Оптимальные вложения конусов функций со свойствами монотонности и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Бахтигареева Эльза Гизаровна
- Специальность ВАК РФ01.01.01
- Количество страниц 101
Оглавление диссертации кандидат наук Бахтигареева Эльза Гизаровна
Оглавление
Введение
1 Метод ассоциированных норм для построения идеальных оболочек
1.1 Основные определения, обозначения и свойства
1.2 Сопоставление с концепциями БФП, ОБФП
1.3 Оптимальное обобщенное банахово функциональное пространство для за-
данного конуса функций
1.4 Оптимальное банахово функциональное пространство для конуса, задан-
ного интегральным представлением
2 Ассоциированные нормы и оптимальные вложения для одного класса
двухвесовых интегральных квазинорм
2.1 Основные определения, обозначения и формулировка результатов
2.2 Доказательство результатов
2.2.1 Доказательство Теоремы
2.2.2 Доказательство Теоремы
2.2.3 Доказательство Теоремы 2.1.3 (сведение к Теореме 2.1.1)
2.3 Оптимальная банахова оболочка для конуса функций из Lp
3 Метод нестягивающих операторов для построения идеальных оболо-
чек
3.1 Основные определения, обозначения и формулировка результатов
3.2 Построение идеальных оболочек при различных отношениях порядка и
условиях монотонности
3.2.1 Оптимальное ИП для конуса неотрицательных убывающих функ-
ций
3.2.2 Оптимальное ИП для конуса двоякомонотонных функций
3.2.3 Оптимальное ИП для конуса обобщенно двояко монотонных функ-
ций
3.2.4 Оптимальное перестановочно инвариантное пространство для ко-
нуса двоякомонотонных функций
3.2.5 Оптимальное перестановочно инвариантное пространство для ко-
нуса двоякомонотонных функций при дополнительном ограничении
3.2.6 Оптимальное ИП для конуса неотрицательных обобщенно убыва-
ющих функций
2
Заключение
Литература
3
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК
Применение интегральных неравенств на конусах монотонных функций в теории вложения пространств Кальдерона2006 год, кандидат физико-математических наук Жамсранжав Даваадулам
Оптимальные вложения и двусторонние оценки модуля непрерывности для пространств обобщенных потенциалов2013 год, кандидат наук Малышева, Анастасия Владимировна
О вложении разных метрик для обобщенных пространств Бесова и Кальдерона2004 год, кандидат физико-математических наук Франсиско Эдуардо Энрикес Белалькасар
Интегральные свойства обобщенных потенциалов Бесселя–Рисса2022 год, кандидат наук Алмохаммад Халиль
Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов типа Бесселя и типа Рисса2011 год, кандидат физико-математических наук Гусельникова, Ольга Михайловна
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальные вложения конусов функций со свойствами монотонности и их приложения»
Введение.
Построение оптимальных оболочек для заданного конуса неотрицательных измеримых
функций, оценки положительных операторов на них имеют важные приложения в раз-
личных областях анализа, таких как, например, теория функциональных пространств,
теория приближения, теория вложений, теория интерполяции.
Тeория вложeний возникла в связи с задачами тeории уравнений в частных про-
изводных, в которых для исследования гладкости решений вводятся одни типы про-
странств, для изучения поведения вблизи границы области или вблизи каких либо осо-
бых точек - другие типы пространств. Многообразие различных пространств потребо-
вало детального изучения связей между этими пространствами. Возникновение теории
вложения связано с работами С. Л. Соболева в 30-е годы прошлого века. Oн вводит и
изучает новые функциональные пространства Wpr , которые в литературе стали назы-
вать соболевскими пространствами. Для этих пространств С. Л. Соболев доказывает
первые теоремы вложения, он применяет эти пространства при исследовании краевых
задач для эллиптических уравнений высокого порядка(см. [1, 2]). Систематическое из-
ложение теории функциональных пространств, теорем вложения этих пространств, тео-
рем о следах и приложений этих результатов к задачам дифференциальных уравнений
в частных производных и уравнений математической физики содержится в книге С. Л.
Соболева "Некоторые применения функционального анализа в математической физи-
ке"(см. [3]). Другое направление исследований связано с созданием С. М. Никольским
теории вложений пространств гельдеровского типа, образующих шкалу с непрерывно
меняющимися анизотропными характеристиками гладкости. О. В. Бесов ввел и изучил
r
более общие пространства Bpθ (Rn ), совпадающие при θ = ∞ с пространством Николь-
r n
ского Hp (R ) (см. [4, 5, 6]). В математической физике часто приходится иметь дело с
функциями пространств Соболева Wpr и их следами на границе Γ = ∂Ω области Ω, т.е.
предельными значениями f на Γ. Сами функции f удобно считать принадлежащими
пространствам Соболева Wpr . Но их граничные значения на Γ, которые тоже необходи-
мы, приходится рассматривать как принадлежащие к пространствам Бесова.
Первая интерполяционная теорема в теории операторов была получена М. Риссом
в 1926 в виде некоторого неравенства для билинейных форм ([7]). В 1939 Г.О. Ториным
теорема была уточнена и дана ee опeраторная формулировка ([8]). Существенным про-
движением явилась теорема Ж. Марцинкевича, сформулированная в 1939 году ([9]).
В 50-х годах важные обобщения теорем Рисса-Торина и Марцинкевича были получе-
ны Е. М. Стейном и Г. Вейсом. Однако, эти и многие другие результаты относились
к пространствам Lp или близким к ним. В своих работах [10] и [11] В. Орлич снаб-
дил более общее функциональное пространство нормой, что позволило рассматривать
4
эти пространства в рамках общей теории банаховых пространств, введенных С. Бана-
хом. Попытки унифицировать пространства Орлича и Лоренца в рамках одной акси-
оматики были предприняты в начале 50-х годов в работах [12], [13], [14]. Последняя
работа основывалась на теории пространств последовательностей Кете-Теплица ([15]).
В рассмотрение вводятся двойственные по Кете (или ассоциированные) пространства.
Двойственным по Кете пространством для функционального пространства X называ-
ется множество X 0 функционалов из двойственного пространства X ∗ , которые имеют
интегральное представление. К ассоциированным пространствам применим принцип
двойственности, то есть (X 0 )0 = X. Эти исследования привели к возникновению теории
банаховых функциональных норм и банаховых функциональных пространств, впервые
представленных Люксембургом в 1955 году ([16]). Разработка общих интерполяционных
теорем для семейств абстрактных банаховых и гильбертовых пространств была начата
в конце 50-х годов независимо в ряде стран. Первые публикации здесь принадлежат
Ж. Л. Лионсу (1958-1960 гг., [17]), Е. Гальярдо (1959-1960 гг., [18]), А. П. Кальдерону и
С. Г. Крейну (1960 г., см., например, [19]). В дальнейшем сущeствeнную роль сыграли
работы Я. Петре (см., например, [20]), в которых был развит метод вещественной ин-
терполяции,связанной со свойствами K-функционала Петре. Современному развитию
теории интерполяции и ее приложениям в теории функциональных пространств посвя-
щены исследования С. В. Асташкина [21, 22], Е. И. Бережного [23, 24], Ю. А. Брудного
и Н. Я. Кругляки [25, 26], В. И. Овчинникова [27, 28, 29] и др.
Проблема описания свойств монотонных операторов на конусах неотрицательных
функций со свойствами монотонности и, в частности, задача о построении оптималь-
ной банаховой или квазибанаховой оболочки для таких конусов весьма актуальна. Она
является важной составляющей частью общей проблемы об оптимальных вложениях
функциональных пространств, которая, в свою очередь, представляет собой важный
раздел общей теории оптимизации. Современное развитие теории оптимизации и ее
разнообразные приложения в теории экстремума, теории аппроксимации и теоремах
вложения представлены в монографиях А. Д. Иоффе и В. М. Тихомирова [30], Алексе-
ева В. М., Тихомирова В. М. и Фомина С. В. [31], В. М. Тихомирова и Г. Г. Магарил -
Ильяева [32]. Приведем некоторые примеры актуальных задач теории интегрирования,
теории функциональных пространств и теории вложений, решение которых требует
изучения свойств операторов на конусах функций, удовлетворяющих различным усло-
виям монотонности.
При изучении интегральных свойств функции проблему можно свести к изучению
интегральных свойств на конусе Ω0 неотрицательных монотонных функций, так как она
равноизмерима со своей убывающей перестановкой f ∗ (t) = inf {y ∈ R+ : λf (y) ≤ t} ∈
Ω0 , t ∈ R+ , где λf - Лебегова функция распределения (более подробно см. Главу 2 в
[33]). Например,
Z Z
∗
loc n
f ∈ L1 (R ) ⇔ f ∈ L1 (0, t), t ∈ R+ ; p
|f | dµn = (f ∗ )p dµ1 , p > 0,
Rn R+
n
где µn , µ1 - мера Лебега на R или на R+ = (0, ∞) соответственно.
Интегральные свойства максимальной функции Харди-Литтлвуда M f играют важную
роль в проблемах теории функциональных рядов, в Фурье-анализе, в теории приближе-
ний и т.д. Интегральные свойства M f определяются ее убывающей перестановкой. Но
5
существует двухсторонняя оценка: (M f )∗ ∼
Rt
= f ∗∗ , где f ∗∗ (t) = t−1 0 f ∗ dτ - элементарная
максимальная функция, которая является двояко монотонной, то есть f ∗∗ ↓, tf ∗∗ (t) ↑ .
Например, Z Z
p ∼
|M f | dµn = (f ∗∗ )p dµ1 , p > 0.
Rn R+
Тем самым, изучение интегральных свойств M f сводится к оценкам оператора типа
Харди на конусе монотонных функций.
Интегральные свойства операторов типа Харди на конусах убывающих функций
играют также важную роль в теории вложения для пространств Лоренца. Рассмотрим
пространства Лоренца с общими весами v, w, которые являются положительными и
конечными µ1 -п. в. :
( Z 1 )
∞ p
Λp (v) = f: kf kΛp (v) = (f ∗ )p vdt <∞ ,
0
( Z ∞ 1q )
Γq (w) = f: kf kΓq (w) = (f ∗∗ )q wdt <∞ ,
0
где 0 < p, q < ∞. Так как f ∗ ≤ f ∗∗ , то Γp (v) ⊂ Λp (v). Но из определений также следует,
например:
Λp (v) ⊂ Γq (w) ⇔ HΩ0 (p, q) < ∞, 0 < p, q < ∞,
где " Z
∞ Z t q 1q Z ∞ − p1 #
−q p
HΩ0 (p, q) = sup gdτ t wdt g vdt ,
g∈Ω0 0 0 0
Ω0 = {g : 0 ≤ g(t) < ∞, g(t) ↓ на R+ } .
Проблема вложения сведена к вопросу об ограниченности оператора Харди на конусе
Ω0 ∩ Lp (v).
Вопросы вложения для пространств Бесова могут быть сведены к изучению свойств
положительного оператора на конусе монотонных функций. А именно, пусть f ∈ Lp (Rn ),
1 ≤ p ≤ ∞. Рассмотрим модули непрерывности порядка k в Lp (Rn ) :
n o
ωpk (f ; t) = sup ∆kh f Lp : h ∈ Rn , |h| ≤ t , t ∈ R+ .
Определим пространство Бесова обобщенной гладкости (см., например, М. Л. Гольдман
[34, 35], Г. А. Калябин [36]):
n o
v(·)
Bpθ (Rn ) = f ∈ Lp : kf kB v(·) = kf kLp + kf kb < ∞ ,
pθ
Z ∞ θ1
kf kb = ωpk (f ; t)θ v(t)dt ,
0
6
α
где 0 < θ < ∞. Классические пространства Бесова Bpθ получим в случае степенного
−αθ−1
веса v(t) = t , 0 < α < k. Известно, что 0 ≤ ωp (f ; t) ↑, t−k ωpk (f ; t) ≈ g(t) ↓ .
k
Более того, имеет место эквивалентность:
Ω0k ≈ Ω ≡ h(t) = ωpk (f ; t); f ∈ Lp (Rn ) ,
где
Ω0k = g : t−k g(t) ↓ на R+ .
0 ≤ g(t) < ∞, g(t) ↑,
v(·)
Условие вложения Bpθ (Rn ) в Lq (Rn ) при 1 ≤ p < q ≤ ∞, k > n( p1 − 1q ) может быть
сформулировано следующим образом:
v(·)
Bpθ (Rn ) ⊂ Lq (Rn ) ⇔ G̃Ω0k < ∞,
где "Z
∞ q1∗ Z ∞ − θ1 #
q∗ dt
g(t)t−α g θ vdt
G̃Ω0k = sup ,
g∈Ω0k 0 t 0
1 1
q ∗ = q, 1 ≤ q < ∞; q ∗ = 1,
α = n( − ). q = ∞,
p q
Тем самым, проблема вложения сведена к оценке интегральной нормы для функции
g ∈ Ω0k ∩ Lθ (v).
При изучении симметричной оболочки для обобщенных потенциалов Бесселя, за-
дачу удалось редуцировать к задаче об описании оптимального перестановочно ин-
вариантного пространства, содержащего конус убывающих функций, построенный на
базе ядер потенциалов. Решение последней задачи позволило получить решение общей
проблемы об оптимальном вложении (см., например [37, 38]). В случае вложения обоб-
щенных потенциалов Бесселя в пространство ограниченных непрерывных функций,
возникает задача о точном описании равномерных модулей непрерывности потенциа-
лов. Она решается в терминах построения оптимальных пространств типа Кальдерона,
в которые вложены пространства потенциалов. Важным этапом в ее решении является
построение идеальной оболочки для конуса двояко монотонных функций, к которому
удается свести конус модулей непрерывности потенциалов (см. [39, 40]).
Таким образом, решение ряда задач современной теории функциональных про-
странств сводится к получению результатов о точных оценках операторов на конусах
функций со свойствами монотонности и, в частности, к описанию идеальных оболо-
чек для таких конусов. При этом стоит отметить, что оценки операторов на конусах
монотонных функций существенно отличаются от оценок на множестве всех неотрица-
тельных µ− почти всюду конечных функций.Рассмотрим следующий пример.
Пусть 0 < p ≤ ∞, f ∈ M0+ , где M0+ = {f ∈ M : 0 ≤ f < ∞ µ − п. в.} .
"Z Z 1# −p
A(f ; p) = sup f gdt g p dt ,
g∈M0+ R+ R+
" Z Z − p1 #
B(f ; p) = sup f gdt g p dt .
g∈Ω0 R+ R+
7
Классические результаты таковы:
(
∞, 0 < p < 1, f 6= 0;
A(f ; p) = 10
kf kLp0 , 1 ≤ p ≤ ∞ p1 + p
= 1.
Первое утверждение иллюстрирует несуществование ограниченного линейного функ-
ционала, отличного от нуля, на Lp (R+ ) при 0 < p < 1. Второе показывает, как можно
вычислить ассоциированную норму для нормы в Lp (R+ ), 1 ≤ p ≤ ∞.
Результаты на конусе существенно отличаются:
Z t
− p1
B(f ; p) = sup t f dτ , 0 < p ≤ 1.
t>0 0
(Z p0 ) p1 0
∞ Z t
1 10
1
B(f ; p) ∼
= t− p f dτ t−1 dt , 1<p≤∞ + = 1.
0 0 p p
Первое утверждение является следствием более общего результата, полученного в рабо-
тах [41, 42, 43]. Второе утверждение -двухсторонняя оценка, полученная в [44]. Отметим,
что A(f ; p) = B(f ; p), f ∈ Ω0 , но несложно построить функцию: f0 ∈ M0+ /Ω0 такую,
что A(f0 ; p) = ∞, B(f0 ; p) < ∞.
В диссертационной работе рассмотрены два общих подхода для построения оп-
тимальных оболочек конусов функций. Один из них базируется на методе ассоцииро-
ванной двойственности. При его применении строится ассоциированное пространство
ограниченных интегральных функционалов для заданного конуса. Доказывается, что
оно представляет собой банахово идеальное пространство (кратко: ИП). С помощью
принципа двойственности устанавливается, что ассоциированное к нему банахово ИП
является минимальным, в которое вложен данный конус. Этот метод позволил решить
ряд важных конкретных задач такого типа (см., например, [45, 46, 47]). В то же вре-
мя, его использование связано с наличием определенных трудностей и ограничений. По
мере усложнения рассматриваемых задач существенно усложняются конструкции ас-
социированных норм, которые в данном подходе необходимо строить на обоих этапах.
Конечно, развиваются и совершенствуются методы таких построений (см.[48, 49, 50]).
Для описания ассоциированных норм мы используем методы дискретизации и анти-
дискретизации (подробнее см. [51, 52] ). На этом пути есть, однако, и принципиальное
ограничение. Ассоциированное пространство для конуса является банаховым. Соответ-
ственно, таким же является и ассоциированное к нему оптимальное ИП, содержащее
данный конус. Тем самым, метод позволяет строить банаховы оболочки. В то же время,
в ряде случаев эти оболочки могут быть еще сужены за счет использования квазинорм,
не являющихся нормами. Таким образом, актуальной является задача о построении оп-
тимальных квазибанаховых оболочек. Для этого развивается другой общий метод по-
строения оптимальных оболочек с помощью специально подобранных нестягивающих
операторов. Рассматриваемая здесь аксиоматика ИП соответствует подходу, развитому
С. Г. Крейном, Ю. И. Петуниным и Е. М. Семеновым [53]. При этом мы включаем в
рассмотрение квазинормированный случай. В отличие от [53] мы не постулируем пол-
ноту пространства, а доказываем ее с использованием свойства Фату. Отметим также,
что эта аксиоматика обобщает систему аксиом банаховых функциональных пространств
8
К. Беннетта и Р. Шарпли [33]. Термин ”оптимальная оболочка” понимается здесь как
минимальное банахово (в общем случае, квазибанахово) ИП, принадлежащее данному
классу и содержащее заданный конус.
Работа состоит из введения, трех глав и заключения. Глава 1 посвящена методу
ассоциированных норм. В разделе 1.1. приведены основные определения, обозначения
и свойства идеальных пространств.
Для формулировки результатов приведем некоторые необходимые обозначения и
определения. Через (S, Σ, µ) (кратко: (S; µ)) обозначим пространство с σ-алгеброй Σ
подмножеств множества S и мерой, которую считаем неотрицательной и σ-конечной.
Через M = M (S; µ) обозначим множество µ-измеримых функций, далее M0 = M0 (S; µ)
есть множество µ-измеримых конечных почти всюду функций,
M + (S; µ) = {f ∈ M (S; µ) , f ≥ 0}; M0+ (S; µ) = M0 (S; µ) ∩ M + (S; µ).
Определение 1.1.1 Отображение ρ : M + → [0, ∞] есть идеальная квазинорма
(кратко: ИКН), если для всех f, g, fn (n ∈ N) из M + выполнены следующие условия:
(P 1) ρ(f ) = 0 ⇒ f = 0 µ − почти всюду (кратко: µ − п.в.)
ρ(αf ) = αρ(f ), α ≥ 0,
ρ(f + g) ≤ C [ρ(f ) + ρ(g)] , f, g ∈ M + ; C ≥ 1
(свойства квазинормы);
(P 2) f ≤ g µ − п.в. ⇒ ρ(f ) ≤ ρ(g) (монотонность);
(P 3) fn ∈ M + , fn ↑ f ⇒ ρ(fn ) ↑ ρ(f ) (свойство Фату);
(P 4) ρ(f ) < ∞ ⇒ f < ∞ µ − п.в.
Здесь fn ↑ f означает, что fn ≤ fn+1 , lim fn = f µ − п.в.
n→∞
Определение 1.1.2. Пусть ρ есть ИКН. Множество X = X(ρ) всех функций
из M, для которых ρ(|f |) < ∞, называется идеальным пространством (кратко: ИП),
порожденным ИКН ρ; при этом для f полагаем
kf kX = ρ(|f |).
В терминологии книги Крейна-Петунина-Семенова [53] это есть идеальное ква-
зибанахово пространство со свойством Фату. В Теореме 1.1.1 мы доказываем, что про-
странство X, порожденное ИКН ρ, удовлетворяющей аксиомам (P 1) − (P 4), обладает
свойством полноты. Понятие ИП шире понятия банахова функционального простран-
ства (кратко: БФП), введенного Беннеттом и Шарпли [33], а также его обобщения
9
(ОБФП), введенного в нашей работе [46]. Обобщенная функциональная норма, порож-
дающая ОБФП, является частным случаем ИКН ( с C = 1 в неравенстве треугольника).
Поэтому из Теоремы 1.1.1 следует полнота ОБФП X.
В разделе 1.2. представлена аксиоматика обобщенных банаховых функциональ-
ных пространств и приведены их общие свойства. ОБФП является идеальным про-
странством со свойством Фату в терминологии [53], поэтому к нему применим прин-
цип двойственности: X = X 00 . В разделе 1.3. описан метод ассоциированных норм и
приведен его основной результат (Теорема 1.3.1), позволяющий строить оптимальные
банаховы оболочки для заданного конуса неотрицательных функций. Здесь мы поль-
зуемся принципом двойственности. Мы рассматриваем конус K в ОБФП X, поэтому
дважды ассоциированное к нему пространство не совпадет с K, а будет его оптималь-
ной банаховой оболочкой. В разделе 1.4. рассмотрен важный случай, когда конус задан
интегральным представлением, получена Теорема 1.4.1 для построения оптимальных
оболочек в этом случае.
В Главе 2 рассмотрены пространства измеримых функций, заданных с помощью
двухвесовых интегральных (квази)норм. Для них установлены точные описания ассо-
циированных норм и в случае исходных квазинорм решена задача об описании опти-
мальных (то есть минимальных) обобщенных банаховых функциональных пространств,
в которые вложены исходные пространства. Здесь мы используем основные понятия и
факты теории БФП и ОБФП, изложенные в Главе 1. В разделе 2.1 сформулированы
основные результаты. Выделены два варианта двухвесовых интегральных квазинорм.
Для первого из них описания ассоциированных обобщенных функциональных норм
(кратко: ОФН) приведены в Теоремах 2.1.1 и 2.1.2 (в зависимости от условий на весо-
вые функции).
1 − p1 , 1 < p ≤ ∞,
1 1
Пусть 0 < p ≤ ∞, p0 = (1 − p )+ =
0, 0 < p ≤ 1.
1 1
1 ≤ q ≤ ∞, q0 = 1 − q , 0 ≤ t0 < T0 ≤ ∞; ϕ, ψ-непрерывные функции на (t0 , T0 );
ϕ > 0, ψ ≥ 0. При t ∈ (t0 , T0 ) обозначим
Z t
1
Ψp (t) = ( ψ p dτ ) p , 0 < p < ∞;
t0
Ψ∞ (t) = sup ψ(τ ), p = ∞;
τ ∈(t0 ,t]
Ψp (t0 ) = lim Ψp (t); Ψp (T0 ) = lim Ψp (t);
t→t0 +0 t→T0 −0
+
и для f, g ∈ M (t0 , T0 ) введем
Z T0 p1
ρpq (f ) = kf ϕkpLq (τ,T0 ) ψ p (τ )dτ , 0 < p < ∞;
t0
ρ∞q (f ) = kf ϕkLq (·,T0 ) ψ(·) , p = ∞;
L∞ (t0 ,T0 )
10
#p0 10
" p
Z T0
g dΨp (t)
ρ̇0pq (g) = Ψp (t)−1 , 1 < p ≤ ∞;
t0 ϕ Lq0 (t0 ,t) Ψp (t)
g
ρ̇0pq (g) = Ψp (·)−1 , 0 < p ≤ 1.
ϕ Lq0 (t0 ,·) L∞ (t0 ,T0 )
Теорема 2.1.1.
В приведенных обозначениях пусть 0 < Ψp (t) < ∞, t ∈ (t0 , T0 ); Ψp (T0 ) = ∞. Тогда,
ρpq есть идеальная квазинорма (ИКН в терминологии Гл. 1) при 0 < p < 1, или
обобщенная функциональная норма (ОФН) при 1 ≤ p ≤ ∞, а для ассоциированной
ОФН Z T0
ρ0pq (g) := sup gf dt : f ∈ M + (t0 , T0 ), ρpq (f ) ≤ 1
t0
справедлива двусторонняя оценка
ρ0pq (g) ∼
= ρ̇0pq (g).
Постоянные в последней двусторонней оценке положительные, конечные, зависят
только от p.
В Теореме 2.1.2 получены описания ассоциированных ОФН при условии на вес:
Ψp (T0 ) < ∞. Для второго варианта задания двухвесовых интегральных квазинорм со-
ответствующие описания даны в Теоремах 2.1.3 и 2.1.4. Наконец, Теоремы 2.1.5 и 2.1.6
дают решения задач об оптимальных ОБФП, содержащих заданные квазинормирован-
ные пространства, описываемые с помощью интегральных двухвесовых квазинорм.
Пусть 0 < p < 1, 1 ≤ q < ∞; 0 ≤ t0 < T0 ≤ ∞, ϕ, ψ > 0 - непрерывные
функции на (t0 , T0 ). Через Kpq = Kpq (t0 , T0 ) обозначим векторное квазинормированное
пространство:
Kpq = {f ∈ M (t0 , T0 ) : ρpq (|f |) < ∞} ,
где ρpq - ИКН, определенная выше.
Задача: найти оптимальное (наименьшее) ОБФП Ǩpq = Ǩpq (t0 , T0 ), такое что Kpq ⊂ Ǩpq .
Теорема 2.1.5.
В приведенных обозначениях ОБФП Ǩpq имеет ОФН:
Z T0
ρ̌pq (f ) = kf ϕkLq (τ,T0 ) ψ̌p (τ )dτ,
t0
Z τ p1 −1
1 p
где ψ̌p (τ ) = ψ (ξ)dξ ψ p (τ ), τ ∈ (t0 , T0 ).
p t0
Результаты Теоремы 2.1.5 получаются двукратным применением Теоремы 2.1.1 (снача-
ла для описания ρ0pq , а затем для описания ρ00pq ) так же, как и Теорема 2.1.6 - двукратным
применением Теоремы 2.1.3.
11
Раздел 2.2 содержит доказательства основных результатов. Для их получения мы
развиваем методы дискретизации интегральных весовых квазинорм и строим их экви-
валентные дискретные аналоги в терминах весовых последовательностей (леммы 2.2.1,
2.2.10 , 2.2.100 ). Описание ассоциированных дискретных весовых норм получено в леммах
2.2.2, 2.2.20 , 2.2.200 . Наконец, переход от дискретных аналогов ассоциированных норм к
интегральным нормам с помощью процедуры ”антидискретизации” проведен в леммах
2.2.3, 2.2.30 , 2.2.300 . Синтез описанных результатов дает доказательство Теорем 2.1.1 и
2.1.2. Теоремы 2.1.3 и 2.1.4 доказываются сведением к Теоремам 2.1.1 и 2.1.2. (соответ-
ственно) с помощью замен переменных.
В Разделе 2.3 рассмотрена задача построения оптимальной банаховой оболочки
для конуса неотрицательных убывающих функций из весового пространства Lp,u (0, T ), 0 <
p < ∞. Основной результат представлен в Теореме 2.3.1.
Пусть T ∈ R+ , u-положительная, измеримая функция:
K0 = {h ∈ Lp,u (0, T ) : 0 ≤ h ↓, t ∈ (0, T )}, (1)
снабженный естественным функционалом
ZT p1
p
ρK0 (h) = khkLp,u (0, T ) = h u dt . (2)
0
Теорема 2.3.1
R t Пусть дан конус K0 (1), снабженный функционалом ρK0 (2). Обозначим U (t) =
0
udτ, 0 < U (t) < ∞, t ∈ (0, T ). Тогда оптимальное ОБФП X0 , содержащее конус K0
(1), имеет норму
Z T p1
kf kX0 (0,T ) = kf kpL∞ (t,T ) u(t)dt , 1 ≤ p < ∞;
0
Z T
kf kX0 (0,T ) = kf kL∞ (t,T ) ũ(t)dt, 0 < p < 1,
0
1 1
ũ(t) = U (t) p −1 u(t).
p
В случае U (T ) = ∞ X0 является ОБФП, не БФП. В случае U (T − 0) < ∞ X0
p0
является БФП при выполнении условия: u− p ∈ Lloc
1 (0, T ).
Глава 3 посвящена проблеме построения оптимальной квазибанаховой оболочки
для заданного конуса неотрицательных измеримых функций методом нестягивающих
операторов. Установлены общие результаты, описывающие конструкцию минимальных
ИП, и разобраны некоторые конкретные реализации подобных конструкций. Следует
отметить, что в зависимости от конкретных конусов и классов ИП, в которых строит-
ся оптимальная оболочка, конструкции нестягивающих операторов могут быть весьма
разнообразны. В Разделе 3.1 приведены основные определения и формулировки резуль-
татов. Раздел содержит две основные теоремы, описывающие конструкцию минималь-
ного ИП, которое содержит заданный конус неотрицательных функций, изначально
12
принадлежащих некоторому идеальному квазинормированному пространству. В Тео-
реме 3.1.1 решена общая задача о построении минимального ИП, содержащего данный
конус, в котором квазинорма согласована с нестягивающим оператором.
Теорема 3.1.1.
1. Пусть Y = Y (S, µ) есть ИП, порожденное ИКН ρ; A0 : M (S, µ) → M + (S, µ)- опера-
тор со следующими свойствами:
A0 (|f |) = A0 f ; A0 (αf ) = αA0 f f ∈ M, α ≥ 0;
∃c0 ∈ R+ : ρ(f ) ≤ c0 ρ(A0 f ), f ∈ M ; (3)
∃c1 ∈ [1, ∞] : ρ(A0 (f + g)) ≤ c1 [ρ(A0 f ) + ρ(A0 g)];
|f | ≤ |g| µ-п.в. ⇒ ρ(A0 f ) ≤ ρ(A0 g), f, g ∈ M ;
0 ≤ fn ↑ f µ-п.в. ⇒ A0 fn ↑ A0 f µ-п.в.
Тогда, отображение
ρ0 (f ) := ρ(A0 f ), f ∈ M + ,
Похожие диссертационные работы по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК
Дифференциальные свойства обобщённых потенциалов Бесселя–Рисса2022 год, кандидат наук Хамадех Альхалиль Нисрин
Дискретизация норм и неравенства Харди в теории пространств Бесова-Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью2000 год, кандидат физико-математических наук Матарутиния Ведаст
Квазинормированные пространства в комплексном анализе (внутренние функции, операторы сдвига, суммы Фурье)1983 год, доктор физико-математических наук Александров, Алексей Борисович
Последовательности функций в симметричных пространствах и их приложения в геометрии банаховых пространств и теории операторов2002 год, доктор физико-математических наук Новиков, Сергей Яковлевич
Интегральные операторы и пространства измеримых векторнозначных функций1984 год, доктор физико-математических наук Бухвалов, Александр Васильевич
Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бахтигареева Эльза Гизаровна, 2017 год
Литература
[1] Sobolev S. Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les equations
lineaires hyperboliques normales // Мат. зам. 1936. Vol. 1(43), no. 1. P. 39–72.
[2] Соболев С. Л. Об одной теореме функционального анализа // Мат. сб. 1938. Т.
4(46), № 3. С. 471–497.
[3] Соболев С. Л. Некоторые приложения функционального анализа в математиче-
ской физике. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. - С. 256.
[4] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представле ния функ-
ций и теоремы вложения. Москва: Наука, 1975.
[5] Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вло-
жения и продолжения // Докл. АН СССР. 1959. - Т.126. - С. 1163-1165.
[6] Бесов О. В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи
с теоремами вложения и продолжения // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова.- 1961.
Т.60. - С. 42-81.
[7] Riesz M. Sur le maxima des formes bilinearies et sur les fonctionelles lineaires // Acta
Math. 49, 1926, 465-497.
[8] Thorin G. O. An extension of a convexity theorem due to M. Riesz. Kungl. Fys. Saell.
i Lund For. 8, 1939, 14.
[9] Marcinkiewicz J. Sur l’interpolation d’operations. C. R. Acad. Sci. Paris. 208, 1939,
1272-1273.
[10] Orlicz W. Uber eine gewisse Klasse von Raumen vom Typus B. Bull. Int. Acad. Polon.
Sci. Lett. Cl. Math. Nat. A, 1932, 207-220.
[11] Orlicz W. Uber Raume (LM ). Bull. Int. Acad. Polon. Sci. Lett. Cl. Math. Nat. A, 1936,
93-107.
[12] Halperin I. Function spaces. Canad. J. Math. 5, 1953, 273-288.
[13] Halperin I., Ellis H. W. Function spaces determined by a levelling length function.
Canad. J. Math. 5, 1953, 576-592.
[14] Lorentz G. G., Wertheim D. G. Representation of linear functionals on Kothe spaces.
Canad. J. Math. 5, 1953, 568-575.
97
[15] Kothe G. Topologische Lineare Raume. Springer-Verlag, Berlin, 1960.
[16] Luxemburg W. A. J. Banach function spaces. Ph. D. Thesis. Delft Institute of
Technology. Assen (Netherlands), 1955.
[17] Lions J. L. Sur certains theoremes d’interpolation. C. R. Acad. Sci. Paris, 250, 1960,
2104-2106.
[18] Gagliardo E. Interpolazione di spazi di Banach e applicazioni. Sci. Genova, 1959.
[19] Крейн С. Г. Об одной интерполяционной теореме в теории операторов. ДАН СССР
130, 3. 1960, 491-494.
[20] Peetre J. A theory of interpolation of normed spaces. Notes Universidad de Brazilia.
1963.
[21] Astashkin S. V. Geometrical properties of Banach spaces generated by sublinear
operators // Positivity, v. 17, no. 2 (2013), 223-234.
[22] Astashkin S. V., Maligranda L. Interpolation of Cesaro sequence and function spaces
// Studia Math., (2015), v. 421, no. 1, 259-279.
[23] Бережной Е. И. Точные оценки операторов на конусах в идеальных простран-
ствах // Труды МИАН, (1993), т. 204, с. 3-34.
[24] Berezhnoy E. I. Two weighted estimates for Hardy-Littlewood maximal function in
ideal Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc., (1999), v. 127, 79-87.
[25] Брудный Ю.А., Кругляк Н.Я. Об одном семействе аппроксимационных про-
странств. В кн.: Исследования по теории функций многих вещественных пере-
менных: Межвузовский тематический сборник. - Ярославль: Ярославский ун-т,
1978, с. 15-43.
[26] Brudnyi Yu. A., Кrugljak N.Ya. Interpolation Functors and Interpolation Spaces, Vol.
1. North Holland, Amsterdam, 1991.
[27] Овчинников В. И. Интерполяционные функции и интерполяционная конструкция
Лионса-Петре // УМН, 69:4(418) (2014), 103-168.
[28] Овчинников В. И. Обобщенная интерполяционная конструкция Лионса-Петре и
оптимальные теоремы вложения для пространств Соболева // Матем. сб., 205:1
(2014), 87-104.
[29] Овчинников В. И. Квазинормированные идеалы Неймана-Шаттена и теоремы
вложения для обобщенных пространств средних Лионса-Петре. Алгебра и анализ,
22:4 (2010), 214-231.
[30] Иоффе А. Д. , Тихомиров В. М. Двойственность выпуклых функций и экстре-
мальные задачи // Успехи мат. наук, 23-6 (1968), 51 - 116.
98
[31] Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. Изд.
2-е, перераб. и доп. — М.: Физматлит, 2005.
[32] Магарил-Ильяев Г. Г. , Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения,
М., Едиториал, УРСС, 2003.
[33] Bennett C., Sharpley R. Interpolation of Operators. New York: Academic Press, 1988.
[34] Гольдман М. Л. О вложении пространства Никольского-Бесова в весовое про-
странство Лоренца. Тр. МИАН СССР, 180 (1987), 93-95.
[35] Гольдман М. Л. Критерий вложения разных метрик для изотропных пространств
Бесова с произвольными модулями непрерывности. Тр. МИАН, 201 (1992), 186-
218.
[36] Калябин Г. А. Описание функций из классов Бесова-Лизоpкина-Тpибеля // Тpу-
ды Математического института АН СССР им. В. А. Стеклова, т. 156, 1980, с.
82-109.
[37] Гольдман М. Л. Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов Бесселя и
Рисса // Труды Матем. Ин-та им. В. А. Стеклова. 2010. Т. 269. С. 91-111.
[38] Goldman M. Some constructive criteria of optimal embeddings for potentials //
Complex Variables and Elliptic Equations. 2011. V. 56, N. 10-11. P. 1-19.
[39] Goldman M. L, Haroske D. Estimates for continuity envelopes and approximation
numbers of Bessel potentials // J. Approx. Theory. 2013. V. 172. P. 58-85.
[40] Гольдман М. Л., Хароске Д. Оптимальные пространства Кальдерона для обоб-
щенных потенциалов Бесселя // Доклады Академии Наук. 2015. Т. 463, №1. С.
14-17.
[41] Буренков В.И., Гольдман М.Л. Вычисление нормы положительного оператора на
конусе монотонных функций // Труды Математического ин-та им. В.А. Стеклова.
1995. Т. 210. С. 65-89.
[42] Myasnikov E. A., Persson L.-E., and Stepanov V. D. On the best constants in certain
integral inequalities for monotone functions, Acta Sci. Math(Szeged) 59, no. 3-4 (1994),
613-624.
[43] Stepanov V. D. Integral operators on the cone of monotone functions, J. London Math.
Soc. (2), 48, no. 3 (1993), 465-487.
[44] Sawyer E. Boundedness of classical operators on classical Lorentz spaces // Studia
Math. 1990. V. 96. P. 145-158.
[45] Гольдман М. Л., Забрейко П. П. Оптимальное восстановление банахова функци-
онального пространства по конусу неотрицательных функций // Труды Матем.
Ин-та им. В. А. Стеклова. 2014. Т. 284. С. 91-115.
99
[46] Бахтигареева Э. Г., Гольдман М. Л., Забрейко П. П. Оптимальное восстановление
обобщенного банахова функционального пространства по конусу неотрицатель-
ных функций // Вестник ТГУ. 2014. Т. 19, №2. С. 316-330.
[47] Bakhtigareeva E. Optimal Banach function space for a cone of decreasing functions in
a weighted Lp - space // Eurasian mathematical journal, Vol.6, Num. 1 (2015), 6 - 25.
[48] Bakhtigareeva E.G., Goldman M. L. Associate Norms and Optimal Embeddings for a
Class of Two-Weight Integral Quasi-Norms// Journal of Mathematical Sciences. 2016,
Volume 218, Issue 5, pp 549-571).
[49] Гогатишвили А., Степанов В. Д. Редукционные теоремы для весовых интеграль-
ных неравенств на конусе монотонных функций // Докл. 2013. Т. 68, №4. С. 3-68.
[50] Степанов В. Д. Об оптимальных пространствах Банаха, содержащих весовой
конус монотонных или квазивогнутых функций // Докл. АН. 2015. Т. 464, №2. С.
145-147.
[51] Gol’dman M. L., Heinig H. P. , Stepanov V. D. On the principle of duality in Lorentz
spaces. Canad. J. Math., 1996, 48:5, 959–979.
[52] Gogatishvili A., Pick L. Discretization and anti-discretization of rearrangement-
invariant norms. Publ. Mat., 2003, 47:2, 311–358.
[53] Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов E. М. Интерполяция линейных операторов.
М.: Наука, 1978.
[54] Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. Москва "Нау-
ка"Физматлит, 1984.
[55] Kusraev A. G. Dominated Operators, Kluwer, Dordrecht, 2000.
[56] Kusraev A. G., Kutateladze S. S. On the calculus of order bounded operators //
Positivity, 9 (2005), 327-339.
[57] Kusraev A. G. Injective Banach lattices: a survey, Eurasian Math. J., v. 5, no. 3 (2014),
58-79.
[58] Сухинин М.Ф. Избранные главы нелинейного анализа. г. Москва. Изд-во: Россий-
ского университета дружбы народов. 1992.
[59] Забрейко П. П. Нелинейные интегральные операторы // Труды семинара по функ-
циональному анализу. — Воронеж, 1966. Вып. 8. С. 3–148.
[60] Забрейко П. П. Исследования по теории интегральных операторов в идеальных
пространствах функций // Диссертация на соискание ученой степени доктора
физико-математических наук, 1968. Воронеж. 400 с.
[61] Забрейко П. П. Идеальные пространства функций. 1 // Вестник Ярославского
Университета. 1974. Т. 8. С. 12–52.
100
[62] Rolewicz S. On a certain class of linear metric spaces // Bull. Acad. Polon. Sci. Cl.
III. 5. 1957. P. 471-473.
[63] Aoki T. Locally bounded linear topological spaces // Proc. Imp. Acad. Tokyo. 18.
1942. P. 588-594.
[64] Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980.
[65] Гольдман М.Л., Забрейко П.П. Оптимальное банахово функциональное простран-
ство для конуса неотрицательных убывающих функций. // Труды Института Ма-
тематики НАН Белоруси, 2014, №1.
[66] Гольдман М.Л., Бахтигареева Э.Г. Построение оптимальной оболочки для кону-
са неотрицательных функций со свойствами монотонности // Труды Математи-
ческого института им. В.А. Стеклова, т. 293, 2016, с. 43 - 61 (англ. версия: E.G.
Bakhtigareeva, M. L. Goldman. // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics,
2016, Vol. 293, pp. 37-55. Pleiades Publishing Ltd., 2016).
[67] Бахтигареева Э.Г. Построение оптимальных идеальных пространств для конусов
неотрицательных функций // Математические заметки, т. 99, вып. 6, 2016, 820
- 831 (англ. версия: E.G. Bakhtigareeva. Construction of Optimal Ideal Spaces for
Cones of Nonnegative Functions // Mathematical Notes, 2016, Vol. 99, No. 6, pp.
810-820).
[68] Lesnik K., Maligranda L. Abstract Cesaro spaces. Duality // J. Math. Anal. Applic.
2015. V. 424. P. 932–951.
[69] Lesnik K., Maligranda L. Abstract Cesaro spaces. Optimal range // Integral Equat.
And Operator Theory. 2015. V. 81. P. 227–235.
[70] Diening L., Samko S. Hardy inequality in variable exponent Lebesgue spaces //
Fractional Calculus and Applied Anal. 2007. V. 10, N. 1. P. 1-17.
101
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.