Изогюйгенсовы деформации однородных дифференциальных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Хэкало, Сергей Павлович

• Хэкало, Сергей Павлович
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Хэкало, Сергей Павлович

Введение.

Глава I. Специальные функции на матричном пространстве.

Введение.

1. Сложная степенная функция Гиндикина на самосопряженном конусе Vm вещественных положительно определенных симметрических т х т-матриц и связанные с ней гамма и бета-функции.

2. Сложная степенная функция Гиндикина, связанная с пространством Мп>т вещественных прямоугольных п х m-матриц.

3. Гамма и бета-функции на Мщт.

4. Дзета-функция Игузы, ассоциированная со сложной степенной функцией Гиндикина на Мщт.

Глава II. Радиально однородные дифференциальные операторы на матричном пространстве.

Введение.

1. Радиально однородные операторы Кэли-Гординга-Гиндикина на Vm.

2. Радиально однородные операторы Кэли-Лапласа на Мп т. a) Целые векторы. b) Операторы Кэли-Лапласа. c) Радиальная часть оператора Кэли-Лапласа. d) Формулы дифференцирования и многочлен Бернштейна. e) Оператор Дш.

3. Принцип Гюйгенса для операторов Кэли-Гординга-Гиндикина и операторов Кэли-Лапласа. a) Операторы Кэли-Гординга-Гиндикина. b) Операторы Кэли-Лапласа.

4. Оператор теплопроводности на Vm х Мп>т. a) Оператор теплопроводности. b) Тепловой источник. с) Интеграл Пуассона.

Глава III. Потенциалы Рисса на Мп.т.

Введение.

1. Потенциалы Рисса, ассоциированные со сложной степенной функцией на Мщт. Простейшие свойства.

2. Полугрупповое свойство потенциалов Рисса на MniTn.

3. Соотношение между потенциалами Рисса и интегралом Пуассона.

Второе доказательство полугруппового свойства. a) Соотношение между потенциалами Рисса и интегралом Пуассона. b) Второе доказательство полугруппового свойства.

4. Интегральное уравнение со сложным степенным ядром на Мп<т.

Глава IV. Калибровочная эквивалентность и изогюйгенсовы деформации однородных операторов.

Введение.

1. Калибровочная эквивалентность операторов и анзатц Береста-Веселова -Молчанова.

2. Пошаговая калибровочная эквивалентность операторов.

3. Пошаговая калибровочная эквивалентность обыкновенных дифференциальных операторов. a) АБ^-матрица оператора. b) Алгебраические тождества. c) Решение системы Щ = 0.

4. Первый критерий пошаговой калибровочной эквивалентности операторов. a) Критерий. b) Примеры калибровочно эквивалентных операторов.

5. Второй критерий пошаговой калибровочной эквивалентности операторов. a) Критерий. b) Общая задача.

6. Решение проблемы Адамара в классе пошагово калибровочно эквивалентных деформаций априори гюйгенсовых дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.

7. Примеры изогюйгенсовых деформаций различных классов операторов. a) Временные деформации степеней волнового оператора. b) Деформации оператора Кэли-Гординга-Гиндикина по выбранному направлению. c) Деформации операторов Кэли-Гординга-Гиндикина. d) Деформации операторов Кэли-Лапласа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изогюйгенсовы деформации однородных дифференциальных операторов»

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Диссертационное исследование посвящено классической проблеме Адамара об описании линейных дифференциальных операторов (уравнений), удовлетворяющих принципу Гюйгенса.

Адамар [1] предложил математическое описание явления, названного принципом Гюйгенса в узком смысле. Физический смысл принципа Гюйгенса в узком смысле Адамара состоит в существовании заднего фронта у волны, порожденной локализованным в пространстве и времени источником (см, например, [4,19]).

Адамар исследовал задачу Коши для линейного гиперболического дифференциального уравнения вида

S + £ъКх)д-^Г + ФМа° = ж G Rn ((U) i,j=1 1 3 i=l 1 на R™. Он предложил конструкцию элементарных решений уравнения (0.1) (анзатц Адамара). Пусть Г(ж, х0) = 0 - характеристический коноид уравнения (0.1) , xq -вершина коноида, Us, R - гладкие функции. Конструкция Адамара v(x, Жо) = п/ 2-2 оо л Us(x, х0)Г*+1-п/2 + g иь{х, zo)rs+1-"/2 1пГ + R, п - четное, s=0 s=n/2-1

Us(x, xo)rs+1 n — нечетное,

- s=0

0.2) как отметил B.M. Бабич [2] "в некотором смысле уникальна: ее не удается распространить на сколь-нибудь общие уравнения высших порядков или системы таких уравнений."

Критерий Адамара гюйгенсовости уравнения (0.1) состоит в обрыве анзатца (0.2): уравнение (0.1) удовлетворяет принципу Гюйгенса тогда и только тогда, когда п > 2 - четно и элементарное решение (0.2) не содержит логарифмического члена для всех х, лежащих внутри характеристического коноида с вершиной в точке xq € R".

Первоначально Адамар поставил задачу о нахождении в явном виде коэффициентов gtj(x),bl(x),c(x) так, чтобы уравнение (0.1) было гюйгенсовым (Задача Адамара) [1]. В настоящее время вопрос о гюйгенсовости дифференциальных операторов ставится для произвольных дифференциальных операторов (произвольного порядка и не обязательно гиперболических) и в понятие "принцип Гюйгенса" вкладывается следующий смысл: дифференциальный оператор удовлетворяет принципу Гюйгенса, если имеет фундаментальное решение (называелюе главным) с носителем положительной коразмерности [3,4,8,10,17,30,65,78]. Современное понимание проблемы Адамара состоит в описании классов дифференциальных операторов, удовлетворяющих принципу Гюйгенса [4,8].

До 1953 года считалось, что принципу Гюйгенса удовлетворяют только волновой оператор в2 д2 д2 □ = тгтт - -7Г-Г - . - тг-о-, (t, X) £ R", 71 = N + 1, N — нечетное, OtA ох[ oxN и операторы, приводимые к нему элементарными преобразованиями (невырожденной заменой переменных и умножением оператора слева или справа на ненулевую функцию). Такое состояние дел было обусловлено работами М.Матисопа [89] и Л. Асгерсона [59]. Однако К. Штельмахер [99.100] установил гюйгенсовость деформаций - u(t, х)^П- mo(m2" + 1} + £ mi(m'2+1), N - нечетное, (0.3)

L i=i Xi волнового оператора □ потенциалами u(t, х) с неотрицательными целыми параметрами пц, N

Y^nii < (N — 3)/2. i=i

Дифференциальный оператор С называется деформацией дифференциального оператора С0, если

С = Cq + линейные члены меньшего порядка с переменными коэффициентами.

Процесс построения деформаций также будем называть деформацией.

В 1960-х годах К. Штельмахер и Дж. Лагнезе [86,87,88] решили проблему Адамара в классе деформаций □ + u(xi) с потенциалами зависящими от одной переменной. Все такие деформации получаются преобразованиями Дарбу [7,102] одномерного оператора Шредингера. Аналогом таких преобразований в диссертации выступает новый метод пошаговой калибровочной эквивалентности дифференциальных операторов [47,51,55,56,83].

К концу XX века в решении проблемы Адамара определилось несколько направлений. Это топологический подход И.Г. Петровского [28,29], позволивший установить для гиперболических операторов произвольных порядков с постоянными коэффициентами критерий наличия лакуны и найти новые примеры негиперболических уравнений, удовлетворяющих принципу Гюйгенса [10,34]. На основе теоретико-группового подхода, П. Гюнтер [77], Н.Х. Ибрагимов, А.О. Оганесян [19,20] и другие (см., ссылки, например, в работе [4]) добились прогресса в описании гюйгенсовых дифференциальных операторов второго порядка с переменными коэффициентами при младших производных. Новым направлением в исследовании задачи Адамара явился предложенный М.А. Семеновым-Тян-Шанским [30] подход, основанный на теории рассеяния и примененный к волновому уравнению с многомерным временем. Результаты М.А. Семенова-Тян-Шанского позволили С. Хелгасону [78], установить важные связи между принципом Гюйгенса и существованием локальной формулы обращения при преобразовании Радона [14,30,78,90,93].

В последние два десятилетия активно применяется метод деформаций, развитый в работах К. Штельмахера и Дж. Лагнезе [87,88]. В начале 1990-х годов Ю.Ю. Берест, А.П. Веселов и Ю.С. Молчанов [4,62] предложили конструкцию (анзатц Береста-Веселова-Молчанова), позволяющую исследовать на гюйгенсовость деформации произвольных операторов Со, обладающих ядрами Рисса [65,66]. Ядром Рисса оператора С0, называется семейство Ф^ целых по а £ С обобщенных функций на пространстве Шварца, удовлетворяющих условиям

A,*^-T>SrJ)> = * (0-4) где 5 - дельта-функция Дирака.

Анзатц Береста-Веселова-Молчанова [4,62,65,66,67] отличается от анзатца Адамара (0.2) тем, что в нем вместо гладких функций Us(x,x0) стоят дифференциальные операторы T>S(C, £0; а), явно определяемые деформацией С и исходным оператором Со: оо

0.5)

3 = 0

При этом анзатц (0.5) строится так, чтобы он задавал ядро Рисса (0.4) оператора С : само построение анзатца Ф^ основано на совместном использовании метода Рисса, обобщающего технику интералов Римана-Лиувилля [4,16,39,42,48,53,54,64,65,67], и метода сплетающих операторов со спектральными параметрами [3,4,39,41,42,62,63]. Обрыв анзатца (0.5) влечет гюйгенсовость деформированного оператора С, если некоторая степень исходного оператора Со была гюйгенсова. Ряд (0.5) обрывается в случае так называемой калибровочной эквивалентности [3,4,7,41,45] деформированного и исходного дифференциальных операторов. Вопрос о необходимости условия калибровочной эквивалентости для выполнения принципа Гюйгенса пока открыт [65].

Важным результатом применения анзатца (0.5) к гиперболическим операторам второго порядка явилось расширение класса изогюйгенсовых деформаций волнового оператора при помощи потенциалов Калоджеро-Мозера [3,4] тп0(т0 + !)(/?, (3) п + -щ^р-• (°-6)

Здесь TZ+ - положительные корни произвольной корневой системы в RN, (-, •) - стандартное скалярное произведение в HN, тпр - неотрицательные целозначные функции на корневой системе, инвариантные относительно действия соответствующей группы Вейля. Операторы (0.6) обобщают изогюйгенсовы деформации Штельмахера (0.3). Принцип Гюйгенса для них выполняется в случае нечетного N, удовлетворяющего неравенству

TV >3 + 2 Y^ mP

367?.+

Проблема Адамара для дифференциальных операторов высоких порядков с переменными коэффициентами, несмотря на значительные усилия, изучена в меньшей степени. Еще в 1950 - 60-х годах Л. Гордииг, Б.Р. Вайнберг и С.Г. Гиндикин [6,17,75] обнаружили гюйгенсовы однородные гиперболические операторы высоких порядков с постоянными коэффициентами, а С.А. Гальперн и В.Б. Творогов [10,34] гюйгенсовы негиперболические операторы высоких порядков. Однако, сказать что-либо о изогюй-генсовых деформациях таких операторов долгое время не удавалось поскольку ни ан-затц Адамара, ни критерий Петровского не применимы к операторам высоких порядков с переменными коэффициентами (более подробно, см., например, работы [2,8,19] и указанные там ссылки).

Построенный же Ю.Ю. Берестом, А.П. Веселовым и Ю.С. Молчановым анзатц (0.5) работает с произвольными операторами. В результате его применения, в работах Ю.Ю. Береста [64,65,66] и автора [39] построены первые примеры изогюйгенсовых деформаций однородных гиперболических операторов высоких порядков.

В работе автора [48] доказана гюйгенсовость одного из негиперболических операторов Кэли-Лапласа, используемого в задачах интегральной геометрии [26]. Однако полностью описать класс гюйгенсовых негиперболических радиальных однородных дифференциальных операторов Кэли-Лапласа не удавалось. Это было связано с вопросом о функциональном равенстве для дзета-функции Игузы [18,70, 72,73,91,92,93]. Пусть х - вещественная прямоугольная п х т—матрица, 'х - транспонированная матрица, Тц> - преобразование Фурье функции tp, и Г„, - гамма-функция конуса вещественных симметрических т х m-матриц. Для дзета-функции Игузы [18] а Z\x\(</?, а — п) = J \х\а~п ip{x) dx, (0.7)

Rnxm jxj = (det 'xx)1/2, a € C, Re а > m - 1, </? € <S(R"Xm),

Е.Е.Петров [26], Дж. Фаро и А. Корани [73] и Дж. Клерк [70] доказали функциональное равенство

ZN(<p,a~n) т/2 (ап) ZlA{Tip, -а) Гт(а/2) Гт(("-а)/2) при ограничениях п > 2т — 1. Автору [49] удалось доказать равенство (0.8) при произвольных п>т путем выхода из области одного комплексного переменного в многомерную комплексную область. В результате, автором [43] был полностью описан класс гюйгенсовых радиальных однородных негиперболических дифференциальных операторов Кэли-Лапласа. Одновременно, B.C. Рубин [93] нашел другое доказательство формулы (0.8). В его исследованиях были существенно использованы аппарат специальных функций Бесселя матричного аргумента [79] и теория И.Н. Бернштейна [5] аналитического продолжения обобщенных функций по комплексному параметру. Идея автора о переходе к дзета-функциям комплексного векторно-значного аргумента, реализованная в работе [49] была позднее применена Е. Орничевой и Б. Рубиным к исследованию косинус-преобразования на многообразиях Штифеля [95].

С помощью формулы (0.8), на основе работ [43,90] легко прослеживается связь между наличием формулы Фугледе для интегрального преобразования Радона [26,90] и выполнением усиленного принципа Гюйгенса для операторов Кэли-Лапласа. Такая связь аналогична связи между припципом Гюйгенса и локальностью формулы обращения при преобразовании Радона, обнаруженной в работах Семенова-Тян-Шанского [30], Хелгасона [78] и Гельфанда-Гиндикина-Граева [14].

Проблема построения изогюйгенсовых деформаций дифференциальных операторов произвольных порядков далека от завершения. В настоящее время предпринимаются активные усилия в отыскании интересных, с различных точек зрения, калибровоч-но эквивалентных гюйгенсовых деформаций дифференциальных операторов. Данная работа находится в русле этих усилий. Она основывается на использовании введенного автором понятия пошаговой калибровочной эквивалентности [56] применительно к деформациям однородных дифференциальных операторов. Задача диссертации - найти решение проблемы Адамара в классе пошагово калибровочно эквивалентных деформаций однородных априори гюйгенсовых дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами и описать все пошагово калибровочно эквивалентные изо-гюйгенсовы деформации радиальных однородных дифференциальных операторов.

Эта задача представляет интерес для специалистов в областях математической и теоретической физики, обобщенных функций, интегральных преобразований, комплексного анализа и дифференциальных уравнений в частных производных.

Целью работы является построение изогюйгенсовых деформаций однородных дифференциальных операторов в частных производных с постоянными коэффициентами и полное описание класса изогюйгенсовых деформаций типа Штельмахера (0.3) для однородных операторов.

Для достижения цели диссертационного исследования использовапы новые технические средства:

1. Метод сравнения аналитических продолжений специальных функций одного комплексного переменного с непересекающимися областями регулярности посредством выхода в многомерную комплексную область.

Этот метод применен к следующей задаче (см. схему): пусть /(/i) и д(/х) целые дзета-функции Игузы одного комплексного переменного, заданные конкретными интегралами, сходящимися в непересекающихся областях; требуется установить их равенство в смысле аналитического продолжения. Суть метода заключается в построении целых функций F(А) и G(А) многих комплексных переменных для которых, во-первых, F(А) = G(А) в некоторой открытой области многомерного комплексного пространства, а во-вторых, сужения этих функций на главную диагональ комплексного пространства А = (fi, /i, ., jj) соответственно совпадают с исходными (см. теорему 1.3 и замечечание 1.7 на стр. 60-62). сп I

Г Ч J

2. Метод пошаговой калибровочной эквивалентности дифференциальных операторов, зависящих от натурального параметра.

Суть этого метода состоит в следующем (см. схему): если соседние по параметру дифференциальные операторы 1-калибровочно эквивалентны, то и "далекие" друг от друга операторы калибровочно эквивалентны ( см. теорему 4.1 на стр. 117) f* 1 - калибр. А" 1 - калибр. эквивал. А^П-1 экаивал. А^Г! п - калибровочно эквивалентен

Научная новизна диссертационного исследования состоит в следующем:

1. Аналитическими методами изучены дзета-функция Игузы (0.7) и ее обобщение, связанное со сложной степенной функцией Гиндикина многих комплексных переменных;

2. Приведено полное описание класса гюйгенсовых радиальных однородных негиперболических дифференциальных операторов высоких порядков и соответствующих им потенцилов Рисса многих комплексных переменных;

3. В явном виде решена проблема Адамара для введенного класса пошагово калибровочно эквивалентных однородных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.

Теоретическая и практическая ценность работы заключаются в том, что разработанные в ней методы и полученные на их основе результаты могут быть применены к широкому кругу задач разных разделов математики (помимо дальнейшего изучения проблемы Адамара, к теории интегрируемости дифференциальных уравнений в частных производных, к задачам интегральной геометрии, интегральных преобразований и др.)

Апробация работы. Результаты диссертационного исследования обсуждались и докладывались на международных конференциях: "Symposium theory of partial differential equations and special topics of theory of ordinary differential equations "Dedicated to 150th Anniversary of Birthday of Sofia V. Kovalevskaya (2000, С-Петербург), "Differential equations and dynamical systems"(2000,2002,2004,2006,2008 Суздаль,), "Differential equations and related topics"(Dedicated to the Centenary Anniversary of I.G. Petrovskii) (2001,2004, Москва), "Day on diffraction"(2002-2005, С-Петербург),"Kolmogorov and contemporary mathematics" (2003, Москва), "Международная научная конференция по топологическим и вариационным методам нелинейного анализа и их приложениям, ТВМ-НА"(2005, Воронеж), "Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (2008, Москва), на семинаре по дифракции и распространению волн под руководством В.М. Бабича в ПОМИ РАН им. В.А. Стек-лова, на семинаре им. В.И. Смирнова в ПОМИ РАН им. В.А. Стеклова, на семинаре отдела дифференциальных уравнений под руководством Д.В. Аносова в МИАН им В.А. Стеклова, на семинаре по математической физике под руководством Л.Д. Фаддеева в ПОМИ РАН им. В.А. Стеклова, на семинаре по математической физике под руководством B.C. Владимирова в МИАН им. В.А. Стеклова и на семинаре по математике под руководством В.А. Голубевой в Коломенском государственном педагогическом институте.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 23 работах библиографического списка диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация, объемом в 165 страниц, состоит из оглавления; введения; четырех глав, которые разбиты на 19 параграфов и списка литературы, содержащего 102 наименования. Каждая глава снабжена кратким введением, где даются сжатый обзор известных результатов, непосредственно связанных с содержанием данной главы, а также сводка полученных результатов.

Благодарности. Автор выражает благодарность и глубокую признательность Д.В. Аносову, В.М. Бабичу, Ю.Ю.Бересту, А.П. Веселову, С.Г. Гиндикину, В.А. Голу-бевой, М.И. Граеву, С.В. Кислякову, В.П. Лексину, Ю.А. Неретину, Е.Е. Петрову, B.C. Рубину, М.А. Семенову-Тян-Шанскому, М.В. Фейгену, а также сотрудникам лаборатории математических проблем геофизики ПОМИ РАН им. В.А. Стеклова и отделов математической физики и дифференциальных уравнений МИ АН им. В.А. Стеклова за внимание, помощь и сотрудничество.

Особо хочу поблагодарить своего научного консультанта А.П. Киселева за его постоянное внимание и помощь.

Автор также благодарен РФФИ и Минобразнауки за финансовую поддержку (проекты N 07-01-00085 и МК-2195.2007.1).

Содержание работы. Во введении изложена история задач, изучаемых в диссертации, описаны основные используемые понятия и методы, приведена общая характеристика работы с описанием главных результатов.

В главе I "Специальные функции на матричном пространстве": излагаются ранее известные результаты о линейно однородном конусе положительно определенных матриц и о гамма и бета-функциях [17,24,25,26,75,79], связанных с ним; вводятся гамма и бета-функции на пространстве вещественных прямоугольных матриц и изучаются их основные свойства; изучается дзета-функция Игузы, ассоциированная со сложной степенной функцией Гиндикина на пространстве вещественных прямоугольных матриц [49]. Отметим, что все рассматриваемые специальные функции многих комплексных переменных являются обобщениями классических специальных функций одного комплексного переменного.

Введенная дзета-функция Игузы многих комплексных переменных, с одной стороны, использована для решения ранее известной задачи о доказательстве функционального равенства для дзета-функции в случае одного комплексного переменного [26,73], а с другой, - для полного описания класса радиальных однородных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами на матричном пространстве и установить условия выполнения принципа Гюйгенса для таковых [43,50].

Остановимся на соответствующих результатах более подробно. Пусть Vm - конус положительно определенных симметрических (т х то) —матриц a: g е GL(m) и 'д — матрица, транспонированная к д.

Инвариантная относительно преобразований а —у 'gag мера на Vrn имеет вид

Kda) = fdeta)^+i)/2' da= П

1 <i<j<m

Определение 0. 1.([16]) Сложной степенной функцией Гиндикина, ассоциированной с конусом Vm, называется ненулевая комплекснозначпая функция /, такая что f('gag) = a{g)f{a), Уд € GL(m), где а - некоторая функция на группе GL(m).

Пусть Vi(a) - главный нижний угловой минор г— го порядка матрицы а, Vo(a) = 1, г = 1,., 77г; Тг]п - группа нижних треугольных m х тп—матриц с положительными диагональными элементами. Сложная степенная функция Гиндикина с точностью до постоянного множителя имеет вид [16]

А,/2 Л = (Ai,., Am) е Cm, и при этом [16,49,93] ш tt)x = ПФ. t € г+; = oV; (Var)A = aA(Vr)\ т G Т+; i=1 a1)A = а~х; aA = (a*)A , А* = (Ат,., Ai), а* = (amj+i>mi+i), где аА - двойственная к аА сложная степенная функция Гиндикина.

Определение 0. 2.([16]) Гамма-функцией конуса Vm называется аналитическое продолжение интеграла Зигеля II рода

IVm(A) = J e-tr^aA/i(da), A € С"1,

Vm из области его сходимости.

Определение 0. 3.([16]) Бета-функцией конуса Vm называется аналитическое продолжение интеграла Зигеля I рода ах(ет-а)^т+1У2^а), A G Cm, J i a<em em - единичная матрица) из области его сходимости.

Указанные интегралы абсолютно сходятся в областях Re А; > т — i, Re щ > пг — г, i = 1,., т, и имеют место равенства

Гут(А) = 7Г 4 дг^---у BvJА,м)= Tvm{x + fi) ' ах = п z1

Vmi+i(a)

Vmi(o) где Г(-) - стандартная гамма-функция Эйлера.

Пусть Мщт - пространство вещественных прямоугольных пхт— матриц х (п > т > 1). Инвариантная относительно группы G преобразований х —> рхт, р G 0(п), т £ Т+, мера на M„iTn имеет вид dx 71 ш

Kdx)=(det 4)"/»' * = ПП*«

Определение 0. 4.([49]) Сложной степенной функцией Гиндикина на Мщт называется ненулевая комплекснозначная функция /, такая что рхт) = a{r)f{x), Ур е O(m), Vr € Т+, где а - функция на группе Т+.

Предложение 0.1.([49]) Сложная степенная функция Гиндикина на Мп>т с точностью до постоянного множителя имеет вид rx(x) = {'хх)х, AeCm, 'xxeVm.

Предложение 0.2. Имеет место равенство r\x) e~^'yy^(dx) = тг"т/2 ^lW Л(у)

J Г(/т(п)

Мп,т где у е М„)т - матрица максимального ранга, п = (п,.,га) € Nm, г*(х) = ('хх)$ -двойственная к гх(х) сложная степенная функция.

Эти предложения играют важную роль в доказательстве функционального равенства для дзета-функции Игузы и в описании класса радиальных однородных на Мщт дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.

В соответствии с общим подходом Гельфанда-Граева-Пятетского-Шапиро [15] дадим определение гамма и бета-функций, связанных с МП)Ш.

Определение 0. 5.([53]) Гамма-функцией на пространстве Mn>rn называется функция вида

Г»,„.(A) = 2'л1тг""'/2 AG С"1, |А| = Ai + . + Am.

Определение 0. 6.([53]) Бета-функцией на пространстве Мщт называется аналитическое продолжение интеграла

Дьт(А,/0= / r\x)r^(e* -x)fi(dx), А, /х G Ст, е'^^бМ^

Мп,т из области его сходимости.

Теорема 0.1. ([53]) В области

A, (j.) G С"1 х С'" | Re \ > т - г, Re fi{ > т - i, Re (Ai -f /i;) <n-i + 1} которая существует при n > 2m — 1) интеграл Вщт{\, ц) абсолютно сходится и имеет место равенство .£?„,„,(А, ц) — Вп>т(ц, А).

Теорема 0.2.([53]) Гамма и бета-функции на МП]Ш связаны соотношением

Г? (\ \ п,т (А)Г

Г„,т(А + ц)

Введенная гамма-функция играет роль нормировочного множителя при описании однородных обобщенных функций, мероморфно зависящих от комплексного многомерного параметра. Введенная бета-функция играет ключевую роль в доказательстве полугруппового свойства для потенциалов Рисса. Положим

Z\x\(<р,а — п)= J \х\а Ifi(x)[i(dx), \х\ — (det 'хх)1/2, а € С, мп,т где <р € S(Mnim) - функция из пространства Шварца и ReA > т — 1. Этот интеграл называется дзета-интегралом [80,93], ассоциированным со степенной функцией \х)п, а соответствующая ему функция а —Z^ (95, а — п) называется дзета -функцией Игузы на С [18,60,61]. Пусть /

M„,m есть преобразование Фурье функции ip Е <S(M„,m) и пусть

Г„(в)П г

1=1 есть гамма-функция одного комплексного переменного на конусе Vm,

Гт(а/2)=ГУт((а,.,«)).

Функциональное соотношение

Z\x\{f,a-n) m/2 „„,(„„) Z\-а) Гт(а/2) * Гт((п-а)/2)' было доказано Петровым-Фаро-Корани [26,73] в случае п > 2т — 1. Все попытки доказать его в случае т < п < 2т — 2, т > 1, оставались безрезультатными [93] в силу того, что области регулярности левой и правой частей функционального равенства не пересекаются.

Для преодоления указанных трудностей при доказательстве функционального равенства и для обобщения понятия дзета-функции Игузы одной комплексной переменной вводится дзета-функция Игузы многих комплексных переменных.

Определение 0. 7.([49]) Дзета-интегралом, ассоциированным со сложной степенной функцией Гиндикина на Мщт, называется интеграл вида

Zr(tp,X — n)= j TX{x)ip{x)n{dx),

Мп.т а функция А —»• Zr(ip, А — п) называется дзета-функцией Игузы на Ст.

Очевидно, что при сужении на главную диагональ А = (а, .,а) G Сш, имеем

Zr(ip, Х-п) = Z\x\ ((р, (х- п).

Теорема 0.3.([49]) В области {А € Ст|ЛеА,- > т — i, i = 1 ,.,т} дзета-интеграл абсолютно сходится и может быть продолжен на все Ст как мероморфная функция с полярным множеством в тех и только тех точках А, для которых А; = тп — г + 2к, к G Z+, хотя бы при одном г = 1, ., т.

Следствие 0. 1. Нормированная дзета-функция Игузы ynorm/ \ -\ А — fi)

У,'А~П)= Гут(А) является целой по A G С'".

Теорема 0.4.([49]) В области {A G Сш | т — г < Re А; < п — i + 1, i = 1,., т} имеет место равенство Планшереля

7Г о|А| -nm р гх~*(х)ф)<Ь = Г^ J r:x(x)F<p(x)dx

Гкт(А)

Mr, мп двух абсолютно сходящихся интегралов.

Следующая геометрическая иллюстрация указывает на подобие и на отличительную черту случая дзета-функции многих комплексных переменных по отношению к случаю одной переменной: при п > 2т — 1 комплексная прямая А; = а е С, i = 1,., т, пересекает область, где выполняется равенство Планшереля, а при т <п < 2т — 2, т > 1, - нет.

Следствие 0. 2. На Ст имеет место функциональное равенство для дзета-функции Игузы о |А]—пт

Zrm&, А - n) = Z™™{Tip, -А), левая и правая части которого вне области

А <Е Ст \ т - г < Re А; < п - г + 1, г = 1,., т} понимаются в смысле аналитического продолжения.

Следствие 0. 3. Преобразование Фурье jr(rA) обобщенной функции гА имеет вид

F(rX) = 2|A|+nm 7Tnm/2 rVm(\ + n) /*,А " Ai ф -n + m - i - 2k, k e Z+, в частности,

Т(\хП = г'*1"*" 7Г-/2 Гт r^ZiJ' а ф —n + m — I — k, k &Z+.

В главе II "Радиальные однородные дифференциальные операторы": приводятся основные сведения о радиальных однородных операторах Кэли-Гординга-Гиндикина [16,17,75], связанных с Vm; описывается класс и основные свойства радиальных однородных на Мщш операторов Кэли-Лапласа [43,50] (по поводу названия, см. [33]); изучается взаимосвязь радиальных однородных операторов на и на Мщт и приводятся условия гюйгенсовости для этих операторов [43]; на Vm х МП)ГП изучается аналог классического оператора теплопроводности, для которого приводится решение, удовлетворяющее начальному излучению в вершине времени-подобного конуса [52].

Указанные радиальные однородные дифференциальные операторы высоких порядков в частных производных ассоциированы с соответствующими сложными степенными функциями. Изучение свойств операторов Кэли-Лапласа ведется на основе функционального равенства для дзета-функции Игузы на Мп>т.

Определение 0. 8.([16]) Линейный дифференциальный оператор V на Vm называется радиальным однородным, если УдТ, дта = 'тат, т 6 Т+, выполнено условие

V[grf]{a) = a{T)V[f](gTa), gTf{a) - f(gTa).

Все такие операторы (операторы Кэли-Гординга-Гиндикина) изучены С.Г. Гинди-киным [16]: оператор Т> на Vm является радиальным однородным тогда и только тогда, когда он с точностью до постоят того множителя имеет вид

8/дац ■ ■ ■ \д/даи \ •• : I, PiG Z+. д/даи ■■■ д/дац ) и имеют место следующие свойства:

1. Т>р - гиперболический оператор;

2. (формула Vp-дифференцирования) рРа>д rv(A + m + I) Л £

Гут(А + т + 1-р) f-f где qi == (2;.;2i;0;.;0), m = (m;.;m), 1 = (1;.; 1) € Nm.

Радиальные однородные операторы Кэли-Гординга-Гиндикина естественным образом порождают однородные дифференциальные операторы Кэли-Лапласа на М„)Ш.

Определение 0. 9. ([43]) Линейный дифференциальный оператор Т)м на МТ1ТП называется радиальным однородным, если Vgp,T, gPyx = Рхт, р G О(п), т € Т+, выполнено условие

VM[gp,Tf}{x) = a(r)VM[f](gPtTx), gPtTf(x) = f(gp,Tx).

Пусть для некоторого А сложная степенная функция гх(х) является многочленом по х, тогда вектор А назовем целым.

Предложение 0.3. ([43]) Все целые векторы р, отвечающие многочлену г?(х), являются линейными комбинациями векторов gj = (2;.; 20;.; 0), j = 1,., т, символ 2j означает, что цифра 2 стоит на j—ой позиции) с неотрицательными целыми коэффициентами Pj т •;=i и при этом т / ■ • ■ XiXj т?(х) = Ц detf* I : : j=1 \ 'XjX 1 ■ ■ - 'Xj2 где Xj - j-ый вектор-столбец матрицы х, a 'xjxk - произведение вектор-строки на вектор-столбец.

Обозначим через Aj - оператор Кэли-Лапласа степени 2j, j = 1,., т, ассоциированный с многочленом г*3 (х) : m • ■ ■ 'd.dj

Aj = rV{d) =det : :

V 'ЭД ■■■ 'djdj.

Теорема 0.5. ([43]) Линейный дифференциальный оператор Т>м на M,hm является радиальным однородным тогда и только тогда, когда он принадлежит полугруппе дифференциальных операторов А'' = г?(д) = А^.-.А^1, порожденной операторами Кэли-Лапласа и при этом т

Ap [9P,rf\ (*) = vrр(т) AP[f}(gp,Tx), тгл(т) = .

3=1

Предложение 0.4. ([43]) Имеют место следующие свойства:

1. Др - не эллиптический (гп ф 1) и не гиперболический оператор;

2. (формула Ар-дифференцирования)

АРГх(х) ( tfM^vJ* + гс)ГУт(-А* +р) Л

W-C 4) rVm{x + .np)rVm{x*f И,

Пусть f(x) - радиальная функция на Mn>m, то есть Ур 6 О (п) имеет место равенство f(px) ~ f(x). Тогда имеет место равенство f(x) — ip('xx), где (р - функция на конусе V7n.

Определение 0. 10. ([52]) Оператор R(Ai), г = 1,.,т, называется радиальной частью оператора Кэли-Лапласа Ai, если выполняется условие

АМх) = RiAiMi'xx).

Теорема 0.6. ([52]) Радиальная часть оператора Кэли-Лапласа имеет вид R(Ai) = 4* a"'+I-fl Vi a-'ll-l+n+,Ji Vi, a = 'xx, i = 1,., m.

Эта формула показывает взаимосвязь между операторами Кэли-Гординга-Гинди-кина на Vm и операторами Кэли-Лапласа на Мщт.

Определение 0.11. Дифференциальный оператор удовлетворяет принципу Гюйгенса (усиленному принципу Гюйгенса), если носитель некоторого его фундаментального решения имеет коразмерность равную (большую) единице(ы). Пусть тп / m тп \

Я-»/2(4)|р|/2 п N^ - Е Pk, Е Р* ) ЛПЛ 1=1 vk=i k=i J т-, /\ 1 rvm(n) где (a, s) = а(а + 1) • • • (а + s — 1), а € С, s € N, - символ Похгаммера. В силу формулы Др-дифференцирования имеет место следующая

Теорема 0.7. Пусть кп>т(р) ф 0, тогда фундаментальное решение оператора Др имеет вид гА-"(-) р{-) =

Кгг,„г(р)Гут(А)

Л=р

При этом, если хотя бы для одного г = 1, .,т — 2, т > 3, выражение т m-i)/2 h=i принимает целое неотрицательное значение, то оператор Др, рт ф 0, удовлетворяет принципу Гюйгенса.

Ясно, что при рт = 0 операторы Др тривиально удовлетворяют принципу Гюйгенса, поэтому особый интерес представляет рассмотреть оператор •

Пусть т - подмногообразие в МП)ГП матриц, имеющих ранг г, г = 0,., т — 1 : г dim м;„, = г(п + т- г), = (J i=0

Все матрицы х G за исключением подмногообразия матриц меньшей размерности, имеют г первых линейно независимых столбцов. Пусть

U = {х = x^z) | я(г) 6 Мщг, z е Mr,mr} , где z - матрица линейной зависимости. На U рассмотрим преобразования х pxg, р £ 0(п), д £ GL(m). Относительно этого действия на U существует единственная (с точностью до постоянного множителя) мера [48] " ^ - ПИ ** - ^ ПИ удовлетворяющая условию относительной инвариантности dr(pxg) = | detg\rdrx. Абсолютная сходимость интеграла

J ip(x)dr:г, ip(x) £ S(M„iTn), и по многообразию матриц ранга 1 < г < пг позволяет корректно определить дельта-функцию поверхности матриц ранга г.

Определение О. 12. ([48]) Дельта-функцией ё(М^т), г = 1, .,т — 1, связанной с поверхностью в MniTn, называется обобщенная функция

K,J,</>)= У <f(x)d,.x = J <p(x)drx. и

Теорема 0.8. Пусть

Рт 5; х min{m — 1, п — т}, А тогда

1. Фундаментальное решение оператора имеет вид

Р™ К ' Рт 1 '

2Рт». Y\ (2рт - n-2i,m) i=о

2. Оператор удовлетворяет усиленному принципу Гюйгенса и при этом supp 8™{х) = Мпрш, dim MZn = 2pm(n + m - 2pm) < nm. Определение 0. 13. ([52]) Оператор

Up^X>p- Ap на Vrn x МП)ГП назовем оператором теплопроводности. При т = 1 оператор W имеет вид ( д2 О2 \ да\\ + - + дх\п)

VI daW \ дх2, и при pi = 1 оператор W совпадает с классическим оператором теплопроводности на R х Rn.

Предложение 0.5. ([52]) Пусть f - функция на Vm х Мп<т и rjf{a,x) = т](р, r)[/](a, х) := /('тат,рхт), тогда имеет место равенство

Hp[rjf}(a,x) = 7гр(т)Нр[/}('тат,рхт), удовлетворяющее условию радиальной однородности.

Рассмотрим на Vm х Мщт ядро теплопроводности (по терминологии С. Ленга [23] - тепловой источник)

Ms) - (47r)i/2Qfi e-W-"1'-), а £ Vm, х £ Мп,т.

Предложение 0.6. ([52]) Тепловой источник удовлетворяет следующим свойствам:

1. ha(x) >0, J ha(x)dx = 1, Va <Е Vm; м„

2. lim / ha(x)dx = 0, Vao £ Vm, a-^0 / Г C>tto здесъ > oq О 'xx — oq прииадлеэюит замыканию Vrn конуса VrnJ;

3. (к * /гь) (x) = ha+b(x), К) (y) = e-tr(a

Определение 0. 14. ([52]) Интегралом Пуассона на VmxMntTtl от ограниченной на Мп,т функции f(x) называется интеграл вида

Waf){x) = (ha*f)(x) = j ha(x-y)f(y)dy.

Mix,иг

В силу быстрого убывания ядра и свойств теплового источника интеграл Пуассона абсолютно сходится.

Предложение 0.7. ([52]) Имеют место следующие свойства:

1. inf f(x)<(Waf)(x)< sup f(x) (принцип максимума); М".m Мп,т

2. (Wa (Wb /)) (х) = (Wa+bf) (z) (полугрупповое свойство). Теорема 0.9. Пусть f{x) £ S(Mn>m), тогда функция u(a,x)=^(Waf)(x) удовлетворяет уравнению теплопроводности

При{а,х) =0 на Vm х Mn,m с начальным излучением тепла и(0,х) = limu(a, х) = f(x) а—*0 в вершине времени-подобного конуса Vm.

В главе III "Потенциалы Рисса на пространстве вещественных матриц": приводятся основные сведения о потенциалах Рисса одного комплексного переменного [48,93]; вводится понятие потенциала Рисса, ассоциированного со сложной степенной функцией

Гиндикина, и тем самым, зависящего от многих комплексных переменных [53,54]; для потенциалов Рисса устанавливаются характерные свойства, в частности, основное полугрупповое свойство доказывается двумя способами (на основе специальных функций на матричном пространстве и на основе связи потенциалов Рисса и интеграла Пуассона); отмечается, что полу групповое свойство установлено при более слабых ограничениях на размеры матриц, чем соответствующее классическое полугрупповое свойство в случае одного комплексного переменного; вводится понятие интегрального уравнения со сложным степенным ядром и в терминах потенциалов Рисса описывается его решение [53,82].

Потенциалы Рисса как операторы дробного дифференцирования применяются в задачах дифференциальных уравнений в частных производных [4,16,46,48,50,63-67,85,92], в интегральных уравнениях и интегральной геометрии [14,16,31,32,90,94]. Изучение потенциалов Рисса ведется на основе свойств дзета-функции Игузы, ассоциированной со сложной степенной функцией Гиндикина. Отметим, что рассмотрение потенциалов Рисса многих комплексных переменных, как и в случае дзета-функции многих комплексных переменных, дает улучшение оценок на размеры матриц в полугрупповом свойстве потенциалов одного комплексного переменного.

Пусть

H„,m(a) = 2Qm7r™/2 ^ = Г„,т((а, .,а)), а € С, (а,.,«) € Ст, 1 т { 2 ) гамма-функция пространства Мщт.

Определение 0. 15. ([48]) Потенциалом Рисса одного комплексного переменного а Е С, ассоциированным со степенной функцией |х|а, х е Mn>m, называется аналитическое продолжение интеграла я) =[ \y\Wx-yMdy), ч>ея(мщт),

Мп,т из области его абсолютной сходимости.

Предложение 0.8. ([48,93]) Имеют место следующие свойства потенциалов Рисса одного комплексного переменного:

1. Интеграл (ly^j (х) абсолютно сходится в области а £ С [ Re а > т — 1, а ф п — т + к, к £ N};

2. Потенциал (х^(х) аналитически продолжается как мероморфная функция на всю комплексную плоскость с полюсами в тех oice точках и того же порядка, что и у функции Г„,((п — а)/2);

3. Связь между потенциалом Рисса и дзета-интегралом имеет вид

Ц\Ч>) (®) = ТТ 1/ N z\y\i4>x, а-п), tpx(y) = <р(х - у);

П ,7П\ОС)

4. (if(х) = ¥»(х);

5. (z* (ДтУ,)) (х) = (дт (l,^)) (х) = (-1)- (X°-V) (х) (формула Дт—дифференцирования);

6.

2^) (х) = j (det a)Q//2 (tt» (^(da), n > 2т - 1 v vm связь с интегралом Пуассона);

7. ^I^t/^ (х) = (х), п > 3т — 2 (полугрупповое свойство).

На основе предложения 0.9 вводится естественное обобщение потенциалов (Тц1р*) (х).

Определение 0. 16. ([53]) Потенциалом Рисса многих комплексных переменных А € Ст, ассоциированным со сложной степенной функцией Гиндикина гх(х), на Мп>т, называется функция

Ш (*) = Zr{^x,X(:,n\ ч> е s(Mn,m).

1 п,т\Л)

Следующая теорема обобщает предложение 0.9 на случай многих комплексных переменных и улучшает ограничения на размеры матриц.

Теорема 0.10. ([53]) Потенциалы Рисса (Тхip) (х) обладают следующими свойствами:

1. В области

А е Ст | ReAi >m-«, А, ф п - г - 1 + 2А, k € N} потенциал Рисса задается абсолютно сходящимся интегралом ч>) (*) = / Лу)Ф-у)рШ\

Мп,т

2. Потенциал Рисса (Гх<р) (х) есть мероморфная по аргументу А 6 Ст функция с полярным множеством из тех же точек и того же характера, что и у функции Гуга(-А*+п);

3. (1°Г<р) (х) = ¥>(*); 4

ДТ» (х) = (2*Д'у>) (*) - (-1)|р|/2 (^-V) (*) формула Др—дифференцирования); 5. При п>т> 1 в области

А е Ст | т - i < ReAi < n + 1 - i, i - 1,., m} имеет место равенство

Xхf) (x) = ^г^щ J ax (Waf) (x) ft(da) связь с общим интегралом Пуассона);

6. При п > 2т — 1 в области

А, ц) € Cm X Ст | Re А; > m — г, Rе&>т-г, Re (Л,- + щ) < п + 1 - г } имеет место полугрупповое свойство

Хх(Х?ср))(х) = (Хх+^).(х).

Пусть «So(M„im) - подпространство Самко-Семянистого [31,96] в пространстве Шварца S(Mnim) таких функций tp, что их преобразование Фурье Туз вместе со всеми своими производными обращается в нуль на матрицах х € M„im, ранг которых менее т. Доказательство полугруппового свойства 6 теоремы 0.10 основано на следующих предложениях:

Предложение 0.9. ([53]) Потенциал Рисса Iх отображает S0(M„im) в себя и на So(M„im) имеют место равенства

Т{ХхтЧ>) Or) = т-;\х)Т^){х), (Xх (ВД) (х) = (Хх^ср) (х).

Предложение 0.10. ([53]) При п > 2m — 1 в области

А, ц) <Е Ст х Ст | Re Аг > т - г, Re щ > т. - г, Re (А{ 4- щ) < п + 1 - г} для <р € S{Мп<т) имеет место равенство

Xх (Х^)) (х) = В„,т(А, /х) (JrA+'V) (*)•

Потенциалы Рисса представляют собой решения интегральных уравнений со сложным степенным ядром. Пусть ф е <S(M7ijm).

Определение 0. 17. ([53]) Интегральным уравнением со сложным степенным ядром на M„it„, п > 2т, называется уравнение вида

J r\y)ip{x - y)n{dy) = -ф{х)

Мп,п в области

А Е С"' | ReA i >m-i, ф п-i -Iк, к £ N, г = 1,., т}.

Теорема 0.11. ([53]) При п > 2т в области

А € Ст | т - г < ReAi < т - г + 2, г = 1,., т} решение интегрального уравнения имеет вид м„.т

Р = Ф = (2.2;,0,.,0) е и аналитически продолжается на всю область

А € Ст | ReA; > т - г, А; ф п - г - 1 -f Л е N, г = 1,., т} б вг/<?е потенциала Рисса

1\т(т+1)/2 Г„ т(А) {Х)'

В заключительной главе IV "Изогюйгенсовы деформации однородных операторов": напоминается определение калибровочно эквивалентных дифференциальных операторов [65], указываются и устанавливаются необходимые свойства таких операторов [44,47,65]; приводятся основные сведения об анзатце Береста-Веселова-Молчанова [4,65]; вводится определение понятия пошаговой калибровочной эквивалентности даф-ференциальных операторов [44], являющегося достаточным условием калибровочной эквивалентности дифференциальных операторов; для линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами в главной части описывается критерий пошаговой калибровочной эквивалентности [55]; решается проблема Адамара в классе пошагово калибровочно эквивалентных деформаций априори гюйгенсовых однородных дифференциалных операторов с постоянными коэффициентами; приводятся примеры зависящих от времени изогюйгенсовых деформаций степеней волнового оператора [46], изогюйгенсовых деформаций степеней оператора Кэли-Гординга-Гиндикина по выделенной переменной [51], изогюйгенсовых деформаций операторов Кэли-Гординга-Гиндикина и Кэли-Лапласа на V7n и на М„,т соответственно [55].

Примеры изогюйгенсовых деформаций фактически получены на основе нового метода пошаговой калибровочной эквивалентности дифференциальных операторов, изложенного в настоящей главе, и результатов предыдущих глав.

Дадим более детальные формулировки результатов. Пусть Л, В и С - произвольные операторы на Rw, N >1.

Определение 0. 18. ([65]) Оператором косого присоединенного действия называется оператор adk £ Z+, определяемый следующим рекуррентным соотношением ad\ВС=С, adXeC= ad%>(AC-CB), k G N.

Определение 0. 19. ([65]) Дифференциальный оператор С2 называется калибровочно эквивалентным дифференциальному оператору А на RN при помощи функции /, если найдутся натуральное число М и ненулевая бесконечно дифференцируемая функция / такие что ric2Xi f = 0.

Отметим, что если ad^^Ci / = 0> т0 все следующие степени оператора косого присоединенного действия также нулевые. Таким образом, число М в определении 0.19 естественно назвать показателем калибровки.

Пример 0. 1. Пусть d/dx - оператор дифференцирования на R, тогда имеет место следующее равенство с единичным показателем калибровки lp/dx2-2/x2,,Pfdx2 Х =

Пусть к(С) - главный символ оператора С, f фиксированная точка RN, < • > - стандартное скалярное произведение на RN.

Предложение 0.11. ([47,65]) Калибровочно эквивалентные операторы обладают следующими свойствами:

1. Пусть с - произвольная постоянная, тогда сС) = с ad%BC-,

2. Если А и С2 - линейные дифференциальные операторы, то для любого М G N имеет место равенство

12А /) = / - ;

3. Если линейные операторы С2 и С\ калибровочно эквивалентны, то к{С2) = к(А);

3. Оператор C,<i калибровочно эквивалентен оператору А при помощи функции f с показателем калибровки М тогда и только тогда, когда найдется ненулевая бесконечно дифференцируемая функция f такая, что дифференциальный оператор м ■ /) ^ fc=о ' со спектральным параметром t е R будет сплетающим для операторов С2 и С\ на *«/)(!-а);

4. Если линейный дифференциальный оператор £2 с неизвестными коэффициентами калибровочно эквивалентен заданному линейному дифференциальному оператору при помощи некоторой функции /, то это условие равносильно некоторой системе нелинейных дифференциальных уравнений на коэффициенты оператора £2, функцию /;

5. Если оператор £2 калибровочно эквивалентен линейному дифференциальному оператору С\ с постоянными коэффициентами на KN при помощи некоторой фиксированной функции f с показателем калибровки М,то функция фи(х) = ad£)£l / [е<^>] является собственной функцией оператора £т с собственным значением, совпадающим со значением символа k(£i) оператора £1 в точке £ :

На R'v, N > 1, рассмотрим линейный однородный дифференциальный оператор £о порядка К > 2 с постоянными коэффициентами.

Определение 0. 20. ([65]) Оператор £0 обладает ядром Рисса на Rw, если существует семейство обобщенных функций мероморфных в области Re а > ао, ао < 0, комплексного параметра a G С, удовлетворяющее свойствам а Ф<-> = «£-", *S=i

5 - дельта-функция Дирака).

Формально, ядро Рисса можно построить при помощи интегралов Фурье [67]. Однако, есть ряд конкретных примеров, когда эта процедура приводит к явным выражениям для ядер Рисса дифференциальных операторов [4,16,48,64].

Определение 0. 21. Деформацией £ оператора £о называется оператор = £о + ., получаемый из Со добавлением линейных дифференциальных операторов меньшего порядка с переменными коэффициентами и неприводимый к Со элементарными преобразованиями.

Очевидно (см. предложение 0.11, свойство 3), что если операторы калибровочно эквивалентны, то один из них является деформацией другого.

На протяжении всей работы символом Ch, k € Z+, обозначается деформация оператора Со, подчиненная условию A-[fc=0 = -Со- Также, пусть везде f е - точка области аналитичности коэффициентов оператора £&.

Теорема 0.12. ([65]) (Береста-Веселова-Молчанова). Пусть оператор Ск калибровочно эквивалентен оператору Со при помощи функции fk с показателем калибровки М, тогда семейство

В формулировке этой теоремы фактически указан анзатц Береста-Веселова-Молчанова. Доказательство теоремы Береста-Веселова-Молчанова основано на методе сплетающих операторов со спектральными параметрами [4,65] и условии калибровочной эквивалентности операторов. Даже для конкретных деформаций Сь проверка условия калибровочной эквивалентности затруднительна [4,62,63,65]. При этом можно ли построить калибровочно эквивалентные деформации произвольного однородного оператора Со - не ясно. Возникает задача: указать алгоритм нахождения коэффициентов деформации Ск с ядром Рисса из предыдущей теоремы [65].

Для решения поставленной задачи вводится более сильное, по сравнению с определением калибровочно эквивалентных операторов, определение.

Определение 0. 22. ([55]) Операторы С;., к = 0,1,., s, для некоторого натурального s удовлетворяют условию пошаговой калибровочной эквивалентности, если для всех k = 1, и некоторой функции / выполняется равенство

M f 1\s Qs

- Ыск,Со л) оР>

Q - достаточно велико) задает ядро Рисса для оператора Си :

А (т#(Л) = КШ

Ща-х / = о

Предложение 0.12. ([47]) Если операторы к = 0,1, .,s, удовлетворяют условию пошаговой калибровочной эквивалентности при помощи функции /, то оператор Cs калибровочно эквивалентен Со посредством функции fs с показателем калибровки s : = 0. к = :1,в>. =» ad^0 Г = 0. Доказательство достаточного условия основано на сплетающем соотношении где сплетающий оператор %"{f) задается равенством s

TAf) = H(f + 4^,-k+i,c3kf)), к=1 с независимым от t слагаемым T0s(f) = /5.

Примеры показывают, что достаточное условие в предложении 0.12 не является необходимым.

Пусть Ii - мультииндекс, состоящий из нулевых элементов за исключением единицы на ?-ой позиции.

Предложение 0.13.([47]) Пусть к - мультииндекс фиксированных неотрицательных целых параметров, k = (ki,., kr), г = 1,2,.; С~к -линейный дифференциальный оператор на зависящий от к. Если для любых ki = 1, 2,., s,-, i — 1,., г, оператор Cj. калибровочно эквивалентен оператору £jti, при помощи функции fa с единичным показателем калибровки, то:

1. Оператор С5 калибровочно эквивалентен оператору С5Ьг.1г, г — 1,.,г, при помощи функции с показателем калибровки s;;

2. Оператор С5 калибровочно эквивалентен оператору Cq при помощи функции fs с показателем калибровки |s|.

На основе метода Фурье разделения переменных и условий пошаговой калибровочной эквивалентности построим деформации опаератора Со по выбранному направлению. Для этого введем так называемые AD—матрицы [44].

На R/' = {х = (y,z), у € R, z £ R^-1} представим Со в виде к s=0 где d = d/dy и Д, - дифференциальные операторы по г с постоянными коэффициентами (фактически, можно считать, что А3 ~ константы). Пусть к

А = £ <рквШ", к g Z+, s=0 неэлементарная деформация оператора CQ на R с почти всюду гладкими коэффициентами <рк(у), зависящими от неотрицательного целого параметра к :

4>к = ViF1 = vk-i = VkK-1 = Лк-и k = 1; 2;. первое условие определяет деформацию, а второе - ее неэлементарность).

Далее выясняется, какие алгебраические условия нужно наложить на функции tpk, s = 0; 1;.; К, и /, чтобы для С к выполнялись условия пошаговой калибровочной эквивлентности операторов. Пусть д^{у) - s—ая производная функции д(у), уЕ R.

Определение 0. 23. ([44]) ADk—матрицей оператора Ск на функции f называется квадратная (К + 1)—матрица следующего вида гШ) ••■ r*K(f)\

AD*(/) = : : , / е C~(R), гШ ■■■ rkKK(f)J

4(f) = 4 = (•) №(т){я-Л -9s(f) (<pnis-j)),

Теорема 0.13. ([44]) Имеют место следующие свойства ADk—матрицы: 1- rjK + rKj — 0 для любых j = 0; 1;.; К;

2. Элемент определяется функцией f и старшим коэффициентом оператора Ск : rk zv-2 л2 fn

ГК-1,К-1 — Л jkk J ■

3. Оператор ad£t)вполне определяется элементами матрицы ADk(f), то есть имеет место равенство:

2 к

3=0 где

E^-i, j = 0;l; i=о

Е j = K + l;.-2K.

К i=j-K

Следствие 0. 4. Для того чтобы выполнялось условие пошаговой калибровочной эквивалентности необходимо, чтобы функция f была линейной.

На основе решения переопределенной системы 2К +1 нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений Rk = 0 доказываются теоремы:

Теорема 0.14. ([44]) Для того чтобы оператор ad^ £ / на пространстве дифференцируемых функций был тождественно нулевым необходимо и достаточно, чтобы матрица ADk(f) оператора Ск на функции f была кососимметрической. Теорема 0.15. ([44]) Дифференциальный оператор

Ъ - Ь + Е (§ (я ■-:0 (Т) (Jf Ц * порядка К с першенными коэффициентами имеет ADk-матрицу ADк(у) на функции f(y) = у со следующими элементами гЬ £(-1Г'(*-р)ft'") р=0 я=0 \ / \ j / у где (к,р) = к (к + 1) •. • (к +р — 1), (к, 0) = 1 - символ Похгаммера.

Теорема 0.16([44]) (о деформации по выбранному направлению). Дифференциальный оператор f>i)p~,&>-ц С У) d; порядка К является калибровочно эквивалентным оператору Со на R при помощи функции ук с показателем калибровки к °

На вопрос о пошаговой калибровочной эквивалентности деформаций С^, к £ {0} U N, также сводится к вопросу о решении переопределенной системы дифференциальных уравнений в частных производных на коэффициенты деформаций и на функцию /. ^

Пусть ^

4> = £ ц, \ti\=k где /а = (//!,., /хдО ~ мультииндекс целых неотрицательных чисел, \pi\ = ц\ -I- . +

Вводится деформация оператора Со, зависящую от параметра к £ {0} U N С"= £ uj(s)=0, H<if; U;(a;)=«J(x)=aM> И = tf, с почти всюду гладкими коэффициентами ик(х). Для любой гладкой ненулевой функции / положим si(f) = Е (f) - f> и ^ к>

0>М, \Р\<К Е (t) К (^"Ч) - st (^"Ч"1)]> м, i/?i <

1>Р, |7|<Л" W где биномиальный коэффициент на мультииндексах задается произведением биномиальных коэффициентов на соответствующих подиндексах и /3 > ц /?* > fa, i — 1

Теорема 0.17. ([47]) Условие пошаговой калибровочной эквивалентноти равносильно переопределенной системе

Г Е rk ря-Р о. Ы < к-,

Е = 1 + А'<|7|<2^

2K^N) нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных на и*(х) и на /. dy2 а

Пример 0. 2. ([81,83]) Пусть А = -j-j, У € R. Оператор

А = Аз + wfc(j/), А; = 0,1,., щ(у) = 0, определяет деформацию оператора А потенциалом ит(у). Тогда = о. О о (у) = 0 f"(y)= 0, , МЫу) - Uk-M)' + 2Пу)Ыу) - Vk-i(y)) = 0, * /(у)Ыу) - ик-\{у))" + 2ПуШу) - *ПуН-Лу) - МЫу) - (у))2 = о, «о (у) = 0.

В результате, с точностью до сдвигов у —> у + const, последняя система имеет единственное решение f(y) - У, к(к + 1) щ(у) =--■

Однородный дифференциальный оператор С0 порядка К с постоянными коэффициентами есть однородная А'—форма от частных производных = д/дх^ с симметрической N х . х N—матрицей рц = 1,., N, г — 1,., К :

Со = ^ а-ри-м В RN выбирем произвольный ненулевой векторный параметр и для s = 1,., К составим суммы Для 5 = 0 положим

Яо = <7о(м, А) = амь.1МАГ.

Очевидно, что операторы (-l^-lQM) V- . АЛ я я s=0 ' ii являются деформациями оператора С0. Иными словами TZq = £0 и lZk — CQ члены меньшего порядка. Теорема 0.18. ([55]) Пусть Ф^ есть ядро Рисса оператора Со, тогда семейства обобщенных функций l. lt=0 ) aec где

Hkt (< A *>*)=£ ^ ( a< A, x >k) *L, з=0 являются ядрами Рисса операторов 7Z^, k e {0} U N.

Доказательство этой теоремы основано на применении анзатца Береста-Веселова-Молчанова и на условии калибровочной эквивалентности операторов lZk и С0 при помощи функции < А,х >к:

А,х>к=0. 34

Доказательство последнего равенства основано на пошаговой калибровочной эквивалентности операторов TZk> fc £ {0} U N.

Теорема 0.19. ([55]) Для того чтобы операторы Ск удовлетворяли условиям пошаговой калибровочной эквивалентности необходимо и достаточно, чтобы с точностью до сдвигов переменной х £ R^ имело место равенство

Г ^ (-1)'-Ч*- 1QM ^ , Q ,

Ск = Кк = }^-<Ах>*s=0 ' fi

Примеры показывают, что существуют системы А = {А = (Лх,., А^) £ RA'} ненулевых векторов в Rn и ненулевые функции кд : А—> Z+, такие что деформации s=2 ^ ' Лед ' ц калибровочно эквивалентны оператору С0 при помощи функции 1{кЛ}(х) с показателем калибровки |&| : clZxo f{*A) = 0, f{kA}(х) = П < А, X >4 |*| = 2 кА.

Аел АеА

Пример 0. 3. Пусть система А состоит из одного вектора и {/с^} = к £ {0} UN, тогда получается деформация из теоремы 0.19. Пример 0. 4. Пусть х = (xi, £ R^ и д2 д2 Со = А = тго + + дх\ "' дх\ N оператор Лапласа на К = 2. В качестве А возьмем положительные корни произвольной корневой системы в Rw, отвечающей конечной группе W =< s^ >, порожденной отражениями

2 < А, х > . sAx = х---г—-А А, А > в RN. В качестве к а возьмем функции, инвариантные относительно действия указанной группы: kWA — к a, Vu; £ W. Тогда, поскольку { ?'Г - Г яЛ»,А)=<А,А>,

I Ml — М2, получаются деформации

С{кА)=А-У:Щ*±4<А>А> оператора Лапласа. Эти деформации совпадают с известными деформациями оператора Лапласа потенциалами Калоджеро-Мозера [4,62,65] и удовлетворяют условию калибровочной эквивалентности при помощи функции 1{кл) с показателем калибровки \к\.

В результате деформация волнового оператора потенциалами Калоджеро-Мозера и ее степени

Аел ' / являются изогюйгенсовыми [62]. При этом принцип Гюйгенса для таких операторов выполняется, если нечетное N удовлетворяет неравенству [62]

2 кл < N ~ 1 - 25aga

Теорема 0.12 об анзатце Береста-Веселова-Молчанова показывает, что для наличия принципа Гюйгенса у деформарованного оператора необходимо, чтобы исходный оператор Со и его некоторая степень s > 1, были гюйгенсовыми операторами. В этой связи естественно ввести следующее определение.

Определение 0. 24. Пусть дифференциальный оператор С удовлетворяет принципу Гюйгенса. Максимальную степень Н (конечную или бесконечную) при которой дифференциальный оператор

Сн остается гюйгенсовым, назовем показателем гюйгенсовости оператора С.

Пример 0. 5. На R1+7V рассмотрим волновой оператор ~ — - д2 dt2 дх\ "" dx2N

При нечетных N волновой оператор удовлетворяет принципу Гюйгенса. При этом оператор Ds' удовлетворяет принципу Гюйгенса, если нечетное N удовлетворяет неравенству s < (N — 1)/2 (см., например, [92]). Таким образом, показатель гюйгенсовости волнового оператора равен Н — (N — 1)/2.

Теорема 0.20. Пусть Со - однородный дифференциальный оператор порядка К с постоянными коэффициентами и показателем Н гюйгенсовости. Оператор Сь является изогюйгенсовой пошагово калибровочно эквивалентной деформацией оператора Со, если и только если k < Н — 1 и с точностью до сдвигов переменной

А = 2^-< А х - !>(/*»Л)

4=0 ' д при некотором А ф 0.

Замечание 0. 1. Любая степень г оператора также удовлетворяет принципу Гюйгенса, если к < Н — г.

В заключении главы приводятся примеры изогюйгенсовых деформаций. Пример 0. 6- Временные деформации степеней волнового оператора и степени таких деформаций [46]. На R1+jV рассмотрим деформации степеней волнового оператора с переменными по времени коэффициентами штельмахеровского типа: )

CpA.W = (~iy+j+1(2p -j-1) Q?) fy (k, 2p - j).

Здесь k = 0,1,.; s = l,2,.; [■] - целая часть числа; Q - биномиальный коэффициент; (•, •) - символ Похгаммера; А - оператор Лапласа на Rw. Пусть 7(t, х) = t2 — х\ — . —

Определение О. 25. ([12]) s-ой производной (7) дельта-функции поверхности 7 = 0 называется обобщенная функция в R1+w

00

W(tM = ^ / 1Г1 ^ [P^Mt,P)]\p=l2dt,

00 fo(t,p) = J <p(t,y/pLj)du, y?es(R1+JV),

SN где SN - единичная сфера в R^ с центром в начале координат.

Предложение 0.14. При нечетных N, удовлетворяющих условию

-2s Г' для оператора Cks выполнен принцип Гюйгенса: главное фундаментальное решение этого оператора имеет вид ь»шг+л-i), К-*1') и supp S£rjt - eV - 0 - {(t,x) € R1+"| 7(t - - f) = 0} , codim ^supp^r s(t - f°,x - £)) = 1.

Пример О. 7. Деформации оператора Кэли-Гординга-Гиндикина по выбранному направлению [51]. Пусть SM„, - пространство вещественных симметрических матриц а = (aij) порядка т. На SMm рассмотрим гиперболический оператор Кэли-Гординга-Гиндикина

Оператор V?™ удовлетворяет принципу Гюйгенса, если 2рт + 1 < т. Представим оператор Т>т в виде vm = "Рщ— 1 h Qm> дап где 'Pm-i и Qrn не зависят от д/дац. Рассмотрим деформацию оператора в направлении переменной ап - +Е (£ (-W. -1) С;j) (/;,) ^ «■--<) 4 Л. >

Обозначим через Vfn - подмногообразие в Vm неотрицательно определенных матриц ранга г = 0,1,., m — 1. Введем на V7Tn почти глобальные координаты. Все матрицы а € V^, за исключением подмногообразия матриц меньшей размерности, имеют г первых линейно независимых столбцов и представляются в виде a^z \ V'zaW 'za^z ) ' где a<r> - подматрица порядка г, а МГ)ШГ. Обозначим это подмножество через W. На W зададим меру dra = —;--у—г- (deta^) 2 da^dz,

7Гг(т-г)/2Гг (0 V ) удовлетворяющую условию квазиинвариантности dr('gag) = | detg\r dra, g 6 GL(vi).

Определение 0. 26. ([42]) Обобщенной функцией <5(V^), связанной с поверхностью VT'n в SMm, назовем интеграл J 4>{a)dra = J ip(a)dra, tpeS(SMm).

Vm W

Предложение 0.15. Если параметр k G N удовлетворяет условию

4 , - тп ~ 1

--s<k< —--s, s£N

Pm 2 pm то для оператора Скрт выполнен усиленный принцип Гюйгенса: главное фундаментальное решение этого оператора имеет вид (-1)'" ОТ1) К,^ *кп) S(V^) i=0 ^ ' U supp£4pJa -0 = dimT^ = mr

Пример О. 8. Деформации операторов Кэли-Гординга-Гиндикина [55]. Пусть а € SMm - симметрическая матрица переменных, А € SMm - симметрическая матрица параметров, отличная от нуля. Пусть fA (а) = tv(Aa) след матрицы Аа; — ~ матрица операторов частных производных; s — 0,1, .,m, 1 < i\ < . < is < т - матрица ду которой строки с номерами ., is заменены на соответствующие строки матрицы А. Обозначим через саа.(А,г) = J2 det(^.J l<»l<.<is<m

- однородный оператор порядка т — s; CGG0 = Vm, CGGm = det(^4) и рассмотрим деформацию fs fM оператора Кэли-Гординга-Гиндикина Т>т = det(5") с особенностями на плоскостях tr(Ai) = 0.

Предложение 0.16. Если параметр k е N удовлетворяет условию к < тп - 1 - 2s, s € N, то для оператора Ск выполнен усиленный принцип Гюйгенса: главное фундаментальное решение этого оператора имеет вид ч(а ~о==жф0 ыу СТ 0 5{v™j)' ti{A°Ф и supp £Csk{a-fi) = V°+k.

Пример 0. 9. Деформации операторов Кэли-Лапласа [55]. Пусть х е Мп<т -прямоугольная матрица переменных, X G Mn m - прямоугольная матрица параметров, отличная от нуля. Пусть fx(x)=tv('Xx) след матрицы 'Хх; 8х = ^ ~ матрица операторов частных производных; <9*. iip, р = 0,1, .,m, 1 < i\ < . < is < р - матрица 3х, у которой столбцы с номерами ii, .,гр заменены на соответствующие столбцы матрицы X. Обозначим через

CLS(X,&") = 2 det i'dL,iPdL.J4) > - = 2™' il<.<ip<m l<Jl<.<Jg<m р+ч=>

- однородный оператор порядка 2m — s; CL0 = Am, С L2m = X X) и рассмотрим деформацию s=2 оператора Кэли-Лапласа Am = det( '0х0х) с особенностями на плоскостях tr( 'Хх) = 0. Предложение 0.17. Если параметр к е N удовлетворяет условию к < ^ min{m — 1, т — п} — sGN, то для оператора Ск выполнен усиленный принцип Гюйгенса: главное фундаментальное решение этого оператора имеет вид с%{а~°=кжт £ (s+-«,Дт ш) б(м^) tr('X6) + О, supp££»(z - 0 = Щ™

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Хэкало, Сергей Павлович, 2008 год

1. Ж. Адамар, Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа, - М.:Наука, (1978).

2. В.М. Бабич, Анзатц Адамара, его аналоги, обобщения, приложения, Алгебра и анализ, т.З, в.5, (1991), с. 1 - 37.

3. Ю.Ю. Берест, А.П. Веселое, Проблема Адамара и группы Кокстера: новые примеры гюйгенсовых уравнений, Функц. апал. и его прил., т. 28, 1, (1994), с. 3- 15.

4. Ю.Ю.Берест, А.П.Веселов, Принцип Гюйгенса и интегрируемость, УМН. т.49, 6(300), (1994), с.8-78.

5. И.Н. БернштеЙн, Аналитическое продолжение обобщенных функций по параметру, Функц. аназиз и его прил., т.6(4), (1972), с.26-40.

6. Б.Р. вайнберг, С.г. гиндикин , Об усиленном принципе Гюйгенса для одного класса дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, Труды Моск. матем. о-ва 16, (1967), с.151-180.

7. А.П. Веселов, К.Л. Стыркас, О.А. Чалых, Алгебраическая интегрируемость для уравнений Шредингера и группы, порожденные отражениями, ТМФ, т. 94, N 2, (1993), с. 253 - 275.

8. А.М.Габриелов, В.П.Паламодов, Принцип Гюйгенса и его обобщения. ( В книге И.Г.Петровский, Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. Избранные труды.) М.:Наука, (1968), с.449-456.

9. Г.П. Гаврилов, А.А. Сапоженко, Сборник задач по дискретной математике,- М.:Наука, 1977.

10. С.А. Гальперн, Лакуны негиперболических уравнений, ДАН СССР, т. 132, N 5, (1960), с. 990 - 993.

11. Ф.Р. Гантмахер, Теория матриц, М.:Физматгиз, 1988.

12. ИЖГельфанд, Г.Е.Шилов, Обобщенные функции и действия над ними. Вып. 1,- М.: Физматгиз, (1985).

13. И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов, Пространства основных и обобщенных функций. Вып.2, М.: Физматгиз, (1958).

14. И.М. Гельфанд, С.Г. Гиндикин, М.И. Граев, Избранные задачи интегральной геометрии , М.:Добросвет, (2000).

15. И.М. Гельфанд, М.И. Граев, И.И. Пятецкий-Шапиро, Теория представлений и автоморфные функции. Вып. 6, М.: Наука, (1966).

16. С.Г. Гиндикин, Анализ в однородных областях, УМН, т.19, 4(118), (1964), с.3-92.

17. С.Г.Гиндикин, Задача Коши для сильно однородных дифференциальных операторов, Труды Моск. матем. о-ва 16, (1967), с.181-208.

18. Денеф Жан, О локальной дзета-функции Игузы, (Труды семинара Н. Бурбаки за 1991г.) М.:Мир, (1998), с.300-330.

19. Н.Х. Ибрагимов, Группы преобразований в математической физике, М.:Наука, (1983).

20. Н.Х. Ибрагимов, А.О. Оганесян, Иерархия гюйгенсовых уравнений в пространствах с нетривиальной конформной группой, УМН, т.46, в.3(278), (1991), с. 111 - 146.

21. А.И. Комеч, Линейные уравнения в частных производных с постояннъши коэффициентами , Итоги науки и техники, Совр. пробл. мат., Фундамент, направл., т. 31, (1988), с. 127-261.

22. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, М.:Физматгиз, (1989).

23. С. Ленг, Математические беседы для студентов, Удмурдский госуниверситет, (2000).

24. Ю.А. Неретин, Матричные аналоги бета-функции и формула Планшереля для керн-представлений Березина, Матем. сб., т. 191, (2000), с. 67-100.

25. Ю.А. Неретин, Бета-интегралы и конечные ортогональные системы многочленов Вильсона, Матем. сб., т. 193, (2002), с. 131-148.

26. Е.Е. Петров, Преобразование Радона в пространстве матриц, МГУ, Труды сем. по вект. и тенз. ан., 15, (1970), с.299-315.

27. Е.Е.Петров, Вычеты обобщенной функции | detx|Asgnl/(detx), Известия ВУЗов, Математика, 3, (1991), с.83-86.

28. И.Г. Петровский, Избранные труды, т.1 М.: Наука, (1986).

29. И.Г.Петровский, О диффузии волн и лакунах для систем гиперболических уравнений, Матем. сб., т. 17, (1945), с. 289 - 370.

30. Семенов-Тян-Шанский М.А., Гармонический анализ на римановых симметрических пространствах отрицательной кривизны и теория рассеяния, Изв. АН СССР, сер. матем., т. 40, (1976), с. 562 - 592.

31. В.И. СемянистыЙ, Некоторые интегральные преобразования и интегральная геометрия в эллиптическом пространстве, МГУ, Труды сем. по вект. и тенз. ан., 12, (1963), с.397-441.

32. В.И.СемянистыЙ, Некоторые задачи интегральной геометрии в псевдоевклидовых и неевклидовых пространствах, МГУ, Труды сем. по вект. и тенз. ан., 13, (1963), с.244-302.

33. Т. Спрингер, Теория инвариантов, М.:Мир, (1981).

34. В.Б. Творогов, Резкий фронт и особенности решений одного класса негиперболических уравнений, ДАН СССР, т. 244, N 6, (1979), с. 1327 - 1331.

35. Ж. Трев, Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами, М.: Мир, (1965).

36. Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3, М.: Физматгиз, (1963).

37. С. хелгасон, Преобразование Радона, М.: Мир, (1983).

38. Хуа Л о Кен, Гармонический анализ функций многих комплексных переменных в классических областях, М. Физматгиз, (1967).

39. С.П. ХэкАЛО, Изогюйгенсовы деформации однородных дифференциальных операторов, связанных со специальным конусом ранга 3, Математические заметки, т.70, в.6, (2001), с.927-940;

40. С.П. ХэкАЛО, Калибровочная эквивалентность дифференциальных операторов, Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, (2002), с. 138-140;

41. С.П. хэкало, Изогюйгенсовы деформации ультрагиперболического оператора, Математические вопросы теории распространения волн, С.-Петербург, ПОМИ, т.285, (2002), с. 207-222;

42. С.П. хэкало, Изогюйгенсовы деформации оператора Кэли общим потенциалом Лагнезе-Штельмахера, Известия Академии Наук, Математическая серия, т.67 е 4 ,(2003), с. 189-212;

43. С.П. ХЭКАЛО, Сильно однородные дифференциальные операторы на пространстве прямоугольных матриц, Препринт ПОМИ РАН, 11,(2004), с. 1-13;

44. С.П. ХЭКАЛО, Калибровочно эквивалентные деформации обыкновенных линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, Математические вопросы теории распространения волн, С.-Петербург, ПОМИ, т.308, (2004), с. 235-251;

45. С.П. ХЭКАЛО, Калибровочно эквивалентные многочлены и изогюйгенсова деформация операторов, связанных с конусом симметрических матриц, Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, (2004), с. 226-229;

46. С.П. хэкало, Временные деформации степеней волнового оператора, Математические вопросы теории распространения волн, С.-Петербург, ПОМИ, т.324, (2005), с. 213-228;

47. С.П. ХЭКАЛО, Пошаговая калибровочная эквивалентность дифференциальных операторов, Математические заметки, т.77, в.6, (2005), с. 917-929;

48. С.П. ХЭКАЛО, Дифференциальный оператор Кэли-Лапласа на пространстве прямоугольных матриц, Известия Академии Наук, Математическая серия, т.69, 1, (2005), с. 195-224;

49. С.П. хэкало, Дзета-функция Игузы, ассоциированная со сложной степенной функцией на пространстве прямоугольных матриц, Матем. заметки, т.78, 5, (2005), с. 773-791;

50. С.П. Хэкало, Однородные дифференциальные операторы и потенциалы Рисса на пространстве прямоугольных матриц, ДАН, т.404, 5, (2005), с. 604-607;

51. С.П. Хэкало, Применение метода Фурье разделения переменных к построению точно решаемых деформаций дифференциальных операторов в частных производных, Современная математика и ее приложения, т. 38, (2006), с. 154-160;

52. С.П. ХэкАЛО, Уравнение теплопроводности на пространстве матриц, Препринт ПОМИ РАН, 02, (2005), с. 1-15;

53. С.П. Хэкало, Потенциалы Рисса, ассоциированные со сложной степенной функцией на пространстве прямоугольных матриц, Препринт ПОМИ РАН, 11, (2005), с. 1-30;

54. С.П. Хэкало, Потенциалы Рисса, ассоциированные со сложной степенной функцией на пространстве прямоугольных матриц, Ученые записки ПОМИ РАН, т. 327, (2005), с. 207-225;

55. С.П. Хэкало, Критерий пошаговой калибровочной эквивалентности деформаций однородных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, Препринт ПОМИ РАН, 13, (2005), с. 1-17.

56. С.П. ХэкАЛО, Решение проблемы Адамара в классе пошагово калибровочно эквивалентных деформаций однородных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами Алгебра и анализ , т. 19, 6, (2007), с. 200-218.

57. Б.В. ШАБАТ, Введение в комплексный анализ. Часть 2, М.: Физматгиз, (1985).

58. Л.П. Шибасов, Интегральные задачи в пространстве матриц, связанные с функционалом Xхт, Известия ВУЗов, Математика, 8, (1973), с.101-112.

59. L. asgeirsson, Some Hints on Huygens' Principle and Hadamard's Conjecture, -Comm. Pure and Appl. Math., V. 9, N 3, (1956), p. 307 327.

60. L. Barchini, Zeta distributions and boundary values of Poisson transforms, J. Funct. Anal., v. 216, (2004), p. 47-70.

61. L. Barchini, M. Sepanski, R. Zierau Positivity of Zeta distributions and small representations, Preprint, (2000).

62. Y.Berest, Y.MOLCHANOV, Fundamental solution for partial differential equations with reflection group invariance, J.Math.Phis. V.36(8), (1995), p.4324-4339.

63. Y.Y.Berest, I.M.Loutsenko, Huygens' Principle in Minkowski Spaces and Soliton Solutions of the Korteweg-de Vries Equation, Commun.Math.Phys. 190, (1997), p.113-132.

64. Y. BEREST, Solution of a restricted Hadamard Problem on Minkowski Spaces, Comm. Pure. Appl. Math., V. 50, (1997), p. 1019 - 1052.

65. Y.BEREST, Hierarchies of Huygens' Operators and Hadamard's Conjecture, Acta Appl. Math. V.53, (1998), P. 125-185.

66. Y.BEREST, The problem of lacunas and analysis on root systems, Trans, of the Amer. Math. Soc., V. 352, N8, (2000), p. 3743 - 3776.

67. Y.Y.BEREST, The theory of lacunas and quantum integrable systems, CRM Series in Math. Ph., Springer-Verlag, (2000).

68. J.L.Burchnall, T.W.Chaundy, A set of differential eqations which can be solved by polynomials, Proc. London Math. Soc., 30, (1929-2930), p.401-414.

69. O.A. chalych, M.V. Feigen, A.P. Veselov, Multidimentional Baker-Akhiezer Functions and Huygens' Principle, Comm. Math. Phis., V. 206, (1999), p. 533 -566.

70. J.-L. Clerc, Zeta distributions associated to a representation of a Jordan algebra, -Math. Z., 239, (2002), p.263-276.

71. G. Darboux, Sur la representations spherique des surfaces, Compt. Rend., V. 94, (1882), p. 1343 - 1345.

72. J. Faraut, Integrales de Marcel Riesz sur un cone symetrque, Actes du colloque Jean braconnier (Lyon, 1986), p.17-30, Publ. Dep. Math. Nouvelle Ser. В, 1, (1987).

73. J. faraut, A. koranyi, Analysis on symmetric cones, Clarendon Press, Oxford, (1994).

74. B. Fuglede, An integral formula, Math. Scand.,6, (1958), p.207-212.

75. L. Garding, The solution of Cauchy's problem for two totally hyperbolic differential equations by means of Riesz integrals, Ann.Math. 48(4),(1947), p.785-826.

76. S.S. Gelbart, Fourier analysis on matrix space, AMS, 108, (1971).

77. P. Gunther, Ein Beispeil einer nichttrivialen Huygennchen Differentialgleichung mit vier unabhangigen veranderlichen, Archive Rat. Mech. and Analysis, V. 18, (1965), p. 103 - 106.

78. S. HELGASON , Integral Geometry and Multitemporal Wave Equation, Com. Pure and Appl. Math., V. 51, (1998), p. 1035 - 1071.

79. C. Herz, Bessel function of matrix argument, Ann. of Math., V.61, 3, (1955), p.474-523.

80. J. igusa, An introduction to the theory of local zeta functions, AMS,Providens, HI, International Press, Cambridge, (2000).

81. S.P. Khekalo, The gauge relation of differential operators and Huygens' principle, Day on diffraction'2002, Saint Petersburg, (2002), p. 32-34;

82. S.P. Khekalo, The Riesz potentials on the space of rectangular matrices, International conference Kolmogorov and contemporary mathematics, Moscow, (2003), p. 183-184;

83. S.P. Khekalo, The gauge related differential operators, Day on diffraction'2003, Saint Petersburg, (2003), p. 42-43;

84. S.P. Khekalo, The heat source on the matrix space, Day on diffraction'2005, Saint Petersburg, (2005);

85. S.P. Khekalo, Homogeneous differential operators on the space of rectangular matrices, Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения, Международная научная конференция ТВМНА, Воронеж, (2005), с. 6-8;

86. J.E. lagnese, A solution of Hadamard's problem for a restricted class of operators,- Proc. Amer. Math. Soc., V. 19, (1968), p.981 998.

87. J.E. lagnese, The Structure of a class Huygens' Operators, J. Math. Mech., V. 18, N 12, (1969), p. 1195 - 1201.

88. J.E. lagnese, K.l. Stellmacher, A method of generating class of Huygens' operators, J. Math. Mech., V. 17, N 5, (1967), p. 461 - 472.

89. M. MATHISSON, Le probleme de Hadamard relativ a la diffusion des ondes, Acta Math., V. 71, (1939), p. 307 - 327.

90. E. Ournycheva, B.Rubin, An analogue of the Fuglede formula in integral geometry on matrix space, Preprint, Math.FA/0401127, 1, (2004), p.1-20.

91. M. Rais, Destributions homogenes sur des espaces de matrices, -Bull.Soc.Math.Franse, Memore, 30, (1972), p.3-109.

92. M. rlesz, L'integrale de Riemann-Liouville et le probleme de Cauchi, Acta Math., 81, (1949), p.1-223.

93. B. Rubin, Zeta integrals and integral geometry in the space of rectangular matrices,- Preprint, The Hebrew Univ. of Jerusalem, March, (2004), p. 1-49.

94. В. Rubin, Inversion of k-plane transforms via continuons wavelet transforms, J. of Math. Anal, and Appl., 220, (1998), p.187-203.

95. B. Rubin, The Composite Cosine Transform on the Stiefel Manifold and Generalized Zeta Integrals, Preprint, The Hebrew Univ. of Jerusalem, Feb., (2005), p.1-21.

96. G.S. Samko, Hypersingular integrals and their applications, Analytical Methods and Special Functions, 5. Taylor and Francis, Ltd., London, (2002).

97. M. sato, T. Shintani, On zeta-functions associated with prehomogeneous vector spaces, Ann. of Math., 100, (1974), p.131-170.

98. E.M. Stein, Analysis in matrix spaces and some new representations of SL(N, C). -Ann. of Math., V.86, 2, (1967), p.461-490.

99. K.L. STELLMACHER, Ein Beispeil einer Huygennchen differentialgleichung, Nachr. Akad. Wiss., Gottingen Math. Phys. KI. Pa., V. 10, (1953), p. 133 - 138.

100. K.L. Stellmacher, Eine Klasse Huygenncher Differentialgleichungen und ihre Integration, Math. Ann., V. 130, N 3, (1955), p.219 - 233.

101. G. wilson, Bispectral commutative ordinary differential operators, J. reine angew. Math., V. 442, (1993), p. 177 - 204.

102. J.P. Zubelli, F. magri, Differential Equationes in the Spectral Parameter, Darboux Transformations and a Hierarchy of Master Symmetries for KdV, Comm. in Math. Phis., V. 144, (1991), p. 329 - 351.