Исследование операторов гармонического анализа в некоторых нестандартных пространствах функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор наук Умархаджиев Салаудин Мусаевич

• Умархаджиев Салаудин Мусаевич
• доктор наук
• 2019

Оглавление диссертации доктор наук Умархаджиев Салаудин Мусаевич

Введение

Глава 1. Гранд-пространства Лебега на неограниченных множествах и их свойства. Понятие грандизатора

1.1. Предварительные сведения

1.1.1. Некоторые свойства весов Макенхаупта

1.1.2. О вложении весовых пространств Лебега

1.1.3. Теорема Рисса Торина Стейна Вейса

1.1.4. О классах Бари Стечкина Зигмунда и индексах Мату-шевской Орлича

1.2. Обобщение понятия гранд-пространства Лебега

1.2.1. Гранд-пространства (О, (х)-Х)

1.2.2. Случай произвольной весовой функции

1.3. Соотношения между классическими пространствами и гранд-пространствами Лебега

1.3.1. Вложение ^(О, ) ^ Ь$'в(П,м)

1.3.2. О соотношениях между слабыми пространствами Лебега

и гранд-пространствами Лебега

1.4. О вложении гранд-пространств Лебега

1.4.1. О вложении (О) ^ ЬРа,в(О)

1.4.2. Совпадение гранд-пространств Лебега с грандизаторами

из некоторых классов

1.4.3. Шкала грандизаторов, генерирующих разные гранд-пространства Лебега

1.5. О норме характеристической функции измеримых множеств в гранд-пространстве Лебега с грандизатором а Е Ь1(Шп)

Глава 2. Свойства отображений сублинейных операторов в гранд-

пространствах Лебега

2.1. Ограниченность сублинейных операторов

2.2. Ограниченность максимального оператора

2.3. Ограниченность операторов Кальдерона-Зигмунда

2.4. Теорема Соболева для гранд-пространств

2.5. Плотность классов С^ и Ф в пространствах Ь^}'

2.5.1. Плотность класса С^

Ф

2.6. Фурье-мультипликаторы в гранд-пространствах Лебега

2.7. Операторы Харди

2.7.1. Предварительные сведения и утверждения

Растяжение функции

Вспомогательные леммы

2.7.2. Одномерные операторы

2.7.3. Многомерные операторы: оценки через сферические средние

2.7.4. Многомерные операторы: нерадиальный грандизатор

2.7.5. Операторы Харди по направлению

2.7.6. Смешанные операторы Харди

2.8. Интегральные операторы с однородными ядрами

2.8.1. Одномерный случай

2.8.2. Многомерный случай с радиальным ядром

2.8.3. Общий многомерный случай

Весовая ограниченность в классических пространствах

Лебега

Ограниченность в гранд-пространствах Лебега

2.8.4. Примеры: классические операторы анализа

Глава 3. Пространство риссовых потенциалов функций из гранд-пространства Лебега

3.1. Обращение потенциала Рисса в гранд-пространстве

3.1.1. Гиперсингулярные интегралы

3.1.2. Основное утверждение

3.1.3. Примеры функций а, удовлетворяющих условию av G

3.2. Описание пространства риссовых потенциалов

3.2.1. Описание пространства

3.2.2. Описание пространства риссовых потенциалов функций из банаховых пространств с некоторыми априорными свойствами

Описание в терминах распределений

Об априорных предположениях о банаховом пространстве X

Описание в терминах сходимости по норме пространства X

Глава 4. Гранд-пространства последовательностей

4.1. Предварительные сведения

4.2. Гранд-пространство последовательностей

4.3. Об операторах в гранд-пространствах последовательностей . . . 151 4.3.1. Операторы, действующие из Lр)'0(Q) в и наоборот

4.4. О дробном исчислении в гранд-пространствах последовательностей

4.4.1. Вспомогательные определения

4.4.2. Дробные операторы в Z

4.4.3. Дискретный аналог основного функционального пространства Лизоркина

4.5. Весовые результаты

4.5.1. Некоторые известные весовые результаты для классических пространств £р

4.5.2. Ограниченность весовых операторов в гранд-пространствах ^ (Z)

Глава 5. Операторы типа потенциала в некоторых других нестандартных пространствах

5.1. Действие потенциала Рисса в гранд-пространствах Морри

5.1.1. Пространства Морри

5.1.2. Интерполяционная теорема для пар весовых пространств Лебега и Морри

5.1.3. Гранд-пространство Морри

5.1.4. Ограниченность сублинейных операторов из гранд-пространств Лебега в гранд-пространства Морри

5.1.5. Ограниченность потенциала Рисса

5.2. О регуляризации одного многомерного интегрального уравнения

с ядром типа потенциала в пространствах Лебега с переменным

показателем

5.2.1. Вспомогательные сведения

О пространствах Лебега с переменным показателем

Об интерполяции компактности в случае переменного р

5.2.2. Вспомогательные утверждения

Оценка ядра

Неравенство Харди-Стейна-Вейса с переменным р

5.2.3. Основное утверждение

Глава 6. Приложения к некоторым задачам в дифференциальных уравнениях и комплексном анализе

6.1. Об эллиптических однородных дифференциальных операторах в

гранд-пространствах

6.1.1. Гранд-пространства Соболева

6.1.2. Предварительные сведения: о сферических свертках с ядром (—гх' • а)—а

6.1.3. Явная формула для фундаментального решения

6.1.4. О решении уравнения Рт(П)и = / в гранд-пространстве Соболева с правой частью из гранд-пространства Лебега

6.2. Оценки роста аналитических функций при приближении к границе в гранд-пространстве Бергмана в верхней полуплоскости

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование операторов гармонического анализа в некоторых нестандартных пространствах функций»

Введение

Актуальность темы исследования. Диссертация посвящена исследованию операторов гармонического анализа и, более общо, некоторых классов интегральных операторов в так называемых гранд-пространствах Лебега. В последние десятилетия интенсивно развивается теория так называемых нестандартных банаховых пространств функций и теория операторов в них. Среди таких пространств пространства с переменными параметрами, т. е. с параметрами, которые могут меняться от точки к точке, а также указанные гранд-пространства. Многие исследования в теории пространств Лебега с переменными показателями за последнюю пару десятилетий подытожены в монографиях [53, 61] и для нестандартных пространств вообще в двухтомной монографии [103, 104], где, в частности, можно найти изложение ряда результатов по теории операторов в гранд-пространствах, полученных в различных математических школах. Отметим, что некоторые результаты диссертации нашли отражение во втором томе этой монографии.

Гранд-пространства Лебега были впервые введены в 1992 году в работе Т. Ыашес, С. БЬогскте [82] и в несколько более общем виде в [75], как пространства, являющиеся расширением классических пространств Лебега. По определению работы [ ] гранд-пространства (О), 1 < р < ж, в > 0, О С состоят из функций с конечной нормой

1/11 ЬР),в(П) '•— ЯиР У 7 0<£<р-1

£ в |/(х)\ Р-Чх \ п )

1

р-£

(1)

Это определение естественно работает в случае множеств О с конечной мерой и в этом случае пространство Е9^6(О) является ещё большим расширением классического пространства Лебега^(О), чем слабое пространство ЛебегаWLp(0), как показано в [ ] и [ ] (вложение WLP(О) С Ьр^),в(О) доказано в [ ], а строгость этого вложения в [74]).

Степень разработанности темы исследования. Основным мотивом введения гранд-пространств была их эффективность в приложениях. Так в работах [74, 82] было установлено, что локальная интегрируемость якобиана отображения из Q гарантируется принадлежностью производных компонент отображения гранд-пространству Лебега. Более того с использованием гранд-пространств удается существенно улучшить результаты для ряда задач для уравнений в частных производных см., например, [75]. Появление этих работ послужило толчком бурному развитию гранд-пространств и с ассоциированных с ними (известных под названием small Lebesgue spaces) и теории операторов в них. Укажем, в частности, работы С. Capone, G. Di Fratto, A. Fiorenza, L. Greco,

B. Gupta, Т. Iwaniec, P. Jain, G. E. Karadzhov, V. Kokilashvili, P. Koskela, M. Krbec, A. Mercaldo, A. Meskhi, M. Milman, H. Rafeiro, J. M. Rakotoson, S. G. Samko,

C. Sbordone, X. Zhong, см. например, [49, 50, 59, 67, 69, 70, 72, 75, 82, 92, 93, 97, 109, 121], см. также библиографические ссылки в книге [104]. Все эти исследования относятся к случаю, когда множество Q имеет конечную меру.

Отметим, что важный для самих гранд-пространств результат об описании гранд-пространств Лебега в терминах перестановок функции был получен в работе A. Fiorenza, G. Е. Karadzhov [70].

Гранд-пространства продолжают привлекать интерес исследователей в связи с различными приложениями: эти пространства оказались подходящими в различных приложениях в теории уравнений с частными производными, в вариационных задачах, они используются при изучении максимальных функций, в теории экстраполяции и т. д.

Цели и задачи диссертационной работы: В связи с тем, что известный раннее способ построения гранд-пространств Лебега, приводивший к расширению самого пространства Лебега, был возможен только в случае множества конечной меры, первоочередная задача исследования диссертации состояла в нахождении новых методов построения гранд-пространств на множествах бесконечной меры. Эта проблема была решена с помощью введения специаль-

ным образом весовой функции, названной нами грандизатором. Решение этой задачи позволило ставить вопрос об исследовании свойств классических операторов гармонического анализа во введенных гранд-пространствах, что и являлось основной целью исследования диссертации.

Научная новизна.

В диссертации впервые введены гранд-пространства Лебега на множествах бесконечной меры: трудности в определении таких пространств, связанные с бесконечной мерой, были преодолены за счет предложенного в диссертации метода грандизаторов. Все исследования ряда операторов гармонического анализа в этих пространствах являются новыми. В частности, отметим новизну следующих результатов: достаточные условия и необходимые условия на гран-дизатор для ограниченности интегральных операторов с однородными ядрами в гранд-пространствах Лебега, а также двусторонние оценки гранд-норм таких операторов; весовая ограниченность максимального оператора Хирди Литп-вуда и теорема Соболева для потенциала Рисса в гранд-пространствах Лебега на ограниченность в гранд-пространствах последовательностей дискретных аналогов операторов гармонического анализа, введение дискретного аналога известного класса Лизоркина пробных функций и доказательство его плотности в рамках гранд-пространств последовательностей.

Отметим также новизну результата о регуляризации многомерных интегральных уравнений первого рода с ядром типа потенциала в гранд-пространствах Лебега на Кп и оценок роста функций из пространства Бергмана аналитических функций в верхней полуплоскости связанных с гранд-пространствами Лебега, при приближении к границе.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер и способствует развитию теории операторов в нестандартных функциональных пространствах. Результаты, полученные в диссертации, могут представлять интерес не только для специалистов в функциональном анализе и теории операторов, на которых она прежде всего рассчитана, но так-

же, например, и в уравнениях с частными производными, и в вариационных задачах, ввиду открывающихся приложений новых пространств. Результаты диссертации будут полезны в научных исследованиях, проводимых в Южном федеральном университете, Южном математическом институте Владикавказского научного центра РАН, в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, в Институте математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН, в Воронежском государственном университете и в других российских и зарубежных математических центрах.

Методология и методы исследования.

В диссертации используются разнообразные методы функционального анализа, среди которых первостепенную роль играют метод весовой интерполяции, метод аппроксимация единицы с помощью усреднений, выделение замкнутых сепарабельных подпространств в несепарабельных пространствах и другие.

Положения, выносимые на защиту: На защиту выносятся утверждения, полученные лично автором. Перечислим главные из них.

1. Введены понятия гранд-пространств Лебега на неограниченных множествах посредством функционального параметра, называемого грандизатором, обобщающее понятие гранд-пространства Лебега на множествах конечной меры.

2. Установлены следующие свойства гранд-пространств Лебега на неограниченных множествах в зависимости от свойств грандизаторов: соотношения между классическими пространствами и гранд-пространствами Лебега; о вложении гранд-пространств Лебега; совпадение гранд-пространств Лебега с гран-дизаторами из некоторых классов; шкала грандизаторов, генерирующих разные гранд-пространства Лебега; поведение нормы характеристической функции измеримых множеств в гранд-пространстве Лебега.

3. Найдены эффективные условия на грандизатор, обеспечивающие ограниченность максимального оператора Хирди Литтлвуди и справедливость теоремы Соболева для потенциала Рисса в гранд-пространствах. Для широкого

класса интегральных операторов с однородными ядрами найдены условия ограниченности в гранд-пространствах, включающие в ряде случаев и необходимые условия ограниченности.

4. Получено описание пространства риссовых потенциалов функций из гранд-пространства Лебега; дано обобщение этого результата на случай когда гранд-пространство заменено общим банаховом пространством с некоторыми априорными свойствами.

5. Введены и изучены гранд-пространства последовательностей. Доказана ограниченность в них дискретных операторов свертки, операторов с однородными ядрами, в частности, операторов Харди и преобразования Гильберта, сингулярного оператора Гильберта, максимального сингулярного оператора Гильберта и максимального оператора Харди Ли тт. туда, обобщенных операторов Харди и оператора дробного интегрирования. Получены также весовые результаты.

6. Доказана весовая интерполяционная теорема для пары пространств Ле-бега-Морри, введено гранд-пространство Морри с грандизатором и доказана теорема об ограниченности потенциала Рисса из гранд-пространства Лебега в гранд-пространство Морри.

7. Многомерное интегральное уравнение первого рода с ядром типа потенциала в пространствах Лебега с переменным показателем сведено к интегральному уравнению Фредгольма второго рода.

8. В качестве приложения теории гранд-пространств для некоторого класса грандизаторов обосновано существование решения однородного дифференциального уравнения четного порядка с постоянными вещественными коэффициентами в гранд-пространстве Соболева и получены оценки роста при приближении к границе в гранд-пространстве Бергмана аналитических функций и ассоциированном с ним пространстве на верхней полуплоскости.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. IX Annual International Conference of the Georgian Mathematical Union. Georgia, Batumi, September 3-7, 2018.

2. Eighth International Scientific Conference "Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis VIII". Rostov-on-Don, 22

- 27 April, 2018

3. VIII Annual International Conference of the Georgian Mathematical Union. Georgia, Batumi, September 4-8, 2017.

4. International Conference "Operators in Morrey-type Spaces and Applications". (Turkey, Kirsehir, Ahi Evran University, 10 - 13 July, 2017).

5. XIV Международная научная конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» с. Цей, 3-8 июля 2017 г.

6. Seventh International Scientific Conference "Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis VII". Rostov-on-Don, 23

- 28 April, 2017

7. IV Международная научная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики Терскол, 17 - 21 мая 2017.

8. Sixth International Scientific Conference "Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis VI". Rostov-on-Don. 24 -29 April, 2016

9. Пятая международная научная конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения V» г. Ростов-на-Дону, 26 апреля — 01 мая 2015 г.

10. VI International Conference Georgian Mathematical Union. July 12 - 16, 2015, Batumi, Georgia.

И. Четвертая международная научная конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» г. Ростов-на-Дону, 27 апреля - 1 мая 2014 г.

12. Международная научная конференция "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование", п. Дивноморское, 06.09 по 14.09.14

2014 г.

13. 10th International Conference on Mathematical problems in Engineering, Aerospace and Sciences. July 15 — July 18, 2014, Narvik, Norway.

14. IV annual International Conference Georgian Mathematical Union dedicated to Victor Kupradze on his 110-th birthday anniversary September 9 - 15, 2013, Batumi, Georgia.

15. Международная научная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 14 - 20 июля 2013 года)

16. Международная конференция "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения III" (г. Ростов-на-Дону, 2-6 июня 2013 г.)

17. Международная конференция "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения II" (г. Ростов-на-Дону, 22 - 26 апреля 2012 г.)

18. Международная молодежная научная конференция «Математическая физика и ее приложения», Пятигорск, 28.06.2012 г. - 30.06.2012 г.

19. Международный семинар "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения "(г. Ростов-на-Дону, 24 - 28 апреля 2011 г.)

20. IDOTA2011: Integral and Differential Operators and Their Applications -An International Conference in Honor of Professor Stefan Samko on the occasion of his 70th birthday. Aveiro, Portugal, 30 June - 2 July, 2011.

21. 22nd International Workshop on Operator Theory and its Applications (I WO ТА 2011) Sevilla, Spain, from July 4 through July 8, 2011.

22. International Conference "Continiuum Mechanics and related Problems of Analysis" dedicated to the 120-th birthday anniversary of academician N. Muskheli-shvili. September 9 - 14, 2011 in Tbilisi, Georgia

23. Second International Conference Georgian Mathematical Union. September

15 19, 2011, Batumi, Georgia.

24. 8th International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics (ICNAAM 2010). Rhodes, Greece, 19 25 September 2010

25. Международная научная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 19 24 июля 2010 года)

Отметим, что некоторые результаты диссертации нашли отражение в монографии [104].

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 23 печатных работах [ , , - , - , , - , - ], из них 19 статей [ , , , 33, 35 39, 138, 151 155, 164 167] в научных изданиях, включенных в перечень ведущих рецензируемых журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ, и входящих в международные реферативные базы данных и системы цитирования Web of Science, Scopus, zbMATH .

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.

Из 23 опубликованных работ 15 [29 33, 35 39, 163 167] выполнены лично автором, без соавторов. 8 работ [23, 24, 138, 151 155] выполнены в соавторстве.

Работы [23, 24, 138, 151 155] выполнены совместно с соавторами.

В совместной статье [23] Лемма 1 и Теорема 3 принадлежат С. М. Умар-хаджиеву, Лемма 2 и Теорема 4 С. Г. Самко.

В совместной статье [24] Лемма 3.1, Теорема 4.2, Теорема 4.7 и Теорема 4.9 принадлежат С. М. Умархаджиеву, Лемма 3.3, Лемма 4.5, Теорема 4.8 и Теорема 5.1 С. Г. Самко, а Лемма 4.5 и Теорема 4.8 обоим соавторам в равной мере.

В совместной статье [138] Теорема 3.7, Теорема 5.5, Теорема 6.1 и Теорема 6.2 принадлежат С. М. Умархаджиеву, Теорема 4.1, Теорема 5.4 и Теорема 5.5 С. Г. Самко, а Лемма 5.1, Теорема 4.3, Теорема 5.5, и Теорема 5.6 У. Рафейро.

В совместной работе [151] Теорема 3 принадлежит С. М. Умархаджиеву, а Лемма С. Г. Самко.

В совместной статье [152] Лемма 1, Лемма 3, Лемма 6, Теорема 2.1, Теорема 6.1, принадлежат С. М. Умархаджиеву, Лемма 2, Лемма 4, Лемма 5, Теорема 5.1 и Теорема 5.2 С. Г. Самко.

В совместной статье [153] Следствие принадлежит С. М. Умархаджиеву, а раздел Правки С. Г. Самко.

В совместной статье [155] раздел 3 принадлежит С. М. Умархаджиеву, а раздел 4 С. Г. Самко.

В совместной работе [154] разделы 2, 4 и 6 принадлежат С. М. Умархаджиеву, а разделы 3, 5 и 7 С. Г. Самко.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и библиографии. Общий объем диссертации 225 страниц, из них 202 страницы текста. Библиография включает 168 наименований на 18 страницах.

Перейдём к краткому изложению содержания диссертации.

Как отмечалось выше, основная цель диссертации расширение понятия гранд-пространства Лебега на неограниченные множества. Этот вопрос был впервые рассмотрен в работах [152, 153].

Определение нормы в гранд-пространстве равенством (1) основывается на предположении, что функция / должна быть интегрируема в степени р — £ для всех 0 < £ < р — 1. Поэтому в случае множеств О с бесконечной мерой определение ( ) приводит не к расширению самого пространства ^(О), а к расширению пересечения

П

1 <в<р

Вводимые таким образом пространства соприкасаются с пространствами, рассматривавшимися в работе [116].

Чтобы получить расширение самого пространства (О) в [ , ] была предложена идея введения в интеграл в норме (1) малой степени (1 + |ж|)—Ае

\f У гр),в/о ч := 8ир £

^ ^ 0<е<р-1

степенной функции, "подправляющей" поведение подынтегральной функции на бесконечности. В более общем виде эта идея была развита в работе [31], где обобщение состояло не только в рассмотрении весовых гранд-пространств, но и в замене малой показателя степенной функции на малую степень произвольного веса, независимого, вообще говоря, от веса пространства. Именно, мы вводим

гранд-пространство (П^), определяемое нормой

( \ ^

J |/(х)\р-£т(х)а(х)р <1х ,

т. е. осуществляется не только возмущение параметра р, но и веса пи Здесь п) и а ............. произвольные весовые функции на П. Функция п) служит весом гранд-

пространства. Функцию а(х), определяющую возмущение а(х)I, мы называем грандизатором.

Допущение дополнительного функционального параметраа делает теорию гранд-пространств на неограниченных множествах весьма содержательной в том отношении, что многие результаты в этих пространствах зависят от выбора грандизатора. Ответ на первый возникающий вопрос когда классическое пространство ЬР^П^) вложено в так введенное пространство (П,и>) - формулируется очень просто: тогда и только тогда, когда а € ^(П^). Пространства (П,и>) могут оказаться совпадающими с точностью до эквивалентности норм при различных грандизаторах, например, в случае степенного

\ ю) О

грандизатора а(х) = (1 + \х\) , Л > п, пространство Ьа (П,т) не зависит от Л, см. параграф . В случае экспоненциально убывающего на бесконечности грандизатора гранд-пространство может содержать многочлены, см. параграф 1.4.2, что не имеет места в случае степенных грандизаторов.

После исследования природы самих гранд-пространств, построенных с помощью грандизатора, основной задачей становится получение условий ограниченности классических операторов гармонического анализа в этих пространствах. Получены достаточные условия на грандизатор для ограниченности мак-

симадыюго оператора Хардп Литтлвуда, операторов Кадьдерона Зигмунда, потенциала Рисса, операторов Харди, интегральных операторов с однородными ядрами и др. при указанном выше естественном предположении, что а £ L1(^).

Получаемые в диссертации результаты об ограниченности операторов различных классов зависят не только от параметровр, в и веса но и от выбора грандизатора а. В ряде случаев, например, для интегральных операторов с однородными ядрами, в частности, для операторов Харди зависимость от грандизатора весьма содержательна, см. параграфы 2.7 и 2.8.

В невесовом случае w = 1 мы обозначаем (П) := (Q,w) | r

Гранд-пространства Лебега несепарабельны как в случае множества П конечной меры, так и в случае бесконечной меры каков бы ни был грандизатор а: замыкание множества "хороших" функций по норме гранд-пространства не совпадает со всем пространством, являясь в нём замкнутым подпространством. Это замыкание в теории гранд-пространств известно под названием vanishing grand space. Мы рассматриваем его в невесовом случае. В случае пространств с произвольным интегрируемым грандизатором мы обозначаем его через ЬРа'в(П) и вводим как подпространство функций в (П) таких, что

lim ||/Ц^^,, = 0.

Одной из центральных задач диссертации является исследование потенциалов Рисса

1ау = J ка(х - у)ip(y)dy, а> 0, (2)

м™

где риссово ядро ка(ж) определяется равенством

1 | lxla-n, а - п = 0, 2,4,6,...;

ка(х) —

7п(а) I |ж|а-п 1п i , а - п = о, 2,4,6,...,

М

здесь 7п(а) - известная нормировочная константа, см., например, [ ]. В случае 0 < а < п, 1 < р < ^, мы доказываем аналог теоремы Соболева для гранд-про-страств и ЬРа,вв предположении, что грандизатор принадлежит

классу С(М.п), определяемом в параграфе условиями: 1) а € Ь1(П) и 2) существует число и > 0 такое, что а" € Аж, где Аж класс Макенхаупта. Известно, что представимость функций / риссовым потенциалом с плотностью из классического пространства Лебега описывается в терминах сходимости усеченных гиперсингулярных интегралов функции /. В связи с решением подобной задачи для гранд-пространства ЬОО'°естественным образом возникает задача

0 р) О

доказательства плотности в Ьа известного класса Лизоркина Ф, инвари-

антного относительно риссова дробного интегро-дифференцирования. Эта задача решается для грандизаторов а € в параграфе , где мы доказываем

о 0

также плотность в Ьа класса Со°(Кп). Эта доказываемая нами плотность

позволяет получить результат о том, что гиперсингулярный интеграл порядка а является левым обратным оператором для потенциала Рисса функций из про-

о 0

странства Ьа 1 < р < если грандизатор а € ) (параграф 3.1) и

о 0

получить описание образа Iа(ЬО ), а > 0, в терминах сходимости гиперсингулярных интегралов по норме гранд-пространства Лебега^'0) (Теорема 3.2.10). В случае, когда потенциал Рисса трактуется в смысле распределений, т.е. в случае а > ^, описание образа дается в терминах принадлежности конечных разностей распределения / рассматриваемому гранд-пространству. В этом случае рассматриваются только те грандизаторы, для которых гранд-пространство Лебега инвариантно относительно сдвига. Такая инвариантность обеспечивается "привязанностью" грандизатора только к бесконечности, что фактически не уменьшает общность исследования гранд-пространств по т.к. идея введения грандизатора в определение гранд-пространства Лебега состоит в том, чтобы получаемое пространство было бы шире классического пространства

Лебега ЬР(ШП) не только локально, но и глобально.

В связи с решением этой задачи для гранд-пространств предлагается некоторый общий подход для описания распределений / € Ф', являющихся риссо-выми потенциалами функций на из произвольного банахова пространства функций X, удовлетворяющего одному или нескольким из следующих априор-

пых свойств (параграф 3.2.2):

(51) Пространство X обладает свойством решетки: если р £ X и |^(ж)| < 1р(х)1, х £ Шп, то ф £ X и Цф||х < |М1 х.

(52) Пространство X не содержит многочлен.

(53) Максимальный oneратор Мр(х) := JB(xr) lp(y)ldy ограничен в

X.

(54) Операторы

1 f I^ — У\

КeV := ~nJ ) ^(y)dy

Мп

с ядром к(х), удовлетворяющим уеловиям |&(ж)| < £(|ж|), где К,(х) £ L1 (Мте) и К,(г), г £ М+, убывает, являются аппроксимацией единицы: 1ime^0 ЦК£р -уЦх = 0 для всex р £ X.

(55) Пространство X', ассоциированное с X, содержит класс Ф'. Используемый нами метод введения гранд-пространств по всему евклидову пространству ММ с помощью грандизаторов позволяет рассмотреть такие типичные для гармонического анализа в ММ утвеждения как теоремы о Фурье-

мультипликаторах. Доказано, что если грандизатор а £ L1 (Mn,w), вес w £ Ар

£0

и существует е0 £ (0,р - 1) такой, что wa~р £ Ар-£0, то каждое из классических условий Михлина и Марцинкевича на функцию m : ММ ^ М достаточно, чтобы она была Фурье-мультипликатором в весовом гранд-пространстве (Мте,и>).

Как известно, в анализе большую роль играют интегральные операторы по Мп, ядра которых однородны степени -п и инвариантны относительно вращений (последнее при п > 2), см., например, [ ]. В одномерном случае типичными примерами являются операторы Харди и операторы Гильберта на полуоси, а в многомерном случае их многомерные аналоги, а также модифицированные потенциалы Рисса с ядром |ж|-- yla-п ми |у|-- у 1-а-п, 0 < а < п. Мы исследуем вопрос об ограниченности такого класса операторов в зависимости от выбора грандизатора. Особо выделяется естественный для этого случая выбор однородного грандизатора, т. е. а(х) = |ж|-А, хотя такой выбор и стоит

особняком в развиваемом нами подходе, т.к. такой грандизатор не интегрируем по Мы начинаем изучение таких операторов в диссертации с весовых операторов Харди со степенными весами, поскольку в этом случае результаты для них в гранд-пространствах можно получить с большей информацией, чем в общем случае. Мы рассматриваем как классические операторы Харди функций одной переменной на положительной полуоси, так и их многомерные аналоги с интегрированием по шару |у| < |ж| или его внешности.

Операторам Харди в классических пространствах Лебега посвящена обширная литература, сошлемся на книги [65, 77, 99, 112, 114] и, например, на статьи [111, 130, 131], где можно найти и другие ссылки. Операторы Харди в гранд-пространствах в естественной постановке, т.е. на R+ или в ранее не исследовались.

Мы находим условия на грандизатор а(х)7 при которых операторы Харди ограничены в гранд-пространствах и получаем оценку сверху для точной константы в неравенствах Харди в зависимости от грандизатораа(х). В случае степенного грандизатораа(х) = |ж|-А мы даем двусторонние оценки для нормы операторов Харди. При специальном выборе грандизатораа(х) = |ж|-те показано, что эта точная константа совпадает с точной константой для классических пространств Лебега. Аналогичные результаты получены для так называемых операторов Харди по направлению и смешанных операторов Харди.

Аналогичные результаты удается получить и в общем случае интегральных операторов с однородными ядрами. Особо выделен случай радиальных ядер. В этом случае удается при использовании радиальных грандизаторов получить двусторонние оценки для норм \\Kf \\Lp),e(R„) через некоторые радиальные гранд-нормы сферических средних

т (г) = / f(ra)da

s n-1

функции f, что является более сильным утверждением, чем оценка через гранд-норму самой функции f. Полученные результаты применены к интегральным

операторам типа Гильберта и дробного интегрирования.

Особое место в диссертации занимает исследование дискретных гранд-пространств £Р^'°(Жк) и дискретных операторов типа свертки и других операторов в этих пространствах. Такие гранд-пространства последовательностей ранее не изучались. Они были введены в работе [ ], 2018. Пространство £Р^'°(Жк) последовательностей х = {хк}ке^п , определяется нормой

/ \ р(1+е)

\\x\U,«(Z") := sup £° I У^ lxk 1Р(1+£) ) = sup £°\\x\\Mi+e)(ZK) .

( ) £>° J £>° ( )

Его подпространство £р),°(Zn) последовательностей, удовлетворяющих условию lime^o £°pJ2k&Zn lxklp(1+£) = 0 обозначается lp),°(Zn).

На основе интерполяции в классических пространствах последовательностей доказана общая теорема об ограниченности сублинейных операторов в гранд-пространствах последовательностей. Эта общая теорема применяется для доказательства ограниченности в гранд-пространствах дискретных операторов свертки, операторов с однородными ядрами, в частности, операторов Харди и преобразования Гильберта, сингулярного оператора Гильберта, максимального сингулярного оператора Гильберта и максимального оператора Харди Лит-тлвуда. Также доказано, что дискретные обобщенные операторы Харди и оператор дробного интегрирования 1а ограничены из пространства

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Умархаджиев Салаудин Мусаевич, 2019 год

Список литературы

1. Авсянкин О. ГМирошникова Е. И. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами в ^-пространствах с полумультипликативным весом // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. н. — 2010. — Т. 5.— С. 5-8.

с- с-

2. Берг ИЛёфстрём И. Интерполяционные пространства. Введение. — М., Мир, 1980. — 264 с.

3. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 с.

4. Гельфанд И. М.. Шапиро 3. Я. Однородные функции и их приложения // УМН. — 1955. — Т. 10, № 3(65). — С. 3-70.

5. Жиков В. В. Усреднение функционалов вариационного исчисления и теории упругости // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1986. — Т. 50, № 4. — С. 675-710.

6. Карапетянц А. И., Самко С. Г. Пространства типа Бергмана-Мори со смешанной нормой на единичном диске // Матем. заметки. — 2016. — Т. 100, № 1. О. 47-57.

7. Карапетянц А. И., Самко С. Г. О гранд-пространствах и малых пространствах Бергмана // Матем. заметка. 2018. Т. 104, № 3. С. 439-446.

8. Кокилашвили В. М.. Месхи А., Рафейро У. Ограниченность сублинейных операторов в весовых гранд-пространствах Морри // Матем. заметки. — 2017. ^ Т. 102. — С. 721-735.

9. Красносельский М. А. Об одной теореме М. Рисса // Докл. АН СССР. 1960. Т. 131, № 2. С. 246-248.

10. Крейн С. Г., Петунии Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. — Москва: Наука, 1978. 499 с.

11. Лизоркин П. И. Обобщенное лиувилевское дифференцирование и функциональные пространства Ьгр(Еп). Теоремы вложения // Математ. сб.—

1903. Т. 60, № 3. — С. 325-353.

12. Лизоркин П. И. Описание пространства Lrp(Rn) в терминах разностных сингулярных интегралов // Матем. сб. 1970. Т. 81, № 1. О. 79-91.

13. Никольский С. М. Аппроксимация функций многих переменных и теоремы вложения. М: Наука, 1977. 455 с.

14. Пламеневский Б. А. Алгебры псевдо-дифференциальных операторов. — М: Наука, 1986. 256 с.

15. Решетняк Ю. Г. О понятии емкости в теории функций с обобщенными производными // Сиб. мат. — 1969. — Т. 10(5). —С. 1109-1138.

16. Сам,ко С. Г. О пространствах риссовых потенциалов // Изв. АН СССР. Сер. мат. ^ 1976. -Т. 40, № 5. С. 1143-1172.

17. Сам,ко С. Г. Обобщенные риссовые потенциалы и гиперсингулярные интегралы с однородными характеристиками; их символы и обращение // Тр. Матем. ин-та АН СССР. - 1980. - Т. 156. — С. 157-222.

18. Сам,ко С. Г. Сингулярные интегралы по сфере и построение характеристики по символу // Изв. вузов. Математика. — 1983. — Т. 4. — С. 28-42.

19. Сам,ко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987.^688 с.

20. Самко С. Г., Умархаджиев С. М. Описание пространства риссовых потенциалов в терминах старших производных // Изв. вузов. Математика. — 1980. — Т. 11. — С. 79-82.

21. Самко С. Г., Умархаджиев С. М. Описание пространства Ia(Lr) риссовых потенциалов в терминах производных порядка [а]. — Деп. в ВИНИТИ. — 1980. — по. 3165-80.

22. Самко С. Г., Умархаджиев С. М. Приложения гиперсингулярных интегралов к многомерным интегральным уравнениям первого рода // Труды, MIIАН. 1985. Т. 172. С. 299-312.

23. Самко С. Г., Умархаджиев С. М. О регуляризации одного многомерного

интегрального уравнения в пространствах Лебега с переменным показателем // Мат. замет,ки. — 2013. — Т. 93, № 4. — С. 575-585. — (Перевод на англ.: On the Regularization of a Multidimensional Integral Equation in Lebesgue Spaces with Variable Exponent. Math. Notes. (93)4, pp. 583-592, 2013).

24. Самко С. Г., Умархаджиев С. М. Об описании пространства риссовых потенциалов функций из банаховых пространств с некоторыми априорными свойствами // Владикавказский матем. журнал. — 2018. — Т. 20, № 2. — С. 95-108.

25. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функции. М. : Мир, 1973. 342 стр.

26. Трев Ж. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. — М.: Мир, 1965.

27. Умархаджиев С. М. Многомерные интегральные уравнения первого рода с ядром типа потенциала. Деп. в ВИНИТИ. — 1981. по. 1743-81.

28. Умархаджиев С. М. Исследование многомерных операторов типа потенциала с непрерывными и разрывными характеристиками. — Канд. диссертация. Ростовский госуниверситет. —1982.

29. Умархаджиев С. М. Об ограниченности одного интегрального оператора в пространствах Лебега с переменным показателем // Изв. Чеченского государственного педагогического института. — 2001. — Т. 1. —С. 193-196.

30. Умархаджиев С. М. Ограниченность линейных операторов в весовых обобщенных град-пространствах Лебега // Вестник Академии наук Чеченской Республики. ^ 2013. ^ Т. 19, № 2. — С. 5-9.

31. Умархаджиев С. М. Обобщение понятия гранд-пространства Лебега // Известия вузов. Математика. — 2014. — Т. 4. — С. 42-51. — (Перевод на англ.: Generalization of the notion of grand Lebesgue space. Russian Mathematics (Iz. VUZ), (58)4, pp. 35-43, 2014).

32. Умархаджиев С. M. Ограниченность сублинейных операторов в обобгцен-

ных град-пространствах Лебега // Вестник Академии наук Чеченской Республики. - 2014. - Т. 23, № 2. - С. 5-8.

33. Умархаджиев С. М. Ограниченность потенциала Рисса в весовых обобщенных гранд-пространствах Лебега // Владикавказский матем. журнал. — 2014. Т. 16, № 2. О. 62-68.

34. Умархаджиев С. М. Обобщение понятия гранд-пространства Лебега // Известия вузов. Математика. — 2014. — Т. 4. О. 42-51.

35. Умархаджиев С. М. Ограниченность максимального оператора в гранд-пространствах Лебега на Rn // Изв. вузов. Сев. Кавк. регион. Ест. н. — 2016. ^ Т. 1. — С. 35-38.

36. Умархаджиев С. М. Односторонние интегральные операторы с однородными ядрами в гранд-пространствах Лебега // Владикавказский матем. журнал. - 2017. - Т. 19, № 3. - С. 70-82.

37. Умархаджиев С. М. Операторы Харди по направлению и смешанные операторы Харди функций многих переменных в гранд-пространствах Лебега // Вестник Академии наук Чеченской Республики. — 2017. — Т. 34, ..V« 1. — С. 5-18.

38. Умархаджиев С. М. Интегральные операторы с однородными ядрами в гранд-пространствах Лебега // Матем. заметки. — 2017. — Т. 102, № 5. — q 775^788. — (Перевод на англ.: Integral operators with homogeneous kernels in grand Lebesgue spaces. Math. Notes. (102)5, pp. 710-721, 2017).

39. Умархаджиев С. M. Описание пространства риссовых потенциалов функций из гранд-пространства Лебега на Rn // Матем. заметки. — 2018. — Т. 104, № 3. — С. 467-480. — (Перевод на англ.: Characterization the space of Riesz potentials of functions from grand Lebesgue space on Rn. Math. Notes. 3(104) :467-480, 2018).

40. Чувенков А. Ф. Пространства Соболева-Орлича дробного порядка // Изв. Северо-Кавк. центра высш. школы, Сер. ест,ест,, наук — 1978. — Т. 1.— С. 6-10.

41. Шарапудинов И. И. О топологии пространства Cp(t)([0, 1]) // Матем. заметки. — 1979. — Т. 26, № 4. — С. 613-632. — Перевод на агл.: The topology of the space Cp(t)([0, 1]). Math. Notes. 26 (1979), no 3-4, 796-806.

42. Almeida A. Inversion of the Riesz Potential Operator on Lebesgue Spaces with Variable Exponent // Frac. Calc. Appl. Anal. — 2003. — Vol. 6, no. 3. — P. 311-327.

43. Almeida A., Samko S. Characterization of Riesz and Bessel potentials on variable Lebesgue spaces // J. Function Spaces and Applic. — 2006. — Vol. 4, no. 2.-P. 113-144.

44. Bennett C, Sharpley R. Interpolation of operators. — Boston, MA : Academic Press Inc., 1988. P. xiv+469.

45. Bennett G. Some elementary inequalities III // Quart. J. Math. Oxford Ser. -1991.-Vol. 42, no. 166.-P. 149-174.

46. Bennett G. Factorizing the classical inequalities // Mem. Amer. Math. Soc. -1996.-Vol. 120, no. 576.

47. Böttcher A., Seybold M. Discrete Wiener-Hopf operators on spaces with Muckenhoupt weight // Studia Math. - 2000. - Vol. 143, no. 2. —P. 121144.

48. Campanato S., Murthy M. K. V. Una generalizzazione del teorema di Riesz-Thorin // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3). - 1965. - Vol. 19. - P. 87-100.

49. Capone C, Fiorenza A. On small Lebesgue spaces // J. Function Spaces and Applications. — 2005. — Vol. 3. — P. 73-89.

50. Capone C, Fiorenza A., Karadzhov G. E. Grand Orlicz spaces and global integrability of the Jacobian // Math. Scand. — 2008. — Vol.102, no. 1. — P. 131-148.

51. Cobos F., Kuhn T, Schonbek T. One-sided compactness results for Aronsjain-Gagliardo functors // J. Funct. Anal. — 1992. — Vol.106.— P. 274-313.

52. Corless R. M., Gonnet G. H., Hare D. E. G. et al. On the LambertW func-

tion // Advances in Comput. Math. — 1996.— Vol. 5, no. 1. P. 329-359.

53. Cruz-Uribe D, Fiorenza A. Variable Lebesgue Spaces. Foundations and Harmonic Analysis. — Birkhauser, 2013.

54. Cruz-Uribe D., Fiorenza A., Martell J. M., Perez C. The boundedness of classical operators on variable L spaces // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. — 2006.-Vol. 31, no. 1. P. 239-264.

55. Cruz-Uribe D., Fiorenza A., Neugebauer C. J. The maximal function on variable LP-spaces // Ann. Acad. Scient. Fennicae, Math. — 2003. —Vol. 28.— P. 223-238.

56. Cwikel M. Real and complex interpolation and extrapolation of compact operators // Duke Math. J. — 1992. —Vol. 65, no. 2.-P. 333-343.

57. D'Onofrio L, Schiattarella R. On the continuity of Jacobian of orientation preserving mappings in the grand Sobolev space // Differential Integral Equations.-2013.-09.-Vol. 26, no. 9/10.-P. 1139-1148.

58. D'Onofrio L, Sbordone C, Schiattarella R. Grand Sobolev spaces and their applications in geometric function theory and PDEs // Journal of Fixed Point Theory and Applications. — 2013.— Vol. 13, no. 2. —P. 309-340.

59. Di Fratta G., Fiorenza A. A direct approach to the duality of grand and small Lebesgue spaces // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications.-2009.-Vol. 70, no. 7. P. 2582-2592.

60. Diening L, Hasto P., Nekvinda A. Open problems in variable exponent Lebesgue and Sobolev spaces // "Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis", Proceedings of the Conference held in Milovy, Bohemian-Moravian Uplands, May 28 - June 2, 2004 / Math. Inst. Acad. Sci. Czech Republick, Praha. 2005. P. 38-58.

61. Diening L, Harjulehto P., Hasto P., Ruzicka M. Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents. Lecture Notes in Mathematics, vol. 2017 / — Berlin : Springer-Verlag, 2011.

62. Diening L, Ruzicka M. Calderon-Zygmund operators on generalized

Lebesgue spaces Lv(x and problems related to fluid dynamics // Preprint Mathematische Fakultät, Albert-Ludwigs-Universitt Freiburg. — 2002. — Vol. 21.-P. 1-20.

63. Djrbashian A., Shamoian F. Topics in the theory of Apa spaces.— Vol. 105. Leipzig: Teubner-Texte zur Mathematik, 1988.

64. Duoandikoetxea J. Fourier Analysis. — Amer. Math. Soc., "Graduate Studies" vol. 29, 2001.

65. Edmunds D. E, Kokilashvili V., Meskhi A. Bounded and compact integral operators. — Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 2002. — Vol. 543 of Mathematics and its Applications. — P. xvi+643.

66. Fan X., Zhao D. On the spaces Lp(x)(ft) and Wm>p(x\iï) // J. Math. Anal. Appl. -2001.-Vol. 263, no. 2.-P. 424-446.

67. Fiorenza A. Duality and reflexivity in grand Lebesgue spaces // Collect. Math. -2000.-Vol. 51, no. 2.-P. 131-148.

68. Fiorenza A., Formica M. R., Gogatishvili A. On grand and small Lebesgue and Sobolev spaces and some applications to PDE's // Differential Equations and Applications. — 2018. — Vol. 10, no. 1. —P. 21-46.

69. Fiorenza A., Gupta B., Jain P. The maximal theorem in weighted grand Lebesgue spaces // Studia Math. -2008. —Vol. 188, no. 2. —P. 123-133.

70. Fiorenza A., Karadzhov G. E. Grand and small Lebesgue spaces and their analogs // Journal for Analysis and its Applications. — 2004. — Vol. 23, no. 4.-P. 657-681.

71. Fiorenza A., Mercaldo A., Rakotoson J. M. Regularity and comparison results in grand Sobolev spaces for parabolic equations with measure data // Applied Mathematics Letters. — 2001. — Vol. 14, no. 8. —P. 979 - 981.

72. Fiorenza A., Rakotoson J. M. Petits espaces de Lebesgue et leurs applications. on small Lebesgue spaces and their applications // Comptes Rendus Mathematique.-- 2002. -Vol. 334, no. 1.-P. 23-26.

73. Giaquinta M. Multiple integrals in the calculus of variations and non-linear

elliptic systems. — Princeton Univ. Press, 1983.

74. Greco L. A remark on the equality detDf = DetDf // Diff. Integr. Eq. — 1993.-Vol. 6, no. 5.-P. 1089-1100.

75. Greco L, Iwaniec T, Sbordone C. Inverting the p-harmonic operator // Manuscripta Math. - 1997. - Vol. 92. - P. 249-258.

76. Hao Z, Jiao Y. Fractional integral on martingale hardy spaces with variable exponents // Fract. Calc. Appl. Anal. — 2015.—Vol. 18, no. 5. —P. 1128— 1145.

77. Hardy G. H, Littlewood J. E, Polya G. Inequalities. — Cambridge University Press: Cambridge, 1934.— 324 pages.

78. Hayakawa K. Interpolation by the real method preserves compactness of operators // J. Math. Soc. Japan. - 1969. -Vol. 21.-P. 189-199.

79. Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman spaces.— New York Springer Verlag, 2000.

80. Hormander L. Estimates for translation invariant operators in L?-spaces // Acta. Math. -1960.-Vol. 104.-P. 93-140.

81. Hunt R., Muckenhoupt B., Wheeden R. Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert transforms. // Trans. Amer. Math. Soc. — 1973.-Vol. 176, no. 2.-P. 227-251.

82. Iwaniec T, Sbordone C. On the integrability of the Jacobian under minimal hypotheses// Arch. Rational Mech. Anal. — 1992. —Vol. 119. —P. 129-143.

83. Johnson R., Neugebauer C. Change of variables results for AP- and reverse Holder RHr-classes// Trans. Amer. Math. Soc. — 1991. —Vol. 328, no. 2.— P. 639-666.

84. Kairema A. Two-weight norm inequalities for potential type and maximal operators in a metric space // Publ. Mat. — 2013.— Vol. 57.— P. 3-56.

85. Karapetiants A. N., Rafeiro H., Samko S. G. Boundedness of the Bergman projection and some properties of Bergman type spaces // Complex Anal. Oper. Theory. — 2018. — (online).

86. Karapetiants A. N., Samko S. G. On boundedness of Bergman projection operators in banach spaces of holomorphic functions in half-plane and harmonic functions in half-space // J. Math. Sci. — 2017.— Vol. 226, no. 4.— P. 344-354.

87. Karapetiants N. K, Samko S. G. Equations with Involutive Operators. — Birkhauser, Boston, 2001. —P. 427 pages.

88. Karapetiants N. K, Samko N. G. Weighted theorems onfractional integrals in the generalized Holder spaces HQ (p) via the indices mq and Mq // Fract. Calc. Appl. Anal. -2004.-Vol. 7, no. 4.-P. 437-458.

89. Kerman R., Torchinsky A. Integral inequalities with weights for the Hardy maximal function // Studia Mathematica. — 1982. — Vol. 71. —P. 277-284.

90. Kokilashvili V. Maximal functions in weighted spaces // Akad. Nauk Gruzin. SSR Trudy Tbiliss. Mat. Inst. Razmadze. - 1980. -Vol. 65.-P. 110-121.

91. Kokilashvili V. On a progress in the theory of integral operators in weighted Banach function spaces // "Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis", Proceedings of the Conference held in Milovy, Bohemian-Moravian Uplands, May 28 - June 2, 2004 / Math. Inst. Acad. Sci. Czech Republick, Praha. — 2005. — P. 152-175.

92. Kokilashvili V. Boundedness criterion for the Cauchy singular integral operator in weighted grand Lebesgue spaces and application to the Riemann problem // Proc. A. Razmadze Math. Inst.-2009.— Vol.151.— P. 129-133.

93. Kokilashvili V. The Riemann boundary value problem analytic functions in the frame of grand P spaces // Bull. Georgian Nat. Acad. Sci. — 2010. — Vol. 4, no. 1.-P. 5-7.

94. Kokilashvili V., Krbec M. Weighted inequalities in Lorentz and Orlicz spaces. — Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific, 1991.-233 pages.

95. Kokilashvili V., Mastylo M., Meskhi A. Two-weight norm estimates for multilinear fractional integrals in classical lebesgue spaces // Fractional Calculus

and Applied Analysis. - 2015. -Vol. 18, no. 5.-P. 1146-1163.

96. Kokilashvili V., Meskhi A. Fractional integrals on measure spaces // Fract. Calc. Appl. Anal. -2001.-Vol. 4, no. 1.-P. 1-24.

97. Kokilashvili V., Meskhi A. A note on the boundedness of the Hilbert transform in weighted grand Lebesgue spaces // Georgian Math. J. — 2009. — Vol. 16, no. 3.-P. 547-551.

98. Kokilashvili V., Meskhi A. Potentials with product kernels in grand Lebesgue spaces: One-weight criteria // Lithuanian Mathematical Journal. — 2013.— Vol. 53, no. 1.-P. 27-39.

99. Kokilashvili V., Meskhi A., Persson L.-E. Weighted norm inequalities for integral transforms with productkernels. — Nova Science Publishers, New York, 2010.

100. Kokilashvili V., Meskhi A., Rafeiro H. Riesz type potential operators in generalized grand Morrey spaces // Georgian Math. J. — 2013. — Vol. 20, no. 1. —P. 43-64.

101. Kokilashvili V., Meskhi A., Rafeiro H. Boundedness of commutators of singular and potential operators in generalized grand Morrey spaces and some applications // Studia Mathematica. — 2013. — Vol. 217.— P. 159-178.

102. Kokilashvili V., Meskhi A., Rafeiro H. Estimates for nondivergence elliptic equations with vmo coefficients in generalized grand morrey spaces // Complex Variables and Elliptic Equations. — 2014.— Vol. 59, no. 8. — P. 11691184.

103. Kokilashvili V., Meskhi A., Rafeiro H., Samko S. Integral Operators in Nonstandard Function Spaces. Vol. 1. Variable Exponent Lebesgue and Amalgam Spaces / — Birkhäuser, 2015.

104. Kokilashvili V., Meskhi A., Rafeiro H., Samko S. Integral Operators in Nonstandard Function Spaces. Vol. 2: Variable exponent Holder, Morrey-Campanato and Grand Spaces / — Birkhäuser, 2016.

105. Kokilashvili V., Meskhi A., Samko S. On the inversion and characterization

of the Riesz potentials in the weighted Lebesgue spaces // Memoirs on Differential Equations and Mahematical Physics. — 2003. — Vol. 29. — P. 99-106.

106. Kokilashvili V., Samko S. Singular Integrals in Weighted Lebesgue Spaces with Variable Exponent // Georgian Math. J. — 2003.— Vol. 10, no. 1.— P. 145-156.

107. Kokilashvili V., Samko S. Weighted boundedness of the maximal, singular and potential operators in variable exponent spaces // Analytic Methods of Analysis and Differential Equations / Ed. by A. A. Kilbas, S. V. Rogosin. — Cambridge Scientific Publishers, 2008.-P. 139-164.

108. Kokilashvili V., Samko S. The maximal operator in weighted variable exponent spaces on metric spaces // Georgian Math. J. — 2008. — Vol. 15, no. 4.-683-712.

109. Kokilashvili V., Samko S. Boundedness of weighted singular integral operators ona Carleson curves in Grand Lebesgue spaces // ICNAAM 2010: Intern. Conf. Numer. Anal. Appl. Math. — AIP Confer. Proc., 2010.— Vol. 1281.-P. 490-493.

110. Kovacik O, Rakosnik J. On spaces Lp(x"> and Wh,p// Czechoslovak Math. J. -1991.-Vol. 41(116).-P. 592-618.

111. Kufner A., Maligranda L, Persson L.-E. The prehistory of the Hardy inequality // Amer. Math. Monthly. - 2006. -Vol. 113.-P. 715-732.

112. Kufner A., Maligranda L, Persson L.-E. The Hardy Inequality - About its History and Some Related Results.— Pilsen, 2007.

113. Kufner A., John O, Fuiik S. Function Spaces. — Noordhoff International Publishing, 1977. —454 + XV pages.

114. Kufner A., Persson L.-E. Weighted inequalities of Hardy type. — River Edge, NJ : World Scientific Publishing Co. Inc., 2003. —P. xviii+357.

115. Kurtz D. S. Littlewood-Paley and multiplier theorems on weighted Lp spaces // Trans. Amer. Math. Soc. -1980.-Vol. 259, no. 1.-P. 235-254.

116. Liflyand I. R., Ostrovsky E, Sirota L. Structural properties of Bilateral

Grand Lebesque Spaces // Turk. J. Math. — 2010. — Vol. 34, no. 11.— P. 207-219.

117. Lindler L. Generalization of inequalities of hardy and littlewood // Acta Sci. Math. (Szeger).-1970.-Vol. 31.-P. 279-285.

118. Lions J. L, Peetre J. Sur une classe d'espaces d'interpolation. // Inst. Hautes Etudes Sa. Publ. Math. -1964.-Vol. 19.-P. 5-66.

119. Maligranda L. Indices and interpolation // Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.).--1985.--Vol. 234.-P. 49.

120. Maligranda L. Orlicz spaces and interpolation. — Departamento de Matematica, Universidade Estadual de Campinas, 1989. — Campinas SP Brazil.

121. Meskhi A. Maximal functions and singular integrals in Morrey spaces associated with grand Lebesgue spaces // Proc. A. Razmadze Math. Inst. — 2009. — Vol. 151.-P. 139-143.

122. Meskhi A. Integral operators in maximal functions, potentials and singular integrals in Grand Morrey spaces // Complex Variables and Elliptic Equations. Doi. 10. 1080/17476933. 2010. 534793, 2011, 1-19.-2011.

123. Meskhi A. Maximal functions, potentials and singular integrals in grand Mor-rey spaces // Complex Variables and Elliptic Equations. — 2011. — Vol. 56, no. 10-11.-P. 1003-1019.

124. Morrey C. B. On the solutions of quasi-linear elliptic partialdifferential equations // Amer. Math. Soc. -1938.-Vol. 43.-P. 126-166.

125. Muckenhoupt B. Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function. // Trans. Amer. Math. Soc. -1972.-Vol. 165.-P. 207-226.

126. Muckenhoupt B., Wheeden R. L. Weighted norm inequalities for fractional integrals // Trans. Amer. Math. Soc. — 1974.-Vol. 192.-P. 261-274.

127. Nekvinda A. A note on maximal operator on lpn and LP(x) (R). // J. Funct. Spaces Appl. -2007.-Vol. 5, no. 1.-P. 49-88.

128. Ohno T., Shimomura T. Sobolev embeddings for Riesz potentials of func-

tions in grand Morrey spaces of variable exponents over non-doubling measure spaces // Czechoslovak Mathematical Journal. — 2014. — Vol. 64. — P. 209-228.

129. Persson A. Compact linear mappings between interpolation spaces // Ark. Mat. -1964.-Vol. 5.-P. 215-219 (1964).

130. Persson E.-L., Samko S. G. A note on the best constants in some Hardy inequalities // J. Math. Inequal. — 2015.—Vol. 9, no. 2. —P. 437-447.

131. Persson E.-L., Shambilova G. E, Stepanov V. D. Hardy-type inequalities on the weighted cones of quasi-concave functions // Banach J. Math. Anal. — 2015.-Vol. 9, no. 2.-P. 21-34.

132. Pick L, Kufner A., John O, Fuclkk S. Function Spaces, 1. Series in Nonlinear Analysis and Applications. / -De Gruyter, 2013.

133. Plessis N. d. Some theorems about the Riesz fractional integral. // Trans. Amer. Math. Soc. -1955.-Vol. 80, no. 1.-P. 124-134.

134. Rabinovich V. S., Samko S. G. Boundedness and Fredholmness of pseu-dodifferentialoperators in variable exponent spaces // Integr. Eq. Oper. Theory. -2008. -Vol. 60, no. 4.-P. 507-537.

135. Rafeiro H. A note on boundedness of operators in grand grand morrey spaces // Advances in Harmonic Analysis and Operator Theory / Ed. by Alexandre Almeida, Luis Castro, Frank-Olme Speck. — Vol. 229. — Basel : Springer Basel, 2013.-P. 349-356.

136. Rafeiro H., Samko N., Samko S. Morrey-campanato spaces: an overview // Operator Theory, Pseudo-Differential Equations, and Mathematical Physics / Ed. by Y. Karlovich, L. Rodino, B. Silbermann, I. Spitkovsky. — Vol. 228.-Basel : Springer Basel, 2013.-P. 293-323.

137. Rafeiro H., Samko S. Fractional integrals and derivatives: mapping properties // Fract. Calc. Appl. Anal. -2016.-Vol. 19, no. 3.-P. 580-607.

138. Rafeiro H., Samko S., Umarkhadzhiev S. Grand Lebesgue sequence spaces // Georgian Mathematical Journal. — 2018. — Vol. 25, no. 2. —P. 291-303.

139. Ruzizka M. Electrorheological Fluids: Modeling and Mathematical Theory. — Springer, Lecture Notes in Math., Vol. 1748, 2000. —vol. 1748, 176 pages.

140. Samko N. G. Weighted Hardy and potential operators in Morrey spaces // J. Fund. Spaces Appl. — 2012. —Vol. 2012. —P. 21 pp.

141. Samko N. G. Weighted Hardy operators in the local generalized vanishing Morrey spaces // Positivity. — 2013. —Vol. 17, no. 3. — P. 683-706.

142. Samko S. G. Differentiation and integration of variable order and the spaces L(x) // Operator theory for complex and hypercomplex analysis (Mexico City, 1994).— Providence, RI : Amer. Math. Soc., 1998. - Vol. 212 of Contemp. Math. -P. 203-219.

143. Samko S. G. On local summability of riesz potentials in the case Ra > 0 // Analysis Mathematica. —1999. —Vol. 25.-P. 205-210.

144. Samko S. G. Hypersingular Integrals and their Applications. — London-New-York: Taylor & Francis, Series "Analytical Methods and Special Functions" vol. 5, 2002. —358 + xvii pages.

145. Samko S. G. Hardy inequality in the generalized Lebesgue spaces // Frac. Cale, and Appl. Anal. - 2003. -Vol. 6, no. 4.-P. 355-362.

146. Samko S. G. On a progress in the theory of Lebesgue spaces with variableexponent: maximal and singular operators // Integr. Transf. andSpec. Fund.- 2005. -Vol. 16, no. 5-6.-P. 461-482.

147. Samko S. G. On compactness of operators in variable exponent Lebesgue spaces // Operator Theory: Advances and Applications. — Birkhauser, 2010.-Vol. 202.-P. 497-507.

148. Samko S. G. A note on Riesz fractional integrals in the limiting case a(x)p(x) = n // Fract. Calc. Appl. Anal. — 2013. — Vol. 16, no. 2. — P. 370-377.

149. Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications. — London-New-York: Gordon & Breach.

Sci. Publ., (Russian edition - Fractional Integrals and Derivatives and some of their Applications, Minsk: Nauka i Tekhnika, 1987), 1993.— 1012 pages.

150. Samko S., Shargorodsky E, Vakulov B. Weighted Sobolev theorem with variable exponentfor spatial and spherical potential operators, II // J. Math, Anal. Appl. -2007.-Vol. 325, no. 1.-P. 745-751.

151. Samko S. G, Umarkhadzhiev S. M. Regularization of multidimensional integral equations of the 1st kind in variable exponent spaces // ICNAAM 2010: Intern. Conf. Numer. Anal. Appl. Math. — AIP Confer. Proc., 2010.— Vol. 1281.-P. 506-508.

152. Samko S. G., Umarkhadzhiev S. M. On Iwaniec-Sbordone spaces on sets which may have infinite measure // Azerb. J. Math. — 2011. — Vol. 1, no. 1. —P. 67-84.

153. Samko S. G., Umarkhadzhiev S. M. On Iwaniec-Sbordone spaces on sets which may have infinite measure: addendum // Azerb. J. Math. — 2011.— Vol. 1, no. 2.-P. 143-144.

154. Samko S. G., Umarkhadzhiev S. M. Riesz fractional integrals in grand Lebesgue spaces // Fract. Calc. Appl. Anal. — 2016. — Vol. 19, no. 3. — P. 608-624.

155. Samko S. G, Umarkhadzhiev S. M. On grand Lebesgue spaces on sets of infinite measure // Mathematische Nachrichten. — 2017.— Vol. 290, no. 5-6.-P. 913-919.

156. Sawyer E. T., Weeden R. L. Weighted inequalities for fractional integrals on euclidean and homogeneous spaces // Amer. J. Math. — 1992. —Vol. 114, no. 4.-P. 813-874.

157. Sbordone C. Grand Sobolev spaces and their application to variational problems // LE MATEMATICHE. — 1996. — Vol. LI.-P. 335-347.

158. Stein E. M. The characterization of functions arising as potentials, i // Bull. Amer. Math. Soc. -1961.-Vol. 67, no. 1.-P. 102-104.

159. Stein E. M. Harmonic Analysis: real-variable methods, orthogonality and

oscillatory integrals. — Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1993. — xiii+695 pp.

160. Stein E. M., Wainger S. Discrete analogues in harmonic analysis. II: Fractional integration. // J. Anal. Math. -2000.-Vol. 80.-P. 335-355.

161. Stein E. M., Weiss G. Interpolation of operators with change of measures // Trans. Amer. Math. Soc. -1958.-Vol. 87.-P. 159-172.

162. Stromberg J.-O., Torchinsky A. Weighted Hardy spaces. — Berlin : SpringerVerlag, 1989.— Vol. 1381 of Lecture Notes in Mathematics. — P. vi+193.

163. Umarkhadzhiev S. M. Hardy operator in grand Lebesgue spaces // Proceedings of the Annual Hawaii International Conference on System Sciences. — Hawaii, 2011.-P. 15-19.

164. Umarkhadzhiev S. M. Riesz-Thorin-Stein-Weiss Interpolation Theorem in a Lebesgue-Morrey Setting // Advances in Harmonic Analysis and Operator Theory / Ed. by Alexandre Almeida, Luis Castro, Frank-Olme Speck. — Vol. 229.-Basel : Springer Basel, 2013.-P. 387-392.

165. Umarkhadzhiev S. M. Hardy-Littlewood maximal operator in generalized grand Lebesgue spaces // AIP Conference Proceedings. — 2014. — Vol. 1637.-P. 1137-1142.

166. Umarkhadzhiev S. M. The boundedness of the Riesz potential operator from generalized grand Lebesgue spaces to generalized grand Morrey spaces. // Operator theory, operator algebras and applications. — Basel: Birkhauser/Springer, 2014.— P. 363-373.

167. Umarkhadzhiev S. M. One-dimensional and multidimensional Hardy operators in grand Lebesgue spaces // Azerb. J. Math. — 2017.— Vol. 7, no. 2.— P. 132-152.

168. Ye X. Boundedness of commutators of singular and potential operators in grand morrey spaces // Acta Mathematica Sinica. Chinese Series. — 2011. — 01.-Vol. 54.

Указатель обозначений

а* 79 93 С(Кп) 68

а * х 151 Н 152

а 80 На 152

А 177 182 Н3 77

ар 26 На 98

А(р, о) 27 Н, 98

Аа 7П Нпа

А<Х 5 Н3 77

Лр 203 Н

А(х) 87 Н 152

Ар)>в(Р) 204 Н+ 152

Ара),в(М+), 204 Н а

В(х, г) 165 Н а

Вш 78 Н 152

В(х, г), 165 а

а( а) 202

Сп, а( А) 88 р(•) 179

С* (К+) 30 1м(а) 80

Ср,а (а) 5 Л(а) 80

¿р(а) 82 ка(х) 17 69

(А) 88 кр ^

с1п/(а) 116 К 152

3( а) оэ СО К 72

Р 203 1р (Жп) 148

/р(х) 52 1р 93 148

1, 75 ¿р),о 148

^(р) 87 £р)>в (X) 148

^-1 200 £р)>9 (X) 148

Т(х) 87 ЬР(П,{х)-х) 33

L^ft) 179 Lp(^)(ft,g) 179 Lp) (ft) 32 L^ft) 50 Lp(ft,w) 29 Lp)(ft) 33 (ft), 42 LÍ'0 (ft,w),42

LFvh (ft, (x)-A), 37 L 121

O) 171 а ),°,x(ft,p) 171 а 'A (ft,w) 165 £^A(ft,w), 172 LÍ'0(ft), 45 M

M

Mß 185

Мш 196 Мш 198 M а 177 N No

p1 27

Pm 189 Q

Qp

Rj 193 R

S(Rn) 75 T£ 72

Tm 76 W( )

WLp(ft) 50 WLP(ft), 53 Wp),°;m(ft) 191

W^^;m(Rn) igi

Wo (ж) 62

W-i(x) 62 W),p ),в ;m(Rn) 191

ж 195 X 148 Yj (x' ), 1

Zn 147 A[j 116 Aj 76 Ф 75

Ф? (R+) 31 7 (x' ) 199 7n(a) 17 69

«+М, 100 «-(rt loo

Ma (ft) 52

к+ 99 к- 99

^ 148

¿p).9 (X) I48

148

151 53

ip-

£P)'9 ,£05

WLS(Q):

171

{О,l}n 76