Интегральные свойства обобщенных потенциалов Бесселя–Рисса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Алмохаммад Халиль

• Алмохаммад Халиль
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Алмохаммад Халиль

Введение

Глава 1. Критерии вложений пространства потенциалов в

перестановочно-инвариантные пространства в случае базовых весовых пространств Лоренца

1.1 Определения и предварительные сведения

1.2 Эквивалентные описания конусов убывающих перестановок для потенциалов, построенных на базе весовых пространств Лоренца с общими весами

1.3 Общие свойства потенциалов, построенных на базе

весовых пространств Лоренца с общими весами

1.4 Критерии вложений пространства потенциалов в перестановочно-инвариантные пространства в случае базовых весовых пространств Лоренца

Глава 2. Модулярные неравенства для операторов типа

Харди-Копсона на весовых пространствах Орлича

2.1 Определения и предварительные сведения (Вспомогательные теоремы)

2.2 Модулярные неравенства для операторов типа Харди-Копсона на функциях в пространстве Орлича

2.3 Применение для весовых пространств Лебега

Стр.

Глава 3. Модулярные неравенства для операторов типа Харди-Копсона на монотонных функциях в пространстве Орлича

3.1 Определения и предварительные сведения

3.2 Области применения для операторов типа Харди-Копсона

3.3 Доказательство результатов

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные свойства обобщенных потенциалов Бесселя–Рисса»

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности.

Данная диссертация посвящена изучению интегральных свойств сверток функций с ядрами, обобщающими классические ядра Бесселя-Макдональда. При изучении интегральных свойств потенциалов решающую роль играют конусы их убывающих перестановок. Они устроены весьма сложно и важно получить эквивалентные им более простые конусы. В описании эквивалентных конусов возникают операторы типа Харди-Копсона на конусах монотонных функций. Свойства классических ядер Бесселя-Макдональда подробно изучены в книгах Беннетта и Шарпли [1], С. М. Никольского [2], В. Г. Мазьи [3]. Известные работы М. Л. Гольдман [4], A. Gogatishvili, M. Johansson, C. A. Okpoti и L. E. Persson [5], М. Л. Гольдман [6; 7], посвящены исследованию свойств различных функциональных пространств. Особое значение имеют исследования модулярных неравенств для операторов Харди-Копсона на конусе П положительных убывающих функций из весовых пространств Орли-ча. Большой вклад в изучение этой проблемы внесли Jim Quile Sun [8], M. Goldman, R. Kerman [9], S. Bloom, R. Kerman [10], Э. Г. Бахтигареева, М. Л. Гольдман [11]. Классические потенциалы Бесселя и Рисса играют большую роль в теории функциональных пространств и в ее приложениях в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Свойства Бесселевых потенциалов и потенциала Рисса подробно изложены в книгах С. М. Никольского [2], И. Стейна [12], В. Г. Мазьи [3].

В работе проведена конкретизация общих критериев вложений потенциалов в перестановочно инвариантные пространства в случае, когда

базовое пространство для потенциалов есть весовое пространства Лоренца. Получены явные критерии справедливости модулярных неравенств для операторов типа Харди-Копсона на функциях в пространстве Орлича.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании интегральных свойств обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса, получении явных критериев справедливости модулярных неравенств для операторов типа Харди-Копсона на функциях в пространстве Орлича.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. установить эквивалентные описания конусов убывающих перестановок для потенциалов, построенных на базе весовых пространств Лоренца с общими весами;

2. сформулировать критерии вложений пространства потенциалов в перестановочно инвариантные пространства и дать описания оптимальных перестановочно инвариантных пространств для таких вложений;

3. приведена конкретизация этих вложений в случае базовых весовых пространств Лоренца

4. установить модулярные неравенства для операторов типа Харди-Копсона на функциях из весовых пространств Орлича;

5. установить модулярные неравенства для операторов типа Харди-Копсона на конусе П положительных монотонных функциях в пространстве Орлича.

Научная новизна. В данной работе получены следующие новые результаты:

1. построены эквивалентные описания конусов убывающих перестановок для потенциалов, построенных на базе весовых пространств Лоренца с общими весами;

2. построена конкретизация в случае базовых весовых пространств Лоренца критериев вложений пространства потенциалов в перестановочно инвариантные пространства и даны описания оптимальных перестановочно инвариантных пространств для таких вложений.

3. установлены явные модулярные неравенства для операторов типа Харди-Копсона на функциях из весовых пространств Орлича;

4. установлены явные модулярные неравенства для операторов типа Харди-Копсона на конусе П положительных монотонных функций в пространстве Орлича.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер. На основании общих результатов этой работы может быть получен ряд критериев вложения для различных конкретных пространств и различных типов ядер, включая классические потенциалы Бесселя и Рисса.

Исследование интегральных свойств потенциалов служит базой для дальнейшего изучения свойств гладкости потенциалов в тех интегральных метриках, в которых получены соответствующие вложения.

Методология и методы исследования. Оценки убывающих перестановок для свёртки, их применения для обобщённых потенциалов Бесселя и Рисса. Эквивалентные описания конусов убывающих перестано-

вок для потенциалов. Изучение свойств обобщённых оператор Харди-Копсона, возникающих в теории потенциалов. Описания оптимальных перестановочно инвариантных пространств для вложения потенциалов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Построены эквивалентные описания конусов убывающих перестановок для потенциалов, построенных на базе весовых пространств Лоренца с общими весами;

2. Построена конкретизация в случае базовых весовых пространств Лоренца критериев вложений пространства потенциалов в перестановочно инвариантные пространства и даны описания оптимальных перестановочно инвариантных пространств для таких вложений.

3. Доказаны теоремы о модулярных неравенствах для операторов типа Харди-Копсона на функциях из весовых пространств Орли-ча.

4. Доказаны теоремы о модулярных неравенствах для операторов типа Харди-Копсона на конусе П положительных монотонных функций в пространстве Орлича.

Степень достоверности результатов, полученных в диссертации, обеспечивается строгостью приведенных доказательств, многочисленными выступлениями на семинарах, конференциях и школах, а также имеющимися публикациями в рецензируемых изданиях, которые индексируются международными базами данных.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертационной работе, излагались на научном семинаре Северо-Кавказского центра математических исследований ВНЦ РАН и Южного математического

института ВНЦ РАН под руководством д.ф.-м.н., проф. А. Г. Кусраева, к.ф.-м.н. М. А. Плиева; в Российском университете дружбы народов на научном семинаре под руководством профессоров А. В. Арутюнова, В. И. Буренкова и М. Л. Гольдмана, в МГУ им. М. В. Ломоносова на научном семинаре на механико-математическом факультете под руководством профессоров Г Г. Магарил-Ильяева и К. Ю. Осипенко, на научном семинаре на факультете вычислительной математики и кибернетики под руководством академика Е. И. Моисеева и профессора И. С. Ломова. Кроме того, результаты диссертации докладывались на Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Ломоносов (Москва, 2019-2020-2021); на Международной научной конференции (Ninth International Scientific Conference "Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis IX". Rostov-on-Don, 2018-2019); на 31-й Крымской Осенней Математической Школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Севастополь, 2020); на 5-й Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования» (Москва, 2018); на Международной научной конференции «Interdisciplinary Research in Science, Engineering and Technology» (Bangalore, India, 2021); на Международной научной конференции «Order Analysis and Related Questions of Mathematical Modelling, XVI.» (Vladikavkaz, 2021).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 11 печатных изданиях, 5 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 6 — в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения.

Полный объём диссертации составляет 101 страницу. Список литературы содержит 72 наименования.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится краткий обзор наиболее важных публикаций, связанных с темой исследования, и анализ основных результатов диссертации.

Глава 1 состоит из четырёх параграфов.

Параграф 1.1. В первом разделе кратко изложены необходимые для дальнейшего понятия банахова функционального пространства (кратко: БФП), перестановочно инвариантного пространства (кратко ПИП). Мы опираемся на понятия, введенные в книгах С. Г. Крейна, Ю. И. Петунина и Е. М. Семенова [13] и К. Беннетта, Р. Шарпли [1], а также на результаты работ М. Л. Гольдмана [14] развивающих концепции БФП, вложений и накры-вании конусов [15].

Пусть (£,£,ц) есть пространство с мерой. Здесь £ — а-алгебра подмножеств множества £, на которых определена неотрицательная а-конечная, а-аддитивная мера ц. Через Ь0 = £0(£,£,ц) обозначим множество ц-измеримых вещественнозначных функций / : £ ^ а через подмножество множества Ь0, состоящее из неотрицательных функций:

Ц = {/ е / > 0}.

Определение 1.1.1. Отображение р : ^ [0,го] называется функциональной нормой (кратко: ФН), если для всех /, /п е п е N выполнены условия [ 1 ]:

(Р1) р(/) = 0 ^ / = 0, ц-почти всюду (кратко: ц-п.в.);

р(а/) = ар(/), а ^ 0; р(/ + £) ^ р(/) + р(§) (свойство нормы); (Р2) / ^ g, (ц-п.в.) ^ р(/) ^ р(§) (монотонность нормы);

(P3) fn t f * p(/„) ^ p(f )(n ^ то) (свойство Фату);

(P4) 0 < ц(а) < то * f f d^ ^ cap(f ), f E L+ (локальная интегри-

а

руемость);

(P5) 0 < ц(а) < то * р(Ха) < то (конечность ФН для характеристических функций ха множеств конечной меры). Здесь fn t f означает, что

fn ^ fn+i, lim fn = f, (^-п_в.).

п^-то

Определение 1.1.2. Пусть р есть функциональная норма. Множество X = X(р) функций из L0, для которых р(|/1) < то называется банаховым функциональным пространством (кратко: БФП), порожденным функциональной нормой р. Для f E X полагаем

II/Ух = Р(1/1).

Пусть на L+ введены отношения частичного порядка и эквивалентности: f < g со свойствами транзитивности, т. е. f < f ;

f<g, g<h * f<h; f « g & f<g<f.

Считаем, что отношение порядка подчинено поточечной оценке ц-п.в., т. е.

1) f < g, Ц-п.в. * f <g;

2) fn t f * fn _ f.

Здесь fn _ f означает, что fn < fn+1 ; f = [sup]/„, т. е. fn< f, n E N, и, если fn<f, n E N, то f < f.

Базовый пример отношения порядка:

f <g & f < g, Ц-п.в. * р(/) ^ p(g).

(Это следует из свойства (Р2) функциональной нормы р).

Нас будут интересовать отношения порядка, связанные с невозрас-тающими перестановками функций. Обозначим для / е Ь0

Л,(у) = ц{х е £ : |/(х)| > у}, у е [0,«)

— Лебегова функция распределения. Через ^0 обозначим множество функций / е Е0, для которых Лу (у) не тождественна бесконечности,

т. е. Зу0 е [0,«) : Лг(у0) < «.

Для / е ¿0 введем невозрастающую перестановку /* как правую обратную функцию к невозрастающей функции Лу, т. е.

/*(0 = М{у е [0,«) : Лг(у) ^ г}, г е К+ = (0,«), (1)

/* — невозрастающая перестановка функции /, т.е. неотрицательная, убывающая, непрерывная справа функция на К+ = (0,«), которая равно-измерима с /:

цп{х е К" : |/(х)| >у} = е К+ : /*(0 > у}, у е К+.

Здесь ц — это мера Лебега. Определение 1.1.3.

(г) Банахово функциональное пространство, сокращенно БФП, Е = Е(К") — это банахово пространство измеримых по Лебегу функций

/ : К" ^ С с монотонной нормой, т. е.

и| ^ 8 е Е влечет / е Е, ||/||£ ^ |Ы|£, и со свойством Фату:

0 ^ /п | /п е Е влечет / е Я, ||/„||£ ^ ||/1|£.

(гг) БФП Е называется перестановочно-инвариантным пространством, сокращенно ПИП, если его норма монотонна относительно перестановок,

Г ^ 8*, gеE влечет / е Е, ||/||£ ^ |Ы|£.

Примерами ПИП служат пространства Лебега Ер(Кп), пространства Лоренца, пространства Орлича.

В работе изучается пространство потенциалов Н^ = Н^ (К") на -мерном евклидовом пространстве К .

Определение 1.1.4. Пространство потенциалов НС = НС (К"): определяем как множество сверток ядер потенциалов с функциями из базового

пространства

Н%(К) = {и = С * / : / е Е(К)}, (2)

где Е(К") — перестановочно-инвариантное пространство, а

ЫНс = м {тЕ : / е Е(К), С * / = и} . (3)

Ядро представления в назовем допустимым, если

в е ь1(Кп) + е'(К"). Здесь свёртка в * / определяется как интеграл

(С * /)(х ) = (2п)-^ ! С(х - у)/(у) &у. (4)

К"

п

(мы ввели здесь множитель (2п)-2 для удобства при использовании преобразования Фурье). Здесь мы существенно используем результаты работы [15], в которой установлены точные теоремы вложения в ПИП для обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса:

НС (К) с X (К).

Кроме того, Е'(Ми) — ассоциированное ПИП, т. е. ПИП с нормой:

Мя' = 8ир{ [ \/8\: / £ Е, II/||£ < . (5)

Пример

Е = 1 ^ р < то ^ Е' = ; 1 + 1 = 1.

Р Р'

Для ПИП ЕЕрассмотрим пространства Ё(^+), Е— их представления Люксембурга [1], т. е. ПИП, для которых выполняются следующие равенства

£ = II// £ Е(Ю; ||я||£,= ||я*М1?', 8 £ Е'т,

где /, g — измеримые функции.

Введем класс монотонных функций Зп(К), Я > 0 следующим образом.

Функция 6 : (0,^) ^ принадлежит классу Зп(К), если

1. 6 убывающая и непрерывная на (0,К);

2. существует постоянная с £ такая, что

г

г~п ! 6(р)ри"Мр ^ с6(г), г £ (0,К). (6)

0

Отметим, что

'((у.)

ф(т) = 6 ( Т У I £ ЗДП Т = упяп,

где Уп — объем единичного шара в

. _ Гф(0, 0 < т ^ г,

/ф(?; т) = ш1п{ ф(0,Ф(т)} = 1 (7)

^ ф(т), Т > X.

В случае допустимых ядер мы можем для потенциалов и Е Н^ определить убывающие перестановки и*.

Определение 1.1.6. Пусть и# : ^ означает симметрическую перестановку функции и, т. е. радиально симметричную неотрицательную убывающую и непрерывную справа (как функция от р = |х|, х Е Шп), которая равноизмерима с и. Отметим, что

М#(р) = М*(Упрп), и*(0 = и#^М Е К+. (8)

Здесь Уп — объем п-мерного единичного шара. Обозначим

Т = то, если Я = то,

(9)

Т = Уп(Я/2)п, если Я Е Сформулируем условия на ядра О [15].

Определение 1.1.7. Пусть 6 Е (то). Считаем, что О Е £то(Э), если

О#(р) £ 6(р), р = |х| Е К+. (10)

Определение 1.1.8. Пусть 6 Е (то). Считаем, что О Е ^>(6), если

О(р)£ 6(р), р = м Е . (11)

Замечание 1.1.3. Ясно, что 5° (6) С £то(6).

то

Определение 1.1.9. Пусть 6 Е (то). Потенциалы и Е НО) называются обобщенными потенциалами Рисса, если

в(х)£ 6(|х|), |х| Е (12)

Ядро классического потенциала Рисса определено по формуле:

О(х) = ра-", р = М Е а Е(°,и),

где

6(р) = ра-" £ (то), С £ ^(6), (13)

/ф(?; •) £ Ж'(и+), ? £ ^ та-1 £ ,то). (14)

Определение 1.1.10. Пусть X = X) есть ПИП, 6 £ Зп(Я), где Я £ Считаем, что С £ 5Л(6; X), если

(С°)#(р) * 6(р), р £ (0,Я), С^ £ X(Ки), (15)

где

Бк = [х £ : \х\ <Я], Я £ 0°к(х) = С(х)хВк (х); С1к(х) = 0(х)хВск (х).

При этом,

С(х) = 0°к(х) + С1к(х). Определение 1.1.11. Пусть X = X) есть ПИП, 6 £ Зп(Я),

С(х) = 0°к(х) + С1к(хУ;

Вк = {х £ : \х\ <я}, Я £ С0(х) = с(х)Хв„ (х); С1(х) = с(х)хвс (х).

Считаем, что С £ 50 (6^), если

С°к(х)^ 6(р), р = \х\ £(0,Д), С1R£X(КИ).

Определение 1.1.12. Пусть 6 £ (Я). Потенциалы и £ НС) называются обобщенными бесселевыми потенциалами, если

С\(х) ^ 6(\х\), х £ Вк, С1к(х) £ (Ьх п Е')(ип), ! Сйх ф 0.

Ядро классического потенциала Бесселя определено по формуле:

О(х) = с(а,п)р-иКи(р), р = 1x1 Е а Е (°,п], V = (п - а)/2,

где Ки — функция Макдональда.

Параграф 1.2. Эквивалентные описания конусов перестановок для потенциалов. В этом разделе мы покажем, как операторы типа Харди-Копсона появляются в теории потенциалов. Рассмотрим следующие конусы перестановок для Т Е (°,то], снабженные положительно однородными функционалами [15]:

М(Т) = МО(Т) = {К(0 = и*(0, г Е (°,Т) : и Е НО}, (16)

рм(Т)(Ю = М{Ы\Но : иЕН% И*(0 = Л(0, г Е (°,Т)}. (17) Определение 1.2.1. При Т Е (°,то] рассмотрим конус

К (Т) = Кф =

| К(*) = ! /ф( п Т)Я(Т) ёт; I е (°,Т) : § е Е°(°,Г) |,

= { Л(0 = [ /ф(*;т)#(т)ёт; г е (°,Г) : я е Е°(°,Т) }, (18)

°

снабженный функционалом рК^(К) = е(°ту где в случае Т Е

\Ы\Е(°,г) = \\£0\\е(Я+); s0(t) = g(t);; tЕ(°,n Л0 = °, ^ т.

Е°(°,Т) = {§ Е Е(°,Г); ° ^ § ^ + °) = я(0, г е (°,Г)}. (19)

Считаем, что

/ф(?; •) Е Е'(°,Т) при *е(°,Г). (20)

Напомним, что множество {К(Т)| неотрицательных измеримых функций на (°, ), Е (°,то] образует конус, снабженный функционалом

рК(Т) : К(Т) ^ [°,то) если

к £ К ^ ак £ К, Уа £ [0,то); (21)

Рк(т)(аЮ = арк(т)(Ю, Уа £ [0,то); (22)

РК(Г)(К) = 0 ^ К = 0 почти всюду на (0,Т). (23)

Рассмотрим совокупность = {К(Т)| таких конусов. Определение 1.2.2. Пусть К(Т), М(Т) £ . Конус К(Т) накрывает конус М(Т) (обозначение М(Т) < К(Т)), если существуют постоянные с1 = с1(Т) £ и с2 = с2(Т) £ [0,то), причем с2(то) = 0, такие, что для каждой функции к1 £ М(Т) найдется функция к2 £ К(Т), удовлетворяющая условиям

рк(Г)(к2) < с1рм(Г)(М О < ) + С2РМ(Г)( I £ (0,Т). (24)

Замечание 1.2.1. Эквивалентность конусов означает их взаимное накры-вание:

М(Т) « К(Т) & М(Т) < К(Т) < М(Т).

Теорема 1.2.1. (см. [4]). Пусть Я £ (0,то], 6 £ Зп(Я) иТ = Т(Я), Т = то, если Я = то; где Т = ", если Я < то; /ф(?;.) £ Ё'(и+), г £

в £ 5^,(6) или, если Я £ С £ 5° (6; £'), то

МС(Т) « Кф(Т). (25)

Параграф 1.3. Рассмотрены общие свойства потенциалов, построенных на базе весовых пространств Лоренца с общими весами.

Определение 1.3.1. Пространствами Лоренца А9( и) и Г^( и), где 5 и V > ° — измеримые функции, называются пространства измеримых функ-

ций с конечными нормами:

\\л\

А«( V)

(то (/

ГЧ I ) К X ) ё

г?6( V) = <

(то (/

/Г( о к г

е88 8ирГЕ(°,то^/б*(0

где

Л**(0 =

/о 5(0 ё

В частности, когда 5 = 1

г ( )

(то

г*4 0 и ( 0 ё

е88 вир,Е(°,то^/**(0 КО};

1 < д < то,

е88 8ирГЕ(°,то){/*( * ) К ? )}; « = то,

1 < < то,

= то,

/*(т)5(т) ёт; ? Е ^

+

1 < < то,

= то.

Определение 1.3.2. Пусть оператор : Е°(°,Т) ^ X(°,Т), Т Е (°,то], определён по формуле

(26)

(27)

(28)

Ш0 = / /ф(П т)я(т)ёт, § Е Е°(°,Г).

(29)

Этот оператор играет важную роль в интегральных свойствах потен-

циала.

Сформулируем критерии вложений пространства потенциалов в

ПИП:

НО) С X).

(30)

1

Вложение (30) эквивалентно условию: существует с £ (0,то), такая что

11*фЖ]Н* < сЫ\Ё}; 8£Ё0.

Рассмотрим случай Е = Л (и).

Задача — описать оптимальное ПИП ) для вложения

С

НС(И)(КИ) С X(Ки),

т. е. такое ПИП ), что

1. НС(и)(^и) С !0(Г);

2. если ПИП X), такое что есть вложение НС (ип) С X), то

) С X).

В наших результатах мы использовали следующие свойства потенциалов и теоремы [15]

Теорема 1.3.1. Пусть оператор то : А9( м)(^+) ^ X(^+). Для потенциалов Рисса вложение:

Н% (и)(Ки) С X(Ки) (31)

эквивалентно ограниченности оператора то.

Теорема 1.3.3. При Т = то для потенциалов типа Рисса, или Т = Уп(В./2)п £ для потенциалов типа Бесселя имеет место эквивалентность

Н%{и)(ип) С Ьто(^п) & ф £ [А«(и)]'(0,П (32)

Параграф 1.4. Критерии вложений пространства потенциалов в перестановочно инвариантные пространства в случае базовых весовых пространств Лоренца.

Теорема 1.4.2. Пусть 1 < р < то, - + — = 1, а функции V ^ 0 и V определена следующим образом:

измеримая

F( X) = г;(т)ёт,

тогда

П** [#*]

ь' (V)

я« ток*]

ф,то'

ь' (у)

А = 8ир ■

х>0

то ' ) А.

/Ш Н'

п /

(то 1 >.

< то. (33)

Получены критерии вложений пространства потенциалов в перестановочно инвариантные пространства и даны описания оптимальных перестановочно инвариантных пространств для таких вложений. Приведена конкретизация этих вложений в случае базовых весовых пространств Лоренца. Теорема 1.4.3. Пусть 1 < р < то, 1 + — = 1, а функции и, V, ю, V и и определены следующим образом:

Х2р'и(Х)фр '(О

и ( )

и (я) = J и(Х) и(Х) = 0

хР+р'-1у(х) Г т~р'и(т) ёт ю(Х) = '

У(Х) = J и(т) ёт,

0

F( X) + & ¡г т-р'и(т)ёт

У-» у

о ф(р) ёр ^ сф( г)г;

V г е (0,то), и пусть

С = 8Ир ■

>0

^ и(Х)

ит

-я

и®

( х )

< то.

(34)

то

Тогда оптимальное ПИП для вложения Н°. ДО") С XДО") имеет эквива-

Л? (и) У 4 У

лентную норму

Замечание 1.4.1. Условие,

Х0(К+) = \\J 11Г(ш)-

ф(р) ёр ^ сф( г)г

вытекает из условия (6) и гарантирует эквивалентность

(35)

так что ||Жф Г§*1„) = ЦЖф.„[я*

№ Л1л/( V)

. При условии на весовые функ-

ции

А = 8ир ■

х>0

то ' ч ± . то ! ч

п / V Г» У

и( г ) ё

00 Также получаем эквивалентность норм

Ж [ е*1

ф,ТО>-6 J

V)

Ж [ е*1

ф,ТО>-6 J

Л/( V)

Ж* [я*]

ф.то1-0 л

Ьр'(и)

Ж [ е*1

ф,ТО>-6 -I

1-У (V)'

Последнее равенство опирается на соотношение

Жф,ток*1( г ) = Жф,ток*1( г ),

поскольку функция в правой части неотрицательна, убывающая и непрерывная, т. е. она совпадает со своей убывающей перестановкой.

Основные результаты первой главы опубликованы в работах [16; 17] из списка публикаций автора по теме диссертации.

В главе 2 исследуются модулярные неравенства для операторов типа Харди-Копсона на весовых пространствах Орлича.

Параграф 2.1. Определения и предварительные сведения и вспомогательные теоремы.

Определение 2.1.1. Функция Ф: [0, + то) ^ [0, + то) называется Ы-функцией, если

Ф( X) = / ф(т) ёт; где ф непрерывна, 0 < ф ф(0) = 0; ф(то) = то. Пусть о

ф-1 непрерывная справа функция, обратная к ф, и определим

¥(0 = ! ф-1(т) ёт. 0

¥ называется дополнительной функцией для Ф.

Определение 2.1.2. а) Говорят, что N-функция Фудовлетворяет Д2условию (мы пишем Ф е Д2), если существует константа В > 0, такая, что

Ф(20 ^ ВФ(0, V > 0. (36)

б) Запишем Ф1 ^ Ф2 если существует константа Ь0 > 0, такая, что неравенство

то то

2 Ф2 ◦ Ф-1( а) < АФ ◦ Ф-1^ Щ) (37)

г=1 г=1

выполняется для любой последовательности {аг} с аг ^ 0. Если Ф2 о Ф-1 выпуклая функция , то Ф1 ^ Ф2. Например, если Ф1( I) = 1р; Ф2( 0 = 1д; 0 < р, д < то, тогда Ф1 ^ Ф2 при р ^ д.

в) Пусть ш положительная измеримая весовая функция и Ф — N -функция. Пространство Орлича £Ф(ш) состоит из всех измеримых функций / (по модулю эквивалентности почти везде) с нормой

|ф(ш) - М| Л > 0, ! Ф(Л-1| Лх)|)ш(х)ёх ^ 1 I. (38)

0

МУМ<

Например, если ш = 1; Ф( X) = Хр, тогда ХФ(ш) = Ьр.

Мы называем || • ||Ф(Ш) нормой Люксембурга. Норма Орлича функции / определяется выражением

' = 8ир |/я|ш ёх : / ёх ^ 1 У (39)

¥(ш)

00

,

где ¥ — дополнительная функция к Ф.

Замечание 2.1.1. £Ф(ш) — банахово пространство, и нормы Люксембурга и Орлича эквиваленты. Именно,

||/||ф(ш) < Н/Нвд < 2|/|ф(Ш). (40)

Определение 2.1.3. Обобщенные операторы Харди — это операторы вида

X +то

Ж f ( X ) = У к(х^)/( г)ёI, Ж*#(г) = ! к(X^)8(х)ё X, (41)

0

где

а) к : {(х, 0 е : 0 <1 <х< +то} ^ [0, + то);

б) к(х,? ) ^ 0 не убывает по х, не возрастает по

в) к( х, у) ^ к(х, 0 + к( I, у)), всякий раз, когда 0 I < х < +то для некоторой константы Б.

Параграф 2.2. Модулярные неравенства для операторов типа Харди-Копсона на функциях в пространстве Орлича. Напомним, что

К^ = «I ВД = ! /ф(х; т)#(т) ёт; х е (0,то) : 8 е 4(0,то) I; 0

/ф(х; т) = <

ф(х ), 0 < т ^ х , ф(т), т > х;

то

0 < ф I, J ф(т)ёт ^ сф(х)х.

о

Мы рассматриваем оператор

Т\е] = Н(х)= I /ф(х; т)я(т)ёт

(42)

ТЫ = Ф(х) ] Я(т) ёт + J ф(т)я(т) ёт =ТгИ + Т2[&\. (43)

0 х

Это означает, что Т является суммой двух операторов типа Харди-Копсона.

Теорема 2.2.2. Пусть Ф2 — N-функции, Ф1 ^ Ф2, ¥2 — дополнительные функции для Ф1 и Ф2, а, Ь, и, ш — положительные весовые функции,ХТ определяется формулой (42). Тогда существует такая постоянная А> 0, что неравенство

( + ТО \ / +ТО

Ф

-1

Ф2(а(х)Т^(х))ш(х) ёх

\ о

^ Ф

-1

Ф^А^х^х)^^) ёх

\0

(44)

выполняется для всех неотрицательных измеримых функций ^ тогда и

только тогда, когда существует постоянная С такая, что неравенство /

Ф

-1

/Ф2(

\0

а(х) /ф(х; г)

С ф(г)

еиЬ

ш(х) ёх

^ Ф-

(1) (45)

выполняется для всех е, г > 0.

Целью данной теоремы является изучение поведения интегральных операторов типа Харди-Копсона на весовых пространствах Орлича. Результаты о модулярных неравенствах для рассматриваемых операторов типа Харди-Копсона важны, поскольку такие операторы возникают в изучение убывающих перестановок для обобщенных потенциалов Бесселя и

то

X

00

1

Рисса, в этом случае пространство Орлича-Лоренца служит базовым пространством.

Параграф 2.3. Применение к весовым пространствам Лебега.

Применим теорему 2.2.2. к случаю весовых пространств Лебега. Пусть 1 ^ р,д < то

фДО = Ф2(0 = ^; ^1= ^; 1 + = 1;

функции а, Ь, г , ш такие, как в теореме 2.2.2. Тогда

Ф1 ^ Ф2 ^ р ^ д.

Применение теоремы 2.2.2 дает следующий результат.

Пусть 1 ^ р ^ д < то. Тогда существует такая постоянная А > 0, что неравенство

/ +то

1

а 9 ( х )Т х )ш( х ) ёх

+то

^ А

! (ЬР( х )^(х )) г( х )ё х

1

(46)

выполняется для всех неотрицательных измеримых функций тогда и

только тогда, когда существует постоянная С > 0 такая, что неравенство

1

/ +то

а(х)9/ф(х;г)9 ш(х ) ёх

' д /ф( • ;г)

/ иЬ

< Сф(г),

(47)

¿¿(г)

выполняется для всех > 0.

Основные результаты второй главы опубликованы в работе [18] из списка публикаций автора по теме диссертации.

В главе 3 изучаются модулярные неравенства для операторов типа Харди-Копсона на монотонных функциях в пространстве Орлича.

Аналогичная проблема изучена для весовых пространств Орлича-Лоренца. Ее решение связано с переходом от описаний действия операторов на конусе всех неотрицательных функций из пространства Орли-ча к изучению действия операторов на конусе неотрицательных функций со свойствами монотонности. Эти результаты играют важную роль, поскольку изучение интегральных свойств потенциалов связано именно с конусами их убывающих перестановок. В главе 3 диссертации получены критерии справедливости модулярных неравенств для операторов типа Харди-Копсона, отображающих конусы монотонных функций в весовом пространстве Орлича в другое весовое пространство Орлича. Следует отметить, что ответы, полученные в главе 3 с учетом свойств монотонности, существенно отличаются по форме от результатов главы 2, и их получение потребовало от автора привлечения ряда новых соображений.

Мы рассматриваем модулярные неравенства для операторов типа Харди-Копсона на конусе П положительных убывающих функций из весовых пространств Орлича. Воспользуемся общей теоремой (доказана в [9]) и результатами в [7] о редукции модулярных неравенств для положительно однородных операторов на конусе П, что позволяет перейти к модулярным неравенствам для модифицированных операторов на конусе всех положительных функций из пространства Орлича. Он основан на теореме двойственности, описывающей ассоциированную норму для конуса П. Мы следуем, в основном, обозначениям, использованным в книге [1, разд. 8, Глава 4] Беннета и Шарпли и в работе [19]. Здесь конкретизируются модулярные неравенства для случая, когда положительный оператор является оператором типа Харди-Копсона. Показано, что в этом случае модифицированный оператор является обобщенным оператором Харди в но-

тации Jim Quile Sun [8]. Это позволяет использовать подходы, развитые в [20—23],также результаты, полученные Jim Quile Sun [8], чтобы установить явные критерии справедливости модулярных неравенств. Параграф 3.1. Определения и предварительные сведения.

Мы предполагаем, что M(^+) — множество измеримых по Лебегу почти всюду конечных функций, M+ — конус почти всюду положительных функций из M = M(IR+);

M+ = {f g M(K+) : f> 0}.

Рассмотрим конус положительных убывающих функций из пространства Орлича:

Q= {f GL%V : 0 </ |}. (48)

Для g g M+ , введем следующую ассоциированную норму на конусе:

Mn = sup( f /gd:/GQ; ||/Пф, , ^ lj. (49)

Сформулируем результат, обобщающий некоторые предыдущие результаты работ [10], [24—27].

Предложение 3.1.1. ([24]). Пусть Ф, ¥ — дополнительные N-функции, N -функция Ф удовлетворяет условию Д2, пусть V Е М+ и пусть

0 < у(г) := ! ийт < то, г е Г(+то) = +то. (50)

о

Для фиксированного числа 0 < а < 1 справедлива следующая двусторонняя оценка:

Мп = н*в т%и =

= м|Л > 0: ¥(Л-1|Яв&;0|)< ^, (51)

где

na(g; t) : = V(О-1 J g(T)dT, ba(t) : = F-1 (aF(0), * E i+. *e(0

При различных значениях a E (0,1) нормы (51) эквивалентны.

Здесь и далее мы используем обозначения

А ^ В & 3 с е [1,то) : с-1 < А/В < с. (53)

в следующих рассмотрениях мы будем использовать формулу сопряжен-

ного оператора:

ДО v (О

W; T^/^d*, T E i+. (54)

Параграф 3.2. Области применения для операторов типа Харди-Копсона.

Сформулируем основной результат этого раздела, позволяющий свести модулярные неравенства для операторов на конусе Й к модулярным неравенствам для модифицированных операторов на конусе М+.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алмохаммад Халиль, 2022 год

г // у

V ир '(о)

итак

Ж [ е*1

ф,то>-0 J

Л ( )

' = Л + ¿2,

где

/2 =

/ то /

Х0

/ то /

N П

Ф( о- ] Я*(т)ёт

0

то

/ ф(т)^*(т)ёт

^ и( О

йчо

^ м(0

и^чо

- I ,

\ * & 1 .

Мы хотим оценить слагаемое /2 слагаемым Из убывания функции g* и получим для :

/ то » /

\ п

ф(0 - я*(0 ] ¿т

0

^ м(0

и^чо

- =

(то

I [ф( ,).,.( ()Г' .и^4'

п

и ( )

=

/2 ^ а -

где а постоянная, не зависящая от функций ф и g* такая, что /2 ^ а - 5, достаточно, чтобы определённая следующим образом постоянная С была конечна:

С = 8Ир ■

г>0

^ иЦ)

ит

-к

и (0

г 2риУ( г )

< то.

Эта постоянная и есть константа С из условия Теоремы.

Здесь мы применили обобщенное неравенство Харди для функции одной переменной, приведенное в книге В. Г. Мазьи [3, Глава 1].

Пусть 0 < V, ш < то почти всюду на (0,то) — измеримые функции, 1 ^ Р ^ <1 ^ то; тогда для выполнения неравенства для любых измеримых

то

ДУ /шт| ш( I )«иЛ <с и /а у у ( ^иЛ

с постоянной с е (0,о) необходимо и достаточно, чтобы

с1 := у ^у у (т)-/ёт^

: - йиР| / ич | | I у (т) ^ Шт | < о,

0

где 1 + — = 1. Заменим здесь обозначение: вместо р ставим р', тогда вместо р' ставим р. Утверждение примет вд: пусть 1 ^ р' ^ д ^ о, тогда для выполнения неравенства для любых измеримых / ^ 0

\ Я / ^ ч —

/(/ш(°9ич <с(УЫУуЦУиЛ

с постоянной с е (0,о) необходимо и достаточно, чтобы

с1 :=8ир^У ш(т)9Шт^ ^у у(т) < о.

В частности, при = ' имеем: тогда для выполнения неравенства для любых измеримых / ^ 0

(о > о \ Р у о

/( / 7 и^ и ) ^ С( / и ) (169)

0 / / х0 с постоянной с е (0,о) необходимо и достаточно, чтобы

(Г > ± , о V _

У ш(т/Нт1 у! у(т)-рит\ < о. (1.70)

1

Положим здесь

= ——; у(0 = —-—

и( ) и( )

Тогда (1.69) примет вид

, Ю , Ю . р' . 1 . ю .Л

(/(Г'-&) '<• (А«^)'

(1.71)

•0 4 X

а (1.70) примет вид:

с1 : = 8ир

>0

(/ и^ &Т)' (/ т_2"м(т)-^(Т)" ^ < Ю- (1.72)

Итак: для того, чтобы выполнялось (1.71) с постоянной с Е (0,ю), не зависящей от измеримых / ^ 0, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (1.72).

Итак, мы получили что, 11 ^ ^ и /2 ^ а • 8, поэтому можно писать,

12 ^ С.Jl.

Эти оценки дают, что

Ж Г е*1

ф,Ю>-£> J

\иР'({))

Ж Г е*1

ф,Ю 1-0 J

I

//Уи(<) \ : V ир '(о )

, Ю = /

\ п

, Ю

0

N П

Ф(* )• J Я*(т)ёт

0

^ м(0

йчо

у

& =

1

ф( г)-• ! Я*(т)ёт

0

и" '(О

Ю

(/ [ф(т)8-(т)]' =

и ( )

У

/ Ю

0 \ п

[ф(т)я"(т)]

и ( )

•У

& =

/ Ю

0

N п

& = 1ЫЬ

г

V и/(о /

(1.73)

Формула

= вир{ | Г^Ш;^е10 (К+); |Жф,ок*]|ЕЕ'(к+) < 11,

(см. [15]) дает, что норма в оптимальном ПИП Х0(^+) является ассоциированной к норме (1.73), т. е.

||У ||Х0(К+) = ^^'(у)]',

где

у() = ирчо •

Осталось заметить, что можно описать эквивалентную норму ассоциированного пространства в следующем виде (см. [5]):

[г'( у)]'

/ г хр+р'-1 Г*Р(Х)/о т~р'у(т)Шт\' F( х) + 1Р'/о т-р'у(т)Нт ) '

где

г г

-> = /«« = 7^ ит. 00 Учтем теперь обозначение

хР+р'-1у(х) /о т~р'у(т)Шт

^(0 =

•ж •о

F( X) + ХР' /00 т-р'у(т) ит Отсюда следует, что

Итак, теорема доказана. □

Замечание 1.4.1. Условие,

/ ф(р)Шр ^ сф(г)г

вытекает из условия (1.9) и гарантирует эквивалентность

ж;ул — Жф>сх,гл

так что ||Ж* И™„) — НЖ*.«,^

Ф,Ю № Л1л/( V)

. При условии на весовые функ-

ции

Л = 8ир ■

х >0

Ю ' \ ^ / Ю 1ч

ш чаш-^А}

п / \ П У

и( г ) &

00 Также получаем эквивалентность норм

< Ю.

Ж Г е*1

ф,Ю 1-0 J

г'( V)

ЖфюГяЧ

ф,Ю '

Л/( V)

Ж* Г&*1

Ьр'(и)

Ж Г е*1

ф,Ю>-£> J

1-У (V)'

Последнее равенство опирается на соотношение

Ж*ф,югл( г ) = Жф,югяч( г ),

поскольку функция в правой части неотрицательна, убывающая и непрерывная, т. е. она совпадает со своей убывающей перестановкой.

Глава 2. Модулярные неравенства для операторов типа Харди-Копсона

на весовых пространствах Орлича

В данной главе конкретизированы модулярные неравенства для случая, когда положительный оператор является оператором типа Харди [7]. Показано, что в этом случае модифицированный оператор является обобщенным оператором Харди в обозначениях Jim Quile Sun [8]. Это позволяет нам использовать подходы, развитые в [24; 30], а также результаты, полученные Jim Quile Sun [8] и [19], для установления явных критериев справедливости модулярных неравенств.

2.1 Определения и предварительные сведения (Вспомогательные теоремы)

Определение 2.1.1. Функция Ф: [0, + œ) ^ [0, + œ) называется N-функцией, если

Ф( t) = f ф(т) dx; где ф непрерывна, 0 < ф f; ф(0) = 0; ф(те) = œ. Пусть о

ф-1 непрерывная справа функция, обратная к ф, и определим

¥(0 = j ф-1(т) dx. 0

¥ называется дополнительной функцией для Ф.

Определение 2.1.2. а) Говорят, что N-функция Фудовлетворяет Д2условию (мы пишем Ф е Д2), если существует константа В > 0, такая, что

Ф(21) ^ВФ(0, V > 0. (2.1)

б) Запишем Ф1 ^ Ф2 если существует константа Ь0 > 0, такая, что неравенство

то то

2 Ф2 ◦ Ф-1^;) < АФ ◦ Ф-ЧХ (2.2)

;=1 ;=1

выполняется для любой последовательности {а;} с а; ^ 0. Если Ф2 о Ф-1 выпуклая функция , то Ф1 ^ Ф2.

Следующие примеры показывают, что Ф1 ^ Ф2 является на самом деле более слабым условием, чем выпуклость функции Ф2 о Ф-1.

Пример 2.1.1. Существуют N-функции Ф1 и Ф2 такие, что Ф2 о Ф-1 не выпуклая функция, но Ф1 ^ Ф2 с!0= 1.

Пусть Ф1( х ) = х 2, когда 0 ^ х ^ 1, и Ф1( х ) = х4, когда 1 ^ х. Пусть Ф2( х ) = х4. Ф2 о Ф-1 равна х2 на интервале [0,1], и х на интервале [1,то), и, следовательно, не является выпуклой функцией. Для проверки того, что Ф1 ^ Ф2, зафиксируем положительные числа {а ; : ; Е 1} такие, что а = 2; Е IаI < то, и рассмотрим два случая: Если а ^ 1, то тогда все а; меньше, чем 1, и тогда

^ Ф2 о Ф-1(а;) = £ «2 ^ а2 = Ф2 о Ф-1(а).

IЕI IЕ1

Если > 1 , то тогда

X Ф2 о Ф-1( а;) ^ ^ а; = а = Ф2 о Ф-1(а).

Е Е

Пример 2.1.2. Существуют N-функции Ф1 и Ф2, которые удовлетворяют >1 ^ Ф2, но такие, что Ф2 о Ф-

условию Ф1 ^ Ф2, но такие, что Ф2 о Ф-1 не эквивалентна выпуклой функ-

ции.

Предположим, что

0 < 2 п2хп+1 < хп < х0 = то, для п ^ 1. (2.3)

тп+1 < тп < т0 < Для п ^ 1- (2.4)

и для всех положительных Ьис

Ш((Ь тП-1-Л^т-) =». (2.5)

п^\\ тп ) п2Хп+1 /

Положим уп = х п - п2хп+1 Е ( хп+^хп), также положим

/(х) = ^ тпХХ[Хи+1>Хй)(хХ

[х „+1,Х п )

п=0

и пусть § является единственной непрерывной функцией, которая соответствует / на каждом интервале [ хп+1, уп) для п ^ 0, является линейной на каждом интервале (уп,хп) для п ^ 1. Заметим, что / и § являются возрастающими функциями, и / ^ §. Легко заметить, что для х Е (0,уп) имеем

§(* ) ^ тпХ.

Если {аЕ1 являются положительными числами, такими, что а = Е IаI < тогда выберем п таким, что х п+1 ^ а < хп. Так как (в соответствии с формулой (2.3)) а < х п ^ 2уп, ясно, что а; ^ уп, по крайней мере, для одного Е . Теперь

X §( а;) ^ X §( а;) + §( а) ^ X тпа1 + §(°) < тпа + §(а) ^ 2§(а).

;Е1 а1< У п а<Уп

Если Н является выпуклой функцией с ЬН ^ § ^ сН для некоторых

положительных и , тогда

( Н(хп)- Н(уп))

Н(1) ^ Ит -^ (1 - х п) + н( *п) ^

*п - Уп )

^Т./(1/с)§(Хп)-(1/ %(Уп Л(1 ) + (1/)( )

^ 1.т - (1 - Хп) + (1/с)§( Xп)

хп - Уп )

= 11/ (1/ С)тп-1 Xп - (1/ Ь)тпУп\ =

-Ч *п - Уп )

1 ( тп-1 - тп) п

= — 11т -—-^^ + стп) ^

Ьс \ X п - Уп /

^ ±нт(( = «,,

тп Хп - ^

в соответствии с формулой (2.5). Это показывает, что g не эквивалентно любой выпуклой функции.

Предположим, дополнительно, что

то

V"* Хп Хп+1 к

< то. (2.6)

Определим Ф-1( х ) как единственную непрерывную функцию, которая равна 0 в точке 0, линейную на каждом интервале ( хп+1,х п) с наклоном

т Т]Щ-1Хк ~™кУк п> 1 П|=Т тк(Хк - Ук) ' " '

и равна 2т0(х1х)1/2 + С на интервале (х1,то). Здесь С выбрана таким образом, чтобы обеспечить непрерывность. Гипотеза (2.6) обеспечивает, что Ф-1 является хорошо определенной, поскольку

то

Е, ч ТТ тк-1 хк ч ТТ тк-1 хк

( *п - *п+1)тп Ц т, ) ^ ( *п - *п+1)тп Ц

п=1 к=1 тк^к уV п=1 к=1 тк к лк+1

тото

Е т0 Х1 1 ^ Хп - Хп+1

п=,(х"- =тл § м2^ <

Ф-1 является выпуклой, поскольку величина наклона увеличивается по мере того, как интервалы( хп+15х п) приближаются к 0. Действительно, из формулы (2.5) следует, что ИшхФ-1( х )/ х = то. Ясно, что Ишх^то Ф-1( х)/х = 0. Таким образом, Ф1 является N-функцией.

Положим Ф2 = go Ф1, тогда g = Ф2 о Ф-1. Ф2 является непрерывной функцией, которая равна 0 в точке 0. Отсюда сразу следует, что Итх^то Ф2( х )/ х = то, и, поскольку §( ? ) ^ т0? для всех которые достаточно близки к 0, Ишх^0Ф2( х )/ х Ишх^0т0Ф1(х)/х = 0. Вычисления наклона Ф2 на интервалах (Ф-1(хп+1),Ф-1(уп)) и (Ф-1(уп),Ф-1(хп)) по отдельности показывает, что она является линейной на каждом интервале

(Ф-1(Уп+1),Ф-1(Уп)) с наклоном

Пп тк(хк - Ук) . . -, п> 1.

к=1 тк-1 хк - ткУк

Так как наклон уменьшается по мере того, как интервалы становятся ближе к 0, функция является выпуклой. Таким образом, Ф2 также является N -функцией.

Нетрудно проверить, что (2.3), (2.4), (2.5) и (2.6) выполняются для

тп = 1/п!,п > 0 и *п ГС=1

тк.

Замечание 2.1.1. В работе [10] при доказательстве Теоремы 1.7 утверждается, что: « Так как к является монотонной по х, мы можем аппроксимировать к снизу ядрами, непрерывными по х, .... Поэтому мы можем предположить, без потери общности, что к является непрерывной по х». Действительно, как показывает данный пример, может быть невозможным аппроксимировать ядро обобщенных операторов Харди снизу ядрами обобщенными операторами Харди, которые являются непрерывными по х. Можем сказать, что доказательство в [10] остается верным без предположения о непрерывности. Нужна только небольшая техническая модификация.

Пример 2.1.3. Существует ядро обобщенного оператора Харди, которое не может быть аппроксимировано снизу ядрами обобщенных операторов Харди, которые непрерывны по .

Положим к( х,t) = Х[1(+то)(х )Х[0>1)( 1 ) и вспомним Определение 1.7. Легко видеть, что к является ядром обобщенного оператора Харди с Б = 1. Предположим, что ( , ) является ядром обобщенного оператора Харди, которое непрерывно по х и удовлетворяет условию I ^ к. Если 0 <1< 1 <

х, то

l(x,t) ^ D(l(x, 1) + /(1,0) = D(l(x,1) + lim /(6,0) ^

^ D(k(x,1)+ lim k(6,t)) = 0. Отсюда следует, что l = 0. Таким образом, единственное ядро обобщенного оператора Харди, которое непрерывно по х и меньше к, равно 0.

Например, если Ф^О = tp; Ф2(0 = tq; 0 < р, q < то, тогда Ф1 ^ Ф2 при р ^ q.

Пусть ш положительная измеримая весовая функция и Ф — N -функция. Пространство Орлича ЬФ(ш) состоит из всех измеримых функций f (по модулю эквивалентности почти везде) с нормой

II/ 11ф(ш) = f Л > 0, j Ф(Л-1|/(x)|)w(x)dx ^ Л. (2.7) ^ 0 '

Например, если ш = 1; Ф(0 = tp, тогда ЬФ(ш) = L

Мы называем || • ||Ф(Ш) нормой Люксембурга.

Норма Орлича функции f определяется выражением

}

;(Ш) = 8И^ у |/я|шёх : § Е ¿+(^+); у |)шёх ^ 1 }, (2.8) ^ 0 0 где ¥ — дополнительная функция к Ф.

Замечание 2.1.2. (см. [1]). £Ф(ш) — банахово пространство, и нормы Люксембурга и Орлича эквиваленты. Именно,

II/ 11ф(ш) < II/У¥(Ш) < 2||/||ф(Ш). (2.9)

Определение 2.1.3. Обобщенные операторы Харди — это операторы вида

X +ТО

Ж/(х) = У к(х,1)/П*йО) = ! к(х,Шх) ёх, (2.10)

0 г

00

где

а) к : Е : 0 <1 <х< +то} ^ [0, + то);

б) к(х,1) ^ 0 не убывает по х, не возрастает по

в) к(х,у) ^ В[к(х,1) + , всякий раз, когда 0 ^ у ^ I < х < +то для некоторой константы Б.

Теорема 2.1.1. (см. [8]). Пусть Фх, Ф2 — Ж-функции, Ф1 ^ Ф2, ¥2

— дополнительные функции для Ф1 и Ф2 (см. Определение 2.1.2) и Ж — обобщенный оператор Харди, определенный формулой (2.10). Пусть а, Ь, V и ш — положительные весовые функции. Тогда существует константа

А> 0 такая, что неравенство

( +то

Ф

-1

Ф2(аЖ/)ш йх

+то

< Ф

-1

Ф1(А/Ь)и йх

(2.11)

выполняется для всех неотрицательных измеримых функций / тогда и только тогда, когда существует постоянная С > 0 такая, что неравен-

ства

Ф

-1

' +то ,

I ч

Г >

а(х)

и

\г

+то

к(г; -)х (•)

(0,г)

еиЬ

Ф-

I Ф2(

V г 4

а(х)

еиЬ

Ч^ЕИ)

< Ф

-1

(1)

(2.12)

к(х; г) I ш(х) йх

< Ф

1 (1)

(2.13)

выполняются для всех е, г > 0.

Теорема 2.1.2. (см. [8]): Пусть Ф1, Ф2 — N-функции, Ф1 ^ Ф2, и Ж*

является обобщенным оператором типа Харди, определенным формулой (2.10). Тогда существует такая постоянная А> 0, что неравенство

+то +то

Ф-

Ф2(аЖ*/)ш &

V 0

^ Ф-

Ф1(АЬ/)и &

V 0

(2.14)

1

1

выполняется для всех неотрицательных измеримых функций / тогда и только тогда, когда существует постоянная С такая, что неравенства

Ф-

УФ2(

п \

a(t) ~С

и

\ 0

( Г

evb

\w(t)dt ^ Ф-1(i) (2.15)

Ф

-1

/Ч

\ 0 v

a(t) ~С

evb

^i(Eü)

k(r; w(t)dt ^ Ф-1( (2.16)

выполняются для всех e, г > 0.

2

2.2 Модулярные неравенства для операторов типа Харди-Копсона на

функциях в пространстве Орлича

Мы называем оператор

+то

Tf (х) = J k(x,t)f (t)dt 0

монотонным на (0 , + то), если k(x,t) является неотрицательным и либо невозрастающим, либо неубывающим по х.

Свойства монотонных операторов на банаховом функциональном пространстве были исследованы Jim Quile Sun [8].

Имеем следующую характеризацию весовых £Ф-неравенств слабого типа для монотонного оператора Т :

Теорема 2.2.1. (см. [8]). Пусть Т —монотонный оператор на (0,+то) с ядром к. Пусть Ф1, Ф2 — N-функцииЧь — дополнительные функции для Ф1 и Ф2, a, b, V и w неотрицательные весовые функции. Тогда существует

константа А такая, что неравенство

+то

Ф

-л У ^

{|г/ |>Л}

Ф2 (Ла(х))ю(х) ёх^ ^ Ф-1 ^! Ф1 (АЬ(х)/(х))и(х) ёх^

(2.17)

выполняется для всех Л > 0 и для всех неотрицательных, измеримых функций / тогда и только тогда, когда константа С, такая, что неравенство

к(г,)

Ф

■'( IЧ Ь

еЬи

)^(х)ёх ) ^ Ф-1( - )

^(еи)/ / \£/

(2.18)

выполняется для любых г, е > 0. Здесь 1Г = (0,г), если к(х,1) невозрастаю-щая по х, и 1Г = (г, + то), если к(х^) неубывающая по х.

Более того, для наилучших констант выше, имеем С ^ А ^ 2С.

Напомним, что

{

Щ =\ ВД = у /ф(х; т)#(т) ёт; х Е (0,то) : 8 е здто)

0