Оптимальные вложения и двусторонние оценки модуля непрерывности для пространств обобщенных потенциалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Малышева, Анастасия Владимировна

• Малышева, Анастасия Владимировна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Малышева, Анастасия Владимировна

Содержание

Введение

1 Основные понятия и обозначения

1.1 Банаховы функциональные пространства (БФП)

1.2 Ассоциированное пространство

1.3 Функции распределения и убывающие перестановки

1.4 Максимальная функция

1.5 Перестановочно инвариантные пространства (ПИП)

1.6 Сферическая перестановка

1.7 Конечные разности и модули непрерывности

2 Пространство потенциалов, ядра представления, интегральные свойства потенциалов

2.1 Пространство потенциалов

2.2 Два типа условий на ядра представления

2.3 Эквивалентные описания конусов перестановок

2.4 Интегральные свойства потенциалов

2.5 Оптимальное ПИП для конусов убывающих функций

2.6 Доказательство теоремы 2.6 для обобщенных потенциалов Рисса

3 Оптимальные условия вложения пространства потенциалов типа Рисса

3.1 Оптимальные условия вложения при 1 < р < оо

3.2 Оптимальные условия вложения при р = оо

4 Оценка сверху модуля непрерывности свёртки

4.1 Основные оценки сверху модуля непрерывности свёртки

4.2 Оценка сверху модуля непрерывности свёртки на классе радиально-симметричных ядер

5 Оценка снизу для модуля непрерывности свёртки

5.1 Оценка снизу для модуля непрерывности свёртки на классе радиально-симметричных ядер

5.2 Двусторонняя оценка модуля непрерывности для потенциалов Бесселя

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальные вложения и двусторонние оценки модуля непрерывности для пространств обобщенных потенциалов»

Введение.

Теория классических потенциалов Бесселя является важным разделом общей теории пространств дифференцируемых функций дробной гладкости и ее приложений в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Свойства классических ядер Бесселя-Макдональда подробно изучены в книгах С.М. Никольского [2] и И. Стейна [3]. Классические ядра отвечают операциям дробного интегрирования и характеризуются наличием особенности степенного типа.

Лиувиллевские классы Ьтр (Мп), построение которых основывается на клас-сичечких ядрах Бесселя-Макдональда, при целых показателях гладкости пространства совпадают с пространствами Соболева (К"), а при дробных значениях г представляют собой естественное продолжение соболевских классов.

Теория таких пространств, ее приложений, в том числе теория вложения пространств классических потенциалов, получили развитие в работах многих математиков, особенно стоит отметить исследования следующих выдающихся авторов: С.Л. Соболев, С.М. Никольский [2,15], О.В. Бесов [15], В.И. Буренков [18], Л.Д. Кудрявцев, П.И. Лизоркин, Ю.Г. Решетняк, П.Л. Ульянов, Л. Хёр-мандер, И. Стейн [3], В.Г. Мазья [4], а также многие другие специалисты в области математического анализа, теории уравнений в частных производных. Также отметим работы В.И. Буренкова, А.В. Бухвалова, М.Л. Гольдмана, Г.А. Калябина, В.И. Коляды, Ю.В. Нетрусова, А. Гогатишвили, Х.-Г. Леопольда и др., в чьих трудах в последние десятилетия теория пространств была обогащена развитием теории пространств обобщенной гладкости.

Здесь мы изучаем обобщения ядер Бесселя-Макдональда. В отличие от классического случая, в них допускаются нестепенные особенности ядер в окрестности начала координат, а их поведение на бесконечности связано только с условием интегрируемости, и, таким образом, в рассмотрение включены также ядра с компактным носителем. И, значит, такое обобщение будет охватывать более общие функции оператора диференцирования, уже необязательно только степенного типа. Заметим, что такие обобщения дают при описании дифференциальных свойств функции большую гибкость, кроме того, в тех ситуациях, когда классические потенциалы не дают результатов, подобные обобщения доставляют содержательные ответы и теоремы вложения пространств.

Мы изучаем пространство потенциалов на п,-мерном евклидовом пространстве, которые построены на основе перестановочно-инвариантных про-

странств (ПИП) с помощью светрок с ядрами общего вида, в это рассмотрение включаются пространства классических потенциалов Бесселя и Рисса.

Цель работы состоит в изучении дифференциальных свойств обобщенных потенциалов Бесселя в случае вложения в пространство непрерывных функций. Эти свойства характеризуются с помощью модулей непрерывости любых порядков в равномерной норме. Также изучены интегральные свойства обобщенных потенциалов Рисса, для них установлены условия вложения пространств потенциалов в перестановочно-инвариантные пространства, кроме того, описаны оптимальные перестановочно-инвариантных пространств для таких вложений, в случае, когда в качестве "базовых перестановочно-инвариантных пространств"используются пространства Лоренца с общим весом.

В первой главе в краткой форме даны основные понятия, сформулировы известные результаты, которые используются в работе.

Во второй главе более подробно описано пространство потенциалов Н^ (Кп) на п-мерном евклидовом пространстве:

где Е (К™) - перестановочно-инвариантное пространство. При этом используется аксиоматика, введенная авторами К.Беннет и Р.Шарпли [1]. В частности, Е' = Е' (М") - ассоциированное ПИП, т.е. ПИП с нормой:

Для ПИП Е (К") и Е' (К71) рассмотрим пространства Ё = Ё (М+), Ё' = Ё' (М+) - их представления Люксембурга, т. е. ПИП, для которых выполнены следующие соотношения:

где /* - убывающая перестановка функции /, т.е. неотрицательная, убывающая, непрерывная справа функция на М+ = (0, оо), равноизмеримая с /:

п% (1Г) = {и = С*/:/е Е(Шп)},

№ = н/ъ, ме' = \\9*\\ё

Ип{х е М" : |/(у)| >у} = 6 м+ : |Г(*)| > у}, У £ М+.

Введем понятие максимальной функции:

о

Введем класс монотонных функций Зп(оо) следующим образом: функция Ф : (О, оо) —> М+ 6 Зп(оо), если выполнены следующие условия:

1) Ф убывает и непрерывна на (0, оо);

2) существует постоянная с € К+, такая что

г

£ (Ъ/ ,Л „П-1,

Ф(р)рп~Чр < с ■ Ф(г)гп, г > 0.

о

Обобщенными потенциалами типа Рисса мы будем называть потенциалы, построенные с помощью ядер С, таких что С(х) = Ф(р),р = |ж[ € М+.

Классические потенциалы Рисса получим при Ф(р) = ра~п, 0 < а < п.

В этой главе мы формулируем результаты, полученные в работах М.Л. Гольдмана [6,7,8,26], в которых установлены критерии вложений обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса в различные перестановочно-инвариантные пространства, которыми будем пользоваться при доказательстве результатов в третьей главе.

Важную роль при этом играет оператор типа Харди ЭТ^оо : Е (Ш+) —> X (К+), определенный на положительной полуоси следующим образом:

оо

^Ф,оо[зШ) = I /ф(г,т)д(т)с1т,гдедеЁ(Ш+), о

где и(1,т) = гшп{ф(1),ф(т)}, ф(т) = Ф

Оптимальным перестановочно-инвариантным пространством для вложения 11% (М") С Х(МП) называют такое ПИП Х0 = Х0(МП), что Н% (Мп) С Х(ЕП) справедливо при X = Хо, и если для некоторого ПИП X имеет место вложение (Еп) С то Х0 С X.

Теорема. (М.Л. Гольдман [7])

Для обобщенных потенциалов Рисса вложение (Мп) С Х(МП) эквивалентно ограниченности оператора Кроме того, оптимальное ПИП для вложения Яд (Еп) С Х(МП) имеет норму:

Х0(К+) — 8иР *

I ГдЧ1 : д е Ь0(М+); П^соИИ^) < 1 ко

Здесь 1/о (М+) означает множество измеримых и почти всюду конечных на М+ функций.

В третьей главе мы получаем условия вложения пространств потенциалов типа Рисса, когда в качестве "базового пространства"выступают пространства Лоренца Ар(и), 1 < р < оо с некоторым общим весом 0 < н £

¿^(М.).), т.е. пространства с нормой

(J f*P(t)u(t)dt )" , 1 < р < оо;

11/11лр(«) =

ess su] V ie(ov

sup {f*(t)u(t)}, p = oo. ■oo)

Также описаны оптимальные перестановочно-инвариантные пространства, в которые вложены потенциалы. Заметим, что критерии вложения, когда в качестве "базовых пространств"используются пространства Lp, 1 < р < оо, установленный авторами M.J1. Гольдманом и О.М. Гусельниковой [28], согласуется с результатами данной главы, в которой мы рассматриваем пространство с весом 0 < и Е Ll10C(R+) и для которого мы устанавливаем следующие результаты:

Теорема А.

Пусть 1<р<оо,± + ^ = 1, Положим,

t , / t U(t) = J u(r)dT, v\{t) = t2PfJ^(t\vi(t) = J vi(r)dr.

о 0

Кроме того, пусть

r>o\J и* [I) / \J &>uf(t) /

Тогда оптимальное ПИП для вложения Ядр^(Еп) С Х(МП) имеет норму

(ОО \ р

I rr(t)Wl(t)dt\ ,

где

оо

tp+p'-iv^t) f T-r'vii^dr

wiW = 7-ST-\p+r-

Vi(t) + V fT-fviWdr)

t J

Теорема В. Положим,

t

v2(t) = m) V2{t) = [ v(r)dr.

ess sup u(s) J

0<s<t

Кроме того, пусть

B2 = sup I f-——гт I " ess SUP i - • ess sup u(s) \ < oo.

r>o I J ess sup u(s) i te(r,oo) {t o<s<t J \o о<s<t J

Тогда оптимальное ПИП для вложения Яд^^М") с имеет норму

ll/llxo(R+) - ll/llr-iwj) = ess sup {f**(t)u2(t)},

0<t<oo

где

u2(t) = sup

В четвертой и пятой главах рассмотрен случай, когда пространство потенциалов вложено в С (Мп). Устанавливаются двусторонние оценки модулей непрерывности свертки в С (Мп), а также приводится описание общего класса радиально-симметричных ядер, на котором имеют место двусторонние оценки модулей непрерывности свертки.

Здесь мы рассматриваем свертку

и(х) = J G(x — y)f(y)dy

н™

измеримой конечной почти всюду функции / : R" 4 R с ядром G G L](M"), G ф 0. Свойства гладкости свертки описываем в терминах ее модуля непрерывности порядка к G N в норме C(Rn):

t4(u;r) = sup ||ДМГГ_П. ,r G Ш+ = (0, оо).

|Л|<г " '1С(Г)

В четвертой главе мы описываем класс радиально-симметричных ядер

С(х) = Ф(|а;|),хеЁп,

для которых для свертки и = (7 * / имеет место оценка сверху модуля непрерывности любого порядка к & N.

При этом мы будем считать, что функция Ф : М+ —» [0, оо) удовлетворяет условиям

I

оо

Ф|;0 < j \<S>(z)\zn~ldz < оо. о

Обозначим

Фг(г)= = {0,1,2,...}.

Пусть 0,1, € Ж._)_; А: 6 N. Через Вк{г\,а\) обозначим класс функций Ф е +), таких что

гшк [г21 |Ф,(*)|] < а1Ф(г), 2 6 (0, гг).

Пусть г\ £ М+, Ф1 : [г\, оо) -> [0, оо), такая что:

оо

Фх и фх(2 + 0) = Ф^я), 2 е [ги оо), J ^!(г)гп-Чг < оо.

¿1

Через Ок{гьФх) обозначим класс функций Ф £ СА:(М+), таких что

тах [г21 |Фг(г)|] < 2*^1(2), г >

Сформулируем основной результат данной главы, при этом считаем, что функции Ф и Ф, такие как определено выше. Теорема С.

Пусть й(х) = Ф(|.т|), х Е К™, где Ф е Вк(гх, ах) П Ок(хх, Фх). Тогда, для любой функции / £ ЛДО, Т\) с весовой функцией ф(т) = Ф и = К,2",

свертка и = С * / непрерывна, ограничена, и для любого Т £ М+ справедлива оценка

т Г -- "

Ф(т)Г(т)йт, í е (0,Т], с: = С1(Т).

г п + £ "

о ь

В пятой главе мы описываем класс радиально-симметричных ядер, для которых имеет место оценка снизу модуля непрерывности свёртки.

Через Ек(го, 50), го, ¿о £ е N обозначим класс функций Ф £ Ск (]&+), для которых

(-1)*ф№>(2) > 60г~кФ(г),г£ (0,го).

Основной результат данной главы заключается в следующем утверждении, при этом функция Ф : К+ —> [0, оо) удовлетворяет условиям

/ ,к ис

1

(и;^ < сх J

оо

Ф 0 < J \Ф{г)\гп~Чг

< оо.

Теорема Б.

Пусть <?(х) = Ф(|ж|),х € М", где Ф е Ек{г0,50)р[Вк{г0,а0). Пусть Т £ М+ и функция а : М+ —)■ [0, оо) удовлетворяет условиям

0 < а I] а(т + 0) = <т(т), г € (0, Т);а(т) = 0, г > Т т

У фа < оо, о

где ф(т) = Ф ( (рН " ) • Тогда существует функция /о : Кп —> М, такая что

а для свертки щ = С * /о при Ь Е (0,Т] справедлива оценка с постоянной сТ = ст(60, ¿>ь а0, к, п) е К+

Оценки сверху модулей непрерывности свертки, приведенные в главе 4, и оценки снизу, приведенные в главе 5, получены при различных условиях на ядра свертки. Существует, однако, достаточно широкий класс радиально -симметричных ядер, к которым применимы одновременно результаты обоих разделов, для сверток функций с ядрами данного класса мы получаем, таким образом, двусторонние оценки модулей непрерывности. Мы показываем, что классические ядра Бесселя - Макдональда Са принадлежат указанному классу. Таким образом, результаты применимы к этим ядрам и дают, в частности, двусторонние оценки модулей непрерывности классических потенциалов Бесселя, полученные ранее для модулей непрерывности порядков к > а в работе авторов А. Гогатишвили, Дж. Невес, Б. Опиц [32], и для модулей непрерывности любых порядков в [33].

Мы применяем все приведенные выше результаты, учитывая в них, что ф(т) = г»-1, г е (О, Т]. Здесь а € (0, п) - параметр ядер Са Бесселя-Макдональда.

При к > а оценка упрощается до вида, полученного ранее в [32]: при £ е

Ш<я(т),теш+,

о

(0,Т]

о

о

1 Основные понятия и обозначения.

В данном разделе приводятся известные понятия банаховых функциональных пространств (кратко БФП), ассоциированных к ним пространств, перестановочно инвариантных пространств (кратко ПИП), а также некоторые другие понятия и результаты, которыми мы будем использовать в данной работе в дальнейшем.

1.1 Банаховы функциональные пространства (БФП).

При работе с банаховыми функциональными пространствами мы будем пользоваться аксиоматикой, которая было введена в книге о вещественном методе интерполяции пространств авторами К. Беннетом и Р. Шарпли [1].

Пусть (R™,/х) - измеримое пространство, ц - сг-конечная, сг-аддитивная, полная неотрицательная мера. M - множество измеримых функций / : К" —> R; М+ - множество измеримых функций / : Rra [0, оо] ; М0 - множество измеримых функций /, таких что |/| < оо почти всюду; Обозначим Mq = М0 П М+.

Определение 1.1.

Отображение р : Mo —>■ [0, оо] называется банаховой функциональной нормой, если для любых функций /, д, /п, (га = 1,2,3...), из М+, для любой константы а > 0 и для всех /^-измеримых подмножеств Е из R™ выполнены следующие свойства:

(i) p(f) = 0&f = 0 почти всюду; p(af) = ор(/); p(f + g) < p{f) + p(g)

(ii) 0<g<f почти всюду p(g) < p(f)

(iii) 0 < /„ t / почти всюду p(fn) t pU)

(iv) ц(Е) < oo => p(xe) < °°

(v) ft(E) < оо => существует некоторая конечная ненулевая константа се, зависящая от Е и р и независящая от /, такая что f ¡dp < C£p{f)-

е

Определение 1.2.

Пусть р - функциональная норма. Множество X = Х(р) всех функций / G M, для которых р(|/|) < оо называется банаховым функциональным

пространством (далее кратко БФП), при этом норма задется следующим образом: ||/||х = р(|/|).

Теорема 1.1. Пусть р - функциональная норма. X = Х(р) - БФП. Тогда X - линейное банахово пространство со следующими свойствами:

(i) пусть / G Х,д е М, такие что \д\ < |/|, тогда дЕХ, и \\д\\х < \\f\\x

(ii) пусть 0 < fm t /, fm^X, тогда если / е X ||/m|| t \\f\\x,

если / (£ X => ||/т|| t оо

(iii) пусть /т£Х/„4 / почти всюду, liminf ||/т||х < оо

тогда / в X и при этом \\f\\x < liminf ||/то||х м

(iv) пусть / = Y. стХЕт, тогда f е X, если Vm fx(Em) < оо

т=1

(v) пусть ц(Е) < оо ^¡fdfi< cE\\í\\x Vf ex

E

(vi) fn —> f в X ==> /п —>• / по мере любого конечного подмножества.

Замечание 1.1. Пусть X - БФП, /i и /2 G X неотрицательные. Тогда верно следующее соотношение:

||/l+/2|U=||/l|U + ||/2||x.

Пример 1.1.

Будем рассматривать множество /¿-измеримых на М71 функций /. Пусть и неотрицательная локально интегрируемая функция на (0, оо), которую мы будем называть весом. Введем функцию

s

U(s) = J u(t)dt.

о

Пространством Лоренца Ар(и) с весом и называется пространство с нормой:

11/ЦА.С.) =

(Jf*r(t)u{t)d?J Р , 1 < р < оо; ess sup {f*(t)u(t)} , р = оо.

te( о,00)

Пространством Лоренца Гр(и) с весом и называется пространство с нормой:

11/11гр(«) = <

(Jrp(th(t)dty , 1 < р < оо; ess sup {f**(t)u(t)}, р = оо.

t£(0,oo)

Пространство Г°°(и) называют также пространством Марцинкевича.

1.2 Ассоциированное пространство. Определение 1.3.

Пусть р - функциональная норма, р' - ассоциированная к ней норма, которую определяют на функциях из М+ следующим образом:

Теорема 1.2. Пусть р - функциональная норма, тогда ассоциированная к ней норма р' также является функциональной нормой.

Определение 1.4.

Пусть р - функциональная норма, X = Х(р) - БФП, р' - ассоциированная к р норма, тогда соответствующее норме р' пространство Х(р') называют ассоциированным к X пространством и обозначают X' с нормой

Теорема 1.3. {Лоренц, Люксембург) Каждое БФП X совпадает с дважды ассоциированным X", другими словами:

Теорема 1.4. (Неравенство Гёлъдера) Пусть X - БФП, X' - ассоциированное к X БФП. Если / е X, д Е X', тогда /д интегрируема и выполняется неравенство:

Пример 1.2.

Если X = Lp{ 1 < р < оо), тогда X' = Lp>, где р и р' связаны соотношением

Пример 1.3.

Известно, что ассоциированными к пространствам Лоренца являются про-

11/11* = И/Их«.

странства, определяемые следующим образом (см. например [8]):

Ар(и)' = <

Г°° (ш) '

Гр' (tp'u(t)\

Л1

ess sup u(s)

0<s<t

p=l; 1 < p < oo; p = oo.

1.3 Функции распределения и убывающие перестановки. Определение 1.5.

Функцией распределения ¡л/ функции / из множества М0 называется

= ц{х € Еп : |/(ж)| > Л}, Л > 0.

Определение 1.6.

Функции / G Мо (Кп, ¡л) и д Е М0 (М™, и) называются равноизмеримыми, если VA > 0 : fif(X) = ид{\).

Утверждение 1.1. (Свойства функции распределения)

Пусть /, д, /„ (п = 1,2,3...) из М0(КП, ц), а е М+ \ {0}:

(1) /// определена на [0, оо) неотрицательная, убывающая, непрерывная справа функция

(п) < |/| почти всюду т < Цд

(Ш) ^о/(А)=м/ (я). (А>0)

(1у) /г/+д(Лх + Л2) < /х/(А0 +/^(А2), (АьА2 > 0)

(у) |/| < Нтт£\/п\ почти всюду ¡л/ < Нтш£Цгп,

п->оо П—УОо

в частности, |/„| ^ / почти всюду =Ф- ///„ |

Определение 1.7.

Убывающей перестановкой функции / мы будем называть функцию /*, которая определена на [0, оо] следующим образом:

Г(1)=Ы{ А: /х/(А) <£},*> 0.

Утверждение 1.2. (Свойства убывающих перестановок)

Пусть /, д, /„ (п = 1,2,3...) из М0(М",/х), а е М+ \ {0}:

(¡) /* - неотрицательная убывающая функция, непрерывная справа и определенная на [0, оо] (п) Ы < |/| почти всюду =>• д* < /*

(iii) (a/)* = \a\f*

H (/ + g)*{ti + t2) < f*(tx) + (tu t2 > 0)

(v) |/| < liminf |/„| почти всюду => /* < liminf/*,

n—>00 n—¥oo

в частности, |/n| | |/| почти всюду /* t /*

(vi) /*(/4/(А)) < A, (/X/(A) < 00), /*/(Г(0) < i. (/*(0 < 00)

(vii) / и /* равноизмеримы

(viii) (|/|*r = u*y-

Утверждение 1.3. Пусть / G Mo(Rn, /и), тогда

oo oo

J \f\pdn = pj Ap-V/(A)iiA = J f(t)pdt при 0 < p < 00,

R" 0 0

ess sup {|/(x)| : x 6 R"} = inf {A : fif(A) = 0} = /* (0), при p = 00.

Теорема 1.5. (Неравенство Харди-Литтлвуда) Пусть f,g G Mo(Rn,/x), тогда справедливо неравенство:

oo

J \fg\dfi < J r(s)g*(s)ds

R" 0

1.4 Максимальная функция. Определение 1.9.

Пусть / 6 Мо(К", р), тогда /** называется максимальной функцией (второй перестановкой) и определяется следующей формулой:

/"(0 = 71ГШ*, (I > о).

о

Замечание 1.2. (Экстремальное свойство максимальной функции) Если в неравенстве Харди-Литтлвуда в качестве функции д рассмотреть характеристическую функцию /¿-измеримого множества О : /х(Г2) = (£ > 0), то получим следующее:

г

^ I \f\dfi <\] Пз)йз, / € Мо(М",/г). 12 О

Таким образом, среднее значение |/| на любом множестве меры £ не превосходит среднее значение /* на интервале (0, которое, в свою очередь, является максимальной функцией.

"Утверждение 1.4. {Свойства максимальных функций)

Пусть /, д, fn (п = 1,2,3...) из Mo(R", ц), a G Е+ \ {0}:

(i) /** - неотрицательная убывающая функция, непрерывная на (0, оо)

(ii) /** = 0-» / = 0 почти всюду

(iii) /* < г

(iv) \д\ < 1/1 почти всюду д** < /**

(v) (а/У* = |а|/**

(vi) \fn\ t / почти всюду =► /** t /**

(vii) максимальная функция субаддитивна, то есть (/+g)**(t) < f**{t)+g**(t). 1.5 Перестановочно инвариантные пространства (ПИП).

Пусть р - функциональная норма над ст-конечным измеримым пространством (Шп,ц).

Определение 1.10.

Функциональную норму р называют перестановочно инвариантной, если V/, g 6 Mo", таких что д* < /*, выполнятеся неравенство р(д) < p(f).

Определение 1.11.

Соответствующее перестановочно-инвариантной норме р БФП называется перестановочно инвариантным пространством (кратко ПИП).

Замечание 1.3.

Если рассматриваемые функции fag равноизмеримы, то /* = д* и, следовательно, И/Их = II^IU-

Замечание 1.4.

БФП X является ПИП тогда и только тогда, когда для любой функции из / из X равноизмеримая с ней функция g также лежит в X.

Следствие 1.1. (Неравенство Гёлъдера) Пусть X - ПИП. Если / G X, g G X', то справедливо неравенство:

оо

II П*)9т№<№\х-\\д\\х>.

к™ о

1.6 Сферическая перестановка.

Пусть Уп - объем шара единичного радиуса в К™.

Определение 1.12. Сферической перестановкой функции / называется следующее выражение:

/#(р) = Г(КЛ

Сферическую перестановку можно рассматривать как функцию от р = \х\. Она равноизмерима с / (в смысле меры Лебега в К"), к тому же функция /#, как и /*, является неотрицательной убывающей и непрерывной справа на [0, оо).

1.7 Конечные разности и модули непрерывности.

Пусть С С М™ открытое множество и к = (/гь /г2,..., /г„) бЕ"- произвольный вектор.

Обозначим через С/г множество точек х 6 С таких, что вместе с х принадлежит к (7 также любая точка х + //г, где 0 < / < 1, т.е. любая точка отрезка, соединяющего х и х + к.

Определение 1.13. Пусть / опеределенная на С функция. Если х € С^, то имеет смысл (первая) разность

Ан/ = Ак/(х) = /(х + Ь)-Лх) функции / в точке х с (векторным) шагом к.

По индукции вводится понятие к-той разности функции / в точке х с шагом к:

Д*/ = Д*/(х) = АкА^~1/(х), (Д°/ = /, А*/ = Д„/, А:= 1,2,...). Она во всяком случае определена на множестве С^н-

Определение 1.14.

Модулем непрерывности порядка к функции / в метрике С по направлению к называется величина

2 Пространство потенциалов, ядра представления, интегральные свойства потенциалов.

В этой главе мы приводим результаты изучения пространств потенциалов, которые представлены в работах [6,7,8,26].

2.1 Пространство потенциалов.

Всюду в этой работе Е = Е(Шп) есть ПИП, Е' = Е'(Жп) - ассоциированное ПИП, а Е = Е(Ш+), Е' = Е'(Ш+) - их представления Люксембурга, т.е. такие ПИП, что

11/11* = 11/Ъ, М\е> = \\9*\\е>, (2.1)

где /* - убывающая перестановка функции /, т.е. неотрицательная, убывающая, непрерывная справа функция на Е+ = (0, оо), которая равноизмерима с /:

цп {хбГ: |/(л;)| > у} = щ {I Е Е+ : /*(*) > у] , у Е Е+. Здесь ¡л - это мера Лебега (в Еп или на К+, соответственно).

Введем пространство потенциалов Н^ = Н^(ЕП):

Н£(Е") = {и = О * / : / е Е(Ш.п)} , (2.2)

1М1н« = Ы{\\/\\е ■■ / б ефгу, с * / = и} . (2.3)

Ядро представления (7 назовем допустимым, если

веь^ж п) + Е'(Шп). (2.4)

Свертка С * / определяется как интеграл

(С */)(*) = I С(х-у)/Шу (2.5)

я™

В общем случае, для данной и Е Н^ не гарантирована единственность функции / Е Е , дающей представление С * / = и. Поэтому, в (2.3) взят инфимум по всем / ЕЕ, дающим данное представление (фактор-норма).

Теорема 2.1. Пусть О есть допустимое ядро. Тогда, интеграл (2.5) сходится для почти всех х Е Еп. Кроме того, Н^(ЕП) есть банахово пространство, причем

Н£(К„) С Е(Е") + ¿оо(М"), (2.6)

IMI-E+Loo < ll^llbi+E' IM|Hg, ие Щ. (2.7)

Замечание 2.1.

В случае допустимых ядер мы можем для потенциалов и G Н^ определить убывающие перестановки и* и

t

u**{t) = Г1 J и*(т)йт, t G R+,

о

и рассмотреть соответствующие конусы перестановок.

Оценка (2.7) следует из обобщенного неравенства Минковского и неравенства Гельдера (соответственно):

{и0 = G°*f,G°e Li(M"), / G E(Rn)}

=>u°eE(Rny, \\u0\\E<\\G°\\Ll-\\f\\E; (2.8)

I«1 = G1 * f, G1 e E'(Rn), / G £(Rn)} =►

и1 E L^R"); IIm^IL» < II^IU' • 11/11* (2.9)

Пусть G - допустимое ядро. Рассмотрим следующие конусы перестановок для Т G (0, оо], снабженные положительно однородными функционалами

М(Т) = A/f (Т) = {h{t) = u*(t), t G (О, T) : и G Hg} , (2.10)

Рвд(Л) = inf{||«||Hg : « е Н^; u*(i) = t G (0,Т)}; (2.11)

ЩТ) = М£(Т) = {Л(0 = u**(i), £ G (0, Г) : и G Н^} , (2.12)

РЩт){1г) = inf{||u||Hg : и G Hg; = h(t), t G (0,Г)} . (2.13)

Конусы Мд(оо), Mg(oo) определяют глобальные интегральные свойства потенциалов и G Н^ и их максимальных функций Харди - Литтлвуда (соответственно), ввиду известного соотношения (Ми)* = и** (см. [1]). Так, для ПИП X(R")

Hg(Rn) С X(Rn) о Mf (оо) С X(R+), (2.14)

где X(R+) есть представление Люксембурга для X(Rn). Конусы Mji(T), А/£(Т) при Т G R+ определяют локальные интегральные свойства потенциалов и G Н^ и их максимальных функций (на множествах конечной меры).

Пример 2.1.

Рассмотрим пример допустимого ядра С. Для N > 0 определим

^ = {х £ Е" : |<ЭД| > Щ , (2.15)

и потребуем, чтобы

СеЬ[0С(Еп); ЗЛГ0>0: < оо. (2.16)

Отметим, что (2.16) влечет включение (?дг £ ¿?'(ЕП), У-ЛГ £ Е+. Действительно, если 0 < N ^ Л^, то Сдг ^ Сдг0 и тогда Сдг0 е £ (Е") => £ Е'(МП). Если же N > ЛГ0, то См < САг0 + дгхгг^0 и для ПИП Е'(Е") мы получим (принимая во внимание, что /лп(Г2дг0) <

НСлгНя'<110^<оо.

Теперь введем

= Фй2лт0 » С1 = СхК"\$2лг0 » Тогда, С = С0 + С1; Се ¿^(Е") С0 £ ^(Е71);

1С1! = |£?|хкп\пдг0 < е £'(ЕП) с1 е £'(Е"), как и требовалось.

Итак, С = С0 + С1 е ¿1(Е") + Е\К").

Замечание 2.2. Пусть в^Ц) = 1шп{ЛГ,

Равенство (<3дг)*(0 = <3^(0 > * е к+ влечет эквивалентность

С* € £'(Е") 6 Ё'(Е+). (2.17)

2.2 Два типа условий на ядра представления.

Ниже приведены два типа дополнительных условий на ядра С, которые позволяют дать эквивалентную характеризацию конусов М^(Т), М%(Т). Для этого определим класс Зп(-Й) монотонных функций для Я £ (0, оо].

Определение 2.1.

Функция Ф : (О, Я) —> принадлежит классу 3„(Я), если выполнены следующие условия:

1) Ф убывает и непрерывна на (О, R);

2) существует постоянная с G R+, такая что

г

У Ф{р)рп~Чр ^ сФ{г)гп, г G (О, Я). (2.18)

о

Пример 2.2.

еЯ

Ф(р) = ра~п G 5п(оо) (0 < а < п); Ф(р) = In — G 3„(Я), R G Е+.

Р

Для Ф G 3n(/i) справедлива также оценка

г

J Ф(р)рп~Чр ^ n~4(r)rn, г G (О, Я). (2.19)

о

Таким образом, имеет место двусторонняя оценка для Ф G Зп(Я):

г

r~n J Ф{р)рп~Чр Ф(г), г G (О, Я). (2.20)

о

Она показывает, что наше допущение о непрерывности функции Ф G Зп(Я) не уменьшает общности с точки зрения оценок Ф на (0, Я). Действительно, если 0 ^ Ф | на (0, Я), то (2.18) влечет (2.20), и функция в левой части (2.20) не только непрерывна, но также и абсолютно непрерывна на любом отрезке [a, b] С (0, Я). Кроме того,

Ф G Зп(Я) {0 ^ Ф(г) U Ф{г)гп ess. t, ге(0,Я)}. (2.21)

В частности, из (2.21) следует, что для любого a G [1, оо) существует ß = ß(a, с, п) G [1, оо)(где с - постоянная из (2.18)), такое что

{р, г G (0, Я); а"1 ^ p/r ^ а} /Г1 ^ Ф(р)/Ф(г) ^ ß. (2.22)

Отметим известный результат Н. К. Бари и С. Б. Стечкина об эквивалентности

(2.18) Ф» З7 G (0, п), такое что Ф(г)г7 ess. t на (0,Я). (2.23)

Пусть u# : Rn —> М™ означает симметрическую перестановку функции и, т.е. радиально симметричную, неотрицательную, убывающую и непрерывную

справа (как функция от р = х Е К"), которая равноизмерима с и. Отметим, что

и*(р) = и*(Упрпу, «*(0 = и* ; /М е м+. (2.24)

Здесь \лп - объем п - мерного единичного шара. Обозначим

71

— ) , если Я Е М+. (2.25)

Сформулируем условия на ядра (7. Определение 2.2.

Пусть Ф Е Зл(оо). Считаем, что С Е 5оо(Ф), если

С#(р) = Ф(р), р = \х\ Е К+. (2.26)

Считаем, что £7 е ^(Ф) , если

С(р)^Ф(р), р=|*|еМ+. (2.27)

Ясно, что 5^(Ф) С 5оо(Ф). Для Е (О, Т) обозначим

^(Т) = Ф((\^)П) = (2-28) Предложение 2.1.

Пусть Ф € Зп(оо); /Ф(£;•) е£'(М+) (4 е К+); СбШ Тогда (7 удовлетворяет условиям (2.16) и, следовательно, является допустимым (см. пример 2.1.).

Определение 2.3.

В условиях предложения 2.1 и при (7 € ¿^(Ф), потенциалы и Е Н^(М") назовем обобщенными потенциалами Рисса.

Ядро классического потенциала Рисса имеет вид

С(х) = ра~п, р=\х\е М+, а е (0, п). (2.32)

Для него Ф(р) = ра~п Е Зп(оо), в Е 5^(Ф) и

/Ф(£;0 е Ё'(ж+), (г 6 1+) огН е £'(г,оо).

Например, если Е = Ьр, где 1 < р < оо, это условие эквивалентно неравенству а < п/р.

Условия второго типа на ядро (? формулируются следующим образом. Для Я £ Е+ определим

Вн = {х £ Е+ : \х\ < Я} ; С°я = СХВл, ^ = Схе»\вд- (2-33)

Определение 2.4.

Пусть Я е Е+, Ф € 3„(я); X = Х(ЕП) есть ПИП. Считаем, что С? € 5л(Ф;Х), если

{а°я)* (Р) = Ф(р), Р 6 (О, Я); С^ е Х(Е"). (2.34)

Считаем, что (7 € 5д(Ф;Х), если (2.34) заменено условием

С» (х) * ф(р), Р = И 6 (О, Я); е Х(Е"). (2.35)

Ясно, что 5д(Ф; X) С 5д(Ф;Х).

Замечание 2.3.

Пусть йе1+,Фе Зп(Я), б € 5я(Ф; Е'). Тогда, С допустимо.

Действительно, согласно (2.33), С = Сд + и для Ф £ 3П(Я)

л я

= Сп I (0%)* {р)рп~1с1р - I Цр)рп-\1р < оо. (2.36)

о о

Кроме того, € Е'(Жп). Определение 2.5.

Пусть Я е Е+, Ф € Зп(Я) и С е ¿1 П £'); / вйх ф 0.

мп

Тогда, потенциалы и £ Н^Е") называются обобщенными потенциалами Бесселя.

Отметим, что ядра классических потенциалов Бесселя имеют вид

в(х)=с(а,п)р-,'К1/(р), Р = \х\£Ш+, а £ (0, п\, ^ = (2-37)

где К„ - функция Макдональда (функция Бесселя мнимого аргумента [7, 8]). Используем следующие хорошо известные свойства этих ядер (оценки в нуле и на бесконечности). При фиксированном Я £ Е+, имеем

Ох) ^ р~2" = Ра~п, р £ (0, Я), 0 < а <щ

G(x) = K0(p) ln (^J) , pe(0,R), a = n; GlR E Li(Rn) n L^R").

Таким образом,

G € <5д(Ф; L\ П Loo); Ф(p) = pa~n, 0 < a < щ Ф(р) = In , а = п.

Ввиду известного вложения Li П С L\ П Е' (для любого ПИП Е), ядра (2.37) допустимы, и наша схема включает классические потенциалы Бесселя.

2.3 Эквивалентные описания конусов перестановок.

Для получения эквивалентных описаний конусов А/£;(Т), при Т Е

(О, оо] рассмотрим конус

К(Т) = К%(Т) = |л(0 = J /Ф {t-r)g{r)dT, t Е (0,Т) : д Е £0(0,Т) j , (2.38)

снабженный функционалом рк{Т){Ь) = |H|jj(0T)-

Здесь, при Т Е К+ через Е(0,Т) обозначим сужение E(R+) на (О, Г):

\е(0,Т) = ll9°b(K+); g°(t)=g(t),tE(.0,Ty, g°(t) = 0, t ^ Г;

Ё0(0,Т) = {д Е Ё(0,Т) : 0 < д g{t + 0)=g{t), fe(0,T)} (2.39) Считаем, что

/Ф(£; •) Е Ё'(О, Т) при t Е (О, Т). (2.40)

Если Т < оо, то для любого ПИП Е имеет место включение ¿оо(0,71) С Ё'(0,Т). При этом,

II/*(*;0IIwo,t) = < оо, te (о,т).

Таким образом, для Т < оо условие (2.40) выполнено автоматически. Если Т = оо, то (2.40) совпадает с условием из предложения 2.7. Из (2.40) и неравенства Гельдера следует, что для h Е КЕ(Т) при t Е (0, Т) справедлива оценка

0 < h(t) ^ ||/ф(£; •)lle'(o,t)llfl'll£(o,t) = IIМЬ ■)h'{o,T)PK(T){h) < оо; (2.41)

кроме того, h(t) 4- при t Е (0, Т), поскольку /ф(t,r) убывает (как функция от t).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Малышева, Анастасия Владимировна, 2013 год

Список литературы

[1] С. Bennett and R. Sharpley. Interpolation of Operators

Pure and Applied Mathematics 129. Academic Press, Boston, MA, 1988.

[2] С. M. Никольский. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

[3] И. М. Стейн. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

[4] В. Г. Мазъя. Пространства Соболева. Изд-во ЛГУ, 1985.

[5] R. О' Neil. Convolution operators and spaces. Duke Math. J. V.30 (1963), 129-142.

[6] M. JI. Голъдман. Перестановочно инвариантные оболочки обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса. Доклады РАН. Т. 423, №1 (2008), 151-155.

[7] М. Л. Голъдман. Интегральные свойства обобщенных бесселевых потенциалов. Доклады РАН. Т. 414, № (2007), 159-164.

[8] М. Л. Голъдман. Конус перестановок для обобщенных бесселевых потенциалов. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. Т. 260 (2008), 144-156.

[9] Ю. В. Нетрусов. Теоремы вложения в пространствах Лизоркина- Трибеля. Записки научных семин. ЛОМИ. Т. 159 (1987), 103-112.

[10] Ю. В. Нетрусов. Теоремы вложения пространств Бесова в идеальные пространства. Записки научных семин. ЛОМИ. Т. 159 (1987), 69-82.

[11] A. Gogatishvili, J. S. Neves, and В. Opitz. Optimality of embeddings of Bessel-potential-type spaces, Function spaces, differential operators and nonlinear analysis: Proc. Conf., Milovy, Czech Republic., May 28-June 2, Prague: Math. Inst. Acad. Sci. Czech Republic (2005), 97-102.

[12] M. Л. Голъдман, Ф. Энрикес. Описание перестановочно инвариантной оболочки анизотропного пространства Кальдерона. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. Т. 248 (2005), 89-100.

[13] М. 3. Берколайко, В. И. Овчинников. Неравенства для целых функций экспоненциального типа в нормах симметричных пространств. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 161 (1983), 3-17.

[14] D. Adams. A shapr inequality of J. Moser for higher order derivatives. Ann Math., II Ser. 128 (1988), no. 2, 385-398.

[15] О. В. Весов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. Интегральное представление функций и теоремы вложения.Наука, Москва, (1996).

[16] Н. Brezis and W. Wainger. A note on limiting cases of Sobolev embeddings and convolution inequalities. Commun. Partial Differ. Equations 5 (1980), 773-789.

[17] Ю. А. Брудный, В. К. Шалашов. Липшицевы функциональные пространтсва. Вопросы метрики в теории функций и отображений. Наукова Думка, Киев, (1973), 3-60.

[18] V. I. Burenkov. Sobolev spaces on domains. Teubner-Texte zur Mathematik, vol. 137, Teubner, Stattgard, Leipzig (1998).

[19] A. Caetano and S. Moura. Local growth envelopes of spaces of generalized smoothness: the subcritical case. Math. Nachr. 273 (2004), 43-57.

[20] A. Caetano and S. Moura. Local growth envelopes of spaces of generalized smoothness: the subcritical case, Math. Inequal. Appl. 7 (2004), no. 4, 573-606.

[21] M. Carro, J. Raposo and J. Soria. Recent developments in the theory of Lorentz spaces weighted inequalities. Memoirs of the American Mathematical Society (to appear) (ArXiv preprint math. CA/0010010, 2000).

[22] A. Cianchi. A sharp embedding theorem for Orlicz-Sobolev spaces, Indiana Univ. Math. J. 45 (1996), no. 1, 39-65.

[23] A. Cianchi, L. Pick. Sobolev embeddings into BMO, VMO, and Loo, Ark. Mat. 36 (1998), no. 2, 317-340.

[24] M. Cwikel, E. Pustylnik. Sobolev type embeddings in the limiting case, J. Fourier Anal. Appl. 4 (1998), no. 4-5, 433-446.

[25] A. Gogatishvili, L. Pick Discretization and abti-discretization of rearrangement-invariant norms. Publ. Mat., Bare. 47 (2003), no. 2, 311-358.

[26] M. Л. Голъдман Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса. Труды Матем. Ин-та им. В. А. Стеклова, 2010. Т. 269. С. 91-111.

[27] М. Л. Голъдман Вложения различных метрик в ространства Кальдерона. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 181 (1989), 75-101.

[28] Голъдман М.Л., Гуселъникова О.М. Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Часть 1. Вестник РУДН, серия математика, информатика, физика, № 3, 2011, с.4-16.

[29] Голъдман М.Л. Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и Рисса. Доклады РАН. Т. 428, №3 (2009), С. 305-309.

[30] Гуселъникова О.М. Необходимое условие вложения пространство потенциалов в перестановочно инвариантное пространство. Вестник Тамбовского университета. Серия: Ест. и техн. науки, т. 16, вып. 3, 2011, с. 738-741.

[31] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966.

[32] Gogatishvili A., Neves J. S., Opic В. Sharp estimates of the k-modulus of smoothness of Bessel potentials. J. London Math. Soc. 2010. V. 81. N 2. P. 608-624.

[33] Голъдман М. Л., Малышева А. В., Хароске Д. Оценки равномерного модуля непрерывности для потенциалов Бесселя. Доклады Академии наук, 2013, Т.450, № 2, С. 143-146.

[34] Голъдман М. Л., Малышева А. В. Двусторонняя оценка модуля непрерывности свертки. Дифференциальные уравнения, 2013, Т. 49, № 5, С. 585-596.

[35] Малышева А. В. Оптимальные вложения обобщенных потенциалов Рисса. Вестник РУДН. Серия математика, информатика, физика, 2013, № 2, С.28-37.

[36] Malysheva А. V. Optimal embeddings of Riesz type potentials. 4th International conference Function spaces. Differential operators. General topology. Problems of mathematical education, March 25-29, 2013, Moscow, Russia. Theses of reports, P.

94-95.