-1, ф(т)'' < сф(т)т-2; (51)

т Е (0,1],

1

3. !(1 - т)5-1ф(т) ёт = Г( 5 ). (52)

0

Определим у как 5 -й интеграл Римана-Лиувилля.

у(0 = !С - т)5-1Ф(т)ёт, х Е (0,1]. (53)

0

Введем у-средние спектрального разложения как

Ц

аЦ( и,х) = ! й( х^1 - Ц2) ёР( 0, Ц > 0, (54)

0

для и Е Ня). Мы видим, что у(1) = 1 и если Мт) = Г(5 +1), т Е (0,1], у(0 = ? то у-средние сводятся к классическим средним Рисса порядка 5, см. [4] и [5].

Мы определяем

п-1 .

Ш0(° = ^' (Е(0'1]'

Пусть а, в ^ 0 такие, что

п — 2^п .Г 3 п л\ —2--s < а ^ ß < min j а +2, 2 J'

Пусть функция ш удовлетворяет условиям

ш Е С[0,1], ш(0Га t, w(0rß | на (0,1],

lim = 0'

ш0( t)

Параграф 3.2. Необходимые и достаточные условия для вложения пространства потенциалов в пространство L2(Rn). Определение 3.2.1. Пусть к, п Е N; R Е R+. Говорят, что функция Ф принадлежит классу %kn(R), если она удовлетворяет следующим условиям:

1. 0 < Ф 4 on (0,R); З с Е R+ такой, что

г ж

j Ф(р)р"-1 dp ^ с Ф( r)rn, г Е (0,R); J Ф(р)ри-1 dp < ж

0 R

2. G(x) : = Ф(|х|) Е С\{0|), и для

Gk(x) := X l^aG(x)|, хЕ Rn\{0|,

|а| = к

справедлива оценка: для некоторых с1 Е R+

IGk(x)| ^ с^(|х|), х Е Rn\{0|;

где ¥ к Е С(R+), Т = VnRn

Фк (т) : = ¥ Л (£)" ) < т- */n ф(т), т Е (0,Т ];

ter)

ж

j Фк(т) ёт < ж.

Теорема 3.2.1. Пусть выполнены обозначения и предположения (1), (2), (13), и в(х) = Ф(|х|) Е Ь1(ип), Ф(|х|) Е 3Кп(К), Г(те) = те и более того

Bp : = sup

■ i

tW(t)p : tE < ж, 0 <p ^ 2;

ж

1 -1V V ( t)dt\s 2p

^ ( f\ Г v( t) d А

Bp :=( /['2FH w)

< ж, 2 < p < ж, 5 =

p-2

•0

Тогда для E(^n) = Лр(и) имеется вложение пространства обобщенных

бесселевых потенциалов

Н%(^n) С L2(Rn).

Параграф 3.3. Сформулируем результат об условиях локализации у-средних спектрального разложения обобщенного потенциала Бесселя в случае базовых весовых пространств Лоренца.

Пусть (^n) — пространство обобщенных Бесселевых потенциалов с E(^n) = Лр(и). Мы полагаем, что справедливы обозначения и предположения Теоремы 2.2.1 и параграфа 2.2.

Теорема 3.3.1. Пусть выполнены условия Теоремы 3.2.1 и пусть D, F — области в , и D СС F.

Ap(tn) Dp(tn) lim-= 0; при 0 < p ^ 1, lim-= 0; при 1 < p < ж,

t^+0 Ш0(0 t^+0 Ш0(0

n-1 . t~+s0-s

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хамадех Альхалиль Нисрин, 2022 год

Список литературы

1. Bennett C., Sharpley R. Interpolation of operators. — New York : Acad. Press, 1988.

2. Nikolsky S. M. Approximation of functions of several variables and imbedding theorems. — Moscow : Science, 1977.

3. Мазъя В. Г. Пространства Соболева. — Л. : Издательство ЛГУ, 1985.

4. Win V. A., Alimov S. A. Conditions for the convergence of spectral decompositions that correspond to self-adjoint extensions of elliptic operators. I, II // Differentsial'nye Uravneniya. — 1971. — Vol. 7. — P. 670—710, 851-882.

5. Goldman M. L., Ayele T. Spaces of generalized smoothness in summa-bility problems for Ф-means of spectral decomposition // Eurasian Math. Journal. —2014. — Vol. 5, no. 1. — P. 61—81.

6. Caetano A., Moura S. Local growth envelopes of spaces of generalized smoothness: the critical case // Math. Inequal. Appl. — 2004. — Vol. 7. — P. 573—606.

7. Goldman M. L. Rearrangement invariant envelopes of generalized Sobolev and Calderon spaces //. Vol. 424. — 2007. — P. 53—81.

8. Goldman M. L., Heinig H., Stepanov V. On the principle of duality in Lorentz spaces // Canad. J. Math. — 1996. — Vol. 48. — P. 959—979.

9. Goldman M., Kerman R. On the optimal embedding of Calderon spaces and of generalized Besov spaces // Proceedings of the Mathematical Institute V. A. Steklov. — 2003. — Vol. 243, no. 4. — P. 154—184.

10. Goldman M., Kerman R. On the rearrangement-invariant hull of the Calderon space // Dokl. Akad. Nauk. — 2003. — Vol. 392. — P. 155—159.

11. Goldman M., Malysheva A., Haroske D. Estimates of the uniform modulus of continuity for Bessel potentials // Dokl. Akad. Nauk. — 2013. — Vol. 450. — in Russian.

12. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. — М. : Наука, 1978. — 400 с.

13. Goldman M. Some constructive criteria of optimal embeddings for potentials // Complex Variables and Elliptic Equations. — 2011. — Vol. 56, no. 10/11.-P. 1-19.

14. Гольдман М. Л. Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. - 2010. - Т. 269. - С. 91—111.

15. Гольдман М. Л., Малышева А. В. Об оценке равномерного модуля непрывности обобщенного потенциала Бесселя // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. — 2013. — Т. 283. — С. 1—12.

16. Альхалиль Н. Х., Алмохаммад Х. Дифференциальные свойства обобщённых потенциалов типа Бесселя и типа Рисса // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2018. — Т. 26, № 1. — С. 3-12.

17. Sawyer E. Boundedness of classical operators on classical Lorentz spaces // Studia Math. — 1990. — Vol. 96. — P. 145—158.

18. Akhieser N. I. Vorlesungen über Approximations Theorie. — Berlin, German: Akademie-Verlag, 1953.

19. Haroske D. Envelopes and Sharp Embeddings of Function Spaces // CRC Research Notes in Mathematics. Vol. 437. — Boca Raton, FL : Chapman & Hall/CRC, 2007.

20. Alkhalil N.Estimates for continuity envelopes and approximation numbers of Generalized Bessel potentials over Lorentz space // Annals of R.S.C.B. - 2021. - Vol. 25, no. 2. - P. 1201-1206.

21. Alkhalil N. H. Modulus of continuity for Bessel type potentials over Lorentz space // Eurasian Math. J. — 2021. — Vol. 12, no. 2. — P. 10—18.

22. Goldman M., Alkhalil N. On Spectral Decomposition of Generalized Bessel Potentials // Advances in Systems Science and Applications. — 2020. - Vol. 21, no. 3. - P. 22-30.

23. Алъхалилъ Н. Х., Алмохаммад Х. Интегральные свойства обобщённых потенциалов типа Бесселя и типа Рисса // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2017. — Т. 25, № 4. — С. 340-349.

24. Gogatishvili A., Johansson M., Okpoti C. A., Persson L. E. Characterization of embeddings in Lorentz spaces using a method of discretization and anti-discretization // Bull. Austral. Math. Soc. — 2007. — Vol. 76. — P. 69-92.

25. Голъдман М. Л., Малышева А. В., Хароске Д. Оценка равномерного модуля непрерывности для потенциалов Бесселя // Доклады Академии наук. — 2013. — Т. 450, № 2. — С. 143.

26. Goldman M. L., Haroske D. Optimal Calderon spaces for generalized Bessel potentials // Doklady Mathematics. — 2015. — Vol. 492, no. 1. — P. 404—407.

27. Burenkov V. I., Goldman M. L. Calculation of the norm of a positive operator on the cone of monotone functions // Proc. of the Steklov Inst. Math. Vol. 210. - 1995. - P. 65-89.

28. Goldman M. L., Haroske D. Estimates for continuity envelopes and approximation numbers of Bessel potentials // Journal of Approximation Theory. — 2013. — Vol. 172. — P. 58—85.

29. Stechkin S. On the order of the best approximations of continuous functions //Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. - 1951. - Vol. 15. -P. 219-242.

30. Erdelyi H. A., Bateman H. Vishye trantsedentnye funktsi. Funktsi Be-selya, funktsi parabolichskogo tsilindra, ortogonalhye mnogochlene. — Moscow : Nauka, 1966. — 295 p.

31. Erdelyi H. A., Bateman H. Tables of integral transforms. Bessel transforms. Integrals of special functions. V. 2. — Moscow : Nauka, 1970. — 327 p.

32. Goldman M. Hardy-type inequalities on the cone of quasi monotone functions // Russian Academy of Sciences, Far-Eastern Branch, Research Report 98/31. - 1998. - P. 1-70.

33. Гольдман М. Л. Перестановочно инвариантные оболочки обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса // ДАН. — 2008. — Т. 423, № 1. — С. 14-18.

34. Гольдман М. Л., Энрикес Ф. Описание перестановочно инвариантной оболочки анизотропного пространства Кальдерона. — 2005.

35. Netrusov Y. V. Embedding Theorems spaces Lizorkina-crops in Ukraine // Zap. scientific. SEM. LOMI. — 1987. — Vol. 159. — P. 103—112.

36. Goldman M. L., Tsegaye G. A. Spaces with Generalized Smoothness in Summability Problems for Ф-means of Spectral Decompositions. — Switzerland : Springer International Publishing, 2015. — P. 163—169.

37. Малышева А. В. Оптимальные вложения обобщённых потенциалов Рисса // Вестник РУДН. «Серия Математика. Информатика. Физика». — 2013. — № 2. — С. 28—37.

38. O'Neil R. Convolution operators and L(p,q) spaces // Duke Math. J. — 1963. - Vol. 30. - P. 129-142.

39. Goldman M. L. On the cones of rearrangements for generalized Bessel and Riesz potentials // Complex Variables and Elliptic Equations. — 2010.

40. Caetano A. About approximation numbers in function spaces // J. Approx. Theory. — 1998. — Vol. 94. — P. 383—395.

41. Caetano A., Moura S. Local growth envelopes of spaces of generalized smoothness: the subcritical case // Math. Nachr. — 2004. — Vol. 273. — P. 43—57.

42. Нетрусов Ю. В. Теоремы вложения пространств Лизоркина-Трибеля // Записки научных семинаров ЛОМИ. — 1987. — Т. 159. — С. 103-112.

43. Нетрусов Ю. В. Теоремы вложения пространств Бесова в идеальные пространства // Записки научных семинаров ЛОМИ. — 1987. — Т. 159.-С. 69-82.

44. Голъдман М. Л., Малышева А. В. Двусторонняя оценка модуля непрерывности свертки // Дифференциальные уравнения. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 585—596.

45. Гольдман М. Л. Конус перестановок для обобщенных бесселевых потенциалов // Труды Матем. Ин-та им. В.А. Стеклова РАН. — 2008. — Т. 260.-С. 151-163.

46. Goldman M. L. Integral properties of generalized Bessel potentials // Dokl. Math. — 2007. — Vol. 75, no. 3. — P. 361—366.

47. Goldman M. L. On optimal embeddings of the generalized Bessel and Riesz potentials // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 2010.— Vol. 269. —P. 91—111. —in Russian.

48. Haroske D. Limiting embeddings, entropy numbers and envelopes in function spaces. — Jena, Germany : Habilitationsschrift, Friedrich-SchillerUniversität, 2002.

49. Goldman M. L., Tsegaye G. A. Spaces with Generalized Smoothness in Summability Problems for Ф-means of Spectral Decompositions. — Switzerland : Springer International Publishing, 2015. — P. 163—169.

50. Goldman M. L. Hardy-type inequalities on the cone of quasimonotone functions // Russian Academy of Sciences, Far-Eastern Branch. — 1998.

51. Almohammad K. The Modular Inequalities for Hardy-type Operators on Monotone Functions in Orlicz Space // Advances in Systems Science and Applications. — 2020. — Vol. 21, no. 2. — P. 133—141.

52. Kerman R., Pick L. Optimal Sobolev imbeddings // Forum Math. — 2006. — Vol. 18. — P. 535—570.

53. Kerman R., Pick L. Compactness of Sobolev imbeddings involving rearrangement-invariant norms // Studia Math. — 2008. — Vol. 186. — P. 127-160.

54. Kolyada V. Rearrangements of functions and embedding theorems // Russian Math. Surveys. — 1989. — Vol. 44, no. 5. — P. 73—117.

55. Kolyada V. On the differential properties of the rearrangements of functions // Progress in Approximation Theory. — New York, 1992. — Vol. 19.-P. 333-352.

56. Kolyada V. Rearrangements of functions and embedding of anisotropic spaces of Sobolev type // East J. Approx. — 1998. — Vol. 4. — P. 111—199.

57. Lebesgue H. Sur les integrales singulieeres // Ann. Fac. Sci. Toulouse Sci. Math. Sci. Phys. — 1909. — Т. 3, № 1. — С. 25—117.

58. Neves J.Lorentz-Karamata spaces, Bessel and Riesz potentials and embeddings // Math. (Rozprawy Mat.) — 2002. — Vol. 405. — P. 46.

59. Goldman M. L. Local growth envelopes and optimal embeddings of generalized Sobolev spaces // Dokl. Math. — 2006. — Vol. 74. — P. 692—695.

60. Skrzypczak L. On approximation numbers of Sobolev embeddings of weighted function spaces // J. Approx. Theory. — 2005. — Vol. 136. — P. 91-107.

61. Triebel H. The Structure of Functions. — Basel: Birkhauser, 2001.

62. Gogatishvili A., Pick L. D. Discretization and anti-discretization of rearrangement-invariant norms // Publ. Mat., Bare. — 2003. — Vol. 47, no. 2.—P. 311—358.

63. Goldman M. L. On imbedding generalized spaces in Lorentz spaces // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 1987. — Vol. 172. — P. 143-154.

64. Alkhalil ^Дифференциальные свойства обобщённых потенциалов типа Бесселя // 8th International Scientific Conference «Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis VIII». — 2018. — С. 31—32.

65. Альхалиль Х. Н. Об оценке равномерного модуля непрерывности потенциала для локализации у-средних его спектрального разложени-яоб оценке равномерного модуля непрерывности потенциала для локализации у-средних его спектрального разложения // Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2019». — М. : Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 2019.

66. Алмохаммад Х., Альхалиль Н. Х. Условия локализации спектральных разложений для обобщённых потенциалов Бесселя // 9th International Scientific Conference «Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis IX». — Rostov-on-Don, 04.2019. —С. 74-75.

67. Алмохаммад Х., Альхалиль Н.Х. О свойствах потенциалов типа Рисса на базе пространств Орлича-Лоренца // 9th International Scientific Conference «Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis IX». — Rostov-on-Don, 04.2019. — С. 30-31.

68. Алмохаммад Х., Альхалиль Н. Х. Оценка равномерного модуля непрерывности обобщенного потенциала Бесселя // Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2020 «XXXI Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам». — Симферополь, 04.2020. — С. 7—8.

69. Алъхалжъ Х. Н. Оценки равномерных модулей непрерывности в пространстве потенциалов // Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2020». — М. : Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 2020.

70. Алъхалилъ Х. Н. Оценка равномерного модуля непрерывности обобщенного потенциала Бесселя на весовых пространствах Лоренца // Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2021». — М. : Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 2021.